ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Transcript

1 ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ Ν ΖΑΧΟΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ Διπλωατική Εργασία Επιβλέπων: Kαθηγητής κ Αθανάσιος Κοτσιώλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΤΡΑ 005

2 Οικογένειες Συναρτησιακών Ανισοτήτων Εισαγωγή Ο σκοπός αυτής της διπλωατικής εργασίας είναι αφού παρουσιαστούν οι οικογένειες συναρτησιακών ανισοτήτων να δοθούν οι δεσοί που υπάρχουν για κάποιες από αυτές ε τις λογαριθικές ανισότητες Sobolev Αρχικά, θα διευκρινιστεί το πλαίσιο ελέτης που αφορά τους συναρτησιακούς χώρους που θα γίνεται συνεχής αναφορά και την συβολογραφία, η οποία θα ακολουθήσει Στην συνέχεια, θα εισαχθούν οι ανισότητες Sobolev, για τις οποίες ο ρόλος της διάστασης είναι θεελιώδης και θα δειχθεί ο τρόπος ε τον οποίο αυτές εξασθενίζουν Επιπλέον, θα δοθούν οι δεσοί που υπάρχουν ε την ανισότητα του Poicare Στην επόενη παράγραφο θα δούε πως από την ανισότητα Sobolev S( πορούε να βγάλουε ία καινούρια οικογένεια ανισοτήτων, που θα είναι περισσότερο εξασθενηένες από την S( και καλούνται εξασθενηένες ανισότητες Sobolev Επίσης, είναι δυνατόν να ξαναβρούε από κάθε εξασθενηένη ανισότητα Sobolev την ανισότητα Sobolev S( Ακόα, θα εισάγουε την οικογένεια ανισοτήτων εντροπίας ενέργειας και στην συνέχεια θα ασχοληθούε ε εφαρογές των ανισοτήτων αυτών όπως είναι κάποιες ιδιότητες των ηιοάδων που αυτές συσχετίζονται Tέλος, θα διαπιστώσουε τους δεσούς που υπάρχουν εταξύ κάποιων από των προαναφερθέντων συναρτησιακών ανισοτήτων και των λογαριθικών ανισοτήτων Sobolev Σηειώνουε ότι στην εργασία αυτή αναφέρονται πολλές περιοχές που ανήκουν στη Μη Γραική Ανάλυση Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται για περισσότερες πληροφορίες θα ανατρέξει στις σχετικές βιβλιογραφικές αναφορές

3 Πλαίσιο ελέτης Για λόγους απλότητας, εείς θα θέσουε ακολούθως τα εξής: - E=(M,g είναι ία συπαγής πολλαπλότητα Riema διάστασης και το εκφράζει το έτρο όγκου που συνδέεται ε την ετρική Riema g, που έχει φτιαχτεί ως ένα έτρο πιθανότητας, δηλαδή: Α ( Α = g dxdx dx - Ε= R και = γ είναι το έτρο Gauss To έτρο του Gauss είναι ένα έτρο πιθανότητας και ορίζεται ως εξής: / x / dγ = ( π e - Ε= R και είναι το έτρο Lebesgue dx, όπου dx είναι το έτρο Lebesgue Παρατηρούε ότι το τελευταίο δεν είναι έτρο πιθανότητας Τα αποτελέσατα που εείς θα δούε ισχύουν για ένα πολύ γενικότερο πλαίσιο όπως τα racals, οντέλα της Στατιστικής Μηχανικής, η συπαγείς πολλαπλότητες είτε αφηρηένους χώρους, αλλά απαιτεί περισσότερο ακρίβεια και φοραλισό, στα οποία εείς θα εισχωρήσουε βήα-βήα Σηειώνουε ε και Δ τα σύβολα που αντιστοιχούν στην κλίση και στην Λαπλασιανή του Ε, και L είναι ο χώρος L ( E,, που εφοδιάζεται ε την στάθη, όπου + Την στάθη από ένα γραικό τελεστή L στο L θα σηειώσουε ε Για την Γκαουσσιανή περίπτωση, λαβάνουε υπόψη την γεννήτρια L ( x = Δ ( x x ( x (γεννήτρια των Orsei- Uhlebec και για άλλες περιπτώσεις θεωρούε ότι L = Δ 3

4 Σηειώνουε ε P την ηιοάδα της γεννήτριας L και D(L το πεδίο ( 0 ορισού της L Ορισός ηιοάδας του Orsei-Uhlebec P στο R ( 0 = ( e x + e y d ( y R P ( ( x : γ ( dγ ( y = e π x / dy Iδιότητα ηιοάδας ( P 0 P o P ( ( x = P ( ( x ( s + s Ορισός της απειροστής γεννήτριας L της ηιοάδας Orsei- Uhlebec L ( x ( x x ( x = (3 Παραθέτουε τον ορισό της ηιοάδας του Marov ( P 0 Εστω ( Ε, F, ένας τοπολογικά ετρήσιος χώρος και ( Β, ο χώρος Baach των συνεχών και φραγένων συναρτήσεων από το Ε στο επιπλέον των σταθερών συναρτήσεων R κι 4

5 Ορισός ηιοάδας Marov Μία οικογένεια φραγένων γραικών τελεστών στο χώρο Baach Marov εάν: (i P = Id, 0 ( P 0 ( P 0 ( Β, είναι ία ηιοάδα του (ii Για κάθε συνάρτηση B, P είναι συνεχής στο [ 0, ], s, 0 (iiiγια κάθε, P = P o P + s s, (iv P I = I και P 0 για 0, (v P είναι ία συστολή : B, P B B Ορισός της απειροστής γεννήτριας L της ηιοάδας ( P 0 στο χώρο ( Β, L ( x : = lim 0 ( P, D(L (4 Ορισός Ονοάζουε τελεστή τετραγώνου του πεδίου την παρακάτω συετρική διγραική ορφή ως προς τις συναρτήσεις, g C ( E Σηειώνουε Γ (, g : = ( L( g Lg gl (5 ( αντί για Γ Γ (, Στην περίπτωση του Lalace στο R ( = έχουε ότι: Γ Απ αυτό το γεγονός βγαίνει η ονοασία το τετράγωνο του πεδίου (gradie Εξάλλου για ία απειροστή γεννήτρια της ορφής οποίας το έτρο είναι αναλλοίωτο είναι L = Δ Φ της 5

6 ( dx : = Z ex( Φ( x dx και Z : = ex( Φ( x dx (όπως παραδείγατος χάριν η ηιοάδα Orsei-Uhlebec κι επίσης E Γ ( = Παρατηρούε ότι η γεννήτρια που είναι υψωένη στο τετράγωνο εδώ θα ισούται πάντα ε Στην περίπτωση που το Ε δεν είναι συπαγές (δηλαδή Ε= R συβολίζουε ε Α το σύνολο των συναρτήσεων C από το Ε στο R, των οποίων οι παράγωγοι φθίνουν ταχύτατα Σε άλλες περιπτώσεις που το Ε είναι συπαγές, θα θεωρούε το A = C όπως ορίστηκε είναι ία συνήθης άλγεβρα (E Ετσι, η άλγεβρα Α λοιπόν Ορισός 3 Το Α είναι συνήθης άλγεβρα, εάν το Α είναι αναλλοίωτο από όλους τους τελεστές P από τη γεννήτρια L κι από κάθε σύνθεση ε συναρτήσεις C που ηδενίζονται στο 0 Δηλαδή για κάθε A, ισχύουν: (i P A (ii g C ε g( 0 = 0 o g A Ολες οι συναρτήσεις ορισένες στο Ε που εείς θα επεξεργαστούε ανήκουν στην άλγεβρα Α Ειδικότερα, οι ανισότητες που θα συναντήσουε θα ονοάζονται αληθείς αν επαληθεύονται για κάθε στο Α 6

7 3 Ανισότητες Sobolev 3 Χώροι Sobolev Οι ανισότητες Sobolev είναι ευρέως διαδεδοένες στην Ανάλυση Πρώτα, θα ορίσουε τους χώρους Sobolev όπως παρακάτω:, +, W ( E : = { u L u L } το u είναι κατανοητό ε την έννοια των κατανοών Ορίζουε στο W τη στάθη, : ( + W = που είναι ισοδύναη ε τη στάθη + Θεώρηα 3(Sobolev Εστω < και = τότε έχουε για E = R :, (i W L ii Υπάρχει σταθερά C = C(, τέτοια ώστε : ( C, για κάθε W ( R H εφύτευση είναι συνεχής Επιπλέον, ο εκθέτης όπως ορίστηκε είναι βέλτιστος (δεν υπάρχει συνεχής εφύτευση από το W, στο L αν > 7

8 Την απόδειξη του θεωρήατος θα τη βρούε στον [Aub98], και οοίως στον [Heb99] αζί ε τις επεκτάσεις του θεωρήατος για η συπαγείς πολλαπλότητες (για παράδειγα θεωρώντας Υπερβολικούς Χώρους 3 Συναρτησιακές ανισότητες Το Θεώρηα 3 πορεί να εκφραστεί (για Ε ία συπαγή πολλαπλότητα Riema ε κάποιον άλλο τρόπο, στον οποίο να γραφεί η συνεχής εφύτευση ε την ορφή ίας συναρτησιακής ανισότητας, η οποία δίδεται:, W, c ( + ( όπου < και = Αυτές είναι οι ανισότητες που θα ονοάζονται σε ένα γενικότερο πλαίσιο ανισότητες Sobolev στο Είναι γεγονός ότι, όσον αφορά τις λογαριθικές ανισότητες Sobolev αυτές πορεί να ικανοποιούνται, όνο αν λάβουε υπόψη συναρτήσεις η αρνητικές L Παρατηρούε ότι αυτές οι ανισότητες Sobolev δεν ισχύουν σ όλο το χώρο (Ε, Συγκεκριένα, αυτές οι ανισότητες αλλοιώνονται στον χώρο ( R, γ που θα δούε αργότερα στην παράγραφο 53 Θα δείξουε παρακάτω ότι οι ανισότητες ( εξασθενούν όσο το αυξάνει ε την πιο ισχυρή ανισότητα να είναι εκείνη όπου εφανίζονται οι στάθες L της και Υπενθυίζουε την ανισότητα του Holder: r, s, >, g g r s, όπου r = + ( s 8

9 Αυτή η ανισότητα επάγει ία φυσική διάταξη έσα στην οικογένεια των ανισοτήτων Sobolev Πράγατι, παίρνοντας και κάνοντας την > / αλλαγή των συναρτήσεων = g (όπου θετική συνάρτηση στην ( Eφαρόζοντας την ανισότητα του Holder και στα δύο έλη της ανισότητας στα δεξιά ε r = και = έχουε ετά από απλοποίηση διαιρώντας ε τη στάθη g / : = g '/ c ( g W, (( '/ s', g '/ g ' c ( g ' + ( '/ ( g + g (( '/ s' '/ g ' = c ( g = c g (( '/ (( '/ s' g ( g ' + ( g ' ' + ( (( '/ g g ' όπου = + s' ' (( '/ (( '/ (( '/ s' / s' g = g = ( g d s' s' E C g (( '/ ' διότι πορούε να επιλέξουε το x ώστε να έχουε την ανισότητα Holder: (( / (( / g g s (( / x H ανίσωση (( / = +, s x > (( / είναι αληθής, γιατί αν θέσουε ε λ > = λ ισχύει η ανίσωση: λ > =, επειδή > λ λ 9

10 Iσχύει ότι: g '/ E ' ( '/ ' = ( g d = g '/ ' * Eποένως έχουε : g c ( g + ( g ' Υψώνοντας στη δύναη / και φράσσοντας παίρνουε τελικά την ανισότητα Sobolev L όπως φαίνεται παρακάτω: x x ( a + b x a b Ισχύει η ανισότητα: ( ( +, a, b > 0, x >, '/ Διότι αν θεωρήσουε την συνάρτηση φ( y = y, και ' / >, τότε ( > 0, φ y για y > 0 Εποένως, η συνάρτηση είναι κυρτή και θα ισχύει ότι: g a + b φ( a + φ( b φ( / * / c ( g + ( g ( Μπορούε να περάσουε έτσι από το στο, αλλά δεν υπάρχει τρόπος να επιστρέψουε από το στο H πιο ισχυρή ανισότητα από αυτή την οικογένεια των ανισοτήτων δίδεται από την ανισότητα στο L : c ( + Αυτή είναι ία συναρτησιακή ανισότητα τύπου ισοπεριετρική, που οφείλεται στην στην στάθη L της κλίσης της συνάρτησης Πράγατι, ία ισοπεριετρική ανισότητα είναι η ελαχιστοποίηση του όγκου του συνόρου ενός συνόλου Α από την συνάρτηση του όγκου του Α Εδώ κάνουε την να τείνει προς την χαρακτηριστική συνάρτηση ( (3 Χ A ενός ετρήσιου 0

11 συνόλου Α ε κανονικό (οαλό σύνορο Μπορούε να γράψουε τυπικά ότι στο όριο έχουε : r >, X = V ( A A r / r και κυρίως έχουε: όπου V(A είναι το έτρο όγκου του Α X = V (, A A s όπου V s ( A είναι το έτρο του συνόρου του Α (βλέπε [Maz85] Οπότε από την (3 συνεπάγεται η παρακάτω ισοπεριετρική ανισότητα(εν γένει η βέλτιστη: ( ( / V A cv ( A cv s ( A Για =, παίρνουε ία άλλη ανισότητα που έχει ξεχωριστό ενδιαφέρον, διότι αυτή εφανίζει την ενέργεια της, δηλαδή τη στάθη L της : c ( + Ορισός Ενέργειας συνάρτησης (4 ε ( : E ( (5 = Για σταθερό, οι ανισότητες ( εξασθενούν όταν η διάσταση αυξάνει διότι το φθίνει Ενας άλλος τρόπος είναι ν αναφέρουε ότι η ανισότητα

12 ε διάσταση, και το βέλτιστο εκθέτη δεν ισχύει στην εγαλύτερη διάσταση, διότι ο κρίσιος εκθέτης ειώθηκε Ορισός κρίσιου εκθέτη Κρίσιος εκθέτης της ανισότητας (3 ( E = R είναι ο οναδικός εκθέτης για τον οποίο η ανισότητα αυτή πορεί να ισχύει και συβολίζεται ε * = Γι αυτό, σε αντίθεση ε τις λογαριθικές ανισότητες Sobolev, οι ανισότητες Sobolev δεν πορούν να τανυστικοποιηθούν χωρίς να εξασθενήσουν Η ιδιότητα του πότε ένα έτρο ικανοποιεί την ανισότητα του Poicare ή την λογαριθική ανισότητα Sobolev λέγεται «τανυστικοποίηση» Είναι ένα σηαντικό φαινόενο που δεν επαληθεύεται από όλες τις ανισότητες και συγκεκριένα από την ανισότητα Sobolev Η ανισότητα Sobolev όπως θα δούε παρακάτω είναι πιο ισχυρή από τις ανισότητες του Poicare ή τις λογαριθικές ανισότητες 3 Sobolev Ας δούε την ειδική περίπτωση στον R Δηλαδή, υπάρχει ία σταθερά c > 0, 3 C :R R, ισχύει ότι: τέτοια ώστε για κάθε συνάρτηση c 6 όπου, ανήκουν στο σύνολο L ( dx, όπου dx είναι το έτρο Lebesgue 3 στο R

13 3 6 Η ιδιότητα αυτή ισχύει για το έτρο Lebesgue στο R, αλλά όχι στο R Στην συνέχεια αυτή η ανισότητα θα ονοαστεί ανισότητα Sobolev S( που θα πάρουε από την σχέση (36 για εκθέτης = 3, = * = 6 Ο ρόλος της διάστασης εδώ είναι θεελιώδης 6, όπου ο κρίσιος Αφού είδαε την ύπαρξη ίας ανισότητας Sobolev αναφίβολα ένα βασικό ερώτηα το οποίο πορεί να τεθεί είναι αυτό των βέλτιστων σταθερών (των πιο ικρών στο δεξιό έλος της ανισότητας Για το σκοπό αυτό, διαχωρίζουε την σταθερά που υπάρχει πριν την στάθη της κλίσης της συνάρτησης και την σταθερά που υπάρχει πριν την στάθη της συνάρτησης, ώστε να ελετήσουε την κάθε ία σταθερά ξεχωριστά Ορισός 3 Ονοάζουε εις το εξής ανισότητες Sobolev διάστασης τις παρακάτω ανισότητες: A, a + b ε = S( Σηειώνουε ότι αν είναι ένα έτρο πιθανότητας, τότε παίρνοντας την ως σταθερά βρίσκουε ότι a Ορισός 33 Μία συναρτησιακή ανισότητα καλείται «τεταένη» αν ικανοποιείται για τις σταθερές συναρτήσεις Σε αυτή την περίπτωση η ανισότητα γίνεται ισότητα Στην περίπτωση ενός έτρου πιθανότητας, η ανισότητα S( είναι «τεταένη» αν και όνο αν πορούε να πάρουε = Ψάχνουε a λοιπόν να βρούε, όταν a = είναι σταθερό ποια είναι η δυνατή βέλτιστη σταθερά b Αυτό είναι γνωστό, όνο σε ερικές ειδικές περιπτώσεις (βλέπε[heb99] για την ελέτη των βέλτιστων σταθερών α και b 3

14 33 Παραδείγατα - Στον R εφοδιασένο ε το έτρο Lebesgue η ανισότητα S( πορεί επίσης να γραφεί: C c ( R b (6, (Εδώ δεν εφανίζεται ο όρος όπου E = R η -διάστατη Ευκλείδια η συπαγής πολλαπλότητα Σε αυτή την περίπτωση, το δεν είναι κατ ανάγκη εγαλύτερο του, διότι οι σταθερές συναρτήσεις δεν ανήκουν στο Α και η βέλτιστη σταθερά a = 0 a Υποθέτουε ότι το > Δεν γνωρίζουε όλες τις βέλτιστες σταθερές b Παραδείγατος χάριν γνωρίζουε τις εξής δύο: R = b ( / / ω 4 b ( R = ( ω / +, όπου ω είναι ο όγκος της οναδιαίας σφαίρας του Παρατηρούε κατ αρχήν ότι το R (βλέπε[aub8] Sobolev S( συνεπάγεται τη βέλτιστη ευκλείδια ισοπεριετρική ανισότητα: / b R είναι έτσι ώστε η ανισότητα ( / ( / ω V ( A V ( A Οι ακραίες συναρτήσεις της S( είναι οι χαρακτηριστικές συναρτήσεις των σφαιρών (ειδικότερα αν πλησιάζουε ία χαρακτηριστική συνάρτηση σφαίρας ε διαφορίσιες συναρτήσεις, η ανισότητα S( για αυτές τις συναρτήσεις γίνεται ία ισότητα στο όριο Επιπλέον, η σύγκριση των σταθερών και b,ως άνω ας αποδεικνύει ότι αν η ανισότητα Holder επιτρέπει να περάσουε από την S( στην S(, s b 4

15 αυτό δεν συνεπάγεται κατ ανάγκη ότι παίρνουε τη βέλτιστη σταθερά ακόα κι αν ξεκινάε ε την βέλτιστη σταθερά b b Στην περίπτωση της σφαίρας ε ακτίνας r του, τη συβολίζουε ε S (r, οι «τεταένες» ανισότητες Sobolev υπάρχουν Παρ όλα αυτά, η S( δεν συνεπάγεται την βέλτιστη ισοπεριετρική ανισότητα (ε την έννοια των συνόλων των σφαιρών των οποίων τα ακραία σύνολα είναι οι σφαιρικοί θόλοι Για R + > και S( «τεταένη», η βέλτιστη σταθερά είναι: 4r b ( S ( r = ( H σφαίρα είναι ία πολλαπλότητα σταθερής καπυλότητας Ricci και η b ρ = ( / r πορεί να γραφεί ε τη ορφή 4( /( ( ρ Εχουε τότε το παρακάτω θεώρηα σύγκρισης εταξύ των πολλαπλοτήτων κάτω φραγένης καπυλότητας και των σφαιρών: Θεώρηα 34 Εστω (Μ,g ία πολλαπλότητα Riema διάστασης > και ρ ένας αυστηρά θετικός πραγατικός αριθός Αν η καπυλότητα Ricci της (Μ,g είναι κάτω φραγένη από το ρ, τότε η πολλαπλότητα είναι συπαγής και ισχύει η παρακάτω ανισότητα Sobolev: ( 4( + ( ρ Αυτό το αποτέλεσα ανήκει στον Ilias (βλέπε [Ili83] Eπίσης, ία απόδειξη είναι γνωστή από τον Bary [Ba94] 5

16 34 Δεσοί ε την ανισότητα του Poicare Η ανισότητα του Poicare: Var ( c (P όπου c > 0, δεν αποτελεί έρος της οικογένειας των ανισοτήτων Sobolev Η ύπαρξη της είναι ισοδύναη ε το «τέντωα» της ανισότητας Sobolev S( Ορισός Διασποράς συνάρτησης 35 Ορίζουε ως όπου Var Var ( την διασπορά την συνάρτησης (variace: ( : = E (( E ( = E ( ( E ( (7 E ( : = d είναι η αθηατική ελπίδα της συνάρτησης ως προς το έτρο Ε Εποένως, η ανισότητα (P γράφεται: Var ( cε ( Ακριβέστερα, παραθέτουε τα παρακάτω αποτελέσατα: Πρόταση 36 Η «τεταένη»ανισότητα Sobolev S( ε b σταθερά συνεπάγεται την ανισότητα Poicare ε σταθερά b /( (όπου =/(- είναι ο κρίσιος εκθέτης Πρόταση 37 Αν ία ανισότητα Sobolev S( και ία ανισότητα Poicare επαληθεύονται, τότε η ανισότητα Sobolev S( πορεί να είναι «τεταένη» (πορούε να επιλέξουε a = Για την απόδειξη της πρότασης (37 χρησιοποιούε το παρακάτω λήα (38:(βλέπε [Ba94, λήα 4] 6

17 ~ Λήα 38 Εστω = d Τότε, για κάθε > ισχύει ~ + ( (8 Σηειώνουε ότι αν πάρουε το να τείνει στο, τότε ισχύει το παρακάτω λήα (39(Βλέπε [DS89]: ~ Λήα 39 Εστω = d Τότε: ~ E ( Var ( + E ( (9 Ορισός Εντροπίας (ίας θετικής ετρήσιης συνάρτησης 30 E ( : E ( log E ( log E ( = (0 Αυτή η ανισότητα οφείλεται στο Rohaus (βλέπε [Ro86] και έχει τη δυνατότητα να τείνει oριακά στην λογαριθική ανισότητα Sobolev Πρόταση 3 Αν ία «η τεταένη» λογαριθική ανισότητα Sobolev και ία ανισότητα του Poicare επαληθεύονται, τότε η λογαριθική ανισότητα Sobolev πορεί να είναι «τεταένη» Συνεπώς, αν γνωρίζουε ότι υπάρχει ία ανισότητα Sobolev (λογαριθική, τότε υπάρχει ία ισοδυναία ανάεσα στο τέντωα αυτής της ανισότητας και στην ύπαρξη ιας ανισότητας του Poicare Υπενθυίζουε ότι ισχύει το εξής θεώρηα: 7

18 Θεώρηα 3 Οι παρακάτω δύο ισχυρισοί είναι ισοδύναοι: (i Υπάρχει ία σταθερά λ > 0 A ισχύει P, έτσι ώστε για κάθε συνάρτηση λ E ( e Var ( ( (ii To έτρο ικανοποιεί την ανισότητα του Poicare σταθεράς c > 0 Επιπλέον οι βέλτιστες σταθερές συνδέονται από την σχέση с=/λ Η ως άνω ανισότητα (3 ονοάζεται ανισότητα φασατικής τρύπας Παρατηρούε ότι στην περίπτωση των συπαγών πολλαπλοτήτων Riema ε την καπυλότητα να φράσσεται από κάτω ε ία θετική σταθερά, υπάρχει πάντοτε ία ανισότητα φασατικής τρύπας για το έτρο του Riema (Διότι τo φάσα του Lalace είναι διακριτό, δηλαδή υπάρχει ία ανισότητα Poicare (Αφού οι δύο ανισότητες είναι ισοδύναες για τις συετρικές ηιοάδες του Marov Η ανισότητα Sobolev S( εποένως πορεί να είναι πάντα τεταένη 4 Εξασθενηένες Ανισότητες Sobolev Από εδώ και στο εξής θα ενδιαφερθούε όνο για την ανισότητα Sobolev S(, όπου εφανίζεται η ενέργεια Θέτουε /( = Θα χρησιοποιήσουε τον παρακάτω συβολισό για την στάθη του Sobolev: / + b W ( : = ( a, όπου τα a και b είναι οι σταθερές της ανισότητας S( Υπενθυίζουε την παρακάτω ανισότητα παρεβολής που είναι ία συνέπεια της ανισότητας Holder: 8

19 θ [ θ θ 0,],, >, r s s ( θ θ όπου = + r s Από την ανισότητα αυτή και την S(, πορούε να βγάλουε ία οικογένεια καινούριων ανισοτήτων, που είναι εκ των προτέρων περισσότερο εξασθενηένες από την S( (βλέπε [BCLS95]: Ορισός 4 Ονοάζουε εξασθενηένες ανισότητες Sobolev τις παρακάτω ανισότητες: θ θ, W ( r s A SA(r,s Όπου θ θ r, s,0 < θ και = + ( = /( r s Eκ κατασκευής, οι ανισότητες SA(r,s, βγαίνουν όλες από την ανισότητα S( και γι αυτό γράφονται επίσης SA(, Ενδιαφερόαστε για την περίπτωση r = SA(,s Συβολίζουε ε, Επειδή θ s = r rθ και για την υποοικογένεια >, όταν το s αυξάνει και τοθ φθίνει Επιπλέον, το r [ s, ] κι εποένως έχουε ότι: s < και 0 < θ /( + ανισότητες από αυτήν την οικογένεια Για s = : Θα ελετήσουε τώρα κάποιες ειδικές + / W ( / Αυτή είναι η ανισότητα του Nash (βλέπε [Νas58] (N 9

20 Τώρα, κάνουε να τείνει το s στο Παίρνοντας τον λογάριθο και περνώντας στο όριο ως προς s, η εντροπία εφανίζεται σαν η παράγωγος s ως προς s της στάθης L Τότε βρίσκουε την παρακάτω ανισότητα που ονοάζουε λογαριθική ανισότητα εντροπίας-ενέργειας : E ( W ( log (EEL όπου η εντροπία για το έτρο ορίστηκε στο ορισό (30 Οταν το δεν είναι ένα έτρο πιθανότητας, οι ιδιότητες αυτής της εντροπίας είναι διαφορετικές από εκείνη που έχουε δώσει στον ορισό (30 Η λογαριθική ανισότητα εντροπίας - ενέργειας παίζει τον ρόλο της ανισότητας SA (,, όταν θ 0 Μπορούε έτσι να ταξινοήσουε όλες αυτές τις ανισότητες χάριν στο παρακάτω αποτέλεσα: Πρόταση 4 Aν ισχύει η ανισότητα SA(,s για s, τότε ισχύουν όλες οι ανισότητες SA(, για s φ( u = log / Απόδειξη Θέτουε u και ελετάε από κοντά την οικογένεια SA(,s για s < Παίρνοντας τον λογάριθο έσα σε αυτές τις ανισότητες, βρίσκουε ότι: log θ W ( log log s (3 Σύφωνα ε τις σχέσεις που συνδέουν, s και θ έχουε: s Για το R και για το έτρο του Lebesgue, αυτή η ανισότητα καλείται ορισένες φορές λογαριθική ανισότητα Sobolev(ευκλείδεια έκδοση Αυτή εφανίζεται συγκεκριένα στην Θεωρία της Πληροφορίας, όπου κατέχει κι άλλες ορφές 0

21 s = θ θ και η ανισότητα SA(,s γράφεται τότε: φ(/ s φ(/ (/ s (/ ( θ W ( log s Οταν το s, θ 0 της εντροπίας-ενέργειας ε την ορφή:, ξαναβρίσκουε πάλι την λογαριθική ανισότητα φ (/ W ( log διότι = E ( και φ (/ = d / u ( x log( ( x dx u / u φ ( u = (log( ( x dx = + log ( x dx / u du u ( x dx / u ( x log( ( x dx φ (/ = + log ( x dx = ( x log( ( x dx ( x ( x dx dx log ( x ( x dx = dx E( = Οως η ανισότητα της παρεβολής ( ας λέει ότι η συνάρτηση φ είναι κυρτή,γιατί φ( r = log log θ log + ( θ log / r θ θ s κι έχουε ειδικότερα να ισχύει ότι οι λόγοι εταβολής της συνάρτησης φ είναι αύξουσες συναρτήσεις ( φ > 0 και πιο συγκεκριένα: / / s

22 φ(/ s φ(/ s <, φ (/ (/ s (/ φ(/ φ(/ (/ (/ απ όπου έχουε την ( θ ( θs ( φ(/ φ(/ ( φ(/ φ(/ s φ (/ θ θs (4 Αν ισχύει η λογαριθική ανισότητα της εντροπίας-ενέργειας (EEL, τότε συπεραίνουε την σχέση: ( θ ( φ(/ φ(/ θ logw ( θ φ(/ που είναι ακριβώς η σχέση (3 Yποθέτουε τώρα ότι ισχύει η ανισότητα SA(,s Ξεκινώντας από την σχέση (4 πορούε να γραψουε τα εξής: ( θ ( φ(/ φ(/ θ ( θ (logw ( φ(/ s θ logw ( θ φ(/ + θ ( φ(/ φ(/ s θ logw ( + θ φ(/ s θ logw ( θ φ(/ s s s κι έτσι έχουε το αποτέλεσα της πρότασης Οι ανισότητες SA(,s είναι λοιπόν όλο και πιο δυνατές όταν το s αυξάνει Η πιο αδύνατη είναι η ανισότητα του Nash (N, παραγώενη για s= και η πιο δυνατή είναι η λογαριθική ανισότητα εντροπίας ενέργειας (ΕΕL παραγώενη από το πέρασα στο όριο για s Στην πραγατικότητα όλες οι εξασθενηένες ανισότητες Sobolev SA(,s είναι ισοδύναες εταξύ τους (ε ία διαφοροποίηση των σταθερών a και b στον ορισό του W στην παράγραφο 4 Πράγατι είναι δυνατό να ξαναβρούε από κάθε ανισότητα SA(r,s την ανισότητα Sobolev S(

23 Θεώρηα 43 Αν η ανισότητα SA(r,s επαληθεύεται για τις σταθερές a και b, τότε υπάρχει ένα λ > έτσι ώστε η ανισότητα Sobolev S( επαληθεύεται ε τις σταθερές λα και λ b Απόδειξη Για τις λεπτόερειες αυτής της απόδειξης όπως και τις πιο γενικές συζητήσεις πάνω στις ιδιότητες αυτής της οικογένειας των ανισοτήτων πορούε να αναφερθούε στο άρθρο [BCLS95] Ας δούε εν συντοία την απόδειξη τονίζοντας την ιδέα της εθόδου Θα αποδείξουε ότι η ανισότητα του Nash συνεπάγεται την ανισότητα Sobolev S( Εστω A, θετική συνάρτηση Για κάθε Z + = (, θέτουε: που υποθέτουε ότι ανήκει στο Α(Είναι δυνατόν πάντοτε να προσεγγίσουε την συνάρτηση x ( x a αρκετά οαλές και να περάσουε στο όριο + a ε συναρτήσεις 3

24 Παρατηρούε ότι: X + X, { } { } γιατί : = 0, <,, > + + απ όπου ( ({ + } + / + 4 / και 4 / 4 / ( ({ } Θέτουε a ({ }, όπου = = /( και εφαρόζουε την ανισότητα του Nash στην Τότε έχουε ότι: a, ( θ ( θ α + W κ 4

25 /( + = θ γιατί = s Αθροίζοντας στους ακέραιους αριθούς Ζ κι εφαρόζοντας την ανισότητα του Holder, βρίσκουε: ( ( ( ( ( ( ( ( θ θ θ θ a W a W a W a /( /( ( ( θ θ θ (5 Eστω Τότε έχουε: } { + < = B = B (διότι η είναι σταθερή εκτός του, και B + = B b a W ( Απ όπου: + b a W } ({ ( (6 Εξάλλου, συγκρίνοντας τις σειρές και τα ολοκληρώατα, βρίσκουε ότι: 3 4 } ({ και a Ισχύει ότι : > = = E d x x dx x 0 } ( : ({ ( ( (Layer cae rereseaio Τότε χρησιοποιώντας τις (5 και (6: /( /( /( ( 3 4 ( θ θ θ θ θ W 5

26 Από την ανισότητα του Nash (N, είδαε ότι παίρνει την τιή /( +, απ όπου: + W ( 3 που είναι η ανισότητα Sobolev S( η ζητούενη Παρατηρούε ότι, ε αυτόν τον συλλογισό χάνουε τις βέλτιστες σταθερές ανεβαίνοντας στην οικογένεια των εξασθενηένων ανισοτήτων Sobolev Εντούτοις, το τέντωα των ανισοτήτων διατηρείται Πιο συγκεκριένα, ία ανισότητα SA(,s τεταένη συνεπάγεται ία ανισότητα Poicare ( ε έναν συλλογισό ταυτόσηο ε εκείνον της πρότασης 36 Το ως άνω θεώρηα ας επιτρέπει να βρούε ία η τεταένη ανισότητα Sobolev S(, την οποία όως πορούε να τεντώσουε χάριν της ανισότητας Poicare (πρόταση 37 Παρ όλα αυτά, αν εξετάσουε τις σταθερές που βρήκαε ε αυτό το συλλογισό, παρατηρούε ότι αν το a = 0 R, όπως την περίπτωση του εφοδιασένο ε το έτρο Lebesgue, τότε η ανισότητα Sobolev S( έχει την ίδια ορφή (η αρχική σταθερά είναι ακόα 0 5 Ανισότητες Eντροπίας- Ενέργειας 5 Ορισός Καταρχήν Θα εισάγουε ία καινούρια γενική οικογένεια ανισοτήτων, αφού ορίσουε την λογαριθική ανισότητα Sobolev SL(P 6

27 Oρισός τεταένης λογαριθικής ανισότητας Sobolev SL Εστω L απειροστή γεννήτρια ε αναλλοίωτο έτρο Το έτρο ικανοποιεί ία λογαριθική ανισότητα Sobolev σταθεράς c, αν για κάθε συνάρτηση A, E ( cε ( (SL όπου E ( : = E ( log( / E ( και ε ( : = E ( L Oρισός η τεταένης λογαριθικής ανισότητας Sobolev SL( E ( cε ( + me ( SL( για c, m σταθερές και για κάθε συνάρτηση A Oρισός η τεταένης λογαριθικής ανισότητας Sobolev SL(P H ηιοάδα P ικανοποιεί ία λογαριθική ανισότητα Sobolev ε σταθερές с( και σταθερές m(, εάν για κάθε συνάρτηση A, έχουε: E, ( c( ε ( + m( E ( LogS( όπου ε ( : = < L > =, και για είναι: E ε ( : =< Γ(, >=< > και log d d log( ( = d, Ε Ε E Αν συγκρίνουε την ανισότητα SL( και την ανισότητα εντροπίαςενέργειας (EEL, βλέπουε ότι είναι του ιδίου τύπου 7

28 Ακριβέστερα: Oρισός 5 Ονοάζουε ανισότητα εντροπίας-ενέργειας ία ανισότητα του παρακάτω τύπου: όπου Φ : R + R A, E ( Φ( (SΦ είναι ία γνησίως αύξουσα και κοίλη συνάρτηση Παρατηρούε ότι ξαναβρίσκουε την ανισότητα (ΕΕL ε Φ( x = ( / log( a + bx ανισότητα Sobolev όχι κατ ανάγκη τεταένη ε Ξαναβρίσκουε επίσης τη λογαριθική Φ ( x = c + mx Αυτή είναι η πιο ασθενής περίπτωση, διότι οι αφηρηένες συναρτήσεις είναι οι πιο εγάλες κοίλες αύξουσες συναρτήσεις Ειδικότερα, φράσσοντας ε τη συνήθη έννοια, βλέπουε ότι η λογαριθική ανισότητα της εντροπίας ενέργειας(eel ε σταθερές α και b συνεπάγει ία λογαριθική ανισότητα Sobolev SL( ε σταθερές c = ( / log a και m = b /( a Πράγατι, από την ανισότητα (ΕΕL ισχύει ότι: E W ( ( log = log( a + b( Eφαρόζοντας το θεώρηα έσης τιής στην κοίλη συνάρτηση φ ( x = log( a + bx στο διάστηα ( 0, x έχουε: φ ( x φ(0 xsu{( φ ( x, x (0, x} xφ (0 και 8

29 φ ( x φ(0 + xφ (0 ανισότητα ε σταθερές Eποένως, βρίσκουε την λογαριθική c = ( / log a και m = b /( a Επιπλέον, αν η (EEL είναι τεταένη ( a =, τότε η SL( είναι επίσης τεταένη ( c = 0 5 Ιδιότητες Εστω η ηιοάδα ε γεννήτρια L ( P 0 Υπενθυίζουε ότι εδώ το L δέχεται το σαν αναλλοίωτο έτρο και το σαν το τετράγωνο του πεδίου(βλέπε αναφορά Ορισός Παρακάτω είναι ένα αποτέλεσα πολύ σηαντικό πάνω στις ανισότητες εντροπίας-ενέργειας, που τις συνδέει ε τις ιδιότητες της ηιοάδας : ( P 0 Θεώρηα 5 Υποθέτουε ότι έχουε ία ανισότητα εντροπίας-ενέργειας (SΦ ε Φ ( = Φ( x ( x C Θέτουε το > >, συβολίζουε ε Ψ και για όλα τα λ > 0 και για x Φ, x ( : = ( dx Φ λ λ x 4( x λx και m, ( λ : = Ψ( dx x x Τότε αν τα m ( και ( είναι πεπερασένα τότε ισχύει:, λ, λ P, ( λ m, ( λ e 9

30 Απόδειξη στον [Ba94] για Θα βρούε την απόδειξη αυτού του αποτέλεσατος έσα = και = H ιδέα είναι να πάε σε ένα αποτέλεσα παρόοιο που έχει αποδεικτεί για τις λογαριθικές ανισότητες Sobolev στα πλαίσια του θεωρήατος του Gross πάνω στην υπερσυσταλτικότητα(βλέπε [Gro93] Ξεκινάε γράφοντας: x x > 0, Φ( x Φ( x + ( x x Φ ( Εχουε λοιπόν ία 0, 0 0 x0 λογαριθική ανισότητα Sobolev SL( για κάθε x 0, απ όπου βγάζουε το αποτέλεσα χάρη στο θεώρηα 55, αλλά ε συναρτήσεις και m λίγο διαφορετικές και οι οποίες εξαρτώνται από το x 0 Μένει όνον να βελτιστοποιήσουε την επιλογή του εκφώνηση x 0 για να βρούε την αναφερόενη Παρατηρούε ότι όταν η Φ είναι γραική (περίπτωση της λογαριθική ανισότητας Sobolev, το, όταν το, πράγα το οποίο ας δείχνει την ενδιαφέρουσα πληροφορία στο όριο Το καλύτερο αποτέλεσα που πορούε να έχουε είναι η υπερσυσταλτικότητα της ηιοάδας Ορισός υπερσυσταλτικότητας 53 Εστω ία συνάρτηση γνησίως + αύξουσα : R [ (0, Ονοάζουε την ηιοάδα ( P 0 υπερσυσταλτική ως προς την συσταλτική απεικόνιση αν και όνο αν για κάθε A και για κάθε 0, P ( (0 Οταν η Φ είναι έτσι ώστε τα, m ένουν φραγένα όταν το η ηιοάδα είναι ουλτρα-συσταλτική από το L στο L, τότε 30

31 Ορισός ουλτρα-συσταλτικότητας 54 Μία ηιοάδα P είναι ούλτρα-συσταλτική από το L ( στο L (, αν ( 0 ο είναι φραγένος γραικός τελεστής από το L ( στο L ( για ( P 0 κάθε > 0, δηλαδή αν υπάρχει σταθερά c( τέτοια ώστε: P c( και P : su{ P, } = Θεώρηα 55 Εστω ( P 0 ία ηιοάδα του Μarov ε ένα αναλλοίωτο έτρο που ικανοποιεί τις παρακάτω δύο υποθέσεις: ( To είναι ένα <<συετρικό έτρο>>, δηλαδή: E ( P g E ( gp = ( To είναι ένα αναλλοίωτο έτρο, δηλαδή E P = E (, A ( και η είναι η ηιοάδα διάχυσης Τότε, ισχύουν οι δύο παρακάτω ιδιότητες: ( P 0 (i Εστω ότι υπάρχει ία συνάρτηση : R + [, ] ε + + ( 0 = και ία συνάρτηση m :R R που ηδενίζεται στο 0 και οι δύο συναρτήσεις είναι διαφορίσιες στο ( 0 > P 0 και για κάθε συνάρτηση m( e ( = 0, όπου A έχουε ότι 3

32 Τότε το έτρο ικανοποιεί ία η τεταένη λογαριθική ανισότητα Sobolev τέτοια ώστε για κάθε A να ισχύει ότι: 4 E ( [ ε ( + m (0 E (0 ( ] (ii Αν το έτρο ικανοποιεί ία η τεταένη λογαριθική ανισότητα Sobolev ε σταθερές αν θέσουε c( P ex( mc c > 0 και m c, τότε για < <, =, για κάθε συνάρτηση A ισχύει Για την απόδειξη του θεωρήατος βλέπε [Ba94] Το θεώρηα 5 ας δείχνει ότι η συπεριφορά της ηιοάδας στο 0 ( P 0 εξαρτάται από την συπεριφορά της Φ στο άπειρο Ετσι, έχουε ειδικότερα το παρακάτω πόρισα: Πόρισα 56 Εστω η ανισότητα της εντροπίας-ενέργειας είναι τέτοια ώστε Φ ' x ~ a / x ε a > 0, τότε: ( + 0 <, P C a ε C > 0 Το αποτέλεσα αυτό είναι ενδιαφέρον, διότι εφαρόζεται στην περίπτωση της λογαριθικής ανισότητας εντροπίας-ενέργειας (EEL ε a = /, αλλά 3

33 παίρνει ία συπληρωατική διάσταση χάριν στο παρακάτω αντίστροφο ( [Var84], [Var85] Θεώρηα 57 (Varooulos Εστω > και η συετρική ηιοάδα Μarov έτσι ώστε για 0 <, ( P 0 P C ία ανισότητα Sobolev S( διάστασης / ε C > 0 Τότε έχουε Δεν θα δώσουε την απόδειξη αυτού του αποτελέσατος, επειδή είναι αρκετά εκτεταένη και ευαίσθητη Η απόδειξη αυτή χρησιοποιεί το θεώρηα της παρεβολής (ierolaio του Mariiewicz (βλέπε για παράδειγα [Dav90] και [CKS87] Μπορούε επίσης ν αποδείξουε το ίδιο θεώρηα, χρησιοποιώντας όνο το θεώρηα της παρεβολής των Riesz-Thori, που είναι πιο απλό και που δίνει ία ανισότητα Sobolev ε εξασθενηένες στάθες του Lorez: = su λ> { λ({ λ} /, 0 } Ξαναπερνάε εν συνεχεία στις συνήθεις στάθες χάριν στη έθοδο της «εκτοής» (rucaio που έχει χρησιοποιηθεί στο θεώρηα 43 (βλέπε [BCLS95] Χάριν στο πόρισα 56 και στο θεώρηα 57 παίρνουε την ακόλουθη ισοδυναία: Πρόταση 58 Εστω r, s και C > 0 Τότε η ανισότητα Sοbolev S( είναι ισοδύναη ε την ύπαρξη ίας σταθεράς [0,], / P C και C 0 > C > 0, έτσι ώστε για κάθε 33

34 Αν λοιπόν το συετρικό έτρο είναι ένα έτρο πιθανότητας, τότε από το γεγονός ότι η στάθη στην ηιοάδα ( P 0 P είναι φραγένη έχουε πολλές ιδιότητες πάνω και στη γεννήτρια L Παραδείγατος χάριν, το L έχει κατ ανάγκη ένα διακριτό φάσα και η ηιοάδα ( P 0 είναι ία οικογένεια τελεστών ε πυρήνες οοιόορφα φραγένους από τη στάθη P 53 Παραδείγατα και παρατηρήσεις Αυτή η ιδιότητα της εκτίησης του φράγατος της στάθης P είναι πολύ πιο δυνατή απ ότι η έννοια της υπερσυσταλτικότητας Πράγατι, αυτή η τελευταία είναι ικανή για να έχουε ένα οοιόορφο φράγα πάνω στην άπειρη στάθη των πυρήνων Παραδείγατος χάριν, θεωρούε την ηιοάδα των Orsei-Uhlebec πάνω στο R, που είναι συετρική ως προς το έτρο του Gauss (βλέπε ορισό Μπορούε επίσης να την ορίσουε ε τη βοήθεια των παρακάτω πυρήνων: σ P ( x : = ( y ( x, y d ( y γ e σ όπου ( x, y : = ex( ( y e xy + x, ε σ = e Εχουε λοιπόν: su y { ( x, y} x = e, σ γιατί max y{ ( x, y} = e, για y = e x σ και P = su { (, } = + x, y x x y Αυτή η ηιοάδα είναι υπερσυσταλτική, κι έχουε ία λογαριθική ανισότητα Sobolev χάρη στο θεώρηα του Nelso αν ισχύει ότι 34

35 e πάνω στο R (, αλλά όχι την ανισότητα Sobolev για την γκαουσιανή Θεώρηα (Nelso Εστω < < < (i Aν e (, τότε ο τελεστής είναι ία συστολή από P το L (γ στο L (γ, δηλαδή για κάθε A τότε: > e P (ii Αν, τότε ο τελεστής δεν είναι συνεχής από το L (γ στο L (γ ( P Τα παραπάνω εξάλλου πορούε να τα δούε απευθείας ε την παρακάτω πρόταση: Πρόταση 59 Θεωρούε την συνάρτηση: ( x = e x x 4 3/ Τότε η L ' ( γ και L ( γ, αλλά για κάθε >, L (γ Πράγατι: = x x x x x e 3 / d e 3 / ( / 4 ( / = e / γ dx = e π π x 3 / dx / 3 = Γ( < + 3 π 3, = d π dx x 3 / x e dx = e π 3 / < + 35

36 0 a Όπου Γ( a = e d ( H συνάρτηση x = e, > π ( ( x / 4 x 3 / ε τοπικό έγιστο στο = 0και ολικό ελάχιστο στο 9 x = ( x, έχει άπειρο εβαδό Αυτή η ιδιότητα, συνεπάγει άεσα στο γεγονός ότι δεν υπάρχει ανισότητα Sobolev για έτρα γκαουσσιανά Τέλος, σηειώνουε ότι ο εκθέτης / στην πρόταση 58 είναι βέλτιστος Πράγατι, ορίζουε την ηιοάδα της θερότητας στο Brow όταν αλλάξουε το ε το, που δίνεται από τους πυρήνες: ( x, y : x y / 4 = e π / Tότε έχουε ένα άνω φράγα εξαρτώενο από το C / : P (4 / (4π R (η κίνηση Πράγατι, αυτό το φράγα είναι βέλτιστο, και πορεί να αποκτηθεί απευθείας ξεκινώντας από την λογαριθική ανισότητα Εντροπίας- Ενέργειας ε βέλτιστες σταθερές του R (Εξίσωση (3, βλέπε [BCL97] 36

37 6 Συνδέσεις ε τη λογαριθική ανισότητα Sobolev Για να τελειώσουε θα σας παρουσιάσουε ερικές συνδέσεις εταξύ των ανισοτήτων που είδαε πιο πάνω και της λογαριθικής ανισότητας Sobolev 6 Λογαριθική Aνισότητα Εντροπίας-Ενέργειας Κατ αρχήν, υπενθυίζουε ότι η λογαριθική ανισότητα εντροπίαςενέργειας (ΕΕL για ένα έτρο συνεπάγει στην λογαριθική ανισότητα Sobolev (βλέπε κεφάλαιο 5 Με ένα τρόπο περίεργο, πορούε στην περίπτωση του να περάσουε ε απλό τρόπο από την λογαριθική ανισότητα Sobolev ε έτρο του Gauss γ έτρο Lebesgue στην λογαριθική ανισότητα εντροπίας-ενέργειας(εεl ε Για να το κάνουε αυτό ξεκινάε από την λογαριθική ανισότητα Sobolev για το γ, που έχει αποδεικτεί στo βιβλίο ([ABCFGMRS00] και χρησιοποιεί την παρακάτω πρόταση: Πρόταση Εστω (Ε,=( R, γ, τότε c ( γ = LS R Η σταθερά c ( ε LS ( : = {i, C ( R, R} c E ( Εποένως, ισχύει ότι: Θέτουε: E ( g E ( g γ γ x R, ( x = x e (π / / g ( x 37

38 απ όπου: = Σύφωνα ε την ολοκλήρωση κατά παράγοντες L ( dx έχουε : E dx ( log π L ( dx (7, διότι: ( x dx L ( dγ L ( dx = g ( x dγ ( x, άρα g = = E E γ γ ( g = ( g g = log g x dγ = log π + E dx + E dx ( + dx ( + x dx x ( x ( x dx x ( x ( x dx = i= xi ( x i x ( x ( x, x,, x dx = lim x + dx dx dx i= ( b i ( b a = 0 = i ( a Ο όρος που εφανίζεται και στις δύο πλευρές της ανισότητας (7 Πράγατι: x dx δεν είναι κατ ανάγκην πεπερασένος = E ( x P, όπου P είναι έτρο x dx x dp = πιθανότητας Εποένως, για να ισχύει η ανισότητα (7 πρέπει να υποθέσουε ότι ( x < + E P / Αντικαθιστούε εν συνεχεία το (x ε λ ( x ε λ > 0 βελτιώνουε ως προς λ για να βρούε: και 38

39 E dx ( log( πe L ( dx (8 Αυτή η ανισότητα είναι βέλτιστη, διότι είναι ισοδύναη ε την λογαριθική ανισότητα Sobolev βέλτιστη για την γκαουσσιανή της οποίας γνωρίζουε τις ακραίες συναρτήσεις (έθοδος βγαλένη από τον [Car9] Θα αποδείξουε τώρα ότι αυτή η ανισότητα πορεί να βγεί από την βέλτιστη ανισότητα Sobolev S(: L ( dx ( R, dx L ( dx b Eίδαε ότι αυτή συνεπάγει ε τις ίδιες σταθερές την παρακάτω λογαριθική ανισότητα εντροπίας-ενέργειας (ΕΕL: E ε dx ( log( b ( R, dx L ( dx b 4 (, dx = / ( ω + ~ πe R Θα χρησιοποιήσουε ένα τρόπο τανυστικοποίησης που οφείλεται στον Becer(βλέπε [Bec99] Γράφουε την ανισότητα (ΕΕL πάνω στον, ε για τη συνάρτηση: R m m = l F( x = l = ( x x R Τότε έχουε την παρακάτω: E dx ( F l l = ledx ( log( lb ( R, dx L ( dx Eν συνεχεία, βάζοντας το l να τείνει στο άπειρο ξαναβρίσκουε την (3 39

40 6 Ανισότητες Sobolev Θα δούε τώρα ότι από τις ανισότητες Sobolev S( πάνω στο R για και για έτρο του Lebesgue ότι πορούε να βγάλουε την λογαριθική ανισότητα Sobolev πάνω στον του Gauss Εστω στο R R για έτρο Ξεκινώντας από τη βέλτιστη ανισότητα Sobolev S( πάνω 4 + ( ω και κάνοντας την αλλαγή της εταβλητής από το / +, ( x a ( + x ( / ( x Μετά από κάποιες πράξεις και ολοκλήρωση κατά παράγοντες, καταλήγουε τελικά στην παρακάτω ανισότητα: (9 dx dx /( ( / ( ( x ( x + ( + x ( x R ( + x R ( + x ( R ( + x dx Υπενθυίζουε ότι η στερεογραφική προβολή ως προς το σηείο Ν είναι ένας σύορφος ετασχηατισός της σφαίρας S R + (εκτός του σηείου Ν στο R, που αλλάζει την σφαιρική ετρική στην ετρική 4( + x Id στο R Εφαρόζοντας τον αντίστροφο ετασχηατισό στην ανισότητα (9, βλέπουε ότι ετασχηατίζεται αυτή σε ία βέλτιστη ανισότητα του Sobolev πάνω στο το οοιόορφο έτρο σ : S εφοδιασένη ε 40

41 /( ( / 4 ( dσ dσ + dσ S ( S Με ία απλή οοθεσία γράφουε αυτή την ανισότητα πάνω στην σφαίρα ε ακτίνα και βολεύοντας λίγο τους όρους έχουε: S L ( σ L ( σ κ κ L ( σ κ κ (0 όπου = /( Οταν το, ο όρος εξ αριστερών τείνει στο ισό της εντροπίας Η ιδέα λοιπόν είναι να βάλουε το να τείνει προς στο άπειρο ούτως ώστε το να τείνει στο Θα χρησιοποιήσουε το γεγονός ότι το οοιόορφο έτρο σ πάνω στην σφαίρα S (, προβαλλόενο πάνω στο R, τείνει προς στο γκαουσσιανό έτρο Πιο συγκεκριένα, έχουε το παρακάτω αποτέλεσα, το οποίο ονοάζεται όριο του Poicare: (βλέπε [McK73] και [Sr93b, σελ77]: Λήα 6 Για κάθε σύνολο Borel A του R, έχουε: lim σ (, ( A S ( = γ ( A όπου είναι η προβολή του R στο R R, Η ανίσωση (9 ισχύει ακόα και ετά την προβολή πάνω στο και χάριν του λήατος 6, πορούε να κάνουε το να τείνει στο άπειρο Αποκτούε έτσι το αναφερόενο αποτέλεσα, δηλαδή την λογαριθική ανισότητα Sobolev ε έτρο Gauss στο σταθερά R ε βέλτιστη H παραπάνω σκέψη, έχει την αξία της στο να δείξουε τον απειροδιάστατο χαρακτήρα της λογαριθικής ανισότητας Sobolev, που 4

42 εταφράζεται σαν το όριο της ανισότητας Sobolev S( Κάπως γενικότερα, ία ανισότητα Sobolev διάστασης συνεπάγει ανισότητες Sobolev ε εγαλύτερες διαστάσεις: Πρόταση 6 Εστω είναι ένα έτρο που επαληθεύει την τεταένη ανισότητα Sobolev διάστασης : + c τότε επαληθεύει και τις «τεταένες» ανισότητες Sobolev διάστασης m > : m + c m m, Απόδειξη Eίδαε ότι η ανισότητα Sobolev διάστασης συνεπάγει την υποοικογένεια των εξασθενηένων ανισοτήτων SA(r, : Από την S( έχουε: θ θ W ( και πολλαπλασιάζοντας ε ( θ και τα δύο έλη της παραπάνω ανισότητας προκύπτει έσω της ανισότητας της παρεβολής η SA(r,: r ( θ θ W ( θ ( θ θ ( + c r θ θ 0 < θ, = + ( = /( r 4

43 Αρκεί σε συνέχεια να γράψουε r = m /( m και να φράξουε το θ ( + x από το +θx, = / m θ Εχουε το παρακάτω πόρισα, όπου η λογαριθική ανισότητα Sobolev εφανίζεται ε σαφήνεια σαν το απειροδιάστατο ανάλογο της ανισότητας Sobolev Πόρισα 63 Εστω ένα έτρο που επαληθεύει τις τεταένες ανισότητες Sobolev S( ε σταθερά c Τότε αυτό το ίδιο έτρο επαληθεύει ία λογαριθική ανισότητα Sobolev ε σταθερά c/ Απόδειξη Αρκεί να χρησιοποιήσουε το παραπάνω θεώρηα και να κάνουε το m να τείνει στο άπειρο, χρησιοποιώντας το γεγονός ότι: lim m E ( m m = m /( m Γιατί, αν θέσουε φ s =, τότε διαφορίζοντας ως προς s: d ds s ( s s ( x log ( x dx log ( x s (/ s s (/ s = ( ( x dx ( ( ( x dx ( s s s dx φ ( = lim m E ( s m m = limm = limm ( cε( s m/( m 4m s 43

44 ΑΝΑΦΟΡΕΣ [ABCFGMRS00] GANE, SBLACHERE, DCHAFAI, PFOUGERES, IGENTIL, FMALRIEU, CROBERTO, GSCHEFFER Sur les iegalies de Sobolev logarihmiues, Paorama e Syheses, Sociee Mahemaiue de Frace, 000, σελ57-74 [Aub76] Sobolev, TAUBIN Problemes isoerimeriues e esaces de J DiGeom,, 976, [Aub98] T AUBIN Some Noliear Problems i Riemaia Geomery, Sriger Verlag, New Yor, 998 [Ba94] D BAKRY - <<L hyercoracivie e so uilizaio e heorie des semigroues>> Lecures o robabiliy heory Ecole d ee de robabiliies de S-Flour 99, Lecure Noes i Mah, vol 58, Sriger, Berli, 994,σελ-4 [BCL97] DBAKRY, D CONCORDET & MLEDOUX - <<Oimal hea erel bouds uder logarihmic Sobolev ieualiies>>, ESAIM Probab Sais (997, σελ (ηλεκτρονική έκδοση [BCLS95] D BAKRY, TCOULHON, MLEDOUX & L SALOFF- COSTE - <<Sobolev ieualiies i disguise>>, Idiaa Uiv Mah J 44 (995 o 4, σελ [BEC9] WBECKNER - <<Sobolev ieualiies, he Poisso semigrou, ad aalysis o he shere 89 (99, o, σελ [BEC99] S >>, Proc Na Acad Sci USA WBECKNER, << Geomeric asymoics ad he logarihmic Sobolev ieualiy>>, Forum Mah (999, o, σελ

45 [Bre97] H BREZIS Συναρτησιακή Ανάλυση: Θεωρία και εφαρογές, Μετάφραση: Πανεπιστηιακές εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα 997 [Car9] EACARLEN - << Suer-addiiviy o Fisher s iormaio ad logarihmic Sobolev ieualiies>>, J FucAal 0 (99, o, σελ 94- [CKS87] EACARLEN, SKUSUOKA &DWSTROOCK - <<Uer bouds or symmeric Marov rasiio ucios>>, A Is HPoicare ProbabSais 3 (987, o, sul, σελ45-87 [Dav90] EBDAVIES Hea erels ad secral heory, Cambridge Uiversiy Press, Cambridge 990 [DS89] J-D DEUSCHEL & DWSTROOCK Large deviaios, Academic Press Ic, Boso, MA, 989 [Heb97] EHEBEY Iroducio a l aalyse o-lieaire sur les variees, Didero, 997 [Heb99] EHEBEY Noliear aalysis o maiolds:sobolev saces ad ieualiies, New Yor Uiversiy Coura Isiue o Mahemaical Scieces, New Yor, 999 [Gro93] L GROSS <<Logarihmic Sobolev ieualiies ad coraciviy roeries o semigrous>>, Dirichle orms (Varea, 99, Sriger, Berli, 993, σελ54 88 [GT83] D GILBARG & NS TRUDINGER Elliic arial diereial euaios o secod order, secod ed, Sriger-Verlag, Berli, 983 [Ili83] S ILIAS - <<Cosaes exlicies our les iegalies de Sobolev sur les variees riemaiees comaces>>, AIsFourier (Greoble 33 (983, o, σελ

46 [KKR93] OKAVIAN, GKERKYACHARIAN & BROYNETTE - << Quelues remarues sur l ulracoracivie>>, JFuc Aal (993, o, σελ [Maz85] VGMAZ JA Sobolev saces, Sriger- Verlag, Berli 985 [McK73] HPMCKEAN - <<Geomery o diereial sace>>, A Probab 4 (973, σελ [Nas58] JNASH - <<Coiuiy o soluios o arabolic ad elliic euaios>>, Amer J Mah 80 (958, σελ [Ro86] OSROTHAUS - <<Hyercoraciviy ad he Bary-Emery crierio or comac Lie grous >>, JFuc Aal 65 (986, o 3, σελ [Sob63] SLSOBOLEV Alicaios o ucioal aalysis i mahemaical hysics, America Mahemaical Sociey, Providece, RI, 963 Traslaio o mahemaical moograhs, Vol 7 [Sr93b] DWSTROOCK - <<Probabiliy heory, a aalyic view>>, Cambridge Uiversiy Press, Cambridge 993 [Tal76] GTALENTI <<Bes cosa i Sobolev ieualiy>>, A Ma Pura Al (4 0 (976, σελ [Var84] NTVAROPOULOS - <<Ue geeralizaio du heoreme de Hardy-Lilewood-Sobolev our les esaces de Dirichle >>, CRAcadSciParis Ser I Mah 99 (984, o4, σελ [Var85] NTVAROPOULOS - << Hardy-Lilewood heory or semigrous>>, J Fuc Aal 63 (985, o, σελ