Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 Δημητρης Χατζακος Modular forms και Ελλειπτικες καμπυλες Μεταπτυχιακη Εργασια Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 3 Σεπτεμβρίου 2012

2

3 Εισηγητης: Αριστείδης Κοντογεώργης Αντώνης Μελάς Γιάννης Εμμανουήλ Επιτροπη

4

5

6 Περιεχόμενα 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Γεωμετρίας Varieties Καμπύλες Divisors και Διαφορικά Το Θεώρημα Riemann-Roch και το Θεώρημα του Hurwitz Ελλειπτικές Καμπύλες Μορφές Weierstrass Η ομάδα E(K) Singular Κυβικές Καμπύλες Υπαρξη μορφής Weierstrass Ισογενείς Ελλειπτικές Καμπύλες Σημεία στρέψης: Το πρότυπο του Tate και η αντιστοιχία του Weil Ο δακτύλιος των ενδομορφισμών και η ομάδα των αυτομορφισμών Καλή και κακή αναγωγή ελλειπτικών καμπυλών Η Ομάδα E(F q ) Οι Ομάδες E(C) και E(R) Μιγαδικός Πολλαπλασιασμός Οι ομάδες E(Q) και E(K): Το Θεώρημα Mordell-Weil Περαιτέρω θέματα αριθμητικής των ελλειπτικών καμπυλών αʹ Η δομή της torsion υποομάδας βʹ Η rank μιας ελλειπτικής καμπύλης γʹ Ακέραια σημεία δʹ Γενικεύσεις Ομάδες Fuchs και Επιφάνειες Riemann Τοπολογικές ομάδες Επιφάνειες Riemann Το άνω μιγαδικό επίπεδο H Ομάδες Fuchsian και η δράση τους στο H Modular Καμπύλες αʹ Η μιγαδική δομή στον Γ(1)\H βʹ Η μιγαδική δομή στον Γ(1)\H γʹ Η μιγαδική δομή στον Γ\H

7 Περιεχομενα vii 4 Modular Forms Βασικές έννοιες Οι χώροι M k (Γ) και S k (Γ) Παραδείγματα modular μορφών και αναπτύγματα Fourier αʹ Σειρες Eisenstein βʹ Η συνάρτηση (z) γʹ Η j-συνάρτηση j(z) δʹ Η συνάρτηση η(z) Σειρές Poincare και το εσωτερικό γινόμενο του Petersson Τελεστές Hecke Η θεωρία Atkin-Lehner Εφαρμογές των modular μορφών αʹ Το πρόβλημα των τεσσάρων τετραγώνων βʹ Το πρόβλημα των διαμερίσεων Γενικεύσεις αʹ Siegel modular forms βʹ Hilbert modular forms γʹ Θήτα συναρτήσεις δʹ Automorphic forms Η modular καμπύλη X 0 (N) αʹ Άλλες modular καμπύλες Moduli interpretation αʹ Απόδειξη θεωρήματος Modular καμπύλες ως πηλίκα του υπερβολικού χώρου Hecke Correspondences αʹ Οι Hecke correspondence στην X 0 (N) βʹ Moduli interpretation των Hecke correspondences γʹ Οι Hecke correspondences στο υπερβολικό επίπεδο Hecke correspondences και ο αυτομορφισμός του Frobenious L-συναρτήσεις και modularity L-συναρτήσεις L-σειρές ελλειπτικών καμπυλών L-σειρές modular μορφών Το Modularity Θεώρημα Βιβλιογραφία 211

8

9 Εισαγωγή There are five elementary operations in mathematics: addition, subtraction, multiplication, division and modular forms. Martin Eichler Σκοπός της μεταπτυχιακής αυτής εργασίας είναι η μελέτη των Modular forms και των Ελλειπτικών καμπυλών. Τόσο οι modular forms όσο και οι Ελλειπτικές καμπύλες αποτελούν κεντρικούς τομείς της μοντέρνας θεωρίας αριθμών. Για πολύ καιρό μελετόντουσαν σχετικά ανεξάρτητα, προτού, πριν από 60 περίπου χρόνια, διατυπωθεί η εικασία Taniyama-Shimura-Weil (ή εικασία Taniyama-Shimura). Η ενοποιητική αυτή αρχή αποτέλεσε από τότε κεντρικό πρόβλημα της θεωρίας αριθμών μέχρι την πλήρη απόδειξη της το Η εργασία αυτή ξεκινάει με την μελετη των modular forms και των Ελλειπτικών καμπυλών ως ξεχωριστά μαθηματικά αντικείμενα, και τελειώνει με την περιγραφή του modularity θεωρήματος (εικασία Taniyama-Shimura-Weil). Η δομή της εργασίας είναι η εξής: στα 4 πρώτα κεφάλαια αναπτύσσεται κάπως ξεχώριστα η θεωρία των επιμέρους θεμάτων, ενώ στο τελευταίο κεφάλαιο μελετάται η συνάφεια των δύο αντικειμένων. Πιο συγκεκριμμένα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στο κομμάτι της αλγεβρικής γεωμετρίας που θα μας χρειαστεί για την μελέτη των ελλειπτικών καμπυλών. Αναλυτικότερα, μελετάμε τα βασικά στοιχεία της θεωρίας των προβολικών και affine varieties, των αλγεβρικών καμπύλων και των μορφισμών. Επίσης, διατυπώνονται το θεώρημα Riemann-Roch και ο τύπος του Hurwitz για καμπύλες. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάται η αριθμητική και η γεωμετρία των ελλειπτικών καμπυλών. Κύριος σκοπός μας σε αυτό το κεφάλαιο είναι η μελέτη και περιγραφή της ομάδας E(K), οπου K = F q, C, R, Q ή ένα τυχαίο σώμα αριθμών (σε όλη την εργασία, με τον όρο «σώμα αριθμών» θα εννοούμε πάντα μια πεπερασμένη επέκταση του Q, ή αλλιώς, αυτό που συχνά στην βιβλιογραφία καλείται αλγεβρικό σώμα αριθμών). Τα πρώτα σημαντικά αποτελέσματα αφορούν την δομή της E(F q ), και είναι η Αρχή του Hasse και η γενίκευση της από τον Weil (εικασίες του Weil για ελλειπτικές καμπύλες). Οσον αφορά το C, η μελέτη μας είναι κλασσική, και δόθηκε από τον Weierstrass τον 19ο αιώνα. Στο R, η περιγραφή που δίνουμε είναι σύντομη, γεωμετρική και όχι αυστηρή. Για K ένα σώμα αριθμών, το κύριο αποτέλεσμα είναι το θεώρημα Mordell-Weil. Βέβαια, προτού μπορέσουμε να αποδείξουμε τα αποτελέσματα αυτά, θα χρειαστεί να αναπτύξουμε σε κάποιον βαθμό τα εργαλεία της μελέτης των ελλειπτικών καμπυλών: μορφισμούς και ισογένειες, το πρότυπο

10 x Περιεχομενα του Tate, την αντιστοιχία του Weil και την αναγωγή των ελλειπτικών καμπυλών. Δίνουμε επίσης μια σύντομη περιγραφή της σύνδεσης της θεωρίας των ελλειπτικών καμπυλών με την θεωρία κλάσεως σωμάτων. Στο τρίτο κεφάλαιο, εισερχόμαστε στο «αναλυτικό» κομμάτι της θεωρίας. Περιγράφουμε συνοπτικά την θεωρία των τοπολογικών ομάδων, των επιφανειών Riemann (μεταξύ των οποίων το θεώρημα Riemann-Roch και ο τύπος του Hurwitz για επιφάνειες Riemann), των ομάδων Fuchsian και των modular καμπυλών (ελλειπτικοί, παραβολικοί και υπερβολικοί μετασχηματισμοί, ελλειπτικά σημεία και cusps). Στο τέταρτο κεφάλαιο, μελετάμε τις συναρτήσεις και τα διαφορικά που ορίζονται σε μια modular καμπύλη. Αυτές είναι οι modular συναρτήσεις και οι modular forms (μορφές). Οι modular forms, στων οποίων την μελέτη κατά βάση εμβαθύνουμε, έχουν παίξει ήδη από τον δέκατο ένατο αιώνα σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της θεωρίας αριθμών. Εισήχθησαν πρώτη φορά από τον Gauss, και μελετήθηκαν εκτενώς από τους Gauss, Abel, Jacobi, Eisenstein, Weierstrass, Kronecker και Poincare.Η θεωρία των modular forms άλλαξε σημαντικά στις αρχές του εικοστού αιώνα, ύστερα από την δουλειά των Ramanujan, Hardy, Mordell, Hecke και Petersson, για να αναφέρουμε μόνο κάποιους από τους σημαντικότερους. Αρχικά, μελετάμε την κλασσική θεωρία των modular συναρτήσεων και των modular μορφών, που σε πρώτο επίπεδο αποτελείται κυρίως από την μελέτη των χώρων M k (Γ) και S k (Γ) και τους τελεστές Hecke, οι οποίοι αποτελούν οικογένεια τελεστών που ορίζονται από έναν χώρο μορφών στον εαυτό του και μας δίνουν πληροφορίες για την μορφή των στοιχείων του χώρου. Δύο βασικά προβλήματα υπάρχουν σε αυτό το σημείο: το πρόβλημα της εύρεσης μιας βάσης για έναν δοσμένο συγκεκριμμένο χώρο μορφών, καθώς και το πρόβλημα της εύρεσης ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων για τους τελεστές Hecke. Οι απαντήσεις σε αυτά τα δύο προβλήματα συνδέονται, και οδηγούν ταυτόχρονα στην απόδειξη κάποιων αριθμοθεωρητικών εικασιών του Ramanujan. Επίσης, περιγράφουμε εν συντομία βασικά στοιχεία της θεωρίας Atkin-Lehner (oldforms, newforms και το Κύριο Λήμμα της θεωρίας Atkin-Lehner). Στην συνέχεια, σκιαγραφούμε σε α- δρές γραμμές κάποιες εφαρμογές και κάποιες γενικεύσεις των modular μορφών. Το επόμενο βήμα είναι είναι η μελέτη της moduli interpretation των modular καμπυλών, όπου συμπεραίνουμε πως αυτές αποτελούν με φυσιολογικό τρόπο moduli spaces για κατάλληλες κλάσεις ισοδυναμίας μεταξύ ελλειπτικών καμπυλών. Μελετάμε την moduli interpretation των Hecke correspondences, και την σχέση τους με τον αυτομορφισμό του Frobenius (σχέσεις Eichler-Shimura), καθώς επίσης και το θεώρημα του Igusa. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται μια σύντομη επεξήγηση του Modularity Θεωρήματος, μέσω διάφορων μορφών του. Γνωστό ως εικασία Taniyama- Shimura-Weil, αποτέλεσε ανοικτό πρόβλημα κεντρικής σημασίας για την θεωρία αριθμών για πολλά χρόνια. Για να το εξηγήσουμε, εισαγάγουμε αρχικά την έννοια της L-σειράς μιας ελλειπτικής καμπύλης και μιας modular μορφής, αποδεικνύουμε κάποια βασικά αποτελέσματα για αυτές (αναλυτικές επεκτάσεις, γινόμενα Euler, συναρτησιακές εξισώσεις, αντίστροφα θεωρήματα) και στην τελευταία παράγραφο δίνουμε μερικές ισοδύναμες διατυπώσεις του. Θα ήθελα να ευχαριστήσω βαθύτατα τον καθηγητή μου Αριστείδη Κοντογεώργη για την βοήθεια του στην διεκπόνηση της εργασίας αυτής, για την βοήθεια του κατά τα τελευταία δύο χρόνια καθώς και για τα πολύ όμορφα μαθήματικά που με βοήθησε να γνωρίσω και να μάθω. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τα άλλα δύο

11 Περιεχομενα xi μέλη της επιτροπής, τον κ.εμμανουήλ και τον κ.μελά, για την συμμετοχή τους σε αυτήν, όπως επίσης και κάθε άλλον δάσκαλο ή καθηγητή μου που με δίδαξε κάτι χρήσιμο ή, ακόμα σπουδαιότερο, κάτι όμορφο. Ιδιαιτέρως, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή μου κ.γιαννόπουλο, που κατά τα χρόνια των σπουδών μου η βοήθεια που μου προσέφερε ήταν μεγάλη. Ευχαριστώ τους φίλους και συμφοιτητές μου, που κατά τα τελευταία έξι χρόνια μοιραζόμαστε κάθε μέρα μαζί, τόσο στην σχολή όσο και εκτός αυτής, την τόσο συναρπαστική «μαθηματική εμπειρία». Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου, που τόσα χρόνια στηρίζει το όνειρο μου να ασχολούμαι με κάτι που της είναι ανοίκειο και που πάντα με βοηθά να εκπληρώνω τους στόχους μου. Σε αυτήν, και ιδιαιτέρως στους αγαπημένους μου γονείς, αφιερώνω αυτήν την εργασία.

12

13 Κεφάλαιο 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Γεωμετρίας Αρχικά, δίνουμε κάποια εισαγωγικά στοιχεία από την αλγεβρική γεωμετρία που θα χρειαστούν για την μελέτη μας πάνω στις ελλειπτικές καμπύλες. Ακολουθούμε κυρίως την παρουσίαση στον [Silverman, [30], κεφ.1,2]. Η παρουσίαση μας είναι σύντομη, και, με λίγες εξαιρέσεις, χωρίς αποδείξεις. Για τις αποδείξεις που λείπουν παραπέμπουμε στους [Silverman, [30], κεφ.1,2], [Hartshorne, [10], κεφ.1,2] και [Ueno, [34], κεφ.1]. 1.1 Varieties Εστω K ένα τέλειο σώμα, δηλαδή ένα σώμα που κάθε αλγεβρική επέκταση του είναι διαχωρίσιμη. Γενικά, οι περισσότερες από τις έννοιες που θα αναπτύξουμε δουλεύουν ικανοποιητικά μόνο για τέλεια σώματα. Ειδικότερα, τα σώματα χαρακτηριστικής 0 και τα πεπερασμένα σώματα είναι τέλεια, και είναι αυτές οι περιπτώσεις που θα μας απασχολήσουν περισσότερο και στην μελέτη των ελλειπτικών καμπυλών. Ορισμός Ο n-διάστατος αφφινικός χώρος υπεράνω του K είναι ο χώρος A n ( K) = {P = (x 1, x 2,..., x n ), x i K}. Αν όλα τα x i K, το P λέγεται K-ρητό σημείο. Πιο πολύ μας ενδιαφέρουν συγκεκριμμένα υποσύνολα του αφφινικού χώρου: Ορισμός Αν I είναι ένα ιδεώδες του K[x 1,..., x n ], ορίζουμε το V (I) = {P : f(p ) = 0 f I}. Ενα σύνολο της μορφής V (I) λέγεται αλγεβρικό. Ορισμός Εστω V ένα αλγεβρικό σύνολο. Το ιδεώδες του K[x 1,..., x n ] που αντιστοιχεί στο V είναι το I(V ) = {f K[x 1, x 2,..., x n ] : f(p ) = 0 P V }. Αν το I(V ) παράγεται από πολυώνυμα στο K[x 1, x 2,..., x n ], τότε λέμε ότι το V ορίζεται υπεράνω του (ή πάνω από το) K, και γράφουμε V/K. Σ αυτήν την περίπτωση, το σύνολο των K-ρητών σημείων του V είναι το: V (K) = V A n (K).

14 2 Στοιχεια Αλγεβρικης Γεωμετριας Το επόμενο θεώρημα, που είναι ένα από τα πιο θεμελιώδη της αλγεβρικής γεωμετρίας, μας εγγυάται πως τα ιδεώδη που μόλις ορίσαμε στα K[x 1, x 2,..., x n ] και K[x 1, x 2,..., x n ] είναι πεπερασμένα παραγόμενα. Θεώρημα (Βάσης του Hilbert). Εστω K ένα σώμα. Τότε, κάθε ιδεώδες του K[x 1, x 2,..., x n ] είναι πεπερασμένα παραγόμενο. Αν σκεφτούμε ότι πολλές φορές οι συναρτήσεις που μελετάμε ορίζονται με συντελεστές από το αρχικό σώμα K, ο παρακάτω ορισμός θα μας είναι συχνά χρήσιμος: Ορισμός Αν V είναι ένα αλγεβρικό σύνολο, ορίζουμε το Παρατηρήσεις: I(V/K) = {f K[x 1, x 2,..., x n ] : f(p ) = 0 P V } (i) Αν το V/K, τότε I(V ) = I(V/K) K[x 1, x 2,..., x n ] (ii) Εστω V/K, και έστω ότι I(V/K) = f 1, f 2,..., f m. Τότε το V (K) αποτελείται ακριβώς από τις κοινές ρίζες των f i, i = 1, 2,..., m. Ορισμός Αν το I(V ) είναι πρώτο ιδεώδες του K[x 1, x 2,..., x n ], το V λέγεται αφφινική variety. Ακόμα, αν η V είναι μια variety που ορίζεται υπεράνω του K, ορίζουμε τον δακτύλιο συντεταγμένων της V/K ως εξής: K[V ] = K[X]/I(V/K) Αφού το I(V/K) είναι πρώτο, ο K[V ] είναι ακέραια περιοχή. Το σώμα πηλίκο του K[V ] συμβολίζεται με K(V ) και καλείται σώμα συναρτήσεων της V/K. Ομοια ορίζονται τα ανωτέρω και για το σώμα K. Το ανάλογο της διαίσθησης που έχουμε για την έννοια της διάστασης σε έναν διανυσματικό χώρο είναι λογικό να υπάρχει και εδώ. Ο επόμενος ορισμός από την θεωρία σωμάτων θα μας βοηθήσει να ορίσουμε ακριβώς μια έννοια διάστασης. Ορισμός Εστω F/K μια επέκταση σωμάτων. Βαθμός υπερβατικότητας της επέκτασης ονομάζεται το μέγιστο πλήθος αλγεβρικά ανεξάρτητων στοιχείων του F πάνω από το K. Ισοδύναμα, μπορεί να δείξει κανείς ότι ο βαθμός της επέκτασης F/K είναι r αν και μόνο αν υπάρχουν a 1, a 2,..., a r στοιχεία στο F υπερβατικά υπεράνω του K ώστε η επέκταση F/K(a 1, a 2,..., a r ) να είναι πεπερασμένη. Ορισμός Εστω V μια variety. Διάσταση της V ονομάζεται ο βαθμός υπερβατικότητας του K(V ) υπεράνω του K. Η διάσταση της V συμβολίζεται με dim V. Για παράδειγμα, έχουμε dim A n = n. Επίσης, dim V = n 1 αν και μόνο εάν V = f με f(x 1, x 2,..., x n ) μη σταθερό πολυώνυμο. Θέλουμε τώρα να ορίσουμε μια έννοια «ομαλότητας» της καμπύλης. Η έννοια αυτή παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στην μελέτη των ελλειπτικών καμπυλών. Ορισμός Εστω V μια variety. Εστω P ένα σημείο της V και f 1, f 2,..., f m K[x 1, x 2,..., x n ] με I(V ) = f 1, f 2,..., f m. Η V λέγεται nonsingular στο P αν και μόνο αν ο πίνακας ( ) fi (P ) x j i=1,...,m,j=1,...,n έχει τάξη n dim V. Αν η V είναι nonsingular παντού, τότε λέγεται nonsingular ή λεία.

15 1.1 Varieties 3 Εστω M P = {f K[V ] : f(p ) = 0}. Η απεικόνιση φ : K[V ]/M P K : f f(p ) είναι ισομορφισμός. Το πηλίκο M P /MP 2 είναι διανυσματικός χώρος υπεράνω του K πεπερασμένης διάστασης. Η παρακάτω πρόταση δίνει έναν χρήσιμο γεωμετρικό χαρακτηρισμό των nonsingular σημείων. Πρόταση Ενα σημείο P μιας variety V είναι nonsingular αν και μόνο αν dim K M P /M 2 P = dim V Ορισμός Ο τοπικός δακτύλιος της V στο P είναι ο K[V ] P = {F K(V ) : F = f/g : f, g K[V ], g(p ) 0} και τα στοιχεία του ονομάζονται regular συναρτήσεις στο P. Ορίζουμε τώρα αντιστοίχως τις παραπάνω έννοιες και για την προβολική περίπτωση. Ορισμός Ο n-διάστατος προβολικός χώρος υπεράνω του K είναι ο χώρος P n ( K) = {(x 0, x 1,..., x n ), x i K}, με τουλάχιστον ένα x i μη μηδενικό, modulo την ισοδυναμία (x 0, x 1,..., x n ) (y 0, y 1,..., y n ) (x 0, x 1,..., x n ) = λ(y 0, y 1,..., y n ) για κάποιο λ K. Η κλάση ισοδυναμίας του (x 0, x 1,..., x n ) είναι το σημείο P = [x 0, x 1,..., x n ]. Αν x i K, το P λέγεται K-ρητό σημείο. Το σύνολο των K-ρητών σημείων στον P n ( K) συμβολίζεται με P n (K). Παρατηρείστε ότι για K = Q το P = (x 0, x 1 ) = ( 2, 2 2) P 1 (Q) αν και 2 / Q. Η παρατήρηση αυτή οδηγεί φυσιολογικά στον εξής ορισμό. Ορισμός Το ελάχιστο σώμα ορισμού του σημείου P P n ( K), όπου P = [x 0, x 1,...x n ], υπεράνω του K είναι το K(P ) = K(x 0 /x i, x 1 /x i,..., x n /x i ), για οποιοδήποτε i με x i 0, i = 1,..., n. Για να έχει νόημα να ρωτήσει κανείς για τις ρίζες ενός πολυωνύμου f στον προβολικό n-διάστατο χώρο, θα πρέπει αν το f μηδενίζεται σε ένα σημείο (x 0, x 1,..., x n ), να μηδενίζεται και σε ολόκληρη την κλάση ισοδυναμίας του. Ο επόμενος ορισμός πρόκυπτει φυσιολογικά: Ορισμός (Ορισμός (Προβολικής Variety). (i) Ενα πολυώνυμο f K[x 0, x 2,..., x n ] λέγεται ομογενές βαθμού d αν για κάθε λ K ισχύει f(λx 0, λx 1,..., λx n ) = λ d f(x 0, x 2,..., x n ). (ii) Ενα ιδεώδες I του K[x 0, x 2,..., x n ] λέγεται ομογενές αν παράγεται από ομογενή πολυώνυμα.

16 4 Στοιχεια Αλγεβρικης Γεωμετριας (iii) Αν το I είναι ένα ομογενές ιδεώδες, ορίζουμε το προβολικό αλγεβρικό σύνολο του I να είναι το V (I) = {P P n : f(p ) = 0 f I}. Ενα υποσύνολο του P n ( K) ονομάζεται προβολικό αλγεβρικό αν είναι της μορφής V (I) για κάποιο ομογενές ιδεώδες I. (iv) Αν το V είναι προβολικό αλγεβρικό, το ομογενές ιδεώδες που αντιιστοιχεί στο V είναι το I(V ) που παράγεται από όλα τα ομογενή πολυώνυμα του K[x 0, x 2,..., x n ] που μηδενίζονται σε κάθε σημείο του V. (v) Αν τα ομογενή πολυώνυμα που παράγουν το ιδεώδες του V ανήκουν στο K[x 0, x 2,..., x n ], τότε, αντιστοίχως με πριν, λέμε ότι το V ορίζεται υπεράνω του K και γράφουμε V/K. Ομοια με προηγουμένως, ορίζουμε τα K-ρητά σημεία της V να είναι τα σημεία που ανήκουν στο V (K) = V P n (K) (vi) Αν το I(V ) είναι πρώτο ιδεώδες του K[x 0, x 1,..., x n ], το V λέγεται προβολική variety. Εστω ένα ομογενές πολυώνυμο f(x 0, x 1,..., x n ). Υπάρχει x i 0. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι x i = 1. Η αντικατάσταση του f(x 0, x 1,..., 1,..., x n ) με το f(x 0, x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n ) = f(y 1, y 2,..., y n ) ονομάζεται απομογενοποίηση ως προς την μεταβλητή x i. Η αντίθετη διαδικασία ονομάζεται ομογενοποίηση. Θα μελετήσουμε ελλειπτικές καμπύλες τόσο σε ομογενείς συντεταγμένες όσο και σε αφφινικές. Αν f K[x 1,..., x n ], θεωρούμε τα πολυώνυμα f i που είναι τα ομογενή πολυώνυμα στον n-διάστατο προβολικό χώρο με ομογενοποιήσεις το f. Τώρα, αν V είναι ένα αφφινικό αλγεβρικό σύνολο, ορίζουμε την προβολική θήκη του V του V να είναι το προβολικό αλγεβρικό σύνολο που το ιδεώδες του I( V ) παράγεται από τα {f i : f I(V )}. Πρόταση Αν η V είναι αφφινική variety, τότε η V είναι προβολική variety, και ισχύει V = V A n ( K). Αν V είναι μια προβολική variety, τότε το αφφινκό της ίχνος V A n ( K) είναι αφφινική variety. Επίσης, αν το προβολικό ή το αφφινικό κομμάτι μιας variety ορίζεται πάνω από το K, το ίδιο συμβαίνει και με το άλλο κομμάτι. Τα σημεία της V V ονομάζονται επ άπειρον σημεία της variety. Η διάσταση μιας προβολικής variety ορίζεται να είναι η διάσταση ενός αφφινικού κομματιού της. Ορισμός Εστω V μια προβολική variety, και P V. Διαλέγουμε ένα A n με P A n. Η V είναι λεία στο P αν και μόνο αν η V A n είναι λεία στο P. Ομοίως, ο τοπικός δακτύλιος K[V ] P της V στο P ορίζεται να είναι ο τοπικός δακτύλιος K[V A n ] P της V A n στο P. Ιδιαιτέρως χρήσιμες για την μελέτη μας θα αποδειχθούν οι απεικονίσεις από ελλειπτικές καμπύλες σε ελλειπτικές καμπύλες. Για αυτόν τον σκοπό, είναι αρχικά σημαντικό να μελετήσουμε απεικονίσεις από varieties σε varieties. Ορισμός Εστω V 1, V 2 δύο προβολικές varieties του n-διάστατου προβολικού χώρου. Μια απεικόνιση: φ : V 1 V 2

17 1.2 Καμπυλες 5 λέγεται ρήτη αν φ = [g 0, g 1,..., g n ], όπου κάθε g i K(V 1 ) και για κάθε P που ορίζονται τα g i ισχύει ότι φ(p ) = [g 0 (P ), g 1 (P ),..., g n (P )] V 2. Αν υπάρχει ένα λ K τέτοιο ώστε τα λf i να αήκουν στο K(V 1 ), τότε η φ λέμε ότι ορίζεται πάνω από το K. Επίσης, γία μια ρητή συνάρτηση φ δεν είναι απαραίτητο να ορίζεται το φ(p ) για κάθε σημείο P της V 1. Μπορούμε όμως να απαιτήσουμε κάτι ελαφρώς γενικότερο: Ορισμός Εστω φ = [g 0, g 1,..., g n ] : V 1 V 2 μια ρητή συνάρτηση. Η φ είναι regular στο P V 1 αν υπάρχει συνάρτηση f στο K(V 1 ) ώστε η fg i να είναι regular στο P για κάθε i = 0, 1,..., n, και για κάποιο i να ισχύει fg i (P ) 0. Στην περίπτωση που η φ είναι regular στο P, ορίζουμε φ(p ) = [fg 0 (P ), fg 1 (P ),..., fg n (P )] Αν μια ρητή συνάρτηση είναι παντού regular,τότε ονομάζεται μορφισμός. Οι μορφισμοί εδώ ονομάζονται έτσι επειδή είναι μορφισμοί με την έννοια της θεωρίας κατηγοριών: Ορισμός Εστω V 1, V 2 δύο προβολικές varieties. Αν υπάρχουν μορφισμοί φ 1 : V 1 V 2, φ 2 : V 2 V 1 τέτοιοι ώστε φ 1 φ 2 = id V1 και φ 2 φ 1 = id V2 τότε οι φ 1 και φ 2 λέγονται ισομορφισμοί και οι varieties ισόμορφες. Αν οι φ 1, φ 2 ορίζονται υπεράνω του K, τότε οι V 1 /K, V 2 /K λέγονται ισόμορφες. Το επόμενο παράδειγμα μορφισμού είναι πολύ χρήσιμο για την μελέτη μας, και θα το συναντήσουμε πολλές φορές παρακάτω όταν θα μελετάμε πεπερασμένα σώματα: Παράδειγμα Εστω F q το πεπερασμένο σώμα με q = p n στοιξεία, και V P n ( F q ) μια variety που ορίζεται πάνω από το F q. Ορίζουμε την απεικόνιση φ([x 0, x 1,..., x n ] = [x q 0, xq 1,..., xq n]. Η φ : V V είναι μορφισμός, που είναι 1 1 και επί, αλλά όχι ισομορφισμός. Τα σταθερά σημεία της φ είναι τα στοιχεία της V (F q ). Η φ ονομάζεται μορφισμός του Frobenius. 1.2 Καμπύλες Ορισμός Αν μια προβολική variety έχει διάσταση 1, τότε λέγεται καμπύλη. Μια καμπύλη συμβολίζεται συνήθως με C. Πρόταση Αν C είναι μια καμπύλη, και P C λείο σημείο, ο K[C] P είναι δακτύλιος διακριτής εκτίμησης (δηλαδή έχει μόνο ένα μέγιστο ιδεώδες). Ορισμός (τάξη ρίζας και πόλου). Αν C είναι μια καμπύλη, και P C ένα nonsingular σημείο, η κανονικοποιημένη εκτίμηση στον K[C] P είναι η: ord P : K[C] P N { } με ord P (f) = sup{k : f M k P }. Αν f/g K(C) ορίζουμε ord P (f/g) = ord P (f) ord P (g), επεκτείνοντας έτσι την ord P σε ord P : K(C) Z { }. Ενας γεννήτορας του M P, (δηλαδή ένα στοιχείο της K(C) με ord P ίση με 1) καλείται uniformizer της C στο P. Αν ord P (f) > 0 η f έχει ρίζα στο P, ενώ αν ord P (f) < 0 η f έχει πόλο στο P. Στην δεύτερη περίπτωση γράφουμε f(p ) =. Μπορεί να δείξει κανείς ότι αν η f δεν είναι ταυτοτικά η μηδενική, τότε έχει ρίζες και πόλους σε πεπερασμένα σημεία. Αν ord P (f) 0, τότε λέμε ότι η f ορίζεται (ή είναι regular) στο P.

18 6 Στοιχεια Αλγεβρικης Γεωμετριας Πρόταση Αν η καμπύλη C ορίζεται υπεράνω του K, P ένα nonsingular σημείο της C(K) και t ένας uniformizer της C στο P, τότε η επέκταση σωμάτων K(C)/K(t) είναι πεπερασμένη και διαχωρίσιμη. Εξετάζουμε τώρα τις ρητές απεικονίσεις σε σχέση με τις καμπύλες. Οι επόμενες δύο προτάσεις είναι κεντρικής σημασίας για την περαιτέρω μελέτη των καμπυλών. Πρόταση Εστω C καμπύλη, P ένα nonsingular σημείο της, V P n μια variety και φ : C V μια ρητή συνάρτηση. Τότε η φ είναι regular στο P. Αν η C είναι λεία, η φ είναι μορφισμός. Απόδειξη. Εστω φ = [f 0, f 1,..., f n ] και t ένας uniformizer της C στο P. Τότε βέβαια f i, t K[C]. Εστω m η ελάχιστη των τάξεων ord P (f i ) των f i. Πολλαπλασιάζουμε τα πάντα με t m και έχουμε ord P (f i /t m ) 0 και ord P (f j /t m ) = 0 για κάποιο f j. Δηλαδή οι t m f i είναι regular και t m f j (P ) 0. Άρα η φ είναι regular. Πρόταση Εστω φ : C 1 C 2 μορφισμός καμπυλών. Τότε η φ είναι σταθερός μορφισμός ή είναι επί. Τώρα, ας θεωρήσουμε δύο καμπύλες C 1 /K και C 2 /K και φ : C 1 /K C 2 /K μια μη σταθερή ρητή απεικόνιση, η οποία ορίζεται υπεράνω του K. Ορισμός Η δυική απεικόνιση της φ είναι η: με φ (f) = f φ. φ : K(C 2 ) K(C 1 ) Πρόταση Εστω C 1 /K, C 2 /K όπως πριν. Τότε, αν φ : C 1 /K C 2 /K μη σταθερή ρητή απεικόνιση υπεράνω του K, η επέκταση είναι πεπερασμένη. Επίσης: K(C 1 )/φ (K(C 2 )) (i) Αν θεωρήσουμε ι : K(C 2 ) K(C 1 ) 1-1 που κρατάει σταθερό το K, τότε υπάρχει μοναδική μη σταθερή ρητή απεικόνιση φ 1 που ορίζεται υπεράνω του K ώστε η δυική φ 1 της φ 1 να είναι η ι. (ii) Αν K K K(C 1 ) με [K(C 1 ) : K] <, τότε υπάρχει μοναδική nonsingular καμπύλη C/K και μη σταθερή ρητή υπεράνω του K απεικόνιση φ 2 : C 1 C με φ 2(K(C)) = K. Ορισμός (Βαθμός απεικόνισης). Εστω C 1 /K, C 2 /K δύο καμπύλες που ορίζονται υπεράνω του σώματος K και φ : C 1 C 2 μια απεικόνιση. Ορίζουμε τον βαθμό deg της φ ως εξής: (i) Αν η φ είναι η σταθερή απεικόνιση, τότε deg φ = 0 (ii) Αν η φ είναι μη σταθερή απεικόνιση, ορίζουμε deg φ = [K(C 1 ) : φ (K(C 2 )]. Από την προηγούμενη πρόταση, ο βαθμός απεικόνισης που ορίσαμε είναι καλά ορισμένος.

19 1.2 Καμπυλες 7 Ορισμός Εστω F/K μια αλγεβρική επέκταση σωμάτων. Η επέκταση λέγεται: (i) διαχωρίσιμη αν και μόνο αν για κάθε a F, το ελάχιστο πολυώνυμο του a πάνω από το K αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων πολυωνύμων στο F. (ii) μη διαχωρίσιμη, αν δεν είναι διαχωρίσιμη. (iii) πλήρως μη διαχωρίσιμη, αν και μόνο αν για κάθε a F K, το ελάχιστο πολυώνυμο του a πάνω από το K δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων πολυωνύμων στο F. Ορισμός Εστω μια φ όπως στο ορισμό Τότε, η φ λέγεται διαχωρίσιμη, μη διαχωρίσιμη ή πλήρως μη διαχωρίσιμη αν η επέκταση K(C 1 )/φ (K(C 2 ) έχει την αντίστοιχη ιδιότητα. Πρόταση Εστω C 1 /K, C 2 /K δύο nonsingular καμπύλες, και φ : C 1 C 2 με degφ = 1. Τότε η φ είναι ισομορφισμός. Απόδειξη. Αφού deg φ = 1 έχουμε ότι [K(C 1 )/φ (K(C 2 ))] = 1 K(C 1 ) = φ (K(C 2 )). Επεται ότι η φ είναι ισομορφισμός των K(C 1 ) και (K(C 2 )). Απ το (i) της πρότασης 1.2.8, υπάρχει ψ : C 2 C 1 με ψ = (φ ) 1. Αφού η C 2 είναι nonsingular, η ψ είναι μορφισμός. Η ψ φ = (φ ψ) είναι η ταυτοτική στο K(C 2 ) (και η (ψ φ) στο K(C 1 )). Πάλι από την μοναδικότητα του (i) της πρότασης 1.2.8, έπεται ότι οι φ ψ και ψ φ είναι οι αντίστοιχες ταυτοτικές απεικονίσεις. Ορισμός Εστω φ : C 1 C 2 μια μη σταθερή απεικόνιση, όπου C 1, C 2 nonsingular. Εστω ακόμα ένα σημείο P της C 1 και t φ(p ) ο uniformizer της C 2 στο σημείο φ(p ). Ο δείκτης διακλάδωσης (ramification index) της φ στο P ορίζεται να είναι ο αριθμός ord P (φ (t φ(p ) )), και συμβολίζεται με e φ (P ). Αν ο δείκτης διακλάδωσης της φ στο P είναι 1, η φ λέγεται αδιακλάδιστη στο P. Η φ λέγεται αδιακλάδιστη αν είναι αδιακλάδιστη παντού στην C 1. Η σημασία της επόμενης πρότασης είναι μεγάλη, καταρχάς επειδή μας δίνει έναν τρόπο να μετρήσουμε το βαθμό μιας απεικόνισης μεταξύ καμπυλών. Πρόταση Εστω φ : C 1 C 2 μια μη σταθερή απεικόνιση και C 1, C 2 nonsingular. Τότε: (i) Για κάθε σημείο Q της C 2 έχουμε ότι το άθροισμα των βαθμών διακλάδωσης των σημείων P φ 1 (Q) ισούται με τον βαθμό deg(φ) της φ. (ii) Για σχεδόν όλα τα Q της C 2 (εκτός από πεπερασμένα) ισχύει ότι: φ 1 (Q) = deg s (φ) όπου με deg s (φ) συμβολίζουμε τον βαθμό διαχωρισιμότητας της επέκτασης K(C 1 )/φ (K(C 2 ).

20 8 Στοιχεια Αλγεβρικης Γεωμετριας (iii) Εστω ψ : C 2 C 3 όπως η φ : C 1 C 2. Τότε ο δείκτης διακλάδωσης της σύνθεσης αναλύεται στους δείκτες διακλάδωσης των συναρτήσεων, δηλαδή: για κάθε σημείο P της C 1. e ψ φ (P ) = e φ (P )e ψ (P ) Πόρισμα Η φ : C 1 C 2 είναι αδιακλάδιστη για κάθε σημείο Q της C 2 έχουμε ισότητα στον πρώτο ισχυρισμό πρότασης , δηλαδή φ 1 (Q) = deg(φ). Απόδειξη. Άμεση από την πρόταση , καθώς και το γεγονός ότι e φ (P ) 1. Πριν προχωρήσουμε παρακάτω στην θεωρία, ας επιστρέψουμε λίγο στο βασικό παράδειγμα μορφισμού που έχουμε δώσει, τον μορφισμό του Frobenius. Οπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, ο μορφισμός του Frobenius είναι βασικός για την μελέτη των ελλειπτικών καμπυλών που ορίζονται πάνω από πεπερασμένα σώματα. Εστω λοιπόν πως δουλεύουμε πάνω από ένα σώμα K χαρακτηριστικής p > 0 (όχι απαραίτητα πεπερασμένο προς το παρόν) και θεωρούμε ένα πολυώνυμο f K[x 1, x 2,..., x n ]. Θεωρούμε τον μορφισμό του Frobenius να δρα πάνω στο f μέσω των συντελεστών του, υψώνοντας δηλαδή κάθε συντελεστή του πολυωνύμου εις την q, όπου q = p r. Συμβολίζουμε με f (q) την εικόνα του f. Ορίζουμε τώρα το ιδεώδες I που παράγεται από τις εικόνες f (q) για όλα τα f I(C) και ορίζουμε την καμπύλη C (q) /K να είναι εκείνη που το ομογενές ιδεώδες της I(C (q) ) ισούται με το I. Παρατηρούμε ότι ορίζεται με φυσιολογικό τρόπο ένας μορφισμός του Frobenius, ο «ύψωση εις την q-οστή δύναμη» Frobenius: φ : C C (q) : φ([x 0, x 1,...x n ]) = [x q 0, xq 1,..., xq n] και είναι απλό να δει κανείς ότι ο μορφισμός αυτός ορίζεται καλά. Το επόμενο θεώρημα μελετάει κάποιες βασικές ιδιότητες του μορφισμού του Frobenius. Η πιο σημαντική από τις παρακάτω ιδιότητες του είναι η τρίτη, η οποία θα μας χρειαστεί άμεσα παρακάτω στην απόδειξη της αρχής του Hasse. Θεώρημα Εστω σώμα K με χαρ(k)= p > 0 και q μια δύναμη του p. Θεωρούμε ακόμη μια καμπύλη C που ορίζεται υπεράνω του K και τον μορφισμό του Frobenius φ : C C (q). Τότε ισχύουν: (i) φ (K(C (q) ) = K(C) q. (ii) ο φ είναι πλήρως μη διαχωρίσιμος. (iii) deg φ = q. 1.3 Divisors και Διαφορικά Ορισμός Θεωρούμε την ελεύθερη αβελιανή ομάδα που παράγεται από τα στοιχεία της καμπύλης C, δηλαδή την ομάδα που τα στοιχεία της είναι τυπικά αθροίσματα της μορφής n P (P ), P C, όπου n P Z και πεπερασμένοι απ αυτούς είναι μη μηδενικοί. Τα τυπικά αυτά αθροίσματα ονομάζονται divisorς, και συμβολίζονται συνήθως με D, η δε ομάδα τους ονομάζεται ομάδα των divisors, και συμβολίζεται με Div(C).

21 1.3 Divisors και Διαφορικα 9 Αν D = n P (P ) είναι ένας divisor, ορίζουμε τον βαθμό του να είναι η ποσότητα deg D = n P Παρατηρείστε ότι ο βαθμός ενός divisor ορίζεται καλά, αφού το άθροισμα είναι πεπερασμένο. Ενας divisor λέγεται μηδενικός αν deg D = 0. Το σύνολο των μηδενικών divisors είναι προφανώς υποομάδα της Div(C) και συμβολίζεται με Div 0 (C). Ορίζουμε επίσης με Div K (C) την υποομάδα των divisors που μένουν αναλλοίωτοι υπό την δράση της ομάδας Galois Gal( K/K) της επέκτασης K/K, και παρόμοια την Div 0 K(C). Θεωρούμε τώρα μια συνάρτηση f K(C), όπου η C είναι λεία. Ορισμός Ως divisor της f ορίζεται η ποσότητα: div(f) = P C ord P (f)(p ). Αφού η f έχει πεπερασμένες ρίζες και πόλους, το άθροισμα αυτό είναι πεπερασμένο, άρα ο div(f) ορίζεται καλά. Παρατηρούμε ότι αν η f K(C), τότε div(f) Div K (C). Ορισμός Ενας divisor D με D = div(f) για κάποια f K(C) λέγεται πρωταρχικός. Αν D 1, D 2 είναι δύο divisors, τότε αυτοί λέγονται (γραμμικά) ισοδύναμοι αν και μόνο αν η διαφορά τους είναι πρωταρχικός. Σ αυτήν την περίπτωση, γράφουμε D 1 D 2. Παρατηρούμε ότι η σχέση αυτή είναι όντως ισοδυναμία. Ορισμός Η ομάδα Picard της C είναι η ομάδα πηλίκο της Div(C) προς την υποομάδα των πρωταρχικών divisors,και συμβολίζεται με Pic(C). Ομοια με πριν, ορίζουμε την Pic K (C) ως τα σημεία της Pic(C) που μένουν αναλλοίωτα υπό την δράση της Gal( K/K). Η Pic K (C) δεν ταυτίζεται με το πηλίκο της Div K (C) προς τους πρωταρχικούς divisors. Πρόταση Θεωρούμε μια λεία καμπύλη C και μια f K(C). έχουμε ότι: Τότε (i) div(f) = 0 αν και μόνο αν η f είναι σταθερή (ii) deg(div(f)) = 0. Ορισμός Από την προηγούμενη πρόταση έπεται ότι οι πρωταρχικοί divisors αποτελούν υποομάδα της Div 0 (C). Την ομάδα πηλίκο της Div 0 (C) προς τους πρωταρχικούς divisors την συμβολίζουμε με Pic 0 (C). Ομοια με πριν ορίζεται και η Pic 0 K(C). Πρόταση Εστω η μη σταθερή απεικόνιση φ : C 1 C 2, όπου οι C 1 και C 2 είναι λείες. Τότε, η δυική φ της φ έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα