Γ Λυκείου 4 Ο ΓΛΧ M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών Β ΜΕΡΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Transcript

1 Γ Λυκείου Ο ΓΛΧ 5-6 M.Ι.Ππγρηγοράκης Χνιά [Μθημτικά] Θετικών Σπουδών Β ΜΕΡΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2 Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών Μέρος Β: Διφορικός Λογισμός Έκδοση 5.7 Η συλλογή υτή δινέμετι δωρεάν σε ψηφική μορφή μέσω διδικτύου προορίζετι γι σχολική χρήση κι είνι ελεύθερη γι ξιοποίηση ρκεί ν μην λλάξει η μορφή της Μίλτος Ππγρηγοράκης Μθημτικός MEd Χνιά 5 Ιστοσελίδ:

3 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΟΡΙΣΜΟΣ. Ν () -5 6 δεν είνι πργωγίσιμη στο. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση εξετστεί ν είνι πργωγίσιμη στοο η συνάρτηση () ν συν ν..8 Έστω η συνάρτησηη : πργωγίσιμηη στο κι στο με () (). Ν () ποδείξετε ότιι η g() ( (-) ν ν είνι πργωγίσιμηη στο ν κ κι μόνο ν () (). Αν βρείτε τ (),β πργωγίσιμη στο β ν ν ώστε η ν είνι ν..9 Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο o με ()-6 ( o ), ( o ). Bρείτε το l -. ο. Έστω : πργωγίσιμη στο o ο. Αν () 7 κι η είνι συνεχής ς κι () (). Αποδείξτε ότι στο ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο.5 Έστ κι ισχύει ότι ημ () ημ, γι. Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο o.6 Αν () ( ) γι κάθε, ν δείξετε ότιι η είνι πργωγίσιμη στο o.7 Έστ πργωγίσιμες στο Υπολογίσετε τ: () () Α) Γ) τω συνάρτηση ορισμένη στο. γι την συνάρτηση : ισχύει ( ) () τω,g : συνρτήσεις με Β) g. (()) (()) g()() ()g() ) Δ).. Δίνετι η συνάρτηση : πργωγίσιμηη στο γι την οποί ισχύει ότι (). Ν ποδείξετε ότι ( ) ( ).. Η συνάρτηση : είνι πργωγίσιμηη στο o g πργωγίσιμηη στο o. πργωγίσιμηη στο κι ισχύει y ότι η είνι πργωγίσιμπ μη στο.. () ( ο)(- ) ο) (. Δίνετι η συνάρτηση :, πργωγίσιμηη στο. Ν ποδείξετε ότι ο () ()). Δείξτε ότι η ν ) ν. Έστω η συνάρτησηη : y y γι κάθε,y, δείξτεε () () ο ο είνι

4 .5 Αν στο με () κι ισχύει: y y.6 ** Δ τέτοι ώστε () ( () 8, γι κάθε Ν δείξετε ότι η είνι συνεχής στο σημείο κι ότι ().7 Έστ πργωγίσιμη στο, ν δείξετεε ότι.8 Αν ( h) ( ( h) 5 h h A) Ν δείξετε ότι η είνι πργωγισιμη στο κι ότι () B) Ν βρεθούν τ όρι: i) () () ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ.9 Βρε Α) () η συνάρτησηη είνι πργωγίσιμη ( ( δειχθεί ότι ) + γι κάθε Δίνετι η συνάρτηση : (, ) τω η συνάρτηση ορισμένη στο κι γι την συνεχή συνάρτηση ισχύει τότε: είτε τις πράγώγους των συνρτήσεων y γι κάθε,y,. Ν ii) ημ Β).. Ν βρείτε όλ τ πολυώνυμ P με P P ( ) ( ) () ().. A)., με g y,yν ποδείξετε ότι: Γ) ) Αν είνι πργωγίσιμη στο τότε ισχύει ότ Δ) ) Αν η είνι πργωγίσιμη στο τότε είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει. Ν υπολογίσετε τοο. Ν ποδείξετε ότιι B). Η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο g y A) o o γι κάθε πργωγίσιμηη στο o κι g. Αν ν βρείτε τον ln y τι o o y γι κάθε o γι κάθε ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ... Έστω συνάρτηση :. δείξτε ότι h ημ πh Έστω συνάρτηση γι την οποί ισχύει: B) η η o o, o o h h 8. o Γ) g() ημ ln ημ συν Ε). g() εφ Ζ) ημ ημ ln Δ) ln Στ) g() Η) () ln..6 Αν μι συνάρτησηη : είνι ε πργωγίσιμηη στο σημείο,, ν ποδείξετε ότι: Α) ( ()ln ()lln ο () ()ln Θ) h() ημ Ι) ( () συν Β) ) () () () ()

5 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.7 Βρείτε τις πργώγους των συνρτήσεων: () ημ συν, () εφ ( ) ln ln συν ημ ημtt, t 5.8 Βρείτε τις πργώγους των συνρτήσεων: Α) Β) log Γ).9 Βρείτε τις πργώγους των συνρτήσεων: Α) Β) Γ) Δ). Δίνετι η,. Α) Αποδείξτε ότι η είνι ντιστρέψιμη κι βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Αν. Αν η συνάρτησηη είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: κάθε ln Ε) συν ln, 5 ημ log, ημ η π,, ν δείξετε ότι. είνι πργωγίσιμη στο D, ν βρεθεί η y, y ν ν () () ημ, γι... Α) Αν Α () c( )( β)( γ) με c,,,β,γ κι κ,β,γγ τότε ν ποδείξετε ότι: () () β γ ( 5) ( ) Β) ) Ν βρεθεί η ν ().. Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο με Α) Ν ποδείξετε ότιι η συνάρτηση y είνι πργωγίσιμη στο. Β) ) Αν ισχύει ότι 5 κι ν ποδείξετε ότιι.. Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει..5 Αν μι συνάρτηση ποδείξετε ότι: Α) Β) )..6 Έστω η συνάρτησηη πργωγίσιμη στο. Ν ποδειχτεί ότι ν: Α) η είνι άρτι τότε η είνιι περιττή Β) ) η είνι περιττή τότε η είνι άρτι..7 Έστω η συνάρτησηη () συν, (,π) Α) Ν δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση Β) ) Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι είνι πργωγίσιμη, ν δείξετε ότι γι γ κάθε. ( ()ln ()ln () () () () () () 5 ν βρεθεί το, (,) η : είνι ε πργωγίσιμηη στο σημείο,, ν ο ()ln

6 .8 Έστω η συνάρτηση πργωγίσιμη στοο τέτοι ώστε γι κάθε ν ισχύει ().9 Δίνετι η συνάρτηση γι την οποί είνι ( y) ()(y) κι () γι κάθε,y (). Αν ισχύει ότι ν ποδειχτεί ότι η είνι πργωγίσιμη στο. Οι συνρτήσεις,g είνι πργωγίσιμες στο κι γι κάθε ισχύει ότιι g. Ν βρείτε όλ τ πολυώνυμ P γι τ οποί ισχύει ότι P P. Έστω η συνάρτηση ημ,, Ν εξετάστεε ν η. Έστω η συνάρτηση πργωγίσιμη στοο. Ν ποδείξετε ότι Α) Αν η είνι άρτι τότε η είνι περιττήή Β) Αν η είνι περιττή τότε η είνι άρτι Γ) Αν η είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι περιττή τότε: ) β) γ) Δ) Αν η είνι άρτι κι g() (.Δείξτε ότι Η C διέρχετι πό το )() τότε g () ή είνι συνεχής στο o ( ), με, ν ποδειχτεί ότι g g(), ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ.. Έστω η συνάρτηση :, ώστε ημμ,. Αν είνι πργωγίσιμηη στο, τότε ν δείξετε ότιι () ημ συν κι ν υπολογίσετε το ΠΑΡΑΓΩΓΟ Σ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ..5 Θεωρούμε συνάρτηση πργωγίσιμη στο με πράγωγο συνεχή. Αν ν δείξετε ότι 5..6 Έστω μι συνάρτηση δύο φορές πργωγίσιμηη στο. Ν ποδείξετε ότι: Α) Β) )..7 Ν ποδειχτεί ότι: A) Αν y ln τότε y y y B) Αν y ημ ln y y y..8 Αν η συνάρτηση σ είνι δύο φορές πργωγίσιμηη στο κιι γι κάθε ισχύει, ν ποδείξετε ότι...9 Ν ποδείξετε ότι: Β) ( h) () (), h h ( h) h () (), h h ( h) 6 ( h) () Γ) ) () γι h h κάθε Α) Αν ) Αν / () συν (ν) νπ συν, τότε συν τότε ln τότε (ν ν) ( ) 5 ν

7 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών 5 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ.5 Βρείτε την εφπτομένης της ν ().5 Μι συνάρτησηη είνι συν είνι κάθετη στην ευθεί 9y 5.5 Δίνετι η συνάρ τις εφπτόμενες της M(, 8) ημ ν ν ( ) o κι ισχύει C C στο νεχής στο 7. Ν Ν ποδείξετε ότι η εφπτομένη της C στο σημείοο A, ρτηση (). Ν βρείτ τε που διέρχοντι πό το..57 Γι την πργωγίσιμη συνάρτηση ισχύει ότι ποδείξετε ότιι η εφπτομένη της γρφικής πράστσης στο σ σημείο,() είνιι κάθετη στην y. β..58 Αν γ βρεθούν τ,,β,γ ώστε η εφπτομένη της C στο A(,()) ν είνι πράλληλη προς την y..59 Αν κι Ν βρείτε τις κοινές εφπτόμένες των,. Ν g, ν 8. C κι C g..5 Έστω συνάρτησ ότι: ln γι κάθε Δ. Ν ποδείξετε ότι είνι πργωγίσιμη στο o κι ν βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της στο σημείο Μ,()..5 Αν :, με ν ποδειχτεί ότι το εμβδόν του τριγώνου που σχημτίζουν οι ημιάξονες O,Oy κι η εφπτομένη της κμπύλης στο o είνι νεξάρτητο του..55 Ν βρεθούν οι ε ότν () κι g() 8 τέμνοντι στον yy κιι είνι κάθετες μετξύ τους..56 Αν ln β, ν βρείτε τ,β ώστε η ευθεί ε: y ν είνι εφπτόμενη της C στοο σημείο της A,. ση γι την οποί ισχύει εφπτόμενεςς των C, C g που C κι,..6 Γι ποι τιμή του η εφπτόμενη της στο,() είνι εφπτόμενη της g. ( () κοινή εφπτομένη σε κάθεε κοινό τους σημείο.. συνεχή πρώτηη πράγωγο στο με ( () γι τον άξον, ν ποδειχτεί ότι η εφπτομένη στο σημείο τομής, σχημτίζει με τον άξον γωνί. είνι εφπτομένη της γρφικής πράστσης της.6 Δείξτε ότι οι γρφικές πρστάσεις των.6 Θεωρούμε την συνάρτηση που έχει o 5.6 ** Δίνετι η συνάρτηση κι g( ). Ν βρεθεί ευθεί που ν σε δύο διφορετικά σημεί της. (mathmatica) ημ έχουν () κάθε. Αν Α η C g της g με g() τέμνει ()

8 6.6 Μί ιδιότητ:,. Έστω μετβλητή ευθεί η οποί διέρχετι πό το M, κι τέμνει τη διφορετικά σημεί Α κι Β. Ν βρείτε τον τύποο της κι ν ποδείξετεε ότι οι εφπτόμενες της C στ Α κι Β τέμνοντι κάθετ..65 Δίν, όπου. Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτόμενης της C στο σημείο της M, κι ποδείξετε ότι διέρχετι πό στθερό σημείοο Ρ γι κάθε. συνάρτησηη : ετι η συνάρ C ρτηση έχει την σε δύο ln,..7 ** Έστω συνάρτηση πργωγίσιμη στο, κι ισχύειι ln υπολογίσετε το εμβδόν του τριγώνου το οποίο σχημτίζετι πό την εφπτομένη τηςς. Α) Ν βρεθεί η εξίσωση της εφπτομένης της C στο σημείοο,( ). Β) ) Aποδείξτε ότι οι πρπάνω εφπτόμενες διέρχοντι πό το ίδιο σημείο...7 ** Έστ ln,. Ν σημείο της με o κι τους άξονες κι yy. τω η ο ο ο ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ C στο lnn () με, στο σημείο,( ), κθώς μετβάλλετι το,.7 Έστω μί πργωγίσιμη συνάρτηση.66 Αν η ευθεί y είνιι η :(, ), με ( ) () ln εφπτομένη του διγράμμτος της σημείο της με o, ν βρεθεί η εφπτομένη ε y (), στοο Α) Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτόμενης της γρφικής πράστσηςς της στο,() στη C g της g() στο σημείο με Β) ) Υπολογίστε το όριο: () * Αν ότι οι C κι C έχουν κοινή εφπτομένη..68 Δείξτε ότι οι γρφικές πρστάσεις των () g() κι.69 Ν.7 Έστ συνάρτηση γι την οποί ισχύει ότι: () κι g με (), ν έχει εφπτομένη την y. Α) Ν βρεθεί ο τύπος της. τω δευτεροβάθμι πολυωνυμική g(), έχουν κοινή εφπτομένη 5,, ποδείξετεε βρείτε τον ώστε η συνάρτηση Β) Αποδείξτε ότι οι εφπτόμενες της C που άγοντι πό το σημείο A,, εί ίνι κάθετες... Α) Bρείτεε το σηµείο M της εφπτόµενη διέρχετι πόό την ρχή των ξόνων. Β) ) Ν βρείτε τον γεωµετρικό τόπο του σηµείου M ότν το διτρέχει το..7 Έστω η συνάρτησ ση.75 Θεωρούμε τις πρβολές ( () λ-λ(- λ),, λ C A) Ν ποδείξετε ότιι οι πρπάνω πρβολές έχουν μί κοινή εφπτομένη. B) Ν ποδείξετε ότιι τ σημεί των τ οποί οι εφπτόμενες είνι πράλληλες στον άξον, βρίσκοντι στην ευθεί y. Γ) ) Αν λ, ν βρείτε το σύνολοο των σημείων του επιπέδου πόό τ οποί άγοντι κάθετες εφπτόμενες τη συνάρτηση *, στο οποίο η C γι

9 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών 7 Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΩΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΗΣ.76 Μι κολόν ύψους m φωτίζει έν στενό δρομάκι, το οποίο κτλήγει κάθετ σε ένν τοίχο. τ Η λάμπ βρίσκετι m κάτω πό την κορυφή τηςς κολόνς. Ένς πίχτης του μπάσκεττ με ύψος m προχωράει προς τον τοίχο με τχύτητ m /scc. Αν η κολόν πέχει 6mm πό τον τοίχο, τότε: A) ν ποδείξετε ότι το ύψος y t της σκιάς που ρίχνει ο άνδρς στον τοίχο ως συνάρτηση της πόστσης του πό την κολόν είνι 6 yt (t), t 6 B) ν βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο υξάνει το ύψος της σκιάς πουυ ρίχνει ο άνδρς στον τοίχο ότν βρίσκετι σε πόστση m πό τον τοίχο..77 Εν σημείο Μ,y κινείτι στην C, με (). Ν βρείτε τη τ θέση όπουυ ο ρυθμός μετβολής της τετμημένης του είνι ίσος με το ρυθμό μετβολής της τετγμένης του..78 Έν υτοκίνητοο A πομκρύνετι πόό τη διστύρωση δύο κάθετων δρόμων O κι Oy, που κτευθύνοντι προς τ ντολικά κι βόρει ντίστοιχ. Η πόστση του τ υτοκινήτου πό το δρόμο Oy ισούτι με το τετράγωνο της πόστσής του πόό το δρόμο O Το υτοκίνητο A πομκρύνετι προς τ ντολικά με ρυθμό v km/min. Α) Με ποι τχύτητ πομκρύνετι το υτοκίνητο προς τ Βόρει; (συνρτήσει της θέσηςς του) Β) Ν βρείτε την πόστση του υτοκινήτου A πό το σημείο O, ως συνάρτηση της πόστσής του πό τον δρόμο Oy. Γ) Πόσο γρήγορ πομκρύνετι το A πό το σημείο O, τη χρονική χ στιγμή που έχει πομκρυνθεί km προς τ βόρει;.79 Σε ο συνάρτησης ορθοκνονικό σύστημ νφοράς Oy έν κινητό κινείτι πάνω π στη γρφική πράστση της ς,. Έστω M η θέση του κινητού στο επίπεδο κάθε κ στιγμή κι έστω A, B οι προβολές του M στους άξονες O κι Oy ντίστοιχ. Η τετμημένη τουυ σημείου M μετβάλετι με ρυθμό m/sc. Τη χρονική στιγμή t o πο ου το κινητό βρίσκετι στο σημείο,, βρείτε τοο ρυθμό μετβολής: Α) του εμβδού του τριγώνου OAM Β) της πόστσης ABB Γ) της γωνίς που σχημτίζει η εφπτομένη της C στο σημείο M, με τον άξον.8 ***Το κινητό O κινείτι με στθερή τχύτητ m / sc κτά μή κος της ευθείς (ε). Κυκλικό εμπόδιο έχει το κέντρο του στην μεσοπράλληλη των ευθειών (),(), έχει διάμετρο m ίση με τοο μισό της πόστσης τωνν (),() κι δημιουργεί την «σκιά» AB. Ν βρεθεί ο στιγμιίος ρυθμός μετβολής του μήκους AB την στιγμή κτά τηνν οποί το τρίγωνο OAB γίνετι ορθογώνιο γι πρώτη φορά (Άσκηση πό

10 8 Θ. oll Θ.Μ.Τ..8 Εφ ημ στο διάστημ, β.8 Αν () (γγ ) οι,β,γ ώστε ν εφρμόζετι το τ θεώρημ oll στο, κι ν βρεθεί ξ, ώστε ξ..8 θεω συνεχής κι μη μηδενική στο πργωγίσιμη στο υπάρχει.8 Δίν.85 Δίν,β κι πργωγίσιμη στο (, β). Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ, β ώστε ξ β β.86 Έστ πργωγίσιμες στο,ββ με () g() (β) κι g(β) g()g ρμόστε το θ. oll γι τη συνάρτησηη ωρούμε μι συνάρτηση η οποί είνι π π, π, ώστε ( o ) ( o)εφo. ετι ότι η συνεχής στο,β, > δείξτε ότι υπάρχει ξ,β ώστε ξ ξ ξ ετι η συνάρτηση συνεχής στο ξ π τω,g συνεχείς συνρτήσεις στο, β γι κάθε (,β). Ν δείξετε ότι υπάρχει ξ,β ώστε ν ισχύει (ξ) (ξ) g (ξ) g(ξ) π ππ, κι. Αποδε είξτε ότι κι πργωγίσιμη στο (, β) με ν βρεθούνν β β. Ν. Ν ποδείξετεε ότι η εξίσωση () () έχει μι τουλάχιστον ρίζ ρ στο,...87 Έστω μι πργωγίσιμη συνάρτηση.88 Έστω η :[,β] πργωγίσιμη, ώστε: ξ,β έτσι..89 Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο,, ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ,, ώστε ξ 5ξ5 () ( ).. συνεχείς στο [,β][ πργωγίσιμες στο (,β) με γι κάθε κ [,β] κι ln () ln(β) g(β) g(). Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,β) ώστε ( (ξ) (ξ) g(ξ ξ)..9 Έστω : τρεις φορές πργωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι. N ποδείξετε ότι υπάρχει, ώστε. γι κάθε με λ δεν είνι. Β) ) Ν δείξετε ότι εφρμόζετι το θ. oll γι τη συνάρτηση g. () (β) β. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει.9 Θεωρούμε τις συνρτήσεις,g που είνι ι ώστε: ξ ξ ξ.9 Α) Δείξτε Δ ότι η λ.9 Ν ποδείξετε ότιι οι γρφικέςς πρστάσεις των τ συνρτήσεων () g() έχουν έν μόνο κοινό σημείο που ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ () στο με () ) γι κάθε κι ().. λ κι βρίσκετι στον yy

11 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών 9.9 N ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ λύσετε την εξίσωση.. Ν ποδείξετε ότιι η εξίσωση β γ έχει μέχρι τρείς ρίζες στο.95 Ν.96 Ν λύσετε την εξίσωση λύσετε την εξίσωση ln Ν ποδείξετε ότιι η εξίσωση β γ δ με β μονδική ρίζ στο γ, έχει.97 Ν.98 Ν.99 Ν λύσετε την εξίσωση λύσετε την εξίσωση ln λύσετε την εξίσωση Δείξτεε ότι η εξίσωση 76 δεν έχει περισσότερες πό δύο διφορετικές ρίζες στο..7 Ν δείξετε ότι μετξύ δύο ριζών της εξίσωσης ημ υπάρχει ρίζ της εξίσωσης ε. Ν λύσετε την εξίσωση: ln συν. Λύσ. Ν 5 έχει μονδική ρίζ στο. Ν στε την εξίσωση ποδείξετε ότι η εξίσωση δειχθεί ότι η εξίσωση λ λ έχει έ τουλάχιστον μί ρίζ στο, γι κάθε λ..8 N ποδείξετε ότιι η εξίσωση ln βlnn γ ln δ,,β,, γ,δ ώστε γδ β έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο,..9 Αν η εξίσωση ε β γ δ με,β,γ,δ έχει τέσσερις ρίζες πργμτικές κι άνισες μετξύ τους, ν ποδείξετε ότι 8β Η με ευθεί σιδηροδρομική γρμμή είνι 5 km. Μι μξοστοιχί δινύει τη μετξύ τους πόστση σε,6 ώρες. Ν ποδειχτεί ότι γι τχύτητ 85 km /h.. Αν, (,5) ν δείξετε ότι (5) 6. Έστ 5. Ν δείξετε ότι υπάρχουν κ, λ,5 πόστση δύο πόλεων που συνδέοντι κάποι χρονική στιγμή η μξοστοιχί έχει συνεχής στο,5 με τω πργωγίσιμη στο ώστε κ λ κι,5 με.. Η συνάρτηση είίνι πργωγίσιμη στο 5 κι ν ποδείξετε ότι υπάρχουν ξ. 9 log ότι υπάρχει ξ, ώστε ξ log.., κι γι κάθε ισχύει,ξ,ξ, ώστε ξ ξ ξ. Δίνετι η συνάρτη ηση ημ.5 Ν βρείτε το ημ. log. Δείξτε

12 5.6 Απο ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ οδείξτε ότι ln,.. N ποδείξετε τις νισότητες: Α) Β) ) ln( ) ν > ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ () ν,.7 Απο οδείξτε ότι ln β β,,β.. Δείξτεε ότι,.8 Δείξτε ότι ημβ ημ β.9 Δείξ. N ξτε ότι, ποδείξετε τις νισότητες: Α) γι κάθεε. π Β) ln π π,,β π. Γι κάθε ν ποδειχτεί ότι. εφ π π συν ( ).. Έστω πργωγίσιμη στο της οποίς η πράγωγος είνι γνησίως φθίνουσ στο. Δείξτε ότι: 999 ****************************************************************.5 Αν στο κι υπάρχουν τρί συνευθεικά σημεί της C, ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ με ξ..6 Μι, κι ( )= ( ποδειχθεί ότι (),.7 Έστ πργωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι. N ποδείξετε ότιι υπάρχει, ώστε.8 Έστ η είνι δύο φορές πργωγίσιμη συνάρτησηη είνι συνεχής στο πργωγίσιμη στο, με )= τω :. Αν (),, ν τω () β γ δ, *,, τρεις φορές,β,γ,δ με β 5. Ν ποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τρί διφορετικά συνευθεικά σημεί που ν νήκουν στη γρφική πράστση της. () Θεωρούμε την πργωγίσιμη στο συνάρτηση γι γ την οποί ισχύει (ln ) (lnβ). Αν ισχύει ln ln γ lnββ, με,β, γ κι γ β, ν δειχτεί ότι υπάρχουν ξ,ξ γ (ξ ) (ξ ). πργωγίσιμηη στο,β μ ποδειχτεί ότιι υπάρχει o,β ώστε.. Έστω συνάρτηση, δυο φορέςς ο δύο φορές πργωγίσιμη στο,β, με β. Ν ποδείξετε ότι: Α) ν υπάρχει υπάρχει ξ,β ώστε, Β) ) ν υπάρχει ο. Η συνεχής συνάρτηση :, β υπάρχει ξ,β ώστε. ο. ο ο,β με o με,β με o ξ ξ με β. Ν, είνι o o, τότε, τότε

13 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών. Ν έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο, γι κάθε. Έστ με ( ) Α) ώστε Β) ώστε. Η σ, με >κι ισχύει () = κι ( ) (), [,] ]. Ν δείξετεε ότι υπάρχουν.5 Αν, ικνοποιούντιι οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος του oll, τότε ν ποδείξετε ότι: ξ ξ κι ξ ξ Β) υπάρχουν κ,κκ (, ) με κ (κ )+( (κ )= Γ) ότι η εξίσωση () ()- () έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ,. Δ) υπάρχουν κ, λ, μ με κ λ μ ώστε κ.6 Έστ : με. Ν δείξετε ότι υπάρχει ξ, ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της στο Μ ξ,(ξ), ν τέμνει τον άξον στο P ξ, ποδείξετε ότι η εξίσωση. τω η συνάρτηση, πργωγίσιμη στο, (). Δείξτε ότιι υπάρχουν συνάρτηση γι τη συνάρτηση στο διάστημ λ μ τω η πργωγίσιμη συνάρτηση ε ε '( ) '(κ είνι πργωγίσιμη στοο. ) () ξ,ξ, ώστε (ξ ) (ξ ) -. Α) υπάρχουν ριθμοί ξ,ξ, με ε κ ώστε..7 Η συνάρτηση :, είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι ι 8. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει εφπτομένη της C που διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. πργωγίσιμηη στο,β, με Α) Ν ποδείξετε ότιι η εξίσωση = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο,β. Β) ) Ν ποδείξετε ότιι υπάρχουν ξ..9 Αν συνάρτηση σε έν τουλάχιστον σημείοο του διστήμτος,. ln βlnn γ ln δ,,β,, γ,δ ώστε γδ β έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο,.,ξ,β Ν ποδείξετεε ότι: της C στο ξ,(ξ) ν είνι πράλληλη στον Β) ) Ν ποδείξετε ότιι η εξίσωση έχει ρίζ στο,.. Έστω πργωγίσιμη στο. Αν. Ν δεί είξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν έ, τέτοιο ώστε. N ποδείξετε ότιι η εξίσωση. Δίνετι η συνάρτη o τέτοι ώστε. o ισχύουν..8 Έστω συνάρτηση :,β β ξ ξ, ν δείξετε ότι η μηδενίζετι ηση ln. Α) Υπάρχει ξ, ώστε η εφπτομένη κι β, β. 5

14 5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίν g στθερές συνρτήσεις Β) Ν βρεθεί ο τύπος της.. Θεω κάθε,y. Ν δειχτεί ότι η είνι στθερή.5 Ν κι.6 Ν κι.7 Ν Α) ν () () γι κάθε κι () () Β) ν τότε (),, δ() κι δ (), τότε δ().8 Έστ πργωγίσιμη στο μ όλες οι εφπτόμενες διέρχοντι πό την ρχή των ξόνων. Ν βρείτε εκείνη τη συνάρτηση της οποίς η γρφική πράστση διέρχετι πό τ σημεί,.9 Έστ ετι συνάρτηση :, ώστε:, γι κάθε κι. Ν ποδείξετε ότι : Ν δείξετε ότι ισχύει είνι ωρούμε συνάρτηση : γι τηνν οποί ισχύει ότι: y βρείτε την ν 7, βρείτε την ν ποδειχτεί ότι: δ () δ() 5 γι κάθε, τω συνάρτηση ορισμένη στο κι *, Α) Οι συνρτήσεις h κι με τω πργωγίσιμη συνάρτηση στο. ν κι μόνο ν υπάρχει c ώστε c συν y γι, *, της τ οποίς 5,,..5 Ν βρείτε την, ν γι κάθε ισχύειι () () ημ συν κι ()...5 Αν η :,π π πργωγίσιμηη με άθε,π κά...5 Ν βρεθεί η συνάρτηση : ν ισχύει: 7. :,, ν ισχύει ότι () () ln () γι κάθε κι ()..5 N βρεθεί, ν υπάρχει, συνάρτηση που είνι πργωγίσιμη στο * κι γι κάθε * ισχύει () (), () κι ( ).. ν ισχύει () (),..56 Βρείτεε την εξίσωσηη της κμπύλης που διέρχετι πό το M(, ) κι σε κάθεε σημείο της με τετμημένη έχει εφπτομένη με λ. :,,, ν ισχύει ότι () ) κι () () ln () γι κάθε. στο ώστε ν ν ισχύει[ () ()] γι κάθε.5 Ν βρεθεί η πργωγίσιμη συνάρτηση.55 Ν βρείτε τη συνάρτησης μ.57 Ν βρεθεί πργωγίσιμη συνάρτηση ν ποδείξ 5, κι.58 Δίνετι η συνάρτηση, πργωγίσιμη κι είνι δύο φορές κι ίξετε ότι γι ημ,, με εφ () ().Bρείτε τον τύπο της

15 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών.59 Αν η :,π π πργωγίσιμη με κι κάθε,,π, δείξτε ότ.6 Ν στο με, η γρφική πράστση σε κάθε σημείο M,() ) έχει εφπτομένη με κλίση (),.6 Ν είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο, η διέρχετι πό το O, η εφπτόμενη της στο σημείο O, είνι πράλληληη στην ευθεί - y κι ισχύει ( ) () (),.6 Έστ πργωγισιμες στο μ Αν δέχοντι κοινή εφπτόμενη σε κοινό σημείο τους κι ισχ, ν δείξετε ότι.6 Α) οποί ισχύε μηδενική συνάρτηση. g g γι κάθε κιι g. Ν ποδείξετε ότι η.6 * Δί με () γι την οποί ισχύει ότι βρεθεί ο τύπος της. βρεθεί συνάρτηση πργωγίσιμη βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης νν τω οι συνρτήσεις κι g δυο φορές χύει g Έστω συνάρτηση : γι τηνν ει. Ν ποδείξετε ότι η είνι η ίνετι συνάρτηση πργωγίσιμη στο είνι δύο φορές τι, με ημ,. γι κάθε g Β) Έστω συνάρτηση g: g γι 9 κι της οποίς g γι κάθεε. Ν, κι C C γι κάθε με g, ημ...65 Έστω συνάρτηση : κι ν N. Αν ν κι ισχύ τότε νδείξετεε ότι η είνι στθερή...66 Ν βρείτε συνάρτηση, πργωγίσιμη στο, ν η εφπτομένη στη γρφική της πράστση σεε κάθε σημείοο,() ν έχει κλίση κι κ το A, ν νήκει στη γρφική πράστση της..67 * Δίνε y. Η κι ότι. ισχύει ότι κι,y πργωγίσιμηη στο κι ν βρεθεί ο τύπος της..69 Η συνάρτηση είνι ορισμένη στο με κι ισχύει ι y y y, γι κάθε,y. Ν ποδείξετε ότι: Β) ) η είνι πργωγίσιμη στο Γ) ) ο τύπος της είν πργωγίσιμηη στο με γι την τ οποί ισχύει y y Α) Ν ποδείξετε ότιι η είνι πργωγίσιμηη γι κάθε Β) ) Δείξτε ln, γι κάθε, Έστωιι η συνάρτηση :, ώστε ν, Α) ύει y y τι η συνάρτηση :, + με y γι κάθε είνι πργωγίσιμη στο. Δείξτε ότι η είνι πργωγίσιμη στο, + y y y γι κάθε,. Δείξτε ότι η είνι ε ότι y. γι κάθε,y. ln() γι κάθε ν, y, γι κάθε κι ι..7 Έστω συνάρτηση :,,,,y + κι ο o 5

16 5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ- ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ.7 Μελ συνρτήσεων Α).7 N λετήστε τη μονοτονί των συνρτήσεων Α) Β) ln συν, μελετήσετε τη μονοτονί των [,π) ln ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ -ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ.78 Έστω η συνάρτηση Α) ν μελετήσετε τη μονοτονί της Β) ) ν ποδείξετε ότι: : ) ln π β) ln ln π ln η π. ln( ) ln ln,, Β) () ln( ).79 Ν βρείτε το πλήθος των ριζών της.7 Ν συνάρτησης.7 Ν συνάρτηση μελετήσετε τη μονοτονί της ς είνι γνησίως ύξουσ στο. στο, βρεθεί γι ποιες τιμές του, η με εξίσωσης ln( ) 6.8 Λύστεε την εξίσωσηη ln( ).8 Ν λύσετε την εξίσωση.8 Γι κάθε ν ποδείξετε ότι.75 Αν πργωγίσι η συνάρτησηη : είνι ε ιμη με κι η είνι ε γνησίως φθίνουσ, ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση π π συν συν.8 Δείξτεε ότι ln(ημ) ημ,,π () g,.76 Oι σ πργωγίσιμες στο με () g() κι γι κάθε ν ισχύουν ()g g() ()g () κι g(). Ν ποδείξετεε ότι: () g() g γι κάθε [, ) κι ().77 * Έσ στο [,+ ), είνι γνησίως φθίνουσ. συνρτήσεις κι g είνι g() γι κάθε (,]. στω μί πργωγίσιμη συνάρτηση ώστε () 5 ln( ) Ν 5 6 μελετηθεί η ως προς την μονοτονί της. 5 () ().8 Έστω συνάρτηση : γι την οποί ισχύει ότι γι κάθεε. Αν ισχύει ότι,, ν λύσετεε την εξ ξίσωση.85 Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση : γι την οποί, ισχύουν κι ln ( ). Ν λύσετε την εξίσωση ln.86 Αν gg συν g γι κάθε γι κάθε, ημ ν ποδείξετεε ότι g() γι κάθεε.

17 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ.87 Ν την μονοτονί κι τ κρόττ: Α) μελετήσετε τις συνρτήσεις ως προς ln Β) συν, π.95 Μι συνάρτηση σ είνι ορισμένη κι δύο φορές πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει: ( ) ( ). Ν 555 Γ) n Δ) E) ποδείξετε ότι: A Υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε: (ξ).88 Ν την μονοτονί κι τ κρόττ: Α).89 Δείξ έχει κριβώς τρί τοπικά κρόττ...9 Ν συνάρτηση.9 Έστ Δείξτε ότι η δεν έχει τοπικά κρόττ..9 Έστ βρείτε το σημείο της μικρότερη κλίση..9 Ν συνάρτηση έχει κρόττ..9 Έστ είνι πργωγίσιμη τρεις φορές με κάθε,,. Αν υπάρχουν,, με τέτοι, ώστε μελετήσετε τις συνρτήσεις ως προς,, ξτε ότι η συν : με (()) βρεθούν οι τιμές των, β ώστε η β ln ν έχει στη θέση τω η πργωγίσιμη συνάρτηση τω η συνάρτη C βρείτε τις τιμές του λ ν η ποδείξετε ότι υπάρχει ξ, με τω η συνάρτη B) νάρτηση, ln(-), ο τοπικό κρόττο με τιμή ln. () ),. ηση ln. Ν όπου η έχει τη λ λ 5 δεν :,, η οποί ηση γι ν ξ. B Γ Δ ρίζ στο της συνάρτηση.97 Δίνετι η δυο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση στο [,β]. Αν υπάρχουν ποδείξετε ότιι υπάρχει ξ (ξ,ξ ) ώστε (ξ)..98 Έστω συνάρτηση πργωγίσιμη στο, γι την οποί ισχύουν: κι, γι κάθε.βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της C στο σημείο A(,) οποίες είνι πργωγίσιμπ μες κι ισχύουν: Αν η C διέρχετι πό το ο σημείο A,, ν ποδείξετε ότιι οι εφπτόμενες των Η συνάρτηση δεν ντιστρέφετι () Η εξίσωση () έχει μι τουλάχιστον.96 Ν βρεθεί ο κ ώστε η μέγιστη τιμή.99 Έστω οι συνρτήσεις,g : οι o κ () ης ι g() τέμνοντι κάθετ. Αν ισχύει ότι ln,,ν βρείτε το κ ν είνιι το., (,β) τέτοιοι ώστεε (),(β) ( ),( ), γι C κάθε. κι C g στο

18 56. Αν κάθε,. Εστ κι ότι η. Έστ Α) Ν βρείτε τη μικρότερη τιμή του λ γι την οποί ισχύε Β) Αν λ ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g λ είνι γνησίωςς φθίνουσ.. Έστ πργωγίσιμη με. Ν δείξετε ότι:.5 Ν σημείων (,( )), όπου o η θέση του τοπικούύ διτρέχει το.6 Έστ Α) Ν βρείτε την μικρότερη τιμή του λ γι την οποί ισχύει ότι Β) Ν βρείτε την τιμή του λ γι την οποί το ελάχιστο της πίρνει τη μέγιστη τιμή του..7 Εστ,β κι ν ποδείξετε ότι β. τω η συνάρτ είνι γνησίως ύξουσ στο,. τω η συνάρτη γι κάθε. ει τω η συνάρτηση :, δύο φορές βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των τω συνάρτηση () λ ισχύει ln τηση ηση τω συνάρτηση πργωγίσιμη στο, με ( ) κι ( (), () ). Αν () g() (),, βρείτε τ διστήμτ μονοτονίς κι το σύνολο τιμών τηςς g β γι λ, λ, που προυσιάζει γι o τοπικό κρόττο το ln λ γι, >, λ> με,. Ν δείξετε ότι : κροτάτου της () ln λ, λ ότν το λ ln, λ κάθε πργωγίσιμηη στο. Ανν υπάρχει ώστε τότε ν ποδείξετε ότι οι εξισώσεις ( ), () κι () έχουνν μονδική ρίζ..9 **Αν, ν ποδείξετε με κι Δείξτε ότι άγοντι κριβώς δύο εφπτόμενες προς τη γρφική πράστση της συνάρτησης () έχει στο,π δείξετε ότι η εξ στο,π. Ν β εξίσωσης ln λ, ριζών της εξίσωσης. Έστω δυο φορέςς πργωγίσιμη στο εξίσωση. Ν ποδείξετε ότιι πό το σημείο A(,) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Ν ποδειχτεί ότιι η εξίσωση συν. Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο.5 Ν βρείτε το πλήθος των πργμτικών.6 Ν ποδείξετε ότιι γι κάθε η ε ότι γι κάθε,. κριβώς μι λύση ξίσωση ρείτε το πλήθος των ριζών της 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ.8 Μί συνάρτηση σ είνι τρεις φορές ( () () () κι () γι κάθε, γι κάθε. έχει μονδική ρίζ λ ότν το έχει τρειςς ρίζες, κι ισχύει συν,,π. Ν

19 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών 57.7 Απο οδείξτε ότι γι κάθε η εξίσωση.5 Α) ν ποδείξετε ότι π π έχει μονδική ρίζ στο.8 ** Αν εξισώσεις:.9 Ν ln έχει δύο κριβώς ρίζες, οι οποίες είνι ντίστροφοι ριθμοί.. Ν ln είνι γνησίωςς υξουσ. A) Μ τ κρόττ τη συνάρτηση B) Ν δείξετε ότι. Έστ Α) Ν ποδείξετε ότι η C δέχετι οριζόντι εφπτομένη σε έν μόνο σημείο της. Β) Ν λύσετε την εξίσωση Γ) Ν ποδείξετε ότι. *Ν θετικών ριζών της εξίσωσης. Έστ πργωγίσιμη στο μ γι κάθε, δείξτε ότι γι κάθε ln(), ν λύσετε τις Α) ln( ) 6 Β) ποδείξετε ότι η εξίσωση ποδειχθεί ότι η συνάρτηση με Μελετήστε ως προς την μονοτονί κι τω η συνάρτη 7 v, (, ( ) βρείτε, γι κάθε, το πλήθος των τω συνάρτηση δυο φορές v ηση (),ν N* v, με,, κιι 8. Β) ) Ν δειχθεί ότι: ν βρείτε τη μεγλύτερη μ τιμή του κ.7 Α) Ν Β) ) Αν,,β,γ, με βγ, ποδείξτε ότι : με γι κάθε. Βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ln κι ν λύσετε την εξίσωση οποί ισχύει ότι ό ποδείξετε ότι.6 Αν ισχύει πργωγίσιμη κάθε, ν ποδείξετεε. Ν βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης, που είνι συνεχής στο,, πργωγίσιμη στο,, κι ισχύειι ότ β γ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση.9 ** Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση. Έστω μι συνάρτηση : γι την. Αν η συνάρτηση σ : είνι π κ γι κάθε, κ Ν μελετηθείί ως προς τ κρόττ η συνάρτηση ln, β γ β γ ( () ln( ) εί ίνι γνήσι ύξουσ στο τι ι η με γι κ γι κάθε. κι κι κάθε, π 8 π γι γι κάθε. Ν

20 58 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ ΚΥΡΤΕΣ-ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. Ν μελετήσετε τις συνρτήσεις ως προς τ κοίλ κι τ σημεί κμπής. Α) h() Γ). g() ln. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστσηη της σημεί κμπής ln, I έχει κριβώς δύο. N ποδείξετε ότι η συνάρτηση g ln ln.5 Αν είνι γνωστό ότι η συνάρτηση 5 5 τρί σημεί κμπής, ν ποδείξετε ότι.6 Δίνετι η συνάρτηση :, γι την οποί ισ γι κάθε. N ποδείξετε ότι η είνι κυρτή στο,..7 Δίνετι ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης έχει σημείο κμπής το A, Α) Ν ποδείξετε ότι κιι β : Β) Βρείτε την εφπτομένη της C στο σημείο κμπής της ln 8,..8 Έστω η συνάρτη β σχύουν β ln β με,β, κι ν ποδείξετε ότι Β) g() 5 Δ) () ) είνι κυρτή,,,β έχειι κι ηση : με την 5 β. ()..9 Η συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιμηη στο. Ν ποδείξετε ότι δεν είνι δυντόνν η ν έχει ι στο o τοπικό κρόττο κι σημείο κμπής... N δείξετε ότι γι κάθε I πράστση της συνάρτησης, δεν έχει σημεί κμπής... Έστω συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι ισχύει ότι ποδείξετε ότιι η C δεν έχει σημεί κμπής.. Η συνάρτηση έχει συνεχή δεύτερη πράγωγο κι () ημ,. Ν δείξετε ότι το A(,()) δεν μπορεί ν είνι σημείο κμπής της πργωγίσιμηη στο με στο,, κι η συνάρτηση g,. Α) Βρείτεε τις ρίζες κι το πρόσημο της g. Β) ) Ν βρείτε τ διστήμτ που η g είνι κυρτή ή κοίληη κι τ σημεί κμπής της είνι κυρτή μεε (). Δείξτε ότι η συνάρτηση () g() είνι γνήσι ύξουσ στο C 5 με.. Έστω συνάρτηση δύο φορέςς.. Έστω συνάρτηση :[, ) η οποί η γρφική :, η οποί γι κάθε,. Ν C g (, ). ιδιότητ ( () ) () γι κάθε Ν ποδειχθεί ότι η κμπής. C έχει κριβώς έν σημείοο

21 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών.5 Αν τον γεωμετρικό τόπο των σημείων κμπής της γρφικής πράστσης της, γι κάθε λ (, ).6 Δίνετι η συνάρτηση δύο φορές πργωγίσμη στο κι ισχύει () () γι κάθε. Ν δείξετε ότι η γρφική της πράστση Α) δεν έχει σημεί κμπής Β) έχει έν κριβώς κρίσιμο σημείο. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ.7 Α) Η συνάρτησηη είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι κυρτή σε διάστημ Δ. Ν δείξετε ότι γι κάθε, B) Ν ποδείξετε ότι: β β Γ) Δείξτε ότι ln.8 Αν ποδείξετε ότι ισχύει 5 y y πργωγίσιμη στο κι ισχύει ότι κι κυρτή στο () λ, λ. Ν βρείτεε λ, y, κι y, ν. Ν ποδείξετε ότι η είνιι πργωγίσιμη κι κυρτή στο κι η γρφικήή πράστση της περνά πό την ρχή των ξόνων, ν ποδείξετε ότι γι κάθε ισχύειι Δ ισχύει β (Jnsn) ln lnβ,,β Α.9 Η συνάρτηση είνι δύο φορές.5 Η συνάρτηση είνι δύο φορές β..5 Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο, με πράγωγο γνήσι ύξουσ κι..5 Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο, με γνήσι γ ύξου..5 Δείξτεε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση : ώστ..5 Έστω η συνάρτηση ( () γι. Α) Ν μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονί, τ κοίλ κι τ σημεί κμπής. Β) ) Ν δειχθεί ότι γι κάθε ισχύει ι ( (ln ) ( ) () (ln)..55 Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο, με πράγωγο γνήσι ύξουσ κι κάθε,...56 Αν οι,β, γ διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου δείξτε ότι β Ν ποδείξετε ότι β γ γ..57 Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο, με πράγωγο γνήσι ύξουσ κι Ν ποδείξετε ότι γι κάθε,. ότι γι κάθε,. κι τε γι κάθε υσ κι η : με με βγ Δείξτε γι κάθε Ν ποδείξετε ότι γι, είνι,. 59 ότι

22 6 ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL.58 Ν βρεθούν τ πρκάτω όρ Α) ( ln ) Β) ln ln(ln) ρι..68 Αποδείξτε ότι m sin ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ 8 Γ) Δ)..69 Αν ν υπολογίσετεε.59 Ν υπολογίσετε τ πρκάτ Α) Γ) ημ συν ημ.6 Αποδείξτε ότι είνι συνεχής.6 N υπολογιστεί τo.6 N υπολογίσετε τ.6 Ν υπολογίσετε το.6 Ν βρεθεί το li im.65 Υπολογίστε το.66 N βρείτε τo.67 Ν υπολογίσετε Β) lnn Δ) ln, κι ότι,5. -, = ημ ημ συνσ ln ln ln ln ln m ln ln το ημ συν τω όρι: η συνάρτησηη κι 6 ln το. γι την οποί ισχύει γι κάθε. Ν βρείτε. την οποί ισχύει συν ln γι έχει συνεχή ηη πράγωγοο στο με κι. πργωγίσιμηη στο. Αν ν γι κάθε ισχύει ( h) ( h) () 8 h h κι η εφπτομένη της εξίσωση y 5 8, ν βρε είτε τον τύπο της τ,β ώστε η ν είνι συνεχής..7 Έστω μι συνεχής ς συνάρτηση :.7 Έστω : () ( ). Ν δείξετεε ότι: συν.7 Δίνετι η συνάρτηση : δύο φορές..7 Αν.7 Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί,β,γ ώστε C, συνεχής συνάρτηση, γι M, στο ση () ημείο έχει ln β,, = ln( ), β ημ. ε το κάθε. Ν Ν βρείτε το.η συνάρτηση γ ημ ν βρείτεε στο o

23 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών 6 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ.75 N β πρστάσεων των συνρτήσεων h(), λ ln.76 Έστω g ln η ευθεί y είνι σύμπτωτη της, ν βρείτε την σύμπτωτη της C στο..77 N σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ln ln.78 Έστω g της C στο, ν βρείτε την σύμπτωτη της στο..79 Έστω βρείτε τις σύμπτωτες των γρφικώνν ln (), ω οι συνρτήσεις,g :, μεε ποδείξετε ότι η y ln είνι ω η συνάρτηση : ω συνάρτησηη :, τέτοι ώστε ημ κι Αποδείξτε ότι η y είνι πλάγι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο ln γι κάθε. Αν. Αν η ευθεί y εφάπτετι g ln k C στο κι η g με. C g. έχει ως σύμπτωτες τις ευθείες. ( () τις ευθείες κι =5 A) Ν βρεθούν οι ριθμοί κι β. B) Ν ποδειχτεί ότιι η ευθεί y είνι οριζόντι σύμπτωτη της οποί ισχύει () γι κάθε. Ν ποδείξετε ότιι ο άξονς είνι σύμπτωτη της C.. της συνάρτησης () ημln, δεν έχει σύμπτωτες...8 Ν βρείτε τ,β,,γ ώστε η γρφική ( ) β 5 πράστση της με () ν γ.8 Δίνετι ότι η συνάρτηση με τύπο τ έχει κτκόρυφες σύμπτωτες β.8 Ν ποδείξετε ότιι η γρφική πράστση.8 Αν η γρφική γ πράστση της συνάρτησης έχει σύμπτωτη στο την ευθεί y. () ημ Bρείτε το. () ln ημ C στο Έστω συνάρτηση :, γι την κι y. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.85 Ν μελετήσετε τις συνρτήσεις Α) () Β) () ημ, [ π,π] Γ) () Δ) ln Ε) ln,,.86 Ν πράστση κάνετε μελέτη της συνάρ ρτησης σ π μ σ (γι λόγους πλότητς θεωρείστε σ κι μ ) κι ν σχεδιάσετε τη γρφική της τ

24 6 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ.87 Αν Μ το σημείο του διγράμμτος της με ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ ln λ που ντιστοιχεί στο τοπικό της ελάχιστο, ν βρεθεί η πόστση OM ότν ο ρυθμός μετβολής του OM ως προς λ γίνει μηδέν..88 Σε ο ορθοκνονικό σύστημ συντετγμένω ων θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α 9 ο, γι το οποίο ισχύουν τ εξής. Η κορυφή Γ έχει συντετγμένες,,, η κορυφή A είνι στο διάστημ [,] του άξον κι η κορυφή B είνι σημείο της πρβολής y. Γι ποι τιμή των συντετγμένων του B το εμβδό του τριγώνου ABΓ γίνετι μέγιστοο ;.89 Μι ετιρεί υτοκινήτων εκτιμά ε ότι μπορεί ν πουλήσει υτοκίνητ τον μήν, ν η τιμή πώληση του κάθε υτοκινήτου είνιι 5. 'Εχει επίσης υπολογίσει ότι γι κάθε μείωση της τιμής κτά 5 το έν, οι πωλήσεις υξάνοντι κτά υτοκίνητ τον μήν. Η ύξηση των πωλήσεων λόγω μείωσης της τιμής είνι νάλογη της μείωσης υτής. Αν η τιμή ενός υτοκινήτου δενν μπορεί ν είνι ε μικρότερη πό. Πόσ υτοκίνητ πρέπει ν πουλήσει η ετιρεί, ώστε ν έχει τ μέγιστ έσοδ;.9 Έν τουριστικό γρφείο οργνώνει εκδρομές με λεωφορεί. Κάθε λεωφορείοο έχει 7 θέσεις. Ορίζετι οτι γι ν γίνει η εκδρομή χρειάζοντιι τουλάχιστον συμμετοχές κι τότε η τιμή ορίζετι στ γι κάθε άτομο. Γι ν υξήσειι τις συμμετοχές το γρφείο κάνει τηςς εξής προσφορά. «Γι κάθε επιβάτη επιπλέον των, θ μειώνει κτά λεπτά τηνν χρέωση κάθε επιβάτη». Α) Ποιο το πλήθος των επιπλέον επιβτών κάθε λεωφορείου που μεγιστοποιεί τ έσοδ; Β) Ποι το μέγιστ έσοδ του γρφείου πο κάθε λεωφορείο;.9 Εν φορτηγό δινύει κθημερινά km με στθερή τχύτητ km/h. Τ κύσιμ κοστίζουν,8 το λίτρο κι κτνλώνοντιι με ρυθμό lt/h. Τ υπόλοιπ έξοδ του φορτηγού είνι 9 /ώρ Α) ν εκφράσετε το κόστος της διδρομής υτής ως συνάρτηση της τχύτητς, Β) ν βρείτε την τχύτητ που πρέπει ν έχει το φορτηγό, ώστε τ έξοδά του ν είνι τ ελάχιστ, Γ) πόσ είνι τ ελάχιστ υτά έξοδ;.9 Η σ n(t ) συνάρτηση που μς δίνει το κέρδος μις επιχείρησης είνι: P( (t) (t ) A) την χρονική στιγμή, κτά την οποί η επιχείρηση θ προυσιάσει μέγιστο κέρδος. B) το μέγιστο κέρδος της επιχείρησης., t. Ν βρείτε:.9 Δίν ετι η ευθεί y. Ν βρείτε τοο σημείο της ευθείς υτής το οποίο πέχει πό το τ σημείο A9, τη μικρότερη δυντή πόστση..9 Το ά τους. άθροισμ δύο ριθμών είνι ε 8. Ν βρείτε τη μέγιστη τιμή που π μπορεί ν πάρει το γινόμενό

25 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6.95 Δίν ετι η συνάρ ρτηση στο o κι η εφπτόμενη της στο σημείο A) Ν βρείτε τις τιμές των,β κι το σύνολο τιμών της. Β) Ν βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσω β, όπου,,β, η οποί προυσιάζει τοπικό ελάχιστο Γ) Ν δείξετε ότι η εξίσωση έχει μόνο μί λύση. A,() διέρχετι πό το ωσης.,5. Δ) Ν βρεθούν τ (), κ (), κ Z κ.96 Δίν ετι η πργωγίσιμη συνάρτηση στοο γι την οποί γι κάθε ισχύει (ln). Αν η γρφική πράστση υτής διέρχετι πό το σημ Α) Ν βρεθεί ο τύπος της. Β) Ν βρεθεί το σύνολο τιμών της. μείο Μ,, τότε: Γ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση: έχει μόνο μί ρίζ στο (,( )..97 Έστ τω η συνάρτηση :, δύο φορές πργωγίσιμη ώστε ν ισχύει () (),. Α) Ν δείξετε ότι η εξίσωση έχει τοο πολύ μί ρίζ στο. Β) Ν βρείτε την μονοτονί της συνάρτησης g() (),. Γ) Αν μ κι ισχύει g( μ) g(), ν βρείτε την μικρότερη τιμή που μπορεί ν πάρει ο μ..98 Έστ τω η συνάρτηση () lnn μεε. Αν γι κάθε είνι () τότε Α) ν ποδείξετε ότι =, Γ) ν λύσετε την νίσωση ln Β) ν λύσετε την εξίσωση ln,.99 Θεω ωρούμε τη συνάρτηση γι την οποί ισχύει. Ν ποδείξετεε ότι: Α) Η δεν προυσιάζει κρόττο σε κνέν σημείο του διστήμτος,. Β) Το θεώρημ του oll δεν εφρμόζετι σε κνέν διάστημ της μορφής,. () ln() γι κάθε o, κι Γ) Ο τύπος της συνάρτησης ε είνι ln γι κάθε, Δ) Η δεν έχει οριζόντιες σύμπτωτες. Ε) Η ευθεί (ε) : y είνι κάθετη στην εφπτομένη τηςς C στο o

26 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ. Δίν ετι η συνάρτηση () λ ln, λ Α) Ν βρείτε τ κρόττ της Β) Ν ποδείξετε ότι ό ln γι κάθε Γ) Ν ποδείξετε ότι () κι m () Δ) Ν βρείτε γι τις διάφορες τιμές τ του λ το πλήθος των ριζών της εξίσωσης λ. Δίν ετι η συνάρτηση () ln με > Α) Ν βρείτε το πρόσημο της. Β) Ν λύσετε την εξίσωση ε γι κάθε > β Γ) Αν ισχύει ότι ln β γι κάθε, ν ποδείξετε ότι β= β.. *Έσ κι στω συνάρτηση, πργωγίσιμη στοο, που ικνοποιεί τις σ Α. Ν εκφράσετε την συνρτήσει της κι ν δείξετε ότι η είνι δύο φορέςς πργωγίσιμη στο Β. Ν ποδείξετε ότι () (), γι κάθε. σχέσεις Γ. Ν βρείτε την πλάγι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης τηςς στο.,. * Έσ στω συνάρτηση g :, πργωγίσιμη στο, με λ, g, g 8, gλ κι g 6 γι κάθε Α) Ν βρείτε τον ριθμό λ Β) Ν βρείτε την πλάγι σύμπτωτη της C στο κι ν υπολογίσετε το g g ημ m g 6 ln. Έστ ' γι κάθε, ' γι κάθε κ Α) Ν δείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο,, ν βρείτεε το πρόσημοο της κι ν ποδείξετε ότι η C τέμνει τον ' σε έν μόνο σημείο. Γ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικός, ώστε Δ) Ν βρείτε τον τύπο της γι Ε) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση Στ) τω συνάρτηση ορισμένη κι δύο φορές πργωγίσιμη στο, γι την οποί ισχύουν: Β) Ν δείξετε ότι '' Ν βρείτε την κτκόρυφη σύμπτωτη της. Ζ) Ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της. ' κι ότι η C στρέφει τ κοίλ άνω στο, η o, κι ' () κ έχει μονδική λύση στο, γι κάθε κ

27 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών.5 Η σ συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο ο με γι κάθεε. 65 Α) Ν βρείτε την πράγωγο της συνάρτηση Β) Αν επιπλέον είνι ) Ν βρείτε την πράγωγο της συνάρτησης ης g γι κάθε κι g ln (), τότε: Β) ν βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της συνάρτησης g ln () στο σημείο της με τετμημένη.6 Έστ ( h) 5() ( h) 6 Αν ισχύει ότι κι h h 9, ν δείξετε ότι Α) () τω η συνάρτηση : η οποί είνι έχει συνεχή δεύτερη πράγωγο στο I. Β) η ευθεί y είνιι πλάγι σύμπτωτη της Γ) γι κάθ θε, C στο.7 ** Δ Δίνετι συνάρτηση : γι την οποί γνωρίζουμε ότι: () κι () () γι κάθε. Α. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση h() () (), I είνι στθερή. Β) Ν ποδείξετε ότι η είνιι κοίλη στο, Γ) Ν βρείτε την εφπτομένη της τ γρφικήςς πράστσης της στο o Δ) Ν ποδείξετε ότι ().8 **H H συνάρτηση είνι ορισμένη κι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει ότι () γι κάθε. Ν ποδείξετε ότι: Α) η είνι Β) () γι κάθε Γ) ν τότε ln..9 Έστ Α) Ν δείξετε ότι υπάρχει Β) Ν δείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ,β μ Δ) Αν '( ) '( ) τω συνεχής στο, πργωγίσιμη στο,β ) με τέτοιο ώστε ξ Γ) Ν δείξετε ότι υπάρχει o,β τέτοιοο ώστε o γι κάθε,β τότε υπάρχουν, με ξ ξ τέτοι ώστε ξ ξ β., β,β μ β ε τέτοι ώστε

28 66 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ. * Έσ στω συνάρτηση η οποί είνι συνεχής στο, β πργωγίσιμη στο,β κι κυρτή στο β,β. Αν ν ποδείξετεε ότι: Α) υπάρχει Β) υπάρχουν,β κι () (β),β τέτοιο ώστε: ( ).,β με ε τέτοι ώστε: β (β) ( ) Γ) το του (Α) ερωτήμτος βρίσκετι πλησιέστερ στο β π ότι στο. o. Δίνετι η συνάρτηση δύο φορές πργωγίσιμη στο, με, κι σύνολο τιμών το,. Ν ποδείξετε ότι : Α) Υπάρχουν,, με β) Υπάρχει ξ, ώστε ξ γ) Υπάρχει ο,, ώστε o ώστε o ( ) ( ) o o Β) Η ευθεί y τέμνει τη γρφικήή πράστση της σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο, β) Υπάρχουν ξ,ξ, με ξ ξ ώστε ν ισχύει ότι ξ ξ. Μι συνάρτησηη είνι ορισμένη κι δύο φορές πργωγίσιμη στο σ κι γι κάθε ισχύει: () ( ). Ν ποδείξετε τ εξής: A Υπάρχει έν τουλάχιστον ξ(, ) τέτοιοο ώστε: (ξ) B Η συνάρτηση Γ ( ) () δεν ντιστρέφετι Δ Η εξίσωση () έχει μι τουλάχιστοντ ν ρίζ στο. Γι την πργωγίσιμη συνάρτηση :(,,+ ), ισχύει ότι () () ln n. Αν τότε ν βρεθεί ο τύπος της.. Δίν. Ν δείξετεε ότι υπάρχε.5 Δίν οντι οι συνρτήσεις κι g, συνεχείς το,β, πργωγίσιμες στο, γι κάθε,β κι οι μιγδικοί w ig β, z g ώστε g ει ξ,β ετι η συνάρτηση ορισμένη κι πργωγίσιμη στο, με μ () κ,. Ν ποδείξετε ότι: υπάρχ ξ ξ χει ξ, ξ g ξ iβ ώστε ( ξ) ) (ξ) (ξ),β με ώστε ν ισχύει ότι w ι g g z wz γι κάθε