Üç Eksenli Gerilme Hali

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Üç Eksenli Gerilme Hali"

Ἐφραίμ Σκλαβούνος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Üç Ekseli Gerilme Hali Bir cismi herhagi bir P oktasıdaki asal gerilmeleri üçü de sıfırda farklı ise o oktadaki gerilme hali "üç ekseli gerilme hali"dir P Üç Ekseli Gerilme Hali Gerilme ivaryatları: I 0 I 0 I 0 Literatürde geellikle böyle seçilir. z x e z x P T k ) T j ) T i ) x x x T i ) ) = T j ) = T k ) y x yx zx xy y zy xz yz z e i k e j ij = ji i, j =,,) ) = ) T xx xy xz = yx yy yz = zz zx zy xz x zx P xy z zy yx yz x x x = ij i, j =,,) y y

2 Gerilme tasörüü döüştürülmesi Üç Ekseli Gerilme Hali z x z' x ' z z' xz zx P zy yz z x z' x ' x'z' z'x' P z'y' y'z' x xy yx x x x x yx zx xy y zy xz yz z y y x ' x' θ θ θ θ x ' x' y x x x y' x ' x' x' y'x' z'x' x'y' x'y' y' z'y' y'x' x'z' y'z' z' y' y' x ' Döüştürme matrisi N) = Doğrultma kosiüsleri ij = e i ' e j Döüştürme matrisi ortogoal bir matristir. N) T = N) i, j=,,) detn) = ± İdisleri açıklaması x ' eksei ile x eksei arasıdaki açı x i ' eksei ile x j eksei arasıdaki açıı kosiüsü θ = cos ij = e i ' e j x i ' eksei üzerideki birim vektör x j eksei üzerideki birim vektör

3 Üç Ekseli Gerilme Hali ') = N) ) N) T x' y'x' z'x' x'y' y' z'y' = z' x'z' y'z' x yx zx xy y zy xz yz z yx = xy zx = xz x' = x + y + z + xy + xz + yz zy = yz y' = x + y + z + xy + xz + yz z' = x + y + z + xy + xz + yz x'y' = x + y + z + + ) xy + + ) xz + + ) yz x'z' = x + y + z + + ) xy + + ) xz + + ) yz y'z' = x + y + z + + ) xy + + ) xz + + ) yz ij ' = ik jl kl i,j,k,l =,,) ij = ik jl kl ' i,j,k,l =,,) ) = N) T ') N) x yx zx xy y zy xz yz z = x' y'x' z'x' x'y' y' z'y' x'z' y'z' z'

4 Üç Ekseli Gerilme Hali 4 Herhagi bir P oktasıda geçe herhagi bir yüzeye etki ede eğik gerilme ve bileşeleri = T ) T ) T j ) da x e x e da e z P ΣF = 0 i x T k ) k T ) j da x' x' e ' T i ) da Bu dörtyüzlüü ekselere dik ola yüzeyleri egatif yüzeydir. x da = i ) da = da da = j ) da = da da = k ) da = da y : Eğik yüzeyi ormali üzerideki birim vektör = i + j + k = l i + m j + k Eğik yüzeyi ormali, x' x' ) eksei ile çakıştırılmıştır. T ) da T i ) da T j ) da T k ) da = 0 T T ) = T ) i + T ) j + T ) k T ) = T ) x i + T ) y j + T ) z k = e ' = e ' e = = = l e ' e = = = m e ' e = = = ) = T i ) + T j ) + T k ) l = m

5 Üç Ekseli Gerilme Hali 5 ) = T i ) T j ) T k ) x xy yx y zx zy T ) = ) = ) T ) = = xz yz Bir tasör ile bir vektörü iç çarpımı = bir vektör = z T i ) T j ) T k ) T ) = T i ) + T j ) + T k ) T ) = T) = = = = ) T ) T T ) x xy xz yx y yz T ) ) = x + yx + zx = T x T ) ) = xy + y + zy = T y ) ) T = xz + yz + z = T z zx zy z ) T x ) T y T z ) T x T y T z ) T İki vektörü iç çarpımı skaler çarpımı): a x b x a = a) = a y b = b) = b y a z b z b x a b = a) T b) = a x a y a z ) b y b z a b = a x b x + a y b y + a z b z 0 = 0 ) x ) T y ) T z İki vektörü iç çarpımı = bir skaler xy x yx zx = + y + zy xz yz z T ) j = i ij i, j =,,) T ) = T i ) + T j ) + T k ) T

6 T j ) x x z x' P x T k ) T ) x' T i ) = x' x' = x' = x'y' + x'z' x y ) T = x + yx + zx = T x ) T = xy + y + zy = T y T ) = xz + yz + z = T z T ) ) = + = T ) = T ) + T ) + T ) = T x l + T y m + T z = [) Üç Ekseli Gerilme Hali 6 yx = xy zx = xz zy = yz = x + y + z + xy + xz + yz = x y ) + y z ) + z x ) + + xy + xz ) + yx + yz ) + zx + zy ) 4 xy + xz + yz ) xy z + xz y + yz x ) + + xy + xz + yz ) [ ) x + ) y + ) z

7 Üç Ekseli Gerilme Hali 7 Ekseler, asal ekseler ile çakıştırılırsa: 0 0 T ) = ) = ) T ) = 0 0 = z x 0 0 P T ) x' x y T ) = i + j + k T ) ) = + + T ) ) = l + m + T ) ) = + = T ) = [) x x = + + = l + m + = ) + ) + ) = l m ) + m ) + l )

8 Asal gerilmeler Eğik gerilmei, yüzey ormali ile çakışık olması durumu Üç Ekseli Gerilme Hali 8 T j ) x x T i ) T j ) T k ) z P ) = = x yx zx xy y zy xz yz z x T k ) T ) x' T ) = = λ = T x T ) = T y = T z "Dödürüle x' eksei e zama asal ekse ile çakışır?" sorusua cevap arıyoruz. x' T i ) x xy xz x y - Asal gerilmeler, ormal gerilmedir. - Normal gerilmei ekstremum değerleri asal gerilmedir. - Asal gerilme doğrultuları birbirie diktir. - Gerilme hali üç ekseli olduğu zama üç tae asal gerilme vardır. - Asal gerilmeler, gerilme tasörüü özdeğerleridir. = x + y + z + xy + xz + yz = x' = λ = = = x' = 0 veya veya = λ λ λ x xy xz λ λ = yx y yz ) T = ) λ yx zx zx zy z y zy x λ xy xz 0 yx y λ yz = 0 yz z zx zy z λ ij λ δ ij λ = λ max = 0 0 ij λ δ ij = 0 λ = 0 0 λ = λ mi =

9 Gerilme halii ivaryatları Gerilme tasörüü değişmezleri Üç Ekseli Gerilme Hali 9 Bir cismi herhagi bir P oktasıda geçe ekseler değiştikçe o oktadaki gerilme halii göstere tasörü bileşeleri de değişir. Fakat değişmeye bazı değerler vardır. İşte bu değerlere gerilme halii ivaryatları deir. Gerilme halii ivaryatlarıı x-y-z ekselerideki gerilme bileşeleri ciside bulalım: x xy xz λ 0 0 x λ xy xz ) = yx y yz = 0 λ 0 + yx y λ yz zx zy z 0 0 λ zx zy z λ x λ yx = zx 0 λ + I λ I λ + I = 0 Gerilme tasörüü birici ivaryatı I = x + y + z = + + = tr) = kk I = I = xy y λ zy x xy yx y yx x zx xy y zy xz yz z λ λ δ ij x xz zx z + + y yz zy z xz yz = = det) z ij λ δ ij Gerilme tasörüü üçücü ivaryatı Gerilme tasörüü ikici ivaryatı = + + = ii jj ij ji ) Bu üçücü derecede deklemi kökleri asal gerilmeleri verir. λ = λ max = λ = λ = λ mi = I, I ve I değerleri, ekse takımı değişse de değişmeye değerlerdir.

10 Kayma gerilmesii maksimum değerleri x x x' T ) z P 45 o max 45 o x T ) x' x' T ) x y P max 45 o Ekseler, asal ekseler ile çakıştırılarak: = + + Üç Ekseli Gerilme Hali 0 = ) + ) + ) 45 o = ± = 0 = ± = max = + Kayma gerilmesii maksimum olduğu 4 tae yüzey vardır. Bu yüzeylerdeki kayma gerilmelerii değerleri ayıdır. Bu yüzeyleri ormalleri -ekseie diktir. = = 0 = max = max = max mi Bu 4 yüzeyde birisi, yadaki şekilde gösterilmiştir.

11 Oktahedral gerilmeler Asal ekseler ile eşit açılar yapa yüzeylere etki ede eğik gerilme ve bileşeleri = = = ± oct P T oct 8 tae yüzey vardır. oct x' = oct = oct = + + oct = + + ) = m oct = I = tr ) oct = x + y + z ) Üç Ekseli Gerilme Hali = ) + ) + ) Ortalama ormal gerilme oct = ) + ) + ) oct = + + ) ) oct = I 6 I = 6 J oct = + + ) + + ) / 9 oct = x y ) + y z ) + z x ) + 6 xy + yz + zx ) / / /

12 Deviatorik gerilme tasörü Üç Ekseli Gerilme Hali z z z z m z m x zx xz x yx x zx P xy xy y zy zy yz y yx y = m P xz P m y xy x x xz m 0 0 x m yz 0 m = 0 + yx z 0 0 m zx + zx x m yx xy xz y m zy zy yz yz z m y m y ij = m δ ij + s ij ij i, j=,,) m δ ij Hidrostatik gerilme tasörü Volümetrik gerilme tasörü Ortalama ormal gerilme tasörü m = oct = x + y + z ) = + + ) = = I s ij Deviatorik gerilme tasörü s x s xy s xz s ij = s) = s yx sy s yz s zx szy s z

13 s s ij = s) = s = s m m m Üç Ekseli Gerilme Hali Deviatorik gerilme tasörüü ivaryatları J = s + s + s = s kk = tr s) = 0 J = s s + s s + s s = s ij s ji = x y ) + y z ) + z x ) + xy + yz + 6 zx = ) + ) + ) 6 = I I = oct J = s s s = s ij s jk s ki = dets) = I I I + I 7

14 Mohr çemberi Asal ekselerde başlayarak dödürme yapıla durum Üç Ekseli Gerilme Hali 4 Mohr çemberi edir? - Bir cismi herhagi bir P oktasıdaki gerilme halii grafik gösterimidir. - Bir cismi herhagi bir P oktasıda geçe her bir yüzeydeki gerilmeyi ve bileşelerii vere grafiktir. - Bir cismi herhagi bir P oktasıda geçe her bir yüzeydeki gerilme bileşeleri ve değer çiftlerie - ekse takımıda karşılık gele oktaları geometrik yeridir. - Bir cismi herhagi bir P oktasıda geçe ve dödürüle eksei dik olduğu yüzeydeki gerilme bileşelerii vere grafiktir x' eksei dödürüle eksedir). l + m + = = = x' T ) = = x' x' T ) ) = + T = + = l + m + P = T ) = [) = l + m + = l m ) + m ) + l )

15 Üç Ekseli Gerilme Hali 5 l + m + = l + m + = l + m + = + l m = + l 0 m = + 0 l 0 m = 0 0 ) + ) + ) + ) + = ) + ) ) ) + = ) + ) ) ) m ) ) + = ) ) l = ) ) + ) )

16 Üç Ekseli Gerilme Hali 6 > > 0 ) ) + = 0 ) ) < 0 < 0 0 m ) ) + = 0 ) ) < 0 > 0 0 l ) ) + = 0 ) ) > 0 > 0 ) ) + 0 [ + ) + [ ) ) ) + 0 [ + ) + [ ) ) ) + 0 [ + ) + [ )

17 Üç Ekseli Gerilme Hali 7 [ + ) + [ ) [ + ) + [ ) [ + ) + [ ) + ), ) > > Bu deklemler, aşağıdaki alaı taımlaya deklemlerdir. + ), ) + ), ),0),0),0) Not: Bu şekil, asal gerilmeleri hepsii pozitif olduğu durum içi çizilmiştir.

18 Üç Ekseli Gerilme Hali 8 = l + m + Bu deklemi, biri pozitif diğeri egatif iki eşit kökü vardır. Üç ekseli gerilme halide, herhagi bir yüzeye etki ede kayma gerilmesii egatif olması bir alam ifade etmez. Oda dolayı sadece pozitif kökü, yai mohr çemberlerii üst bölgesii göz öüe alıması yeterli olur. = l m ) + m ) + l ) Bir P oktasıda geçe herhagi bir yüzeye etki ede eğik gerilme T i bileşeleri ve, bu alaı içide veya sıırlarıda bir oktaı koordiatlarıı belirtir. T = + A,) T

19 l + m + = m = 0 Üç Ekseli Gerilme Hali 9 l = 0 = 0 Sarı çember, yüzey ormalii doğrultma kosiüsü l = 0 ola, yai yüzey ormali, -ekseie dik ola yüzeylere karşılık gele oktaları geometrik yeridir. Kahveregi çember, yüzey ormalii doğrultma kosiüsü m = 0 ola, yai yüzey ormali, -ekseie dik ola yüzeylere karşılık gele oktaları geometrik yeridir. Mavi çember, yüzey ormalii doğrultma kosiüsü = 0 ola, yai yüzey ormali, -ekseie dik ola yüzeylere karşılık gele oktaları geometrik yeridir.

20 Üç Ekseli Gerilme Hali 0 Herhagi bir yüzeye karşılık gele oktaı grafik yolla buluması Yüzey ormalii doğrultma kosiüsleri l, m ve ola bir yüzeye etki ede eğik gerilmei bileşelerii grafik yolla buluması l + m + = cos,) cos l > 0 l > 0

21 Üç Ekseli Gerilme Hali l + m + = cos,) cos l > 0 l > 0

22 Üç Ekseli Gerilme Hali l + m + = < 0 cos,) l < 0 cos l

23 Üç Ekseli Gerilme Hali l + m + = l = cosθ m = cosθ = cosθ θ = cos l θ = cos m θ = cos,) θ θ + θ θ θ + θ θ θ + θ < 90 o olamaz. θ + θ < 90 o olamaz. θ + θ < 90 o olamaz.

24 Üç Ekseli Gerilme Hali 4 Birii yüzey ormalii doğrultma kosiüsü, diğerii egatifie eşit ola yüzeylerdeki gerilme bileşeleri eşittir. θ A,) B,) θ A θ θ B Örek: m A = m B m A = m B = l + m + = l m ) + m ) + l )

25 Üç Ekseli Gerilme Hali 5 Yüzey ormali, -eksei ile ayı açıyı yapa yüzeylere karşılık gele çemberler Yeşil bölgede yer ala ve ayı çember üzeride bulua oktalar, yüzey ormali, -eksei ile ayı açıyı yapa yüzeylere karşılık gele oktalardır. θ

26 Üç Ekseli Gerilme Hali 6 Yüzey ormali, -eksei ile ayı açıyı yapa yüzeylere karşılık gele çemberler Yeşil bölgede yer ala ve ayı çember üzeride bulua oktalar, yüzey ormali -eksei ile ayı açıyı yapa yüzeylere karşılık gele oktalardır. θ

27 Üç Ekseli Gerilme Hali 7 Yüzey ormali, -eksei ile ayı açıyı yapa yüzeylere karşılık gele çemberler Yeşil bölgede yer ala ve ayı çember üzeride bulua oktalar, yüzey ormali -eksei ile ayı açıyı yapa yüzeylere karşılık gele oktalardır. θ

28 Üç Ekseli Gerilme Hali 8 o o 0 o 75 o 90 o θ 5 o - 90 o - 5 o - 75 o - 60 o - 0 o - 45 o

29 Üç Ekseli Gerilme Hali 9 90 o 60 o 75 o 45 o 0 o 5 o θ - 5 o - 0 o - 45 o - 60 o - 75 o - 90 o

30 Üç Ekseli Gerilme Hali 0 45 o 60 o 75 o 90 o 0 o 5 o θ - 5 o - 0 o - 90 o - 45 o - 60 o - 75 o

31 Üç Ekseli Gerilme Hali 60 o 0 o 45 o 45 o θ =0 o θ =60 o 75 o 5 o 0 o 60 o 60 o 0 o 5 o 75 o 60 o 45 o 0 o 45 o 0 o θ =60 o 5 o 5 o 75 o 75 o 90 o 0 o 90 o 90 o 0 o 90 o 0 o 0 o 0 o 90 o 0 o 90 o - 45 o - 45 o l + m + = - 45 o - 45 o - 45 o - 45 o

Σχετικά έγγραφα

İki Eksenli Gerilme Hali

İki Eksenli Gerilme Hali İki Ekseli Gerilme Hali İki Ekseli Gerilme Hali Bir cismi herhagi bir oktasıdaki asal gerilmelerde birisi sıfır ise o oktadaki gerilme hali "iki ekseli gerilme hali"dir. Düzlem gerilme hali de deir. 0