Εκτίμηση της κίνησης μιας κάμερας χειρός από την προσληφθείσα ακολουθία εικόνων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εκτίμηση της κίνησης μιας κάμερας χειρός από την προσληφθείσα ακολουθία εικόνων"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΟΝΟΜΑ: ΖΗΣΗΣ ΠΕΤΡΟΥ Α.Ε.Μ.: 4829 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: Εκτίμηση της κίνησης μιας κάμερας χειρός από την προσληφθείσα ακολουθία εικόνων ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΜΙΧΑΗΛ-ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ ΣΤΡΙΝΤΖΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2007

2

3 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Μιχαήλ-Γεράσιµο Στρίντζη, για τη δυνατότητα που µου προσέφερε να ασχοληθώ µε ένα τόσο ενδιαφέρον θέμα και την επίβλεψη της διπλωματικής μου. Ιδιαίτερες ευχαριστίες θα ήθελα να εκφράσω επίσης και στον διδάκτορα, κ. Ξενοφώντα Ζαµπούλη, για την άψογη συνεργασία µας, την καθοδήγηση, τις πολύτιμες συμβουλές και παρατηρήσεις του και τη διάθεση να λύσει κάθε απορία μου. Επίσης ένα ευχαριστώ στους κκ. Αθανάσιο Χατζηαργυρίου και Γεώργιο Κορδέλα για τις συμβουλές τους, στη διδα Βασιλική Τοπάλη για την πολύτιμη βοήθεια και υποστήριξη και στους φίλους μου για την ηθική συμπαράσταση. Ιδιαίτερες και θερμότατες ευχαριστίες, τέλος, αξίζουν τα μέλη της οικογένειάς μου, Ιωάννης, Μαρία, Αποστόλης, Ευδοκία, Απόστολος και Ευδοκία, για τη βοήθεια, συμπαράσταση, υποστήριξη, έμπνευση, υπομονή και ανεκτικότητα που επέδειξαν καθόλη τη διάρκεια των σπουδών μου. 3

4 Σκοπός της διπλωματικής εργασίας Στην παρούσα διπλωματική εργασία ασχοληθήκαμε με την εκτίμηση της τροχιάς μιας κινούμενης κάμερας από το σύνολο των εικόνων που έχουν ληφθεί. Παίρνοντας ως είσοδο τις εικόνες αυτές, βρίσκουμε τα κοινά σημεία που εμφανίζονται σε κάθε ζεύγος εικόνων (για κάθε ζεύγος εικόνων τα σημεία που εμφανίζονται και στις δυο εικόνες, εκφρασμένες στις 2D συντεταγμένες κάθε εικόνας), και από τις αντιστοιχίες αυτές υπολογίζουμε τους πίνακες περιστροφής και μετατόπισης της κάμερας, καθώς και τις συντεταγμένες των σημείων του πραγματικού τρισδιάστατου χώρου που προβάλλονται στα επίπεδα προβολής της κάμερας. 4

5 Περιεχόμενα Ευχαριστίες...3 Σκοπός της διπλωματικής εργασίας...4 Περιεχόμενα...5 Κεφάλαιο Εισαγωγή Το πρόβλημα της στερεόψης Εφαρμογές...8 Κεφάλαιο Βασικό Μοντέλο Pinhole Κάμερας Βαθμονόμηση βασικού μοντέλου pinhole κάμερας Περιστροφή και μεταφορά της κάμερας Ακτινική Παραμόρφωση...16 Κεφάλαιο Αντιστοίχηση κοινών σημείων Αποπαραμόρφωση των εικόνων Εντοπισμός των γωνιών σε μια εικόνα Επιλογή του αλγόριθμου σύγκρισης γωνιών Μέτρο σύγκρισης ομοιότητας MNCC...24 Κεφάλαιο Επιπολική γεωμετρία Ο αλγόριθμος των 8 σημείων Υπολογισμός των R και Τ από τον πίνακα Ε Γεωμετρική ερμηνεία των 4 λύσεων Η μέθοδος Triangulation Σύμπτωση των 3D σημείων που προκύπτουν από τουλάχιστον 3 εικόνες...38 Κεφάλαιο Ο αλγόριθμος RANSAC Βελτίωση των αποτελεσμάτων του RANSAC Έκφραση της μετατόπισης της κάμερας από θέση σε θέση ως προς την αρχική μετατόπιση Η γεωμετρία του συστήματος Εύρεση κοινού σημείου σε τρεις διαδοχικές εικόνες...45 Κεφάλαιο Διαδικασία που ακολουθήθηκε Λήψη των φωτογραφιών και αποπαραμόρφωσή τους Εύρεση των αντίστοιχων γωνιών για ζεύγος εικόνων Προσδιορισμός των εσωτερικών παραμέτρων της κάμερας Εκτίμηση της τροχιάς της κάμερας και 3D ανακατασκευή των κοινών σημείων για ζεύγος εικόνων

6 6.5.1 Υπολογισμός του essential πίνακα, Ε Υπολογισμός των εξωτερικών παραμέτρων R και Τ D ανακατασκευή των κοινών σημείων Εκτίμηση της τροχιάς της κάμερας και 3D ανακατασκευή των κοινών σημείων για ακολουθία πολλών εικόνων Εκτίμηση της τροχιάς της κάμερας για 3 διαδοχικές εικόνες Εκτίμηση της τροχιάς της κάμερας για ολόκληρη την ακολουθία των εικόνων Συμπεράσματα Υπολογιστικό κόστος της διαδικασίας Μελλοντική εργασία...67 Βιβλιογραφία

7 Κεφάλαιο Εισαγωγή Χρησιμοποιώντας μια απλή ψηφιακή κάμερα μπορεί κανείς να βιντεοσκοπήσει ένα σταθερό και άκαμπτο αντικείμενο, ή μέρος του, με μια συνεχή κίνηση σε τόξο και γύρω από αυτό. Τα στοιχεία («καρέ») της προσληφθείσας ακολουθίας εικόνων περιέχουν πληροφορίες για τη 3D γεωμετρία του αντικειμένου, οι οποίες εκφράζονται ως διαφορές θέσης και όψης του αντικειμένου στις εικόνες. Αντικείμενο της διπλωματικής εργασίας είναι η έρευνα πάνω στη 3D μηχανική όραση με στόχο την εύρεση της τροχιάς της κινούμενης κάμερας και την εκτίμηση της 3D γεωμετρίας του αντικειμένου. Το πρόβλημα που καλείται να λύσει η διπλωματική εργασία είναι τμήμα του καλούμενου προβλήματος της στερεόψης (stereopsis). 1.2 Το πρόβλημα της στερεόψης Το πρόβλημα της στερεόψης, γενικότερα, έγκειται στο πώς είναι δυνατό να εξαχθούν πληροφορίες για την τρισδιάστατη δομή μιας σκηνής (αντικειμένου ή συνόλου αντικειμένων ή ολόκληρου χώρου) η οποία απεικονίζεται σε δυο οι περισσότερες εικόνες που έχουν ληφθεί από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Το πρόβλημα της στερεόψης μπορεί να χωριστεί σε δυο επιμέρους προβλήματα: - το πρόβλημα της αντιστοίχησης και - το πρόβλημα της ανακατασκευής. Το πρόβλημα της αντιστοίχησης (correspondence problem), για ένα δεδομένο ζεύγος εικόνων, είναι να βρεθούν σημεία της πρώτης και δεύτερης εικόνας που αποτελούν προβολές του ίδιου τρισδιάστατου σημείου της σκηνής που απεικονίζεται στις 7

8 εικόνες, ή με άλλα λόγια να βρεθούν σημεία του 3D χώρου που εμφανίζονται και στις δυο εικόνες και πού εμφανίζονται αυτά σε κάθε εικόνα. Στο πρόβλημα της ανακατασκευής (reconstruction problem), γίνεται προσπάθεια να δοθεί απάντηση στο ερώτημα: «Δεδομένων των αντιστοιχιών σημείων της πρώτης και δεύτερης εικόνας, τι συμπεράσματα μπορούν να προκύψουν σχετικά με την 3D δομή και τη θέση στο χώρο των παρατηρούμενων αντικειμένων; Ποια είναι η κίνηση της κάμερας, κατά πόσο μετακινείται και περιστρέφεται από θέση σε θέση;» Στην περίπτωσή μας σχεδιάζουμε τον αλγόριθμο ώστε να εφαρμόζεται όχι μόνο για δυο, αλλά για ακολουθία πολλών εικόνων έτσι ώστε να έχουμε πληρέστερη ανακατασκευή, με την έννοια της όχι μόνο πιο αξιόπιστης, αλλά και πιο ολοκληρωμένης ανακατασκευής με την εμφάνιση σημείων που από κάποιες οπτικές γωνίες θα παρέμεναν αθέατα. Οι εικόνες αυτές μπορούν να προέλθουν είτε από διαδοχικές φωτογραφίες με κινούμενη φωτογραφική μηχανή είτε από βίντεο με κινούμενη κάμερα. Παίρνοντας λοιπόν εικόνες από την ίδια σκηνή μέσω βαθμονομημένης κάμερας, γνωρίζοντας δηλαδή τις εσωτερικές παραμέτρους της, και βρίσκοντας σημεία τα οποία προβάλλονται σε ζεύγη διαδοχικών εικόνων, καταπιαστήκαμε με την εύρεση της τροχιάς της κινούμενης κάμερας και την εκτίμηση των 3D συντεταγμένων των σημείων αυτών. Χρησιμοποιήσαμε μεθόδους όπως ο αλγόριθμος MNCC, ο αλγόριθμος των 8 σημείων, η μέθοδος Triangulation και η μέθοδος RANSAC, όπως αυτές αναφέρονται στη συνέχεια. 1.3 Εφαρμογές Η 3D ανακατασκευή αντικειμένων είναι στις μέρες μας ένα ενεργό πεδίο στον τομέα της Όρασης μέσω Υπολογιστή (Computer Vision) και μπορεί να βρει εφαρμογές οπουδήποτε ο πραγματικός κόσμος θέλουμε να γίνει αντιληπτός ή να μελετηθεί μέσω ηλεκτρονικού υπολογιστή. 8

9 Ένα παράδειγμα εφαρμογής της τρισδιάστατης ανακατασκευής αποτελεί δυνητικά ο τομέας της αρχαιολογίας. Μεγάλοι αρχαιολογικοί χώροι μπορούν αφού βιντεοσκοπηθούν από διάφορες οπτικές γωνίες να μελετηθούν έπειτα από τους ειδικούς. Το 3D μοντέλο που προκύπτει βοηθά τους επιστήμονες στην πιο εύκολη μελέτη του χώρου αλλά και στην αναπαράστασή του για λόγους ερευνητικούς ή παρουσίασης σε μουσεία ή σε εκπαιδευτικά βίντεο και παιχνίδια. Η ίδια διαδικασία μπορεί να ακολουθηθεί και για κατεστραμμένα μνημεία, αγάλματα, αγγεία, τα οποία μπορούν να ανακατασκευαστούν ψηφιακά και να αποκτήσουν την αρχική τους όψη. Σημαντικές εφαρμογές βρίσκει η 3D ανακατασκευή και η εκτίμηση της κίνησης στον τομέα της ρομποτικής (path planning, map acquisition). Κινούμενα ρομπότ, παίρνοντας διαρκείς φωτογραφίες από το γύρο χώρο, μπορούν να κινηθούν σ αυτόν αποφεύγοντας τα εμπόδια αλλά και να τον χαρτογραφήσουν. Η εφαρμογή αυτή μπορεί να επεκτείνεται σε χρήσεις μικροσκοπικής κλίμακας, όπως η είσοδος ρομπότ στον ανθρώπινο οργανισμό για την καταπολέμηση ιών, μικροβίων, την ενίσχυση της άμυνάς του, σε οικιακές χρήσεις, ή ακόμη και σε χρήσεις σε διαστημικά προγράμματα χαρτογράφησης επιφανειών πλανητών και δορυφόρων. Η σχεδίαση εικονικών περιβάλλοντων, η αναγνώριση ατόμων μέσω του προσώπου ή των σωματικών τους αναλογιών ή κινήσεων, καθώς και οι αναρίθμητες εφαρμογές της τρισδιάστατης ανακατασκευής στην ιατρική και φαρμακευτική επιστήμη, στην επιστήμη της γενετική και της βιολογίας, είναι μερικές ακόμη από τις εφαρμογές που μπορεί να βρει στη ζωή του ανθρώπου. 9

10 10

11 Κεφάλαιο Βασικό Μοντέλο Pinhole Κάμερας Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται το μοντέλο της κάμερας που χρησιμοποιήθηκε για την λήψη των εικόνων. Το βασικό μοντέλο της pinhole κάμερας θεωρείται το πιο απλό και ιδανικό μοντέλο [1]. Έχει μία μικρή οπή διαμέσου της οποίας διέρχεται το φως προτού δημιουργήσει μια ανεστραμμένη εικόνα στην επιφάνεια της κάμερας. Για λόγους απλότητας θεωρείται ότι η επιφάνεια της κάμερας βρίσκεται ανάμεσα στην οπή και το αντικείμενο όποτε η εικόνα δεν είναι πλέον ανεστραμμένη. Η απεικόνιση των τριών διαστάσεων σε δύο καλείται προοπτική προβολή και αποτελεί θεμελιώδη έννοια για την κατανόηση της τρισδιάστατης ανάλυσης. Για να εξαχθεί η τρισδιάστατη πληροφορία από μία εικόνα πρέπει να καθοριστούν οι παράμετροι που σχετίζουν τη θέση ενός σημείου του χώρου με τη θέση του στην εικόνα. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται βαθμονόμηση. 2.2 Βαθμονόμηση βασικού μοντέλου pinhole κάμερας Αρχικά θα εξεταστεί πώς σημεία του ευκλείδειου τρισδιάστατου χώρου απεικονίζονται στο διδιάστατο χώρο. Παρακάτω απεικονίζεται μία κάμερα, που θεωρείται τοποθετημένη στην αρχή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, με κέντρο το σημείο C που ονομάζεται κέντρο της κάμερας ή οπτικό κέντρο. Θεωρείται ένα επίπεδο όπου προβάλλονται τα σημεία του χώρου το οποίο ονομάζεται εστιακό επίπεδο ή επίπεδο προβολής. Το κέντρο του εστιακού επιπέδου θεωρείται ότι είναι η προβολή του κέντρου του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Η ευθεία που ξεκινά από το σημείο C και είναι κάθετη στο εστιακό επίπεδο ονομάζεται οπτικός άξονας (principal axis) και το σημείο που τέμνει το εστιακό επίπεδο είναι το κέντρο της εικόνας. Η απόσταση f 11

12 ανάμεσα στο κέντρο της εικόνας και το οπτικό κέντρο ονομάζεται εστιακή απόσταση ή εστιακό μήκος (focal length). Σχήμα 2.1. Γεωμετρία Έστω ότι υπάρχει σημείο Β στο χώρο με συντεταγμένες i i B = ( X,Y,Z). Το σημείο b = (x,y,f) του εστιακού επιπέδου στο οποίο απεικονίζεται είναι το σημείο της τομής της ευθείας που ενώνει το σημείο Β και το κέντρο της κάμερας με το εστιακό επίπεδο. Με χρήση όμοιων τριγώνων αφού αναλυθεί η παραπάνω τρισδιάστατη απεικόνιση στα σχήματα 2.2(α) και 2.2(β) (α) Σχήμα 2.2. Όμοια τρίγωνα (α) στο xz επίπεδο (β) στο yz επίπεδο (β) προκύπτει ότι το σημείο b απεικονίζεται στο σημείο T (fxz,fyz,f) στο εστιακό επίπεδο. Αγνοώντας την τρίτη συντεταγμένη που είναι σταθερή για όλα τα σημεία του εστιακού επιπέδου παρατηρείται ότι ισχύει η σχέση: 12

13 T T ( X, Y, Z) ( f X Z, f Y Z) (2.1) που περιγράφει την προβολή του σημείου Β από τις τρισδιάστατες συντεταγμένες στις συντεταγμένες πάνω στην εικόνα. Η (2.1) δύναται σε ομογενείς συντεταγμένες να γραφεί με την μορφή πολλαπλασιασμού πινάκων ως εξής: X X fx f Y Y fy = 0 f 0 0 Z Z Z (2.2) Ο πίνακας μπορεί να γραφεί ως diag(f,f,1)[i 0] όπου dia g(f,f,1) είναι διαγώνιος πίνακας και το [I 0] αναπαριστά ένα πίνακα που χωρίζεται σε ένα 3 3 μοναδιαίο πίνακα και ένα μηδενικό πίνακα-στήλη διάστασης 3 1. O πίνακας P= diag(f,f,1)[i 0] ονομάζεται πίνακας προβολής (projection matrix) και από την εξίσωση b=pb προκύπτουν οι συντεταγμένες b στην εστιακή εικόνα, στις οποίες προβάλλεται το σημείο του χώρου B [2]. Η σχέση (2.2) ισχύει στην περίπτωση που το κέντρο της εικόνας έχει T T συντεταγμένες: p = (0,0,f). Συνήθως όμως είναι: p = (x,y,f) (σχήμα 2.3). 0 0 Επιπλέον αν η κάμερα έχει παράμετρο παραμόρφωσης s (σχήμα 2.4) τότε ισχύει: X X fx + zx0 f s x0 0 Y Y fy + zy0 = 0 f y0 0 Z Z Z (2.3) 13

14 Σχήμα 2.3.Για κέντρο εικόνας p. Σχήμα 2.4. Παράμετρος παραμόρφωσης Εάν τεθεί : f s x0 K 0 f y = τότε (2.3) αποκτά τη μορφή: b = K [I 0]Xcam (2.4) Ο πίνακας Κ ονομάζεται πίνακας βαθμονόμησης [1]. Το νέο σύστημα συντεταγμένων που έχει σαν κέντρο της εικόνας το σημείο p T = (x 0,y 0,f) ονομάζεται σύστημα συντεταγμένων της κάμερας και για λόγους έμφασης έχει γραφτεί το ( X, Y, Z) T ως Xcam [2]. Ο πίνακας προβολής, για τον οποίο θα ισχύει b = PX cam, θα είναι ο P = K[I 0] 14

15 2.3 Περιστροφή και μεταφορά της κάμερας Γενικά, τα σημεία στο χώρο εκφράζονται στο παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων. Τα δύο συστήματα συντεταγμένων συνδέονται μέσω περιστροφής και μεταφοράς (σχήμα 2.5). Σχήμα 2.5. Από τις συντεταγμένες της κάμερας στο παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων. Εάν X = ( x,y,z ) s s s T είναι ένα μη ομογενές διάνυσμα που αναπαριστά τις συντεταγμένες ενός σημείου στο παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων και διάνυσμα που αναπαριστά το ίδιο σημείο στο σύστημα συντεταγμένων της κάμερας, τότε γράφεται X cam = R(X C), όπου το C είναι το διάνυσμα ΟC εκφρασμένο στο παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων, και R είναι ένας 3x3 πίνακας περιστροφής που εκφράζει τον προσανατολισμό του συστήματος συντεταγμένων της κάμερας. X cam το Η παραπάνω εξίσωση σε ομογενείς συντεταγμένες γράφεται: X R RC Y R RC Xcam = = X 0 1 Z (2.5) 15

16 Από τις σχέσεις (2.4) και (2.5) προκύπτει για το σημείο Χ του παγκόσμιου συστήματος συντεταγμένων η σχέση: b = KR [I C]X (2.6) Οι παράμετροι που περιέχονται στον πίνακα K λέγονται εσωτερικές παράμετροι της κάμερας [1, 2]. Οι παράμετροι R και C που συσχετίζουν την θέση και τον προσανατολισμό της κάμερας με το παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων ονομάζονται εξωτερικές παράμετροι της κάμερας. Στην περίπτωση αυτή ο πίνακας προβολής της κάμερας θα είναι ο P = K R [ I C ]. Συχνά είναι πιο βολικό να μην κάνουμε φανερό το κέντρο της κάμερας στην παραπάνω σχέση, αλλά να εκφράζουμε το μετασχηματισμό από το παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων σε εκείνο της κάμερας με τη σχέση Χcam = RX + T. Σ αυτήν την περίπτωση ο πίνακας προβολής είναι ο όπου T = R C. P = K [ R T ] 2.4 Ακτινική Παραμόρφωση Η παραμόρφωση γενικά περιγράφει την απόκλιση ενός σημείου στην εικόνα από την θέση που προβλέπεται από το βασικό μοντέλο της pinhole κάμερας. Η πιο συνηθισμένη παραμόρφωση που παρουσιάζεται κατά μήκος των ακτινικών διευθύνσεων στις κάμερες, που έχουν ευρύ οπτικό πεδίο, ονομάζεται ακτινική παραμόρφωση. Το μοντέλο που περιγράφει την εξισορρόπηση της ακτινικής παραμόρφωσης της εικόνας είναι [5]: 16

17 x xd 2 4 (1 a1r a 2r ) y = + + y d όπου με (x,y ) αναπαρίστανται οι συντεταγμένες των παραμορφωμένων σημείων, (x,y) είναι οι πραγματικές συντεταγμένες των σημείων στην εικόνα εάν δεν υπήρχε παραμόρφωση ενώ d d r = x + y d αναφέρονται στον βαθμό παραμόρφωσης [5]. d και a1, a 2 είναι παράμετροι της κάμερας που 17

18 18

19 Κεφάλαιο Αντιστοίχηση κοινών σημείων Το πρόβλημα της αντιστοίχησης (correspondence problem), για ένα δεδομένο ζεύγος εικόνων, είναι να βρεθούν σημεία της πρώτης και δεύτερης εικόνας που αποτελούν προβολές του ίδιου τρισδιάστατου σημείου της σκηνής που απεικονίζεται σ αυτές τις εικόνες. Ένα παράδειγμα φαίνεται στις δυο εικόνες που ακολουθούν: Εικόνα 3.1 Εικόνα 3.2 Οι εικόνες είναι τραβηγμένες από ελαφρώς διαφορετική θέση. Στις εικόνες αυτές αναζητούνται σημεία τα οποία αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο του χώρου. Τέτοια σημεία είναι σημειωμένα με τα κόκκινα κυκλάκια. Αφού βρεθούν τέτοια σημεία, τα οποία είναι εκφρασμένα σε 2D συντεταγμένες, τις pixel συντεταγμένες, τοποθετούνται σε πίνακες της μορφής x 11 y 11 x 21 y 21 x 12 y 12 x 22 y 22 x 13 y 13 x 23 y 23 x 14 y 14 x 24 y 24 x 15 y 15 x 25 y x 1Ν y 1Ν x 2Ν y 2Ν 19

20 όπου στις δυο πρώτες στήλες αποθηκεύονται οι συντεταγμένες των σημείων της πρώτης εικόνας και στις τρίτη και τέταρτη στήλες οι συντεταγμένες των αντίστοιχών τους σημείων στη δεύτερη εικόνα. Η πλήρης διαδικασία που ακολουθείται για να βρεθούν σε δυο εικόνες αντίστοιχα σημεία παρουσιάζεται αναλυτικότερα στη συνέχεια. 3.2 Αποπαραμόρφωση των εικόνων Πριν προχωρήσουμε στην ανίχνευση κοινών σημείων σε δυο εικόνες, θα πρέπει πρώτα να σιγουρευτούμε ότι οι εικόνες που έχουμε στην κατοχή μας είναι στην καλύτερη δυνατή κατάσταση. Είναι πολύ συνηθισμένο στις pinhole κάμερες ή σε κάμερες με fish-eye φακούς, το αντικείμενο ή η σκηνή που φωτογραφίζεται να υπόκειται σε κάποια παραμόρφωση. Αυτό σημαίνει ότι γραμμές που στην πραγματικότητα, στον τρισδιάστατο χώρο, είναι ευθείες, στις εικόνες φαίνονται, λιγότερο ή περισσότερο, καμπύλες. Αυτό δυσχεραίνει το έργο της εύρεσης γωνιών ώστε να προκύψουν κοινά σημεία μεταξύ των εικόνων, αλλά και της μετέπειτα σωστής ανακατασκευής των αντικειμένων που απεικονίζονται. Για το λόγο αυτό, είναι απαραίτητο πριν από οποιαδήποτε επεξεργασία, να προβούμε στην αποπαραμόρφωση των εικόνων. Ο σκοπός αυτής της διαδικασίας είναι να βρεθούν οι παράμετροι της παραμόρφωσης ή, ισοδύναμα, να βρεθεί ο μετασχηματισμός ώστε η προβολή κάθε ευθείας γραμμής του 3D χώρου πάνω στο επίπεδο προβολής της κάμερας να είναι επίσης ευθεία. Συνεπώς, το μόνο που χρειάζεται είναι να βρεθεί ένας τρόπος ώστε να εντοπίζονται οι προβολές των ευθειών του 3D χώρου πάνω στην εικόνα (οι οποίες δεν είναι ευθείες εφόσον έχουν υποστεί παραμόρφωση, αλλά καμπύλες), και ένας τρόπος να μετρηθεί ο βαθμός παραμόρφωσης της κάθε ευθείας στην εικόνα. Έπειτα, μεταβάλλουμε τις παραμέτρους παραμόρφωσης, μέχρι να ελαχιστοποιήσουμε την παραμόρφωση των μετασχηματισμένων ακμών. Μια πολύ αξιόπιστη μέθοδος περιγράφεται στην πηγή [4]. 20

21 Η διαδικασία που ακολουθείται είναι η εξής: Για κάθε εικόνα, γίνεται αρχικά μια ανίχνευση των ακμών που πιθανώς να είναι ευθείες ή τμήματα ευθειών που θα πρέπει να ενωθούν, με μια μέθοδο που καλείται sub-pixel edge detection. Για αρχικές τιμές των παραμέτρων παραμόρφωσης, γίνεται μια πρώτη αποπαραμόρφωση της εικόνας. Στη συνέχεια γίνεται η καλούμενη πολυγωνική προσέγγιση (polygonal approximation) η οποία ουσιαστικά εντοπίζει αν κάποιες και ποιες από τις αποπαραμορφωμένες ακμές αποτελούν τμήματα του ίδιου ευθύγραμμου τμήματος στον 3D χώρο, ώστε να ενωθούν μεταξύ τους. Τέλος, υπολογίζεται το σφάλμα της παραμόρφωσης και στη συνέχεια μεταβάλλονται οι παράμετροι της παραμόρφωσης ώστε να ελαχιστοποιηθεί αυτό το σφάλμα, με τη χρήση μη γραμμικών μεθόδων ελαχιστοποίησης ελαχίστων τετραγώνων. Μερικά παραδείγματα για να φανεί η λειτουργία αυτής της μεθόδου φαίνονται στις παρακάτω εικόνες. Οι εικόνες 3.3.α και 3.4.α δείχνουν δυο αρχικές εικόνες, όπως έχουν τραβηχτεί από μια pinhole κάμερα και μια κάμερα με φακό fish-eye. Οι εικόνες 3.3.β και 3.4.β είναι οι εικόνες που προκύπτουν μετά την αποπαραμόρφωση. Εικόνα 3.3.α Εικόνα 3.4.α Εικόνα 3.3.β Εικόνα 3.4.β 21

22 3.3 Εντοπισμός των γωνιών σε μια εικόνα Το επόμενο στάδιο είναι ο εντοπισμός των γωνιών σε μια εικόνα [2]. Αρχικά γίνεται μετατροπή της εικόνας από RGB σε grayscale και έπειτα αποθηκεύεται σε έναν διδιάστατο πίνακα του οποίου οι τιμές κυμαίνονται από 0 έως 255. Για την εύρεση των γωνιών της εικόνας υπάρχει ο κατάλληλος μαθηματικός τρόπος, σύμφωνα με τον οποίο υπολογίζεται η κλίση όλων των σημείων μιας εικόνας στο χώρο και έπειτα οι ιδιοτιμές όλων των σημείων, με τη βοήθεια των οποίων ανιχνεύονται οι γωνίες μιας εικόνας. Αν, για παράδειγμα, η αρχική εικόνα είναι η εικόνα 3.5, οι γωνίες που υπολογίζονται φαίνονται στην εικόνα 3.6. Επειδή το πλήθος των γωνιών είναι μεγάλο και πολλές από τις γωνίες που έχουν υπολογιστεί είναι τόσο κοντά ώστε μπορεί να αποτελούν τμήμα της ίδια γωνίας στον 3D χώρο, επιλέγονται οι πιο έντονες από τις γωνίες που έχουν υπολογιστεί και ταυτόχρονα ορίζεται ένα όριο ελάχιστης απόστασης μεταξύ των γωνιών. Έπειτα από αυτόν τον περιορισμό απομένουν οι γωνίες που φαίνονται στην εικόνα 3.7. Εικόνα

23 Εικόνα 3.6 Εικόνα 3.7 Η ίδια διαδικασία εύρεσης των γωνιών ακολουθείται για καθεμιά από τις εικόνες ξεχωριστά. Στο σημείο αυτό σκοπός είναι να αντιστοιχηθούν οι όμοιες γωνίες που εμφανίζονται σε κάθε ζεύγος διαδοχικών εικόνων, οι γωνίες δηλαδή που αναφέρονται στο ίδιο σημείο του τρισδιάστατου χώρου [2]. Αρχικά σχηματίζεται ένας πίνακας, έστω Eigenvalues, για κάθε εικόνα ξεχωριστά, ο οποίος περιέχει για κάθε τυχαίο σημείο της αρχικής εικόνας την μικρότερη ιδιοτιμή του, έχει δηλαδή το ίδιο μέγεθος με την αρχική εικόνα και τιμές την ελάχιστη ιδιοτιμή για κάθε σημείο. Στη συνέχεια, σε νέο πίνακα, έστω Sorteigval, ο οποίος σχηματίζεται για κάθε εικόνα ενός ζεύγους, αποθηκεύονται οι πιο έντονες γωνίες που απέχουν μεταξύ τους απόσταση τουλάχιστον όση επιβάλλεται από τον περιορισμό που τέθηκε προηγουμένως. Επιλέγεται η πρώτη γωνία που έχει αποθηκευτεί στον πίνακα Sorteigval της πρώτης εικόνας. Η γωνία αυτή εντοπίζεται με βάση τις συντεταγμένες της στον πίνακα Eigenvalues, της ίδιας εικόνας, και επιλέγεται μια περιοχή σημείων, τα οποία είναι γειτονικά στην επιλεγμένη γωνία, δηλαδή ένα παράθυρο, το w r. Έπειτα, για κάθε αποθηκευμένη γωνία στον πίνακα Sorteigval της δεύτερης εικόνας, της οποίας οι συντεταγμένες δεν απέχουν πολύ από τις συντεταγμένες της γωνίας της πρώτης εικόνας, ακολουθείται η εξής διαδικασία: η γωνία εντοπίζεται με βάση τις συντεταγμένες της στον πίνακα Eigenvalues της δεύτερης εικόνας, επιλέγεται μια περιοχή σημείων που είναι γειτονικά στην επιλεγμένη κάθε φορά γωνία. Η περιοχή αυτή, το παράθυρο, έστω ότι καλείται w l. 23

24 Εφόσον επιλεγεί η περιοχή w r στη δεξιά εικόνα και η περιοχή w l στην αριστερή, χρησιμοποιείται ένα μέτρο σύγκρισης ώστε να βρεθούν οι όμοιες γωνίες. 3.4 Επιλογή του αλγόριθμου σύγκρισης γωνιών Υπάρχουν διάφοροι αλγόριθμοι για τη σύγκριση των γωνιών. Από τους πιο δημοφιλείς είναι η μέθοδος του αθροίσματος της διαφοράς τετραγώνων (Sum of Squared Differences, SSD) [7] και ο αλγόριθμος της τροποποιημένης κανονικοποιημένης σταυρωτής συσχέτισης (Modified Normalized Cross Correlation, MNCC) [6]. Η μέθοδος SSD αντιστοιχεί τα χαρακτηριστικά σημεία δυο εικόνων, χρησιμοποιώντας περιοχές γύρω από τα χαρακτηριστικά σημεία και υπολογίζοντας το άθροισμα της διαφοράς των τετραγώνων μεταξύ των σημείων των περιοχών αυτών. Όταν το άθροισμα αυτό είναι το ελάχιστο τότε η αντιστοίχηση είναι η καλύτερη δυνατή. Αν και η μέθοδος SSD είναι ταχύτερη από την MNCC, εντούτοις χρησιμοποιείται η MNCC επειδή παρουσιάζει μεγαλύτερη αντοχή σε σφάλματα λόγω της διαφοράς στη φωτεινότητα που μπορεί να παρουσιαστεί ανάμεσα στις δυο εικόνες του ζεύγους που εξετάζεται. 3.5 Μέτρο σύγκρισης ομοιότητας MNCC Η φιλοσοφία του αλγόριθμου MNCC είναι η εξής [6]: Αρχικά, για κάθε παράθυρο που έχει επιλεγεί, υπολογίζεται το άθροισμα των στοιχείων του. Αν, έστω το παράθυρο είναι διαστάσεων Ν Ν, θα είναι όπως φαίνεται εδώ Ν Ν α 11 α α 1Ν α 21 α α 2Ν α Ν1 α Ν α ΝΝ 24

25 όπου α (Ν+1)/2 είναι η επιλεγμένη γωνία και το άθροισμα που ζητείται θα είναι sum = N N a ij i= 1 j= 1. Έπειτα κάθε στοιχείο των δυο παραθύρων υψώνεται στο τετράγωνο και, για κάθε παράθυρο, υπολογίζεται το άθροισμα των τετραγώνων των στοιχείων του square = N N a 2 ij. i= 1 j= 1 Με τη βοήθεια των στοιχείων που έχουν ληφθεί μετά τους αρχικούς αυτούς υπολογισμούς, υπολογίζεται η διακύμανση (variance) κάθε παραθύρου ξεχωριστά variance = N 2 square sum 2 Ύστερα, πολλαπλασιάζεται κάθε στοιχείο του παραθύρου της δεξιάς εικόνας (w r ) με το αντίστοιχό του που βρίσκεται στο παράθυρο της αριστερής εικόνας (w l ) και υπολογίζεται το άθροισμα των γινομένων. Αν α ij συμβολίζονται τα στοιχεία του δεξιού παραθύρου w r και β ij τα αντίστοιχα του αριστερού w l, το παραπάνω άθροισμα υπολογίζεται ως εξής N N a ij i= 1 j= 1 sum _ product = β. ij Έπειτα, υπολογίζεται το γινόμενο των αθροισμάτων N N a ij i= 1 j= 1 product _ sum = β. N N i= 1 j= 1 ij Στη συνέχεια υπολογίζεται το άθροισμα των διακυμάνσεων των δυο παραθύρων var_ sum = variance1 + variance 2 25

26 Τέλος, υπολογίζεται η μεταβλητή score, η οποία δείχνει την πιθανότητα οι δυο γωνίες, που έχουν επιλεγεί αρχικά στις δυο εικόνες, να αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο του αντικειμένου που απεικονίζουν οι δυο εικόνες. Η περιοχή τιμών της μεταβλητής score είναι -1 score 1, και όσο η τιμή της πλησιάζει στην τιμή 1, τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα οι δυο επιλεγμένες γωνίες να αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο του εικονιζόμενου αντικειμένου. Η μεταβλητή score υπολογίζεται μέσω της σχέσης 2 2 ( N sum _ product product _ sum) score =. var_ sum Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται για όλες τις αποθηκευμένες στον πίνακα Sorteigval γωνίες της πρώτης εικόνας και αποθηκεύονται όλες οι γωνίες και των δυο εικόνων που έχουν πολύ μεγάλη πιθανότητα να αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο του εικονιζόμενου αντικειμένου. Έπειτα, η όλη διαδικασία επαναλαμβάνεται από τη αρχή, με τη διαφορά ότι αυτήν την φορά επιλέγονται πρώτα οι αποθηκευμένες στον πίνακα Sorteigval της δεύτερης εικόνας γωνίες και χρησιμοποιείται ο αλγόριθμος MNCC για να υπολογιστούν οι αντίστοιχές τους γωνίες που βρίσκονται στην πρώτη εικόνα. Η επανάληψη αυτή γίνεται για να εξασφαλιστεί μεγαλύτερη επιτυχία στην επιλογή των αντίστοιχων γωνιών, γιατί μια αντιστοιχία που βρέθηκε στην πρώτη επανάληψη μπορεί να μην παρουσιαστεί στη δεύτερη. Έτσι, επιλέγονται όσες αντίστοιχες γωνίες έχουν υπολογιστεί και με τους δυο τρόπους αντιστοίχησης. Μετά την αντιστοίχηση των όμοιων γωνιών σε ένα ζεύγος εικόνων, περνούμε στον προσδιορισμό της τροχιάς της κάμερας από την πρώτη θέση στη δεύτερη, καθώς και στην εκτίμηση των 3D συντεταγμένων των σημείων που απεικονίζουν οι γωνίες που υπολογίστηκαν. Για να θέσουμε τις βάσεις για τη λύση του προβλήματος της ανακατασκευής, χρειαζόμαστε πρώτα να μελετήσουμε τη γεωμετρία του χώρου σ αυτή την περίπτωση, την αποκαλούμενη επιπολική γεωμετρία [1, 2]. 26

27 Κεφάλαιο Επιπολική γεωμετρία Για δυο φωτογραφίες, για δυο θέσεις της κάμερας δηλαδή, η επιπολική γεωμετρία φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Σχήμα 4.1. Επιπολική γεωμετρία Το σχήμα δείχνει δυο θέσεις της κάμερας απ όπου φωτογραφίζεται το σημείο του τρισδιάστατου χώρου Ρ. Τα κέντρα προβολής της κάμερας για την πρώτη και δεύτερη θέση είναι τα Ο 1 και Ο 2 αντίστοιχα και τα επίπεδα προβολής τα π 1 και π 2. Πάνω στα επίπεδα προβολής προβάλλονται τα σημεία του τρισδιάστατου χώρου, οι σκηνές που φωτογραφίζονται. Το σημείο Ρ φαίνεται και από τις δυο θέσεις της κάμερας και η προβολή του στο επίπεδο π 1 είναι το σημείο p 1 και στο επίπεδο π 2 το σημείο p 2. Η απόσταση των επιπέδων προβολής από τα κέντρα προβολής λέγεται εστιακή απόσταση ή εστιακό μήκος (focal length). Για τις δυο θέσεις της κάμερας τα εστιακά μήκη είναι τα f 1 και f 2, και επειδή έχουμε από πριν φροντίσει να κρατήσουμε 27

28 αμετάβλητες τις εσωτερικές παραμέτρους της κάμερας είναι f 1 = f 2. Για κάθε θέση της κάμερας ορίζουμε και ένα σύστημα συντεταγμένων, αρχή του οποίου θεωρείται το κέντρο προβολής της και ως άξονας z ο οπτικός άξονας (optical axis). Ο άξονας z τέμνει κάθετα το επίπεδο προβολής. Τα διανύσματα P 1 = [X 1,Y 1,Z 1 ] T και P 2 = [X 2,Y 2,Z 2 ] T αναφέρονται στο ίδιο σημείο του τρισδιάστατου χώρου, στο σημείο Ρ, εκφρασμένο όμως στα συστήματα συντεταγμένων της πρώτης και δεύτερης θέσης της κάμερας αντίστοιχα. Τα διανύσματα p 1 = [x 1,y 1,z 1 ] T και p 2 = [x 2,y 2,z 2 ] T αναφέρονται στις προβολές του σημείου Ρ στα επίπεδα προβολής π 1 και π 2 αντίστοιχα, και είναι εκφρασμένα στα αντίστοιχα συστήματα συντεταγμένων. Είναι ευνόητο πως για όλα τα σημεία θα έχουμε z 1 = f 1 και z 2 = f 2, μιας και ο άξονας Ζ τέμνει κάθετα το επίπεδο προβολής. Επομένως, οι προβολές των 3D σημείων στα επίπεδα προβολής μπορούν να θεωρηθούν ως σημεία του διδιάστατου χώρου, αφού το z παραμένει σταθερό. Τα συστήματα συντεταγμένων των δυο θέσεων της κάμερας σχετίζονται μεταξύ τους μέσω των εξωτερικών παραμέτρων (extrinsic parameters). Οι παράμετροι αυτές ορίζουν ένα μετασχηματισμό στον 3D χώρο, μέσω ενός διανύσματος μετατόπισης Τ = (Ο 2 Ο 1 ), και ενός πίνακα περιστροφής R. Για ένα σημείο Ρ στο χώρο, τα διανύσματα Ρ 1 και Ρ 2 στα δυο συστήματα αναφοράς συνδέονται με τη σχέση: P 2 = R(P 1 T) (4.1) Το όνομα «επιπολική γεωμετρία» χρησιμοποιείται επειδή τα σημεία στα οποία η γραμμή που ενώνει τα κέντρα προβολής Ο 1 και Ο 2 συναντά τα επίπεδα προβολής π 1 και π 2 ονομάζονται επίπολα. Τα επίπολα για την πρώτη και δεύτερη θέση της κάμερας συμβολίζονται στο σχήμα ως e 1 και e 2 αντίστοιχα. Από κατασκευής, το επίπολο e 1 αποτελεί τη προβολή του κέντρου προβολής Ο 2 στο επίπεδο προβολής π 1 και τούμπαλιν. Η σχέση μεταξύ ενός σημείου στον 3D χώρο, εκφρασμένου ως προς το σύστημα αναφοράς της θέσης της κάμερας, και της προβολής του στο επίπεδο προβολής της κάμερας είναι f i p i = Pi (4.2) Z i 28

29 όπου i = 1, 2 στο σχήμα 4.1. Αναφερόμενοι στο σχήμα 4.1, θα λέγαμε ότι το πρόβλημα της αντιστοίχησης είναι να βρεθεί για τις δυο θέσεις της κάμερας το σημείο Ρ του τρισδιάστατου χώρου που φαίνεται και στις δυο εικόνες και πού απεικονίζεται αυτό σε κάθε εικόνα, να βρεθούν τα σημεία δηλαδή που αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο του 3D χώρου. Τα σημεία αυτά είναι συνήθως εκφρασμένα σε 2D pixel συντεταγμένες ξεκινώντας από την πάνω και αριστερή γωνία της εικόνας με συντεταγμένες (0,0) και αυξανόμενο x όσο πηγαίνουμε προς τα δεξιά και y όσο πηγαίνουμε προς τα κάτω. Στην περίπτωση μας γνωρίζουμε τα ζεύγη αυτά σε pixel συντεταγμένες και, γνωρίζοντας επίσης τις εσωτερικές παραμέτρους της κάμερας, μπορούμε να τα εκφράσουμε ως σημεία του 3D χώρου πάνω στα επίπεδα προβολής π 1 και π 2. Καλούμαστε έπειτα να βρούμε από αυτά τις συντεταγμένες του σημείου του 3D χώρου το οποίο προβάλλεται πάνω στα επίπεδα προβολής στα σημεία αυτά. Το πρόβλημα λοιπόν της ανακατασκευής είναι, ενώ γνωρίζουμε τα p 1 και p 2, όπως εμφανίζονται στο σχήμα 2, να βρούμε το σημείο Ρ. Το επίπεδο που ορίζεται από τα κέντρα προβολής Ο 1 και Ο 2 και το σημείο Ρ, ονομάζεται επιπολικό επίπεδο. Ως τέτοιο θα πρέπει να ισχύει μεταξύ των διανυσμάτων P 1, T και Ρ 1 - Τ σχέση (P 1 T) T T P 1 = 0 και με τη χρήση της σχέσης (4.1) έχουμε (R T P 2 ) Τ T P 1 = 0 (4.3) Ισχύει όμως T P 1 = SP 1 όπου 29

30 0 T z Ty S = Tz 0 Tx. Ty Tx 0 (4.4) Έτσι η σχέση (4.3) γίνεται P 2 T EP 1 = 0 (4.5) με Ε = RS. Ο πίνακας Ε αποκαλείται βασικός πίνακας (Essential matrix) [1, 2]. Χρησιμοποιώντας τη σχέση (4.2) και διαιρώντας με Z 2 Z 1, η (4.4) μπορεί να γραφεί ως εξής: p 2 T Ep 1 = 0, (4.6) όπου p 1, p 2 τα διανύσματα των προβολών του σημείου Ρ πάνω στα επίπεδα προβολής π 1 και π 2, εκφρασμένα στα συστήματα αναφοράς της κάθε θέσης της κάμερας (camera coordinates). Σημειώνουμε ότι μέχρι στιγμής χρησιμοποιούμε συντεταγμένες στο σύστημα συντεταγμένων που ορίζεται σε κάθε θέση της κάμερας. Στην πράξη όμως, τα κοινά σημεία που βρίσκουμε σε δυο εικόνες είναι εκφρασμένα σε pixel συντεταγμένες, ως διδιάστατα σημεία πάνω στην εικόνα. Ως εκ τούτου, για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον Essential πίνακα χρειάζεται να γνωρίζουμε το μετασχηματισμό από τις συντεταγμένες της κάμερας στις pixel συντεταγμένες. Αυτό ακριβώς γίνεται με τη γνώση των εσωτερικών παραμέτρων της κάμερας. Έστω Κ ο πίνακας των εσωτερικών παραμέτρων της κάμερας. Έχει διαστάσεις 3 3 και ενώ γενικά αλλάζει για διαφορετική κάμερα ή ακόμη και για την ίδια κάμερα, στη συγκεκριμένη περίπτωση παραμένει σταθερός καθόλη τη διάρκεια λήψης φωτογραφιών. Αν συμβολίσουμε px 1 και px 2 τα σημεία σε pixel συντεταγμένες που 30

31 αντιστοιχούν στα σημεία p 1 και p 2 εκφρασμένα στις συντεταγμένες της κάμερας, τότε ισχύει η σχέση: p i = K -1 px i για i = 1, 2. Αντικαθιστώντας στη σχέση (4.6) παίρνουμε px 2 T Fpx 1 = 0 (4.7) όπου F = K -T EK -1 O F ονομάζεται θεμελιώδης πίνακας (fundamental matrix) και, όπως είναι φανερό, η γνώση του επιτρέπει την ανακατασκευή της επιπολικής γεωμετρίας χωρίς καμιά πληροφορία για τις εσωτερικές ή εξωτερικές παραμέτρους. Χάριν πληρότητας της παρουσίασης, αξίζει να αναφερθεί ότι αν οι πίνακες των εσωτερικών παραμέτρων για τις δυο θέσεις της κάμερας (ή για δυο διαφορετικές κάμερες στην πρώτη και δεύτερη θέση) διέφεραν και ισούνταν με Κ 1 και Κ 2 για την πρώτη και δεύτερη θέση αντίστοιχα, θα ίσχυαν οι σχέσεις p i = K i -1 px i για i = 1, 2 και px 2 T Fpx 1 = 0 όπου όμως F = K 2 -T EK

32 4.2 Ο αλγόριθμος των 8 σημείων Για να υπολογίσουμε τον βασικό, Ε, και τον θεμελιώδη, F, πίνακα, χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι. Η πιο δημοφιλής, κυρίως για την απλότητα που παρουσιάζει, είναι ο αλγόριθμος των 8 σημείων (8-point algorithm) [8], που έχει πάρει το όνομά του από τον ελάχιστο απαιτούμενο αριθμό γνωστών ζευγών αντίστοιχων σημείων που μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε τους E και F. Η ιδέα πίσω από τον αλγόριθμο είναι η εξής: Θεωρούμε ότι έχουμε καταφέρει να βρούμε κ αντιστοιχίες σημείων από τις δυο εικόνες που μελετούμε. Οι αντιστοιχίες αυτές μπορεί να είναι εκφρασμένες είτε σε συντεταγμένες pixel (όπως οι px 1 και px 2 ) είτε εκφρασμένες στο σύστημα αναφοράς της κάμερας (όπως οι p 1 και p 2 ). Στην πρώτη περίπτωση υπολογίζουμε τον F πίνακα, ενώ στη δεύτερη τον E. Θεωρούμε ότι γνωρίζουμε τις pixel συντεταγμένες των αντίστοιχων σημείων και καλούμαστε να υπολογίσουμε τον πίνακα F (η άλλη περίπτωση, όπου υπολογίζουμε τον Ε, προκύπτει εντελώς ανάλογα). Κάθε αντιστοιχία δίνει μια ομογενή γραμμική εξίσωση της μορφής px T 2 Fpx 1 = 0 για τα εννιά στοιχεία του F (διαστάσεις 3 3). Οι εξισώσεις αυτές σχηματίζουν ένα ομογενές γραμμικό σύστημα. Οι πίνακες F και Ε έχουν 8 βαθμούς ελευθερίας, οπότε μας αρκούν 8 τέτοιες εξισώσεις για να προσδιοριστούν επακριβώς. Αν έχουμε, λοιπόν, τουλάχιστον 8 αντιστοιχίες (δηλ. κ 8), τα 9 στοιχεία του πίνακα F μπορούν να καθοριστούν ως η μη μηδενική λύση του συστήματος. Εφόσον το σύστημα είναι ομογενές, η λύση είναι μοναδική, συμπεριλαμβανομένου όμως ενός παράγοντα κλίμακας. Αν χρησιμοποιούμε περισσότερα από 8 σημεία, οπότε το σύστημα είναι υπέρ-καθορισμένο, η λύση μπορεί να υπολογιστεί μέσω τεχνικών SVD (Singular Value Decomposition). Αν A είναι ο πίνακας του συστήματος (ΑF = 0) και A = UDV T, η λύση είναι η στήλη του V που αντιστοιχεί στη μοναδική μηδενική singular τιμή του A. Λόγω θορύβου, αριθμητικών λαθών ή ανακριβών αντιστοιχιών, ενδέχεται να μην υπάρχει μηδενική singular τιμή. Στην περίπτωση αυτή παίρνουμε την ελάχιστη singular τιμή του πίνακα Α. Ο πίνακας F που υπολογίζεται είναι σχεδόν πάντοτε nonsingular. Για να είμαστε απολύτως βέβαιοι όμως, υπολογίζουμε τον SVD του πίνακα F, F = UDV T, και θέτουμε τη μικρότερη singular τιμή του διαγώνιου πίνακα D ίση με το μηδέν. Ο διαγώνιος πίνακας γίνεται D και ο διορθωμένος F δίνεται πλέον από τη σχέση F = UD V T. 32

33 Για να αποφύγουμε αριθμητικές αστάθειες, ο αλγόριθμος των 8 σημείων πρέπει να υλοποιείται με προσοχή. Η βασικότερη ενέργεια που απαιτείται να γίνει είναι να κανονικοποιηθούν οι συντεταγμένες των αντίστοιχων σημείων ώστε τα στοιχεία του Α να είναι του ίδιου μεγέθους [14]. Ένας τρόπος είναι να εκφράσουμε αρχικά τις συντεταγμένες των σημείων σε σχέση με τις συντεταγμένες του κέντρου της εικόνας και έπειτα να διαιρέσουμε κάθε σημείο-διάνυσμα με το μέτρο του ώστε να γίνει μοναδιαίου μέτρου. Τονίζεται πάλι ότι η μεθοδολογία που ακολουθείται για να βρούμε τον πίνακα Ε είναι εντελώς ίδια, με τη μόνη διαφορά ότι ως είσοδο έχουμε τις αντιστοιχίες εκφρασμένες στα συστήματα αναφοράς της κάθε θέσης της κάμερας, p 1 και p 2. Αν δε γνωρίζουμε τις εσωτερικές παραμέτρους της κάμερας, αλλά μόνο τις αντιστοιχίες των σημείων εκφρασμένες σε pixel συντεταγμένες, τότε με τον αλγόριθμο των 8 σημείων βρίσκουμε τον πίνακα F. Αν γνωρίζουμε από πριν τις εσωτερικές παραμέτρους (όπως στην περίπτωσή μας), μπορούμε να υπολογίσουμε με τον αλγόριθμο αυτό απευθείας τον πίνακα Ε. Ο υπολογισμός του Ε είναι προτιμότερος γιατί μειώνουμε με αυτό τον τρόπο πιθανό αριθμητικό σφάλμα που μπορεί να προέλθει από την αποσύνθεση του F στον Κ (τον πίνακα των εσωτερικών παραμέτρων) και τον Ε. Γνωρίζοντας τις εσωτερικές παραμέτρους παρακάμπτουμε αυτό το βήμα και πιθανά αριθμητικά σφάλματα. 4.3 Υπολογισμός των R και Τ από τον πίνακα Ε Αφού έχουμε υπολογίσει τον πίνακα Ε, είτε από τη σχέση (4.6) και την εφαρμογή του αλγόριθμου των 8 σημείων, είτε από τη σχέση Ε = K T FK, καλούμαστε να «εξάγουμε» από αυτόν τις εξωτερικές παραμέτρους του συστήματος, τους πίνακες R και Τ. Οι πίνακες αυτοί θα προκύψουν, εκτός από μια αβεβαιότητα στην κλίμακα, και με μια τετραπλή αβεβαιότητα. Αυτό σημαίνει ότι δε μπορεί να προσδιοριστεί επακριβώς η μετατόπιση της μιας κάμερας από την αρχική της θέση ως προς το μέτρο της, αλλά και ότι από την ανάλυση του πίνακα Ε για να βρούμε το ζεύγος των πινάκων (R,T) προκύπτουν 4 πιθανές λύσεις. 33

34 Υποθέτουμε ότι ο πίνακας προβολής για την πρώτη θέση της κάμερας είναι ο P = [ I 0 ]. Υποθέτουμε δηλαδή ότι το σύστημα συντεταγμένων της κάμερας στην πρώτη θέση της συμπίπτει με το παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων. Για να υπολογίσουμε το δεύτερο πίνακα προβολής, Ρ, είναι απαραίτητο να παραγοντοποιήσουμε τον πίνακα Ε στο γινόμενο SR, ενός συμμετρικού στην παραμόρφωση πίνακα όπως ο πίνακας στη σχέση (4.4) και ενός πίνακα περιστροφής. Αν υποθέσουμε ότι ο SVD του πίνακα Ε είναι ο U diag(1, 1, 0) V T, αποδεικνύεται ότι υπάρχουν δυο πιθανές παραγοντοποιήσεις Ε = SR ως εξής: S = UZU T R = UWV T ή S = UZU T R = UW T V T όπου W = και Z = Η παραπάνω παραγοντοποίηση καθορίζει το διάνυσμα Τ του πίνακα Ρ από τη σχέση S = [T]. H Frobenius norm όμως του πίνακα S = UZU T είναι 2, πράγμα που σημαίνει ότι αν S = [T], υπό κλίμακα, τότε κανονικοποιώντας έχουμε Τ = 1. Αφού ST = 0, ισχύει ότι το Τ ισούται με Τ = U(0, 0, 1) T = u 3, ισούται δηλαδή με την τελευταία στήλη του U. Παρόλα αυτά, το πρόσημο του Ε, και κατ επέκταση το πρόσημο του Τ δε μπορούν να καθοριστούν. Επομένως, από ένα συγκεκριμένο πίνακα Ε μπορούν να προκύψουν τέσσερις διαφορετικοί πιθανοί πίνακες προβολής Ρ, συνδυάζοντας τις δυο πιθανές επιλογές για τον πίνακα περιστροφής R και τα δυο πιθανά πρόσημα για τη μετατόπιση Τ. Συνολικά, δεδομένου του πίνακα Ε = Udiag(1, 1, 0)V T και ότι ο πίνακας προβολής για την πρώτη θέση της κάμερας είναι ο P = [ I 0 ], υπάρχουν 4 πιθανές επιλογές για τον πίνακα προβολής της δεύτερης θέσης της κάμερας, Ρ : P = [UWV T u 3 ] ή 34

35 P = [UWV T u 3 ] ή P = [UW Τ V T u 3 ] ή P = [UW Τ V T u 3 ]. 4.4 Γεωμετρική ερμηνεία των 4 λύσεων Είναι σαφές ότι η διαφορά μεταξύ των πρώτων δυο λύσεων είναι απλώς ότι η κατεύθυνση του διανύσματος μετατόπισης από την πρώτη στη δεύτερη θέση της κάμερας είναι ανεστραμμένη. Η σχέση μεταξύ της πρώτης και τρίτης λύσης δεν είναι τόσο προφανής. Μπορεί, εντούτοις, να αποδειχθεί ότι ισχύει [UW T V T u ] = [UWV T 3 u 3 VW ] T W T V T 1 και ότι VW T W T V T = V diag( 1, 1, 1) V T είναι μια περιστροφή κατά 180º γύρω από τη γραμμή που ενώνει τα δυο κέντρα προβολής. Οι τέσσερις λύσεις παριστάνονται γραφικά στο σχήμα

36 Σχήμα 4.2. Τα 4 πιθανά ζεύγη (R,T) Τα Α, Β και Β είναι τα κέντρα προβολής στις διάφορες θέσεις της κάμερας και το που ξεκινάει από τα σημεία αυτά παριστάνει τον άξονα και το επίπεδο προβολής κάθε κάμερας. Οι αριστερές με τις δεξιές λύσεις διαφέρουν στην κατεύθυνση του διανύσματος μετατόπισης της κάμερας από την πρώτη στη δεύτερη θέση, ενώ στις κάτω λύσεις η δεύτερη κάμερα έχει περιστραφεί κατά 180º γύρω από τη γραμμή που ενώνει τα δυο κέντρα προβολής, σε σχέση με τις πάνω λύσεις.. Στην εικόνα φαίνεται ότι σε μια μόνο από τις πιθανές λύσεις το παρατηρούμενο σημείο βρίσκεται μπροστά και από τις δυο κάμερες. Οπότε, ελέγχοντας για ένα μόνο σημείο αν είναι μπροστά και από τις δυο κάμερες, είναι αρκετό για να επιλέξουμε τη σωστή λύση του πίνακα Ρ. 4.5 Η μέθοδος Triangulation Πλέον γνωρίζοντας τον πίνακα Ε, και κατ επέκταση τους πίνακες R και Τ, και τον πίνακα Κ, δηλαδή τις εξωτερικές (extrinsic) και τις εσωτερικές (intrinsic) παραμέτρους του συστήματος, μπορούμε να προχωρήσουμε στην τρισδιάστατη ανακατασκευή της σκηνής που απεικονίζεται στις εικόνες, στο να υπολογίσουμε 36

37 δηλαδή τις απόλυτες 3D συντεταγμένες των κοινών σημείων που έχουμε βρει, στο χώρο. Ακολουθούμε τη μέθοδο της τριγωνοποίησης (triangulation), όπως περιγράφεται ακολούθως [2]. Όπως φαίνεται στο σχήμα 4.1, το σημείο Ρ, το οποίο προβάλλεται στο ζευγάρι των αντίστοιχων σημείων p 1 και p 2, βρίσκεται στην τομή δυο ευθύγραμμων τμημάτων, εκείνου που ξεκινάει από το κέντρο προβολής Ο 1 και περνάει από το p 1 και εκείνου που ξεκινάει από το κέντρο προβολής Ο 2 και περνάει από το p 2. Τα ευθύγραμμα αυτά τμήματα είναι γνωστά και μένει να υπολογίσουμε το σημείο τομής τους. Το πρόβλημα είναι ότι, μιας και οι παράμετροι και οι θέσεις των εικόνων είναι γνωστές μόνο κατά προσέγγιση (λόγω λαθών στρογγυλοποίησης, κτλ.), τα δυο ευθύγραμμα τμήματα, στην πράξη, σπάνια θα τέμνονται στο χώρο. Η τομή τους σε αυτή την περίπτωση θα υπολογιστεί ως το σημείο που απέχει την ελάχιστη απόσταση και από τα δυο ευθύγραμμα τμήματα και αυτό θα θεωρούμε ως το σημείο Ρ. Όλα αυτά φαίνονται πολύ παραστατικά στο σχήμα 4.3. Σχήμα 4.3. Μέθοδος τριγωνοποίησης 37

38 Έστω αp 1 (α R) το ευθύγραμμο τμήμα 1, που περνά από το Ο 1 (a = 0) και το p 1 (a = 1). Επίσης, έστω Τ + βr T p 2 (β R) ευθύγραμμο τμήμα 2, που περνά από το Ο 2 (β = 0) και το p 2 (β = 1), εκφρασμένο στο σύστημα αναφοράς της πρώτης θέσης της κάμερας. Φτιάχνουμε το διάνυσμα w = p 1 R T p 2 που είναι κάθετο στα τμήματα 1 και 2 και θεωρούμε αp 1 + γw (γ R) το τμήμα ω που περνά από το αp 1 (για κάποιο συγκεκριμένο α και μεταβλητό γ) και είναι παράλληλο στο w. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε πλέον είναι να καθορίσουμε το σημείο Ρ που βρίσκεται στο μέσο του τμήματος ω που είναι παράλληλο στο w και ενώνει τα τμήματα 1 και 2. Είναι P' = A + B 2 Το ευθύγραμμο τμήμα ω είναι κάθετο και στα τμήματα 1 και 2 και επομένως το μήκος του, ΑΒ, είναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ τους. Ο υπολογισμός αυτός είναι πολύ απλός επειδή τα σημεία Α και Β, ας πούμε α ο p 1 και Τ + β 0 R T p 2 αντίστοιχα, μπορούν να υπολογιστούν λύνοντας το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων ap 1 βr T p 2 + γ(p 1 R T p 2 ) = T για τα α 0, β 0 και γ Σύμπτωση των 3D σημείων που προκύπτουν από τουλάχιστον 3 εικόνες Στην περίπτωση που έχουμε δυο εικόνες, υπολογίζουμε τις τρισδιάστατες συντεταγμένες των κοινών σημείων τους ακολουθώντας τη μεθοδολογία που έχουμε αναπτύξει ως τώρα. Οι 3D συντεταγμένες που προκύπτουν είναι εκφρασμένες ως προς το σύστημα συντεταγμένων που ορίζει η κάμερα στην πρώτη της θέση. 38

39 Αν έχουμε περισσότερες από δυο εικόνες πρέπει να εκφράσουμε τα σημεία του τρισδιάστατου χώρου που προκύπτουν ως προς ένα κοινό σύστημα συντεταγμένων. Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία για τη δεύτερη και τρίτη εικόνα υπολογίζουμε όπως προηγουμένως σημεία του 3D χώρου. Τα σημεία όμως αυτά είναι εκφρασμένα στο σύστημα αναφοράς της δεύτερης θέσης της κάμερας, το οποίο είναι περιστραμμένο και μετατοπισμένο σε σχέση με το αρχικό κατά τις εξωτερικές παραμέτρους του συστήματος πρώτης και δεύτερης εικόνας. Πρέπει, λοιπόν, για να μπορούμε να ισχυριστούμε ότι έχουμε βρει σωστά τις συντεταγμένες των σημείων του χώρου από τις εικόνες 2 και 3 να εκφράσουμε τα σημεία που βρήκαμε ως προς το πρώτο σύστημα συντεταγμένων. Αν R είναι η περιστροφή της δεύτερης κάμερας ως προς την πρώτη και Τ η μετατόπισή της, ενώ Ρ είναι οι συντεταγμένες του σημείου (ή ο πίνακας με τις συντεταγμένες των σημείων) του 3D χώρου που έχουν υπολογιστεί ως προς το σύστημα αναφοράς της δεύτερης θέσης της κάμερας, τότε για να το εκφράσουμε ως προς το κοινό πρώτο σύστημα αναφοράς κάνουμε το μετασχηματισμό P = RP + T όπου Ρ είναι οι αντίστοιχες συντεταγμένες ως προς το πρώτο σύστημα αναφοράς. Για επιπλέον εικόνες συνεχίζουμε ανάλογα, λαμβάνοντας κάθε φορά υπόψη τις εξωτερικές παραμέτρους κάθε ζεύγους εικόνων μέχρι εκείνη τη στιγμή. Απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή στο γεγονός ότι χρειάζεται κάθε φορά να εκφράζουμε και τη μετατόπιση Τ της κάμερας από μια θέση στην επόμενη ως προς το κοινό σύστημα αναφοράς. Γενικά, για n ζεύγη εικόνων τα συνολικά R και Τ (τα διανύσματα Τ ήδη εκφρασμένα στο κοινό σύστημα αναφοράς) θα δίνονται από τους τύπους R = R n-1 Rn -2 R 3 R 2 R 1 T = T n-1 + T n T 3 + T 2 + T 1 όπου R i και Τ i οι εξωτερικές παράμετροι που περιγράφουν το σύστημα των εικόνων i και i + 1, για i = 1,,n-1. 39

40 40

41 Κεφάλαιο 5 Διορθώσεις πάνω στη μέθοδο Βελτιστοποίηση των αποτελεσμάτων 5.1 Ο αλγόριθμος RANSAC Ο αλγόριθμος των 8 σημείων αποτελεί μια απλή και εύκολη στην υλοποίηση μέθοδο υπολογισμού του πίνακα F ή του πίνακα Ε. Τα αποτελέσματα προκύπτουν ταχύτατα και είναι αρκετά αξιόπιστα. Όμως, σε περιπτώσεις που απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, μπορούν να υιοθετηθούν άλλες μέθοδοι. Μια από αυτές είναι η μέθοδος της αλγεβρικής ελαχιστοποίησης [10], η οποία είναι επαναληπτική μέθοδος που προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει το Αf με τη συνθήκη ότι f = 1, όπου f είναι το διαστάσεων 9 1 διάνυσμα που προκύπτει αν γράψουμε τα στοιχεία του πίνακα F το ένα μετά το άλλο, δηλαδή f = [ f 11, f 12, f 13, f 21, f 22, f 23, f 31, f 32, f 33 ] T και A ο πίνακας που προκύπτει από την εξίσωση px T 2 Fpx 1 = 0 και με τη χρήση του f γίνεται Af = 0. Άλλες μέθοδοι είναι η μέθοδος Gold Standard, η μέθοδος της παραμετροποίησης πινάκων βαθμού 2 [11] και η μέθοδος που χρησιμοποιεί την απόσταση Sampson [9, 12], οι οποίες προσπαθούν να ελαχιστοποιήσουν τη γεωμετρική απόσταση των εικόνων. Εμείς υιοθετήσαμε για τη βελτιστοποίηση των αποτελεσμάτων του αλγόριθμου των 8 σημείων τη μέθοδο RANSAC. Η μέθοδος RANSAC χρησιμοποιεί τον αλγόριθμο των 8 σημείων επαναληπτικά μέχρι να πετύχει να υπολογίσει τον πίνακα F (ή E) που θα ικανοποιεί την επιπολική γεωμετρία του συστήματος για όσο το δυνατόν περισσότερα σημεία. Επίσης κάνει και ένα «ξεκαθάρισμα» των αντίστοιχων σημείων, επιλέγει δηλαδή τα πιο σωστά, αυτά που ικανοποιούν πιστότερα την επιπολική γεωμετρία του συστήματος και πετάει τα «άχρηστα». Η φιλοσοφία του αλγόριθμου είναι η εξής: Θεωρούμε, όπως προηγουμένως, ότι είναι px 1 τα σημεία στην πρώτη εικόνα που αποτελούν προβολές των παρατηρούμενων σημείων του χώρου πάνω στο επίπεδο προβολής της πρώτης εικόνας και px 2 τα αντίστοιχά τους σημεία στη δεύτερη εικόνα. 41

42 Τα px 1 και px 2 είναι εκφρασμένα σε pixel συντεταγμένες. Το πλήθος των σημείων είναι n 8. Σε κάθε επανάληψη ο αλγόριθμος διαλέγει τυχαία 8 από τα σημεία αυτά και υπολογίζει, με τη χρήση του αλγόριθμου των 8 σημείων, τον θεμελιώδη πίνακα F (για τον οποίο ισχύει px T 2 Fpx 1 = 0). Έπειτα ελέγχει αν και κατά πόσο τηρείται η επιπολική γεωμετρία του συστήματος: Για κάθε ένα από τα ζεύγη αντίστοιχων σημείων υπολογίζει αν επαληθεύεται η σχέση px T 2 Fpx 1 = 0. Μετρά πόσα σημεία την επαληθεύουν, κρατά αυτά και πετάει τα υπόλοιπα. Η διαδικασία αυτή γίνεται για κάθε πίνακα F που έχει υπολογιστεί μέσα από τις επαναλήψεις του αλγόριθμου. Τελικά, επιλέγει εκείνο τον πίνακα για τον οποίο η σχέση px T 2 Fpx 1 = 0 ικανοποιείται για το μεγαλύτερο πλήθος αντιστοιχιών px 1 και px 2 και κρατάει από το σύνολο των ' ' σημείων τα ζεύγη εκείνα, px 1 και px 2, για τα οποία η παραπάνω σχέση ' ' ικανοποιείται. Τα σημεία px 1 και px 2 θεωρούνται πλέον σωστά και μόνο αυτά θα χρησιμοποιηθούν για την εύρεση των σημείων του 3D χώρου που αυτά παριστάνουν. Αντί των σημείων px 1 και px 2, που είναι οι αντιστοιχίες εκφρασμένες σε pixel συντεταγμένες και περιγράφουν τα σημεία πάνω στην εικόνα, ενδέχεται να έχουμε τα σημεία p 1 και p 2, που είναι τα ίδια σημεία με τα προηγούμενα, αλλά στον τρισδιάστατο χώρο, πάνω στα επίπεδα προβολής και εκφρασμένα στο σύστημα αναφοράς της κάθε κάμερας, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.1. Μπορούμε να κάνουμε αυτή τη μετατροπή από τις pixel συντεταγμένες στις συντεταγμένες της κάμερας αν γνωρίζουμε τις εσωτερικές της παραμέτρους. Στην περίπτωση που γνωρίζουμε τα σημεία p 1 και p 2, από την παραπάνω διαδικασία της μεθόδου RANSAC επιλέγεται αντί του πίνακα F, ο πίνακας Ε, καθώς και τα «καλά» σημεία και αποβάλλονται τα «κακά». Κατά τα υπόλοιπα βήματα η μέθοδος παραμένει όπως περιγράφηκε παραπάνω. Βλέπουμε ότι ο αλγόριθμος RANSAC εκτός του ότι προσφέρει μεγαλύτερη αξιοπιστία στον υπολογισμό του πίνακα F (ή του Ε), μέσω της επαναληπτικής διαδικασίας που ακολουθεί, ταυτόχρονα προχωρεί και σε επιλογή των καλύτερων σημείων, είναι ένας επιπλέον δείκτης για να διασφαλίσουμε ότι τα σημεία των δυο εικόνων που έχουμε βρει είναι όντως οι προβολές των ίδιων 3D σημείων. Βοηθά δηλαδή, ετεροχρονισμένα, και στον εντοπισμό καλών σημείων, στο πρόβλημα της αντιστοίχησης. 42

43 5.2 Βελτίωση των αποτελεσμάτων του RANSAC Ορισμένες φορές, λόγω του γεγονότος ότι κατά τη μέθοδο RANSAC τα 8 σημεία που υπολογίζουν τον πίνακα Ε λαμβάνονται τυχαία, είναι πιθανό να βρεθεί η περιστροφή R τέτοια ώστε ο οπτικός άξονας στη δεύτερη θέση της κάμερας να έχει μεν τη σωστή διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά, να φαίνεται, δηλαδή, σα να «κοιτά» προς την αντίθετη κατεύθυνση σε σχέση με την πραγματική. Το γεγονός αυτό, πέραν της τυχαίας λήψης των 8 σημείων, ενδέχεται να οφείλεται και σε σφάλμα των υπολογισμένων κοινών σημείων μεταξύ των εικόνων του ζεύγους. Μικρά τέτοια, αριθμητικά σφάλματα είναι δυνατό να προκαλέσουν ανεπιθύμητα αποτελέσματα. Για να καλύψουμε το μικρό αυτό ενδεχόμενο σφάλματος, επιβάλλουμε έναν επιπλέον έλεγχο έπειτα από τον υπολογισμό των R και Τ και αν ο οπτικός άξονας στη δεύτερη θέση της κάμερας είναι ανεστραμμένος, θεωρούμε ως R τον πίνακα περιστροφής που στρέφει τον οπτικό άξονα ώστε να αποκτήσει την ίδια διεύθυνση που ήδη έχει, αλλά την αντίθετη φορά. 5.3 Έκφραση της μετατόπισης της κάμερας από θέση σε θέση ως προς την αρχική μετατόπιση Υπολογίζοντας τους πίνακες περιστροφής, R, και μετατόπισης Τ από τον πίνακα Ε, έχουμε αναφέρει ότι μπορούμε να προσδιορίσουμε το διάνυσμα Τ ως προς κάποια κλίμακα. Αυτό σημαίνει ότι είμαστε σε θέση να προσδιορίσουμε επακριβώς τη φορά και τη διεύθυνσή του, αλλά όχι και το μέτρο του. Έτσι, αυτό που μπορούμε να κάνουμε ώστε να επιτύχουμε ακόμη μεγαλύτερη ακρίβεια στην εκτίμηση της τροχιάς της κάμερας αλλά και στην 3D ανακατασκευή των σημείων, είναι να θεωρήσουμε ως βάση το μέτρο της μετατόπισης της κάμερας από την πρώτη θέση στη δεύτερη και να εκφράσουμε τις υπόλοιπες μετατοπίσεις σε σχέση με την πρώτη μετατόπιση. Αφού, λοιπόν δε μπορούμε να βρούμε το απόλυτο μέτρο της μετατόπισης, αυτό που πρέπει και μπορεί να γίνει είναι να τις εκφράσουμε όλες ως προς μια κοινή βάση αναφοράς. 43

44 5.4 Η γεωμετρία του συστήματος Η φιλοσοφία της μεθόδου που ακολουθούμε προκύπτει από τη γεωμετρική ανάλυση του παρακάτω σχήματος. Σχήμα 5.1 Με Ο 1, Ο 2 και Ο 3 παριστάνουμε τα κέντρα προβολής της κάμερας σε τρεις διαδοχικές θέσεις, ενώ Ρ είναι ένα σημείο του 3D χώρου που φαίνεται και από τις τρεις θέσεις της κάμερας. t 1 είναι το διάνυσμα της μετατόπισης της κάμερας από την πρώτη θέση στη δεύτερη και t 2 το αντίστοιχο από τη δεύτερη στην τρίτη θέση (οι μετατοπίσεις γίνονται στον 3D χώρο). Θεωρούμε ως βάση αναφοράς το μέτρο του διανύσματος t 1 και επιδιώκουμε να εκφράσουμε το μέτρο του διανύσματος t 2 ως προς το μέτρο του t. Από τη σχέση του εσωτερικού γινομένου των διανυσμάτων O P, ) μπορούμε 1 να υπολογίσουμε τη γωνία φ 1 ως εξής: ( 1 t1 φ 1 = συν 1 O1P t1 ( O P t 1 1 ). Με όμοιο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε τις γωνίες θ 1, φ 2 και θ 2, επομένως και τις γωνίες ω 1 και ω 2, ως παραπληρωματικές των αθροισμάτων φ 1 + θ 1 και φ 2 + θ 2 αντίστοιχα. Το Ο 2 Γ είναι το ύψος του τριγώνου Ο 1 Ο 2 Ρ από την κορυφή Ο 2 και το 44

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική Ο15 Κοίλα κάτοπτρα 1. Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η εύρεση της εστιακής απόστασης κοίλου κατόπτρου σχετικά μεγάλου ανοίγματος και την μέτρηση του σφάλματος της σφαιρικής εκτροπής... Θεωρία.1 Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΟΠΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Κουλουμέντας Παναγιώτης Σχολή Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Χανιά,Νοέμβριος 2014 Επιτροπή: Ζερβάκης Μιχάλης (επιβλέπων)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM)"

Σημειώσεις για το μάθημα Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM) ΑΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM" Εαρινό εξάμηνο 5 Χ. Οικονομάκος . Γενικά Χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών στα προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

«Ταχεία και ακριβής ψηφιοποίηση τρισδιάστατων σκηνών µε χρήση βαθµονοµηµένων καµερών»

«Ταχεία και ακριβής ψηφιοποίηση τρισδιάστατων σκηνών µε χρήση βαθµονοµηµένων καµερών» ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Ταχεία και ακριβής ψηφιοποίηση τρισδιάστατων

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης 1 Σκοπός ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο)

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Άσκηση Η15 Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Το γήινο μαγνητικό πεδίο αποτελείται, ως προς την προέλευσή του, από δύο συνιστώσες, το μόνιμο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα

Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Αναπαράσταση μοντέλου Το 3D μοντέλο το αποθηκεύουμε στην μνήμη με τις εξής δομές δεδομένων: Λίστα κορυφών Λίστα τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα