Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 Δημητρης Χατζακος Modular forms και Ελλειπτικες καμπυλες Μεταπτυχιακη Εργασια Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 3 Σεπτεμβρίου 2012

2

3 Εισηγητης: Αριστείδης Κοντογεώργης Αντώνης Μελάς Γιάννης Εμμανουήλ Επιτροπη

4

5

6 Περιεχόμενα 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Γεωμετρίας Varieties Καμπύλες Divisors και Διαφορικά Το Θεώρημα Riemann-Roch και το Θεώρημα του Hurwitz Ελλειπτικές Καμπύλες Μορφές Weierstrass Η ομάδα E(K) Singular Κυβικές Καμπύλες Υπαρξη μορφής Weierstrass Ισογενείς Ελλειπτικές Καμπύλες Σημεία στρέψης: Το πρότυπο του Tate και η αντιστοιχία του Weil Ο δακτύλιος των ενδομορφισμών και η ομάδα των αυτομορφισμών Καλή και κακή αναγωγή ελλειπτικών καμπυλών Η Ομάδα E(F q ) Οι Ομάδες E(C) και E(R) Μιγαδικός Πολλαπλασιασμός Οι ομάδες E(Q) και E(K): Το Θεώρημα Mordell-Weil Περαιτέρω θέματα αριθμητικής των ελλειπτικών καμπυλών αʹ Η δομή της torsion υποομάδας βʹ Η rank μιας ελλειπτικής καμπύλης γʹ Ακέραια σημεία δʹ Γενικεύσεις Ομάδες Fuchs και Επιφάνειες Riemann Τοπολογικές ομάδες Επιφάνειες Riemann Το άνω μιγαδικό επίπεδο H Ομάδες Fuchsian και η δράση τους στο H Modular Καμπύλες αʹ Η μιγαδική δομή στον Γ(1)\H βʹ Η μιγαδική δομή στον Γ(1)\H γʹ Η μιγαδική δομή στον Γ\H

7 Περιεχομενα vii 4 Modular Forms Βασικές έννοιες Οι χώροι M k (Γ) και S k (Γ) Παραδείγματα modular μορφών και αναπτύγματα Fourier αʹ Σειρες Eisenstein βʹ Η συνάρτηση (z) γʹ Η j-συνάρτηση j(z) δʹ Η συνάρτηση η(z) Σειρές Poincare και το εσωτερικό γινόμενο του Petersson Τελεστές Hecke Η θεωρία Atkin-Lehner Εφαρμογές των modular μορφών αʹ Το πρόβλημα των τεσσάρων τετραγώνων βʹ Το πρόβλημα των διαμερίσεων Γενικεύσεις αʹ Siegel modular forms βʹ Hilbert modular forms γʹ Θήτα συναρτήσεις δʹ Automorphic forms Η modular καμπύλη X 0 (N) αʹ Άλλες modular καμπύλες Moduli interpretation αʹ Απόδειξη θεωρήματος Modular καμπύλες ως πηλίκα του υπερβολικού χώρου Hecke Correspondences αʹ Οι Hecke correspondence στην X 0 (N) βʹ Moduli interpretation των Hecke correspondences γʹ Οι Hecke correspondences στο υπερβολικό επίπεδο Hecke correspondences και ο αυτομορφισμός του Frobenious L-συναρτήσεις και modularity L-συναρτήσεις L-σειρές ελλειπτικών καμπυλών L-σειρές modular μορφών Το Modularity Θεώρημα Βιβλιογραφία 211

8

9 Εισαγωγή There are five elementary operations in mathematics: addition, subtraction, multiplication, division and modular forms. Martin Eichler Σκοπός της μεταπτυχιακής αυτής εργασίας είναι η μελέτη των Modular forms και των Ελλειπτικών καμπυλών. Τόσο οι modular forms όσο και οι Ελλειπτικές καμπύλες αποτελούν κεντρικούς τομείς της μοντέρνας θεωρίας αριθμών. Για πολύ καιρό μελετόντουσαν σχετικά ανεξάρτητα, προτού, πριν από 60 περίπου χρόνια, διατυπωθεί η εικασία Taniyama-Shimura-Weil (ή εικασία Taniyama-Shimura). Η ενοποιητική αυτή αρχή αποτέλεσε από τότε κεντρικό πρόβλημα της θεωρίας αριθμών μέχρι την πλήρη απόδειξη της το Η εργασία αυτή ξεκινάει με την μελετη των modular forms και των Ελλειπτικών καμπυλών ως ξεχωριστά μαθηματικά αντικείμενα, και τελειώνει με την περιγραφή του modularity θεωρήματος (εικασία Taniyama-Shimura-Weil). Η δομή της εργασίας είναι η εξής: στα 4 πρώτα κεφάλαια αναπτύσσεται κάπως ξεχώριστα η θεωρία των επιμέρους θεμάτων, ενώ στο τελευταίο κεφάλαιο μελετάται η συνάφεια των δύο αντικειμένων. Πιο συγκεκριμμένα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στο κομμάτι της αλγεβρικής γεωμετρίας που θα μας χρειαστεί για την μελέτη των ελλειπτικών καμπυλών. Αναλυτικότερα, μελετάμε τα βασικά στοιχεία της θεωρίας των προβολικών και affine varieties, των αλγεβρικών καμπύλων και των μορφισμών. Επίσης, διατυπώνονται το θεώρημα Riemann-Roch και ο τύπος του Hurwitz για καμπύλες. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάται η αριθμητική και η γεωμετρία των ελλειπτικών καμπυλών. Κύριος σκοπός μας σε αυτό το κεφάλαιο είναι η μελέτη και περιγραφή της ομάδας E(K), οπου K = F q, C, R, Q ή ένα τυχαίο σώμα αριθμών (σε όλη την εργασία, με τον όρο «σώμα αριθμών» θα εννοούμε πάντα μια πεπερασμένη επέκταση του Q, ή αλλιώς, αυτό που συχνά στην βιβλιογραφία καλείται αλγεβρικό σώμα αριθμών). Τα πρώτα σημαντικά αποτελέσματα αφορούν την δομή της E(F q ), και είναι η Αρχή του Hasse και η γενίκευση της από τον Weil (εικασίες του Weil για ελλειπτικές καμπύλες). Οσον αφορά το C, η μελέτη μας είναι κλασσική, και δόθηκε από τον Weierstrass τον 19ο αιώνα. Στο R, η περιγραφή που δίνουμε είναι σύντομη, γεωμετρική και όχι αυστηρή. Για K ένα σώμα αριθμών, το κύριο αποτέλεσμα είναι το θεώρημα Mordell-Weil. Βέβαια, προτού μπορέσουμε να αποδείξουμε τα αποτελέσματα αυτά, θα χρειαστεί να αναπτύξουμε σε κάποιον βαθμό τα εργαλεία της μελέτης των ελλειπτικών καμπυλών: μορφισμούς και ισογένειες, το πρότυπο

10 x Περιεχομενα του Tate, την αντιστοιχία του Weil και την αναγωγή των ελλειπτικών καμπυλών. Δίνουμε επίσης μια σύντομη περιγραφή της σύνδεσης της θεωρίας των ελλειπτικών καμπυλών με την θεωρία κλάσεως σωμάτων. Στο τρίτο κεφάλαιο, εισερχόμαστε στο «αναλυτικό» κομμάτι της θεωρίας. Περιγράφουμε συνοπτικά την θεωρία των τοπολογικών ομάδων, των επιφανειών Riemann (μεταξύ των οποίων το θεώρημα Riemann-Roch και ο τύπος του Hurwitz για επιφάνειες Riemann), των ομάδων Fuchsian και των modular καμπυλών (ελλειπτικοί, παραβολικοί και υπερβολικοί μετασχηματισμοί, ελλειπτικά σημεία και cusps). Στο τέταρτο κεφάλαιο, μελετάμε τις συναρτήσεις και τα διαφορικά που ορίζονται σε μια modular καμπύλη. Αυτές είναι οι modular συναρτήσεις και οι modular forms (μορφές). Οι modular forms, στων οποίων την μελέτη κατά βάση εμβαθύνουμε, έχουν παίξει ήδη από τον δέκατο ένατο αιώνα σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της θεωρίας αριθμών. Εισήχθησαν πρώτη φορά από τον Gauss, και μελετήθηκαν εκτενώς από τους Gauss, Abel, Jacobi, Eisenstein, Weierstrass, Kronecker και Poincare.Η θεωρία των modular forms άλλαξε σημαντικά στις αρχές του εικοστού αιώνα, ύστερα από την δουλειά των Ramanujan, Hardy, Mordell, Hecke και Petersson, για να αναφέρουμε μόνο κάποιους από τους σημαντικότερους. Αρχικά, μελετάμε την κλασσική θεωρία των modular συναρτήσεων και των modular μορφών, που σε πρώτο επίπεδο αποτελείται κυρίως από την μελέτη των χώρων M k (Γ) και S k (Γ) και τους τελεστές Hecke, οι οποίοι αποτελούν οικογένεια τελεστών που ορίζονται από έναν χώρο μορφών στον εαυτό του και μας δίνουν πληροφορίες για την μορφή των στοιχείων του χώρου. Δύο βασικά προβλήματα υπάρχουν σε αυτό το σημείο: το πρόβλημα της εύρεσης μιας βάσης για έναν δοσμένο συγκεκριμμένο χώρο μορφών, καθώς και το πρόβλημα της εύρεσης ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων για τους τελεστές Hecke. Οι απαντήσεις σε αυτά τα δύο προβλήματα συνδέονται, και οδηγούν ταυτόχρονα στην απόδειξη κάποιων αριθμοθεωρητικών εικασιών του Ramanujan. Επίσης, περιγράφουμε εν συντομία βασικά στοιχεία της θεωρίας Atkin-Lehner (oldforms, newforms και το Κύριο Λήμμα της θεωρίας Atkin-Lehner). Στην συνέχεια, σκιαγραφούμε σε α- δρές γραμμές κάποιες εφαρμογές και κάποιες γενικεύσεις των modular μορφών. Το επόμενο βήμα είναι είναι η μελέτη της moduli interpretation των modular καμπυλών, όπου συμπεραίνουμε πως αυτές αποτελούν με φυσιολογικό τρόπο moduli spaces για κατάλληλες κλάσεις ισοδυναμίας μεταξύ ελλειπτικών καμπυλών. Μελετάμε την moduli interpretation των Hecke correspondences, και την σχέση τους με τον αυτομορφισμό του Frobenius (σχέσεις Eichler-Shimura), καθώς επίσης και το θεώρημα του Igusa. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται μια σύντομη επεξήγηση του Modularity Θεωρήματος, μέσω διάφορων μορφών του. Γνωστό ως εικασία Taniyama- Shimura-Weil, αποτέλεσε ανοικτό πρόβλημα κεντρικής σημασίας για την θεωρία αριθμών για πολλά χρόνια. Για να το εξηγήσουμε, εισαγάγουμε αρχικά την έννοια της L-σειράς μιας ελλειπτικής καμπύλης και μιας modular μορφής, αποδεικνύουμε κάποια βασικά αποτελέσματα για αυτές (αναλυτικές επεκτάσεις, γινόμενα Euler, συναρτησιακές εξισώσεις, αντίστροφα θεωρήματα) και στην τελευταία παράγραφο δίνουμε μερικές ισοδύναμες διατυπώσεις του. Θα ήθελα να ευχαριστήσω βαθύτατα τον καθηγητή μου Αριστείδη Κοντογεώργη για την βοήθεια του στην διεκπόνηση της εργασίας αυτής, για την βοήθεια του κατά τα τελευταία δύο χρόνια καθώς και για τα πολύ όμορφα μαθήματικά που με βοήθησε να γνωρίσω και να μάθω. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τα άλλα δύο

11 Περιεχομενα xi μέλη της επιτροπής, τον κ.εμμανουήλ και τον κ.μελά, για την συμμετοχή τους σε αυτήν, όπως επίσης και κάθε άλλον δάσκαλο ή καθηγητή μου που με δίδαξε κάτι χρήσιμο ή, ακόμα σπουδαιότερο, κάτι όμορφο. Ιδιαιτέρως, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή μου κ.γιαννόπουλο, που κατά τα χρόνια των σπουδών μου η βοήθεια που μου προσέφερε ήταν μεγάλη. Ευχαριστώ τους φίλους και συμφοιτητές μου, που κατά τα τελευταία έξι χρόνια μοιραζόμαστε κάθε μέρα μαζί, τόσο στην σχολή όσο και εκτός αυτής, την τόσο συναρπαστική «μαθηματική εμπειρία». Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου, που τόσα χρόνια στηρίζει το όνειρο μου να ασχολούμαι με κάτι που της είναι ανοίκειο και που πάντα με βοηθά να εκπληρώνω τους στόχους μου. Σε αυτήν, και ιδιαιτέρως στους αγαπημένους μου γονείς, αφιερώνω αυτήν την εργασία.

12

13 Κεφάλαιο 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Γεωμετρίας Αρχικά, δίνουμε κάποια εισαγωγικά στοιχεία από την αλγεβρική γεωμετρία που θα χρειαστούν για την μελέτη μας πάνω στις ελλειπτικές καμπύλες. Ακολουθούμε κυρίως την παρουσίαση στον [Silverman, [30], κεφ.1,2]. Η παρουσίαση μας είναι σύντομη, και, με λίγες εξαιρέσεις, χωρίς αποδείξεις. Για τις αποδείξεις που λείπουν παραπέμπουμε στους [Silverman, [30], κεφ.1,2], [Hartshorne, [10], κεφ.1,2] και [Ueno, [34], κεφ.1]. 1.1 Varieties Εστω K ένα τέλειο σώμα, δηλαδή ένα σώμα που κάθε αλγεβρική επέκταση του είναι διαχωρίσιμη. Γενικά, οι περισσότερες από τις έννοιες που θα αναπτύξουμε δουλεύουν ικανοποιητικά μόνο για τέλεια σώματα. Ειδικότερα, τα σώματα χαρακτηριστικής 0 και τα πεπερασμένα σώματα είναι τέλεια, και είναι αυτές οι περιπτώσεις που θα μας απασχολήσουν περισσότερο και στην μελέτη των ελλειπτικών καμπυλών. Ορισμός Ο n-διάστατος αφφινικός χώρος υπεράνω του K είναι ο χώρος A n ( K) = {P = (x 1, x 2,..., x n ), x i K}. Αν όλα τα x i K, το P λέγεται K-ρητό σημείο. Πιο πολύ μας ενδιαφέρουν συγκεκριμμένα υποσύνολα του αφφινικού χώρου: Ορισμός Αν I είναι ένα ιδεώδες του K[x 1,..., x n ], ορίζουμε το V (I) = {P : f(p ) = 0 f I}. Ενα σύνολο της μορφής V (I) λέγεται αλγεβρικό. Ορισμός Εστω V ένα αλγεβρικό σύνολο. Το ιδεώδες του K[x 1,..., x n ] που αντιστοιχεί στο V είναι το I(V ) = {f K[x 1, x 2,..., x n ] : f(p ) = 0 P V }. Αν το I(V ) παράγεται από πολυώνυμα στο K[x 1, x 2,..., x n ], τότε λέμε ότι το V ορίζεται υπεράνω του (ή πάνω από το) K, και γράφουμε V/K. Σ αυτήν την περίπτωση, το σύνολο των K-ρητών σημείων του V είναι το: V (K) = V A n (K).

14 2 Στοιχεια Αλγεβρικης Γεωμετριας Το επόμενο θεώρημα, που είναι ένα από τα πιο θεμελιώδη της αλγεβρικής γεωμετρίας, μας εγγυάται πως τα ιδεώδη που μόλις ορίσαμε στα K[x 1, x 2,..., x n ] και K[x 1, x 2,..., x n ] είναι πεπερασμένα παραγόμενα. Θεώρημα (Βάσης του Hilbert). Εστω K ένα σώμα. Τότε, κάθε ιδεώδες του K[x 1, x 2,..., x n ] είναι πεπερασμένα παραγόμενο. Αν σκεφτούμε ότι πολλές φορές οι συναρτήσεις που μελετάμε ορίζονται με συντελεστές από το αρχικό σώμα K, ο παρακάτω ορισμός θα μας είναι συχνά χρήσιμος: Ορισμός Αν V είναι ένα αλγεβρικό σύνολο, ορίζουμε το Παρατηρήσεις: I(V/K) = {f K[x 1, x 2,..., x n ] : f(p ) = 0 P V } (i) Αν το V/K, τότε I(V ) = I(V/K) K[x 1, x 2,..., x n ] (ii) Εστω V/K, και έστω ότι I(V/K) = f 1, f 2,..., f m. Τότε το V (K) αποτελείται ακριβώς από τις κοινές ρίζες των f i, i = 1, 2,..., m. Ορισμός Αν το I(V ) είναι πρώτο ιδεώδες του K[x 1, x 2,..., x n ], το V λέγεται αφφινική variety. Ακόμα, αν η V είναι μια variety που ορίζεται υπεράνω του K, ορίζουμε τον δακτύλιο συντεταγμένων της V/K ως εξής: K[V ] = K[X]/I(V/K) Αφού το I(V/K) είναι πρώτο, ο K[V ] είναι ακέραια περιοχή. Το σώμα πηλίκο του K[V ] συμβολίζεται με K(V ) και καλείται σώμα συναρτήσεων της V/K. Ομοια ορίζονται τα ανωτέρω και για το σώμα K. Το ανάλογο της διαίσθησης που έχουμε για την έννοια της διάστασης σε έναν διανυσματικό χώρο είναι λογικό να υπάρχει και εδώ. Ο επόμενος ορισμός από την θεωρία σωμάτων θα μας βοηθήσει να ορίσουμε ακριβώς μια έννοια διάστασης. Ορισμός Εστω F/K μια επέκταση σωμάτων. Βαθμός υπερβατικότητας της επέκτασης ονομάζεται το μέγιστο πλήθος αλγεβρικά ανεξάρτητων στοιχείων του F πάνω από το K. Ισοδύναμα, μπορεί να δείξει κανείς ότι ο βαθμός της επέκτασης F/K είναι r αν και μόνο αν υπάρχουν a 1, a 2,..., a r στοιχεία στο F υπερβατικά υπεράνω του K ώστε η επέκταση F/K(a 1, a 2,..., a r ) να είναι πεπερασμένη. Ορισμός Εστω V μια variety. Διάσταση της V ονομάζεται ο βαθμός υπερβατικότητας του K(V ) υπεράνω του K. Η διάσταση της V συμβολίζεται με dim V. Για παράδειγμα, έχουμε dim A n = n. Επίσης, dim V = n 1 αν και μόνο εάν V = f με f(x 1, x 2,..., x n ) μη σταθερό πολυώνυμο. Θέλουμε τώρα να ορίσουμε μια έννοια «ομαλότητας» της καμπύλης. Η έννοια αυτή παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στην μελέτη των ελλειπτικών καμπυλών. Ορισμός Εστω V μια variety. Εστω P ένα σημείο της V και f 1, f 2,..., f m K[x 1, x 2,..., x n ] με I(V ) = f 1, f 2,..., f m. Η V λέγεται nonsingular στο P αν και μόνο αν ο πίνακας ( ) fi (P ) x j i=1,...,m,j=1,...,n έχει τάξη n dim V. Αν η V είναι nonsingular παντού, τότε λέγεται nonsingular ή λεία.

15 1.1 Varieties 3 Εστω M P = {f K[V ] : f(p ) = 0}. Η απεικόνιση φ : K[V ]/M P K : f f(p ) είναι ισομορφισμός. Το πηλίκο M P /MP 2 είναι διανυσματικός χώρος υπεράνω του K πεπερασμένης διάστασης. Η παρακάτω πρόταση δίνει έναν χρήσιμο γεωμετρικό χαρακτηρισμό των nonsingular σημείων. Πρόταση Ενα σημείο P μιας variety V είναι nonsingular αν και μόνο αν dim K M P /M 2 P = dim V Ορισμός Ο τοπικός δακτύλιος της V στο P είναι ο K[V ] P = {F K(V ) : F = f/g : f, g K[V ], g(p ) 0} και τα στοιχεία του ονομάζονται regular συναρτήσεις στο P. Ορίζουμε τώρα αντιστοίχως τις παραπάνω έννοιες και για την προβολική περίπτωση. Ορισμός Ο n-διάστατος προβολικός χώρος υπεράνω του K είναι ο χώρος P n ( K) = {(x 0, x 1,..., x n ), x i K}, με τουλάχιστον ένα x i μη μηδενικό, modulo την ισοδυναμία (x 0, x 1,..., x n ) (y 0, y 1,..., y n ) (x 0, x 1,..., x n ) = λ(y 0, y 1,..., y n ) για κάποιο λ K. Η κλάση ισοδυναμίας του (x 0, x 1,..., x n ) είναι το σημείο P = [x 0, x 1,..., x n ]. Αν x i K, το P λέγεται K-ρητό σημείο. Το σύνολο των K-ρητών σημείων στον P n ( K) συμβολίζεται με P n (K). Παρατηρείστε ότι για K = Q το P = (x 0, x 1 ) = ( 2, 2 2) P 1 (Q) αν και 2 / Q. Η παρατήρηση αυτή οδηγεί φυσιολογικά στον εξής ορισμό. Ορισμός Το ελάχιστο σώμα ορισμού του σημείου P P n ( K), όπου P = [x 0, x 1,...x n ], υπεράνω του K είναι το K(P ) = K(x 0 /x i, x 1 /x i,..., x n /x i ), για οποιοδήποτε i με x i 0, i = 1,..., n. Για να έχει νόημα να ρωτήσει κανείς για τις ρίζες ενός πολυωνύμου f στον προβολικό n-διάστατο χώρο, θα πρέπει αν το f μηδενίζεται σε ένα σημείο (x 0, x 1,..., x n ), να μηδενίζεται και σε ολόκληρη την κλάση ισοδυναμίας του. Ο επόμενος ορισμός πρόκυπτει φυσιολογικά: Ορισμός (Ορισμός (Προβολικής Variety). (i) Ενα πολυώνυμο f K[x 0, x 2,..., x n ] λέγεται ομογενές βαθμού d αν για κάθε λ K ισχύει f(λx 0, λx 1,..., λx n ) = λ d f(x 0, x 2,..., x n ). (ii) Ενα ιδεώδες I του K[x 0, x 2,..., x n ] λέγεται ομογενές αν παράγεται από ομογενή πολυώνυμα.

16 4 Στοιχεια Αλγεβρικης Γεωμετριας (iii) Αν το I είναι ένα ομογενές ιδεώδες, ορίζουμε το προβολικό αλγεβρικό σύνολο του I να είναι το V (I) = {P P n : f(p ) = 0 f I}. Ενα υποσύνολο του P n ( K) ονομάζεται προβολικό αλγεβρικό αν είναι της μορφής V (I) για κάποιο ομογενές ιδεώδες I. (iv) Αν το V είναι προβολικό αλγεβρικό, το ομογενές ιδεώδες που αντιιστοιχεί στο V είναι το I(V ) που παράγεται από όλα τα ομογενή πολυώνυμα του K[x 0, x 2,..., x n ] που μηδενίζονται σε κάθε σημείο του V. (v) Αν τα ομογενή πολυώνυμα που παράγουν το ιδεώδες του V ανήκουν στο K[x 0, x 2,..., x n ], τότε, αντιστοίχως με πριν, λέμε ότι το V ορίζεται υπεράνω του K και γράφουμε V/K. Ομοια με προηγουμένως, ορίζουμε τα K-ρητά σημεία της V να είναι τα σημεία που ανήκουν στο V (K) = V P n (K) (vi) Αν το I(V ) είναι πρώτο ιδεώδες του K[x 0, x 1,..., x n ], το V λέγεται προβολική variety. Εστω ένα ομογενές πολυώνυμο f(x 0, x 1,..., x n ). Υπάρχει x i 0. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι x i = 1. Η αντικατάσταση του f(x 0, x 1,..., 1,..., x n ) με το f(x 0, x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n ) = f(y 1, y 2,..., y n ) ονομάζεται απομογενοποίηση ως προς την μεταβλητή x i. Η αντίθετη διαδικασία ονομάζεται ομογενοποίηση. Θα μελετήσουμε ελλειπτικές καμπύλες τόσο σε ομογενείς συντεταγμένες όσο και σε αφφινικές. Αν f K[x 1,..., x n ], θεωρούμε τα πολυώνυμα f i που είναι τα ομογενή πολυώνυμα στον n-διάστατο προβολικό χώρο με ομογενοποιήσεις το f. Τώρα, αν V είναι ένα αφφινικό αλγεβρικό σύνολο, ορίζουμε την προβολική θήκη του V του V να είναι το προβολικό αλγεβρικό σύνολο που το ιδεώδες του I( V ) παράγεται από τα {f i : f I(V )}. Πρόταση Αν η V είναι αφφινική variety, τότε η V είναι προβολική variety, και ισχύει V = V A n ( K). Αν V είναι μια προβολική variety, τότε το αφφινκό της ίχνος V A n ( K) είναι αφφινική variety. Επίσης, αν το προβολικό ή το αφφινικό κομμάτι μιας variety ορίζεται πάνω από το K, το ίδιο συμβαίνει και με το άλλο κομμάτι. Τα σημεία της V V ονομάζονται επ άπειρον σημεία της variety. Η διάσταση μιας προβολικής variety ορίζεται να είναι η διάσταση ενός αφφινικού κομματιού της. Ορισμός Εστω V μια προβολική variety, και P V. Διαλέγουμε ένα A n με P A n. Η V είναι λεία στο P αν και μόνο αν η V A n είναι λεία στο P. Ομοίως, ο τοπικός δακτύλιος K[V ] P της V στο P ορίζεται να είναι ο τοπικός δακτύλιος K[V A n ] P της V A n στο P. Ιδιαιτέρως χρήσιμες για την μελέτη μας θα αποδειχθούν οι απεικονίσεις από ελλειπτικές καμπύλες σε ελλειπτικές καμπύλες. Για αυτόν τον σκοπό, είναι αρχικά σημαντικό να μελετήσουμε απεικονίσεις από varieties σε varieties. Ορισμός Εστω V 1, V 2 δύο προβολικές varieties του n-διάστατου προβολικού χώρου. Μια απεικόνιση: φ : V 1 V 2

17 1.2 Καμπυλες 5 λέγεται ρήτη αν φ = [g 0, g 1,..., g n ], όπου κάθε g i K(V 1 ) και για κάθε P που ορίζονται τα g i ισχύει ότι φ(p ) = [g 0 (P ), g 1 (P ),..., g n (P )] V 2. Αν υπάρχει ένα λ K τέτοιο ώστε τα λf i να αήκουν στο K(V 1 ), τότε η φ λέμε ότι ορίζεται πάνω από το K. Επίσης, γία μια ρητή συνάρτηση φ δεν είναι απαραίτητο να ορίζεται το φ(p ) για κάθε σημείο P της V 1. Μπορούμε όμως να απαιτήσουμε κάτι ελαφρώς γενικότερο: Ορισμός Εστω φ = [g 0, g 1,..., g n ] : V 1 V 2 μια ρητή συνάρτηση. Η φ είναι regular στο P V 1 αν υπάρχει συνάρτηση f στο K(V 1 ) ώστε η fg i να είναι regular στο P για κάθε i = 0, 1,..., n, και για κάποιο i να ισχύει fg i (P ) 0. Στην περίπτωση που η φ είναι regular στο P, ορίζουμε φ(p ) = [fg 0 (P ), fg 1 (P ),..., fg n (P )] Αν μια ρητή συνάρτηση είναι παντού regular,τότε ονομάζεται μορφισμός. Οι μορφισμοί εδώ ονομάζονται έτσι επειδή είναι μορφισμοί με την έννοια της θεωρίας κατηγοριών: Ορισμός Εστω V 1, V 2 δύο προβολικές varieties. Αν υπάρχουν μορφισμοί φ 1 : V 1 V 2, φ 2 : V 2 V 1 τέτοιοι ώστε φ 1 φ 2 = id V1 και φ 2 φ 1 = id V2 τότε οι φ 1 και φ 2 λέγονται ισομορφισμοί και οι varieties ισόμορφες. Αν οι φ 1, φ 2 ορίζονται υπεράνω του K, τότε οι V 1 /K, V 2 /K λέγονται ισόμορφες. Το επόμενο παράδειγμα μορφισμού είναι πολύ χρήσιμο για την μελέτη μας, και θα το συναντήσουμε πολλές φορές παρακάτω όταν θα μελετάμε πεπερασμένα σώματα: Παράδειγμα Εστω F q το πεπερασμένο σώμα με q = p n στοιξεία, και V P n ( F q ) μια variety που ορίζεται πάνω από το F q. Ορίζουμε την απεικόνιση φ([x 0, x 1,..., x n ] = [x q 0, xq 1,..., xq n]. Η φ : V V είναι μορφισμός, που είναι 1 1 και επί, αλλά όχι ισομορφισμός. Τα σταθερά σημεία της φ είναι τα στοιχεία της V (F q ). Η φ ονομάζεται μορφισμός του Frobenius. 1.2 Καμπύλες Ορισμός Αν μια προβολική variety έχει διάσταση 1, τότε λέγεται καμπύλη. Μια καμπύλη συμβολίζεται συνήθως με C. Πρόταση Αν C είναι μια καμπύλη, και P C λείο σημείο, ο K[C] P είναι δακτύλιος διακριτής εκτίμησης (δηλαδή έχει μόνο ένα μέγιστο ιδεώδες). Ορισμός (τάξη ρίζας και πόλου). Αν C είναι μια καμπύλη, και P C ένα nonsingular σημείο, η κανονικοποιημένη εκτίμηση στον K[C] P είναι η: ord P : K[C] P N { } με ord P (f) = sup{k : f M k P }. Αν f/g K(C) ορίζουμε ord P (f/g) = ord P (f) ord P (g), επεκτείνοντας έτσι την ord P σε ord P : K(C) Z { }. Ενας γεννήτορας του M P, (δηλαδή ένα στοιχείο της K(C) με ord P ίση με 1) καλείται uniformizer της C στο P. Αν ord P (f) > 0 η f έχει ρίζα στο P, ενώ αν ord P (f) < 0 η f έχει πόλο στο P. Στην δεύτερη περίπτωση γράφουμε f(p ) =. Μπορεί να δείξει κανείς ότι αν η f δεν είναι ταυτοτικά η μηδενική, τότε έχει ρίζες και πόλους σε πεπερασμένα σημεία. Αν ord P (f) 0, τότε λέμε ότι η f ορίζεται (ή είναι regular) στο P.

18 6 Στοιχεια Αλγεβρικης Γεωμετριας Πρόταση Αν η καμπύλη C ορίζεται υπεράνω του K, P ένα nonsingular σημείο της C(K) και t ένας uniformizer της C στο P, τότε η επέκταση σωμάτων K(C)/K(t) είναι πεπερασμένη και διαχωρίσιμη. Εξετάζουμε τώρα τις ρητές απεικονίσεις σε σχέση με τις καμπύλες. Οι επόμενες δύο προτάσεις είναι κεντρικής σημασίας για την περαιτέρω μελέτη των καμπυλών. Πρόταση Εστω C καμπύλη, P ένα nonsingular σημείο της, V P n μια variety και φ : C V μια ρητή συνάρτηση. Τότε η φ είναι regular στο P. Αν η C είναι λεία, η φ είναι μορφισμός. Απόδειξη. Εστω φ = [f 0, f 1,..., f n ] και t ένας uniformizer της C στο P. Τότε βέβαια f i, t K[C]. Εστω m η ελάχιστη των τάξεων ord P (f i ) των f i. Πολλαπλασιάζουμε τα πάντα με t m και έχουμε ord P (f i /t m ) 0 και ord P (f j /t m ) = 0 για κάποιο f j. Δηλαδή οι t m f i είναι regular και t m f j (P ) 0. Άρα η φ είναι regular. Πρόταση Εστω φ : C 1 C 2 μορφισμός καμπυλών. Τότε η φ είναι σταθερός μορφισμός ή είναι επί. Τώρα, ας θεωρήσουμε δύο καμπύλες C 1 /K και C 2 /K και φ : C 1 /K C 2 /K μια μη σταθερή ρητή απεικόνιση, η οποία ορίζεται υπεράνω του K. Ορισμός Η δυική απεικόνιση της φ είναι η: με φ (f) = f φ. φ : K(C 2 ) K(C 1 ) Πρόταση Εστω C 1 /K, C 2 /K όπως πριν. Τότε, αν φ : C 1 /K C 2 /K μη σταθερή ρητή απεικόνιση υπεράνω του K, η επέκταση είναι πεπερασμένη. Επίσης: K(C 1 )/φ (K(C 2 )) (i) Αν θεωρήσουμε ι : K(C 2 ) K(C 1 ) 1-1 που κρατάει σταθερό το K, τότε υπάρχει μοναδική μη σταθερή ρητή απεικόνιση φ 1 που ορίζεται υπεράνω του K ώστε η δυική φ 1 της φ 1 να είναι η ι. (ii) Αν K K K(C 1 ) με [K(C 1 ) : K] <, τότε υπάρχει μοναδική nonsingular καμπύλη C/K και μη σταθερή ρητή υπεράνω του K απεικόνιση φ 2 : C 1 C με φ 2(K(C)) = K. Ορισμός (Βαθμός απεικόνισης). Εστω C 1 /K, C 2 /K δύο καμπύλες που ορίζονται υπεράνω του σώματος K και φ : C 1 C 2 μια απεικόνιση. Ορίζουμε τον βαθμό deg της φ ως εξής: (i) Αν η φ είναι η σταθερή απεικόνιση, τότε deg φ = 0 (ii) Αν η φ είναι μη σταθερή απεικόνιση, ορίζουμε deg φ = [K(C 1 ) : φ (K(C 2 )]. Από την προηγούμενη πρόταση, ο βαθμός απεικόνισης που ορίσαμε είναι καλά ορισμένος.

19 1.2 Καμπυλες 7 Ορισμός Εστω F/K μια αλγεβρική επέκταση σωμάτων. Η επέκταση λέγεται: (i) διαχωρίσιμη αν και μόνο αν για κάθε a F, το ελάχιστο πολυώνυμο του a πάνω από το K αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων πολυωνύμων στο F. (ii) μη διαχωρίσιμη, αν δεν είναι διαχωρίσιμη. (iii) πλήρως μη διαχωρίσιμη, αν και μόνο αν για κάθε a F K, το ελάχιστο πολυώνυμο του a πάνω από το K δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων πολυωνύμων στο F. Ορισμός Εστω μια φ όπως στο ορισμό Τότε, η φ λέγεται διαχωρίσιμη, μη διαχωρίσιμη ή πλήρως μη διαχωρίσιμη αν η επέκταση K(C 1 )/φ (K(C 2 ) έχει την αντίστοιχη ιδιότητα. Πρόταση Εστω C 1 /K, C 2 /K δύο nonsingular καμπύλες, και φ : C 1 C 2 με degφ = 1. Τότε η φ είναι ισομορφισμός. Απόδειξη. Αφού deg φ = 1 έχουμε ότι [K(C 1 )/φ (K(C 2 ))] = 1 K(C 1 ) = φ (K(C 2 )). Επεται ότι η φ είναι ισομορφισμός των K(C 1 ) και (K(C 2 )). Απ το (i) της πρότασης 1.2.8, υπάρχει ψ : C 2 C 1 με ψ = (φ ) 1. Αφού η C 2 είναι nonsingular, η ψ είναι μορφισμός. Η ψ φ = (φ ψ) είναι η ταυτοτική στο K(C 2 ) (και η (ψ φ) στο K(C 1 )). Πάλι από την μοναδικότητα του (i) της πρότασης 1.2.8, έπεται ότι οι φ ψ και ψ φ είναι οι αντίστοιχες ταυτοτικές απεικονίσεις. Ορισμός Εστω φ : C 1 C 2 μια μη σταθερή απεικόνιση, όπου C 1, C 2 nonsingular. Εστω ακόμα ένα σημείο P της C 1 και t φ(p ) ο uniformizer της C 2 στο σημείο φ(p ). Ο δείκτης διακλάδωσης (ramification index) της φ στο P ορίζεται να είναι ο αριθμός ord P (φ (t φ(p ) )), και συμβολίζεται με e φ (P ). Αν ο δείκτης διακλάδωσης της φ στο P είναι 1, η φ λέγεται αδιακλάδιστη στο P. Η φ λέγεται αδιακλάδιστη αν είναι αδιακλάδιστη παντού στην C 1. Η σημασία της επόμενης πρότασης είναι μεγάλη, καταρχάς επειδή μας δίνει έναν τρόπο να μετρήσουμε το βαθμό μιας απεικόνισης μεταξύ καμπυλών. Πρόταση Εστω φ : C 1 C 2 μια μη σταθερή απεικόνιση και C 1, C 2 nonsingular. Τότε: (i) Για κάθε σημείο Q της C 2 έχουμε ότι το άθροισμα των βαθμών διακλάδωσης των σημείων P φ 1 (Q) ισούται με τον βαθμό deg(φ) της φ. (ii) Για σχεδόν όλα τα Q της C 2 (εκτός από πεπερασμένα) ισχύει ότι: φ 1 (Q) = deg s (φ) όπου με deg s (φ) συμβολίζουμε τον βαθμό διαχωρισιμότητας της επέκτασης K(C 1 )/φ (K(C 2 ).

20 8 Στοιχεια Αλγεβρικης Γεωμετριας (iii) Εστω ψ : C 2 C 3 όπως η φ : C 1 C 2. Τότε ο δείκτης διακλάδωσης της σύνθεσης αναλύεται στους δείκτες διακλάδωσης των συναρτήσεων, δηλαδή: για κάθε σημείο P της C 1. e ψ φ (P ) = e φ (P )e ψ (P ) Πόρισμα Η φ : C 1 C 2 είναι αδιακλάδιστη για κάθε σημείο Q της C 2 έχουμε ισότητα στον πρώτο ισχυρισμό πρότασης , δηλαδή φ 1 (Q) = deg(φ). Απόδειξη. Άμεση από την πρόταση , καθώς και το γεγονός ότι e φ (P ) 1. Πριν προχωρήσουμε παρακάτω στην θεωρία, ας επιστρέψουμε λίγο στο βασικό παράδειγμα μορφισμού που έχουμε δώσει, τον μορφισμό του Frobenius. Οπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, ο μορφισμός του Frobenius είναι βασικός για την μελέτη των ελλειπτικών καμπυλών που ορίζονται πάνω από πεπερασμένα σώματα. Εστω λοιπόν πως δουλεύουμε πάνω από ένα σώμα K χαρακτηριστικής p > 0 (όχι απαραίτητα πεπερασμένο προς το παρόν) και θεωρούμε ένα πολυώνυμο f K[x 1, x 2,..., x n ]. Θεωρούμε τον μορφισμό του Frobenius να δρα πάνω στο f μέσω των συντελεστών του, υψώνοντας δηλαδή κάθε συντελεστή του πολυωνύμου εις την q, όπου q = p r. Συμβολίζουμε με f (q) την εικόνα του f. Ορίζουμε τώρα το ιδεώδες I που παράγεται από τις εικόνες f (q) για όλα τα f I(C) και ορίζουμε την καμπύλη C (q) /K να είναι εκείνη που το ομογενές ιδεώδες της I(C (q) ) ισούται με το I. Παρατηρούμε ότι ορίζεται με φυσιολογικό τρόπο ένας μορφισμός του Frobenius, ο «ύψωση εις την q-οστή δύναμη» Frobenius: φ : C C (q) : φ([x 0, x 1,...x n ]) = [x q 0, xq 1,..., xq n] και είναι απλό να δει κανείς ότι ο μορφισμός αυτός ορίζεται καλά. Το επόμενο θεώρημα μελετάει κάποιες βασικές ιδιότητες του μορφισμού του Frobenius. Η πιο σημαντική από τις παρακάτω ιδιότητες του είναι η τρίτη, η οποία θα μας χρειαστεί άμεσα παρακάτω στην απόδειξη της αρχής του Hasse. Θεώρημα Εστω σώμα K με χαρ(k)= p > 0 και q μια δύναμη του p. Θεωρούμε ακόμη μια καμπύλη C που ορίζεται υπεράνω του K και τον μορφισμό του Frobenius φ : C C (q). Τότε ισχύουν: (i) φ (K(C (q) ) = K(C) q. (ii) ο φ είναι πλήρως μη διαχωρίσιμος. (iii) deg φ = q. 1.3 Divisors και Διαφορικά Ορισμός Θεωρούμε την ελεύθερη αβελιανή ομάδα που παράγεται από τα στοιχεία της καμπύλης C, δηλαδή την ομάδα που τα στοιχεία της είναι τυπικά αθροίσματα της μορφής n P (P ), P C, όπου n P Z και πεπερασμένοι απ αυτούς είναι μη μηδενικοί. Τα τυπικά αυτά αθροίσματα ονομάζονται divisorς, και συμβολίζονται συνήθως με D, η δε ομάδα τους ονομάζεται ομάδα των divisors, και συμβολίζεται με Div(C).

21 1.3 Divisors και Διαφορικα 9 Αν D = n P (P ) είναι ένας divisor, ορίζουμε τον βαθμό του να είναι η ποσότητα deg D = n P Παρατηρείστε ότι ο βαθμός ενός divisor ορίζεται καλά, αφού το άθροισμα είναι πεπερασμένο. Ενας divisor λέγεται μηδενικός αν deg D = 0. Το σύνολο των μηδενικών divisors είναι προφανώς υποομάδα της Div(C) και συμβολίζεται με Div 0 (C). Ορίζουμε επίσης με Div K (C) την υποομάδα των divisors που μένουν αναλλοίωτοι υπό την δράση της ομάδας Galois Gal( K/K) της επέκτασης K/K, και παρόμοια την Div 0 K(C). Θεωρούμε τώρα μια συνάρτηση f K(C), όπου η C είναι λεία. Ορισμός Ως divisor της f ορίζεται η ποσότητα: div(f) = P C ord P (f)(p ). Αφού η f έχει πεπερασμένες ρίζες και πόλους, το άθροισμα αυτό είναι πεπερασμένο, άρα ο div(f) ορίζεται καλά. Παρατηρούμε ότι αν η f K(C), τότε div(f) Div K (C). Ορισμός Ενας divisor D με D = div(f) για κάποια f K(C) λέγεται πρωταρχικός. Αν D 1, D 2 είναι δύο divisors, τότε αυτοί λέγονται (γραμμικά) ισοδύναμοι αν και μόνο αν η διαφορά τους είναι πρωταρχικός. Σ αυτήν την περίπτωση, γράφουμε D 1 D 2. Παρατηρούμε ότι η σχέση αυτή είναι όντως ισοδυναμία. Ορισμός Η ομάδα Picard της C είναι η ομάδα πηλίκο της Div(C) προς την υποομάδα των πρωταρχικών divisors,και συμβολίζεται με Pic(C). Ομοια με πριν, ορίζουμε την Pic K (C) ως τα σημεία της Pic(C) που μένουν αναλλοίωτα υπό την δράση της Gal( K/K). Η Pic K (C) δεν ταυτίζεται με το πηλίκο της Div K (C) προς τους πρωταρχικούς divisors. Πρόταση Θεωρούμε μια λεία καμπύλη C και μια f K(C). έχουμε ότι: Τότε (i) div(f) = 0 αν και μόνο αν η f είναι σταθερή (ii) deg(div(f)) = 0. Ορισμός Από την προηγούμενη πρόταση έπεται ότι οι πρωταρχικοί divisors αποτελούν υποομάδα της Div 0 (C). Την ομάδα πηλίκο της Div 0 (C) προς τους πρωταρχικούς divisors την συμβολίζουμε με Pic 0 (C). Ομοια με πριν ορίζεται και η Pic 0 K(C). Πρόταση Εστω η μη σταθερή απεικόνιση φ : C 1 C 2, όπου οι C 1 και C 2 είναι λείες. Τότε, η δυική φ της φ έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss Τα θεωρήματα των Green, Stokes και Guss Αντώνης Τσολομύτης Σάμος, 2012 curl F div S F Επειδή αναϕέρθηκε στο μάθημα... Ενεργητική ϕωνή Ενεστώτας παράγω παρέχω Ενεστώτας-υποτακτική να παράγω να παρέχω Ενεστώτας-προστακτική

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα