DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE. Andra Jugănaru

Transcript

1 DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE I Introucere Anra Jugănaru Scopul acestei lucrări este e a prezenta ouă emonstraţii ale teoremei următoare: orice algebră Boole este izomorfă cu o algebră Boole ale cărei elemente sunt părţi ale unei mulţimi Acest rezultat, obţinut e Marsall H Stone, în anul 1936, a fost consierat ecisiv pentru ezvoltarea matematicii secolului trecut Teorema a putut fi enunţată abia upă ce, la sfârşitul secolului al I-lea, cercetările privin teoria grupurilor au evoluat, în coniţiile unui interes crescut al matematicienilor pentru abstractizarea algebrei Probabil că teorema e reprezentare a lui Cayley, publicată în 1878, care arăta că orice grup abstract este abstract izomorf cu un grup concret e substituţii (permutări), a fost premisa e la care a pornit şi Stone Dar teoriei grupurilor, cea mai vece ramură a algebrei abstracte, i-a urmat firesc, teoria algebrelor booleene Teorema e reprezentare a lui Cayley a reuşit să stabilească aiomele teoriei grupurilor abstracte, emonstrân că ele erau suficiente pentru a enunţa proprietăţile algebrei substituţiilor În algebrele booleene, era într-aevăr necesară o teoremă e reprezentare care să arate că aiomele înglobează algebra claselor Dar aşa cum nici în teoria grupurilor proprietăţile referitoare la permutări nu se puteau aplica tuturor grupurilor, nici în algebrele booleene nu putea apărea un rezultat care să emonstreze că orice algebră Boole este izomorfă cu toate submulţimile unei mulţimi Clasa algebrelor Boole cu această proprietate este caracterizată e următoarea teoremă: o algebră Boole este izomorfă cu algebra tuturor submulţimilor unei mulţimi acă şi numai acă este completă şi atomică Prin emonstrarea ei, logicienii A Linenbaum şi A Tarski, i-au creat lui Stone o premisă importantă în escoperirea teoremei sale e reprezentare Ei nu s-au referit însă la algebrele Boole neatomice, structuri pe care Stone le-a aprofunat (Jonstone, 198: vii-vi) În algebră, teorema e reprezentare a lui Stone conceptualizează reprezentarea structurilor prin obiecte mai simple Ea este un caz particular al reprezentării algebrelor universale ca prous subirect al unor obiecte intr-o clasă fiată, rezultat cunoscut ca teorema lui Birkoff: orice algebră intr-o clasă ecuaţională este izomorfă cu un prous subirect e algebre subirect ireuctibile Eficienţa aplicării acestei teoreme epine însă e cunoaşterea structurii algebrelor subirect ireuctibile Cum în cazul algebrelor Boole, unicul obiect subirect ireuctibil este L { 0, 1}, se poate enunţa cu uşurinţă teorema lui Stone Astfel se reuce verificarea ientităţilor intr-o algebră Boole oarecare la calculul în cea mai simplă algebră Boole: L În logică, s-a emonstrat legătura puternică intre teorema e completituine tare a calculului propoziţional şi teorema e reprezentare a lui Stone, fiecare intre aceste rezultate conucân la o emonstraţie a celuilalt De aici poate fi etrasă ieea stuierii relaţiei intre completituine şi reprezentare pentru orice sistem logic (Georgescu C, 008: 6) Din momentul publicării ei, s-au propus numeroase emonstraţii ale teoremei lui Stone Cele ouă prezentate în continuare sunt, în opinia noastră, reprezentative pentru ouă omenii importante ale matematicii, care astfel se întrepătrun: algebra şi logica Aşaar, 1

2 pentru emonstraţia algebrică, vom folosi teoria ultrafiltrelor în algebrele Boole, iar pentru emonstraţia metamatematică, vom aplica un alt rezultat important in logică: teorema e completituine a calculului propoziţional II Preliminarii Pentru început, vom continua enunţarea câtorva efiniţii şi rezultate preliminarii Fie B o algebră Boole Se numeşte filtru o mulţime neviă F B pentru care: i) pentru orice, y F, y F ; ii) acă y şi F atunci y F Dacă F B, F se numeşte filtru propriu Un filtru F este propriu acă şi numai acă 0 F F se numeşte filtru prim acă y F implică F sau y F Un filtru maimal propriu al lui B se numeşte ultrafiltru Dacă este o submulţime a lui B, atunci filtrul generat e este intersecţia tuturor filtrelor ce inclu pe Cu alte cuvinte, filtrul generat e este cel mai mic filtru (în sensul incluziunii) ce inclue pe Vom nota cu [ ) filtrul generat e (Georgescu A: 11) Mulţimea filtrelor proprii ale lui B este oronată în raport cu incluziunea Un ultrafiltru este un element maimal al acestei mulţimi Cu alte cuvinte, un filtru propriu U este ultrafiltru acă şi numai acă pentru orice filtru propriu F, in U F rezultă U F În cazul algebrelor Boole infinite, emonstrarea eistenţei ultrafiltrelor impune invocarea aiomei lui Zorn: Orice mulţime inuctiv oronată amite cel puţin un element maimal Următorul rezultat poartă numele e teorema e eistenţă a ultrafiltrelor: Teorema e eistenţă a ultrafiltrelor Pentru orice filtru propriu F eistă un ultrafiltru U astfel încât F U Demonstraţie Fie Σ mulţimea filtrelor proprii ale lui B ce inclu pe F Evient, F Σ Vom arăta F o familie total oronată e filtre in Σ Pentru că ( Σ, ) este inuctiv oronată Fie ( i ) i I orice i, j I, Fi Fj sau j i U F F Notăm G Vom emonstra că G este un filtru propriu Dacă, y G atunci eistă i, j I astfel încât Fi şi y Fj Putem presupune, e eemplu, că F F Atunci,, y F, eci y F G A oua proprietate in i j j efiniţia filtrului se verifică imeiat Atunci G este un majorant al familiei ( F i ) i I şi ( Σ, ) este inuctivă Aplicân aioma lui Zorn, rezultă eistenţa unui ultrafiltru U ce inclue pe F i I F i j

3 Următorul rezultat poartă numele e teorema e caracterizare a ultrafiltrelor: Teorema e caracterizare a ultrafiltrelor Dacă F este un filtru propriu al lui B, atunci sunt ecivalente următoarele afirmaţii: i) F este ultrafiltru; ii) F este filtru prim; iii) pentru orice B, F sau F Demonstraţie i ii : Presupunem prin absur că F nu este prim, eci eistă, y B astfel încât y F, ar y F F F F F y arată că, Atunci incluziunile stricte [ { }) şi [ { }) filtrele [ F { } ) şi [ F { y} ) nu sunt proprii, eci conţin pe 0 Din [ F { } ) 0 rezultă eistenţa unui element a F astfel încât a 0 Analog, eistă b F astfel încât b y 0 Atunci 0 ( a ) ( b y) ( a b) ( a y) ( b) ( y) Cum a b, a y, b F (in a, b F ) şi y F (in ipoteză), rezultă că 0 F Contraicţie, eci F este prim ii iii : 1 F iii i : Presupunem prin absur că eistă un filtru propriu G astfel încât G F Atunci eistă G şi F Folosin ipoteza, Contraicţie, eci F este ultrafiltru F G, eci 0 G Pentru teorema e reprezentare a lui Stone eistă ouă forme: Teorema I Pentru orice algebră Boole B eistă o mulţime neviă şi un morfism : B Ρ boolean injectiv ( ) Teorema II Pentru orice algebră Boole B eistă o mulţime neviă şi un morfism boolean injectiv : B L Observaţii: 1 Prima formă a teoremei reuce calculul boolean într-o algebră Boole oarecare la calcul cu mulţimi A oua formă a teoremei reuce calculul boolean într-o algebră Boole oarecare întâi la calcul în L, iar apoi calculul în L se reuce la calcul în L (operaţiile se fac pe componente) III Demonstraţia algebrică a teoremei lui Stone În această secţiune vom prezenta o emonstraţie a teoremei e reprezentare a lui Stone pe baza proprietăţilor ultrafiltrelor într-o algebră Boole Vom nota cu mulţimea ultrafiltrelor lui B şi cu B Ρ( ) ( ) { U M U}, pentru orice B Pentru orice y B avem ecivalenţele: U ( y) y U U sau y U U ( ) sau U ( y) : funcţia efinită prin, şi pentru orice ultrafiltru U (U este prim) 3

4 U ( ) ( y) ( y) U y U U şi y U ( ) U U y U şi ( y) ( ) ( ) (U este filtru) ( ) U U U U ( ) U C ( ) (in teorema e caracterizare a ultrafiltrelor, iii)) Am emonstrat că ( y) ( ) U ( y), ( y) ( ) ( y), ( ) C ( ), ceea ce arată că este morfism boolean Dacă 0 atunci eistă un ultrafiltru U astfel încât 1 U, eci U ( ) şi ( ) Ø Am arătat că ( ) Ø implică 0, eci ( Ø ){ 0} Deci este injectivă IV Sistemul formal al calculului propoziţional Sistemul formal al calculului propoziţional este escris prin trei componente: sintaa, semantica şi algebra Linenbaum-Tarski Sintaa calculului propoziţional Alfabetul sistemului formal al calculului propoziţional este format in următoarele simboluri: 1 variabile propoziţionale, notate u, v, w, eventual cu inici; simboluri logice (conectori): (simbolul e negaţie) şi (simbolul e implicaţie) 3 parantezele: (), [], Se va presupune că mulţimea V a variabilelor propoziţionale este infinită Pornin e la aceste simboluri primitive, vom construi cuvintele (asamblajele) Prin efiniţie, un cuvânt este un şir finit e simboluri primitive, scrise unul upă altul Se numeşte enunţ orice cuvânt ce verifică una intre coniţiile următoare: i) este o variabilă propoziţională; ii) eistă un enunţ ψ astfel încât ψ ; iii) eistă enunţurile ψ, θ astfel încât ψ θ Variabilele propoziţionale se vor numi enunţuri atomice (elementare) Vom nota cu E mulţimea enunţurilor Pentru, ψ E introucem abrevierile: ψ ψ (isjuncţia) ψ ( ψ ) (conjuncţia) ψ ( ψ) ( ψ ) (ecivalenţa) În ezvoltarea sintaei calculului propoziţional vom urmări stabilirea unei noţiuni care să reprezinte aevărurile formale ale sistemului şi a unei noţiuni care să spună ce este inferenţa sintactică O aiomă a sistemului formal al calculului propoziţional este un enunţ care are una in formele următoare: 4

5 A1) ( ψ ) A) ( ( ψ χ) ) ( ( ψ) ( χ) ) A3) ( ψ) ( ψ ) une, ψ, χ sunt enunţuri arbitrare O teoremă formală este un enunţ ce verifică una intre coniţiile următoare: T1) este o aiomă ψ, ψ T) eistă un enunţ ψ astfel încât ψ şi ψ sunt teoreme ( se numeşte eucţie mous ponens) Vom nota cu T mulţimea teoremelor, iar faptul că este o teoremă prin O emonstraţie formală a unui enunţ este un şir finit e enunţuri ψ, ψ,, ψ 1 K astfel încât ψ n şi pentru orice 1 i n se verifică una intre coniţiile următoare: 1) ψ i este o aiomă; ) eistă oi inici, k, j< i astfel încât ψ k ψ j ψ i Fie Γ o mulţime e enunţuri, şi un enunţ Vom spune că enunţul este eus in ipotezele Γ acă una intre coniţiile următoare este verificată: D1) este aiomă; D) Γ ; D3) eistă un enunţ ψ astfel încât ψ şi ψ sunt euse in ipotezele Γ (mous ponens) O Γ -emonstraţie formală a lui este un şir e enunţuri ψ 1, ψ, K, ψ n astfel încât ψ n şi pentru orice 1 i n se verifică una intre coniţiile următoare: 1) ψ i este o aiomă; ) ψ Γ ; i 3) eistă oi inici, k, j< i astfel încât ψ k ψ j ψ i (Georgescu B: 1-4) Semantica sistemului formal L Până acum am ezvoltat sistemul L la nivel formal, fără a atribui enunţurilor valori e aevăr Acest lucru va fi realizat în paragraful e faţă prin noţiunea e interpretare O interpretare a lui L este o funcţie oarecare : V L Propoziţia 1 Pentru orice interpretare : V L eistă o funcţie unică : E L care satisface proprietăţile următoare: a) ( u) ( u) b) ( ) ( ) pentru orice u V ; pentru orice E ; c) ( ψ) ( ) ( ψ) pentru orice, ψ E n 5

6 Demonstraţie Definiţia lui se face prin inucţie, urmărin cazurile a)-c) Demonstrarea unicităţii lui se face tot prin inucţie Fie g : E L astfel încât: a ) g ( u) ( u) pentru orice u V ; g g pentru orice E ; b ) ( ) ( ) c ) g( ψ) g( ) g( ψ) pentru orice, ψ E Vom arăta că pentru orice E, ( ) g( ) Distingem trei cazuri pentru : : g ( ) ( ) ( ) - V - ; : g ( ) g( ) ( ) ( ) pentru că ( ) ( ) - ψ ( ψ) ( ψ) g (ipoteza e inucţie); : g ( ) g( ) g( ψ) ( ) ( ψ) ( ) pentru că ( ) ( ) g (ipoteza e inucţie) Consecinţe imeiate Pentru orice ) ( ψ) ( ) ( ψ) ; e) ( ψ) ( ) ( ψ) ; f) ( ψ) ( ) ( ψ), ψ E avem: g şi Observaţie: Dacă : V L este o interpretare, atunci eistă un unic morfism boolean : E L care face comutativă următoarea iagramă: V E p E / _ L este efinit e ( ) 6

7 Enunţul este aevărat în interpretarea : V L acă ( ) 0 interpretarea : V L aevărat în orice interpretare acă ( ) 1 este fals în Un enunţ este universal aevărat ( ) acă este Observaţie Interpretarea unui enunţ este valoarea 0 sau 1 obţinută atunci cân tuturor variabilelor propoziţionale ce intră în componenţa sa le atribuim valori in L Un enunţ universal aevărat va avea valoarea 1 pentru orice valori in L luate e variabilele propoziţionale ce apar în (Bell, Macover, 1997: ) Propoziţia Pentru orice enuţ, implică Corolar 3 Pentru orice enunţ nu putem avea şi Propoziţie 4 Pentru orice enunţ avem Algebra Linenbaum-Tarski Algebra Linenbaum-Tarski este o algebră Boole asociată canonic sistemului formal L Proprietăţile sintactice ale lui L se vor reflecta în proprietăţi booleene, realizânu-se trecerea e la sintaă la algebră Lema 1 Pentru orice enunţuri, ψ avem şi ψ ψ Se efineşte relaţia binară pe mulţimea E a enunţurilor lui L : ψ ef ψ Lema este o relaţie e ecivalenţă pe E Lema 3 este o relaţie e orine pe E Lema 4 (, ) E este o latice istributivă în care Lema 5 E este o algebră Boole inf,ψ ψ şi sup,ψ ψ 7

8 E poartă numele e algebra Linenbaum-Tarski, asociată sistemului formal L Algebra Boole (,,,, 0, 1) Observaţie: Dacă notăm : E E p pentru orice E ) atunci pentru orice, ψ E sunt verificate coniţiile următoare: a) p( ψ) p( ) p( ψ) ; b) p( ψ) p( ) p( ψ) ; c) p ( ) p( ) ; ) p( ψ) p( ) p( ψ) ; e) p( ψ) p( ) p( ψ) Egalităţile a), b) sunt ciar efiniţiile operaţiilor in E, ) revine la a arăta că ( ψ) ( ψ), iar e) rezultă in b) şi ) Cele cinci egalităţi e mai sus arată moul în care conectorii sunt convertiţi în operaţii booleene Lema 6 p surjecţia canonică ( ( ) Pentru orice E, acă şi numai acă 1 Demonstraţie Trebuie să emonstrăm Presupunem Cum ( ) (conform A1), rezultă ( ) Toteauna are loc ( ), eci Reciproc, presupunem că Dar (principiul terţului eclus), eci prin mous ponens Observaţie Lema 6 oferă o metoă algebrică pentru verificarea acă un enunţ este teoremă formală Fie Σ o mulţime e enunţuri ale lui L Se efineşte următoarea relaţie binară pe E: Σ ψ Σ ψ Σ ψ şi Σ ψ Proceân analog ca mai sus, se poate arăta că Σ este o relaţie e ecivalenţă pe E şi că E are o structură canonică e algebră Boole, numită algebra Linenbaum-Tarski a lui Σ Notăm clasa e ecivalenţă a lui E Atunci: Σ ψ ( ψ) ; Σ Σ Σ ψ ( ψ) ; Σ Σ Σ ; Σ Σ Σ ψ Σ Σ ψ ; Σ 1 Σ 8

9 Pentru Σ Ø obţinem algebra Linenbaum-Tarski E (Georgescu B: 8-9) Observaţie Demonstraţia algebrică a teoremelor e completituine utilizează teorema e reprezentare a lui Stone aplicată algebrei Linenbaum-Tarski V Teorema e completituine Teorema e completituine are astfel ouă forme: 1 acă şi numai acă Γ acă şi numai acă Γ Teorema e completituine răspune unor probleme naturale Pe e o parte, avem enunţurile emonstrabile sintactic (teoremele formale), iar pe e altă parte avem enunţurile universal aevărate Firesc, se pune problema comparării acestor figuri e enunţuri, ceea ce se realizează prin teorema e completituine, care stabileşte ecivalenţa lor De asemenea, teorema e completituine ne oferă un proceeu como e verificare a faptului că un enunţ este o teoremă formală (proceeu ce poate fi programat) Demonstraţia prezentată mai sus este e natură algebrică Ieea funamentală o reprezintă trecerea la algebra Linenbaum-Tarski şi invocarea teoremei lui Stone pentru găsirea interpretării necesare în emonstraţie Această trecere prin algebră aruncă o lumină mai completă asupra relaţiei intre sintaă şi semantică, relaţie care are e fapt şi un substrat algebric Pe scurt, sistemul formal L a fost analizat in perspectiva triungiului: VI Demonstraţia metamatematică a teoremei lui Stone În această secţiune este prezentată, în trei etape, o emonstraţie a teoremei e reprezentare a lui Stone pe baza teoremei e completituine etinsă a) Fie sistemul formal al calculului propoziţional L în care V B, E este mulţimea enunţurilor, E este algebra Linenbaum-Tarski, p : E E este surjecţia canonică Vrem 9

10 să arătăm că eistă un morfism boolean surjectiv iagramă să fie comutativă: f : E B astfel încât următoarea B p / B E / 1 B f B încât: Pentru orice interpretare a) ( ) pentru orice b) ( ) ( ) : B B eistă şi este unică o funcţie : E B B ; pentru orice E ; c) ( ψ) ( ) ( ψ) pentru orice, ψ E Demonstraţie astfel Definiţia lui se face prin inucţie, urmărin clauzele a)-c) Demonstraţia unicităţii lui se face tot prin inucţie Fie g : E B astfe încât: g pentru orice B ; a ) ( ) ( ) b ) g ( ) g( ) c ) g( ψ) g( ) g( ψ) pentru orice E ; pentru orice, ψ E Vom arăta că pentru orice E, ( ) g( ) Distingem trei cazuri: : g ( ) ( ) ( ) - B - inucţie); ; : g ( ) g( ) ( ) ( ) pentru că ( ) ( ) : g ( ) g( ) g( ψ) ( ) ( ψ) ( ) - ψ g ( ) ( ) şi ( ψ) ( ψ) g (ipoteza e pentru că g (ipoteza e inucţie) Consecinţe imeiate Pentru orice, ψ E : ) ( ψ) ( ) ( ψ) ; 10

11 e) ( ψ) ( ) ( ψ) ; f) ( ψ ) ( ) ( ψ ) Observaţie Dacă : B B este o interpretare, atunci eistă şi este unic un morfism boolean f E : B, efinit prin f ( ) pentru orice E, astfel încât următoarea iagramă să fie comutativă: B p / B E / 1 B f B 1 Atunci F f ( 1) f 1 este un filtru propriu în ( E ) izomorfism boolean λ : B, λ f F F b) Fie F un filtru propriu în un sistem euctiv consistent în B şi pentru orice F ψ F, pentru orice E E şi avem un E (eventual cel e la punctul a)) şi p 1 ( F) ψ F ψ F ψ este clasa e ecivalenţă a lui în raport cu este, ψ E au loc ecivalenţele: Dacă Linenbaum-Traski asociată lui, atunci ecivalenţele spun că funcţia efinită prin Φ F pentru orice E ψ ψ, une E E este algebra Φ : este un izomorfism boolean ( E ) F E 11

12 c) Presupunem că este o mulţime consistentă (eventual cea e la b)) şi este mulţimea moelelor lui { : V L } Din teorema e completituine rezultă Ø Pentru orice, ψ E avem ecivalenţele: ( ) ( ψ) 1 ψ ψ pentru orice ψ ( ψ) 1 ( ) ( ψ) pentru orice pentru orice Definim funcţia λ : E L prin λ ( ) ( ) pentru orice E şi pentru orice Ecivalenţele arată că λ este bine efinită şi injectivă, eci λ este morfism boolean injectiv Prin urmare, combinân punctele a), b), c) in emonstraţie, putem consiera ( E ) compunerea următoarelor funcţii: B Φ E L F λ Se poate observa că funcţia : este un morfism boolean injectiv B L 1

13 VII Concluzii Teorema e reprezentare a lui Stone este unul intre cele mai importante rezultate recente in teoria algebrelor booleene Prin ea, calculul într-o algebră Boole oarecare se reuce la calculul în algebra Boole stanar L { 0, 1} În această lucrare au fost prezentate ouă emonstraţii ale teoremei lui Stone: prima, e natură algebrică 1, se bazează pe proprietăţile ultrafiltrelor într-o algebră Boole; a oua, e natură metamatematică, foloseşte ca instrument teorema e completituine etinsă În fapt, teorema e reprezentare a lui Stone este varianta algebrică a teoremei e completituine Mai mult, emonstraţiile celor enunţuri sunt ovaa ecivalenţei lor matematice Parcurgânu-le, observăm că fiecare intre ele poate fi emonstrat pe baza celuilalt Iar într-o teorie a mulţimilor in care aioma alegerii este eclusă (Năstăsescu, 1974: 86-88), teorema e reprezentare a lui Stone şi teorema e completituine sunt enunţuri logic ecivalente 1 V supra, p 3 V supra, p 9 13

14 Bibliografie Bell, Macover, Jon Bell, Mosé Macover, A Course in Matematical Logic, Amsteram-New York-Ofor, E Nort Hollan Publising Company, 1997, 599 p Georgescu A George Georgescu, Curs e logică matematică şi computaţională, anul I, semestrul I, capitolul Algebre Boole, netipărit, 135 p Georgescu B George Georgescu, Curs e logică matematică şi computaţională, anul I, semestrul I, capitolul Sistemul formal al calculului propoziţional, netipărit, 135 p Georgescu C George Georgescu, Matematica teoremelor e completituine, în Revista e filosofie, Tomul LV, Nr 1-, 008, p Jonstone 198 Peter T Jonstone, Stone spaces, Cambrige-Lonon-New York- New Rocelle-Melbourne-Siney, E Cabrige University Press, 198, 370 (-391) p Năstăsescu 1974 Constantin Năstăsescu, Introucere în teoria mulţimilor, Bucureşti, E Diactică şi Peagogică, 1974, 153 (-155) p 14

15 ANEE În această secţiune am inclus emonstraţia teoremei e completituine etinsă, bazânu-ne pe proprietăţile calculului propoziţional prezentate în partea a patra a lucrării 3 Propoziţie 1 Pentru orice enunţ, implică Demonstraţie: Vom arăta că acă, atunci ( ) 1 pentru orice interpretare : V L Se proceează prin inucţie asupra moului cum s-a efinit Consierăm întâi cazul aiomelor: A1) este e forma ( ) ( ) ( a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 γ γ A) este e forma ( ( )) (( ) ( )) Dacă notăm ( ), y ( ), ( γ) ( ) ( ( y z) ) ( ( y) ( z) ) 1 A3) este e forma ( ) ( ) z atunci upă cum arată o simplă verificare în L Este suficient să probăm ( y) ( y ) 1 în L Presupunem acum că a fost obţinut prin mous ponens in ψ, ψ Ipoteza inucţiei se reuce la ( ψ) 1 şi la ( ψ ) 1 ( ψ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 şi emonstraţia s-a înceiat Atunci: Corolar 1 Pentru orice enunţ nu putem avea şi Demonstraţie Dacă eistă un enunţ astfel încât şi atunci pentru orice interpretare am avea ( ) 1 şi ( ) 1 Contraicţie Propoziţie Pentru orice enunţ avem Demonstraţie ( ) in Propoziţia Presupunem că nu este teoremă formală Trecân la algebra Linenbaum- ( ) Tarski E şi aplicân lema 6 4, enunţată în partea a patra a lucrării, rezultă 1 Aplicăm teorema e reprezentare a lui Stone pentru algebra Boole E Atunci eistă o mulţime 3 V supra, p 4 4 V supra, p 8 15

16 16 neviă şi un morfism boolean injectiv L E : Din injectivitatea lui, rezultă 1 în L Deci eistă astfel încât ( ) 1 în L Consierăm proiecţia : L L Π efinită prin ( ) ( ) f f Π pentru orice L f Π este morfism boolean Să luăm interpretarea : L V ată e compunerea următoarelor morfisme booleene: L L E E V p Π Vom stabili că: ( ) ( ) Demonstrăm prin inucţie asupra enunţului a) V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p Π b) şi ipoteza e inucţie funcţionează pentru, eci ( ) ( ) Atunci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) γ şi ipoteza e inucţie funcţionează pentru şi γ, eci ( ) ( ) şi ( ) ( ) γ γ Atunci: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ γ γ γ γ Proprietatea a fost emonstrată Aplicân-o pentru rezultă ( ) ( ) 1, eci nu este tautologie