ሄ 㬄 㐄㠄䘄 င 㴄㐄䀄㔄堄㠄嬄 㼄䀄㸄堄㔄㨄䈄㠄 㴄 ጄᔄḄᰄᔄ ࠄင ᴄ ሄᔄᜄ ᔄ ᄄᔄḄጄငᐄ ᰄင ᔄᰄင ᨄ ငᨄ ᔄ ᄄᔄḄጄငᐄ 㘀

Transcript

1 ሄ 㬄 㐄㠄䘄 င 㴄㐄䀄㔄堄㠄嬄 㼄䀄㸄堄㔄㨄䈄㠄 㴄 ጄᔄḄᰄᔄ ࠄင 䀄 㴄㠄 ᴄ ሄᔄᜄ ᔄ ᄄᔄḄጄငᐄ ᰄင ᔄᰄင ᨄ ငᨄ ᔄ ᄄᔄḄጄငᐄ 㘀

2

3 Владица Андрејић ПРОЈЕКТИВНА ГЕОМЕТРИЈА РАВНИ Верзија: ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2016.

4 р Вла ица Ан рејић, доцент на Математичком факултету у Београду ПРОЈЕКТИВНА ГЕОМЕТРИЈА РАВНИ Владица Андрејић Ово дело заштићено је лиценцом Creative Commons CC BY-NC-ND 4.0 (ttribution-noncommercial-noderivatives 4.0 International License). Дозвољено је умножавање, дистри уција и јавно саопштавање дела, под условом да се наведе име аутора. Употре а дела у комерцијалне сврхе није дозвољена. Прерада, прео ликовање и употре а дела у склопу неког другог није дозвољена.

5 Садржај Предговор Увод iv v 1 Основна теорија Аксиоматски метод Аксиоме пројективне равни Интуитивна пројективна раван Аналитичка пројективна раван Коначна пројективна раван Дезаргово тврђење Пројективни простор Пројективитети Аналитичка пројективна права Дворазмера Папосово тврђење Конике Папосове равни Пројективна колинеација Хармонијска четворка Колинеација реалне пројективне равни Фиксни елементи Инволуције Конике реалне пројективне равни Корелације Напредна теорија Координатизација пројективне равни Координатизација Дезаргове равни Латински квадрати Егзистенција коначних равни З ирка синтетичких задатака Дезаргова теорема Пројективитети Колинеације Перспективне колинеације Перспективне афиности Штајнерове конике Паскалова и Бријаншонова теорема Разни задаци iii

6 4 З ирка аналитичких задатака Хомогене координате, дворазмера Пројективитети Колинеације Конике Литература 121 Индекс појмова 125 iv

7 Предговор Ова књига настала је на основу вишегодишњег искуства које је аутор стекао држећи предавања и веж е на Математичком факултету у Београду. По тренутно важећој акредитацији намењена је студентима који прате курсеве Геометрија 4 и Геометрија 5. Предмет изучавања ове књиге је пројективна геометрија или прецизније геометрија пројективне равни. Теорију заснивамо синтетички тако што постепено уводимо аксиоме и строго формално доказујемо одговарајуће теореме. Паралелно се служимо аналитичким методама да и посматрана својства демонстрирали у најважнијем специјалном случају реалне пројективне равни. Књига о ухвата четири главе. У првој глави излажемо основну теорију која се може чути на предавањима. Друга глава садржи напредну теорију која излаже компликованије примере и мотивише читаоца на самосталан рад увидом у многе тешке про леме из ове о ласти. Последње две главе представљају з ирку задатака, при чему су у трећој глави решени синтетички, а у четвртој глави аналитички задаци. З ирка садржи задатке који су рађени на веж ама, као и оне који су се појављивали на колоквијумима и испитима, док многи задаци представљају оригиналан рад аутора. Књига садржи велики рој слика које су креиране помоћу програма GCLC. у Београду В. Андрејић v

8 Увод Пројективна геометрија проистекла је из практичног про лема геометријске (линеарне) перспективе у уметности, а која подразумева цртање илузије просторне ду ине, онако како то реално видимо. Геометријска перспектива заснива се на природном закону да се удаљавањем од посматрача ликови смањују сразмерно удаљености. И математичари и уметници или су заинтересовани за принципе ове технике, те су почели да изучавају основе које стоје иза њих. Уметници су или заинтересовани за паралелне праве које конвергирају и секу се у недогледу, док је математичаре занимала теорија која ће да о ухвати те принципе. Пројективна геометрија вуче корене из ране ренесансе у Италији, када је откривена геометријска перспектива, што је оставило далекосежне последице на развој сликарства ренесансе. За изумитеља геометријске перспективе сматра се Брунелески 1, али заслуге носи и његов савременик Ал ерти 2 који је анализирао природу сликања и истраживао елементе перспективе и композиције. Два од неколико најзначајнијих догађаја у историји геометрије догодила су се касних тридесетих година 17. века у Француској. Један је откриће и систематска употре а координата за коју су заслужни, независно један од другог, Декарт 3 [22] и Ферма 4 [27]. Координате су омогућиле интензивну употре у алге ре и анализе у основама и развоју геометрије, те је тако настала аналитичка геометрија. Други догађај је прво изучавање фигура које су перспективно инваријантне за шта је заслужан Дезарг 5 [20], а што је даље условило настанак пројективне геометрије. Дезарга можемо сматрати оснивачем пројективне геометрије. Он је увео појам есконачно далеке тачке, иако се тај појам независно појавио раније код Кеплера 6 у [40, стр. 93]. Дезарг је написао књигу о перспективи, као и књигу о конусним пресецима, а поставио је и славну теорему која носи његово име. Његов рад на коникама утицао је на Паскала 7 да као шеснаестогодишњак постави веома значајну теорему. Приличан допринос пројективној геометрији 17. века дао је и Ла Ир 8. Дезаргова књига о конусним пресецима [20] сматра се за његову најважнију књигу, као и за прву књигу из пројективне геометрије уопште. Она није ила намењена продаји, штампана је у само 50 примерака који су или подељени његовим пријатељима, али су у рзо ишчезли. Било је потре но да прође два века да једна од копија (коју је направио Ла Ир) уде поново пронађена. Додатно, Дезарговом раду је недостајала јасноћа изражавања, тако да многи нису могли у потпуности да разумеју његове идеје. Бољем разумевању свакако није допринело то што је уместо многих математичких термина користио отаничке изразе (палма, ста ло, 1 Filippo Brunelleschi ( ), италијански архитекта, вајар и инжењер 2 Leon Battista lberti ( ), италијански архитекта, сликар и филозоф 3 René Descartes ( ), француски филозоф и математичар 4 Pierre de Fermat ( ), француски математичар и правник 5 Girard Desargues ( ), француски математичар и инжењер 6 Johannes Kepler ( ), немачки астроном и математичар 7 Blaise Pascal ( ), француски математичар, физичар и филозоф 8 Philippe de La Hire ( ), француски математичар и астроном vi

9 дрво, пањ, [16]). Све то утицало је да Дезаргов рад не уде превише цењен ван круга његових пријатеља и колега. Кад ту додамо успешан развој аналитичке геометрије и заокупљеност математичара овом дисциплином, не чуди превише што је пројективна геометрија остала нетакнута више од века. За даљи развој пројективне геометрије заслужан је Монж 9 који је крајем 18. века издвојио нацртну геометрију као посе ну математичку дисциплину и може се рећи да је ио први прави геометричар. Почетак 19. века донео је уђење и успон пројективне геометрије. Како наш визуелни свет има геометрију лижу пројективном неголи еуклидском простору, математичари су почели све више да верују у есконачно далеке тачке, доживљавајући основне концепте геометрије као пројективне. Лепота и елеганција пројективне геометрије постепено је привукла геометричаре, који су похрлили у ту златну ризницу и рзо извукли најприступачније драгоцености. Неочекиване и за орављене геометријске идеје које су датирале из 17. века, али и оне из античког до а попут Папосове 10 теореме, поново су откривене и ду ље истраживане. Оснивач модерне пројективне геометрије ио је Понселе 11, који је преузео идеје свог учитеља Монжа и разрадио их на вишем апстрактном нивоу. Он је године у свом чувеном Трак а у [59] изучавао осо ине које остају инваријантне под пројекцијама, а његов рад садржи све основне идеје карактеристичне за пројективну геометрију, као што су хармонијска четворка, перспективитети, пројективитети, инволуција, а такође је увео есконачно далеку праву дуж које се секу међусо но паралелне равни. Пројективна геометрија постала је синоним за модерну геометрију 19. века, а у почетним деценијама главне улоге играли су геометричари из Француске и Немачке. Поред Понселеа, француску школу пројективних геометричара заступали су Карно 12, Сервоа 13, Жергон 14, Бријаншон 15 и Шал 16, док су Немачку представљали Ме ијус 17, Штајнер 18, Пликер 19 и Штаут 20. Значајна ствар у пројективној геометрији з ила се касних двадесетих година 19. века када су уведене хомогене координате, за шта су сасвим независно заслужни Ме ијус, Фојер ах 21, Бо ијије 22 и Пликер. Хомогене координате и њихова предност да лепо представљају есконачно далеке тачке, омогућило је плодну примену аналитичке методе у пројективној геометрији. Пројективној геометрији тако се могло приступити на два начина, аналитички и синтетички. Аналитичари су радо употре љавали аналитичке и алге арске технике из других о ласти математике, док су геометријске релације изражавали преко координата и једначина. Уводне радове у аналитичку пројективну геометрију дали су Ме ијус и Пликер, а поред њих, у групу геометричара који су фаворизовали аналитички приступ спадају Шал, Кејли 23 и Салмон 24. Синтетичари су или инспирисани Аполонијем 25 и заступали чисто геометријске методе. Водич им је ила интуиција, а логика инструмент за строго формално резоновање, док су из егавали алге ру и мерења. Водећи геометричари који 9 Gaspard Monge ( ), француски математичар 10 Папос из Александрије, Πάππος (3. век н.е.), грчки математичар 11 Jean-Victor Poncelet ( ), француски инжењер и математичар 12 Lazare Nicolas Marguerite Carnot ( ), француски политичар, инжењер и математичар 13 Francois-Joseph Servois ( ), француски свештеник и математичар 14 Joseph Diaz Gergonne ( ), француски математичар 15 Charles Julien Brianchon ( ), француски математичар и хемичар 16 Michel Chasles ( ), француски математичар 17 ugust Ferdinand Möbius ( ), немачки математичар 18 Jakob Steiner ( ), швајцарски математичар 19 Julius Plücker ( ), немачки математичар и физичар 20 Karl Georg Christian von Staudt ( ), немачки математичар 21 Karl Wilhelm Feuerbach ( ), немачки математичар 22 Étienne Bobillier ( ), француски математичар 23 rthur Cayley ( ), ритански математичар 24 George Salmon ( ), ирски математичар и теолог 25 Аполоније из Пергама, Ἀπολλώνιος (3. век п.н.е.), грчки математичар и астроном vii

10 су фаворизовали синтетички приступ или су Понселе, Карно, Штајнер, Штаут и Кремона 26. Штајнер је проучивши сву тада постојећу литературу у Европи, систематски и синтетички изградио пројективну геометрију и поставио јој темеље као самосталној науци. Након тога, Штаут [66] је у потпуности прихватио строги приступ и покушао да теорију заснује само на аксиомама инциденције, док су његови претходници говорили о метрици, угловима и другим о јектима који немају улогу у пројективној геометрији. Шал, који се није ли ио да користи аналитички приступ и суштински ио аналитичар, ранио је синтетички приступ. За њега се може рећи да је мислио аналитички, али је своје доказе излагао геометријски, што је ио ком иновани приступ који су касније употре љавали и други математичари [41, стр. 850]. У ком иновани метод можемо укључити и оригиналност коју је испољио Ли 27, који је мислио синтетички док је резултате желео да презентује аналитички [68, стр. 54]. Еуклидови 28 Елемен и или су прва аксиоматизација математике. Међутим, тек пред крај 19. века, они су доживели строге преправке које су попуниле многе рупе у дефиницијама и доказима. Највећи утицај на математичку јавност у о ласти аксиоматике остварио је Хил ерт 29, написавши Основе еоме рије [37]. Крајем 19. века развој пројективне геометрије ио је готово потпуно заокружен захваљујући радовима које су дали Фано 30 и Пјери 31, а у којима су аксиоматски засновали пројективну геометрију по узору на Штаута. За даље читање и проду љивање знања и историје пројективне геометрије препоручујемо следеће ауторе: Коксетер 32 [18], Хјуз 33 и Пајпер 34 [38], Хартсхорн 35 [34], Ве лен 36 и Јанг 37 [71], Рихтер-Ге ерт 38 [62], Клајн 39 [41], Хејтинг 40 [36], Страум 41 [68]. Што се тиче развоја пројективне геометрије на подручју ивше Југославије, напоменимо да су први аутори или Ниче 42 [54] и Првановић 43 [61]. Још неки аутори на нашим просторима су: Митровић 44 [50], Бокан 45 и Вукмировић 46 [9]. Међутим, концептуално и суштински, можемо препоручити Пројек ивну еоме рију коју је написао Палман 47 [55]. Што се тиче практичне примене пројективне геометрије у задацима, на нашим просторима постоји неколико з ирки задатака. За синтетички приступ може се консултовати Алимпић 48, Бокан и Шнајдер 49 [1], а за аналитички Вукмировић и Станић 50 [70]. 26 Luigi Cremona ( ), италијански математичар 27 Marius Sophus Lie ( ), норвешки математичар 28 Еуклид из Александрије, Εὐκλείδης (3. и 4. век п.н.е), грчки математичар 29 David Hilbert ( ), немачки математичар 30 Gino Fano ( ), италијански математичар 31 Mario Pieri ( ), италијански математичар 32 Harold Scott MacDonald Coxeter ( ), ританско-канадски математичар 33 Daniel R Hughes ( ), америчко- ритански математичар 34 Fred C Piper, ритански математичар 35 Robin Hartshorne (1938), амерички математичар 36 Oswald Veblen ( ), амерички математичар 37 John Wesley Young ( ), амерички математичар 38 Jürgen Richter-Gebert (1963), немачки математичар 39 Morris Kline ( ), амерички геометричар 40 rend Heyting ( ), холандски математичар и логичар 41 Eldar Jens Straume (1946), норвешки геометричар 42 Vilko Niče ( ), хрватски геометричар 43 Милева Првановић ( ), српска геометричарка 44 Милан Митровић, српски математичар 45 Неда Бокан (1947), српска геометричарка 46 Срђан Вукмировић (1971), српски геометричар 47 Dominik Palman ( ), хрватски геометричар 48 Бранка Алимпић (1935), српска математичарка 49 Загорка Шнајдер ( ), српска математичарка 50 Зоран Станић (1975), српски математичар viii

11 Глава 1 Основна теорија 1.1 Аксиоматски метод Развој математике неиз ежно је пратила човекова жеља да систематизује сопствена знања. Ова тенденција посе но је упечатљива код античких Грка, где кулминира систематизацијом геометрије у Еуклидовим Елемен има. Грчки математичари су геометрију постепено претварали у аксиоматску теорију, која код Еуклида достиже свој коначни о лик. Много векова његови Елемен и сматрани су за модел савршене математичке теорије, а тек пред крај 19. века, доживели су строге преправке које су попуниле многе рупе у дефиницијама и доказима. У теорији нове појмове уводимо ефиницијама, чиме их описујемо преко неких већ познатих појмова. На самом почетку Елемена а, Еуклид покушава да дефинише све геометријске појмове којима ће се авити. Међутим, у питању нису строге дефиниције већ само кратка о јашњења елементарних геометријских појмова, изложена са намером да у свести читаоца створе интуитивне представе [48, стр. 41]. Да и спречили зачаран круг (дефинисање једног појма преко другог, а тог другог преко првог, те тако у круг) неке појмове морамо прихватити као основне и њих не дефинишемо. Основне појмове делимо у две класе, на основне о јекте (као што су тачке, праве, равни) и основне релације између тих о јеката (као што су инциденција, између, подударност). Тврђење у аксиоматској теорији је исказ у којем се јављају само основни појмови теорије као и логички појмови. Аксиоматски метод се користи да пружи поуздане и о јективне резлоге зашто је нека хипотеза о математичким о јектима истинита. Он се заснива на логичко дедуктивној аргументацији која утврђује оказе за нека тврђењa у теорији коју посматрамо. Докази тврђења су аргументи азирани на истинитости претходно доказаних тврђења, али како та претходна тврђења такође захтевају претходно доказана тврђења, морамо из ећи есконачни регрес ( есконачна хијерархија нових и нових тврђења неопходних за доказивање оних претходних). З ог тога теорију заснивамо на основним тврђењима која не захтевају доказ и зовемо их аксиоме теорије. Дакле, тврђење важи ако је у питању аксиома или уколико је дедуктивно изведено из аксиома, те тада кажемо да је оно еорема (или лема уколико јој је примарна улога да установи значајан корак у доказу неке удуће теореме). Основни појмови у аксиоматској теорији остају непрецизирани, док аксиоме можемо сматрати њиховим имплицитним дефиницијама. Свако окружење у којем основни појмови имају интерпретацију у којој све аксиоме теорије важе зовемо мо ел те теорије. Историјски, арем неки модели аксиоматске теорије претходе теорији. На пример, Еуклид је желео да из егне произвољност у интерпретацији основних појмова јер није могао да дозволи да тачке, праве и равни уду интерпретиране ило 1

12 како другачије до онако како је то чињено у Платоновој 1 Академији [48, стр. 43]. Међутим, у модерној аксиоматици која потиче од Хил ерта, аксиома се више не посматра као несумњива истина до које стижемо интуицијом. Поента је да ми не изучавамо о јекте, већ релације између о јеката у којима се види сама суштина математичког концепта. Према томе, геометријска аксиоматизација подразумева уклањање ило какве зависности од о јеката реалног света са којима је прво итно могла ити повезана. Хил ерт је, ако је веровати његовом ученику Блументалу 2, под утицајем апстрактног погледа на геометријске појмове изјавио да математичар мора увек ити у стању да уместо ачке, раве и равни, говори с олови, с олице и кри ле за иво [7, стр ]. Наравно, овакав апстрактни приступ није уклонио слике из геометријских књига. Ако је књига до ро написана слике могу ити изостављене ез гу итка доследности. Оне нису од суштинске важности, а њихов главни циљ је да нам олакшају памћење, праћење и разумевање сложених доказа. Са друге стране, слике увек прете да нас наведу на погрешан пут некоректном употре ом просторне интуиције. Морамо ити јако о азриви з ог ове опасности која је проузроковала многе грешке чак и у одличним радовима из аксиоматике [36, стр. 4]. Уколико изведемо неку теорему у некој аксиоматској теорији, ми смо такође доказали теореме одговарајуће почетној у свим моделима теорије. На овај начин аксиоматски метод нам дозвољава огромну уштеду на доказима. Свака теорема у теорији је тачна у сваком моделу теорије, али тврђење може ити тачно у неком моделу, а да није у питању теорема. Посе ну пажњу у књизи о ратићемо на моделе теорије што оправдавају следеће осо ине аксиома на које се често фокусирамо. За аксиоматску теорију кажемо да је не ро ивречна уколико се из ње не може извести логичка контрадикција, односно уколико не постоји неко тврђење за које су и оно и његова негација теореме у тој теорији. Најлакши начин да докажемо непротивречност теорије је да о ез едимо неки њен модел. За аксиому кажемо да је независна уколико се не може доказати ни оповргнути из осталих аксиома теорије. Аксиоматска теорија је независна уколико је свака од њених аксиома независна. Независност аксиоме уо ичајено се доказује конструкцијом модела у којем важе све аксиоме осим те. Уколико се свако тврђење у теорији или његова негација могу доказати кажемо да је теорија о уна. Дакле, у потпуној теорији не постоји тврђење које можемо додати на систем аксиома и тако до ити непротивречну теорију. Уколико су свака два модела аксиоматске теорије изоморфна (суштински, постоји само један модел теорије) кажемо да је она ка е орична. Категорична теорија је о авезно потпуна, али о рнуто не мора да важи. У неким ситуацијама категоричност није захвална осо ина јер се теорија не може даље уопштавати. Пројективну геометрију равни заснивамо као аксиоматску теорију, те најпре уводимо основне појмове. Посматрамо два основна скупа и њих о ележавамо са T и P. Елементе скупа T зовемо ачке и о ележавамо великим латиничним словима:, B, C, D,... док елементе скупа P зовемо раве и о ележавамо малим латиничним словима: a, b, c, d,... Између ових скупова уводимо основну релацију I T P коју зовемо релација инци енције. Реченица Тачка је инци ен на са равом p има сим олички запис Ip или (, p) I, а еквивалентно можемо рећи Права p је инци ен на са ачком или записати pi. Често се по узору на интуитивну раван, уколико не постоји могућност за уне, користи интуитивни начин изражавања. На пример, претходне реченице можемо исказати са Тачка лежи на равој p или Тачка ри а а равој p, у ознаци p, односно са Права p ролази кроз ачку или Права p са ржи ачку, у ознаци p. Уколико тачка није инцидентна са правом p, можемо писати Ip или (, p) / I. Та негација се интуитивно може исказати у ацивањем речце не на одговарајуће место (не лежи, не ри а а, не ролази кроз, не са ржи), односно записати / p. Из полазних појмова дефиницијама можемо до ити нове изведене појмове. Ако постоји заједничка права са којом су инцидентне неке тачке, онда за те тачке кажемо 1 Платон, Πλάτων (4. и 5. век п.н.е), грчки филозоф и еседник 2 Ludwig Otto Blumenthal ( ), немачки математичар 2

13 да су колинеарне. Ако постоји заједничка тачка са којом су инцидентне неке праве, онда за те праве кажемо да су конкурен не. Често имамо потре у да нагласимо ту заједничку тачку или да преко ње оправдамо конкурентност правих, те ћемо рећи да су праве конкурен не у тој заједничкој тачки. 1.2 Аксиоме пројективне равни Законитости које важе између основних појмова у геометрији описују се аксиомама. Уо ичајено је да се најпре поставе аксиоме инциденције (аксиоме везе) које описују основне осо ине релације инциденције. У свакој геометрији је такође уо ичајено да се најпре постави следећа аксиома. 1.1 Пос оји је инс вена рава која је инци ен на са ве различи е ачке. Ова аксиома заправо је о једињење прве две Хил ертове аксиоме. Прве, која каже да постоји права која пролази кроз две различите тачке, и друге, по којој не постоји више од једне такве праве. За различите тачке и B, јединствену праву из Аксиоме 1.1 која их садржи зовемо с ојница ачака и B и о ележавамо са B. Тако смо до или о ерацију с ајања која двема различитим тачкама додељује одговарајућу праву, њихову спојницу. Непосредна последица Аксиоме 1.1 је да праву одређују ило које две њене тачке, односно ако су C и D различите тачке праве B, тада су и B тачке праве C D. Такође важи да две различите праве не могу имати више од једне заједничке тачке, односно са две различите праве може ити инцидентна највише једна тачка. Додатно, можемо рећи да су сваке две тачке колинеарне. Упечатљива одлика пројективне геометрије је симетрија у улогама које играју тачке и праве у дефиницијама и теоремама. Овде до изражаја долази апстрактни поглед на аксиоматску геометрију, те овој симетрији можемо приступити кроз језик. Свако тврђење у пројективној равни (исказ који укључује тачке, праве и инциденцију између њих) може се модификовати тако што речи тачка и права замене места, при чему се евентуално изврше потре не граматичке корекције. Дефиниција 1.1. Дуално врђење неком тврђењу је тврђење које се до ија заменом речи тачка и права у почетном тврђењу. Прецизније речено, реч тачка мења се речју права, а реч права мења се речју тачка. Важно је напоменути да уколико тврђење садржи додатне термине морамо извршити и додатне промене у складу са њиховим дефиницијама. На пример, за до ијање дуалног тврђења морамо у почетном тврђењу узајамно заменити речи лежи на са пролази кроз, припада са садржи, а колинеарно са конкурентно. Симетрија између скупова T и P коју смо најавили види се кроз такозвани Принцип дуалности. 1.1 Ако је неко врђење еорема, он а је њему уално врђење акође еорема. Принцип дуалности је метатеорема јер је заправо пре теорема о математици неголи теорема унутар саме математике. Другим речима, Принцип дуалности је теорема о теоремама. Доказ ове веома јаке теореме врши се провером дуалних тврђења за све аксиоме у теорији, које свакако важе уколико је Принцип дуалности на снази. Ако је неко тврђење теорема, то за њега постоји доказ изведен из аксиома. Уколико читав доказ преведемо дуално, до ијамо доказ дуалног тврђења расписан преко дуала аксиома, које се даље расписују преко самих аксиома, одакле следи да је дуално тврђење теорема. Претходна дискусија говори да Принцип дуалности важи ако и само ако је дуал сваке аксиоме валидан. Како желимо да Принцип дуалности имамо на сталном располагању, погледајмо како гласи дуал Аксиоме 1.1 и уведимо га као нову аксиому. 3

14 1.2 Пос оји је инс вена ачка која је инци ен на са ве различи е раве. Подсетимо се апсолутне геометрије равни, у којој се уводи појам паралелности, где кроз тачку ван праве постоји права која не сече почетну праву. У еуклидској равни постоји тачно једна таква права (Плејферова 3 аксиома), док у хипер оличкој равни имамо ар две такве праве (аксиома Ло ачевског 4 ). Међутим, у пројективној равни такве праве не постоје, јер Аксиома 1.2 каже да се сваке две различите праве секу, што уједно значи и да нема паралелних правих. Напоменимо да се Аксиома 1.2 може осла ити тако да гарантује само егзистенцију заједничке тачке јер јединственост онда следи из раније поменуте осо ине Аксиоме 1.1. Међутим, како желимо упечатљив поглед на Принцип дуалности одлучили смо да као аксиому ипак задржимо директан дуал Аксиоме 1.1. За различите праве p и q, јединствену тачку из Аксиоме 1.2 која им припада зовемо сециш е ( ресечна ачка) равих p и q и о ележавамо са p q. Тако смо до или о ерацију сечења која двема различитим правама додељује одговарајућу тачку, њихово сециште. Приметимо да су спајање и сечење дуалне операције, односно да су спојница и сециште дуални појмови. Како празни скупови, T = P = I = очигледно испуњавају о е аксиоме, потре на нам је аксиома која гарантује егзистенцију основних о јеката од којих можемо почети да постепено градимо теорију. 1.3 Пос оје че ири ачке међу којима нема ри колинеарне. Аксиома 1.3 служи да поред већ наведених празних скупова елиминише још неке неинтересантне случајеве. Уколико важи Аксиома 1.1 и Аксиома 1.2, али не и Аксиома 1.3, кажемо да је у питању е енерисана ројек ивна раван, а једноставном претрагом по могућим случајевима, испоставља се да граде две суштински различите фамилије. Прва фамилија дегенерисаних равни представља се тачком T која није инцидентна са правом p, тако да постоји произвољан (не нужно коначан) скуп Λ и колинеарне тачке T α за α Λ инцидентне са p, као и праве које су спојнице тачке T са сваком од тачака T α. Строго формално ову фамилију можемо записати са T = {T } α Λ {T α }, P = {p} α Λ {p α }, I = α Λ{(T, p α ), (T α, p α ), (T α, p)}. Приметимо да је рој тачака равни из ове фамилије једнак роју правих, те је дуална раван истог типа. Друга фамилија дегенерисаних равни представља се са два произвољна скупа индекса Λ и Σ, тако да су све тачке T α за α Λ колинеарне, а све праве p β за β Σ конкурентне. Формално можемо записати T = {T α }, P = β }, I = α Λ β Σ{p {(T α, p)} {(T, p β )}, за неко T T, p P. α Λ β Σ 3 John Playfair ( ), шкотски научник и математичар 4 Николай Иванович Ло ачевский ( ), руски математичар 4

15 Посе но, у случају Λ = Σ имамо само једну праву, односно P = {p}, T = I =, док у случају Λ = Σ имамо само једну тачку T = {T }, P = I =, те већ виђено T = P = I = за Λ = Σ =. Дефиниција 1.2. Пројек ивна раван је модел система (T, P, I) који испуњава Аксиоме 1.1, 1.2 и 1.3. Систем тачака и правих са релацијом инциденције који испуњава наше аксиоме je пројективна раван, а како смо укључили Аксиому 1.3 можемо рећи да је она недегенерисана. Погледајмо какав утицај на Принцип дуалности има увођење нове аксиоме. Како су Аксиома 1.1 и Аксиома 1.2 једна другој дуалне остаје провера да ли важи дуал Аксиоме 1.3. Да ли постоје четири праве међу којима нема три конкурентне? Како по Аксиоми 1.3 постоје тачке, B, C, D међу којима нема три колинеарне, оне су све различите. По Аксиоми 1.1 постоје праве B, B C, C D, D, а испоставља се да оне испуњавају тражене услове. Претпоставимо супротно, да међу њима постоје три конкурентне, и нека су, не умањујући општост, B, B C и C D инцидентне са неком тачком S. Ако је S = B, з ог SI(C D) имамо колинеарне B, C, D. Иначе је S B, одакле из SI( B) и SI(B C) до ијамо B = S B и B C = S B, односно B = B C, те су колинеарне, B, C. Овом контрадикцијом показали смо да уколико је (T, P, I) пројективна раван, онда је то и (P, T, I), чиме смо доказали наредну теорему. 1.2 У ројек ивној равни важи Принци уалнос и. Принцип дуалности је веома користан, можемо га механички применити на свако тврђење у теорији и тако до ити нове резултате. Некад је резултат еквивалентан почетној теореми, некада њеном о рату, али често је у питању нов резултат, тако да у принципу можемо сматрати да се рој теорема на овај начин удвостручује. Код увођења нових аксиома увек ћемо имати у виду Принцип дуалности (Тврђење 1.1), те за сваку нову аксиому испитати њен дуал. Откриће Принципа дуалности везује се за двадесете године 19. века и два имена. Принцип дуалности први је експлицитно поставио Жергон у [30] који је уједно и увео термин дуалност да и означио везу између оригиналне и њој дуалне теореме. Са друге стране, Понселе је нешто раније увидео дуалност у вези пола и поларе изучавајући конике, о чему је писао у [59], а онда формулисао општији метод у [60]. Између њих двојице уследио је дуг и непријатан спор по питању приоритета на откриће Принципа дуалности. Са становишта модерне аксиоматике Принцип дуалности је прилично очигледна ствар, али док је пројективна геометрија ила у повоју није ило коректне формалне теорије, те је тада дуалност ила далеко од очигледног. 1.3 Интуитивна пројективна раван Еуклидски простор, који познајемо из елементарне геометрије, о једињује како очигледне, тако и оне неочигледне геометријске осо ине о јеката који постоје у стварном свету око нас. Еуклидска раван тако представља раван дводимензиони простор који даје сложен и прилично до ар опис стварног света заснован на нашем геометријском опажању и искуству. Међутим, постојање паралелних правих оповргава Аксиому 1.2, тако да еуклидска раван није пројективна раван. Еуклидска раван укључује приличан рој ствари које можемо да меримо, попут растојања, углова и површина. Ако се одрекнемо те метричке структуре и задржимо само концепт инциденције, остаје нам лепа и нетривијална геометрија афине равни. Нека је E = (T E, P E, I E ) еуклидска афина раван, где су T E тачке, P E праве, а I E њена релација инциденције. Реализација пројективне равни врши се кроз модел који испуњава дате аксиоме инциденције. Како основни про лем еуклидске равни лежи у Аксиоми 1.2, потре но је измислити неке имагинарне тачке у којима ће се сећи паралелне праве. То 5

16 можемо остварити тако што за тачке нове равни прогласимо праменове правих у равни E. На први поглед ова конструкција делује прилично апстрактно, али прамен конкурентних правих које се секу у некој тачки из T E се природно поистовећује са том тачком. У еуклидској равни праменови се јављају у два о лика, односно поред праменова конкурентних правих постоје праменови паралелних правих, што је додатак који оживљава Аксиому 1.2. Дакле, тачке нове равни су праменови правих у E, праве ћемо задржати, док нову релацију инциденције уводимо на природан начин. Неки прамен, као тачка нове равни, иће инцидентан са правом уколико је садржи, односно ако је та права једна од правих из почетног прамена. Свакој правој у овој конструкцији придружујемо додатну тачку која представља прамен правих паралелних са њом. Тако су паралелне праве инцидентне са заједничком таквом тачком за коју кажемо да је есконачна ачка ( есконачно алека ачка [50], ескрајно алека ачка [61], неизмерно алека ачка [54], и еална ачка, не рава ачка [55]). Дакле, свака права p P E, осим регуларних тачака које јој припадају, садржи и есконачну тачку [p], где је [p] класа еквиваленције свих правих паралелних са p. Додатно уводимо есконачну раву која садржи све есконачне тачке, а коју о ично о ележавамо са u. Овако дефинисане основне скупове и релације можемо формализовати са T = T E { [p] }, P = P E {u }, I = I E {( [p], p), ( [p], u )}. p P E p P E Да ли овако конструисан интуитивни модел EP 2 = (T, P, I ) заиста испуњава све аксиоме пројективне равни? Како постоје два типа тачака (о ичне и есконачне), за различите тачке из Аксиоме 1.1 дискутујемо три случаја. Ако су о е тачке из T E то по еуклидској аксиоми постоји јединствена права из P E која је са њима инцидентна. Та права је по дефиницији и права из P која их садржи, док их додатна права u не садржи, јер је инцидентна само са есконачним тачкама. Ако је једна тачка еуклидска T E, а друга есконачна [p] за неко p P E, то (по Плејферовој аксиоми) постоји јединствена еуклидска права q кроз која је паралелна са p, односно [p] = [q]. Коначно, ако су о е тачке есконачне, јединствена права кроз њих је очигледно u, док све остале праве садрже само једну есконачну тачку. За различите праве из Аксиоме 1.2 такође имамо дискусију. Ако су о е праве p и q еуклидске и међусо но паралелне, њима одговара јединствена тачка [p] = [q]. Ако су о е праве еуклидске и нису паралелне, онда имају о ичан еуклидски пресек и то је јединствена тачка. Пресек праве u и еуклидске праве p је јединствена тачка [p]. Што се тиче Аксиоме 1.3, довољно је, на пример, једноставно иза рати четири темена произвољног квадрата, тако да она очигледно важи. Овако смо испитали све три аксиоме и показали да је интуитивна пројективна раван EP 2 = (T, P, I ) заиста пројективна раван. 1.3 Ин уи ивни мо ел EP 2 је ројек ивна раван. Напоменимо да Аксиоме 1.1, 1.2 и 1.3 чине минимални скуп аксиома пројективне равни. Касније ћемо увести друге аксиоме које пројективну раван повезују са њеним геометријским пореклом. У анализи интуитивног модела EP 2 нису нам иле потре не све аксиоме еуклидске геометрије, већ само аксиоме инциденције са Плејферовом аксиомом, односно посматрали смо еуклидску раван као афину раван. Еуклидска геометрија је рестриктивнија од пројективне геометрије, тако да је она само један њен подскуп. Интуитивни модел EP 2 нам зато омогућава да задатке из еуклидске равни пре ацимо у пројективну раван, тамо их решимо, те на крају закључке вратимо назад у еуклидску раван, што ћемо о илато користити у задацима у Глави 3. Историјски, концепт есконачне тачке потиче са почетка 17. века. Прво се појавио код Кеплера [40, стр. 93] који помиње да пара ола има две жиже од којих је једна есконачно далека, а налази се у пресеку правих паралелних оси. Дезарг [20] је у свом делу писао како паралелне праве имају заједнички завршетак на есконачној удаљености. 6

17 1.4 Аналитичка пројективна раван Иако се есконачна права интуитивне пројективне равни (проширене еуклидске равни EP 2 ) јавља на специфичан начин, њена унутрашња природа не разликује се од осталих правих. Конструкција те пројективне равни на другачији начин показаће да се праве међусо но геометријски не разликују. У овој конструкцији посматрамо тродимензиони векторски простор. Тачке пројективне равни иће праве које пролазе кроз координатни почетак, док ће праве ити равни које пролазе кроз координатни почетак. Ова идеја може се генерализовати на следећи начин. Нека је F произвољно поље. Посматрајмо F 3, скуп свих уређених тројки елемената из F, који има структуру векторског простора над F димензије три. Напоменимо да најважнији случај представља поље реалних ројева (F = R), али како сви рачуни пролазе за произвољно поље, држаћемо се уопштене приче. Напоменимо да ћемо касније подразумевати да F 3 има стандардни скаларни и векторски производ. За произвољно x = (x 1, x 2, x 3 ) F 3 различито од нуле, праву кроз координатни почетак која садржи x чини скуп {λx : λ F}, што је векторски потпростор од F 3 димензије један. Сасвим слично, за линеарно независне x и y из F 3, раван кроз координатни почетак која их садржи чини скуп {λx + µy : λ, µ F}, а он је векторски потпростор од F 3 димензије два. Овај дводимензиони потпростор садржи многе једнодимензионе потпросторе, који се могу до ити фиксирањем скалара λ и µ, те узимањем потпростора који генерише вектор λx+µy. Важно је приметити да различит из ор λ и µ који су у истом односу дају исти потпростор. Строго формално можемо дефинисати основне елементе пројективне равни над F на следећи начин: T F представља једнодимензионе потпросторе од F 3 ; P F представља дводимензионе потпросторе од F 3 ; Инциденција UI F V значи да је U T F потпростор од V P F. Конкретну координатну репрезентацију векторских потпростора од F 3 до ијамо тако што посматрамо класе уређених тројки вектора из F 3 \{(0, 0, 0)} сечене по релацији сразмерности. У питању је релација еквиваленције, за коју је (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) ако и само ако постоји λ F \ {0} тако да је y i = λx i за i {1, 2, 3}. Скуп свих таквих класа еквиваленције, где су сразмерни вектори у истој класи, означимо са K = F 3 \ {(0, 0, 0)} / = F 3 \ {(0, 0, 0)} / F \ {0}. Ако је потпростор од F 3 димензије један, он је генерисан неким вектором (x 1, x 2, x 3 ) (0, 0, 0), а његови елементи припадају класи еквиваленције из K за вектор представник (x 1, x 2, x 3 ). Скуп тачака је T F = K, а уколико T F има вектор представник (x 1, x 2, x 3 ) кажемо да тачка има хомо ене коор ина е (x 1 : x 2 : x 3 ). Потпростор од F 3 димензије два је о лика {(x 1, x 2, x 3 ) F 3 : u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 x 3 = 0} и он се може једнозначно, до на множење ненула скаларом, изразити својим вектором нормале (u 1, u 2, u 3 ) F 3 \ {(0, 0, 0)}. На овај начин успоставља се ијекција између дводимензионих и једнодимензионих векторских потпростора од F 3. То нам омогућава да праве такође видимо као скуп P F = K, а уколико p P F има вектор представник, односно вектор нормале, (u 1, u 2, u 3 ) кажемо да права p има хомо ене коор ина е [u 1 : u 2 : u 3 ]. Скупове T F = K и P F = K тре а схватити као дисјунктне копије простора K. За рад у аналитичком моделу погодно је увести ознаке за вектор представник елемента из K, јер он одређује његове хомогене координате. Вектор представник тачке или праве о ележаваћемо стрелицом изнад. На пример, X означава неки вектор представник тачке X, док x означава неки вектор представник праве x. Како тачке и праве имају много вектора представника (сви они су међусо но сразмерни), уколико је итно који од њих смо фиксирали, то ћемо посе но нагласити. Повратак са вектора на тачку или праву можемо извести користећи угласте заграде за класу еквиваленције, на пример важи [ X] = X, односно [ x ] = x. 7

18 Векторе можемо уједно сматрати и колона матрицама, што нам омогућава да неке изразе или системе једначина једноставно запишемо у матричном о лику. При том можемо користити стандардне операције у тродимензионом векторском простору као што су скаларни производ (у ознаци ), векторски производ (у ознаци ) и мешовити производ (у ознаци [_, _, _]). Преостаје нам да испитамо релацију инциденције I F. Једнодимензиони простор U T F садржан је у дводимензионом простору V P F, уколико је U један од праваца у V, односно уколико је U нормалан на вектор нормале од V, док су вектори нормални уколико је њихов скаларни производ једнак нули. Дакле, тачка = (x 1 : x 2 : x 3 ) T F је инцидентна са правом p = [u 1 : u 2 : u 3 ] P F и пишемо I F p, ако и само ако је p = 0, односно ако важи u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 x 3 = 0. Матрични запис ове једначине инциденције гласи ( p ) T = 0, односно ( ) T p = 0, где _ T представља транспонат матрице. На овај начин описали смо аналитички модел пројективне равни FP 2 = (T F, P F, I F ), што доказујемо провером уведених аксиома. Нека су = (a 1 : a 2 : a 3 ) и B = (b 1 : b 2 : b 3 ) различите тачке. Права p = [u 1 : u 2 : u 3 ] инцидентна је и са и са B ако и само ако важи p = 0 и B p = 0, што се може матрично записати са ( ) a1 a 2 a 3 u 1 u b 1 b 2 b 2 = 3 u 3 ( 0 0). Матрица са леве стране је ранга два јер се састоји од линеарно независних вектора и B који су уписани у врсте. Самим тим, простор решења матричне хомогене једначине је потпростор димензије један, те постоји јединствена права [u 1 : u 2 : u 3 ] са траженим осо инама. Проверили смо Аксиому 1.1, а сасвим слично, из дуалних симетрија, проверавамо Аксиому 1.2. Што се тиче Аксиоме 1.3, лако је приметити да међу тачкама (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1) и (1 : 1 : 1) нема три колинеарне. Овим смо показали да свако поље F генерише аналитички модел пројективне равни FP 2 = (T F, P F, I F ), што нам омогућава да повежемо геометрију са алге ром и тако многе резултате до ијемо директним рачуном. Није лоше напоменути да претходни рачун пролази и за произвољно тело F, тако што посматрамо F 3 као модул над F и његове подмодуле, о чему ћемо говорити касније (Теорема 2.4). 1.4 Анали ички мо ел FP 2 је ројек ивна раван за свако оље F. Пројективна раван над пољем F је аналитичка пројективна раван FP 2, док се у литератури среће и ознака P G(2, F). Проверa аксиома за FP 2 може се конкретизовати до краја, односно можемо тачно изразити две основне операције генерисане аксиомама, операцију спајања ( ) и операцију сечења ( ). Нека су = (a 1 : a 2 : a 3 ) и B = (b 1 : b 2 : b 3 ) различите тачке у FP 2. Како су тачке и B инцидентне са правом p = B, то је p = 0 и B p = 0. Одавде је p нормално и на и на B, те има правац њиховог векторског производа, што нас доводи до формуле B = B, док конкретан рачун даје [ ] a p = 2 a 3 b 2 b 3 : a 1 a 3 b 1 b 3 : a 1 a 2 b 1 b 2. Наравно, како су тачке и B различите то су и B линеарно независни, те њихов векторски производ није нула вектор, самим тим не постоји могућност да до ијемо непостојећу праву [0 : 0 : 0]. Сасвим слично, нека су p = [p 1 : p 2 : p 3 ] и q = [q 1 : q 2 : q 3 ] различите праве у FP 2. Како су праве p и q инцидентне са тачком = p q, то је p = 0 и q = 0. Одавде је нормално и на p и на q, те је p q = p q, док конкретан рачун даје ( ) p = 2 p 3 q 2 q 3 : p 1 p 3 q 1 q 3 : p 1 p 2 q 1 q 2. 8

19 Дакле, спајање и сечење се реализују као векторски производ. често користимо у рачуну, записаћемо га у виду следеће леме. Како тај резултат 1.5 За различи е ачке и B у FP 2 важи B = B. За различи е раве p и q у FP 2 важи p q = p q. Разне аналитичке пројективне равни FP 2 до ијамо заменом конкретног поља уместо F. За F можемо узети поље C комплексних ројева или Q рационалних ројева и до ити одговарајуће пројективне равни CP 2 и QP 2. Међутим, најчешће за F постављамо поље R реалних ројева, што нас доводи до реалне ројек ивне равни RP 2 = (T R, P R, I R ). Увођењем координатног система, односно хомогених координата, оље можемо схватити раније уведену интуитивну пројективну раван EP 2 (додавање есконачних тачака и есконачне праве на еуклидску раван) на чист алге арски начин. Еуклидска раван E се помоћу координатне репрезентације идентификује са R 2. Наиме, свакој тачки из E се придружује (x 1, x 2 ) R 2, док се свака права састоји из тачака (x 1, x 2 ) R 2 које задовољавају једначину u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 = 0. Међутим, третирање праве као јединственог о јекта, а не као скупа тачака, доводи нас до њене репрезентације преко параметара (u 1, u 2, u 3 ). Напоменимо да (0, 0, 1) овде не представља праву јер тада наведена једначина гласи 1 = 0. Посматрајмо сада E као раван смештену у еуклидски простор R 3. На пример, то може ити раван дата једначином x 3 = 1, где свакој тачки еуклидске равни (x 1, x 2 ) одговара вектор (x 1, x 2, 1). Посматрајмо сада вектор (x 1, x 2, x 3 ) из R 3. Ако последња компонента није једнака нули (x 3 0) тај вектор можемо поистоветити са једнодимензионим потпростором који је њиме разапнут, а он сече смештену еуклидску раван у ( x1 x 3, x2 x 3, 1), односно у тачки ( x1 x 3, x2 x 3 ) E. Преостали вектори су о лика (x 1, x 2, 0) R 3. Ако пођемо од тачке (p 1, p 2 ) E и пратимо праву са правцем (k 1, k 2 ) до ијамо векторе о лика (p 1 + tk 1, p 2 + tk 2, 1). Ови вектори сразмерни су векторима ( p1 t + k 1, p2 t + k 2, 1 t ), при чему када t тежи ка + или, наш вектор тежи ка (k 1, k 2, 0). Самим тим, вектори о лика (x 1, x 2, 0) одговарају есконачним тачкама, или конкретније, (x 1, x 2, 0) је есконачна тачка која одговара правој са правцем (x 1, x 2 ). Једначина праве у хомогеним координатама постаје u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 x 3 = 0. Пресек са смештеном еуклидском равни x 3 = 1 даје еуклидску једначину праве у равни u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 = 0. Једини тип вектора коме не одговара права је она са u 1 = u 2 = 0, u 3 0, кад једначина после дељења са u 3 постаје x 3 = 0. У питању је права са хомогеним координатама [0 : 0 : 1] која садржи све есконачне тачке, те је у питању есконачна права. Хомогене координате су откривене касних двадесетих година 19. века, а занимљиво је да је до њих независно дошло чак четири математичара. Ме ијусова оригинална формулација хомогених координата појавила се у [51], где је увео координатни систем у којем је позиција тачке одређена центром масе ( арицентром) система који се састоји од три темена троугла. Бо ијије је у [8] први употре ио трилинеарне координате у којима је позиција тачке одређена релативним односима растојања од три странице троугла и тако дошао до хомогених координата. Фојер ах је хомогене координате увео у својој књизи [28], његов приступ ио је геометријски уместо механички, при чему је у три димензије покрио оно што је Ме ијус урадио у равни. Сва тројица математичара су до својих резултата дошла сасвим независно и симултано, односно године. Нешто касније, Пликер је дошао до хомогених координата, али за разлику од својих претходника он је њима приступио на потпуно нов начин разрадивши методологију посматрања праве као елемента, а свој координатни систем описао је у [58]. 9

20 1.5 Коначна пројективна раван Концепт пројективне равни заснован на наведене три аксиоме инциденције је прилично општи. Интуитивни модел EP 2 само је једна од могућности, док је питање комплетне класификације свих могућих пројективних равни прилично далеко од људског разумевања. Испоставља се да пројективна раван не мора имати есконачан рој елемената, тако да се природно поставља питање како изгледа најмања могућа пројективна раван, односно она са најмање тачака. Аксиома 1.3 гарантује езгистенцију тачака, B, C, D, међу којима нема три колинеарне. Ове тачке морају ити различите, иначе две исте са произвољном трећом јесу колинеарне. По Аксиоми 1.1 сваки пар тих тачака одређује јединствену спојницу, што генерише укупно ( 4 2) = 6 различитих правих. Аксиома 1.2 захтева да сваки пар различитих правих мора имати јединствено сециште. Постоје тачно три сецишта која недостају, а у питању су E = ( B) (C D), F = ( C) (B D) и G = ( D) (B C), што гарантује нове три тачке E, F и G. Поновна примена Аксиоме 1.1 захтева постојање нових правих E F, E G и F G које се разликују од оних почетних шест, али могу ити исте међусо но. Како свакако имамо ар једну нову праву, рој правих не може ити мањи од седам, као ни рој тачака. Најједноставније је поставити E, F и G тако да уду колинеарне, чиме се комплетира пројективна раван. Оваква конструкција има седам тачака и седам правих, а једноставно се проверава да испуњава све три аксиоме. Овако конструисану минималну пројективну раван називамо Фаноова раван. C C C C D D F D G F D G B B E B E B Фаноова раван име је до ила по оцу коначне геометрије који је у свом раду [26] први конструисао коначни тродимензиони пројективни простор са 15 тачака, 35 правих и 15 равни, тако да свака права садржи тачно 3 тачке, док су све равни заправо Фаноове равни са 7 тачака. Коначна ројек ивна раван је пројективна раван (T, P, I) за коју су скупови T и P коначни. Најлакше је можемо до ити као специјалан случај аналитичке пројективне равни FP 2 када поље F заменимо неким коначним пољем. Најједноставнији примери коначних поља су проста поља (минимална потпоља која садрже јединицу). За сваки прост рој p имамо Z p = Z / pz = {0, 1,..., p 1}, скуп целих ројева по модулу p, где сваки елемент a 0 захваљујући малој Фермаовој теореми има мултипликативни инверз a p 2, те је Z p поље. Минимално поље Z 2 има само два елемента (0 и 1), а њему одговара аналитичка пројективна раван Z 2 P 2. 10

21 C (0 : 0 : 1) [0 : 1 : 0] [1 : 0 : 0] (1 : 0 : 1) F [1 : 1 : 0] [1 : 0 : 1] D (1 : 1 : 1) [0 : 1 : 1] (0 : 1 : 1) G [0 : 0 : 1] (1 : 0 : 0) [1 : 1 : 1] E (1 : 1 : 0) (0 : 1 : 0) B Међутим, ако пажљиво нацртамо слику, лако можемо препознати да је Z 2 P 2 управо претходно дефинисана Фаноова раван. Свака права Фаноове равни садржи тачно три тачке, а можемо показати да је то минималан рој тачака на правој у свакој пројективној равни. 1.6 Свака рава ројек ивне равни инци ен на је са ар ри ачке. Доказ. Нека је p P произвољна права која је инцидентна са највише две тачке. Аксиома 1.3 утврђује постојање четири тачке међу којима нема три колинеарне. Нека је тачка која није инцидентна са p (постоје ар две такве тачке), а нека су B, C и D преостале. Праве B, C и D инцидентне су са, међусо но су различите (на пример B = C повлачи колинеарност, B и C) и различите од p. Сада су сецишта p ( B), p ( C) и p ( D) три различите тачке инцидентне са правом p, што је контрадикција. Принцип дуалности, односно Теорема 1.2, омогућава да ез доказа поставимо нову теорему која је дуална некој већ доказаној теореми. Директна примена на Лему 1.6 одмах даје њен дуал. 1.7 Свака ачка ројек ивне равни инци ен на је са ар ри раве. У Фаноовој равни, свака права инцидентна је са тачно три тачке, а свака тачка инцидентна је са тачно три праве. Појављивање истих ројева није случајно, о чему говори наредна лема. 1.8 За коначну ројек ивну раван ос оји конс ан а k, аква а је свака рава инци ен на са ачно k ачака, ок је свака ачка инци ен на са ачно k равих. Доказ. Нека је p права која је инцидентна са тачно k тачака. Нека је q p произвољна права и = p q. По Леми 1.7 постоји права ri различита од p и q, док по Леми 1.6 постоји тачка SIr различита од. Свака тачка X инцидентна са p генерише тачку (X S) q инцидентну са правом q. Ако за неке тачке X и Y инцидентне са p важи (X S) q = (Y S) q, ило и X S = Y S (= ((X S) q) S) и одатле X = Y. Дакле, различите тачке са p генеришу различите тачке са q, као и о ратно, те је и права q инцидентна са тачно k тачака. 11