ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ιαπανεπιστηιακό ιατηατικό Πόγαα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΙ ΙΣΟΜΕΤΡΙΕΣ ΤΩΝ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ: R, R,R ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: κ. Ράπτης Ευάγγελος ΣΑΝΙ ΑΣ ΑΛΕΞΑΝ ΡΟΣ Α.Μ: 005 ΑΘΗΝΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00

2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ιαπανεπιστηιακό ιατηατικό Πόγαα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η παούσα ιπλωατική Εγασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώατο Ειδίκευση που απονέει το ιαπανεπιστηιακό ιατηατικό Πόγαα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηατικών» Εγκίθηκε την από Εξεταστική Επιτοπή αποτελούενη από του : Ονοατεπώνυο Βαθίδα Υπογαφή ) Ράπτη Ευάγγελο (επιβλέπων Καθηγητή ) Αν.Καθηγητή. ) Λάππα ιονύσιο Αν.Καθηγητή.. ) Βάσο ηήτιο Αν.Καθηγητή...

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαιστώ θεά τους Αναπληωτές Καθηγητές του Μαθηατικού Τήατος του Ε.Κ.Π.Α., κκ. Βάσο ηήτιο και Λάππα ιονύσιο τόσο για την τιή που ου έκαναν να συετάσχουν στην τιελή επιτοπή, όσο και για τις άοκνες ποσπάθειες που καταβάλλουν τα τελευταία χόνια ποκειένου η εκπαιδευτική διαδικασία του τήατος να πααείνει σε υψηλό επίπεδο. Ευχαιστώ όως ιδιαίτεα τον Αναπληωτή Καθηγητή κ. Ράπτη Ευάγγελο για την επιστοσύνη του και τον πολύτιο χόνο που ου διέθεσε. Τόσο το πειεχόενο του αθήατος που δίδαξε όσο και οι γόνιες συζητήσεις που είχαε ου ποσέφεαν τη δυνατότητα να δω τα αθηατικά υπό ία νέα ευύτεη οπτική γωνία. Η αφοσίωσή του στο εκπαιδευτικό έγο και η διαθεσιότητά του απέναντι στους φοιτητές είναι αξιέπαινη. Αθήνα, Φεβουάιος 00 Σανιδάς Αλέξανδος

4 Στην Αγγελική για την κατανόηση και την υποονή της, και στους γονείς ου για τη φοντίδα τους

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πείληψη:... ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΟΙ ΙΣΟΜΕΤΡΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ R, C Οι ισοετίες του R (οισός- οφές).... Ταξινόηση ισοετιών στο R 5 Γεωετικοί ετασχηατισοί στον R (η οπτική γωνία του διδακτικού βιβλίου της Γ Λυκείου) 7 Εάν ία ισοετία του ιεεύνηση των ισοετιών στο R διατηεί το 0 είναι γαική.... R... Αλγεβική και γεωετική ποσέγγιση των ισοετιών στο C Ταξινόηση ισοετιών στο C...7 Χήσια αποτελέσατα-εφαογές...8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Οι ισοετίες του Οι ισοετίες των Ευκλείδειων χώων Οι ισοετίες των Ευκλείδειων χώων Κατάλογος ισοετιών του Θεώηα χαακτηισού των ισοετιών του Ταξινόηση ισοετιών στο R R -οισός.. 4 R -οφή R...4 R.46 R.47 Η οάδα συετιών του ισόπλευου τιγώνου. 48 Η οάδα συετιών του τεταγώνου.49 Οι οάδες συετίας των Πλατωνικών στεεών...5 Πααδείγατα διασύνδεσης της συετίας ε την τέχνη και την φύση...57 Βιβλιογαφία 60

6 Πείληψη: Ξεκινάε ε την αναζήτηση και ταξινόηση των ισοετιών του R. Συνεχίζουε ε τις ισοετίες του επιπέδου. Αποδεικνύουε ότι ία ισοετία που διατηεί σηείο είναι γαική και οδηγούαστε σε ένα πώτο συπέασα για τα συστατικά έη ία τυχαίας ισοετίας του επιπέδου. Κατόπιν ε τα εγαλεία που ας παέχει το σύνολο C ποσεγγίζουε αλγεβικά και γεωετικά όλες τις δυνατές ισοετίες που υλοποιούνται σε αυτό. Κλείνουε το ο κεφάλαιο ε εφαογές και πααδείγατα που έχουν στόχο την καλύτεη κατανόηση των εννοιών. Στο ο κεφάλαιο γενικεύουε τον οισό ίας ισοετίας σε Ευκλείδειο χώο R και αποδεικνύουε τις ποτάσεις και τα θεωήατα εκείνα, που θα ας οδηγήσουν στην ταυτοποίηση (ποιοτικά) των ισοετιών αυτών. Στο τελευταίο έος του κεφαλαίου αυτού αναφέουε κάποια πααδείγατα οάδων συετίας. Συγκεκιένα πααθέτουε τον πίνακα πολλαπλασιασού τόσο της διεδικής οάδας του ισόπλευου τιγώνου όσο και αυτής του τεταγώνου αζί ε τα δικτυωτά τους διαγάατα, οι οποίες αποτελούν υποοάδες της ( ) Isom R. Κατόπιν 0, αναφέουε πειγαφικά τις οάδες συετίας των πέντε Πλατωνικών στεεών οι οποίες αποτελούν υποοάδες της ( ) Isom R. Τέλος αναφέουε σύντοα κάποια 0, πααδείγατα διασύνδεσης της έννοιας της Συετίας ε τη φύση και την τέχνη.

7 Κεφάλαιο ο : Οι ισοετίες στα σύνολα RC, Οι ισοετίες στο R Θα αναζητήσουε τις ισοετίες της ευθείας των παγατικών αιθών. Οισός Μια ισοετία των παγατικών αιθών R είναι ία συνάτηση ε πεδίο οισού και σύνολο τιών το R που διατηεί τις αποστάσεις. ηλαδή: f : R R ώστε f ( x) f ( y) = x y, x, y R. x, αν x 0 (Υπενθύιση: x = x, αν x< 0, όπου x = x αντιποσωπεύει την απόσταση, κατά ήκος της ευθείας των παγατικών, του ± x από το 0.) Ένα απλό παάδειγα ισοετίας είναι η: I( x) = x, x R. Αλλά και η p( x) x, x = R είναι επίσης ισοετία αφού p( x) p( y) = x ( y) = x+ y = x y. Γεωετικά θα ποούσαε να πούε ότι η p αντανακλά το R ε κέντο το Ο και ονοάζεται κατοπτισός. Ένα ακόη παάδειγα ισοετίας είναι και η t( x) t( x) t( y) = x+ y = x y, x R. = x+, x R, διότι Θα αναζητήσουε όλες τις ισοετίες του R. Ξεκινάε από τις ισοετίες που διατηούν το Ο. Πόταση Αν f : R R ισοετία και ( 0) 0 f ( x) = x, x R f f =, τότε f ( x) x, x Απόδειξη = R ή : R R ισοετία f ( x) f ( y) = x y, x,y R και αν θέσουε y= 0 έχουε f ( x) = x f ( x) = x ή f ( x) = x Θα θέλαε να αποκλείσουε την πείπτωση η f να είναι δίκλαδη, (π.χ. x, αν x 0 f ( x) = ) να υπάχουν δηλαδή x, y R ε f ( x) = xκαι f ( y) = y. x, αν x< 0

8 Τότε όως: ( ) ( ) f x f y = x y, οισός ισοετίας και ( ) ( ) f x f y = x+ y, από την ποηγούενη υπόθεση άα: x y = x+ y x y= x+ y ή x y= x y y= y ή x= x x= 0 ή y= 0. Άτοπο αφού έχουε x, y R. Ή ισοδύναα το x ισαπέχει από το y και το y, άα x=0. Άτοπο. Πόταση Αν η f : R R, ισοετία. Τότε για οποιοδήποτε a R η f θα έχει την εξής οφή : f ( x) = x+ a, x R είτε ( ) f x = x+ a, x R. Απόδειξη Αν υποθέσουε ότι f ( 0 ) = a, a R, τότε οίζουε την g( x) f ( x) a, οποία είναι ισοετία, διότι: g( x) g( y) = f ( x) a f ( y) + a ( ) ( ) διατηεί το 0 αφού g( 0) f ( 0) a a a 0 = η = f x f y = x y και ακόη = = =. Άα από την πόταση λαβάνουε ότι g( x) = x, x R είτε g( x) x, x g( x) = f ( x) a, οπότε f ( x) a= x, x R είτε f ( x) a= x, x R. = R, όπου Ονοάζουε το y R σταθεό σηείο της f f ( y) = y Σηείωση: f x = x+ a, η f αντιποσωπεύει ετατόπιση της ταυτοτικής κατά α ονάδες Αν ( ) δεξιά και ποφανώς δεν διατηεί κανένα σηείο σταθεό. a a a a Αν όως f ( x) = x+ a, τότε παατηούε: f = + a f = a a a ηλαδή η f διατηεί το. Έστω t( x) = x+ t ( x) = x και ακόη = x ( κατοπτισός ως πός Ο). p( x) Τότε ποούε να γάψουε: ( ) ( ) ( )( ) a a f x = x+ a= x. ηλαδή f x = t p t x. Λεκτικά θα ποούσαε να πούε ότι η f είναι η σύνθεση ιας ετατόπισης a ονάδες αιστεά, ενός κατοπτισού ως πος Ο και. 4

9 ιας ετατόπισης a ονάδες δεξιά. Έχουε δηλαδή ετατόπιση του σταθεού σηείου ανάκλασης από το 0 στο a. Συνοπτικά έχουε την παακάτω κατάταξη των ισοετιών στο R : Σύνολο σταθεών σηείων Γεωετική πειγαφή ισοετίας Κανένα Μετατόπιση f ( x) = x+ a Σηείο i) το 0 ii) το a Κατοπτισός i) p( x) Όλα Ταυτοτική I( x) = x ii) f ( x) = x+ a = x Η έννοια του γεωετικού ετασχηατισού (όπως αυτή εισάγεται στη Γ Λυκείου) Αν f : A B είναι ία συνάτηση. Θα ασχοληθούε ε συνατήσεις για τις οποίες τα Α,Β συπίπτουν ε το σύνολο (Ε) των σηείων ενός κατεσιανού επιπέδου Oxy. Ή πιο απλά τα Α, Β συπίπτουν ε το R. Οι συνατήσεις αυτές λέγονται γεωετικοί ετασχηατισοί (γ.) στο επίπεδο. ηλαδή γεωετικός ετασχηατισός είναι οποιαδήποτε συνάτηση T : R R. Ως πος τη συνάτηση αυτή η εικόνα, T( M ) του σηείου (, ) M '( x ', y '). Ένα τέτοιο παάδειγα είναι η γ : M x y θα συβολίζεται R R ε M( x, y) M '( x, y) οποία αντιστοιχίζει κάθε σηείο Μ στο συετικό του Μ, ως πος τον οιζόντιο άξονα. Στη συνέχεια ασχολούαστε όνο ε τους γεωετικούς ετασχηατισούς που απεικονίζουν τα σηεία M( x, y ) στα '( ', ') δίνονται από ένα σύστηα της οφής: x ' = ax+ by+ m x ' a b x m = + y ' = cx+ dy+ y ' c d y M x y των οποίων οι συντεταγένες ( ) η, ε a, b, c, d, m, R. Ιδιαίτεα δε, αν m= 0 και = 0 η () παίνει τη οφή x ' a b x ( ) y ' = c d y. Στην πείπτωση αυτή ο γεωετικός ετασχηατισός καλείται γαικός a b ετασχηατισός και ο πίνακας c d λέγεται πίνακας του γαικού 5

10 ετασχηατισού. Είναι εύκολο να ελέγξουε ότι ο ετασχηατισός T : R R ε T( x, y) a b x = c d y είναι γαικός, δηλαδή ικανοποιεί τις δύο συνθήκες: T u+ v = T u + T v, u, v R ( ) ( ) ( ) T m u = m T u, m Rκαι u R. ( ) ( ) Αν θεωήσουε το γαικό ετασχηατισό: x ' a b x T : a b a = y ' c d y τότε για το A(,0), T( A) = c d = 0 c, δηλαδή η i,0 είναι η πώτη στήλη του πίνακα του Τ. Αντίστοιχα για το Β(0,), εικόνα του ( ) a b 0 b T( B) = = c d d, δηλαδή η εικόνα του j( 0,) είναι η δεύτεη στήλη του πίνακα του Τ. Ποφανώς ο γαικός ετασχηατισός αφήνει αναλλοίωτο το Ο(0,0). Σχόλιο: Αποδεικνύεται ότι κάθε γαικός ετασχηατισός του οποίου ο πίνακας αντιστέφεται, απεικονίζει: Ευθείες σε ευθείες Ευθύγαα τήατα σε ευθύγαα τήατα ε άκες τις εικόνες των άκων. Πολύγωνα σε πολύγωνα ε κουφές τις εικόνες των κουφών. Οι ισοετίες στο R Επειδή το σύνολο C είναι ισόοφο ε το R, κάποια κεντικά ζητήατα που αφοούν στις ισοετίες τα διαπαγατευόαστε αχικά στο R. Με τη βοήθεια ενός χήσιου εγαλείου, του εσωτεικού γινοένου και των ιδιοτήτων του όπως αυτό έχει οιστεί στον R. Οισός Μία απεικόνιση f : R R, ονοάζεται ισοετία αν (αν και όνο αν): f x f y = x y, x, y R () όπου ( ) ( ) είναι η συνηθισένη νόα στο R. Με άλλα λόγια, ισοετία είναι ια απεικόνιση ε πεδίο οισού και σύνολο τιών το R,που διατηεί τις αποστάσεις. Παακάτω αναφέουε εικά πααδείγατα ισοετιών στο R 6

11 i) Παάλληλη εταφοά : R R u Έστω u= ( m, ) ένα διάνυσα του Oxy. Καλούε παάλληλη εταφοά 7 κατά u διάνυσα u, το γεωετικό ετασχηατισό ε τον οποίο κάθε σηείο A( x, y) R αντιστοιχίζεται στο σηείο A' ( x ', y ') ( ( A) = A' ( x, y) = ( x+ m, y+ ) ) που οίζεται από την u u ισότητα: AA' = u οπότε ισοδύναα έχουε: x ' x m x ' x+ m x ' 0 x m = = = + y ' y y ' y+ y ' 0 y Άα η παάλληλη εταφοά δεν είναι γαικός ετασχηατισός. Είναι όως ισοετία. Άα : R R θα είναι - και επι και γι αυτό θα u οίζεται η αντίστοφη απεικόνιση : R R ε (, ) = (, ) Έστω A( x, y ) και AA' = u= ( m, ) Τότε B x y BB u m (, ) και ' = = (, ) x y x m y u u Απόδειξη x ' 0 x m x + m A': y ' = 0 + = y y + και

12 x ' 0 x m x+ m B ': y ' = 0 + = y y + ( ', ') = ( + ) + ( + ) d A B x m x m y y ( x x ) ( y y ) d( A B) = + =, Άα πάγατι διατηεί τις αποστάσεις, άα είναι ισοετία. ii) Στοφή ε κέντο Ο και γωνία θ : R θ R R Καλούε στοφή ε κέντο Ο και γωνία θ (θετική φοά= αντίστοφη του ολογιού) το γεωετικό ετασχηατισό R θ όπου κάθε A( x, y) R αντιστοιχίζεται στο πέας A' ( x ', y ') C του διανύσατος OA' που είναι η τελική θέση του διανύσατος OA αν αυτό σταφεί γύω από το Ο κατά γωνία θ. Αν φ είναι η γωνία του OAε τον οιζόντιο άξονα και r = OA, τότε ισχύουν: ( ϕ θ) ( ϕ θ) x= r cosϕ x ' = r cos + και y= r siϕ y ' = r si + Όπου αν ποχωήσουε τη δεύτεη σχέση λαβάνουε: x ' = r cosϕ cosθ r siϕ si θ x ' = x cosθ y siθ y ' = r siϕ cosθ r siθ cos ϕ y ' = y cosθ+ xsiθ 8

13 x ' cosθ siθ x y ' = siθ cosθ y. Άα η στοφή ε κέντο Ο και γωνία θ είναι cos si γεωετικός ετασχηατισός ε πίνακα R θ θ = θ siθ cosθ. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η στοφή αυτή είναι ισοετία. Πάγατι: OA = x + y = r cosϕ + r siϕ = r cos ϕ+ si ϕ = r και ( ) ( ) ( ) OA' = x ' + y ' = r cos( ϕ+ θ) + r si( ϕ+ θ) = r Άα η στοφή κατά γωνία θ, είναι γεωετικός ετασχηατισός που διατηεί τις αποστάσεις, άα είναι ισοετία. Αναφέουε κάποιες ιδιότητες που αφοούν τον γεωετικό ετασχηατισό και τον ισοδύναο πίνακα. Εύκολα διαπιστώνουε ότι ( ) ( ) cosϕ siϕ cosθ siθ cos ϕ+ θ si ϕ+ θ Rϕ Rθ = siϕ cosϕ siθ cosθ = = Rθ R si( ϕ+ θ) cos( ϕ+ θ) όπου είναι ποφανές ότι ισχύει η αντιεταθετική ιδιότητα. Και επαγωγικά ποούε να αποδείξουε ότι: ( R ) θ ( θ) si( θ) ( θ) cos( θ) cos = si : P( ) Απόδειξη Αποδεικνύω την P( ) για =. Ποφανώς ( ) ισχύει. έχοαι την P( ), δηλαδή ότι ισχύει: ( R ) Θα δείξω ότι ισχύει η P( + ), δηλαδή: ( R ) θ ( + ) θ ( + ) ( + ) θ ( + ) + cos si θ = si cos θ θ ( ) ( ) ( θ) ( θ) R cos θ si θ = θ, si cos ( θ) si( θ) ( θ) cos( θ) cos = si ϕ 9

14 cos Rθ = Rθ Rθ = si + Είναι ( ) ( ) ( θ) si( θ) ( θ) cos( θ) cosθ siθ siθ cosθ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( θ) θ+ ( θ) θ ( θ) θ θ ( Θ) cos θ cosθ si θ siθ siθ cos θ si θ cosθ = si cos cos si cos cos si si ( + ) θ ( + ) ( + ) θ ( + ) cos si θ si cos θ Τέλος είναι ποφανές ότι R θ το οποίο και κλείνει την απόδειξη. cosθ siθ = = R siθ cosθ ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ Για να θυόαστε τον πίνακα των πααπάνω γεωετικών ετασχηατισών, ακεί να θυόαστε ότι η πώτη στήλη είναι οι συντεταγένες της εικόνας του σηείου Α(,0). Ενώ η δεύτεη στήλη είναι η εικόνα του Β(0,). θ Συνεχίζουε, αφού νωίτεα οίσαε την ισοετία στο f 0 = 0 Υποθέτουε ότι διατηεί το 0, δηλαδή ( ) Σχόλιο: Ξέουε ακόη ότι a = a Από τα πααπάνω και εάν θέσουε y= 0, λαβάνουε f x f y = x y f x f 0 = x 0 f x = x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Από την ποηγούενη σχέση λαβάνουε: f x = x f x f x = x x f x = x ( ) ( ) ( ) ( ) Αλλά και ( ) ( ) ( ) ( ) R ( ) ( ) f x f y = x y f x f y = x y {και επειδή στο R ισχύουν, η αντιεταθετική και η επιειστική ιδιότητα} f ( x) + f ( y) f ( x) f ( y) = x + y x y f ( x) f ( y) = x y f x f y = x y ( ) ( ) (4) (5) (6) (7) (8) Βλέπουε ότι η ισοετία ε την υπόθεση να διατηεί το 0, διατηεί και το εσωτεικό γινόενο. 0

15 Πόταση Μία απεικόνιση ε τις παακάτω υποθέσεις: f : f 0 = 0 ( ) R R, ισοετία. Θα είναι γαική. Απόδειξη Για να είναι η f γαική, ακεί να αποδείξω τις παακάτω δύο σχέσεις: f ( x+ y) = f ( x) + f ( y), x, y R f ( m x) = m f ( x), m Rκαι x R Για το πώτο, θεωούε την παάσταση A= f ( x+ y) f ( x) f ( y) και εξετάζουε το A = A A= f ( x+ y) f ( x) f ( y) f ( x+ y) f ( x) f ( y) = (7),(8) f ( x+ y) + f ( x) + f ( y) f ( x+ y) f ( x) f ( x+ y) f ( y) + f ( x) f ( y) = ( x+ y) + x + y x ( x+ y) y ( x+ y) + x y = x + y + x y+ x + y x x y x y y + x y = 0 Άα είναι A = 0 A= 0. Εποένως f x+ y f x f y = 0 f x+ y = f x + f y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Για τη δεύτεη συνθήκη εγαζόαστε όοια. Θεωούε την παάσταση: B= f ( m x) m f ( x) και εξετάζουε το B = B B= f ( m x) m f ( x) f ( m x) m f ( x) = ( ) ( ) ( ) ( ) (7) f mx + m f x mf mx f x = mx + m x mmx x= m x + m x mmx x= 0. Άα B = 0 B= 0 f mx mf x = 0 f mx = mf x. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Αφού η f (ισοετία) ικανοποιεί τις ποηγούενες συνθήκες, άα θα είναι γαική απεικόνιση και ως τέτοια θα έχει έναν αντίστοιχο πίνακα. (8)

16 Ανακεφαλαιώνοντας έχουε, EAΝ: f : R R, f ( x) f ( y) = x y, x, y R ισοετία και f 0 = 0 ( ) ΤΟΤΕ η f διατηεί το εσωτεικό γινόενο και είναι γαική, δηλ: f ( x) f ( y) = x y f ( x+ y) = f ( x) + f ( y), x, y R και f m x = m f x, m Rκαι x R ( ) ( ) Η f : f ( x) = f ( y) f ( x) f ( y) = 0και επίσης ξέουε ότι f x f y = x y άα x y = 0 x y= 0 x= y R R που οίστηκε ως ισοετία θα είναι -,διότι αν ( ) ( ) Επίσης επειδή επί. Εποένως η Πόταση 4 f : f : R R, - και το R R θα είναι αυτοοφισός του R είναι συπαγές άα η f θα είναι και R, f Aut( ) R. Η σύνθεση ισοετιών είναι ισοετία και η σύνθεση γαικών απεικονίσεων είναι γαική απεικόνιση επίσης. Απόδειξη Έστω f, g : R R ισοετίες, τότε f g u f g v f g u = f g v ( ) ( ( )) f ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) άα η f g είναι ισοετία. ισοετία g, = = g u g v u v ισοετία Έστω f, g : R R γαικές απεικονίσεις τότε ( )( ) ( ) g ( ) ( ( ) ( )) f g m u+ v = f g m u+ v f m g u + g v f = γαική ( ( )) + ( ) ( ) m f g u f g v = γαική. = m ( f g)( u) + ( f g)( v)

17 ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΙΣΟΜΕΤΡΙΩΝ ΤΟΥ Θεώηα Εάν f : R R ισοετία ε f 0 = 0 και ( ) (,0) (,0) f = Τότε η f διατηεί όλα τα σηεία του xx και αυτή ποσδιοίζεται, είτε ως η ταυτοτική, είτε ως ο κατοπτισός ως πος τον οιζόντιο άξονα. Απόδειξη x,0 Έστω ( ) R, τότε f γαική R f ( x,0) = f x (,0) x f (,0) = x (,0 ) = ( x,0) Άα f ( x,0 ) = ( x,0 ), x άξονα. =. R, δηλαδή η f διατηεί τα σηεία του οιζόντιου u= x, y ε y 0 Έστω ( ) (Αν 0 R και x 0. y = έχουε την τετιένη πείπτωση όπου ( ) (,0) = (,0) u= x,0 xx ' και f x x, οπότε λαβάνουε την ταυτοτική απεικόνιση). γαική Τότε f ( x, y) = f ( x,0) + ( 0, y) f ( x,0) + f ( 0, y) ( x,0) + f ( 0, y) = ( x,0) + y f ( 0,) f = = Από την σχέση (4) έχουε: f u = u f x, y = x, y ( ) ( ) ( ) (,0) (,0) ( 0, ) ( 0, ) { x,0 + f 0, y } = ( x, y) ( ) ( ) x + x f y + f y = x + y ( 6) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x + x,0 y f 0, + 0, y = x + y xy,0 f 0, = 0,0 f 0, = 0και από τον τόπο που έχουε οίσει το εσωτεικό γινόενο (, 0) f ( 0,) ισοετία, έχουε δύο επιλογές: f (,0) = (,0). Άα, επειδή η f είναι, οπότε ιλάε για την ταυτοτική απεικόνιση I : R R ε I( u) = u, u R.

18 f (,0) = ( 0, ), οπότε ιλάε για τον κατοπτισό ως πος τον οιζόντιο άξονα xx. Οπότε για να βούε τον τύπο της f εγαζόαστε ως εξής: (, ) = (,0) + ( 0, ) (,0) + ( 0, ) f x y f x y f x f y = f γαικη ( x,0) + y f ( 0,) = x(,0 ) + y( 0, ) = ( x, y) (, ) = (, ) f x y x y. Για να βούε τον πίνακα αυτής της γαικής απεικόνισης, βίσκουε πως αυτή επιδά στα στοιχεία της βάσης του ( ) ( ) R = e, e =,0, 0,. (,0) = (,0) = + 0 ( 0,) = ( 0, ) = 0 f e e και f e e 0 Άα matrixf = 0. Εποένως για ία ισοετία του επιπέδου που διατηεί το Ο(0,0) και το (,0) καταλήγουε ότι θα είναι, είτε η ταυτοτική, είτε ο κατοπτισός ως πος τον οιζόντιο άξονα. Έστω τώα ία h : R R ισοετία ε h ( 0,0) = ( 0,0) που διατηεί το Ο(0,0), τότε h (,0 ) = ( m, ) R και ( m, ) =. Μποούε να κατασκευάσουε την ισοετία στοφή που ελετήσαε νωίτεα: R (,0 ) ( m, ) θ = (ανεξάτητα από την ισοετία h ). Επειδή όως η R θ είναι ισοετία, θα είναι - και θα υπάχει η αντίστοφη, η R θ ( m, ) = (,0). R θ Τότε ( )( ) R h 0,0 = R h( 0,0) = R ( 0,0) = ( 0,0) θ θ θ Ο(0,0) και επιπλέον ( )( ) ( ) h θ θ θ,0 =,0, =,0. διατηεί ( 0,0) R h R h R m = R. Με την ιδιότητα θ ( ) ( ), δηλ. διατηεί το Άα διαπιστώνουε ότι η R h είναι ία ισοετία του επιπέδου που διατηεί το θ Ο(0,0) και το (,0). Άα ε την ποηγούενη ελέτη που κάναε θα έχουε δύο επιλογές για την h: 4

19 R h= I R R h= R I I h= R I h=. θ θ θ θ R h= f, ε τη συγκεκιένη f να είναι ο κατοπτισός ως πος xx. Θα θ έχουε Rθ Rθ h Rθ f I Rθ f h = h= = R f. Εποένως η τυχαία ισοετία του επιπέδου που διατηεί το Ο(0,0) είναι, είτε στοφή, είτε σύνθεση κατοπτισού ε στοφή. Εάν εγαστούε τώα ε ία τυχαία ισοετία του επιπιπέδου που δεν διατηεί αναγκαστικά το Ο(0,0). ηλαδή F ( 0,0 ) = ( m, ) = u Τότε ποούε (ανεξάτητα από το πως οίστηκε η F ) να θεωήσουε την ισοετία ετατόπιση, οπότε θα έχουε: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F 0,0 = F 0,0 = m, = m m, = 0,0 u u u Άα η ισοετία u θ θ R θ u F που εισήχθη ε τον πιο πάνω τόπο, διατηεί το Ο(0,0). Άα από την ποηγούενη ανάλυση οι επιλογές για την άνωθεν ισοετία θα είναι: F = R F = R θ ( ) ( ) θ u u u u u F = R I F = R F R u u u θ = u θ F R f ( F) ( R f) = = u θ u u u u ( ) F = R f θ F = R f u Άα οι ισοετίες του επιπέδου που ποούν να υλοποιηθούν είναι, είτε στοφές σύνθεση ε ετατόπιση, είτε κατοπτισός ως πος χχ, σύνθεση στοφή, σύνθεση ετατόπιση. Συνεχίζουε τη διαπαγάτευση των ισοετιών στο C αναφέοντας τία πααδείγατα. Τα πααδείγατα αυτά εθίγησαν νωίτεα, τώα όως θα πειοιστούε σε συβολισό στο C χησιοποιόντας κάποια ιδιαίτεα ευέλικτα εγαλεία που ποσφέει το σύνολο αυτό. Οισός Μία ισοετία του C είναι ια απεικόνιση f : C C που διατηεί τις αποστάσεις, δηλαδή: f ( z) f ( w) = z w, z, w C. θ θ θ Μετατόπιση κατά c C : t( z) = z+ c, z C. Είναι: t( z) t( w) = z+ c z w = z w 5

20 γ = z z Συζυγία: ( z), ( ) γ( ) γ z w = z w = z w = z w. C η οποία είναι ποφανώς ισοετία αφού Στοφή R θ κατά γωνία θ γύω από το Ο(0,0). iθ ηλώνουε αχικά το ζ e cosθ isiθ = = + και οίζουε: ( ) οποίο δίνει την επιθυιτή στοφή. ( Το γνωίζουε από τις ιδιότητες πολλαπλασιασού ιγαδικών σε πολική οφή ). Η R θ είναι ισοετία αφού ( ) ( ) Επίσης: R z = ζ z, το Rθ z Rθ w = ζ z ζ w = ζ z w = z w. + = + = + = +, z, w C Rθ ( z w) ζ( z w) ζ z ζ w Rθ ( z) Rθ ( w) R ( k z) = ζ( k z) = k ζ z= k R ( z), k, z θ θ θ R C Άα η R θ είναι γαική απεικόνιση και ως τέτοια θα έχει έναν αντίστοιχο πίνακα. Μία βάση του C είναι e, e (,0 ),( 0, i) στα στοιχεία της βάσης. =, οπότε ας δούε πως η R θ επιδά (,0) = iθ (,0) = cos + si = cos + si ( 0, ) = iθ ( 0, ) = cos si = si + cos Rθ e θ i θ θ e θ e Rθ i e i i θ θ θ e θ e cos si ηλαδή ο πίνακάς της είναι matrixr θ θ = θ siθ cosθ ίνουε ένα πειγαφικό σχήα για τη ετατόπιση κατά c και τη συζυγία γ = z ): ( ( z) 6

21 και ένα σχήα που πειγάφει τη στοφή ενός ιγαδικού z C κατά γωνία θ γύω από το Ο(0,0). Πόταση 5 Έστω f : C C ισοετία. Τότε η f απεικονίζει ένα κύκλο ε ακτίνα r και κέντο το a C σε ένα κύκλο ε την ίδια ακτίνα και κέντο το f ( a) C Απόδειξη Έστω κύκλος ε ακτίνα r R και κέντο a C ε εξίσωση z a = r, z C. + 7

22 Τότε όως f ( z) f ( a) z a r f εικόνες f ( z ) ανήκουν σε κύκλο ε κέντο ( ) = = ( Αφού : C C ισοετία). Άα οι f a και ακτίνα r. Πόταση 6 Έστω f : C C ια ισοετία που ικανοποιεί τις εξής συνθήκες: f ( 0) = 0 και f ( ) = C. Τότε f ( z) = z, z C είτε ( ), Αφού f ( 0) = 0 και f ( ) Απόδειξη f z = z z C. = ( διατηεί δηλαδή τα 0, C) τότε από την πόταση 5 θα διατηεί οποιονδήποτε κύκλο ε κέντο το 0 C και οποιονδήποτε κύκλο ε κέντο το C. οθέντος ενός z C, αυτός θα βίσκεται σε οναδικό κύκλο ε f z θα κέντο το 0 C και σε οναδικό κύκλο ε κέντο το C. Άα το ( ) πέπει να ανήκει ταυτόχονα και στου δύο ποαναφεθέντες κύκλους. Άα θα είναι f ( z) = z είτε ( ) f z = z. Το παακάτω σχήα πειγάφει την κατάσταση: z w C τέτοια ώστε ( ) f ( w) = w w. Τότε επειδή f ισοετία: ( ) ( ) Έστω τώα ότι υπάχουν κάποια, 8 f z = z z και f z f w = z w και από την υπόθεση που κάναε όλις τώα: f ( z) f ( w) = z w,οπότε z w = z w άα είτε w = wτο οποίο αποίπτεται είτε το z ισαπέχει από τα διαφοετικά w, w

23 και άα z R το οποίο επίσης αποίπτεται. Αυτό ολοκληώνει την απόδειξή ας. Είτε f ( z) = z, z C (ταυτοτική), είτε ( ) ( ), Πόταση 7 Έστω f : f z = z= γ z z C (συζυγία ). C C ισοετία. Τότε για κάποια c C και ζ = cosθ + isiθ η f θα έχει την εξής οφή: είτε ( ) ζ, ( ) ζ, f z = z+ c z C. Απόδειξη Έστω f ια οποιαδήποτε ισοετία f : θεωούε τότε την g : f z = z+ c z C, είτε C C ε την ιδιότητα f ( ) C C ε g( z) = f ( z) c, z C όπου g( z) g( w) = f ( z) c f ( w) + c = f ( z) f ( w) και η g είναι ισοετία. Και άλιστα ( ) ( ) f ισοετία 0 = c, = z w άα g 0 = f 0 c= c c= 0. Άα η g διατηεί το 0 C. Τώα αφού η g είναι ισοετία, ο κύκλος κέντου Ο και ακτίνας = = +. Τότε υπάχει το διατηείται και έστω g( ) ζ cosθ isiθ ζ = cos( θ) + isi( θ) και οίζουε την ( ) ζ ( ) την οποία έχουε: ( ) ( ) ( ) = ζ ζ ( ) = ζ ( ) ( ) h z h w g z g w g z g w h ( 0) ζ = g( 0) = 0και h( ) ζ g( ) = = = h z = g z, z C για ζ ζ g= z w και isom Άα η h είναι ισοετία και διατηεί τόσο το 0 όσο και το ( στο C), εποένως από την πόταση 6: είτε h( z) = z, z C, είτε ( ), h z = z z C. ζ g z = z z C g z = ζ z f z c= ζ z, z C Άα είτε ( ), ( ) ( ) f ( z) = ζ z+ c, z C Είτε ( ), C ( ) ( ) ( ) ζ, ζ = = ζ = ζ g z z z g z z f z c z f z = z+ c z C. Θα θέλαε να έχουε ια γεωετική ποσέγγιση των ισοετιών του C. f z = z+ c την οποία θα αποκαλούε Ας δούε πώτα τη οφή ( ) κανονική ισοετία (proper isometry) διότι δεν εταβάλλει τον ποσανατολισό. ζ 9

24 Εάν ζ =, δηλαδή θ = 0, πόκειται για ετατόπιση, ( ) υπάχουν σταθεά σηεία. Για την πααπέα διεεύνηση της ( ) θα χειαστούε την: Πόταση 8 iθ f z = z+ c z C ε ζ = e = cosθ + isiθ, τότε Εάν ( ) ζ, i) Το f z = z+ c και δεν f z = ζ z+ c c p= C, είναι σταθεό σηείο της f, δηλαδή ισχύει ζ f ( p) = p. f z p= z p z C και η f όπως οίστηκε ii) Ισχύει ( ) ζ( ), i) ( ) αντιποσωπεύει στοφή του z C γύω από το p C κατά γωνία θ. Απόδειξη c ζ c+ c ζ c c f p = ζ p+ c= ζ + c= = = p ζ ζ ζ. Άα f ( p) = p, δηλαδή η f έχει το p ως σταθεό σηείο (διατηεί το p). ii) Είναι: ( ) = ( ) f z p ζ z p ζ z+ c p= ζ z ζ p c p= ζ p c= p ( ζ) ισχύει και η αχική ας υπόθεση. Τι αντιποσωπεύει όως η f ; Είναι: ( ) ζ( ) ζ ( ) c p= το οποίο και ισχύει, άα p f z p = z p = z p f z p = z p Ξέουε ακόη ότι το z p αντιποσωπεύει διάνυσα ε κουφές στα z, p C και κατεύθυνση από το p πος το z. Επίσης το f ( z) p αντιποσωπεύει διάνυσα ε κουφές στα f ( z), p C και κατεύθυνση από το p πος το f ( z ). Τέλος το i ζ = e θ ποκαλεί πειστοφή κατά γωνία θ στο διάνυσα που πολλαπλασιάζει. Άα τα z, f ( ) z p. Άα το f ( ) κατά γωνία θ. Σχηατικά έχουε: z ανήκουν σε κύκλο κέντου p και ακτίνας z αντιποσωπεύει τη στοφή του z C γύω από το p 0

25 Συπέασα, για την ισοετία ε τη οφή ( ) ζ, f z = z+ c z C, γνωίζουε ότι: Εάν ζ= είναι ετατόπιση στο επίπεδο κατά διάνυσα c C. Εάν ζ, τότε η f διατηεί σηείο το στοφή γύω από το p κατά γωνία θ. c p= ζ Ας εξετάσουε τώα τη οφή ( ), C και αντιποσωπεύει f z = ζ z+ c z C. Την οποία θα αποκαλούε η κανονική ισοετία (improper isometry) διότι αντιστέφει τον ποσανατολισό. Ας ξεκινήσουε ε ένα παάδειγα: Έστω η ( ) + i f z = iz+, z C, που όπως είδαε είναι ια ισοετία του C. Αν θεωήσουε z= a+ bi τότε z= a bi και iz= ia+ b= b+ ai, ε άλλα λόγια η απεικόνιση z iz,{( a, b) ( b, a) } είναι ο κατοπτισός (συετία) ως πος την ευθεία ε εξίσωση y= x. Για την f ( z ) επιπλέον έχουε ότι ο ποηγούενος ετασχηατισός ακολουθείται από ετατόπιση κατά c= + i το οποίο είναι διάνυσα παάλληλο στην εν λόγο ευθεία.

26 Μία ισοετία αυτής της οφής θα την ονοάζουε ολισθαίνουσα ανάκλαση (glide reflectio). Μια πώτη ποσέγγιση της οφής ( ), είναι: Εάν ζ = και 0 f z = ζ z+ c z C, θα ποούσε να c=, τότε λαβάνουε την ( ) ( ), η οποία διατηεί όλα τα σηεία του άξονα κατοπτισό γύω από αυτόν Εάν ζ και 0 f z = z= γ z z C, xx' και αντιποσωπεύει f z = ζ z z C, c=, τότε λαβάνουε τη οφή ( ), iθ θ θ και αν θέσουε w= e = cos + isi, έχουε ότι ζ = w w= ζ. Οπότε παατηούε: f z = z= w z= wwz= w wz = Rθ γ R θ ( z) και εποένως φαίνεται ότι η απεικόνιση f (ισοετία) διατηεί όλα τα ( ) ζ ( ) σηεία ιας ευθείας ε κλίση ta θ και πόκειται για έναν κατοπτισό ε άξονα την εν λόγο ευθεία (να ποσέξουε πχ, ότι ένα σηείο της

27 ποαναφεθείσας ευθείας ε την εφαογή της όπου ε την συζυγία ( z) ευθεία ε την εφαογή της R θ καταλήγει στον xx ', γ ένει αναλλοίωτο και επιστέφει στην αχική R θ ). Για ια πιο εθοδική και σε βάθος διεεύνηση της οφής ( ), θα χειαστούε την ακόλουθη πόταση. Πόταση 9 Εάν δούε το C ως ισόοφο ε το ιγαδικούς z a bi, w c di f z = ζ z+ c z C R τότε ποούε να ποσδιοίσουε τους = + = + ε τα διανύσατα ( a, b) και ( c, d ) αντίστοιχα. Κατόπιν να σχηατίσουε το εσωτεικό τους γινόενο = +. Να αποδειχτεί ότι : (, ) (, ) a b c d ac bd i) Re( zw) = ac+ bd και συνεπώς ( a b) ( c d) z w ac bd ( zw),, + = 0 Re = 0 ii) ζ c+ c= 0 το c ζ. Απόδειξη i) Αν z= a+ bi, w= c+ di τότε zw= ( ac+ bd) + ( bc ad) i, οπότε αν z w ( a, b) ( c, d) ac+ bd = 0 Re( zw) 0 =, άα αποκτήσαε ένα αλγεβικό εγαλείο ώστε να αναγνωίζουε πότε τα διανύσατα που αντιποσωπεύουν δύο ιγαδικοί είναι κάθετα. ζ = w w= ζ τότε: ζ c+ c= 0 w c+ wwc = 0 w( wc wc) ( wc wc) ii) Έχοντας υπόψη ότι + = 0 + = 0 ( wc wc) ( wc) ( wc) ( wc) ( wc) Re + = 0 Re + Re = 0 Re = 0 Re = 0 w c, άα από το ποηγούενο σκέλος το w= ζ θα είναι οθογώνιο στο c. Το αντίστοφο είναι ποφανές. Τώα είαστε έτοιοι να δούε το κεντικό θεώηα αυτής της πααγάφου που διαπαγατεύεται τη γεωετική υπόσταση των ισοετιών ε οφή ( ) ζ, f z = z+ c z C.

28 Θεώηα f z = ζ z+ c z C ε Έστω ( ), i ζ = e θ και c κάποιος ιγαδικός. Τότε η f είναι ένας από τους δύο παακάτω γεωετικούς τύπους: i) Αν ζ c+ c= 0, η f είναι κατοπτισός (reflectio) γύω από την ευθεία που πενάει από το c C, ε κλίση ta θ. ii) Αν ζ c+ c 0, η f είναι ολισθαίνουσα ανάκλαση (glide reflectio), γύω από τον ποηγούενο άξονα ε διάνυσα ετατόπισης ( c c) ζ +. Απόδειξη i) Το σηαντικό είναι να αποφανθούε πότε η f έχει σταθεό σηείο, αν έχει, θα πέπει όπως είδαε πιν, να είναι κατοπτισός ως πος ευθεία που διέχεται από το εν λόγο σηείο. Ισχυισός : f έχει σταθεό σηείο ζ c+ c= 0. Απόδειξη Έστω a C, να είναι το σταθεό σηείο της f,τότε: ( ) ( ) ( ) f a = a ζ a+ c= a ζ a+ c= a ζ ζ a+ c = ζ a ζ ζ a+ c + c= ζ a+ c ( ) 0 ζζ a+ ζ c+ c= f a = a a+ ζ c+ c= a ζ c+ c=. Από την άλλη αν: ζ c+ c= 0 είναι πολύ εύκολο να επιβεβαιώσουε ότι c c f c c = διότι ισοδύναα έχουε ζ + c = ζ c + c = c ζ c + c = 0 το οποίο και ισχύει. Άα η ( ) Ισχυισός : c f z = ζ z+ c, {έχει σταθεό σηείο το } { c c 0 ζ + = }. Έστω ευθεία ε κλίση ta θ που διέχεται από το c C, τότε κάθε σηείο της διατηείται από την f. Απόδειξη θ θ Έστω w= ζ = cos + isi,τότε είναι εύκολο να δούε ότι: Παατήηση 4

29 Ισχύει: ( ) θ ζ w= w w= w ww = w w = w και η ευθεία ε κλίση ta που c c διέχεται από το C θα συβολίζεται ε z= t w+, t R. Υπολογίζοντας το f ( z ) θα έχουε παατη c c c f ( z) = f tw+ = ζ tw+ + c= tζ w+ ζ + c tw+ 0.5ζ c+ c = ζ c= c c c = tw + c= tw+. c c Άα f tw+ = tw+, άα η συγκεκιένη ισοετία διατηεί τα σηεία της πααπάνω ευθείας. Ισχυισός Η ισοετία f ε τις πααπάνω υποθέσεις ( ( ) 5 f z = ζ z+ c και c c 0 ζ + = ) είναι κατοπτισός του z C ε άξονα την ποαναφεθείσα ευθεία που θα c συβολίζουε ε l (τηνl : z= t w+, t R ). Απόδειξη Εάν πάουε ένα z C ε z l, τότε το έσον του τήατος ε άκα τα z, f ( ) z θα είναι το ( ) ( ) z+ f z z+ ζ z+ c =. Ελέγχουε το z+ f z z+ z c z z c z z c f f ζ + + ζ ζ + + c ζ ζ + = = + = + c c z+ ζ z+ c z+ f z = ( ζ z+ ζζ z+ ζ c) + c= ( ζ z+ z c) + c= ζ z+ z+ = = Άα ( ) ( ) z+ f z z+ f z f = άκα τα z, f ( ) τήατος., δηλαδή η f διατηεί το έσον του τήατος ε z. Οπότε η l διέχεται από τα έσα του συγκεκιένου ( ) Ακεί τώα να είναι και ( ) f z z w (το w αντιποσωπεύει την κλίση της l ). Είναι f ( z) z= ζ z+ c z. Για την καθετότητα εξετάζουε το Re w( f ( z) z) Είναι ( ) ( ) παατ w ζ z+ c z = w ζ z+ c z = wζ z+ wc wz = wz+ wc wz. Άα παίνοντας το ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Re w f z z = Re wz + Re wc Re wz = 0. Αφού όπως ( )

30 έχουε αποδείξει τα c, w= ζ οθογώνια ζ c+ c= 0 και ακόη οι ιγαδικοί wz, wz έχουν το ίδιο παγατικό έος. Άα αν φανταστούε τους ιγαδικούς ( ) w, f z z ως διανύσατα ε τις υπάχουσες υποθέσεις, θα είναι κάθετα. Άα η ( ) f z = ζ z+ c ε ζ c+ c= 0εκφάζει τον κατοπτισό του z ως πος ευθεία ε κλίση ta θ που διέχεται από το σταθεό σηείο c. Σχηατικά θα έχουε το εξής: ii) Ολοκληώνουε τη διαπαγάτευσή ας ε την υποπείπτωση ζ z+ c 0 και θα ποσπαθήσουε να αποδείξουε ότι πόκειται για ολισθαίνουσα ανάκλαση (glide reflectio). Ισχυισός 4 Το ζ c+ c είναι παγατικό πολλαπλάσιο του w φανταστικό πολλαπλάσιο του w= ζ. Απόδειξη Είναι ( ) Re( ) ( ) Im( ) 6 = ζ και το ζ c+ c είναι ζ c+ c= w c+ wwc = w wc+ wc = wc w όοια εγαζόαστε και ζ c+ c= w c+ wwc = w wc wc = wc i w. Οπότε οίζουε: c = c+ c = wc w το οποίο είναι ποφανώς παάλληλο στο w (ως παγατικό του πολλαπλάσιο). c = ( ζc c) Im( wc) i w + = το οποίο είναι ποφανώς κάθετο στο w αφού ο // ( ζ ) Re( ) πολλαπλασιασός ε το i ποκαλεί στοφή 90 κατά τη θετική φοά.

31 c= c+ c + c+ c = c + c. Άα για την υπό // Παατηούε ότι : ( ζ ) ( ζ ) διεεύνηση απεικόνιση ( ) // ( ) ζ ζ f z = ζ z+ c ε z c 0 ζ + έχουε: f z = z+ c= z+ c + c. Ονοάζουε ( ) g z = ζ z+ c, από την ποηγούενη υποπείπτωση του θεωήατος { c οθογώνιο στο ζ } ζ c + c = 0, η g( z ) θα αντιποσωπεύει κατοπτισό ως πος ευθεία παάλληλη στο ετατόπιση c // ( ζ c c) ζ που διέχεται από το έσον του c ακολουθούενο από = + η οποία είναι παάλληλη στο ζ = w και άα στον άξονα κατοπτισού. Η τελευταία επισήανση κλείνει ουσιαστικά την απόδειξή ας. Συνοπτικά έχουε την παακάτω κατάταξη των ισοετιών στο C : Σύνολο σταθεών σηείων Κανένα σηείο Ευθεία όλα Κανονική ισοετία (proper isometry) Μετατόπιση (traslatio) f ( z) = z+ c Στοφή κατά γωνία θ, γύω c από p= (rotatio) ζ ( ) = ζ +, ζ f z z c Ταυτοτική (idetity) I( z) = z Μη κανονική ισοετία (improper isometry) Ολισθαίνουσα ανάκλαση (glide reflectio) ( ) = ζ +, ζ + 0 f z z c c c Κατοπτισός (reflectio) ( ) = ζ +, ζ + = 0 f z z c c c Θα αναφεθούε τώα σε εικά χήσια αλλά και σηαντικά αποτελέσατα της ελέτης των ισοετιών του επιπέδου. 7

32 Εφαογή Έστω f : C C ία ισοετία. Να δειχθεί ότι, z w C, η f εταφέει το ευθύγαο τήα που ενώνει τα z, w C σε ένα ευθύγαο τήα που ενώνει τα f ( z), f ( w ). Απόδειξη Θα δώσουε ία γεωετική απόδειξη: Ας υποθέσουε ότι y είναι ένα οποιοδήποτε εσωτεικό σηείο του ευθύγαου τήατος ε άκα τα z, w. Θεωούε δύο κύκλους ε κέντο τα z και w αντίστοιχα οι οποίοι να διέχονται από το y. Τότε από την πόταση 5, το y θα απεικονίζεται στο f z απόσταση ίση ε αυτή που απέχει f ( y ) και το τελευταίο θα απέχει από το ( ) το y από το z. Αντίστοιχα το f ( y ) θα απέχει από το ( ) f w απόσταση ίση ε αυτή που απέχει το y από το w. Επειδή η f διατηεί το ήκος του τήατος ε άκα z, w και αν σκεφτούε πότε ισχύει η ισότητα στην τιγωνική ανισότητα αυτό ολοκληώνει την απόδειξή ας. Σχηατικά έχουε: Εφαογή Να δειχθεί ότι ία f : C C ισοετία διατηεί το έτο των γωνιών (ανεξάτητα από τον ποσανατολισό της γωνίας). Απόδειξη 8

33 Είναι άεση από την εφαογή, θεωώντας τία σηεία: την κουφή της γωνίας Ο και δύο σηεία επιλεχθέντα εκατέωθεν του Ο στις πλευές της γωνίας. Εφαογή Να δειχθεί ότι η στοφή στο επίπεδο C γύω από ένα σηείο Σ κατά γωνία θ ποεί να επιτευχθεί έσω δύο διαδοχικών κατοπτισών ως πος ευθείες που διέχονται από το Σ και σχηατίζουν εταξύ τους γωνία θ/. Απόδειξη Για ία αλγεβική επίλυση ποούε να επιλέξουε η πώτη ευθεία ως πος την οποία γίνεται ο πώτος κατοπτισός να είναι η χχ (στην ουσία δηλαδή πόκειται για την συζυγία). Έστω f ( z) z, z = C και g( z) = ζ z ε ζ cosθ isiθ = +, δηλαδή η δεύτεη απεικόνιση είναι κατοπτισός γύω από ευθεία ε κλίση ta θ / που διέχεται από το Ο. Τότε ( ) ( ) ζ( ) g f z = z = ζ z, η οποία έχει σταθεό σηείο το Ο και αντιποσωπεύει στοφή του επιπέδου C κατά γωνία θ γύω από το Ο. Ή για ία καθαά γεωετική απόδειξη ποούε να χησιοποιήσουε το παακάτω σχήα: Εφαογή 4 I. Να αποδειχθεί ότι ια ετατόπιση του C είναι η σύνθεση δύο διαδοχικών κατοπτισών. II. Χησιοποιώντας την εφαογή και τη συνολική διαπαγάτευση των ισοετιών του C να αποδειχθεί ότι οποιαδήποτε ισοετία του επιπέδου είναι σύνθεση (κάποιου αιθού) κατοπτισών. Απόδειξη I. Θεωούε δύο διαδοχικούς κατοπτισούς ως πος παάλληλες ευθείες. 9

34 Έστω ότι ο πώτος κατοπτισός είναι: ( ) ζ, ε ζ 0 f z = z+ c c+ c= και c οθογώνιο στο ζ και c/ απόσταση από το Ο. Έστω ότι ο δεύτεος κατοπτισός είναι: ( ) ζ, ε ζ 0 g z = z+ d d+ d = και d οθογώνιο στο ζ και d/ απόσταση από το Ο. Τότε: ( ( )) ( ) ( ) g f z = ζ ζ z+ c + d = ζ ζ z+ c + d = ζζ z+ ζ c+ d = ζ z+ ζ c+ d ζ c= c = z + d c. (Να σηειώσουε ότι η απόσταση των ευθειών ήταν d/-c/) Άα η σύνθεση δύο κατοπτισών ως πος παάλληλες ευθείες δίνει ετατόπιση κατά διάνυσα διπλάσιο της απόστασης των δύο ευθειών. II. Τέλος επειδή είδαε ότι οποιαδήποτε ισοετία του R γάφεται στη οφή: = όπου k: κατοπτισός, Rθ : στοφή κατά θ, F R k u θ : u ετατόπιση. Τότε, άεσα από τα ποηγούενα είναι φανεό ότι κάθε ισοετία F γάφεται ως σύνθεση (κάποιου αιθού) κατοπτισών. 0

35 Εφαογή 5 Στο διπλανό σχήα τα D, E και F είναι τα έσα των αντίστοιχων πλευών του τιγώνου ABC. Ποια σχέση υπάχει εταξύ των δυο τιγώνων που σχηατίζονται από τα οθόκεντα G, H, J και τα κέντα Κ, L, M των πειγεγαένων κύκλων των τιγώνων BDΕ, EFC και DAF, αντίστοιχα; Υπόδειξη: Επειδή BE= DF = EC = u, η εταφοά κατά το διάνυσα u απεικονίζει το τίγωνο BDE στο EFC και, επειδή η εταφοά είναι ισοετία, απεικονίζει τα σηεία του ενός στα αντίστοιχα σηεία του άλλου. Ιδιαιτέως, απεικονίζει το G στο H και το Κ στο L, αφού τα σηεία αυτά ποσδιοίζονται έσω συγκεκιένων ετικών σχέσεων από τις πλευές των αντίστοιχων τιγώνων, οπότε BC GH = KL = = u. Ανάλογα, αξιοποιώντας τα διανύσατα v και w που CA υποδεικνύονται στο σχήα, αποδεικνύονται οι HJ = LM = = v και AB JG= MK = = w απ όπου ποκύπτει ότι τα τίγωνα είναι ίσα. Εφαογή 6 υο τίγωνα είναι ίσα, αν και όνον αν ποούν να ταυτισθούν ε ια σύνθεση το πολύ τιών κατοπτισών. Για τίγωνα ίδιου ποσανατολισού ακούν δυο κατοπτισοί. Υπόδειξη: Τα τίγωνα ΑΒC και DEF του σχήατος είναι ίσα, δηλαδή έχουν ίσες τις αντίστοιχες πλευές τους, και έχουν τον ίδιο ποσανατολισό. Για να εταφέουε το ένα πάνω στο F E D ε A=K (D) K (E) K(F) C Β ε

36 άλλο, ακεί να εφαόσουε πώτα τον κατοπτισό Κ, ε άξονα τη εσοκάθετη ε του ευθύγαου τήατος AD, οπότε το σηείο D θα ταυτισθεί ε το Α, και, κατόπιν, τον κατοπτισό Κ, ε άξονα τη εσοκάθετη ε του ευθύγαου τήατος BK (E). Ο τελευταίος κατοπτισός θα ταυτίσει το Β ε το Κ (Ε) και το C ε το Κ (F). Αν τα τίγωνα δεν έχουν τον ίδιο ποσανατολισό, τότε ποούε να αλλάξουε τον ποσανατολισό του ενός έσω οποιουδήποτε κατοπτισού και να αναχθούε στην ποηγούενη πείπτωση. Εφαογή 7 Ευθειοποίηση της πειέτου τιγώνου: Ζητείται να βεθεί το τίγωνο ελαχίστης πειέτου που είναι εγγεγαένο σε οξυγώνιο τίγωνο ABC και έχει κουφή το δεδοένο σηείο D. Υπόδειξη: Τα σηεία D και D που είναι κατοπτικές εικόνες του D ως πος τις ευθείες των ΑΒ και ΑC, αντίστοιχα, είναι δεδοένα και η πείετος του τιγώνου DEF θα ισούται ε το ήκος της τεθλασένης γαής D EFD, που είναι εγαλύτεο από το ήκος του D D. Συνεπώς, το εγγεγαένο τίγωνο ε κουφή το D και ελάχιστη πείετο είναι το GDH, όπως στο σχήα. Εφαογή 8 Να αναλυθούν οι ακόλουθες ισοετίες: I. f ( z) = iz+ II. f ( z) = z+ III. f ( z) = iz+ + i IV. f ( z) = z+ ( + i) Λύση

37 Η λύση είναι άεση χησιοποιώντας τα αποτελέσατα της όγδοης πότασης και του δεύτεου θεωήατος. Επίσης εάν η οφή του ( ) w f z = ζ z+ c επιτέπει εύκολο ποσδιοισό του = ζ ποούε να αναλύσουε το c σε δύο διανύσατα. Το ένα παάλληλο στο w και το άλλο κάθετο σε αυτό χησιοποιώντας τον τύπο ποβολής διανύσατος σε // u c διάνυσα ( c = u ) u Στο τέτατο εώτηα πχ. θα λάβουε ολισθαίνουσα ανάκλαση ε: / / c c + i f ( z) = z+ + i + + i

38 Κεφάλαιο ο : Οι ισοετίες στο σύνολο ΟΙ ΙΣΟΜΕΤΡΙΕΣ ΣΤΟ Αχικά θα αναφεθούε στις ισοετίες σε ένα γενικότεο πλαίσιο, εγαζόενοι στον ευκλείδειο χώο R, κατόπιν θα εστιάσουε το ενδιαφέον ας στις κινήσεις που διατηούν τις αποστάσεις στο χώο (δηλ. στο R ). Θυόαστε πως το σύνηθες εσωτεικό γινόενο διανυσάτων χησιοποιείται για να καθοίζει έτα και γωνίες στον R. x= x,..., x, y= y,..., y R, τότε οίζουε: x y x y και Αν ( ) ( ) x x x x / = = i i= Η γωνία των διανυσάτων x, y. R R = i= x y υπολογίζεται από τον τύπο cos w=. x y i i Οισός Μιά ισοετία του δηλαδή f : R είναι ία συνάτηση που διατηεί τις αποστάσεις, f x f y = x y x y R R ε την ισιότητα ( ) ( ),, R. Πώτα παατηούε ότι το σύνολο όλων των ισοετών του R σχηατίζει ία οάδα (ε πάξη τη σύνθεση απεικονίσεων) την οποία και δηλώνουε ( ( ), ) IsomR. Η απόδειξη είναι απλή αφού το πααπάνω σύνολο είναι η κενό, είναι κλειστό ως πος την πάξη που το εφοδιάσαε, η πάξη είναι ποσεταιιστική υπάχει ταυτοτικό στοιχείο και για κάθε ισοετία υπάχει η αντίστοφή της. Επίσης υπενθυίζουε ότι: Οισός Ένας πίνακας καλείται οθογώνιος = = όπου T T A A A A I είναι ο ανάστοφος πίνακας του A (δηλ κάθε a ij στοχείο του στοιχείο του A ). ηλώνουε ε ( ) πινάκων και ε ( ) O (orthogoal group) το σύνολο όλων των T A είναι το T A a ji οθογωνίων SO (special orthogoal group) το σύνολο όλων των 4

39 οθογωνίων πινάκων ε οίζουσα +. Τέλος ε GL( R, ) (geeral liear group) δηλώνουε το σύνολο των αντιστέψιων πινάκων. Τα πααπάνω σύνολα εφοδιασένα ε τον πολλαπλασιασό πινάκων αποτελούν οάδες και άλιστα: ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( )) SO, < O, < GL, R Παάδειγα: Ο πίνακας που αντιστοιχεί σε στοφή κατά γωνία θ, στο ιγαδικό επίπεδο είναι: matrixr cos θ si θ = θ siθ cosθ ο οποίος είναι οθογώνιος. Η ουσιαστική παατήηση είναι η εξής: Λήα Έστω Α ένας οθογώνιος πίνακας. Η γαική απεικόνιση T : που δίνεται από τη σχέση T( x) = A x είναι ισοετία. Απόδειξη Θα χησιοποιήσουε ενδιάεσα ία ιδιότητα του εσωτεικού γινοένου: T A O και x, y R ισχύει: x Ay= A x y. ( ) Έστω Τ γαική απεικόνιση ε τις πααπάνω υποθέσεις τότε: ιδιότητα T T x = T x = Ax = Ax Ax = AA x = I x = x = x. ( ) ( ) Οπότε T( x) = Αλλά : ( ) ( ) x T T x T y = T x y = x y R R είναι γαική, εποένως : ( ) ( ) ( ) η Τ είναι ισοετία. R R Μία τέτοια γαική απεικόνιση την καλούε οθογώνια γαική απεικόνιση. Είναι ενδιαφέον ότι οποιαδήποτε ισοετία διατηεί το 0, πέπει να είναι οθογώνια γαική απεικόνιση. Πόταση Αν f Isom( R ) ε ( ) οθογώνιος πίνακας Α: ( ) f 0 = 0 (δηλ f x = A x f Isom 0R ) τότε υπάχει ένας Απόδειξη Βήα ο :Μία ισοετία που διατηεί το 0, διατηεί το εσωτεικό γινόενο. 5

40 εδοένου ότι η f είναι ία ισοετία που διατηεί το 0, έχουε: f x f 0 = x 0 = x f x = x. Είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f y = x y = x x y+ y και f ( x) f ( y) = f ( x) f ( x) f ( y) + f ( y) και αν εξισώσουε τις δύο ποηγούενες σχέσεις ε τη βοήθεια της ( ) λαβάνουε ότι f ( x) f ( y) = x y f x = x Βήα ο : Θα δείξουε ότι η f όπως την οίσαε είναι γαική. Έστω e, e,..., e η συνήθης οθοκανονική βάση του R και f ( e j) = v j, j=,,..., επειδή ei e j = 0, i j και από το ο βήα f ( ei) f ( e j) = ei e j = 0, i j, επίσης είναι: vi = f ( ei) = ei εποένως ποκύπτει ότι και τα v, v,..., v είναι επίσης ία οθοκανονική βάση του R. Έστω ένα τυχαίο διάνυσα x R, τότε αυτό θα γάφεται ως γαικός συνδυασός της συνήθους οθοκανονικής βάσης, δηλαδή x x e και ακόη f ( x) = R άα ποεί να γαφτεί ώς γαικός συνδυασός της της δεύτεης οθοκανονικής βάσης που αναφέθηκε. ( ) f x a v = j= xi = x ei f ( x) f ( ei) = f ( x) vi = a jv j vi ο j= v v a = v a = a x = a, οπότε: β ήα v v = 0 i j = = i i i i i i. ηλαδή i i j j i= i i Τότε όως θα έχουε: υπ ( ) ό θεση f x = f xi ei = a jv j = xi vi = xi f ( ei) και άα η f είναι i= j= i= i= γαική. Βήα ο : Ξέουε ότι η f είναι γαική απεικόνιση που εταφέει τη συνήθη οθοκανονική βάση e, e,..., e R σε ία άλλη οθοκανονική βάση v, v,..., v R i j, 6

41 Έστω Α ο πίνακας της fως πος την κανονική βάση. Τότε η j στήλη του Α είναι = = ( ) A e f e v j j j Και αφού οι στήλες σχηατίζουν ια οθοκανονική βάση του T A A= I. Το οποίο και ολοκληώνει την απόδειξή ας. R, έχουε Πόισα Η υποοάδα των ισοετιών που αφήνουν αναλλοίωτο το 0 είναι ισόοφη κατά φυσικό τόπο ε την οάδα των οθογώνιων πινάκων. Και θα συβολίζουε: ( ) ( R 0 ) ( ( R ) ) ( ) ( ) O, Isom, Isom, Τώα έχουε τα εφόδια να εξάγουε ένα αποτέλεσα που θα ας φανεί ιδιαίτεα χήσιο στη συνέχεια της διεεύνησης των ισοετιών: κάθε ισοετία του ποεί να γαφτεί ως γινόενο (σύνθεση) ιας ετατόπισης και ενός στοιχείου O Isom. ( ) 0 Υπενθυίζουε ότι: Οισός Μετατόπιση (traslatio) στον R είναι ία απεικόνιση της οφής t t : ε t x = = x + c R R για κάποιο διάνυσα c R. c c ( ) Να σηειώσουε ότι όλες οι ετατοπίσεις είναι ισοετίες και το σύνολο όλων των ισοετιών σχηατίζει ία υποοάδα: Tras( ) Πόταση Κάθε ισοετία f Isom( ) οφή f ( R, ) < ( Isom( R ), ) 7 R R ποεί να γαφτεί ε οναδικό τόπο στη = t Y, t κάποια ετατόπιση και Y στοιχείο του O( ) Έστω f ία οποιαδήποτε ισοετία του t f 0 = 0, οπότε η ισοετία t Τότε ( ) ( ) = = t f Y O f ty Απόδειξη = R και c f ( 0) f διατηεί το 0 και άα R. Έστω Η οναδικότητα είναι ποφανής, αφού το t είναι καθοισένο οναδικά και =, ε f καθοισένη ισοετία. Y t f t= t c.

42 Μία άλλη απόδειξη για τη οναδικότητα έχει ως εξής: Έστω f ty t ' Y ' = = ε t, t ' Tras( ) R και Y, Y ' O( ) t ' t= Y ' Y. Αλλά η τοή της οάδας ετατοπίσεων του, τότε θα ισχύει R και της οάδας ισοετιών που αφήνουν αναλλοίωτο το 0 είναι η ταυτοτική, δηλαδή: ( ( ) ) ( ) ( ) Tras R, Isom R, Id Εποένως t ' t= Id t= t ' και Y ' Y Id Y ' Y = =, άα f = R = ty γάφεται κατά οναδικό τόπο. Θεώηα Η οάδα των ετατοπίσεων του ισοετιών του ( Tras( R ) ) Isom( ) R και συβολικά γάφουε: ( R ),, R είναι κανονική υποοάδα του συνόλου των Ακόη ισχύει: Isom( R )/ Tras( R ) Isom ( R ) O( ) Απόδειξη Έστω f Isom( R ) ια τυχαία ισοετία και έστω t= t Tras( ) ετατόπιση. ( R, ) < ( Isom( ), ) Το ότι Tras( ) Id Tras( R ) ( ) ( ), t t Tras R, t, t ( κλειστότητα) t Tras R t (ποφανώς) R είναι απλό διότι: Πέπει όνο να ελέγξουε ότι το ftf Tras( R ), f Isom( R ) Χησιοποιώντας την πόταση ποούε να γάψουε ( ) t ' Tras R και Y O( ) Τώα αφού Y O( ) γαική) 8 0 c f = t ' Y ε. Τότε = ( ) = ( ) R ια ftf t ' Yt t ' Y t ' YtY t ' Y Isom R Y x = Ax είναι γαική ( 0( ) ( ) Έχουε: ( ) ( ), άα ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ɶ όπου YtY x Y t Y = x = Y Y x + c = x+ Y c = t x ποφανώς το tɶ = ty( c) Tras( ) Άα το στοιχείο που είχαε πος έλεγχο ftf = t ' tt ɶ ' Tras( ) πάγατι Tras( R ), Isom R, ( ) ( ( ) ) R, είναι δηλαδή και αυτό ία ετατόπιση. R, άα

43 Υπενθυίζουε το θεελιώδες θεώηα Οοοφισών: G, και G ', οάδες και g : G G ' ένας οοοφισός Έστω ( ) ( ) ( g( a b) = g( a) g( b) ) Τότε: G / ker g G ' Για τη δική ας πείπτωση οίζουε: h : Isom ( ) O( ) R, εφαόζοντας την πόταση που λέει ότι αν ας δοθεί ία f Isom( R ) γάφεται κατά οναδικό τόπο ως f h( f) = Y Η h όπως οίστηκε είναι οοοφισός διότι: Αν πάουε την g Isom( ) ( )( ) ( ) fg= ty t ' Y ' = t Yt ' Y ' R ε g= t ' Y ' τότε = ty και συφωνούε να είναι Από την κανονικότητα της οάδας Tras( R ) και την ποηγούενη εγασία ας ɶ ɶ ' fg= t ty ɶ Y = ttyy ɶ οπότε t= Yt ' Y ty = Yt Άα ( ) ' ' h( fg) = YY ' = h( f) h( g) Ποφανώς αφού οίσαε h( f) ( )/ ( ) ( ) ( ) = Y θα είναι ker h= Tras( R ) οπότε IsomR Tras R Isom R O. 0 Τι πεισσότεο ποούε να πούε για τις ισοετίες του (, ) ηλαδή την οάδα των οθογώνιων πινάκων O( ) ισόοφη ε το σύνολο των ισοετιών του ( Isom ( R 0 ), ) Αν A O( ) T τότε A A I = και άα ( T T ) ( ) R που διατηούν το 0 ; που όπως είδαε πιν είναι R που διατηούν το 0 δηλ: det A A = det A det A = det A = det A=± Εστιάζουε τώα στην πείπτωση όπου det A= 9

44 Πόταση Έστω A SO( ). Τότε υπάχει ένα η ηδενικό διάνυσα v R : A v= v f x = A x είναι (καλείται ιδιοδιάνυσα του Α) και η γαική απεικόνιση ( ) στοφή κατά γωνία θ επί ενός επιπέδου κάθετου στον άξονα που καθοίζεται από το v. Απόδειξη Ενδιάεσα θα χειαστούε τον παακάτω ισχυισό: T Έστω A R και A ο ανάστοφος του. Τότε οι πίνακες αυτοί έχουν το ίδιο χαακτηιστικό πολυώνυο. Λύση Έστω p ( x) = xi A και ( ) πολυώνυα. Ξέουε ότι: ( ) ( ) Οπότε: p x xi A T = τα χαακτηιστικά τους T T T T T T = = = xi A xi A xi A xi A T T ( ) = = ( ) = = ( ) p x xi A xi A xi A p x Επιστέφουε στην απόδειξη της κυίως πότασης. det 0 Υπάχει ένα τέτοιο ιδιοδιάνυσα αν και όνο αν ( A I) A SO( ) είναι: ό det A I = det A A A = det A det I A ισχυισ = ς T T ( ) ( ) ( ) ( I A) ( ) ( A I ) ( A I ) det = det det = 0 =, αλλά αφού Επιλέγουε ένα ιδιοδιάνυσα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιή. ηλαδή A v= λv A v= v και f ( v) = A v= v (αφήνει αναλλοίωτο το v ) Τώα επιλέγουε ία οθοκανονική βάση v, v, v R ε v = v και αφού f ( v) = v αυτό σηαίνει ότι η f πέπει να απεικονίζει τα διανύσατα v, v σε αοιβαία οθογώνια οναδιαία διανύσατα οοίως οθογώνια ως πος το v (πόταση ). ηλαδή η f πέπει να δίνει ια οθογώνια γαική απεικόνιση από το επίπεδο που καθοίζουν τα v, v στον εαυτό του, δηλαδή είτε στοφή του επιπέδου είτε γινόενο (σύνθεση) στοφής ε κατοπτισό. Αλλά αφού det A= το τελευταίο αποίπτεται. 40

45 Εξηγούε το ποηγούενο ε την παάθεση ενός ενδιάεσου (ακόη) ισχυισού που έχει να κάνει ε το γνώιο χώο των ισοετιών του R = C : Α) Αποδεικνύουε ότι κάθε οθογώνιος πίνακας ποεί να γαφτεί είτε ως cos w si w cos w si w si w cos w ή si w cos w για κάποιο w R Β) Ακόη ο δεύτεος πίνακας που αναφέαε είναι το γινόενο ίας στοφής και A SO πόκειται αναγκαστικά για ενός κατοπτισού. Επιπλέον αν ( ) στοφή: Α) Έστω a b A= c d Λύση R τότε έχουε: T a b a c Α οθογώνιος AA = I I c d = b d a + b = + + ac+ bd c + d 0 ac+ bd = 0 a b ac bd 0 = c + d = Επίσης από τη γνωστή ταυτότητα ( ad bc) ( ac bd) ( a b )( c d ) οπότε από τα δεδοένα που έχουε ( ) 0 ad bc=± Για + + = + +, ad bc ad bc=, θεωούε το σύστηα a, b. Είναι c d D c d d c = = = + = και έτσι ποκύπτει: ac+ bd = 0 ε αγνώστους τους ad bc= και D a 0 d = = d c c 0 Db = = c. Άα a= d και b= c. Παίνουε το διάνυσα d x= a, b οπότε x = a + b = και αν w η γωνία που σχηατίζει το x ( ) ε τον χχ τότε ποφανώς a= cos wκαι b= si w, οπότε cos w si w A= si w cos w, 4

46 Αντίστοιχα εγαζόενοι για ad bc= θεωούε το σύστηα ac+ bd = 0 ad bc= και επιλύοντάς το ε αγνώστους a, b βίσκουε d = a και c= bκαι αν w η γωνία που σχηατίζει το x ε τον χχ τότε ποφανώς a= cos wκαι b= si w= c και d = cos w, οπότε : cos w si w A= si w cos w. Β) Στην τελευταία πείπτωση άλιστα παατηούε ότι 0 cos w si w cos w si w A= = 0 si w cos w si w cos w ο πίνακάς ας, γάφεται ως γινόενο στοφής ε κατοπτισό και αν det A= ο πίνακας που λαβάνουε είναι αποκλειστικά στοφή. Για να επεκτείνουε τη διεεύνηση που ποηγήθηκε, σε όλο το ( ) να ελέγξουε την πείπτωση det (δηλαδή υπάχει ιδιοτιή -) Έλεγχος: O ποούε A= τότε υπάχει ιδιοδιάνυσα: Av= v T T T ( A+ I) = ( A+ AA ) = A ( I+ A ) = det( I+ A ) det det det det ( I A) ( I A) = det + det + = 0, οπότε πάγατι υπάχει ιδιοτιή - και θα είναι: f ( v) = Av= v Επιλέγουε ε το ίδιο σκεπτικό όπως πιν ένα οναδιαίο ιδιοδιάνυσα v = v και επιλέγουε ία οθοκανονική βάση v, v, v R και αφού f ( v) = v θα πέπει από την πόταση να απεικονίζει τα διανύσατα v, v σε αοιβαία οθογώνια οναδιαία διανύσατα οοίως οθογώνια ως πος το v. ηλαδή η f πέπει να δίνει ία οθογώνια γαική απεικόνιση από το επίπεδο που καθοίζουν τα v, v στον εαυτό του, δηλαδή είτε στοφή του επιπέδου είτε κατοπτισό είτε σύνθεση αυτών. Μποούε τώα να ποχωήσουε σε ία πλήη ταξινόηση των ισοετιών του R, ανάλογη ε εκείνη που είχαε στον R. 4

47 Ποφανή πααδείγατα ισοετιών του R είναι:. Μετατόπιση (traslatio): οσένου διανύσατος c t : t x = x+ c. R R ε c c( ). Στοφή (rotatio): Είδαε ότι αν A SO( ) απεικόνιση T( x) R έστω τότε η γαική = Ax αντιστοιχεί σε ία στοφή γύω από άξονα l R (άξονας που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσα ε ιδιοτιή ).. Κατοπτισός (reflectio): Η απεικόνιση R( x, y, z) ( x, y, z) = είναι ένας κατοπτισός στο xy επίπεδο. Με την οολογία που αναπτύξαε είναι η κανονική ισοετία (improper isometry) αφού αντιστέφει τον ποσανατολισό. Σηειώνουε ότι ε τον όο κατοπτισός εννοούε πάντα ανάκλαση ως πος επίπεδο. Τώα όταν εξετάζουε τη σύνθεση αυτών των τιών τυπικών απεικονίσεων, οδηγούαστε στο να οίσουε τεις επιπλέον τύπους ισοετίας. 4. Ολισθαίνουσα ανάκλαση (glide reflectio): Κατοπτισός ως πος ένα επίπεδο και κατόπιν ετατόπιση κατά ένα διάνυσα που βίσκεται στο T x, y, z = x+, y, z. αυτό επίπεδο. Παάδειγα: ( ) ( ) 5. Πειστοφικός κατοπτισός (rotatory reflectio): Κατοπτισός ως πος ένα επίπεδο και κατόπιν στοφή γύω από ένα άξονα κάθετο σε αυτό T x, y, z = y, x+, z. το επίπεδο. Παάδειγα: ( ) ( ) 6. Ελικοειδής (screw): Στοφή γύω από ένα άξονα l και κατόπιν ετατόπιση κατά ένα διάνυσα παάλληλο σε αυτόν τον άξονα. T x, y, z = y, x, z+. Παάδειγα: ( ) ( ) Πόισα Αυτό που ένει τώα είναι να δείξουε ότι κάθε ισοετία του R είναι ία οφή εκ των ποηγούενων έξι τύπων. Η ιδέα είναι να χησιοποιήσουε την πόταση για να αναλύσουε όλους τους δυνατούς τύπους ισοετιών. Ως πώτο βήα εξάγουε το ακόλουθο συπέασα από την πόταση., τότε η γαική απεικόνιση f ( x) = Ax Αν A O( ) είναι ία εκ των παακάτω οφών: ταυτότητα, στοφή, κατοπτισός ή το γινόενο (σύνθεση) στοφής ε κατοπτισό. Απόδειξη 4

48 Εάν det A=+ τότε από την πόταση η f αντιποσωπεύει στοφή γύω από ιδιοδιάνυσα v, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιή, κατά γωνία θ (αν άλιστα θ=0 λαβάνουε την ταυτοτική). r x, y, z = x, y, z ο κατοπτισός ως πος επίπεδο xy τότε είναι Έστω ( ) ( ) det r=, αν τώα έχουε και det A=, από τον κανόνα του γινοένου για τις οίζουσες det r det A=+ και άα r f θα είναι στοφή σύφωνα ε τα ποηγούενα (πόταση ). Οπότε ποούε να γάψουε: r f = R f = r R= r R ( r = Id rr= Id r = r, ο κατοπτισός είναι τάξεως ). Άα η f γάφεται ως γινόενο στοφής ε κατοπτισό. Αν έχουε την πείπτωση det A=, το πότε η ( ) f x = Ax είναι είτε απλά κατοπτισός είτε πειστοφικός κατοπτισός το ξεκαθαίζουε ε το παακάτω: Λήα Έστω l, H ία ευθεία και ένα επίπεδο αντίστοιχα που διέχονται από την αχή των αξόνων. Έστω r H ο κατοπτισός ως πος επίπεδο Η, και έστω R l η στοφή πεί τον άξονα l. Έστω f r R. Τότε αν l H, η f είναι = H l κατοπτισός ως πος επίπεδο (θα δούε ποιό), διαφοετικά η f θα είναι πειστοφικός κατοπτισός. Απόδειξη Έστω ότι αχικά υποθέσουε l H ( η ευθεία κείνται επί του επιπέδου) και έστω v f v = v και θεωούε τη δάση της f σε l, η ηδενικό. Θυόαστε ότι ( ) επίπεδο Π, οθογώνιο στην l. Είναι ποφανές ότι R l Π είναι στοφή του Π και H είναι κατοπτισός (ως πος το Η, αλλά πειοιζόαστε στα σηεία του Π). Οπότε πόκειται για κατοπτισό ως πος ευθεία l '=Π Η. Ακολούθως από την εγασία ας στο C, βισκόενοι επί του Π έχουε στοφή και κατοπτισό, δηλαδή είναι κατοπτισός ως πος l ' Π. Άα για αυτό r R Π η σύνθεση ( ) H l πόκειται για κατοπτισό του R ως πος επίπεδο που εκτείνεται από τις ll, '. Θεωούε τώα τη γενική πείπτωση όπου l H και f r R. Αντίστοιχα ε = H l το C, η στοφή και στο R επιτυγχάνεται ε διαδοχικό κατοπτισό σε δύο επίπεδα που σχηατίζουν εταξύ του γωνία θ/, οπότε έχουε rl = rη rη. Τώα είναι εύκολο να δούε ότι αν επιλέξουε H H, H H και r Π 44

49 H H είναι: r r r Id οπότε: Η Η Η = = H l = ( ) = ( ) = ( ) ( ) =( rη rη rη ) ( rη rη ) = rη rη = R l l ' = H H f r R r r r r r r r r r r r Η Η Η Η Η Η Η Η Η Η Η, όπου ' ένει είναι να παατηήσουε ότι η '. Αυτό που R l είναι πειστοφικός κατοπτισός. Όταν εισάγουε ετατοπίσεις ποκύπτουν ανάλογα εωτήατα: η σύνθεση ετατόπισης και κατοπτισού είναι πάντα ένας κατοπτισός ή ολισθαίνουσα ανάκλαση; Η σύνθεση ετατόπισης και στοφής είναι πάντα στοφή ή ελικοειδής ετατόπιση; Λήα Έστω t c ετατόπιση και r H κατοπτισός ως πος επίπεδο Η (δεν χειάζεται να διέχεται από την αχή). Αν το c είναι οθογώνιο στο Η, τότε η κατοπτισός (ως πος επίπεδο παάλληλο στο Η). ιαφοετικά η ολισθαίνουσα ανάκλαση (ως πος επίπεδο παάλληλο στο Η). Λήα 4 Έστω 45 t t c c r είναι r H H είναι t ετατόπιση και R c l στοφή γύω από άξονα l (δεν χειάζεται να διέχεται από την αχή). Αν c είναι οθογώνιο στον l, τότε η στοφή γύω από άξονα ελικοειδής ετατόπιση l ' παάλληλο στον l. ιαφοετικά η Απόδειξη t c R είναι l t c R Αν c είναι οθογώνιο στον l, τότε έστω Π το επίπεδο που πειέχει το σηείο αναφοάς και είναι οθογώνιο στο l. Τότε το tc Π c Π και R l Π είναι στοφή του Π. Τότε όως η είναι ετατόπιση κατά διάνυσα t c R θεωούενη επί του επιπέδου Π είναι στοφή σύνθεση ετατόπιση που ελετήθηκε διεξοδικά στο f z z c C (οφή ( ) = ζ + ) και βέθηκε να διατηεί σταθεό σηείο, έστω Σ, και ακολούθως να αποτελεί στοφή γύω από το εν λόγο σηείο. Άα πάγατι η t c Rl είναι στοφή γύω από τον l'/ / l που διέχεται από το Σ. Αν το c // δεν είναι οθογώνιο στον l, το γάφουε: c= c + c //, ε c / / l και c οθογώνιο στον l. Άα θα έχουε t = t // + t, οπότε: ( l) t R t t R l = / / όπου το t Rl = Rl ' c c c c l c c c είναι στοφή γύω από τον l'/ / l. l

50 Άα τότε άεσα η t R t R l = / / l ' είναι ελικοειδής ετατόπιση αφού πήαε // c / / l. c c Θεώηα Κάθε ισοετία του R είναι ία εκ των παακάτω οφών:. Η ταυτοτική, (idetity).. Μετατόπιση, (traslatio). Πειστοφή, (rotatio) 4. Κατοπτισός, (reflectio) 5. Ολισθαίνουσα ανάκλαση, (glide reflectio) 6. Πειστοφικός κατοπτισός, (rotatory reflectio) 7. Ελικοειδής ετατόπιση, (screw). Από αυτές τις κινήσεις οι (), (), (), (7) καλούνται κανονικές (proper) διότι διατηούν τον ποσανατολισό. Ενώ οι (4), (5), (6) καλούνται η κανονικές (improper) διότι αντιστέφουν τον ποσανατολισό. Απόδειξη Από την πόταση, κάθε ισοετία του R ποεί να γαφτεί κατά οναδικό τόπο στη οφή t Y όπου t είναι ία ετατόπιση και Y O( ) Isom 46 R. Αφού το Y είναι στοφή, ανάκλαση ή πειστοφικός κατοπτισός (πόισα - Λήα ), αν η t= Id, δεν έχουε τίποτα να ελέγξουε. Ας δούε τώα τι συβαίνει αν ία κίνηση στον R του τύπου Y ακολουθείται από ία ετατόπιση t. Αν Y = Id, λαβάνουε ετατόπιση. Όταν το Y είναι στοφή, από το Λήα 4 λαβάνουε είτε ελικοειδή ετατόπιση είτε στοφή. Όταν το Y είναι κατοπτισός, από το Λήα, το t Yθα είναι είτε ένας άλλος κατοπτισός είτε ολισθαίνουσα ανάκλαση (glide reflectio) Όταν το Υ είναι πειστοφικός κατοπτισός, το t Yθα είναι πειστοφικός κατοπτισός. Για να στηίξουε τον τελευταίο ισχυισό, έστω t= tc και Y = rh Rl ε H t Y t r R υπάχουν δύο πειπτώσεις = c H l l. εδοένου ότι, ( ) πος εξέταση. Αν c οθογώνιο στο Η το t c r H αντιποσωπεύει κατοπτισό r ως πος ένα επίπεδο Η //Η, οπότε t Y r R είναι ποφανώς H ' = H ' l πειστοφικός κατοπτισός. Αν το c δεν είναι οθογώνιο στο Η, το tc rh είναι ολισθαίνουσα ανάκλαση και είναι tc rh = tc ' rh ' όπου Η //Η και c παάλληλο στο Η. Επιπλέον είναι και εταθετές οι συγκεκιένες απεικονίσεις. Εποένως 0

51 ( ) t Y = r t R = r R (Λήα 4) ε l / / l ' και αφού H ' c' l H ' l ' l ' είναι και αυτό κάθετο στο Η, έχουε πάλι πειστοφικό κατοπτισό (rotatory reflectio). Συνοπτικά έχουε τον ακόλουθο πίνακα: Σύνολο Σταθεών σηείων Κανένα Ένα Ευθεία επίπεδο Όλα Κανονική ισοετία (improper isometry) Μετατόπιση ή Ελικοειδής ετατόπιση (traslatio or screw) Στοφή (rotatio) Ταυτότητα (idetity) Μη κανονική ισοετία (improper isometry) Ολισθαίνουσα ανάκλαση (glide reflectio) Πειστοφικός κατοπτισός (rotatory reflectio) Κατοπτισός (reflectio) Για να φτάσουε σε αυτές τις αυστηά οισένες φόες συετιών, που έχουν θεελιωθεί ε τη βοήθεια εγαλείων που ποσφέθηκαν από τα νεώτεα αθηατικά, η ανθώπινη διανόηση άγγιξε την έννοια της συετίας πολύπλευα έσα από πολλά και διαφοετικά οτίβα και εεθίσατα. Θα αναφεθούε σε εικές τέτοιες πειπτώσεις: ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΟΜΑ ΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΩΝ ΤΩΝ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ ΥΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ: Οι συετίες του ισόπλευου τιγώνου και του τεταγώνου. 47

52 . Έστω ένα ισόπλευο τίγωνο ε κουφές, και τότε οι δυνατές διευθετήσεις του επί του επίπέδου ώστε να διατηούνται οι αποστάσεις των κουφών του είναι οι ακόλουθες: 0 = = = = = = όπου ε 0 δηλώνουε τον ταυτοτικό ετασχηατισό και ε, δηλώνουε τη στοφή κατά 0 και 40 αντίστοιχα του ισόπλευου τιγώνου. Τέλος ε,, οίζουε τις συετίες του τιγώνου ως πος την αντίστοιχη κάθε φοά διχοτόο. Είναι ποφανές ότι τα ποαναφεθέντα A=,, και απατίζουν την στοιχεία είναι οι εταθέσεις του συνόλου { } οάδα S. Είναι εύκολο να διαπιστώσουε ότι το σύνολο D = {,,,,, } 0 εφοδιασένο ε τη σύνθεση απεικονίσεων έχει δοή οάδας ε πίνακα: Και λέγεται η οάδα D των συετιών του ισόπλευου τιγώνου. Ο συβολισός D ποκύπτει από τον όο τίτη διεδική οάδα. Η -στη διεδική οάδα D είναι η οάδα των συετιών του κανονικού -γώνου. ίνουε το δικτυωτό διάγαα των υποοάδων της D. 48

53 {,,,,, } D = 0 {,, } 0 {, } {, } {, } 0 { 0 } 0 0. Θα σχηατίσουε τώα τη διεδική οάδα D 4 των εταθέσεων που αντιστοιχεί στους τόπους ε τους οποίους δύο αντίγαφα ενός τεταγώνου ε κουφές:,, και 4 ποούν να τοποθετηθούν ώστε το ένα να καλύπτει το άλλο. Η D 4 θα λέγεται η οάδα των συετιών του τεταγώνου (κάποιες φοές αναφέεται και ως οκτική οάδα). Χησιοποιούε το i για τις στοφές και το i για τους κατοπτισούς ως πος τις εσοκαθέτους των πλευών και το δ για τους κατοπτισούς ως πος τις διαγώνιες. Υπάχουν i οκτώ εταθέσεις που εφανίζονται εδώ. Θέτουε: = 4, = 4, = 4, 4 = 4 και 4 = 4 4 = 4,, 4 δ= 4 4 δ = 4, Είναι εύκολο να ελέγξουε ότι ο πίνακας της D 4 είναι: 49

54 0 δ δ 0 0 δ δ 0 δ δ 0 δ δ 0 δ δ δ δ δ δ δ 0 δ δ 0 δ 0 δ δ 0 Τέλος δίνουε το δικτυωτό διάγαα των υποοάδων της D 4. D 4 {,,, } {,,, } {,, δ, δ } {, } {, } {, } {, δ } {, δ } Τόσο η ( D ) όσο και η ( ), επιπέδου (, ) 4, { 0 } D είναι υποοάδες της οάδας ισοετιών του IsomR. Μας φάνηκαν ιδιαίτεα χήσιες ως πος τη ελέτη της ίδιας της δοής τους και τις εφαογές που έχουν. (π.χ. οάδες αυτοοφισών των ιζών ίας πολυωνυικής εξίσωσης ε ητούς συντελεστές). Επίσης θα παατηήσουε ότι σε ένα ισοσκελές τίγωνο η οάδα συετιών του, απατίζεται από την ταυτοτική και την ανάκλαση ως πος τη διχοτόο της κουφής. Ενώ σε ένα σκαληνό τίγωνο ο όνος ετασχηατισός που αφήνει αναλλοίωτες τις αποστάσεις είναι ο ταυτοτικός. Οδηγούαστε δηλαδή στη σκέψη ότι σε ένα δεδοένο τύπο σχήατος (τίγωνο) όσο εγαλύτεη είναι η συετική του οάδα τόσο εγαλύτεη είναι η κανονικότητα που παουσιάζει. 50

55 Οι συετίες των πέντε πλατωνικών στεεών (πειγαφικά) Υπάχουν πέντε όνο διαφοετικά είδη κανονικών πολυέδων, το κανονικό τετάεδο, ο κύβος, το οκτάεδο, το δωδεκάεδο και το εικοσάεδο. Τα κανονικά πολύεδα είναι συνδεδεένα ε το όνοα του Πλάτωνα (Πλατωνικά στεεά), γιατί αυτός αναπτύσσοντας το κοσογονικό του σύστηα στο διάλογο Τίαιος, κάνει αναφοά σε αυτά. Ο Θεαίτητος, που ήταν έλος της Πλατωνικής σχολής, θεωείται κατά γενική οολογία ο πώτος που απέδειξε ότι τα πέντε αυτά πολύεδα είναι και τα όνα δυνατά κανονικά πολύεδα. Η θεωία της κατασκευής των πέντε κανονικών πολυέδων πειγάφεται στο βιβλίο XIII των Στοιχείων του Ευκλείδη, από τις ποτάσεις έχι και 7. Τα κανονικά στεεά κατατάσσονται βάσει της οάδας συετιών τους. Οι οάδες συετιών των πέντε πλατωνικών στεεών είναι από τις βασικές υποοάδες των ισοετιών στον τισδιάστατο χώο. κανονικό τετάεδο κανονικό οκτάεδο κανονικό εξάεδο 5

56 κανονικό δωδεκάεδο κανονικό εικοσάεδο Συετίες Τεταέδου (Τεταεδική οάδα) Αποδεικνύεται ότι η οάδα των συετιών του κανονικού τεταέδου είναι ισόοφη ε την οάδα των εταθέσεων τεσσάων αντικειένων S 4. Πειγαφικά, την οάδα συετιών του τεταέδου αποτελούν οι ακόλουθες είκοσι τέσσεις συετίες: Η ταυτοτική της S4που αφήνει τις τέσσεις κουφές του τεταέδου σταθεές. Οι οκτώ πειστοφές κατά 0 ε άξονες πειστοφής τους τεις άξονες που διέχονται από τις κουφές και το κέντο της απέναντι έδας του κανονικού τεταέδου. Οι τεις πειστοφές κατά 80 ε άξονες πειστοφής τις ευθείες που διέχονται από τα έσα ακών του τεταέδου. Οι κατοπτισοί ως πος επίπεδα που διέχονται από ία ακή του τεταέδου και το έσον της απέναντι ακής και οι συνθέσεις τους. Οι συετίες του τεταέδου που διατηούν τον ποσανατολισό είναι (οι πώτες κατηγοίες που αναφέαε) και έχουν τη δοή οάδας που είναι ισόοφη ε την A 4 (άτιες εταθέσεις τεσσάων αντικειένων). 5

57 Συετίες Κύβου-οκταέδου (Οκταεδική οάδα) Το κανονικό οκτάεδο και ο κύβος είναι δυικά κανονικά πολύεδα, που σηαίνει γεωετικά ότι το ένα εγγάφεται στο άλλο, δηλαδή τα κέντα των εδών του κύβου είναι κουφές του οκταέδου και το αντίστοφο. Με βάση αυτή την ιδιότητα, τα δυικά πολύεδα έχουν τον ίδιο αιθό συετιών, αφού κάθε ετασχηατισός που αφήνει αναλλοίωτο ένα πολύεδο, θα κάνει το ίδιο και για το δυικό του. Εποένως, το οκτάεδο θα έχει τις ίδιες συετίες ε τον κύβο ποιοτικά και ποσοτικά, που σηαίνει ότι θα έχει την ίδια οάδα συετίας, την οποία ονοάζουε οκταεδική. Αποδεικνύεται ότι η οάδα των συετιών του κανονικού τεταέδου είναι ισόοφη ε την οάδα S 4 Z. Πειγαφικά, την οάδα συετιών του εξαέδου αποτελούν οι ακόλουθες σαάντα οκτώ συετίες: Η ταυτοτική της S8που αφήνει τις οκτώ κουφές του κύβου σταθεές. Οι εννέα πειστοφές κατά 90 ε άξονες πειστοφής τους τεις άξονες που διέχονται από τα κέντα των απέναντι εδών του κύβου, και οι οποίες αντιστοιχούν στις εννέα πειστοφές του εγγεγαένου οκταέδου στον κύβο κατά 90, ε άξονες πειστοφής τους τεις άξονες που διέχονται από τις απέναντι κουφές του οκταέδου. Οι οκτώ πειστοφές κατά 0 ε άξονες πειστοφής τους τέσσεις άξονες που διέχονται από τις απέναντι κουφές του κύβου, και οι οποίες αντιστοιχούν στις οκτώ πειστοφές του εγγεγαένου στον κύβο οκταέδου κατά 0, ε άξονες πειστοφής τους τέσσεις άξονες που διέχονται από τα κέντα των απέναντι εδών του οκταέδου. 5

58 Οι έξι πειστοφές κατά 80 ε άξονες πειστοφής τους έξι άξονες που διέχονται από τα έσα των απέναντι ακών του κύβου, οι οποίες αντιστοιχούν στις έξι πειστοφές του εγγεγαένου στον κύβο οκταέδου κατά 80, ε άξονες πειστοφής τους έξι άξονες που διέχονται από τα έσα των απέναντι ακών του οκταέδου. Οι δώδεκα κατοπτισοί στα τία επίπεδα που διέχονται από τα έσα των απέναντι πλευών του κύβου, οι οποίοι αντιστοιχούν σε κατοπτισούς του εγγεγαένου στον κύβο οκταέδου, στα τία επίπεδα που διέχονται από τις τέσσεις απέναντι ακές του οκταέδου. Οι δώδεκα κατοπτισοί στα έξι επίπεδα που οίζονται στις απέναντι πλευές του κύβου, οι οποίοι αντιστοιχούν σε κατοπτισούς του εγγεγαένου στον κύβο οκταέδου, στα έξι επίπεδα που διέχονται από δύο απέναντι κουφές και τα έσα των απέναντι ακών του οκταέδου. Συετίες ωδεκαέδου-εικοσαέδου (Εικοσαεδική οάδα): Το κανονικό εικοσάεδο και το δωδεκάεδο είναι δυικά κανονικά πολύεδα. Συνεπώς, το εικοσάεδο και το δωδεκάεδο έχουν την ίδια οάδα συετιών η οποία ονοάζεται εικοσαεδική. Αποδεικνύεται ότι η οάδα των συετιών του κανονικού δωδεκαέδου είναι ισόοφη ε την οάδα A 5 Z Την εικοσαεδική οάδα αποτελούν εκατόν είκοσι συετίες: Η ταυτοτική απεικόνιση που αφήνει τις δώδεκα κουφές του δωδεκαέδου σταθεές. Οι είκοσι τέσσεις πειστοφές κατά 7 ε άξονες πειστοφής τους έξι άξονες που διέχονται από τα κέντα των απέναντι εδών του δωδεκαέδου, και οι οποίοι αντιστοιχούν 54

59 στις πειστοφές κατά 7 του εγγεγαένου στο δωδεκάεδο εικοσαέδου, ε άξονες πειστοφής τους έξι άξονες που διέχονται από τις απέναντι κουφές του εικοσαέδου. Οι είκοσι πειστοφές κατά 0 ε άξονες πειστοφής τους δέκα άξονες που διέχονται από τις απέναντι κουφές του δωδεκαέδου, οι οποίες αντιστοιχούν στις πειστοφές κατά 0 του εγγεγαένου στο δωδεκάεδο εικοσαέδου, ε άξονες πειστοφής τους δέκα άξονες που διέχονται από τα κέντα των απέναντι εδών του εικοσαέδου. Οι δεκαπέντε πειστοφές κατά 80 ε άξονες πειστοφής τους άξονες που διέχονται από τα έσα των απέναντι ακών του δωδεκαέδου, οι οποίες αντιστοιχούν στις πειστοφές κατά 80 του εγγεγαένου στο δωδεκάεδο εικοσαέδου, ε άξονες πειστοφής τους άξονες που διέχονται από τα έσα των απέναντι ακών του εικοσαέδου. Οι 60 ετασχηατισοί που δεν διατηούν ποσανατολισό είναι η συετία ως πος κέντο την αχή των αξόνων και αυτοί που ποκύπτουν από τη σύνθεση της συετίας ως πος κέντο ε τις ποηγούενες συετίες. Στο δωδεκάεδο κατάλληλες συνδέσεις των απέναντι κουφών σχηατίζουν ανά 8 κουφές 5 κύβους. Στις συετίες του δωδεκαέδου ετατίθενται οι 5 κύβοι εταξύ τους. Σε κάθε έδα του δωδεκαέδου (κανονικό πεντάγωνο) κάθε διαγώνιος αντιστοιχεί σε ένα όνο κύβο από τους ποαναφεθέντες. Οι εταθέσεις των 5 κύβων αντιστοιχούν στις εταθέσεις των αντίστοιχων 5 διαγωνίων. Για το λόγο αυτό ελετάε τις συετίες του δωδεκαέδου στο σύνολο των εταθέσεων των διαγωνίων του κανονικού πενταγώνου. 55

60 Η Συετία στην τέχνη Ο ΠΥΡΓΟΣ ΤΗΣ ΠΙΖΑΣ Leoardo da Vici's Vitruvia Ma Διακοσμητική ζωγαφική, Nieveh, Assyria Ζωγαφική σε ποσελάνη, Κίνα Η λέξη «συετία» γενικά εταφέει δύο κύια νοήατα. Το πώτο είναι ία χωίς απόλυτο τόπο οισένη αίσθηση αονίας ή αισθητικά ευχάιστης αναλογίας και ισοοπίας, ώστε να αντανακλά οοφιά ή τελειότητα. Το δεύτεο νόηα είναι η ακιβής και καλά οισένη έννοια της ισοοπίας ή της «αυτοοοιότητας του οτίβου» ("pattered self-similarity") η οποία ποεί να πειγαφεί ή να αποδειχθεί σύφωνα ε τους κανόνες ενός τυπικού συστήατος όπως π.χ. η γεωετία. Παότι τα νοήατα αυτά είναι ευδιάκιτα σε κάποια πλαίσια, και τα δύο αυτά πειεχόενα του όου «συετία» σχετίζονται και θίγονται παάλληλα. 56

61 Έτσι τα διάφοα ήδη ισοετιών που εντοπίσαε, αζί ε οφές συετίας που δεν διατηούν απααίτητα τις αποστάσεις, συντιθέενα εταξύ τους έχουν κάνει την εφάνισή τους στις οφές της τέχνες όπως είναι: η ζωγαφική, η γλυπτική, η αγγειοπλαστική, η επικάλυψη δαπέδων, η αχιτεκτονική κλπ. Η Συετία στη Φύση Η πείπτωση των ελισσών: Ας δούε λίγο το διακοσητικό οτίβο σε δύο διαστάσεις, το οποίο πιθανώς εφανίζεται πιο συχνά από οποιοδήποτε άλλο, τόσο στη φύση όσο και στην τέχνη: αυτό που δηιουγείται από το κανονικό εξάγωνο. Το βλέπουε εδώ να υλοποιείται κατά το χτίσιο ιας κηήθας από τις κοινές έλισσες. Τα κελιά των ελισσών έχουν οφή πίσατος και η φωτογαφία έχει ληφθεί κατά τη διεύθυνση αυτών των πισάτων. Όταν ξεκινά η διαδικασία, οι έλισσες δηιουγούν κυλινδικά κελιά όπου η κάτοψη στο σκίτσο δείχνει πως θα ποέκυπταν χάσατα εταξύ τους. Κάθε 57