ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2019 ΛΥΣΕΙΣ

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 9 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. i) κι ii) σχολικό βιβλίο.8 σελ. Α. Θεώρημ Frmat σχολικό βιβλίο. σελ. Α3. Σχολικό βιβλίο.8 σελ. 5 Α. ) i) Λ, ii) Σ, iii) Λ, iv) Λ β) Η συνάρτηση f όπως φίνετι στο γράφημ είνι πργωγίσιμη στο, κι συνεχής στο f = f =. Οπότε πό Θ.Roll υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε f = γι τη συνάρτηση f δεν εξιρείτι., με. Άρ υπάρχει μί τουλάχιστον τιμή που μηδενίζει τον προνομστή, νήκει στο, κι ΘΕΜΑ Β Β. Είνι f = +, R κι g o f =- g f =-, R () Έστω f = ω + = ω = ω-, ω R Από () gω =-ω-... gω = -ω + ω-3. Άρ g = , R Β. i) Το πεδίο ορισμού της h() είνι το / D = f = R R / + = -,- -,+ h f g Γι το πρόσημό της έχουμε: h() = - 3 ή = h() Από τον διπλνό πίνκ προκύπτει ότι: h > ότν -,- κι,3 h < ότν -, κι 3,+ ενώ h = ότν = ή = 3 ii) Από τον πίνκ πρτηρούμε ότι κθώς το είνι h < κι lim h = lim = = , οπότε κι lim = - - h Σελίδ πό 5

2 Β3. Είνι h() προκύπτει: , -,- -,+ + :(+) = κι κάνοντς τη διίρεση των δύο πολυωνύμων = h = (*) h = - lim + h = lim = lim + = + ) η ευθεί y = είνι πλάγι σύμπτωτη της C h στο Από (*) κι επειδή + (φού Β. Από το (Βi) η C h τέμνει τον ' στ = κι = 3 κι στο συνεχής στο, 3 ως ρητή τότε το ζητούμενο εμβδόν του χωρίου Ω είνι: 3 3 Ε(ω)= h d 6 d ln 5 ln 3 5 τ.μ., 3 ισχύει h >. Άρ φού η h είνι ΘΕΜΑ Γ, R - Γ. i) Είνι f = κι f = -f f + f = () () f + f = f ' = Γι f = + c = c c = () f = + c Οπότε () f = f =, R ( γι κάθε R) ii) H f είνι συνεχής κι πργωγίσιμη στο R ως πηλίκο συνεχών κι πργωγίσιμων συνρτήσεων με: Γ. Είνι: ' - f = =... = κι f = - = =. Το πρόσημο της f ' εξρτάτι μόνο πό τον ριθμητή φού γι κάθε R f > - > < f < >. Άρ f<(-, ] κι f>[, +) H, ενώ - f = είνι συνεχής κι πργωγίσιμη στο R ως πηλίκο συνεχών κι πργωγίσιμων συνρτήσεων με: f = =... = κι ' - - f εξρτάτι μόνο πό τον ριθμητή: f(-, ] κι f3[, +). f = - = =. Το πρόσημο της f > - > > κι f - ημ - ημ ημ - lim = lim = lim 3 f - f - ημ lim = f < <. Άρ διότι: Σελίδ πό 5

3 lim lim lim DLH - f = = Βρίσκουμε την εφπτομένη στο = με f = κι y -f = f - y = κι επειδή f(-, ] η C f θ βρίσκετι κάτω πό την εφπτομένη με εξίρεση το σημείο επφής. Ισχύει, f < f - < με λοιπόν ότι f γι lim f -. Οπότε lim f - ενώ κοντά στο μηδέν είνι Γ3. Με ολοκλήρωση κτά πράγοντες στο πρώτο μέλος της ισότητς έχουμε: - - f d d d = = - - d = Έτσι η δοθείσ ισότητ - - d = d = = = - - = () Αρκεί ν δείξουμε ότι η () έχει μονδική λύση γι > Θεωρούμε τη συνάρτηση g = -, R η οποί είνι συνεχής κι πργωγίσιμη ως πράξεις συνεχών κι πργωγίσιμων συνρτήσεων με Επειδή έχουμε: κι g = -. g > προυσιάζει ολικό ελάχιστο γι = το Επειδή lim g lim - lim - είνι το ' κι g = - =... = g = = g <. Άρ g>(-, ], g<[, +) κι κι g<[, +) το σύνολο τιμών του,, με, θ υπάρχει μονδικό o γι το οποίο ισχύει g = μονότονη. Αντίστοιχ λοιπόν θ υπάρχει μονδικό > γι το οποίο g = - =. Γ. Ισχύει + φού φού g γνησίως +... (Α) με την ισότητ ν ισχύει γι =. Όμως πό (Γii) η f(-, ] κι πό Γ είνι f Δηλδή f με την ισότητ ν ισχύει μόνο γι =. + + γι, άρ κι γι +. Άρ f d d + + () Σελίδ 3 πό 5

4 Όμως ' d= d d ln( +)'d ln( +) ln + + () f d ln + ΘΕΜΑ Δ Δ. H f είνι συνεχής στο, ως γινόμενο των συνεχών συνρτήσεων ln κι (πηλίκο κι διφορά συνεχών) Εξετάζουμε τη συνέχει στο μηδέν: lim ln lim ln lim lim ln Είνι (), lim ln lim lim lim lim () DLH ln ln Ισχύει lim lim lim DLH f = (5) () διότι: Από () κι (5) η f είνι συνεχής στο μηδέν κι πό τελικά η f είνι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Δ. Αφού η f είνι πργωγίσιμη στο, τότε οι πιθνές θέσεις κροτάτων είνι το, ως άκρο του Π.Ο. της κι τ σημεί στ οποί μηδενίζετι η f. Από το γράφημ πρτηρούμε ότι υπάρχει μονδικό, στο οποίο μηδενίζετι κι ισχύει: φού f < Γι f < είνι,, ενώ γι είνι f >. Ο πίνκς μονοτονίς της f έχει ως εξής: o + f - + f > < Άρ η f προυσιάζει έν ολικό ελάχιστο στο σημείο,f κι έν τοπικό μέγιστο στο (, ) φού lim f lim ln διότι: lim ln, lim κι lim Δ3. Γι πό την Cf είνι f > άρ f<(, +) Είνι: ln ln ln ln Σελίδ πό 5

5 ln ln, ln ln ln ln f < f < κι επειδή Δ. Η συνάρτηση g = ημ f - f f γι κάθε οι λύσεις της νίσωσης είνι γι, είνι συνεχής ως πράξεις των συνεχών συνρτήσεων ημ, κι 5 άρ κι γι κάθε,, π π π π π g =ημ f - f π π π = ημ - f () φού: Γι κάθε R ισχύει ημ με την ισότητ ν ισχύει μόνο γι π π ημ <. Επειδή π, είνι ημ > οπότε Όμως ν ν κι γι, f = τότε f στθερή, άτοπο, φού f <,, f < τότε f φθίνουσ, άτοπο, φού f <,., άρ γι π π π π ημ < ημ - < είνι Άρ f > οπότε γι, είνι π f > π π π π π g =ημ f - f π π π = ημ - f διότι: π π ημ <. Επειδή π π π π π, είνι ημ > οπότε ημ < η μ < Όμως 5 ν ν φού,5 5 ληθής κι γι, f = τότε f στθερή, άτοπο, φού f >,, f > τότε f ύξουσ (άτοπο) φού f >., Άρ 5 f < οπότε γι, είνι π f < 5 Από, () κι ικνοποιούντι οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος Bolzano στο διάστημ συνάρτηση g, άρ υπάρχει έν τουλάχιστον, γι το οποίο ισχύει g. 5, 5 γι τη Σελίδ 5 πό 5