Does this algorithm halt? Yes
|
|
|
- Νέφθυς Μπότσαρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Does this algorithm halt? Yes No
2
3 REC RE
4
5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0,, 2 A,,,,, A, A,,,,,,,,, A P n A P A A n N n f A B f : A B f ((a, b 1 ) f (a, b 2 ) f) b 1 = b 2 (a, b) f f(a) = b f : A B f b B a A((a, b) f) f ((a 1, b) f (a 2, b) f) a 1 = a 2 f : A B f a A b B((a, b) f) f(a) = B f : A B f dom(f) = {a A f(a) B} A
6 f im(f) = {b B a A(f(a) = b)} B f : A B f f 1 : im(f) dom(f) f 1 (x) = y y f(y) = x f : A B g : B C f g g f : A C g(f(x)), x dom(f) g f(x) =, χ A : A {0, 1} A 1, a A χ A (a) = 0, N Z [n] {1,..., n} n N R A A N A N A, B f : A B A N A = ℵ 0 A A < 2 A f : A 2 A B = {x A x f(x)} B A f b A f(b) = B b B b B x x! : x y : x y x y : x y {0, 1} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {q, w, e, r, t, y, u, i, o, p, a, s, d, f, g, h, j, k, l, z, x, c, v, b, n, m,,.,?,!} 0
7 Σ Σ {0, 1} 1917 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} mpla {q, w, e, r, t, y, u, i, o, p, a, s, d, f, g, h, j, k, l, z, x, c, v, b, n, m,,.,?,!} w Σ w w = = 4 mpla = 4 ϵ 0 Σ i = {w Σ w = i} i N Σ Σ = Σ i i=1 Σ w w R w mpla R = alpm w 1 = x 1 x m w 2 = y 1 y n Σ w 1 w 2 w 1 w 2 w 1 w 2 = x 1 x m y 1 y n w, w Σ w w w 1, w 2 Σ w 1 = ϵ w 2 = ϵ w = w 1 w w 2 Σ σ : Σ [ Σ ] Σ σ {0, 1} σ(0) = 1 σ(1) = 2 ϵ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, $, Σ σ($) > σ( ) $
8 Σ σ : Σ [ Σ ] Σ σ Σ N Σ = ℵ 0 Σ σ : Σ [ Σ ] w, w Σ w w σ w < σ w Σ σ w < w w w w w 11 < 000 Σ x Σ x k x x k k N Σ x Σ L Σ Σ {0, 1} L = {w {0, 1} w = 0 n 1 n, n N} L = {w {0, 1} w = w R } L = L = {ϵ} Σ L 1, L 2 Σ L 1 L 2 = {w Σ w 1 L 1 w 2 L 2 (w = w 1 w 2 )} Σ L Σ L 0 = {ϵ} L 1 = L L n = LL n 1 L = L i i N Σ Σ Σ {[, ],,, } Σ a, b [ab] a, b [a b] a a (01) = 011 = 0101
9 R Σ Σ [0 1 ], [0 1 ], [[01 ]0], [01] {0, 1} Σ L : R Σ 2 Σ {a} L(x) = L(a)L(b) L(a) L(b) L(a), x =, x = a Σ, x = [ab] a, b R Σ, x = [a b] a, b R Σ, x = a a R Σ L [[0 1] 0] {0, 1} L([[0 1] 0]) = L([0 1] )L(0) = L([0 1]) {0} = (L(0) L(1)) {0} = ({0} {1}) {0} = {0, 1} {0} = {w {0, 1} w 1 {0, 1} (w = w 1 0)}
10
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Q, Σ, Γ Q q 0, q, q Q q q q 0 q, q Σ Γ Σ Γ, Γ Σ δ : Q Γ Q Γ {, } a Γ q {q, q }(δ(q, a) = ) q, q Q {q, q } a Γ(δ(q, ) = (q, a, x) x = ) M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) w Σ M M Γ Γ M w w M Q M w
12 w q q q 0 q1 q2 δ (q 3, 0, q 4, 3, ) δ M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) M w M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) q 3 100q (Γ Q) M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) w Σ M w M(w) q 0 w M(w) w 1 qw 2 w 1, w 2 Γ q {q, q } M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) a i Γ, i [n] q Q a 1 a 2 a i 1 qa i a n
13 q q q 0 q1 q2 q 3 q 4 q q q 0 q1 q2 q 3 q 4 δ(q, a i ) = (p, b, ) i > 1 a 1 a 2 a i 2 pa i 1 ba i+1 a n a 1 a 2 a i 1 qa i a n M a 1 a 2 a i 2 pa i 1 ba i+1 a n δ(q, a i ) = (p, b, ) i > 1 a 1 a 2 a i 1 bpa i+1 a n a 1 a 2 a i 1 qa i a n M a 1 a 2 a i 1 bpa i+1 a n M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) w Σ C 1, C 2 M(w) C 1 M C 2 C 1 C 2 M M C 1 M C 2 C 1 C 2 M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) w Σ M(w) C 1,..., C n C 1 C i M C i+1 i [n 1] C(C M C) C 1 M C n C 2,..., C n 1(C 1 M C 2 M M C n 1 M C n)
14 0/0, /, /, q q 0 1/1, q M(w) w 1, w 2 Γ q {q, q } q 0 w M w 1 qw 2 q = q M(w) q M w q = q M(w) q M w M(w) M(w) M w Σ M(w) t q M(w) t q t N M(w) M(w) M(w) t M(w) q q M(w) q M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) M L(M) = {w Σ M(w) q } δ M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Q = {q 0, q, q } Σ = {0, 1} Γ = {,, 0, 1} δ = {(q 0, 0, q 0, 0, ), (q 0,, q 0,, ), (q 0,, q,, ), (q 0, 1, q, 1, )} δ L(M) = {w {0, 1} w = 0 n, n N} M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Q = {q 0, q, q }
15 /, q 0 q q Σ { } q q Σ = {0, 1} Γ = {,, 0, 1} δ L(M) = M = (Q, Σ, Γ, δ, q, q, q ) Q = {q, q } Σ = {0, 1} Γ = {,, 0, 1} δ L(M) = {0, 1} L Σ L M L = L(M) w L M(w) q L Σ L M w L M(w) q w L M(w) q
16 1/1, 1/1, 0/0, q 0 q 1 /, 0/0, /, q q 1/1, 1/1, 1/1, 0/0, 0/0, 0/0, q 0 q 1 q 2 q /, /, /, q L = {w {0, 1} 0 w } L w {0, 1} 0 w M(w) q 0 w M(w) q L = {w {0, 1} 0 w 3} L L = {w {0, 1} w = w R } L M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Q = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q, q } Σ = {0, 1} Γ = {,, 0, 1, } δ Σ {0, 1} 2 {0,1} {A, B, C} A 01 B 011 C 0111 ACAB
17 /, /, 0/, 0/0, 1/1, q 1 /, /, q 2 /, 0/, q q 0 /, /, q 3 0/0, 1/1, 1/, 1/, q 4 q 5 /, 1/1, /, 0/0, 0/0, 1/1, q 2 {0,1} RE REC REC RE RE = {L {0, 1} L} REC = {L {0, 1} L} REC RE 2 {0,1} L RE REC L 2 {0,1} RE
18 0/, 1/, /, 1/1, /1, q 0 q 1 /, q 2 /, q q Σ { } 0/, /, 0/0, q 0 /0, q 1 /, q 2 /, q 1/1, 1/1, q q 3 /, Σ { } q 3 f : Σ Σ M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) w dom(f)( q 0 w M qf(w)) q {q, q } M f id : Σ Σ id(x) = x f : {0, 1} {0, 1} f(x) = 1 f : {0, 1} {0, 1} f(x) = 0, x {0 n n N}, : Σ Σ (x) = M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) q
19 1/1, 0/0, 1/1, 1/1, q 0/0, 0 q 1 /, q 2 0/1, q 3 1/0, /0, q 4 /, q /, q 1/0, {0, 1} 0/0, 1/1, 0/, q 0 /, q 1 /, q 2 /, 1/, q 4 /0, q 3 /1, q q M space next : {0, 1} {0, 1} next(x) = x {0, 1} M next space : {0, 1} {0, 1, } space(x) = x M space f : {0, 1} {0, 1, } f(x) = x M space L REC M L w M w L w / L
20 0/0, 1/1, 0/, q 0 /, q 1 /, q 2 /, 1/, q 4 /0, q 3 /1, q 6 q 5 /, 0/0, 1/1, 0/, q 9 /0, q /, 7 q 8 /, q 10 /, 1/, q 11 /1, q q L RE M L w M w L f : Σ Σ M x M f(x) x dom(f) M(x) M x f(x)
21 M x f 1 (x) M 1 M 2 f 2 (f 1 (x)) f 2 f 1 y ϵ y M f f(y) f(y) = x M y x y next(y) M next f 1 f 1, f 2 : Σ Σ f 2 f 1 M 1 M 2 f 1 f 2 M f 2 (f 1 (x)) Σ M(x) f 1 (x) = f 2 (f 1 (x)) = M(x) M f 2 f 1 f : {0, 1} {0, 1} f 1 M f f M f M next y ϵ f L Σ L REC χ L L M space
22 M x M L 1 0 χ L L REC x M χl M L χ L ( ) L REC M L χ L ( ) M χl χ L M L M ϕ M : {0, 1} {0, 1} M f : {0, 1} {0, 1} ϕ M (x) = f(x) M 1, M(x) q ϕ M (x) = 0, M(x) q, M(x) ϕ M M 1 M 2 ϕ M1 = ϕ M2 E = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) Q, Σ, Γ Q q 0, q Q q Q ϕ M χ L(M) L(M) REC
23 q q 0 q1 q2 q 0 /, q /1, {1 n n N} Σ Γ Σ Γ,, Γ Σ E δ : Q Γ Q Γ {, } q, q Q a Γ(δ(q, ) = (q, a, x) x = ) E q w pop E (w) pop(w) E E E = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) E L(E) = {w Σ w Γ ( q 0 E w wq )} L(E) = {w Σ pop E (w)} L Σ E = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) L = L(E) E L(E) = {1 n n N} E L(E) = {(10) n n N}
24 q 0 /, /1, q q 1 /0, {(10) n n N} x M E pop(w) x = w L E E L E pop(w), w L L Σ L RE E = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) L(E) = L ( ) ( ) E L M L L L RE L Σ E = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) L(E) = L E L L Σ L REC E = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ) L ( ) L REC M L E L ( ) E L M L
25 w ϵ w M L w w q E pop(w) next(w) w M next w L REC M M x x = x x < w w w = E pop(w) x = w L E L L REC k M k = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Q, Σ, Γ Q q 0, q, q Q q q Σ Γ Σ Γ, Γ Σ δ : Q Γ k Q Γ k {, } k
26 1 q q q 0 q1 q2 2 k k a 1,..., a k Γ q {q, q }(δ(q, a 1,..., a k ) = ) i [k] q, q Q {q, q } a 1,..., a k, b 1,..., b k Γ x 1,..., x k {, }(δ(q, a 1,..., a k ) = (q, b 1,..., b k, x 1,..., x k ) a i = x i = ) M k M k k k M k k k k N M k = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) k M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Γ = Γ { } {ȧ a Γ { }} { } M k k M k M k M k M δ Q M k i N i k i i > k M k M δ Q M
27 q q q 0 q1 q q q q 0 q1 q2 k M δ M k M space δ M w = w 1 w n Σ M w 1 w n M w 1 w n
28 M w 1 w 2 M M w 1 w 2 M k = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Q, Σ, Γ Q q 0, q, q Q q q Σ Γ Σ Γ, Γ Σ δ Q Γ Q Γ {, } a, b Γ q Q x {, }((q, a, q, b, x) δ q, a, q, b, x) δ) q Q {q, q } q Q a Γ((q,, q, a, x) δ x = ) N δ N N q N 0q N 00q 0 10 N 001q 0 2 q N 0q N 00q 0 10 N 001q 0
29 0/0, 1/1, q q 0 1/1, q N = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) N L(N) = {w Σ w 1, w 2 Γ ( q 0 w N w 1 q w 2 )} q L Σ N N L L = L(N) L Σ N N L L = L(N) w Σ N(w) f : Σ Σ N N f w Σ w dom(f) N(w) qf(w) q {q, q } w dom(f) N(w) L = {w {0, 1} w 1} N ND N N ϵ N(ϵ)
30 N = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) M w Σ (w L(N) w L(M)) w Σ N(w) k N q M(w) k w Σ w L(N) k 0 N N(w) q N(w) k 0 M(w) q w L(M) w L(N) k N N(w) q M(w) w L(M) N(w) (q, a) q Q a Γ r = Q Γ 2 δ(q, a) N(w) r r [r] N(w) k k N c {1,..., r} k N D w c {1,..., r} N(w) N D (w) c c 0 [r] N(w) c 0 N(w) c q N D (w) c N D (w) q i [ c ] c i N N D (w) q M next w {1,..., r} next(w) {1,..., r} M w N D M M M c = c 1 c k i k c i δ
31 w c N N D N D w 2 w c ϵ 3 w c N D M next(c) N D (w, c) q M next 3 c M {0, 1} Σ Σ Σ M = (Q, {0, 1}, {,, 0, 1}, δ, q 0, q, q ) δ M M δ δ Σ = {0, 1, q, s, d, } δ M w M(w)
32 Q q {0, 1} i = 2 Q q 0 Σ = q i q 1 Σ = q00 01 q 2 Σ = q00 10 q Σ = q11 10 q Σ = q11 11 {,, 0, 1} Σ = s00 Σ = s01 0 Σ = s10 1 Σ = s11, Σ = d0 Σ = d1 (a, q, b, p, x) δ a, b {,, 0, 1} q, p Q x {, } (a, q, b, p, x) Σ = a Σ q Σ b Σ p Σ x Σ δ = {δ 1, δ 2,..., δ k } δ δ Σ = δ 1 Σ δ 2 Σ δ k Σ q00s10q00s10d1 q00s00q00s00d1 q00s01q01s01d1 q00s11q11s11q1 M Σ δ Q = n M n {0,1} δ Σ n {0,1} n
33 {0, 1, q, s, d, } {0, 1} 0 {0,1} = 01 1 {0,1} = 011 q {0,1} = 0111 s {0,1} = d {0,1} = {0,1} = {0, 1} M G = { M {0, 1} M } G {0, 1} Gödel : G N Gödel(M) = M {0, 1} Gödel(M) M G REC Gödel Gödel L 2 {0,1} RE Gödel G N G = ℵ 0 2 {0,1} > ℵ 0 G 2 {0,1} L 2 {0,1} M L(M) = L {0, 1} M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) w M {0, 1} M(w) 1 ( M, w ) M, w ( M, w ) δ {0, 1, q, s, d} Gödel(M) Gödel( M ) {0, 1} M, w
34 M M M(w) M 2 w 1 q 0 3 M(w) ( M, w ) M q 3 q q q 2 3 w Σ M, w M(w) q M(w) q
35 ϵ (ϵ, 0) (ϵ, 1) (ϵ, 2) (ϵ, 3) (ϵ, 4) 0 (0, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3) (0, 4) 1 (1, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) 00 (00, 0) (00, 1) (00, 2) (00, 3) (00, 4) 01 (01, 0) (01, 1) (01, 2) (01, 3) (01, 4) np {0, 1} N M L M L (w, t) (ϵ, 0) (w, t) M L (x) x Σ (x w) t E np(w, t) M np (w, t) (w, t) x i1,..., x in pop(x ij ), j [n] E L M L M w M(w) M(w) Σ np : Σ N Σ N np M np ( ) ( ) M L L M np E L
36 REC RE w M 1 M M 2 w M L 1 L 2 REC RE L 1, L 2 Σ L 1, L 2 REC L 1 L 2 REC L 1, L 2 RE L 1 L 2 RE M 1, M 2 L 1, L 2 M L 1 L 2 L 1, L 2 Σ L 1, L 2 REC L 1 L 2 REC L 1, L 2 RE L 1 L 2 RE w M 1 M M 2 w M L 1 L 2 M 1, M 2 L 1, L 2 M L 1 L 2 M 1, M 2 L 1, L 2 M L 1 L 2 L Σ L REC L REC M L L M L L
37 t + 1 t 0 t M 1 M 1 M w M 1 (w) t t t + 1 (w, t) M 2 M 2 t M 2 (w) t M L 1 L 2 M L w M L M L L L Σ L RE L RE L REC L 1, L 2 Σ L 1, L 2 REC L 1 L 2 REC L 1, L 2 RE L 1 L 2 RE L Σ L REC L REC L RE L RE L Σ L R = {w Σ w R L} L REC L R REC L RE L R RE L Σ L p = {w L w = w R } L REC L p REC L RE L p RE
38 REC RE
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 {0, 1} w {0, 1} n w 2 {0,1} {0, 1} N N f : N m N m 1 s(x) = x + 1 c m q (x 1,..., x m ) = q q N q p m i (x 1,..., x m ) = x i 1 i m i {0, 1} ϵ, 00, 01 {0, 1} {0, 1} N f = s m = 1
40 g : N n N h i : N m N 1 i n g h i, 1 i n f(x 1,..., x m ) = g(h 1 (x 1,..., x m ),..., h n (x 1,..., x m )) g : N m 1 N h : N m+1 N f(0, x 1,..., x m 1 ) = g(x 1,..., x m 1 ) f(y + 1, x 1,..., x m 1 ) = h(f(y, x 1,..., x m 1 ), y, x 1,..., x m 1 ) m = 0 c 0 q = q q N m = 1 f : N N f(0) = c 0 q f(y + 1) = h(f(y), y) h : N 2 N f : N 3 N f(x, y, z) = x + 1 plus : N 2 N plus(x, y) = x + y plus f(x, y, z) = s(p 3 1(x, y, z)) plus(0, y) = p 1 1 (y) plus(x + 1, y) = f(plus(x, y), x, y) mult : N 2 N mult(x, y) = x y mult(0, y) = c 1 0 (y) mult(x + 1, y) = plus(p 3 1 (mult(x, y), x, y), p3 3 (mult(x, y), x, y)) plus fact : N N fact(x) = x! mult fact(0) = c 0 1 fact(x + 1) = mult(fact(x), s(x)) m > 1 m = 1 x
41 0, x = 0 pd : N N pd(x) = x 1, pd(0) = c 0 0 pd(x + 1) = p 2 2 (pd(x), x) : N 2 N (x, y) = 0, x < y x y, (x, 0) = p 1 1 (x) (x, y + 1) = pd(p 3 1 ( (x, y), x, y)) pd x y (x, y) min : N 2 N min(x, y) = {x, y} min(x, y) = x (x y) max : N 2 N max(x, y) = {x, y} max(x, y) = plus(x, y) min(x, y) plus, min exp : N 2 N exp(x, y) = x y exp(x, 0) = c 1 1 (x) exp(x, y + 1) = mult(p 3 1 (exp(x, y), x, y), p3 3 (exp(x, y), x, y)) mult P N m m 1 χ P : N m {0, 1} {(x, y) N 2 x = y} χ = (x, y) = c 0 1 plus(x y, y x) plus (x, y) = f(p 2 2(x, y), p 2 1(x, y)) f(0, y) = p 1 1(y) f(x + 1, y) = pd(p 3 1(f(x, y), x, y))
42 {(x, y) N 2 x y} χ (x, y) = c 0 1 (x y) {(x, y) N 2 x < y} χ χ < (x, y) = χ (s(x), y) P N m g : N m N h : N m N m 1 f : N m N g(x 1,..., x m ) f(x 1,..., x m ) = h(x 1,..., x m ), (x 1,..., x m ) P, f(x 1,..., x m ) = χ P (x 1,..., x m ) g(x 1,..., x m ) + (1 χ P (x 1,..., x m )) h(x 1,..., x m ), 1 c m 1 (x 1,..., x m ) +, exp rm : N 2 N rm(x, y) = x y rm(0, y) = 0 x + 1, y = 0 rm(x + 1, y) = rm(x, y) + 1, rm(x, y) + 1 < y 0, = <
43 {(x, y) N 2 x y} χ (x, y) = 1 rm(y, x) rm qt : N 2 N qt(x, y) = x y qt(0, y) = 0 0, y = 0 qt(x + 1, y) = qt(x, y) + 1, rm(x + 1, y) = 0 qt(x, y), rm gcd : N 2 N gcd(x, y) = x y rm 0, x = 0 y = 0 gcd(y, x), x < y gcd = y, y x gcd(x, rm(x, y)), dn : N 2 N dn(x, y) = y x χ dn(0, y) = 0 dn(x + 1, y) = dn(x, y) + χ (x + 1, y) Prime = {x N x } dn 1, dn(x, x) = 2 χ Prime (x) = 0, P N m+1 m 1 y N {i y (i, x 1,..., x m ) P }, (µ i y)[(i, x 1,..., x m ) P ] = y + 1,
44 P N m+1 m 1 f : N m+1 N f(y, x 1,..., x m ) = (µ i y)[(i, x 1,..., x m ) P] g(y, x 1,..., x m ) = prod(y, 1 χ P (i, x 1,..., x m )) f(y, x 1,..., x m ) = sum(y, x 1,..., x m ), P N m+1 g : N m N m 1 f : N m+1 N f(z, x 1,..., x m ) = (µ i g(x 1,..., x m ))[(i, x 1,..., x m ) P] pn : N N pn(x) = x pn(0) = 2 pn(x + 1) = (µ i fact(pn(x)) + 1)[(i, x) P] P = {(x, y) N 2 y < x x Prime} fact pn P n N p n < p n! + 1 χ P (x, y) = χ < (y, x) + χ Prime (x) 1 χ < χ Prime n! + 1 p < n! + 1 p n! + 1 p n! 1 p 1, 2,..., n p n < p n! + 1 sum(y, x 1,..., x m) = g(i, x 1,..., x m) y i=0 y prod(y, x) = h(i, x) g : N m+1 N h : N 2 N i=0
45 g : N m+1 N m 1 y N g µ (µ i y)[g(i, x 1,..., x m )=0]={i y (g(i, x 1,..., x m )=0) ( j (y j <i g(i, x 1,..., x m )>0))} i y g(i, x 1,..., x m ) = 0 (µ i y)[g(i, x 1,..., x m ) = 0] = g j y (µ i y)[g(i, x 1,..., x m ) = 0] = i j g(i, x 1,..., x m ) = 0 f : N m N m 1 µ P N m m 1 µ χ P : N m {0, 1} p N p p + 2 tpn : N N tpn(x) = x tpn(0) = 3 tpn(x + 1) = (µ i tpn(x) + 1)[2 (χ Prime (i) + χ Prime (i + 2)) = 0] χ Prime tpn tpn
46 A(0, y) = y + 1 A(x + 1, 0) = A(x, 1) A(x + 1, y + 1) = A(x, A(x + 1, y)) f : N m N x 0, x 1,..., x n 1 n i (x i +1) = n i i n i 5, 5 2, = 2 n N enc n : N n N n dec : N 2 N dec(x, y) = x y enc n dec enc n (x 0,..., x n 1 ) = pn(0) x 0+1 pn(n 1) x n 1+1 (µ i y)[pn(x) i+1 y] 1, pn(x) y dec(x, y) = y + 1, +1 0 dec (x, y) N 2 y
47 pn pn(x) i+1 y (pn(x) i+1, y) N {(x, y) N 2 x y} f M M M n N M(n) f(n) ( ) ( ) f : N N M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) M Q = {q 0, q 1,..., q n } q n Σ = {1} Γ = {a 0, a 1,..., a k } a 0 = a 1 = a 2 = 1 M M M N M(w) M 0 1 n 1 1 (n+1) M n q n 1 1 (f(n)+1)
48 q i Q q i N = i a i Γ a i N = i w 1 w n Γ w 1 w n N = enc n ( w 1 N,..., w n N ), N = 0 N = 2 w 1 q i w 2 i w w 1 w 2 N w 1 q i w 2 N = enc 3 (i, w 1 + 1, w 1 w 2 N ) q N = enc 3 (0, 2, 1 1 N ) (n+1) (n+1) x N M(n) x cs(x) = dec(0, x) ctp(x) = dec(1, x) ctn(x) = dec(2, x) cts(x) = dec(ctp(x), ctn(x)) tr M : N 2 N tr M (x, y) = M(x) y δ tr M (x, 0) = q N (x+1) δ(q i0, b 0 ) = (q j0, c 0, d 0 ) δ(q i1, b 1 ) = (q j1, c 1, d 1 ) δ(q im, b m ) = (q jm, c m, d m )
49 q ir, q j,r Q b r, c r Γ d r {, } r [m] ns : N N j 0 j 1 ns(x) = j m cs(x), cs(x) = i 0 cts(x) = b 0 N, cs(x) = i 1 cts(x) = b 1 N, cs(x) = i m cts(x) = b m N, ntp : N N ctp(x) + d 0 N 1 ctp(x) + d 1 N 1 ntp(x) = ctp(x) + d m N 1 ctp(x), cs(x) = i 0 cts(x) = b 0 N, cs(x) = i 1 cts(x) = b 1 N, cs(x) = i m cts(x) = b m N, nts : N N c 0 N, cs(x) = i 0 cts(x) = b 0 N c 1 N, cs(x) = i 1 cts(x) = b 1 N nts(x) = c m N, cs(x) = i m cts(x) = b m N cts(x), M x N ctn(x) ctp(x) cts(x) + 1 nts(x) + 1 ctn(x) pn(ctp(x)) cts(x)+1 pn(ctp(x)) nts(x)+1 pn ntn : N N ntn(x) = qt(ctn(x), pn(ctp(x)) cts(x)+1 ) pn(ctp(x)) nts(x)+1 qt tr M tr M tr M (x, 0) = q N (x+1) tr M (x, y + 1) = enc 3 (ns(tr M (x, y)), ntp(tr M (x, y)), ntn(tr M (x, y))) cs ctp ctn cts ns ntp nts ntn tr M 0 2
50 M x N t tr M (x, t ) = tr M (x, t) t t M(x) t tr M (x, t + 1) tr M (x, t) M(x) tr M M(x) t N tr M (x, t + 1) = tr M (x, t) term : N N term(x) = (µ t 0)[1 χ = (tr M (x, t + 1), tr M (x, t)) = 0] M(x) χ = f(x) dec(2, tr M (x, term(x))) f(x) M TM µ M M ntp(tr M (x, t)) ctp(tr M (x, t)) tr M (x, t + 1) tr M (x, t)
51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 G = (V, Σ, R, S) V Σ V V Σ S V Σ R V (V Σ)V V V (V Σ)V = {w V w 1, w 2 V a V Σ (w = w 1 aw 2 )}
52 G = (V, Σ, R, S) (u, v) R u v G = (V, Σ, R, S) G, G V V u G v w 1, w 2 V u v u = w 1 u w 2 v = w 1 v w 2 u G v n N u 1,..., u n V u G u 1 G G u n G v u G v u v G G = (V, Σ, R, S) G L(G) = {w Σ S G w} w L(G) w G G 1, G 2 L(G 1 ) = L(G 2 ) G = (V, Σ, R, S) V = {0, 1, S} Σ = {0, 1} R = {S 0S1, S ϵ} G S G 0S1 G 00S11 G 000S111 G S 0S1 S ϵ L(G) = {0 n 1 n {0, 1} n N} G = (V, Σ, R, S) V = {A, B, C, T a, T b, T c, S} Σ Σ = {a, b, c} R = {S ABCS, S T c, CA AC, BA AB, CB BC, CT c T c c, CT c T b c, BT b T b b, BT b T a b, AT a T a a, T a ϵ} u v u v w V S 0S1 ϵ
53 G S G ABCS G ABCABCS G ABCABCABCS G ABCABCABCT c G ABACBCABCT c G AABCBCABCT c G AABBCCABCT c G AABBCACBCT c G AABBACCBCT c G AABABCCBCT c G AAABBCCBCT c G AAABBCBCCT c G AAABBBCCCT c G AAABBBCCT c c G AAABBBCT c cc G AAABBBT b ccc G AAABBT b bccc G AAABT b bbccc G AAAT a bbbccc G AAT a abbbccc G AT a aabbbccc G T a aaabbbccc G aaabbbccc S ABCS S ABCS S ABCS S T c CA AC BA AB CB BC CA AC CA AC BA AB BA AB CB BC CB BC CT c T c c CT c T c c CT c T b c BT b T b b BT b T b b BT b T a b AT a T a a AT a T a a AT a T a a T a ϵ L(G) = {a n b n c n {a, b, c} n 1} L Σ G ( ) L RE M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q )
54 M q M q q σ Q G M = (V, Σ, R, S) V = Γ Q {S} R = {S q } {bp qa q, p Q {q σ } a, b Γ (δ(q, a) = (p, b, ))} {p b qa q, p Q {q σ } a, b Γ (δ(q, a) = (p, b, )) Γ} {q σ qa q Q a Γ (δ(q, a) = (q σ,, )) Γ} { q q σ } { q 0 ϵ, ϵ} w Σ M w 1 qw 2 M(w) w 1, w 2 Γ q Q w 1 qw 2 (Γ Q) R δ M(w) q q 0 w M(w) q S G M w L(G M ) = L(M) = L ( ) G = (V, Σ, R, S) M G = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 q, q ) V Γ L(G) M G G M G w Σ G S R u v R M G u u v M G G M M Q Σ C 1 M C 2 C 1, C 2 M(w) G M C 2 GM C 1 C 1, C 2 (Γ Q) M G
55 M G q M G w G M G (w) q L(M G ) = L(G) k G = (V, Σ, R, S) f : Σ Σ x, y Σ SxS G y f(x) = y f : Σ Σ f : {1} {1} f(x) = xx G = ({1, S}, {1}, S, R) R = {S1 11S, SS ϵ} f : Σ Σ G = (V, Σ, R, S) u v R u v G = (V, Σ, R, S) G = (V, Σ, R, S) u v R w 1 Aw 2 w 1 ww 2 w, w 1, w 2 V A V u ϵ L {0, 1} CS L = {a n b n c n {a, b, c} n 1} G = (V, Σ, R, S) V = {A, B, C, T b, T c, S} Σ Σ = {a, b, c} R = {S abc, S asbc, CB CT c, CT c T b T c, T b T c T b C, T b C BC, ab ab, bb bb, bc bc, cc cc} A w 1 w 2 u L {a, b, c} {0, 1} L = {(010) n (0110) n (01110) n {0, 1} n 1} T a ϵ
56 w q q q 0 q1 q2 M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) Γ Σ M M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) c N Γ δ w w Σ c w L {0, 1} CS REC M ϵ L Σ M L {ϵ}
57 L REC CS {0, 1} G = (V, Σ, R, S) V = {v 1, v 2,..., v n } Σ n N Σ = {0, 1} R = {x 1 y 1, x 2 y 2,..., x l y l } l N R V {, ; } R V {,;} = x 1 y 1 ; x 2 y 2 ; ; x l y l V {, ; } {0, 1} 0 {0,1} = {0,1} = 0110 {0,1} = ; {0,1} = v i {0,1} = i [n] (i+5) G R V {,;} {0,1} G G {0,1} L CS M G LBA G M G M G L {0, 1} {0, 1} L = { G {0, 1} G G L(G)} L REC M L G G L G L(G) G L
58 w M w = G G G M G LBA M G G M G G M G ( G ) q M G ( G ) q L M G LBA G = (V, Σ, R, S) R (V Σ) V L {0, 1} CF L = {0 n 1 n {0, 1} n N} G M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) δ Q (Σ {ϵ}) (Γ {ϵ}) Q (Γ {ϵ}) (p, a, b, q, c) δ M q a Σ {ϵ} b Γ {ϵ} p c Γ {ϵ} b a = ϵ b = ϵ M c c = ϵ M b A u A u V M
59 w q q q 0 q1 q2 L {0, 1} {0, 1} L {0, 1} x R {0,1} L = L(x) R G = (V, Σ, R, S) R G = (V, Σ, R, S) V = {0, 1, A, S} Σ = {0, 1} R = {S 0S, A 1A, S A, A ϵ} L(G) = {0 n 1 m {0, 1} n, m N} M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) δ Q (Σ {ϵ}) Q L {0, 1} A Bu A a A ϵ A, B a u Σ
60 RE CS CF R 2 {0,1} RE REC CS CF R L R G L(G) = L M L(M) = L R CF CS RE R CF CF CS CS RE
61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 2 gcd
62 10 m P (x 1,..., x n ) = a i x k 1 i 1 xkn i n = 0 i=1 a i Z k 1i,..., k ni N x 1,..., x n i [m] P (x 1,..., x n ) = 0 n (z 1,..., z n ) Z n P (z 1,..., z n ) = 0 3x 2 2xy y 2 z 7 = 0 x = 1, y = 2, z = 2 P (x 1, x 2,..., x n ) = m i=1 a ix k 1 i 1 xk 2 i 2 xkn i n P (x 2,..., x n ) = m i=1 a is k 1 i x k 2 i 2 xk n i n = 0 = 0 s Z P s Σ 10
63 P M s P P s P s M D M D REC D = { P Σ P } S N P (x 1,..., x n+1 ) s S z 1,..., z n Z (P (s, z 1,..., z n ) = 0) D REC D REC M D L RE REC L RE P (x 1,..., x n+1 ) n N L = {s N z 1,..., z n Z (P (s, z 1,..., z n ) = 0)} M L L REC HP = { M, w Σ M(w) } RE REC HP RE HP REC H D REC RE N HP HP = {w Σ ( M w Σ (w = M, w )) M(w) }
64 M, w M(w) M(w) HP D M M, M M, M H M, M HP REC D( D ) H( D, D ) q D, D HP D( D ) ϕ Mk k M 1 M 2 M 3 M k M 1 ϕ M1 ( M 1 ) ϕ M1 ( M 2 ) ϕ M1 ( M 3 ) ϕ M1 ( M k ) M 2 ϕ M2 ( M 1 ) ϕ M2 ( M 2 ) ϕ M2 ( M 3 ) ϕ M2 ( M k ) M 3 ϕ M3 ( M 1 ) ϕ M3 ( M 2 ) ϕ M3 ( M 3 ) ϕ M3 ( M k ) M k ϕ Mk ( M 1 ) ϕ Mk ( M 2 ) ϕ Mk ( M 3 ) ϕ Mk ( M k ) D 1, ϕ Mk ( M k ) = ϕ D ( M k ) =, ϕ Mk ( M k ) ϕ Gödel(D) ( M Gödel(D) ) HP RE HP RE HP, HP RE HP REC HP HP
65 2 {0,1} HP RE HP REC REC RE Σ A x y ϕ B ϕ(x) ϕ(y) Σ A B ϕ A B A, B Σ A B A m B ϕ : Σ Σ ϕ w Σ (w A ϕ(w) B) ϕ A B L = { M, w Σ M(w) q } ϕ : Σ Σ q M, w ϕ q 1 M /, q M, w q q 2 /, M M q q 1 q 2 ϕ(x) = x
66 M w M ϕ ϕ(w) M B x Σ M w Σ x = M, w ϕ HP L ϕ M, w HP M(w) M(w) q M(w) q M (w) q1 M (w) q2 M (w) q ϕ( M, w ) L M, w HP M(w) M (w) ϕ( M, w ) L HP m L A, B Σ A m B B REC B RE A REC A RE ϕ A B M ϕ M B B A w A ϕ(w) B M B (ϕ(w)) q M(w) q w A ϕ(w) B M B (ϕ(w)) q M(w) q A REC A RE A, B Σ A m B A REC A RE B REC B RE HP m L HP REC L REC A, B Σ A m B B A B A ϕ ϕ x HP M w Σ (x = M, w M, w HP ) x HP ( M w Σ (x = M, w )) ( M w Σ (x = M, w M, w HP )) REC RE
67 L = { M, w, q Σ M(w) q} ϕ : Σ Σ ϕ( M, w ) = M, w, q L L ϕ M, w L M(w) q M, w, q L M, w L M(w) M(w) q M(w) q M, w, q L L REC L REC L ϵ = { M Σ M(ϵ) } ϕ : Σ Σ M, w ϕ x x = ϵ w w M /, M w HP L ϵ ϕ M, w HP M(w) M w (ϵ) M w L ϵ M, w HP M(w) M w (ϵ) M w L ϵ HP REC L ϵ REC L = { M Σ L(M) = ℵ 0 } ϕ : Σ Σ M ϕ ϵ M M /, q L ϵ L ϕ M L ϵ M(ϵ) w Σ (M (w) q ) L(M ) = Σ L(M ) = ℵ 0 M L M L ϵ M(ϵ) w Σ (M (w) q ) L(M ) = L(M ) = 0 M L L ϵ REC L REC
68 ϕ L ϵ L Σ = { M Σ L(M) = Σ } L Σ REC L = { M, w Σ M(w) 1 } ϕ : Σ Σ q M, w ϕ q Ṁ /, M, ẇ q q Ṁ ẇ M, w Σ L L ϕ M, w L M(w) q M (ẇ) q M (ẇ) 1 M, ẇ L M, w L M(w) q M (ẇ) q M (ẇ) 1 M, ẇ L L REC L REC L = { M 1, M 2 Σ L(M 1 ) = L(M 2 )} ϕ : Σ Σ M, w ϕ w w M 1 M, q q M 2 L L ϕ M, w L M(w) q x Σ (M 1 (x) q ) L(M 1 ) = Σ = L(M 2 ) M 1, M 2 L M, w L M(w) q x Σ (M 1 (x) q ) L(M 1 ) = L(M 2 ) M 1, M 2 L L REC L REC L = { M Σ L(M) = } ϕ : Σ Σ
69 M, w ϕ x x = w M M w x Σ ϕ ϕ(x) = M M L L ϕ M, w L M(w) q x Σ (M w (x) q ) L(M w ) = M w L M, w L M(w) q M w (w) q L(M w ) = {w} M w L L RE REC L RE L RE m 2 {0,1} A, B, C {0, 1} A m B B m C ϕ 1 A B ϕ 2 B C ϕ 2 ϕ 1 A C ϕ 2 ϕ 1 w A ϕ 1 (w) B ϕ 2 (ϕ 1 (w)) C A m C A, B Σ A m B A m B ϕ A B ϕ A B w A w A ϕ(w) B ϕ(w) B x = M M x L x L x L M, w ϕ(x) = M L {0, 1}
70
71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 L REC = { M Σ L(M) REC} ϕ : Σ Σ M, x = M, w ϕ(x) = M, M M L L REC ϕ M, w L M(w) q x Σ (M (x) ) L(M ) = REC M L REC M, w L M(w) q L(M ) = { D, y Σ D(y) q } = L REC M L REC L RE L REC RE L REC L REC ( REC) ϕ ϕ( M, w ) = L ( REC), M(w) q, M(w) q
72 x w x 2 M w M x x x = D, y D D, y D(y) D(y) q M P RE L RE P L P P = {L RE L = ℵ 0 } P N = {L RE L = N} P ϵ = {L RE ϵ L} REC P RE L P = { M Σ L(M) P} P RE L P REC P = P = RE ( ) P RE P {, RE} P L P M L L m L P ϕ : Σ Σ ϕ( M, w ) = M M ϕ M, w L M(w) q L(M ) = L(M L ) = L P M L P M, w L M(w) q L(M ) = P M L P L REC L P REC P P {, RE}
73 x w x 2 M w M x x M L M ( ) P = L P = { M Σ L(M) } = REC P = RE L P = { M Σ L(M) RE} = G REC L N = { M Σ L(M) = N} REC P N P N {ϵ} P N P N RE Σ P N L = { M Σ L(M) = L(M) = {(01) n n N} L(M) = Σ } REC P = {, {(01) n n N}, Σ } L = L P P {, RE} P RE L P RE L P L RE (L L L P) L P ( L = ℵ 0 L L ( L N L P)) F P = {w 1 w 2 w n (Σ { }) {w 1, w 2,..., w n } {L P L N}} RE Σ
74 M x ND x M 1 x w x 2 w M x x M 2 M L P RE ( ) L P RE L 1 P L 2 RE L 1 L 2 L 2 P M 1, M 2 L 1, L 2 L m L P ϕ : Σ Σ M, x = M, w ϕ(x) = M 2, M ϕ M, w L M(w) q L(M ) = L(M 1 ) = L 1 P M L P M, w L M(w) q L(M ) = L(M 2 ) = L 2 P M L P L RE L P RE L P RE L P L = ℵ 0 P M L L L m L P ϕ : Σ Σ M, x = M, w ϕ(x) = M, M M ϕ L P RE x L ϕ(x) = M 2 M 2 L P L 2 P L P RE
75 x M L x x x M M, w M, w M(w) x M(w) q M(w) q M L P RE M, w L M(w) q L(M ) = L(M L ) = L P M L P M, w L t N (M(w) t q ) L(M ) = {x L x t} L(M ) L L(M ) N L(M ) P M L P L RE L P RE L P RE E L P E F P (Σ { }) w = w 1 w 2 w n w i Σ i [n] M w w w = w 1 w = w 2 w = w n Σ E M 1 w (Σ { }) (Σ { }) w ; M 2 (Σ {, ; }) w = w 1 ; w 2 ;... ; w n w i (Σ { }) i [n] M w1 ; M w2 ;... ; M wn (Σ {; }) M np (w, i) Σ N E w = w 1 w 2 w n F P M w w {w 1, w 2,..., w n } P i 0 N E pop( M w ) E (next(w), i 0 ) pop(w) E pop w = w 1 w 2 w n E pop M w {w 1, w 2,..., w n } P w F P E F P x L ϕ(x) = M L(M ) = L M L P w i i [n]
76 (w, i) (ϵ, 0) (w, i) np(w, i) E M 1 w 1 ; w 2 ;... ; w n M 2 Mw1 ; M w2 ;... ; M wn E i pop M w1, M w2,..., M wn M wij, j [k] M np (w, i) pop(w ij ) j [k] E L P RE ( ) E F P D L P L P L(D) M L P L(M) P L L(M) ( L N L P), L = {w 1,..., w n } E pop(w 1 w n ) L L(M) t N s [n] (M(w s ) t q ), D( M ) q M L(D) L(D) L P M L(D) (i, j) N s [k] (M(w s ) j q ), w 1 w k pop E i L = {w 1,..., w n } L(M) E F P L P L(M) P M L P L REC P = REC P L L P L L REC RE M np D
77 (i, j) (0, 0) D (i, j) np(i, j) M np M E i w 11 w 12 w 1k1 w 21 w 22 w 2k2 w l1 w l2 w lkl (i, j) r [l] s [k r ] (M(w rs ) j q ) D w M E w 1 w 2 w n w = w 1 w 2 w n M L P = {L RE L L } L P L L L RE (L L L L ) P L L w L L {w} L {w} L {w} P P E F P M L w L {w} P E pop(w) L P RE E i 10 i + 1 i i i + 1 pop S (Σ { }) 10 S i i i w 1 w 2 w n E
78 P = {L RE L 10} L P L 10 L RE (L L L L 10) P L 10 w 1,..., w 10 L L = {w 1,..., w 10 } L L P P E F P P L P RE L 10 = { M L(M) 10}
79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 A B B A A M M
80 M M M 1, M 2 M 1 M 2 w M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 w M 2 M 1 (w) conc M 1 M 2 conc M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 M 2 agm agm P w x P w w
81 w Q w Q P w w P w A M Q P M M conc A P M M P A A x P A A P A A A P A A P A A agm t : Σ Σ Σ R x Σ ϕ R (x) = t( R, x) A P w x w, x T t B M, x M x M A B P M M x P M M, x P M M, x P BT BT x, y x y
82 M, w H T P BT BT x P BT BT, x B P BT BT, x T t( P BT BT, x) x Σ t( P AT AT, x) R L REC H L 0, M(w) q t( M, w) = 1, M(w) q R w Σ L REC 0, R(w) q 0, ϕ R (w) = 1 ϕ R (w) = t( R, w) = = 1, R(w) q 1, ϕ R (w) = 0 L RE R L R M L t : Σ Σ Σ t(x, y) = ϕ M (y) t R y Σ ϕ R (y) = t( R, y) = ϕ M (y) REC R R t
83 R R w R, w R, w H H L R R w H M 2 M 1 R w L(R) H( R, w ) q w L(R) ( ) P RE P {, RE} L 1 P L 2 RE P M 1, M 2 L 1 L 2 H L P R L P H( R ) q L(R) = L(M 2 ) = L 2 P R L P R L P H( R ) q L(R) = L(M 1 ) = L 1 P R L P M i N i < Gödel(M) L(M i ) L(M) M i Gödel(M i ) = i L = { M Σ M } L RE
84 R E M R Gödel(M) > Gödel(R); M w M(w) L L = { M 1, M 2..., M n } n N L {L(M 1 ), L(M 2 ),..., L(M n )} L M 1, M 2,..., M n L RE L RE E R E M Gödel(M) > Gödel(R) L L(R) = L(M) M L } Gödel(M) Gödel(R) t : G G t : N N t (Gödel(M)) = Gödel(N) t( M ) = N t : N N i 0 N t i 0 t(i 0 ) T t M i i R i 0 w Σ ϕ R (w) = ϕ Mi0 (w) = ϕ Mt(i0 ) (w) i 0 t L = n i=1 L(M i) n > 1 L = L 1 {w} w Σ L(M 1 ) n = 1
85 R R Gödel(R) T i 0 t(i 0 ) M t(i0 ) M t(i0 ) w M t(i0 )(w) ϕ R (w) t i 0 N t(i 0 ) t(i 0 + 1) M i i i 0 N ϕ Mt(i0 ) = ϕ M t(i0 +1) t σ : N N σ(x) = t(t 1 (x) + 1) σ j 0 N ϕ Mj0 = ϕ Mσ(j0 ) i 0 = t 1 (j 0 ) ϕ Mt(i0 ) = ϕ M t(i0 +1) ϕ Mσ(j0 ) = ϕ M t(t 1 (j0 )+1) = ϕ M t(i0 +1) ϕ Mj0 = ϕ Mt(t 1 (j0 )) = ϕ M t(i0 ) Smn g : N m+n N x 1,..., x m N f : N n N y 1,..., y n N (g(x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = f(y 1,..., y n )) i g S m n : N m+1 N S m n (i, x 1,..., x m ) = f M i g M f f S m n (i, x 1,..., x m ) = Gödel(M f ) M i x 1,..., x m M f
86 x 1,..., x m M f y 1,..., y n M i M f 1 φ Γ 1 P P φ P φ P ϕ M P φ(x, y) x N ϕ M (x) = y P φ(x, y) ϕ M (x) y P φ(x, y) M i i f i ϕ Mi φ i f i g : N 2 N 1, P k φ i (j, k) g(i, j) =, g M M χp roof P roof M TM µ M µ φ Gödel(M) = l f j N g(i, j) = f(j) f = ϕ t t(i) = MS 1 S1 (l,i) 1 (l, i) 1 i 0 N j N g(i 0, j) = ϕ MS 1 1 (l,i 0 ) (j) = ϕ M t(i0 ) (j) = ϕ M i0 (j) k φ i0 (j, k) P k φ i0 (j, k) g(i 0, j) = 1 ϕ Mi0 (j) = 1 n N ϕ Mi0 (j) n ϕ Mi0 (j) N P k φ i0 (j, k) N P N k φ i0 (j, k) n N N φ i0 (j, n) ϕ Mi0 (j) = n φ i0 f i0 P φ(j, n) N φ(j, n) n N ϕ Mi0 (j) n
87 i, j i j M i M TM µ M µ φ M i f i φ i k φ i (j, k) M k φ i (j, k) y 0 y + 1 k φ i (j, k), y k φ i (j, k), y M χproof y y + 1 M g P k φ i0 (j, k) g(i 0, j) = ϕ Mi0 (j) = n N ϕ Mi0 (j) = n ϕ Mi0 (j) N n N N φ(j, n) ϕ Mi0 (j) n P φ(j, n) N φ(j, n) n N ϕ Mi0 (j) = n φ φ, φ N Γ 1
88
89 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 HP {0, 1} RE B A B A L Σ w Σ 1 s L 0 w L
90 1 q 0 q1 q q q 2 q q q? L Σ w L 1 w L 0 w / L L Σ L Σ ϵ Σ 1 0 L Σ L L M L = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q, q ) 3 L Q q? q q M L q? 2 i 3 i 1 q 0 q A, B Σ M A B w B M A (w) q A, B Σ M A B B A A, B Σ M A B w B M A (w) q
91 M HP M, w HP 1 0 M(w) M(w) q M(w) q M HP L w B M A (w) q A, B Σ M A B B A A Σ f : Σ Σ M A f w dom(f)( q 0 w M A qf(w)) q {q, q } A Σ f : Σ Σ M A f f A L HP M HP δ {0, 1} L Σ L L M L w M L (w) L M L (w) q? HP 0
92 L Σ M L w Σ L M L, w M L (w) q M L (w) q {0, 1} A {0, 1} A RE A = {L {0, 1} A L} REC A = {L {0, 1} A L} A {0, 1} A REC RE A = RE REC A = REC M A A L RE A M A L A M A M A L M L L L RE RE A RE L RE M L M A L M L q? M A L L L REA RE RE A A {0, 1} RE RE A RE REC A HP RE REC HP L RE M L M HP L L REC HP L {0, 1} REC HP M L ML A ML A w M L M A w 1 0 ML A A M A
93 M L M HP M L w M L, w M L, w HP 1 0 M L (w) M L (w) q M L (w) q M HP HP 2 = { M HP, w {0, 1} M HP (w) } HP 2 REC HP HP 2 REC HP H HP D HP D HP M HP M HP, M HP M HP, M HP H HP M HP, M HP D HP ( D HP ) H HP ( D HP, D HP ) q D HP, D HP HP 2 D HP ( D HP ) HP 2 REC HP HP A {0, 1} L REC A L REC A C co C = {L {0, 1} L C} A {0, 1} RE A co RE A = REC A
94 t + 1 t 0 t M A L M A L M A w A M A L (w) t t t + 1 (w, t) M A L M A L t A M A L (w) t M A L L RE A co RE A L REC A L RE A L REC A L RE A L RE A co RE A L RE A co RE A ML A M A L L L M A L L REC A A, B, C {0, 1} A RE B B REC C A RE C A REC B B REC C A REC C M B A M C B B M B M C C A A, B, C {0, 1} A m B B REC C B RE C A REC C A RE C C 2 {0,1} C M B M B w M C w
95 RE C = A C RE A REC C = A C REC A REC REC = REC RE REC = RE n 1 Σ 0 1 = RE 0 1 = REC Σ 0 n+1 = RE Σ0 n 0 n+1 = REC Σ0 n Π 0 n = co Σ 0 n {0, 1} n 2 Σ 0 n+1 Σ0 n Σ 0 n 1 Σ0 n n 1 HP 1 = HP HP n+1 = { M HPn, w {0, 1} M HPn (w) } HP n HP n = {0w {0, 1} w HP n } {1w {0, 1} w HP n } n 1 HP n REC HP n+1 n n = 1 HP 1 REC HP 2 HP REC HP HP RE HP n REC HP n+1 HP n+1 m HP n+2 HP n+2 REC HP n+2 HP n+1 REC HP n+2 M HP n+1 HP n HP n ϕ : {0, 1} {0, 1}
96 M HPn 1 M HPn 1, w M HP n 1 (w) HP n 1 M HP n 1 (w) M HP n 1 M HPn M HPn+1 x M HPn, w ϕ x M HPn HP n+1 M HP n (x) M HP n+1 HP n, w ϕ M HP n, w HP n+1 M HP n (w) M HP n+1 (w) M HP n+1, w HP n+2 ϕ HP n+1 HP n+2 n 1 HP n+1 REC HPn n 1 HP n Σ 0 n n 2 M HP n 1 HP n n = 1 HP 1 Σ 0 1 HP RE n 1 Σ 0 n REC HP n n n = 1 Σ 0 1 RECHP 1 Σ 0 n REC HP n RE REC HP L Σ 0 n+1 A Σ0 n L RE A A REC HP n L RE HP n M HPn L M HP n+1 L L REC HPn+1 HP 2 REC HP 1 HP n+1 HP n HP n REC HP n+1 HP n HP n HP n+1
97 w M HPn L M HPn L M HPn L, w M HPn L, w HP n HP n+1 M HPn+1 M HP n L (w) q M HP n L (w) M HP n L (w) q M HP n+1 x 1 x = 0w HP n 0 w M HPn w HP n 0 1 M HPn HP n HP n L {0, 1} n 1 L Σ 0 n L 0 n L RE HP n 1 L REC HP n 1 L Σ 0 n A Σ 0 n 1 L REA Σ 0 n 1 RECHP n 1 A REC HP n 1 L REC HP n 1 n 1 Σ 0 n Σ 0 n+1 Π0 n Π 0 n+1 Σ 0 n Π 0 n 0 n+1 Σ 0 n Π 0 n = 0 n 0 n Σ 0 n 0 n Π 0 n HP n+1 Σ 0 n+1 Σ0 n REC HP n HP n+1 REC HPn HP n+1 Σ 0 n HP n+1 Π 0 n+1 HP n+1 Σ 0 n+1 HP n+1 Π 0 n HP n+1 Σ 0 n HP n HP n REC HP n M HP n HP n HP n 0 n+1
98 w 0 w 0w MHP A n M A M A HP n HP n HP n HP n Σ 0 n A Σ 0 n 1 M A M A HP n HP n HP n Σ 0 n 1 HP n HP n Π 0 n HP n HP n Σ 0 n HP n HP n = {0w {0, 1} w HP n } {1w {0, 1} w HP n } = {0w {0, 1} w HP n } {1w {0, 1} w HP n } = ({x {0, 1} w {0, 1} (x = 1w)} {0w {0, 1} w HP n }) {1w {0, 1} w HP n } = {1w {0, 1} w HP n } {0w {0, 1} w HP n } HP n HP n HP n HP n Σ 0 n L 0 n A Σ 0 n 1 L RECA L REC A L REC A L RE A L Σ 0 n L REC A A L RE A L Σ 0 L Σ 0 n Π 0 n n L Σ 0 n Π 0 n L, L Σ 0 n L, L RE HP n 1 L REC HP n 1 HP n 1 Σ 0 n 1 L 0 n HP n 0 n HP n REC HP n 1 A, B {0, 1} A B A T B A REC B L T HP
99 2 {0,1} Σ 0 3 Π 0 3 HP 3 0 HP 3 3 HP 2 HP 2 Σ 0 2 Π 0 2 HP 2 0 HP 2 2 HP 1 HP 1 Σ 0 1 = RE Π 0 1 = co RE 0 1 = REC HP 1 HP 1 L HP L co RE L RE L = {w {0, 1} ( M (w = M )) (L(M) )} M L L Π 0 1 L 0 2 L REC HP L T HP w w = M M L M (x, t) (ϵ, 0) (x, t) M(y) y x t y x (M(y) t q ) np(x, t) y x (M(y) t q ) M (x, t) np L M np
100 w L M L 0 1 M L L w M ϕ ϕ(w) B M B 1 0 M B L {0, 1} L M L HP HP HP RE A, B {0, 1} A m B A T B ϕ A B M ϕ M B A w A ϕ(w) B M B (w) q w A ϕ(w) B M B (w) q A T B T C 2 {0,1} B {0, 1} B C { m, T } A C A B B C B C n 1 HP n Σ 0 n T Σ 0 n T HP n Π 0 n T HP n Π 0 n T n 1 HP n HP n 0 n+1 T HP n HP n 0 n+1 0 n+1 T L 0 n+1 L RECHPn L T HP n
101 w 0 w 0w HP n HP n M HPn HP n 1 0 M HPn HP n M HPn 1 w M HPn 1 L w M HP n 1 M HP n HP n HP n HP n T HP n HP n T L T HP n HP n n 1 HP n Σ 0 n m HP n Π 0 n m HP n Σ 0 n HP n Σ 0 n m L Σ 0 n L RE HP n 1 M HP n 1 L ϕ : {0, 1} {0, 1} ϕ(w) = M HP n 1, w M HP n 1 ϕ w L M HP n 1 L (w) q M HP n 1 (w) M HP n 1, w HP n w L M HP n 1 L (w) q M HP n 1 (w) M HP n 1, w HP n L m HP n HP n Σ 0 n HP n Π 0 n HP n Π 0 n m L Π 0 n L Σ 0 n L m HP n L m HP n n N n n N n R (x 1,..., x n ) R R(x 1,..., x n )
102 n R L R = { x 1,..., x n N R(x 1,..., x n )} L N L Σ 0 n (n + 1) R L = {x N y 1 y 2 y n R(x, y 1,..., y n )} =, n, L Π 0 n (n + 1) R L = {x N y 1 y 2 y n R(x, y 1,..., y n )} =, n, n n 1 L Π 0 1 L = { M N L(M) = } = { M N y t (M(y) t q )} = {x N y t (x = M M(y) t q )} pair : N 2 N pair(i, j) = i+j i L = {x N z (x = M pair 1 (z) = (y, t) M(y) t q )} L = { x, z N x = M z = pair 1 (y, t) M(y) t q } M pair 1 pair 1 L Π 0 1 L N Σ 0 2 Σ 0 2 L N = { M N L(M) = N} = { M N n y ( y > n y L(M))} = { M N n y t ( y n M(y) t q )} = {x N n z (x = M pair 1 (z) = (y, t) ( y n M(y) t q ))}
103 x, z z x x = M M M L M pair 1 (y, t) M(y) t M(y) t q x, n, z z x n x = M M M L M pair 1 (y, t) y n (y, t) M(y) t M(y) t q M L L = { x, n, z N x = M pair 1 (z) = (y, t) ( y n M(y) t q )} L N Σ 0 2 L Σ 0 2 R L = {x N y z R(x, y, z)} M R L R ϕ : N N ϕ(x) = M x M x ϕ x L y 0 z (M R (x, y 0, z) q ) w y 0 M x (w) M R (x, y 0, z) q z L(M x ) {w N w y 0 } L(M x ) N M x L N x L y z (M R (x, y, z) q ) w ( y w z (M R (x, y, z) q )) w (M x (w) q ) L(M x ) = N L(M x ) = ℵ 0 M x L N n 1 T n = { φ N N φ = y 1 y 2 y n ψ(y 1,..., y n ) N φ} ψ Γ 1 =, n φ N, φ pair 1 pair
104 x M R M x x M R w y w z (M R (x, y, z) q ) M x n 1 T n Σ 0 n m L Σ 0 n (n + 1) R, n L = {x N y 1 y 2 y n R(x, y 1,..., y n )} =, R P φ R (x, y 1,..., y n ) ϕ : N N ϕ(x) = φ x N ϕ φ x = y 1 y 2 y n φ R (x, y 1,..., y n ) x L y 1 y 2 y n R(x, y 1,..., y n ) N y 1 y 2 y n φ R (x, y 1,..., y n ) N φ x φ x N T n L m T n T ruth = { φ N N φ N φ} T ruth T ruth n N T ruth Σ 0 n T n+1 m T ruth T n+1 Σ 0 n+1 m HP n+1 m T n+1 m HP n+1 m T ruth HP n+1 T T ruth HP n+1 REC T ruth REC Σ0 n = 0 n φ y 1 y 2 y n+1 ψ(y 1,..., y n+1) x x
105 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A Γ 1 M(Γ 1 ) = {x 0, x 1,...},,, (, ) n 0 {P i i I} n n 0 {f i i I} n f ni 0 Γ 1 Γ 1 ft 1,..., t n t 1,..., t n f n Γ 1 Γ 1 O(Γ 1 ) ft 1,..., t n f(t 1,..., t n )
106 Γ 1 Γ 1 t 1 t 2 t 1, t 2 O(Γ 1 ) Rt 1,..., t n t 1,..., t n O(Γ 1 ) R n Γ 1 ( φ), (φ ψ), ( xφ) φ, ψ Γ 1 x Γ 1 Γ 1 T (Γ 1 ) ( xφ), (φ ψ), (φ ψ) (φ ψ) ( ( x( φ))), ( (φ ( ψ))), (( φ) ψ) ((φ ψ) (ψ φ)) φ T (Γ 1 ) x x φ φ x φ φ ( ψ) x ψ φ (χ ψ) x χ ψ φ ( yψ) x ψ y x φ φ Γ 1 φ(x 1,..., x n ) x 1,..., x n φ Γ 1 A Γ 1 A n P n P A A n n f A : A n A c c A A Γ 1 A v : M(Γ 1 ) A v v : O(Γ 1 ) A v(c) = c A c Γ 1 v(f(t 1,..., t n )) = f A ( v(t 1 ),..., v(t n )) f n Γ 1 t 1,..., t n O(Γ 1 ) t 1t 2 t 1 t 2 Rt 1,..., t n R(t 1,..., t n )
107 Γ 1 A v x v(x a)(y) a A a (x a)(y) = v(y), y = x, Γ 1 A v φ T (Γ 1 ) A φ v A φ[v] φ t 1 t 2 t 1, t 2 O(Γ 1 ) v(t 1 ) = v(t 2 ) φ R(t 1,..., t n ) ( v(t 1 ),..., v(t n )) R A φ ( χ) A χ[v] φ (χ ψ) A χ[v] A ψ[v] φ ( xχ) a A A χ[v(x a)] T T (Γ 1 ) φ A v A φ[v] A, v φ A v T T T A v T φ T φ T φ A A T (Γ 1 ) K κ K κ 2 T (Γ 1) T (Γ 1 ) (B, φ) κ φ κ B A A = M M A = (A, K) T T (Γ 1 ) φ φ T A T A φ τ 1,..., τ n τ n = φ τ i φ
108 τ i A T τ i κ K S {t 1,..., t i 1 } x t φ Γ 1 φ x t φ x t x t φ x t φ t φ x 1 x n φ x i n 0 A 1 = (A 1, K 1 ) φ (ψ φ) (φ (ψ χ)) ((φ ψ) (φ χ)) ( φ ψ) (( φ ψ) φ) xφ φ x t x t φ x(φ ψ) ( xφ xψ) φ xφ x φ x x x y (φ φ ) φ φ φ x y K 1 φ φ ψ ψ T A1 φ T φ φ φ T φ T φ T φ T φ T φ T φ
109 Γ 1 Γ 1 N = N N = S N = + N = N = 0 N n n N n = n P Γ 1 x 1 (x 1 ) x 1 x 2 (x 1 = x 2 x 1 = x 2 ) x 1 (x 1 = x 1 ) x 1 x 2 (x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) ) x 1 (x 1 = ) x 1 x 2 (x 1 x 2 = x 1 x 2 x 2 ) x 1 x n (φ(x 1,..., x n, ) x 0 (φ(x 1,..., x n, x 0 ) φ(x 1,..., x n, x 0 )) x 0 φ(x 1,..., x n, x 0 )) T T (Γ 1 ) R Nn n 1 R T φ(x 1,..., x n ) m 1,..., m n N (m 1,..., m n ) R T φ(m 1,..., m n ) (m 1,..., m n ) R T φ(m 1,..., m n ) P f : N n N T φ(x 1,..., x n+1 ) m 1,..., m n+1 N f(m 1,..., m n) = m n+1 T φ(m 1,..., m n+1) f(m 1,..., m n) m n+1 T φ(m 1,..., m n+1)
110 Γ 1 Γ 1 x i N = 3 i+1, i = 0, 1,... N = 5 N = 7 N = 11 ( N = 13 ) N = 17 N = 19 N = 23 N = 27 N = 29 N = 31 φ = a 1 a n T (Γ 1 ) a 1,..., a n {,,, (, ),,,,, } M(Γ 1 ) φ φ N = enc n ( a 1 N,..., a n N ) enc n φ N φ φ 1,..., φ n Γ 1 φ 1,..., φ n N = enc n ( φ 1 N,..., φ n N ) P M µ φ f φ M µ φ P roof N 2 (x, y) P roof y P x P roof n R P n x Γ 1 x x
111 R L R REC L R P φ R (y 1,..., y n, x) φ R (y 1,..., y n, 1) R
112
113 Σ { } REC RE Σ { } Σ { } q 3 {0, 1} M space f 2 f 1 f 1 χ L L REC L χ L {1 n n N} {(10) n n N} L E L REC M L E k k
114 N D M np {0, 1} N E L M L M L 1 L 2 M L 1 L 2 M L 1 L 2 M L L L M G LBA M D REC HP REC RE ϕ A B M M M L P RE M L P RE E L P RE D M L E H L t M f M g M HP L M HP M A L L RE A co RE A M HP n 1 M HP n+1
115 M HP n HP n HP n MHP A n HP n L M np M L L M B M HPn HP n M HP n 1 M L M x
116
117
Does this algorithm halt? Yes
Does this algorithm halt? Yes No REC RE ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0,, 2 A,,,,, A, A,,,,,,,,, A P n A P A n n N R A R 2 A A 2 {P A 2 (a, a) P a A} A 2 {P A 2 (a, b), (b, c) P (a, c) P } P A B R 2 A B P R P R P P R R {(n,
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
MÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
March 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003
-! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
..., ISBN: :.!". # -. $, %, 1983 &"$ $ $. $, %, 1988 $ $. ## -. $, ', 1989 (( ). '. ') "!$!. $, %, 1991 $ 1. * $. $,.. +, 2001 $ 2. $. $,, 1992 # $!
!! " 007 : ISBN: # $! % :!" # - $ % 983 &"$ $ $ $ % 988 $ $ ## - $ ' 989 (( ) ' ') "!$! $ % 99 $ * $ $ + 00 $ $ $ 99!! " 007 -!" % $ 006 ---- $ 87 $ (( %( %(! $!$!" -!" $ $ %( * ( *!$ "!"!* "$!$ (!$! "
ts s ts tr s t tr r n s s q t r t rs d n i : X n X n 1 r n 1 0 i n s t s 2 d n i dn+1 j = d n j dn+1 i+1 r 2 s s s s ts
r s r t r t t tr t t 2 t2 str t s s t2 s r PP rs t P r s r t r2 s r r s ts t 2 t2 str t s s s ts t2 t r2 r s ts r t t t2 s s r ss s q st r s t t s 2 r t t s t t st t t t 2 tr t s s s t r t s t s 2 s ts
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø
J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
4 8 c +t +t - (t +t ) - <t +t < - < t t < + +c ( ) +t + ( ) +t + [ - (t +t )] (t + t ) + t + t t 0 + +c c x i R + (i ΔABC ABC ) x i x i c ABC 0 ABC AC
![4 8 c +t +t - (t +t ) - <t +t < - < t t < + +c ( ) +t + ( ) +t + [ - (t +t )] (t + t ) + t + t t 0 + +c c x i R + (i ΔABC ABC ) x i x i c ABC 0 ABC AC](/thumbs/91/105344508.jpg "4 8 c +t +t - (t +t ) - <t +t < - < t t < + +c ( ) +t + ( ) +t + [ - (t +t )] (t + t ) + t + t t 0 + +c c x i R + (i ΔABC ABC ) x i x i c ABC 0 ABC AC")
8 No8Vol JOURNALOF NEIJIANG NORMAL UNIVERSITY * * ( 6499) : ; ; ; ; ; : ; ; DOI:060/jcki-6/z0808006 :G647 :A :67-78(08)08-00-09 0 [4] [] [6] [7] ( ) ( [8] ) [9] [] : [] [] :08-06- : (ZG0464) (ZY600) 06
!"! # $ %"" & ' ( ! " # '' # $ # # " %( *++*
!"! # $ %"" & ' (! " # $% & %) '' # $ # # '# " %( *++* #'' # $,-"*++* )' )'' # $ (./ 0 ( 1'(+* *++* * ) *+',-.- * / 0 1 - *+- '!*/ 2 0 -+3!'-!*&-'-4' "/ 5 2, %0334)%3/533%43.15.%4 %%3 6!" #" $" % & &'"
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
Jeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions
Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions The Harvard community has made this article openly available. Please share how this access benefits you. Your story matters Citation Chen,
P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r
r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st
l dmin dmin p k δ i = m p (p l ) p l µ p BCH µ WB t (q+) l l i m h(x) A B C = A B k SNR rec. db k SNR rec. db SNR rec. db p = p = p = SNR rec. db p = k = q = t k σ p(k;{a i} n i= ) n σ p(n;{a i} n i= )
k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +
[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +](/thumbs/73/69566903.jpg "k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +")
Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b
GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c
GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector
s MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector... 2 1.... 4 2. -MICROMASTER VECTOR... 5 3. -MIDIMASTER VECTOR... 16 4.... 24 5.... 28 6.... 32 7.... 54 8.... 56 9.... 61 Siemens plc 1998 G85139-H1751-U553B 1.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 25: Γραμματικές Χωρίς Περιορισμούς Τμήμα Πληροφορικής ΘΥ 25: Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa
1 2 1 2 3 4 5 0.24 0.24 4.17 4.17 6 a m a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 7 max min m a r 8 9 1 ] ] S [S] S [S] 2 ] ] S [S] S [S] 3 ] ] S
apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a
n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α
Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.
Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007
(! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-
HONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό
!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667
!"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000
η η η η GAR = 1 F RR η F RR F AR F AR F RR η F RR F AR µ µ µ µ µ µ Γ R N=mxn W T X x mean X W T x g W P x = W T (x g x mean ) X = X x mean P x = W T X d P x P i, i = 1, 2..., G M s t t
Coupling strategies for compressible - low Mach number flows
Coupling strategies for compressible - low Mach number flows Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després To cite this version: Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després. Coupling strategies
J! "#$ %"& ( ) ) ) " *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) &
J! "#$ %"& J ' ( ) ) ) " *+, -./0-, L *- /! /!+12,3-4 % +15,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/01 ',913-51:--
ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis
Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence
Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
K r i t i k i P u b l i s h i n g - d r a f t
T ij = A Y i Y j /D ij A T ij i j Y i i Y j j D ij T ij = A Y α Y b i j /D c ij b c b c a LW a LC L P F Q W Q C a LW Q W a LC Q C L a LC Q C + a LW Q W L P F L/a LC L/a LW 1.000/2 = 500
ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα
ITU-R P (2012/02)
ITU-R P.56- (0/0 P ITU-R P.56- ii.. (IPR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R ttp://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (ttp://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V 0.ITU-R ITU 0..(ITU
Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l =
C ALGEBRA Answers - Worksheet A a 7 b c d e 0. f 0. g h 0 i j k 6 8 or 0. l or 8 a 7 b 0 c 7 d 6 e f g 6 h 8 8 i 6 j k 6 l a 9 b c d 9 7 e 00 0 f 8 9 a b 7 7 c 6 d 9 e 6 6 f 6 8 g 9 h 0 0 i j 6 7 7 k 9
TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789
TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2
f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz.
Σ.Παπαδόπουλος 1 1 Βασικές έννοιες ομάδας Εστω G ένα σύνολο με G. Μία πράξη στο G είναι μία συνάρτηση f : G G G. Αντί f(x, y) γράφουμε x y και αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης xy. Είναι φανερό ότι σε
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )
d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση
Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής Χειμερινό Εξάμηνο 2011-2012 Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 2 Προτασιακή Λογική 3 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές
Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ
Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
a,b a f a = , , r = = r = T
!" #$%" &' &$%( % ) *+, -./01/ 234 5 0462. 4-7 8 74-9:;:; < =>?@ABC>D E E F GF F H I E JKI L H F I F HMN E O HPQH I RE F S TH FH I U Q E VF E WXY=Z M [ PQ \ TE K JMEPQ EEH I VF F E F GF ]EEI FHPQ HI E
γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων
771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 4 ο ιδάσκων: Α. Ντελόπουλος Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και
PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen
PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/52779
C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ
»»...» -300-0 () -300-03 () -3300 3.. 008 4 54. 4. 5 :.. ;.. «....... :. : 008. 37.. :....... 008.. :. :.... 54. 4. 5 5 6 ... : : 3 V mnu V mn AU 3 m () ; N (); N A 6030 3 ; ( ); V 3. : () 0 () 0 3 ()
Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design
Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH
Z = 1.2 X 1 + 1, 4 X 2 + 3, 3 X 3 + 0, 6 X 4 + 0, 999 X 5. X 1 X 2 X 2 X 3 X 4 X 4 X 5 X 4 X 4 Z = 0.717 X 1 + 0.847 X 2 + 3.107 X 3 + 0.420 X 4 + 0.998 X 5. X 5 X 4 Z = 6.56 X 1 + 3.26 X 2 + 6.72 X 3
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.
ITU-R P (2012/02) &' (
ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 10: Συνδυασμοί μηχανών Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
-! () $M ' 1' /W /,9 /' 1 :c Q \/0,> Z 1/0 " 1! GDP * &'() =! P[\ 01, '!R W! :,Q (Sachs&Warner,1995) a' / Qbc,,, J L bc, [1] (Pomeranz,2000) R
![-! () $M ' 1' /W /,9 /' 1 :c Q \/0,> Z 1/0 1! GDP * &'() =! P[\ 01, '!R W! :,Q (Sachs&Warner,1995) a' / Qbc,,, J L bc, [1] (Pomeranz,2000) R](/thumbs/51/28308907.jpg "-! () $M ' 1' /W /,9 /' 1 :c Q \/0,> Z 1/0 1! GDP * &'() =! P[\ 01, '!R W! :,Q (Sachs&Warner,1995) a' / Qbc,,, J L bc, [1] (Pomeranz,2000) R")
18 5 2016 9 ( ) JournalofCapitalUniversityofEconomicsandBusines Vol 18,No 5 Sep 2016 DOI:10 13504/j cnki isn1008-2700 2016 05 006! F
SUPPLEMENTAL INFORMATION. Fully Automated Total Metals and Chromium Speciation Single Platform Introduction System for ICP-MS
Electronic Supplementary Material (ESI) for Journal of Analytical Atomic Spectrometry. This journal is The Royal Society of Chemistry 2018 SUPPLEMENTAL INFORMATION Fully Automated Total Metals and Chromium
3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0)
Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π Δ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) 3Νο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 Να μελετήσετε
LEM. Non-linear externalities in firm localization. Giulio Bottazzi Ugo Gragnolati * Fabio Vanni
LEM WORKING PAPER SERIES Non-linear externalities in firm localization Giulio Bottazzi Ugo Gragnolati * Fabio Vanni Institute of Economics, Scuola Superiore Sant'Anna, Pisa, Italy * University of Paris
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Γυμνασίου (Juniors)
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Γυμνασίου (Juniors) Δάτης Καλάλη Στον παππού και στην γιαγιά μου Πρόλογος Οι διαγωνισμοί των μαθηματικών διοργανώνονται στις περισσότερες χώρες σε εθνικό και διεθνή
APPENDIX 1: Gravity Load Calculations. SELF WEIGHT: Slab: 150psf * 8 thick slab / 12 per foot = 100psf ROOF LIVE LOAD:
APPENDIX 1: Gravity Load Calculations SELF WEIGHT: Slab: 150psf * 8 thick slab / 12 per foot = 100psf ROOF LIVE LOAD: A t = 16.2 * 13 = 208 ft^2 R 1 = 1.2 -.001* A t = 1.2 -.001*208 =.992 F = 0 for a flat
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε
!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8
!"#$%& '!(#)& a<.21c67.<9 /06 :6>/ 54.6: 1. ]1;A76 _F -. /06 4D26.36 <> A.:4D6:6C C4/4 /06 D:43? C</ O=47?6C b*dp 12 :1?6:E /< D6 3:4221N6C 42 D:A6 O=
![!#$%& '!(#)& a<.21c67.<9 /06 :6>/ 54.6: 1. ]1;A76 _F -. /06 4D26.36 <> A.:4D6:6C C4/4 /06 D:43? C</ O=47?6C b*dp 12 :1?6:E /< D6 3:4221N6C 42 D:A6 O=](/thumbs/72/67457957.jpg "!#$%& '!(#)& a<.21c67.<9 /06 :6>/ 54.6: 1. ]1;A76 _F -. /06 4D26.36 <> A.:4D6:6C C4/4 /06 D:43? C</ O=47?6C b*dp 12 :1?6:E /< D6 3:4221N6C 42 D:A6 O=")
! " #$% & '( )*+, -. /012 3045/67 8 96 57626./ 4. 4:;74= 69676.36 D426C
#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!
-!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3
Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων
Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα
SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors
- SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors 2 pole 3000 rpm 50Hz Rated current Power Efficiency Rated Ratio Noise Output Frame Speed Weight 3V 400V 415V factor Class 0%Load 75%Load torque
P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
Vn 1: NHC LI MT S KIN TH C LP 10
Vn : NHC LI MT S KIN TH C LP 0 Mc ích ca vn này là nhc li mt s kin thc ã hc lp 0, nhng có liên quan trc tip n vn s hc trng lp. Vì thi gian không nhiu (khng tit) nên chúng ta s không nhc li lý thuyt mà
Ch : HÀM S LIÊN TC. Ch bám sát (lp 11 ban CB) Biên son: THANH HÂN A/ MC TIÊU:
Ch : HÀM S LIÊN TC Ch bám sát (lp ban CB) Biên son: THANH HÂN - - - - - - - - A/ MC TIÊU: - Cung cp cho hc sinh mt s dng bài tp th ng gp có liên quan n s liên tc cu hàm s và phng pháp gii các dng bài ó
Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης
Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 12/5/2012, στις 06:52. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................
Α Δ Ι. Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014
Α Δ Ι Α - Φ 10 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 17 Ιανουαρίου
Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves
Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves Philippe Helluy, Thomas Strub To cite this version: Philippe Helluy, Thomas Strub. Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves. ESAIM: