STATISTINIAI METODAI

Transcript

1 LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS MATEMATIKOS KATEDRA Ulf Olsso Ulla Egstrad Petras Rupšys STATISTINIAI METODAI SAS ir MINITAB

2 LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS MATEMATIKOS KATEDRA Ulf Olsso Ulla Egstrad Petras Rupšys STATISTINIAI METODAI SAS ir MINITAB Mokomoji kyga AKADEMIJA, 007

3 3 Turiys skyrius. Statistiis metodas Statistika biologijoje Geeraliė aibė ir imtis Statistiės išvados... 6 skyrius. Aprašomosios statistikos pagridai Imties matavimai Skaitmeiių duomeų suvestiė Skaitmeiių duomeų grafiis pavaizdavimas Kokybiių duomeų atvaizdavimas....5 Pratimai skyrius. Tikimybių teorija Pagridiės sąvokos Tikimybės sąvoka Tikimybės skaičiavimo taisyklės Pratimai skyrius. Tikimybiiai skirstiiai Sąvokos Diskretieji atsitiktiiai dydžiai Tolydieji atsitiktiiai dydžiai Atsitiktiių dydžių fukcijos vidurkis ir dispersija Imties vidurkio tikimybiis skirstiys Pratimai skyrius. Statistiės išvados: įvertiimai Žymėjimo sistema Taškiis įvertis Įverčių savybės Pasikliautiieji itervalai Pratimai skyrius. Hipotezių tikriimas Pavyzdys Hipotezės H 0 : µ= µ 0 tikriimas Kriterijaus p reikšmė Viepusė alteratyva Hipotezės H 0 : µ= µ 0 tikriimas, kai σ yra ežiomas Pratimai skyrius. Išvados apie proporciją Proporcijos p pasikliautiasis itervalas Imties tūrio ustatymas Hipotezės H 0 : p = p 0 tikriimas Skirtumo pa pb pasikliautiasis itervalas Hipotezės H 0 : p A = pb tikriimas Pratimai skyrius. Dviejų vidurkių palygiimas Įvadas Skirtumo µ µ įvertiimas: suporuoti duomeys Pricipiės išvados apie µ µ Išvados apie µ µ : mažos imtys, lygios dispersijos Išvados apie µ µ : mažos imtys, elygios dispersijos Išvados apie µ µ : didelės imtys Dviejų grupių palygiimas: Miitab pavyzdys... 66

4 8.8 Pratimai skyrius. Eksperimeto plaavimo pagridai Eksperimeto plaavimas Termiai ir apibrėžimai Pagridiės eksperimeto plaavimo sąvokos Eksperimeto plao pavyzdžiai skyrius. Vieo faktoriaus dispersiė aalizė Pavyzdys Modelis ir apribojimai Kvadratų sumos išdėstymas Aova letelė Kompiuteriė aalizė Pratimai skyrius. Kada F testas yra reikšmigas Badymų palygiimas Kelių testų problema Pratimai skyrius. Blokiės struktūros eksperimetai Radomizuotasis blokiis plaas Lotyiškojo kvadrato eksperimetai Pratimai skyrius. Faktoriiai badymai Du fiksuoti faktoriai Du fiksuoti badymų pakartojimų faktoriai Daugiafaktorė aalizė Nesubalasuotieji eksperimetai Pratimai skyrius. Radomizuotieji ir hierarchiiai modeliai Modeliai su atsitiktiiais faktoriais Hierarchiiai modeliai Pratimai skyrius. Dispersiės aalizės (Aova) prielaidų patikriimas Liekaų aalizė Normališkumas Homoskedastiškumas Nepriklausomumas Modelio teisigumas Liekaų pavaizdavimas Miitab paketu Pratimai Priedai

5 5 skyrius Statistiis metodas. Statistika biologijoje Fizikos mokslas realų pasaulį pateikia griežtai apibrėžto pavidalo. Galime fizikos dėsį išreikšti formule, pavyzdžiui, E= mc. Šis dėsis veikia uiversaliai tol, kol moksliiai tyriėjimai jį pakoreguoja. Vadiasi, galime laikyti, kad fizika yra determiuotasis mokslas. Tai leidžia tvirtiti, kad daugumą fizikos dėsių galime užrašyti taip: y= f( x), čia y yra dydis (kitamasis), aiškiatis reiškiio esmę, f yra tam tikra fukcija, x yra argumetų, daračių įtaką dydžiui y, visuma. Biologijoje, įskaitat žemės ūkio mokslą, gamtos dėsiai yra žymiai sudėtigesi. Biologiiai reiškiiai dažai pasižymi didele variacija, kuri dėsį padaro sukiai suvokiamą. Jeigu jūs taikysite tą pačią techologiją dviejuose laukuose, tai abiejuose laukuose gausite skirtigą derlių. Dvi vieodo amžiaus varlės yra skirtigo svorio. Dvi karvės, gauačios tą patį pašarų racioą, duoda skirtigą pieo kiekį. Taigi, variacija yra esmiė biologiių stebėjimo duomeų savybė. Norėdami padaryti išvadas, paaudodami biologiių stebėjimų duomeis, susiduriame su variacijos problema, kurią paaiškiti gaa sudėtiga. Viea iš galimybių įveikti biologię variaciją yra jos laikymas atsitiktie. Ši prielaida biologijoje daugelį gamtos dėsių padaro tikimybiiais. Vadiasi, šie dėsiai yra valdomi tikimybių postulatais. Bet kurį biologiį reiškiį galime užrašyti taip: y = f( x) + e, čia y yra tam tikro dydžio stebėjimo reikšmė, f yra tam tikra fukcija, kuri simbolizuoja tikėtią arba vidutię dydžio y reikšmę populiacijoje, x yra dydžių, daračių įtaką dydžiui y, visuma, e usako paklaidos dydį. Šį modelį tikimybiiu padaro paklaidos arba liekaos dydis e. Vėliau pastebėsime, kad šioje kygoje agriėjami metodai ir modeliai yra šios pateiktos bedrosios formulės skirtigi atvejai. Pavyzdys: Č.Darvias 876 metais išleido kygą Augalų kryžmiimo ir savidulkos efektai. Autorius kygoje siekė parodyti, kad augalai, padaugiti kryžmiimo būdu, yra aktyvesi egu padaugiti savidulkos būdu. Jis atliko eksperimetą dviem būdais sukryžmięs ir vieodomis sąlygomis užaugięs 5 porų augalų. Praėjus tam tikram augalo augiimo laikui, buvo išmatuotas kiekvieo augalo ūgis. Duomeys pavaizduoti grafike: Augalo ūgis grupė - kryžmiimo būdu, grupė - savidulkos būdu Duomeys iš Darvio kygos (876)

6 6 Grafikas parodo, kad -os grupės augalai vidutiiškai yra aukštesi už -os grupės augalus. Tačiau tiesiogie prasme toks tvirtiimas ėra tikslus, es galime pastebėti abiejų augalų grupių ūgio tapatumų bei mažesio ūgio -os grupės augalų. Suku tvirtiti ar, remiatis grafiku, Darvio padaryta išvada buvo teisiga. Klausimas yra toks: kokia gali būti suformuluota bedra išvada, audojat pateiktus stebėjimo duomeis? Jeigu sudarysime atitikamą statistiį modelį, tada stebėjimo duomeų pagridu galėsime suformuluoti mokslies išvadas. Darvio stebėjimo duomeų pagridu statistiis modelis gali būti toks: ( Augalo ūgis) = (Vidutiis ūgis) + (Kryžmiimo įtaka) + (Atsitiktiė variacija) Šis modelis yra tikimybiis. Modelis turi daug paašumų su jau pateikta lygybe y = f( x) + e. Dažiausiai statistikas ori daryti išvadas apie determiuotąją dalį f ( x). Būtet orėtume atsakyti į klausimą: ar padidėja vidutiis augalų ūgis, jeigu kryžmiame augalus?. Geeraliė aibė ir imtis Moksliės išvados tam tikra prasme privalo būti apibedrito pobūdžio. Tai įmaoma pasiekti susiejus kokretaus eksperimeto rezultatus su tam tikru bedruoju statistiiu modeliu. Statistiis mąstymo būdas reikalauja apibedritas problemas formuluoti ustatyta tvarka. Privalome suformuluoti bedrą statistię teoriją, kuri tiktų kiekvieai atskirų objektų populiacijai (geeraliei aibei). Darvio pavyzdyje orime padaryti išvadas apie visą augalų populiaciją, iš dalies apsiriboję viea augalų rūšimi. Populiacija gali turėti realią prasmę, pavyzdžiui, visos pieigos karvės Švedijoje 998m. sausio d. Kitu atveju populiacija gali būti tik įsivaizduojama. Pavyzdžiui, Darvias orėjo padaryti išvadas apie visus augalus, kurie iki tol ebūtiai jau egzistavo kaip populiacijos objektai. Suformuluoti gerą tikslų populiacijos (geeraliės aibės) apibrėžimą yra gaa sudėtiga, tačiau pabadysime tai padaryti: Populiacija yra tam tikrų objektų ar idividų visuma. Dažiausiai eįmaoma įtraukti į eksperimetą visų populiacijos objektų. Stebėjimus galime atlikti imdami tiktai populiacijos objektų baigtiį kiekį. Pagridiė statistikos idėja yra padaryti išvadas apie visą populiaciją, paaudojat imties stebėjimo duomeis. Imties kocepcija ebūtiai užtikria, kad imtis atitika populiaciją: Imtis yra populiacijos dalis, paimta tyrimams. Tačiau kiekvieame eksperimete privalo būti atitiktis tarp populiacijos objektų ir imties objektų. Statistikas privalo užtikriti, kad imties objektai teisigai atspidėtų populiacijos objektus, kitaip tariat, imtis privalo būti reprezetatyvi. Kaip tai pasiekiama? Statistiis atsakymas gali būti suformuluotas taip: į imtį objektus privalome paimti atsitiktiiu būdu. Šio parikimo ypatybė yra ta, kad statistikas egali sudaryti imties, kuri sistemigai skirtųsi uo visos populiacijos. Atsitiktiės atrakos būdu sudarytai imčiai galime taikyti pagridiius tikimybių teorijos teigiius ir padaryti atitikamas išvadas. Tolesiuose skyriuose agriėsime atsitiktiį eksperimeto plaavimo metodą. Toliau agriėdami laikysime, jog imtis iš populiacijos sudaryta atsitiktiiu būdu..3 Statistiės išvados Didesė kygos dalis yra skirta problemai: kaip padaryti statisties išvadas, remiatis baigtiės imties objektų stebėjimų duomeimis. Pavyzdžiui, orime suformuluoti tvirtiimą apie tam tikros populiacijos vidurkį (vidutię reikšmę). Tam paimame atsitiktię imtį ir apskaičiuojame imties aritmetiį vidurkį. Ši reikšmė yra audojama išvadai apie populiacijos

7 7 vidurkį suformuluoti, esat statistiko ustatytam išvados tikslumui. Statistiių išvadų gavimo metodai yra pagrįsti tikimybių teorija. Tai, ko siekiama statistikoje, galime glaustai pavaizduoti paveiksle: Pateiktą medžiagą galime suskirstyti į tris dalis. Pirmoje kygos dalyje agriėsime stebėjimo duomeų pavaizdavimo metodus. Duomeis galime sutvarkyti, užrašydami glaustai letelėje arba pavaizduodami grafiškai. Atra kygos dalis skirta teoriiams klausimams. Šioje dalyje išdėstyta tikimybių teorija ir statistikoje aptikami tikimybiiai skirstiiai. Pirmoji kygos dalis yra skirta imties pavaizdavimui, o atroji dalis pateikia visos populiacijos agriėjimo metodus. Trečiojoje dalyje sujugsime visus dalykus, pateiktus pirmosiose dalyse. Šioje dalyje pateikti metodai, kaip padaryti statisties išvadas apie visą populiaciją audojat imties stebėjimų duomeis.

8 8 skyrius Aprašomosios statistikos pagridai. Imties matavimai.. Įvadas Rikdami biologiių reiškiių stebėjimo duomeis, susiduriame su didžiuliu stebėjimo duomeų kiekiu. Aalizuojat šiuos duomeis, dažai yra suku aptikti svarbiausias savybes, es duomeys turi didelę variaciją. Aprašomosios statistikos tikslas yra pateikti duomeų visumies charakteristikas. Galima sakyti, jog tai ėra gryai formali problema: tai tam tikros rūšies detektyviis tyrimas. Šio darbo metu statistikas įvairiais metodais tarsi varto ir sukiėja savo stebėjimo duomeis, kol jis pamato reiškiio esmies savybes, kol gali ekspertams pateikti atitikamo reiškiio įvertitas savybes. Be to, aprašomoji statistika yra bedravimo būdas. Tyriėtojas, ilgą laiką vykdęs tam tikrą eksperimetą, pamato dalykus, kurių pašaliis asmuo eįstegia užfiksuoti. Jeigu šie atradimai gali būti pavaizduoti grafiškai arba pateikti letelėje, tada statistikas gali būti tikras, jog įtikis kitus savo išvadų teisigumu. Taigi, aprašomoji statistika yra svarbi stebėjimo duomeų aalizės dalis tiek pačiam tyrėjui, tiek asmeims, audojatiems statistiius rezultatus... Kitamieji Kitamasis (dydis) yra bet koks požymis, kurį jūs orite užregistruoti arba išmatuoti, stebėdami tam tikrus objektus. Pavyzdžiui, jeigu stebimi objektai yra žmoės, tai galime registruoti amžių, lytį, svorį, meties pajamas, plaukų spalvą, matematiį išsilaviimą ir pa. Vadiasi, kitamieji yra šie: amžius, lytis, svoris, metiės pajamos, plaukų spalva, matematiis išsilaviimas...3 Kokybiiai ir kiekybiiai kitamieji Metodai, audojami aprašomojoje statistikoje (taip pat ir kituose statistiiuose metoduose), priklauso uo to, ar kitamieji yra kokybiiai ar kiekybiiai. Kiekybiio (skaitiio) kitamojo reikšmė yra skaičius. Pavyzdžiui, kiekybiiai kitamieji yra amžius, svoris, metiės pajamos. Kiekybiiai kitamieji gali būti tolydieji ir diskretieji. Tolydusis kitamasis gali įgyti bet kurią reikšmę iš tam tikro itervalo. Pavyzdžiui, žmogaus svoris gali būti išmatuotas (iš pricipo) begaliiu tikslumu. Taigi svoris, kaip ir amžius, yra tolydusis kiekybiis kitamasis. Diskretieji kitamieji gali įgyti tik fiksuotas skirtigas reikšmes. Lytis ir plaukų spalva yra kokybiių kitamųjų pavyzdžiai. Lytis gali įgyti tiktai šias reikšmes: vyras, moteris. Apdorodami stebėjimo duomeis, lyčiai ir plaukų spalvai fiksuoti galime audoti atitikamus kodus. Pavyzdžiui, galime audoti - moters pažymėjimui ir - vyro pažymėjimui. Tačiau toks žymėjimas epakeičia kitamojo prigimties, lytis ir plaukų spalva išlieka kokybiiais kitamaisiais.

9 9..4 Skalių tipai Įvairiems kitamiesiems išmatuoti gali būti audojamos skirtigos skalės. Nomialiė skalė Ordialiė skalė Itervaliė skalė Satykių skalė Reikšmės yra sutvarkytos Vieodo atstumo reikšmės Skalė turi uliį tašką Nomialiėje skalėje įrašomi tiktai esutvarkyti reikšmių vardai. Pavyzdžiui, lytis. Ordialiė skalė turi sutvarkytas kategorijas. Pavyzdžiui, matematikos pažymys. Itervaliė skalė gali turėti vieodo atstumo reikšmes, bet ji eturi uliio taško. Pavyzdžiui, temperatūra. Satykių skalė turi uliį tašką, kuri parodo jog savybės ėra. Pavyzdžiui, svoris. Statistiių stebėjimo duomeų kompaktiško pateikimo formos yra atitikamos visumiės skaitiės charakteristikos, letelės, grafikai. Šios formos priklauso uo statistiių duomeų tipo ir audojamos skalės tipo...5 Duomeų įvedimas Statistiio duomeų apdorojimo paketai skaito duomeis, pateiktus kompiuterio darbo lapo letelėje, kurioje eilutėse surašyti stebėjimo duomeys, o stulpeliuose surašyti kitamieji. Pavyzdys: Vaikų grupės stebėjimo duomeys pateikiami taip: Vardas Lytis Amžius Svoris Lia M 6 0 Stasė M 7 5 Lias V 6 7 Petras V 8 30 Audra M 7 7 Kiekvieo vaiko stebėjimo duomeys surašyti eilutėje. Vardas ir lytis yra kokybiiai kitamieji, o amžius ir svoris yra kiekybiiai kitamieji. Dauguma statistiių duomeų paketų automatiškai atpažįsta kitamojo tipą. Jeigu duomeyse kitamąjį išreikšime raide, tada šis kitamasis bus iterpretuojamas kokybiiu kitamuoju. Kartais skirtigai kitamojo kategorijai pažymėti audojame kodus. Kitamajam lytis pažymėti galime parikti tokius kodus: vyras=, moteris=, vietoje V ir M. Žioma šis kodavimas epakeičia kitamojo tipo. Pavyzdys: Siekiama ustatyti, kaip sausojo derliaus svoris priklauso uo dirvos tipo ir tręšimo. Eksperimetas buvo pakartotas dviem blokais. Eksperimeto metu gauti stebėjimo duomeys pateikti letelėje:

10 0 Dirva Tręšimas Blokas Sausasis svoris Šviesus molis Šviesus molis Šviesus molis Šviesus molis Šviesus molis Šviesus molis Šviesus molis Šviesus molis Šviesus molis Šviesus molis Šviesus molis Šviesus molis Vidutiis molis Kotroliis Paukščių mėšlas Karvių mėšlas Kompostas Paukščių mėšlas Kompostas Kotroliis Karvių mėšlas Paukščių mėšlas Karvių mėšlas Kompostas Kotroliis Kompostas * Kiekvieo sklypo stebėjimo duomeys pateikti vieoje eilutėje. Dirva ir tręšimas yra kokybiiai kitamieji. Blokas yra išreikštas skaičiumi, tačiau jis taip pat yra kokybiis kitamasis. Sausasis svoris yra kitamasis, usakatis eksperimeto rezultatą. Jis yra kiekybiis ir skaitmeiis. Sausasis svoris turi vieą praleistą stebėjimą, kuris yra žymimas žvaigždute *. Miitab šį kodą audoja praleistiems stebėjimo duomeims pažymėti. SAS pakete praleistas stebėjimas pažymimas tarpo simboliu. Reikia pastebėti, kad kiekvieoje eilutėje privalome įrašyti visų dydžių reikšmes, ors jos ir kartotų akstesę eilutę. Vadiasi, pirmųjų dviejų eilučių egalime įvesti taip: Dirva Tręšimas Blokas Sausasis svoris Šviesus molis Kotroliis Paukščių mėšlas 7. Skaitmeiių duomeų suvestiė.. Aritmetiis vidurkis Stebėjimo duomeų vidutiė (aritmetiė) reikšmė apskaičiuojama pagal formulę: x = i x i. Aritmetiis vidurkis (imties, empiriis vidurkis) išreiškiamas visų stebėjimo duomeų suma, padalita iš jų skaičiaus. pavyzdys: Matuojat dieos amžiaus arba vyresių žiurkių deguoies apytaką (ml/h), gauti tokie stebėjimo duomeys:

11 Visų stebėjimo duomeų suma tokia: i x i = =7.87. Visų 6 žiurkių stebėjimo duomeų vidurkis toks: = x x i = 7.87= i Data from Claes Lilja: A ote o the metabolic rate i the youg rat. Swedish J. agric. Res. 7:03-04, 987. These data will be used i several examples i this chapter. Rezultatą galime suapvaliti iki atitikamo dešimtaiių skaitmeų skaičiaus. Rezultatą galime pateikti taip: x =.74 arba x =.74. Reikia pastebėti, jeigu rezultatą audosime tolimesių skaičiavimų metu, tada apvaliti egalime. Aritmetiis vidurkis yra reikšmigas tiktai skaitiiams kitamiesiems (dydžiams). Neretai aritmetiis vidurkis yra skaičiuojamas dydžiams, išmatuotiems ordialiėje skalėje, pavyzdžiui, mokyklos pažymiams... Mediaa Pagal stebėjimo duomeis apskaičiuotą mediaą vadiame empirie (imties) mediaa ir žymime Md. Empiriė mediaa yra toks realusis skaičius, už kurį mažesi stebėjimo duomeys sudaro pusę jų skaičiaus. Norėdami apskaičiuoti mediaą, duomeis privalome išdėstyti didėjimo tvarka. Tada mediaą rasime audodami taisyklę: + Mediaa yra stebėjimas, turitis padėtį. Jeigu šis satykis ėra sveikasis skaičius, tai mediaa yra stebėjimų, turičių padėtis ir + aritmetiis vidurkis. Pavyzdys: Akstesiame pavyzdyje pateiktus stebėjimo duomeis išdėstome didėjimo tvarka apačioje urodydami jų eilę: Kadagi turime 6 stebėjimų, tai mediaos padėtis sekoje yra = 8.5. Taigi mediaą apskaičiuosime kaip sekos arių 6 6 = 8, + = 9 aritmetiį vidurkį. Šie stebėjimai yra.75 ir Todėl Md= =.75. Mediaa gali būti skaičiuojama tik kitamųjų, išmatuotų itervaliėje, satykių arba ordialiėje skalėse...3 Pataisytasis vidurkis Aritmetiis vidurkis yra visų stebėjimų vidutiė reikšmė. Aritmetiis vidurkis labai priklauso uo kiekvieo stebimojo dydžio ekstremalaus stebėjimo. Pavyzdžiui, skaičių,, 3, 4, 5 aritmetiis vidurkis yra lygus 3; skaičių,, 3, 4, 50 aritmetiis vidurkis yra lygus. Pastebime, kad, pakeitę atskirą vieą stebėjimą, aritmetiį vidurkį žymiai pakeitėme. Tačiau mediaa ėra tokia priklausoma uo ekstremaliųjų stebėjimo reikšmių. Akstesiuose abiejuose pavyzdžiuose mediaa lygi 3. Kitaip tariat, aritmetiis vidurkis x yra paremtas visais stebėjimais, o mediaa Md priklauso daugiausiai uo dviejų stebėjimo duomeų reikšmių. Galime siekti kompromiso tarp abiejų skaitiių charakteristikų tokiu būdu: pavyzdžiui, iš imties pašaliame 5% didžiausių ir 5%

12 mažiausių stebėjimų reikšmių. Tada apskaičiuojame likusių stebėjimų aritmetiį vidurkį. Tokią stebėjimų vidutię reikšmę vadiame 5% pataisytuoju vidurkiu. Pavyzdys: Tarkime, kad turime pavyzdžio stebėjimo duomeis. Atmetę didžiausią stebėjimą (.9) ir mažiausią stebėjimą (.57) ir apskaičiavę likusių stebėjimų aritmetiį vidurkį, gauame.744. Pastaba: Nors pataisytasis vidurkis ypač patrauklus tuomet kai tarp stebėjimų yra labai išsiskiriačių reikšmių, tačiau statistiėms išvadoms formuluoti jis retai audojamas...4 Dispersija Empiriė (imties) dispersija yra stebėjimo duomeų išsisklaidymo matas. Jeigu stebėjimo duomeų reikšmės yra beveik lygios, tai dispersija labai maža, o jeigu stebėjimo duomeų reikšmės labai skiriasi, tai dispersija labai didelė. Empiriė (imties) dispersija apskaičiuojama pagal formulę: s = ( ). x i x i Atliekat skaičiavimus kišeiiu kalkuliatoriumi, ši formulė yra pakakamai problemiška, kadagi iš visų stebėjimo duomeų reikia atimti aritmetiį vidurkį x ir visus skirtumus, pakėlus kvadratu, susumuoti. Atliekat skaičiavimus kišeiiu kalkuliatoriumi, patogiau audoti formulę: s = xi x i. i i Pavyzdys: pavyzdyje pateiktų stebėjimo duomeų dispersiją apskaičiuojame taip: Visų stebėjimo duomeų suma i x i = =7.87. Visų stebėjimo duomeų kvadratų suma i x i = = = = Kadagi imties tūris =6, tai s = = Suapvalię gauame: s =0.0. Pastaba: Kišeiiai kalkuliatoriai arba darbo lapas Excel aplikoje dispersijai skaičiuoti turi atitikamas fukcijas. Pavyzdžiui, Excel programoje yra dvi fukcijos: pirmoji VAR() apskaičiuoja dispersiją remdamasi imties stebėjimų duomeimis, o atroji fukcija VARP() apskaičiuoja dispersiją pagal visos populiacijos stebėjimų duomeis. Esmiis skirtumas yra tas, kad populiacijos dispersija VARP() audoja vardiklyje vietoje (-). Šioje kygoje dispersiją skaičiuosime audodami aksčiau pateiktą imties dispersijos formulę...5 Stadartiis uokrypis Stebėjimo duomeų (empiriis, imties) stadartiis uokrypis išreiškiamas kvadratiės šakies iš dispersijos teigiama reikšme: s= s. Pavyzdys: Pagal pavyzdyje pateiktus stebėjimo duomeis, gauame: s = = Suapvaliame: s= 0.. Pastaba: Teka atsakyti į klausimą: kodėl reikaligos dvi sklaidos charakteristikos - dispersija ir stadartiis uokrypis? Atsakymas yra toks: stadartiis uokrypis yra matuojamas tais pačiais vieetais kaip ir stebimasis dydis, todėl juo audojatis patogu iterpretuoti išvadas. Jeigu stebėjimo duomeys yra išmatuoti cm, tai stadartiio uokrypio dimesija taip pat bus cm.

13 3 Taigi jeigu statistikas ori padaryti išvadas apie stebimojo dydžio kitamumą, jis privalo skaičiuoti stadartiį uokrypį s. Tačiau daugelis statistiių metodų yra pagrįsti dispersija s...6 Plotis Imties pločiu vadiame skirtumą tarp didžiausios ir mažiausios stebėjimo duomeų reikšmės. Ši charakteristika atspidi stebėjimo duomeų kitamumą ir ją esudėtiga apskaičiuoti. Pavyzdys: Pagal pavyzdyje pateiktus stebėjimo duomeis gauame, kad didžiausia stebima reikšmė yra.9 ir mažiausia stebima reikšmė yra.57. Vadiasi, plotis yra.9-.57=0.35. Pastaba: Jeigu imties tūris ėra labai didelis ir stebėjimo duomeyse ėra blogų reikšmių, tai plotis gali būti paaudotas apytiksliam stadartiio uokrypio įvertiimui. Dažai galime plotis įsitikiti, kad s. Šią lygybę galime taikyti praktiiam patikriimui, ar apytiksliai gerai 4 apskaičiuotas kvadratiis uokrypis. pavyzdžio stebėjimo duomeims šią taisyklę taikome taip: 0.35 s = Šis skaičius ėra labai tolimas skaičiui Variacijos koeficietas Dažai audiga stebėjimo duomeų kitamumą išreikšti charakteristika, kuri epriklausytų uo matavimų skalės. Tokį bedimesiį dydį gauame stadartiį uokrypį padalię iš aritmetiio vidurkio. Šį satykį vadiame variacijos koeficietu ir apskaičiuojame pagal s formulę: v=. x Pavyzdys: Tarkime, kad stebėjimo duomeys pateikti pavyzdyje. Tada variacijos koeficietą skaičiuojame taip: v = = Variacijos koeficietą patogu išreikšti.749 procetais. Tam gautą variacijos koeficietą padaugiame iš 00%. Išagriėtame pavyzdyje variacijos koeficietas v=5.7%. Vadiasi, stadartiis uokrypis sudaro apie 5.7% aritmetiio vidurkio...8 Vidurkio stadartiė paklaida Vidurkio stadartiė paklaida s egali būti laikoma stebėjimo duomeų kitamumo x matu. Tiksliausia vidurkio stadartiės paklaidos prasmė gali būti suvokiama kaip visos populiacijos vidurkio įvertiimo tikslumo matas. Natūralu kelti klausimą: kada galime turėti didelį vidurkio x kitamumą? Vidurkio stadartiė paklaida s priklauso uo: x ) dispersijos; ) imties tūrio; 3) imties ėmimo būdo. Jeigu imtis buvo imama atsitiktiiu būdu, tai vidurkio stadartiė paklaida skaičiuojama pagal formulę: s s =. x Pavyzdys: Pagal pavyzdyje pateiktus stebėjimo duomeis gauame: s = = x 6

14 4..9 Kvartiliai ir procetiliai Stebėjimo duomeis mediaa dalija į dvi dalis. Paašiai samprotaudami galime apibrėžti kvartilį q. Kvartilis q yra realusis skaičius, už kurį mažesės stebimos reikšmės sudaro 5%. Mediaą galime vaditi atruoju kvartiliu Trečiasis kvartilis q 3 yra realusis skaičius, už kurį mažesės stebimos reikšmės sudaro 75%. Procetiliai (kvatiliai) visus stebėjimo duomeis pagal jų dydį surikiuoja procetiėje skalėje. Pavyzdžiui, eilės 0. procetilis (arba 0.95) yra toks realusis skaičius, už kurį mažesės stebimos reikšmės sudaro 0% (arba 95%). Kvartilių ir procetilių apskaičiavimas dažai reikalauja iterpoliuoti stebimų reikšmių padėtį. Pavyzdys: Pagal pavyzdyje pateiktus stebėjimo duomeis, kvartilio q 3 padėtis stebėjimo 3( + ) 3(6+ ) 5 duomeų sekoje tokia: = = =.75. Taigi didėjimo tvarka išdėstytų stebėjimo duomeų eilėje kvartilio q 3 padėtis yra.75. Tačiau toks arys eegzistuoja. Todėl imame -ąjį stebėjimą (.79) ir 3-ąjį stebėjimą (.8). Šių dviejų stebėjimo duomeų iterpoliaciją atliekame taip: (.8-.79)= Pirmojo kvartilio padėtis tokia: = = = 4.5. Kadagi 4-as stebėjimas yra , o 5-as yra.68, tai q = Kvartilių plotis Kvartilių plotis yra atitikamas stebėjimo duomeų kitamumo matas. Šios charakteristikos esmė paaši į stadartiio uokrypio. Kvartilių plotis apskaičiuojamas iš lygybės: Qp= q 3 - q. Pavyzdys: Apskaičiuosime -ame pavyzdyje pateiktų stebėjimo duomeų kvartilių plotį: Qp= = Aprašomosios statistikos kompiuteriės programos Statistiiai duomeų apdorojimo paketai SAS ir Miitab yra aprūpiti imties stebėjimo duomeų skaitiių charakteristikų apskaičiavimo komadomis. Pagal -ame pavyzdyje pateiktus stebėjimo duomeis, Miitab duoda tokius rezultatus: Pastaba: Pataisytasis vidurkis (TrMea) apskaičiuojamas atmetus 5% didžiausių stebimų reikšmių ir 5% - mažiausių stebimų reikšmių. Žodyas: Descriptive statistics - aprašomoji statistika, N - imties tūris, Mea - aritmetiis vidurkis, Media - mediaa, TrMea - pataisytasis vidurkis, StDev - stadartiis uokrypis, SEMea - vidurkio stadartiė paklaida, Mi - mažiausia stebima reikšmė, Max - didžiausia stebima reikšmė, Q - pirmasis kvartilis q (apatiis kvartilis), Q3 - atrasis kvartilis q 3 (viršutiis kvartilis). Paaudoję aksčiau pateikto pavyzdžio stebėjimo duomeis ir statistiių duomeų apdorojimo SAS paketo procedūrą MEANS, gauame:

15 5 Jeigu orime gauti daugiau imties skaitiių charakteristikų, tai procedūroje turime pateikti papildomą iformaciją. Žodyas:. N - imties tūris, Mea - aritmetiis vidurkis, Std Dev - stadartiis uokrypis, Miimum - mažiausia stebima reikšmė, Maximum - didžiausia stebima reikšmė. Detalesiam imties ištyrimui audojame procedūrą UNIVARIATE. Tada rezultatai atrodytų taip: Pastaba: Keletas išvedamųjų skaitiių charakteristikų aksčiau ebuvo aiškiamos, būtet: asimetrijos ir eksceso koeficietai apibūdia stebimojo dydžio skirstiio formą. Žodyas: Skewess - asimetrijos koeficietas, Kurtosis - eksceso koeficietas, USS - i x (ekoreguotų stebėjimo duomeų kvadratų suma), CSS - ( x i x) i i (pakoreguotų stebėjimo duomeų kvadratų suma), CV - variacijos koeficietas, Med - mediaa, Lowest - mažiausia stebima reikšmė, Highest didžiausia stebima reikšmė, Obs - stebėjimo duomeų umeriai..3 Skaitmeiių duomeų grafiis pavaizdavimas.3. Kamieo - lapų tipo vaizdai Kamieo - lapų tipo vaizdas yra priimtias greitam stebėjimo duomeų grafiiam pavaizdavimui. Pagridies šio pavaizdavimo idėjas paagriėsime audodami pavyzdžio stebėjimo duomeis. Turime duomeis:

16 Kamieo - lapų diagramai brėžti privalome ustatyti kamieo dydį. Tarkime, kamieu laikome sveikąjį skaičių ir pirmąjį dešimtaiį skaitmeį po kablelio. Tada iš eilės surašome visas kamieo skaities reikšmes didėjimo tvarka. Atrąjį skaitmeį po kablelio užrašome už vertikalaus brūkšio ( lapai ). kamieas lapai kamieas lapai Letelė atrodys patrauklesė, kai stebimos reikšmės bus išdėstytos didėjimo tvarka Kamieo - lapų metodas pateikia stebėjimo duomeų suvestię letelėje ir kartu juos pavaizduoja grafiškai..3. Blokiė diagrama Pagal pavyzdyje pateiktus stebėjimo duomeis ubrėšime blokię stebėjimo diagramą. Tam reikaligos šios skaitiės charakteristikos: Pirmasis kvartilis: q =.68 Atrasis kvartilis: q =Md=.75. Trečiasis kvartilis: q 3 =.805. Kvartilių plotis: q 3 -q = =0.5. Pirmiausia pavaizduojame skalę vertikaliojoje (y) ašyje. Toliau taškuose q, q, q 3 brėžiame horizotalias tieses. Šias liijas sujugiame į dėžutės formą. Iš abiejų dėžučių vidurio iškeliame statmeis ( ūsus ) iki didžiausios ir mažiausios stebimos reikšmės. Miitab paketas blokię diagramą vaizduoja taip: Pastaba: Blokiė diagrama gali būti braižoma horizotalios padėties. Moderesėse blokiėse diagramose dėžučių ( ūsai ) brėžiami iki viršutiio rėžio ir apatiio rėžio. Šie rėžiai apibrėžiami taip: viršutiis rėžis: q 3 +.5Qp. apatiis rėžis: q -.5 Qp. Stebėjimo duomeys, epatekę į uždarą itervalą tarp apatiio ir viršutiio rėžių, grafike pavaizduojami atskirai. Stebėjimo reikšmės, epatekusios į šį itervalą, pažymimos savais simboliais ir jos vadiamos eaptvariėmis. Aptvaro apatiis ir viršutiis rėžiai usakomi

17 7 lygybėmis: q - 3Qp, q 3 +3 Qp. Moderesės blokiės diagramos pavyzdys bus pateiktas šiame skyriuje..3.3 Dažumų letelės Jeigu stebėjimo duomeų kiekis yra labai didelis, tada audiga juos pavaizduoti kompaktiškoje dažių letelėje. Šis metodas reikalauja stebėjimo duomeis sugrupuoti į atitikamą klasių (itervalų) kiekį ir apskaičiuoti, kiek stebėjimų pateko į atitikamą klasę (itervalą). Bedros metodo realizavimo taisyklės yra šios: * parikti klases taip, kad kiekvieas stebėjimas patektų tiktai į vieą iš klasių; * klasių skaičius parekamas uo 5 iki 0; * parikus klasių rėžius ustatyti klasės vidurio tašką; * vegti sudaryti klases su atvirais rėžiais; * jeigu įmaoma, visų klasių plotus imti vieodus. Pavyzdys: Tarkime, kad turime pavyzdyje pateiktus stebėjimo duomeis. Sudarome dažių letelę, išskirdami 5 klases: Klasių rėžiai Vidurio taškas Dažiai Histogramos Histograma yra stebėjimo duomeų dažių letelės grafiis pavaizdavimas. Kiekviea klasė yra pavaizduojama stačiakampiu. Stačiakampio plotas yra proporcigas dažumui, būtet: stebėjimo duomeų, patekusių į atitikamą klasę, skaičiui. Pastebėsime, kad stačiakampio aukštis yra proporcigas dažiui tada, kai klasių pločiai yra vieodi. Kai klasių pločiai ėra vieodi, tada vertikaliojoje (y) ašyje eurodoma reikšmių skalė. Brėžiyje galime pateikti dažius, rašydami juos stačiakampio viršuje. Histogramoje stačiakampiai turėtų liestis vieas su kitu, parodydami, kad stebimas dydis gali įgyti visas reikšmes. Kai kuriuose programiiuose paketuose tai atlikti gaa sudėtiga. Tačiau esuku tai padaryti audojat Miitab ir Excel paketus. Aksčiau pateiktų stebėjimo duomeų histograma yra tokia:.3.5 Histogramos esat evieodiems klasių pločiams Aksčiau pastebėjome, kad brėžiamo stačiakampio plotis turėtų būti proporcigesis dažiui egu stačiakampio aukštis. Šią savybę pabadysime paaiškiti, brėždami histogramą, esat elygiems klasių pločiams.

18 8 Pavyzdys: Tarkime, orime grafiškai pavaizduoti 30 ūkių turimos žemės plotų pasiskirstymą. Duomeys pateikti letelėje: Plotas Ūkių kiekis 5-0 ha ha ha 0 Klasių pločiai yra elygūs, tačiau kiekviea klasė turi po vieodą ūkių skaičių. Jeigu ūkius suskirstysime į vieodo pločio klases, tada ūkių pasiskirstymas galėtų būti toks: Plotas Ūkių kiekis 5-0 ha ha ha ha ha ha ha.5 Nubrėšime keletą histogramų, tarp kurių yra eatitikačių stebėjimų duomeų reikšmės. Kairėje pusėje ubrėžta histograma iškreipia vaizdą. Dešiėje pusėje esati histograma yra priimtiesė, es visi stačiakampiai turi vieodus plotus. Todėl ši histograma rodo, kad kiekvieoje klasėje yra vieodas ūkių skaičius. Ūkių plotų pasiskirstymo bloga histograma Ūkių plotų pasiskirstymo gera histograma Mao uomoe, apačioje kairėje ubrėžta histograma yra labai bloga, es joje klasių pločiai imami lygūs, ors iš tikrųjų yra priešigai..3.6 Sklaidos diagrama Kamieo - lapų tipo diagrama, dažumų letelė, blokiė diagrama ir histograma vaizduoja vieo stebimo dydžio reikšmių pasiskirstymą duotu laiko mometu. Dažai teka tyriėti keleto skaitiių kitamųjų tarpusavio priklausomybę. Tai galime pasiekti vieą dydį pavaizdavę horizotaliojoje ašyje, atrą dydį pavaizdavę vertikaliojoje ašyje ir stebėjimo duomeis pažymėję taškais (sklaidos diagrama).

19 9 Pavyzdys: Paimsime duomeis, gautus stebit sodiukų šakies augimą. Sodiukai buvo laistomi į tirpalą pilat skirtigą rūgšties dozę. Rūgšties kiekis brėžiyje pateiktas logaritmiėje skalėje. Stebėjimo duomeys pasižymi dideliu kitamumu. Tačiau pastebima bedra savybė, kad didėjat rūgšties dozei vidutiis šakies augimas mažėja..3.7 Kitamumo pavaizdavimas Neretai grafikas talpia perdėtai daug iformacijos. Pavyzdžiui, grafike yra daugybė taškų, kurių foe eįstegiame suprasti reiškiio esmės. Todėl yra audiga apibedriti visus stebėjimo duomeis ir brėžiyje pateikti tiktai visumies charakteristikas. Keletas patarimų: brėžiyje vaizduoti tiktai vidurkius; ubrėžti kiekvieos x reikšmės blokię diagramą; brėžiyje vaizduoti kiekvieos x reikšmės vidurkį ± stadartiį uokrypį; brėžiyje vaizduoti kiekvieos x reikšmės vidurkį ± vidurkio stadartię paklaidą. Pasiremdami suformuluotais reikalavimais, aksčiau audotus stebėjimo duomeis pavaizduosime grafiškai. Reikia pastebėti, kad yra daug būdų dydžio kitamumui apibūditi: x± s ; x± s, x± s x. Ulla Dido ad Ulf Olsso (997): A bioassay method for detectio of Dichlor prop ad MCPA i water. Swedish J. Agr. Res., 7: -8 Norėdami išvegti esusipratimo, privalome brėžiyje įvarditi audojamą kitamumo matą. Pateiksime brėžiius, vaizduojačius: blokię diagramą, vidurkius, vidurkius ± vidurkių stadarties paklaidas, vidurkius ± stadartiius uokrypius: Log(skalė) Šakų augimo blokiė diagrama Log(skalė) Šakų augimo vidurkiai

20 0 Log(skalė) Šakų augimo: vidurkiai ± stadartiiai uokrypiai Log(skalė) Šakų augimo: vidurkiai ± vidurkių stadartiės paklaidos.3.8 Kitos dvimatės diagramos Dažai patogu paaudoti kelių vaizdavimo priemoių kompoziciją. Kaip vieą iš pavyzdžių galėtume palygiti kelias grupes (arba skirtigus eksperimetus). Šioje situacijoje yra audiga visų grupių blokies diagramas ubrėžti vieame brėžiyje. Grafiko horizotaliojoje ašyje bus pažymimas kokybiis kitamasis (grupė), o vertikaliojoje ašyje - kiekybiis kitamasis. Pavyzdys: Eksperimeto metu yra tiriamas dviejų grupių vaisigumas. Pirmoji grupė buvo sudaryta pagal pasipriešiimą DDT, atroji grupė buvo sudaryta atsitiktiai. Buvo surikti stebėjimo duomeys apie kiekvieos patelės padedamų kiaušiių vidutiį kiekį per dieą dviejų savaičių laikotarpyje. Duomeys pateikti letelėje: grupė grupė Atsakymą į klausimą, ar yra skirtumas tarp abiejų grupių vištų dėslumo, gauame stebėjimo duomeis pavaizdavę blokiėje diagramoje:

21 Grupės Nors abiejų grupių stebėjimo duomeys iš dalies persidegia, tačiau diagrama leidžia daryti išvadą, jog grupės vištų dėslumas yra mažesis egu grupes. Šiai išvadai padaryti vėliau paagriėsime tikslesius metodus..4 Kokybiių duomeų atvaizdavimas.4. Dažių letelės Diskrečiųjų stebėjimo duomeų (pavyzdžiui, duomeys pateikti omialiėje skalėje) paprasčiausias glaustas pavaizdavimas yra dažių letelių sudarymas. Nagriėsime stebėjimo duomeis: Mičigao 3 miškuose atliktas tyrimas, stebit įvairių rūšių medžių skaičių. Stebėjimo duomeys pateikti tokioje dažių letelėje: Medžių rūšis Medžių skaičius Raudoasis ąžuolas 346 Baltasis ąžuolas 448 Juodasis ąžuolas 35 Hickory 703 Klevas 54 Kitos rūšys 05 Iš viso 5.4. Kryžmiis tabuliavimas Kryžmiė letelė yra tokia, kurioje stebėjimo duomeys yra suskirstyti pagal du (arba daugiau) požymius. Pagal kryžmies leteles galime tyriėti kelių kitamųjų priklausomybę. Pavyzdys: Atliktas tyrimas, orit ustatyti, ar širdies ligos priklauso uo karkimo itesyvumo 4. Eksperimeto metu buvo ištirti 484 asmeys. Duomeys pateikti kryžmiėje letelėje: Karkimas Širdies ligos Retai/iekada Dažai/visada Iš viso Turi Ne Iš viso

22 Kryžmię letelę suvokti yra gaa suku. Letelė taps priimtiesė, jeigu skaičius išreikšime procetais. Skaičiavimus atliekame taip: ) apskaičiuojame požymį visų stebėjimų skaičiaus procetais (484); ) apskaičiuojame stebėjimų skaičių bedros eilutės sumos procetais (0 arba 374). Tarp 5 asmeų, sergačių širdies ligomis, karkimo požymį turi: 00% = 46.4%. ; 0 3 G. N. Digby ad R.A. Kempto (987): Multivariate aalysis of ecological commuities. Lodo, Chapma & Hall. 4. G. Norto ad E.V. Du (985): Sorig as a risk factor for disease. British Medical Joural, pp ) apskaičiuojame stebėjimų skaičių bedros stulpelio sumos procetais (958 arba 46) Tarp asmeų, turičių karkimo požymį, širdies ligomis serga: 00% = 0.9%. Pateikėme tris metodus procetams apskaičiuoti. Kokretaus metodo taikymas priklauso uo to, kokią savybę aalizuoja statistikas. Pirma pastebėjome, kad 46.4% asmeų, sergačių širdies ligomis, karkia, atra, galime apskaičiuoti, kad karkiatieji sudaro % = 8.8%. Aksčiau pateikti skaičiavimai gali būti audojami formuluojat išvadas 484 apie karkimo ir širdies ligų sąryšį. Vėlesiuose skyriuose pateiksime metodiką, kuri leis atsakyti į klausimą, ar požymiai yra epriklausomi..4.3 Stulpeliė diagrama Letelėje pateiksime stebėjimo duomeis, gautus stebit pelių svorį, kuris priklauso uo dietos 5. Eksperimeto metu buvo skiriamos skirtigos dietos, ir matavimai pakartoti po 0 dieų. Grupė Pradiis svoris (gr) Svoris po 0 dieų (gr) Labai mažas proteių kiekis (A) Dieta be proteių (B) Mažas proteio kiekis (C ) Geras maitiimas taip: Stulpeliė diagrama, vaizduojati pelių svorį priklausomai uo maitiimo dietos, atrodo 5 Data from R.O. Lawal: The effect of a sigle oral dose of polypheols obtaied from the outercoat of the fruit of Treculia africaa i protei-deficiet rats. Food Chemistry 44 (99) Skrituliė diagrama

23 3 Vasariių kviečių maistiių medžiagų sudėtis pateikta letelėje 6 : Maistiės medžiagos Vidurkis (%) Arabiose residues.30 ylose residues 3.60 Maose residues 0.8 Galactose residues 0.49 Glucose residues 3.60 Uroic acid residues 0.35 Klaso ligi 0.74 Išreiškiame kiekvieą maistię medžiagą bedros sumos procetais. Gautus procetus sukame atitikamu kampu ir jį pažymime skritulyje. Uroic acid residues Klaso ligi Arabiose residues Glucose residues Galactose residues Maose residues ylose residues 6 Data from: Per Ama: The variatio i chemical compositio of Swedish wheats. Swedish J. Agric. Res. 8:7-30, (988)..5 Pratimai. Eksperimeto metu išmatuoti 0 augalų ūgiai. Gauti duomeys: A. Pavaizduokite stebėjimų duomeis dažių letelėje, parikę priimtią klasių skaičių. B. Naudodami dažių letelę ubraižykite histogramą. C. Apskaičiuokite vidurkį, dispersiją, stadartiį uokrypį ir mediaą.. Grupė (8-84 dieų) žiurkių patelių buvo atitikamai matiamos. Po to buvo išmatuotas jų svoris. Gauti stebėjimo duomeys: A. Apskaičiuokite vidurkį. B. Apskaičiuokite dispersiją. C. Pavaizduokite stebėjimo duomeis grafiškai, audodami kamieo - lapų diagramą. D. Apskaičiuokite mediaą.

24 4 E. Pavaizduokite stebėjimo duomeis grafiškai, paaudodami blokię diagramą..3 Vieodomis sąlygomis buvo augiami 5 pomidorų. Praėjus dieai, išmatavus pomidorų stiebų aukščius, gauti stebėjimų duomeys: A. Sudarykite stebėjimo duomeų kamieo - lapų diagramą. B. Apskaičiuokite vidurkį. C. Apskaičiuokite dispersiją. D. Apskaičiuokite mediaą. E. Sudarykite stebėjimo duomeų blokię diagramą..4 Atliktas eksperimetas ustatyti šviesos įtakai garstyčių šakų augimui. Atskiruose iduose pasodita 0 daigų. Atsitiktiai parikti 0 augalų buvo augiami tamsoje. Likę augalai buvo augiami esat ormaliam apšvietimui. Praėjus atitikamam laikui, buvo išmatuoti šakų ilgiai. Gauti stebėjimų duomeys: Šakies ilgis, esat ormaliam apšvietimui Šakies ilgis, augiat tamsoje A. Apskaičiuokite abiejų grupių vidurkius. B. Apskaičiuokite abiejų grupių dispersijas. C. Pavaizduokite stebėjimo duomeis blokiėje diagramoje, kuri apimtų abi pomidorų grupes. D. Pavaizduokite stebėjimo duomeis kamieo - lapų diagramose, audodami tą patį kamieą abiem grupėms.

25 5 3 skyrius Tikimybių teorija 3. Pagridiės sąvokos Tikimybių teorija siekia apskaičiuoti įvykio, kuris gali įvykti arba eįvykti, įvykimo tikimybę. Tikimybių teorija turi ypatigą reikšmę biologijoje, pavyzdžiui, geetikos problemų tyrimui. Pagal stebėjimo duomeis formuluojat statisties išvadas, teoriis pagridas yra tikimybių teorija. Tikimybių teorijai atsirasti didelę reikšmę turėjo azartiiai lošimai. Neskatidami dalyvauti azartiiuose lošimuose, eretai tikimybių teorijai aiškiti paaudosime kai kurias lošimų schemas. Elemetariuoju įvykiu vadiame faktą, kurio įvykimas priklauso uo atsitiktiio eksperimeto rezultatų. Visų vieodai galimų elemetariųjų įvykių aibę vadiame elemetariųjų įvykių erdve. Pavyzdys: Numetus lošimo kauliuką, elemetariųjų įvykių erdvė yra: {,, 3, 4, 5, 6}. Elemetarusis įvykis bus, pavyzdžiui, 6. Įvykiu laikome bet kurį elemetariųjų įvykių erdvės poaibį. Pavyzdys: Įvykį A galime apibrėžti taip: umetus lošimo kauliuką pasirodys lygiis akučių skaičius. Tada gauame, kad A={, 4, 6}. Įvykio A priešiguoju įvykiu vadiame įvykį, kuris įvyksta eįvykus įvykiui A (žymime A ). Du įvykiai vadiami esutaikomais, jeigu įvykus vieam įvykiui kitas įvykis įvykti egali. Pavyzdys: Jeigu įvykis A={, 4, 6}, tada jam priešigas įvykis A ={, 3, 5}. 3. Tikimybės sąvoka

26 6 3.. Satykiis dažis ir tikimybė Pavyzdys: Tarkime, kad atliekamas moetos metimo eksperimetas. Jeigu umetus moetą pasirodo herbas, tai pažymime, o skaičiaus pasirodymą pažymime 0. Pirmą kartą metat moetą gali pasirodyti skaičius. Tada herbo pasirodymo proporcija po pirmo metimo lygi 0. Po atro moetos metimo gali pasirodyti herbas. Pažymėję visų metimų skaičių raide, o herbo pasirodymų skaičių f, gauame f = 0.5. Herbo pasirodymų satykiis dažis yra 0.5. Moetos metimo eksperimetą tęsiame toliau. Atlikus 50 moetos metimų galime gauti, pavyzdžiui: Pastebime, kad proporcija (satykiis dažis) po tam tikro badymų skaičiaus stabilizuojasi arti skaičiaus 0.5. Galime tikėtis, kad herbo pasirodymo tikimybė yra 0.5 (arba f artima skaičiui 0.5). Laisvos formos tikimybės apibrėžimą galime formuluoti taip: P= lim. 3.. Palakusis ir galimasis įvykis Paagriėsime kitą įvykio tikimybės apibrėžimą. Tarkime, kad eksperimete gali įvykti elemetariųjų įvykių ir įvykis A turi f palakiųjų elemetariųjų įvykių. Kyla klausimas: kokia įvykio A įvykimo tikimybė? Atsakymą formuluotume taip: jeigu visi elemetarieji įvykiai f turi vieodas įvykimo galimybes, tai ši tikimybė gali būti skaičiuojama pagal formule: P ( A) =. Pavyzdys: Loterijoje yra 00 bilietų, tarp kurių 5 laimigi. Tada tikimybė, kad paėmus 5 bilietą jis bus laimigas tokia: = Tikimybių teorijos aksiomatika Įvykio tikimybei apibrėžti įprasta audoti aksiomas. Laisvai šias aksiomas galime formuluoti taip: Įvykio A įvykimo tikimybe vadiame skaičių P(A), kuris parodo objektyvią įvykio įvykimo galimybę ir galioja aksiomos: ) 0 P ( A) ; ) esutaikomųjų įvykių sąjugos tikimybė yra lygi skirtigų įvykių tikimybių sumai: P ( A B) = P( A) + P( B). Pavyzdys: Tikimybė, kad umetus lošimo kauliuką pasirodys lygiis akučių skaičius yra: P ( ) + P(4) + P(6). 3. Būtiojo įvykio tikimybė lygi. 4. Negalimojo įvykio tikimybė lygi 0.

27 7 3.3 Tikimybės skaičiavimo taisyklės 3.3. Sudėties taisyklė Dviejų įvykių A, B sąjuga (žymime ) yra įvykis, kuris įvyksta įvykus arba įvykiui A, arba B. Dviejų įvykių A ir B sakirta (žymime ) yra įvykis, kuris įvyksta įvykus ir įvykiui A, ir įvykiui B. Dviejų įvykių A ir B sąjugos tikimybė skaičiuojama pagal formulę: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B). Pavyzdys: Tam tikro geo paveldėjimą usako tikimybės: Vyras Moteris Turi geą Neturi geo Iš viso Kokia tikimybė, kad: ) aujas palikuois bus vyras, ) aujas palikuois turės geą, 3) aujas palikuois bus vyras ir turės geą, 4) aujas palikuois bus vyras arba turės geą? Spredimas. Tikimybė, kad aujas palikuois bus vyras lygi P(A)=0.5. Tikimybė, kad aujas palikuois turės geą, lygi P(B)=0.5. Tikimybė, kad aujas palikuois bus vyras ir turės geą, lygi P( A B) =0.67. Tikimybė, kad aujas palikuois bus vyras arba turės geą, lygi P A B = P A + P B P A B 0,5+ 0,5 0,67= 0, 583. ( ) ( ) ( ) ( ) = 3.3. Tikimybės sąvokų iliustracija Tikimybių teorijos sąvokos ėra sukiai suvokiamos, tačiau jos reikalauja logiio paaiškiimo. Dažai audiga klausimą suformuluoti ustatytu būdu. Vieas iš klausimo formulavimo būdų yra rezultatų užrašymas kryžmiėje letelėje. Tai buvo padaryta, agriėjat lyties ir geo sąryšį. Kitas klausimo pateikimo būdas yra rezultatų pavaizdavimas grafiiu būdu. Grafiiam pavaizdavimui turime dvi galimybes: Veo diagrama ir tikimybiis medis. Dviejų įvykių Veo diagrama pavaizduojama taip: įvykiai A ir B pavaizduojami apskritimais, abu įvykiai A ir B yra bedroji apskritimų dalis, ei A, ei B yra plokštumos dalis, esati abiejų apskritimų išorėje: Veo diagrama gali būti audojama įvykių sąjugos tikimybei paaiškiti. Tikimybė P( A B) yra abiejų įvykių bedrasis degiamas plotas. Vadiasi, tikimybę galėtume skaičiuoti kaip plotą P(A)+P(B). Tačiau tada plotas P( A B) bus imamas du kartus. Taigi, atėmę plotą P( A B) iš P(A)+P(B), gauame plotą P( A B). Gauame dviejų įvykių sąjugos tikimybės formulę: P( A B) = P(A)+P(B)- P( A B). Tikimybiis medis pagal tam tikrą schemą atvaizduoja įvykių seką. Tarkime, agriėjame vaikų lytį šeimose, turičiose tris vaikus. Įvykiai pavaizduojami grafiškai, o atitikamos įvykių sekos tikimybė gauama sudaugiat atskirųjų įvykių tikimybes:

28 Nepriklausomieji įvykiai Du įvykiai A, B vadiami epriklausomais, jeigu P( A B) = P( A) P( B). Pavyzdys: Tarkime turime akstesio uždaviio sąlygą. Ar galime laikyti, kad geas epriklauso uo lyties? Spredimas. Jeigu geas epriklauso uo lyties, tai P(vyras ir turi geą)=p(vyras) P(turi geą) = =0.5. Tačiau, kaip aksčiau įsitikiome, ši tikimybė lygi Vadiasi, privalome daryti išvadą, kad geas priklauso uo lyties Nepriklausomųjų įvykių sakirtos tikimybė Jeigu įvykiai A, B yra epriklausomi, tada tikimybę, kad įvyks ir įvykis A, ir įvykis B skaičiuojame pagal formulę: P( A B) = P( A) P( B). Pavyzdys: Sėklų daigumas yra 90%, tai yra laikome, kad 90% sėklų sudygsta. Pasėtos dvi sėklos. Kokia tikimybė, kad sudygs abi sėklos. Spredimas. P(sudygs pirmoji sėkla ir sudygs atroji sėkla)=p(sudygs pirmoji sėkla) P(sudygs atroji sėkla) = =8. Pavyzdys: Tarkime, kad pasodita 0 sėklų, o daigumas išlieka aalogiškas. Kokia tikimybė, kad sudygs visos sėklos? Spredimas. P(sudygs visos 0 sėklų) =P(sudygs pirmoji sėkla) P(sudygs atroji sėkla) P(sudygs dešimtoji sėkla) = = =0.9 0 = Sąlygiė tikimybė Įvykio A tikimybė apskaičiuota esat sąlygai, kad įvykis B yra įvykęs, ir tai vadiame įvykio A sąlygie tikimybe įvykio B atžvilgiu P(A/B). Pastaba: Jeigu įvykiai A, B yra epriklausomi, tai P(A/B)=P(A), P(B/A)=P(B). Kitaip tariat įvykio A tikimybė epriklauso uo to, ar įvykis B yra įvykęs, ar e, arba atvirkščiai Bajeso teorema Įvykio A sąlygię tikimybę skaičiuojame pagal formule P( AirB) P( A B) P(A/B)= =. P( B) P( B) Pavyzdys: Tarkime, aksčiau pateiktame paveldimumo pavyzdyje atsitiktiai pariktas asmuo yra vyras. Kokia tikimybė, kad šis pariktas asmuo turi geą? Spredimas. Iš letelės matome, kad P(vyras ir turi geą)=0.67. Letelėje taip pat radame, kad P(vyras)= Pagaliau gauame, jog tikimybė asmeiui turėti geą, jeigu jis yra P(vyras ir turi geà) 0.67 vyras, yra: P ( turi geà/vyras ) = =. = P(vyras) (Vieas trečdalis vyrų turi šį geą).

29 Sadaugos taisyklė Jeigu įvykiai A, B ebūtiai yra epriklausomi, tada tikimybė, jog įvyks ir įvykis A, ir įvykis B, skaičiuojama taip: P(A B)=P(A) P(B/A). Pavyzdys: Pateiktame paveldimumo pavyzdyje apskaičiuokite tikimybę, kad atsitiktiai pariktas asmuo yra vyras ir turi geą. Spredimas. Įvykio tikimybė: =0.67. Be to, ši tikimybė pateikta letelėje. Pastaba: Bajeso teorema ir sadaugos taisyklė yra viea ir ta pati formulė. 3.4 Pratimai 3. Sukryžmius aaasą su baau, gauame vaisius, kurie yra geltoos arba žalios spalvos ir lygaus arba elygaus paviršiaus. Buvo ustatyta, kad 60% vaisių yra žali ir 5% yra lygaus paviršiaus. 0% visų vaisių yra žali ir turi lygų paviršių. Atsitiktiai pariktas vieas vaisius. A. Kokia tikimybė, kad šis vaisius bus arba žalias, arba lygaus paviršiaus? B. Kokia tikimybė, kad šis vaisius bus žalias, jeigu jis turi lygų paviršių? C. Ar yra epriklausomi įvykiai žalias ir lygus paviršius? 3. Turime mišrių vasariių sėklų pakuotę. Žiome, kad šios pakuotės sėklų daigumas yra 80%. Be to, 60% sėklų yra medetkų sėklos. Medetkų sėklų daigumas yra 90%. A. Kokia tikimybė, kad atsitiktiai sudygusi sėkla yra medetkos sėkla? B. Koks kitų sėklų daigumas? 3.3 Paaudosime duomeis iš Aftobladet straipsio Sveika moteris sirgo krūtiės vėžiu. Straipsyje pastebėta, kad daliai moterų buvo eteisigai diagozuotas krūtiės vėžys. 4% moterų, kurioms buvo diagozuotas krūtiės vėžys, iš tikrųjų buvo sveikos, o % moterų, pripažitų sveikomis, iš tikrųjų sirgo krūtiės vėžiu. Tarkime, kad 3% moterų, dalyvavusių eksperimete, diagozuotas krūtiės vėžys. A. Kokia tikimybė, kad moteris, kuri diagozuota kaip sveika, iš tikrųjų serga? B. Kokia tikimybė, kad, atsitiktiai parikta moteris iš eksperimete dalyvavusių serga krūtiės vėžiu? C. Tarkime, kad moteris serga. Kokia tikimybė, kad ji bus diagozuota kaip sveika?

30 30 4 skyrius Tikimybiiai skirstiiai 4. Sąvokos Dydį vadiame atsitiktiiu, jeigu jo įgyjamos reikšmės priklauso uo atsitiktiių reiškiių rezultatų. Atsitiktiio dydžio įgyjamas reikšmes sąlygoja dydžio tikimybiis skirstiys arba dydžio pasiskirstymo ir takio fukcijos. Atsitiktiio dydžio pasiskirstymo fukcija vaizduoja tikimybių priklausomybę uo dydžio įgyjamų reikšmių. Tikimybiiai skirstiiai dažiausiai audojami apibrėžti bedruosius agriėjamų reiškiių dėsigumus. Vadiasi, tikimybiį skirstiį laikome tam tikros tiriamos populiacijos, iš kurios paimta imtis, matematiiu modeliu. 4. Diskretieji atsitiktiiai dydžiai 4.. Diskrečiojo atsitiktiio dydžio tikimybiis skirstiys Diskretusis atsitiktiis dydis charakterizuojamas įgyjamomis reikšmėmis x i ir atitikamų reikšmių įgijimo tikimybėmis p i =f(x i )=P(=x i ) (urodoma kiekvieos įgyjamos reikšmės x i šios reikšmės įgijimo tikimybė f(x i )). Pasiskirstymo dėsis gali būti užrašytas letelėje arba formule, kuri usako reikšmių įgijimo tikimybes. Visų tikimybių suma privalo būti lygi, tai yra f ( ) =. i x i Pavyzdys: Paagriėsime moetos metimo eksperimetą. Jeigu umetus moetą pasirodo herbas, tai atsitiktiio dydžio įgyjamą reikšmę pažymime, jeigu - skaičius, tai pažymime 0. Atsitiktiis dydis gali įgyti dvi reikšmes: x=0, x=. Metus moetą, abi įgyjamos reikšmės turi vieodas galimybes. Pasiskirstymo dėsį pateiksime letelėje ir pavaizduosime grafiškai: x i 0 f(x i ) f(x) vadiame tikimybie takio fukcija. Ši fukcija usako tikimybę, kad atsitiktiis dydis įgis kokrečią reikšmę x: f(x)=p(= x). Pateiktame pavyzdyje f(x)=0.5, kai x=0, f(x)=0.5, kai x= ir f(x)=0 kitoms x reikšmėms.

31 3 Pastaba: Atsitiktiius dydžius žymime didžiosiomis raidėmis, o įgyjamas reikšmes - atitikamomis mažosiomis raidėmis x. Toks žymėjimas leidžia atskirti atsitiktiį dydį uo jo įgyjamos reikšmės. Jeigu iš formuluotės prasmė yra aiški, tada audojame mažąsias raides. Išraiškos P(=x) prasmė yra tokia: tikimybė, kad atsitiktiis dydis įgis reikšmę x. Pavyzdys: Tarkime, kad atsitiktiis dydis gali įgyti dvi reikšmes: x=0, x=. Šių reikšmių įgijimo tikimybės ėra vieodos: P(= )=p, P(= 0)=-p. Tikimybiis skirstiys priklauso uo tikimybės p. Jis vadiamas Berulio skirstiiu su parametru p. x i 0 f(x i ) -p p Pavyzdys: Nagriėsime lošimo kauliuko metimo eksperimetą. Atsitiktiio dydžio įgyjamos reikšmės yra lygios pasirodžiusių akučių skaičiui. Visos reikšmės yra vieodai galimos. Tikimybiį skirstiį vadiame sveikųjų skaičių skirstiiu. Jį užrašome letelėje ir pavaizduojame grafiškai taip: x i f(x i ) /6 /6 /6 /6 /6 /6 4.. Diskrečiojo atsitiktiio dydžio pasiskirstymo fukcija Atsitiktiio dydžio pasiskirstymo fukcija taške x yra tikimybė, kad atsitiktiis dydis įgis mažesę reikšmę arba lygią reikšmei x. Vadiasi, pasiskirstymo fukcija usakoma formule: F ( x) = P( x) = f ( x ). Atsitiktiio dydžio pasiskirstymo fukcijos reikšmė F(x) taške x yra lygi tikimybių įgyti mažeses arba lygias x reikšmes sumai. Pavyzdys: Pavaizduosime Berulio skirstiio su p=0.5 takio ir pasiskirstymo fukcijas letelėje ir grafiškai: 0 f(x) F(x) x x i i

32 3 Pavyzdys: Pavaizduosime sveikųjų skaičių skirstiio (lošimo kauliuko schemoje) takio ir pasiskirstymo fukcijas letelėje ir grafiškai: f(x) /6 /6 /6 /6 /6 /6 F(x) /6 /6 3/6 4/6 5/6 6/ Diskrečiojo atsitiktiio dydžio vidurkis Diskrečiojo atsitiktiio dydžio vidurkis, arba matematiė viltis, yra apibrėžiami formule: µ = E( ) = xi f ( xi ), čia sumavimas atliekamas pagal visas įgyjamas reikšmes. Žymėjimas E () usako tikėtią reikšmę. Vidurkio žymėjimą E () galime keisti žymėjimu µ. Jeigu teka apskaičiuoti tam tikros fukcijos vidurkį, tada žymėjimas E () yra priimtiesis. Pavyzdys: Apskaičiuosime atsitiktiio dydžio, turičio Berulio skirstiį su tikimybe p=0.5, vidurkį: µ = E( ) = xi f ( xi ) = = 0.5. i Pavyzdys: Apskaičiuosime atsitiktiio dydžio, turičio Berulio skirstiį, kai P(=)=p, P(=0)=-p, vidurkį: µ = E( ) = xi f ( xi ) = 0 ( p) + p = p. i Pavyzdys: Apskaičiuosime atsitiktiio dydžio, turičio sveikųjų skaičių skirstiį, vidurkį: µ = E( ) = / 6 + / / / / / 6 = Diskrečiojo atsitiktiio dydžio dispersija Diskrečiojo atsitiktiio dydžio dispersija apibrėžiama formule: σ = Var( ) = ( x µ ) f ( x ). i Pavyzdys: Apskaičiuosime atsitiktiio dydžio, turičio Berulio skirstiį su tikimybe p=0.5, dispersiją: σ = Var( ) = (0 0.5) ( 0.5) 0.5 = 0.5. Pavyzdys: Apskaičiuosime atsitiktiio dydžio, turičio Berulio skirstiį, kai P(=)=p, P(=0)=-p, dispersiją: σ = Var( ) = (0 p) ( p) + ( p) p = p( p). i i i

33 33 Pavyzdys: Apskaičiuosime atsitiktiio dydžio, turičio sveikųjų skaičių skirstiį, dispersiją: σ = Var( ) = ( 3.5) / 6 + ( 3.5) / 6 + (3 3.5) / 6 + (4 3.5) / 6 + (5 3.5) / 6 + (6 3.5) / 6,967. Pastaba: Naudojome formules, urodačias kaip apskaičiuoti pagal imties duomeis vidurkį ir dispersiją. Šiame skyriuje apibrėžėme formules kaip apskaičiuoti atsitiktiio dydžio vidurkį ir dispersiją. Turime įsidėmėti ir esupaiioti šių sąvokų. Paskutiioji ( atsitiktiio dydžio ) vidurkio ir dispersijos iterpretacija taikoma visai tiriamai populiacijai, es atsitiktiis dydis yra populiacijos požymio tikimybiis modelis. Privalome rasti skirtumus tarp sąvokų: a) imties statistikos: x, s ; b) populiacijos parametrai, atitikatys tam tikro atsitiktiio dydžio skirstiio parametrus: µ, σ ir t.t. Paaudodami pateiktą paveikslą, skirtumus galime paaiškiti taip: 4..5 Berulio tikimybė Pavyzdys: Pakuotėje yra vieos rūšies sėklos. Sėklų daigumas yra 70%. Iš pakuotės badymui atsitiktiai paimamos 5 sėklos. Kokia tikimybė, kad visos sėklos sudygs? Spredimas. Pritaikę sadaugos taisyklę, ieškomą tikimybę rasime taip: = Pavyzdys: (tęsiys) Kokia tikimybė, kad sudygs lygiai 3 sėklos iš 5 tiriamų? Spredimas. Pažymime, jeigu paimta sėkla sudygo ir - 0, jeigu sėkla esudygo. Tada tyrimo rezultatas gali būti toks: 0 0. Šios serijos tikimybė bus: = Tačiau yra daugiau palakių serijų, būtet tokių, kad iš pasėtų 5 sėklų sudygs lygiai 3, pavyzdžiui: 0 0; 0 0 ; 0 0; ir pa. Skirtigų serijų skaičių rasime pagal deriių be 3 5! pasikartojimų skaičių. Taigi, skirtigų serijų tiek: C 5 = = = 0. 3!(5 3)! 3 ( ) Kiekvieos šių 0 serijų įvykimo tikimybės yra vieodos ir lygios Vadiasi, tikimybė, jog sudygs lygiai 3 sėklos, bus: Pastaba: Simboliu! pažymime atūraliojo skaičiaus faktorialą, kuris lygus visų e didesių už sveikųjų teigiamų skaičių sadaugai. Pavyzdžiui, 5!=5 4 3 =0.! Pastaba: Deriių be pasikartojimų skaičių radame pagal formulę: C m =. m!( m)! 4..6 Biomiis skirstiys Tarkime, kad eksperimeto metu gali įvykti tiktai du įvykiai: A ir A (pavyzdžiui, sudygs, esudygs ). Šiuos įvykius galime įvardyti kodais: 0 ir. Tarkime, kad įvykio

34 34 įvykimo tikimybė lygi p. Vieo eksperimeto atveju turime Berulio tikimybiį skirstiį. Nagriėjame eksperimetų seriją. Kokia tikimybė, kad įvykis, atitikatis kodą, įvyks lygiai x kartų? Akstesiame paragrafe pateiktas Berulio tikimybių skaičiavimo pavyzdys įgalia daryti išvadą, kad ieškoma tikimybė išreiškiama taip: x x x f ( x) = C p ( p). Ši fukcija yra biomiio skirstiio takio fukcija. Nesuku įrodyti, kad biomiio skirstiio vidurkis ir dispersija atitikamai yra tokie: E ( ) = p, Var( ) = p( p). Pateiksime biomiio skirstiio, kai =0, p=0.7, grafiką: Biomiio skirstiio pasiskirstymo fukcijos reikšmės pateiktos letelėje, priede. Suformuluosime pavyzdį, kuris paaiškis letelės pritaikymą. Pavyzdys: Tarkime, turimų sėklų daigumas yra 70% (p=0.7). Atsitiktiai parikta ir pasėta 0 sėklų. A. Kokia tikimybė, kad tarpe pasėtų sėklų sudygusių bus e daugiau kaip 8 sėklos? B. Kokia tikimybė, kad sudygs lygiai 8 sėklos? Spredimas. Iš letelės paimame pasiskirstymo fukcijos reikšmes, atitikačias 0 eksperimetų seriją: A. Pateiktame pavyzdyje p=0.7. Vadiasi, audosime letelės stulpelį, atitikatį p=0.7. Tikimybė, kad sudygusių sėklų skaičius bus e didesis už 8 apskaičiuojama taip: P ( 8). Iš pateiktos letelės matome, kad ši ieškoma tikimybė yra pasiskirstymo fukcijos reikšmė taške 8 ir lygi ; t.y. F(8)= P ( 8). = B. Tikimybė, kad sudygs lygiai 8 sėklos, apskaičiuojama taip: P( = 8) = P ( 8) P( 7) = = Puasoo skirstiys Pavyzdys: Mažųjų krabų pasiskirstymas paplūdimyje yra atsitiktiis. Paplūdimys padalytas 0.5x0.5 m dydžio kvadratais. Eksperimeto metu kiekvieame kvadrate apskaičiuotas rastų krabų skaičius. Vieame kvadrate vidutiis krabų skaičius (vidurkis) µ =. Kokia tikimybė, kad atsitiktiai pariktame kvadrate bus lygiai 3 krabai? Spredimas. Problemos teoriis spredimas pareikalautų kvadratus palaipsiui imti vis mažesius. Tada kvadratų skaičius pasidarytų labai didelis, ir tikimybė krabui būti tokiame

35 35 kvadrate būtų labai maža. Turėdami kvadratų skaičių, ieškomą tikimybę galėtume apskaičiuoti audodami biomiį skirstiį. Remiatis matematiiais samprotavimais įrodyta, kai ir tikimybė p, biomiis skirstiys artėja į Puasoo skirstiį ( p λs ), kurio takio fukcija yra tokia: x λs ( λs) e f ( x) =. x! Pastaba: Teka paaiškiti žymėjimo λs prasmę. Puasoo skirstiys yra susijęs su matuojamo dydžio masteliu. Jeigu krabų skaičius m turi Puasoo skirstiį su parametru 3, tai krabų skaičius 0.5m turės Puasoo skirstiį su parametru.5. Pavyzdžiui, esat λ s=, tikimybė rasti 3 krabus kvadrate yra tokia: 3 e P ( = 3) = = ! Atsitiktiio dydžio, turičio Puasoo skirstiį, vidurkis ir dispersija atitikamai tokie: E( ) = λs, Var( ) = λs. Puasoo tikimybiio skirstiio pasiskirstymo fukcijos reikšmės pateiktos 3 letelėje, priede. Suformuluosime pavyzdį, kuris paaiškis 3 letelės pritaikymą. Pavyzdys: Tarkime, kad krabų skaičius turi Puasoo skirstiį, kurio vidurkis λ s =3. A. Kokia tikimybė, kad atsitiktiai pariktame kvadratiiame metre bus e daugiau kaip 5 krabai? B. Kokia tikimybė, kad atsitiktiai pariktame kvadratiiame metre bus lygiai 5 krabai? Spredimas. Paimame Puasoo skirstiio pasiskirstymo fukcijos reikšmes iš 3 letelės, esačios priede: A. Letelėje atsakymas apibrėžtas rėmeliu: P ( 5) = B. Ieškomą tikimybę apskaičiuojame taip: P( = 5) = P ( 5) P ( 4) = = Tolydieji atsitiktiiai dydžiai 4.3. Tolygusis tikimybiis skirstiys Daugelis kišeiių kalkuliatorių arba kompiuteriių programų turi atsitiktiių skaičių geeratorius, pažymėtus RND(). Iškvietę šią fukciją kalkuliatoriuje, gauame atsitiktiį skaičių uo 0 iki. Tokių skaičių tikimybiį skirstiį vadiame tolygiuoju. Takio fukcija yra tokia: f(x)=, kai 0, x 0;. Šios fukcijos grafikas yra toks: x f(x)=0, kai [ ]

36 36 Tolydžiųjų atsitiktiių dydžių tikimybės yra išreiškiamos atitikamais plotais, susidaračiais tarp takio fukcijos ir x ašies. Pavyzdžiui, tikimybė, kad tolygusis atsitiktiis dydis įgis reikšmę, mažesę už 0.3, yra 0.3. Ši tikimybė atitika plotą, kuris susidaro į kairę uo reikšmės 0.3. Vadiasi, pasiskirstymo fukcijos F(x) reikšmė lygi 0.3, kai x= Normalusis tikimybiis skirstiys Normaliojo skirstiio svarbą usako du pagridiiai aspektai. Pirmasis iš jų yra tas, kad daugelis kitamųjų bet apytiksliai aprašačių biologiių tyrimų požymius, pasiskirstę pagal ormalųjį skirstiį. Pavyzdžiui, žmogaus ūgis ir svoris. Atrasis aspektas yra tas, kad imties vidurkio bei daugelio imties fukcijų (statistikų) pasiskirstymas artėja į ormalųjį skirstiį, kai imties tūris eribotai didėja ( ). Normalusis skirstiys atitika tolydųjį atsitiktiį dydį, ir jo takio fukcija yra varpo formos. Normalusis skirstiys priklauso uo dviejų parametrų: vidurkio µ ir dispersijos σ. Pasiskirstymo takio fukcija užrašoma tokia formule: f ( x) = σ e π ( x µ ) Normaliojo skirstiio, esat parametrų reikšmėms µ =0, toks: σ. σ =, takio fukcijos grafikas yra Atsitiktiio dydžio, turičio ormalųjį skirstiį, įvairias tikimybes apskaičiuojame kaip tikimybiius plotus. Būtet visas plotas, susidaratis tarp takio fukcijos ir x ašies, yra lygus, o patekti į itervalą uo x iki x tikimybę rasime apibrėžtiio itegralo pavidalo su rėžiais uo x iki x. Patogumo dėlei, šių itegralų reikšmės pateiktos 4, 5 letelėse, priede. Pavyzdys: Tarkime, kad atsitiktiis dydis turi ormalųjį skirstiį, kurio parametrai µ=0, σ =. Kokia tikimybė, kad dydis įgis reikšmę, mažesę už? Spredimas. Grafiškai ieškoma tikimybė pavaizduojama kaip plotas, esatis į kairę uo : Paaudoję stadartiio ormaliojo skirstiio pasiskirstymo fukcijos reikšmių 4 letelę, x gauame: P ( ) = F() = e dx = π Pastaba: Jeigu ormalusis skirstiys turi parametrus µ =0, σ =, tada sakome, jog dydis turi stadartiį ormalųjį skirstiį. Pastaba: Normaliojo skirstiio pasiskirstymo fukcija išreiškiama formule:

37 37 F( x) = σ π x e ( y µ ) σ dy. Reikia pastebėti, kad 4 letelėje pasiskirstymo fukcijos F(z) reikšmės pateiktos tiktai esat teigiamoms z reikšmėms ir įgalia apskaičiuoti tik P( Z z) tikimybes. Jeigu teka apskaičiuoti tikimybę, kad dydis Z įgis reikšmę, didesę už z, tada taikome formulę: P( Z > z) = P( Z z) = F( z). Pavyzdys: Kokia tikimybė, kad stadartiis ormalusis dydis įgis reikšmę, didesę už? Spredimas. Grafiškai ši tikimybė apibrėžiama plotu tarp takio kreivės ir x ašies, kuris susidaro į dešię uo. Paaudodami aukščiau užrašytą formulę ir 4 letelę, gauame: P ( Z > ) = P( Z ) = F() = = Jeigu reikia apskaičiuoti tikimybę, kad atsitiktiis dydis, turitis stadartiį ormalųjį skirstiį, įgis eigiamą reikšmę, tada audojame šią formulę: F( z) = P( Z z) = P( Z z) = P( Z z) = F( z). Pavyzdys: Kokia tikimybė, kad stadartiis ormalusis dydis įgis reikšmę, e didesę už -? F( ) = P( Z ) = P( Z ) = P( Z ) = Spredimas. F() = = Pastaba: Šiose pateiktose formulėse eretai įvykių išraiškose vietoje griežtos elygybės < arba > buvo parašyta arba. Ar tai buvo teisiga? Atsakymas teigiamas: tolydusis atsitiktiis dydis kokrečią reikšmę įgyja su tikimybe, lygia 0. Todėl P ( Z z) = P( Z> z), P ( Z z) = P( Z < z). Pastaba: Jeigu turime apskaičiuoti ormaliojo skirstiio įvairias tikimybes, tai bedras patarimas eaiškumams pašaliti yra toks: schematiškai pavaizduokite takio fukcijos kreivę ir užtušuokite skaičiuojamą tikimybiį plotą. Čia pateikti teigiiai ir pavyzdžiai atitiko stadartiį ormalųjį skirstiį, tai yra µ =0, σ =. Praktikoje pasitaiko daugiau ormaliųjų skirstiių, kurių vidurkiai elygūs 0 arba dispersijos elygios. Šių ormaliųjų skirstiių įvairias tikimybes apskaičiuosime pasiaudodami tuo, kad dydis µ Z = σ turi stadartiį ormalųjį skirstiį, tai yra jo vidurkis µ =0 ir dispersija σ =. Paagriėsime keletą šios savybės pritaikymo pavyzdžių. Pavyzdys: Tarkime, kad apytiksliai suaugusio vyro ūgis turi ormalųjį skirstiį, kurio vidurkis µ =75 ir stadartiis uokrypis σ = 0. Apskaičiuokite tikimybę, kad atsitiktiai pasiriktas vyras bus tokio ūgio: a) žemesio už 85 cm; b) žemesio už 65 cm; c) uo 65 cm iki 85 cm. Spredimas. µ a) P( < 85) = P Z = < = P( Z < ) = σ 0 µ b) P( < 65) = P Z = < = P( Z < ) = σ = µ c) P(65 < < 85) = P < < = 0 σ 0 P( < Z < ) = =

38 Atsitiktiių dydžių fukcijos vidurkis ir dispersija Atsitiktiių dydžių fukcijos vidurkiui ir dispersijai būdigos tam tikros savybės. Neaiškidami šių savybių, jas paaudosime vidurkiui bei dispersijai skaičiuoti, atitikamoms atsitiktiių dydžių fukcijoms. Patogumo dėlei rezultatus įrašome į letelę: Fukcija Vidurkis Dispersija Pastabos a+ b a + bµ x bσ x a b+ cy a + bµ + cµ bσ + cσ + + x y a b+ cy + a + bµ x+ cµ y i = x +bccov(,y) bσ x + cσ ir Y yra y epriklausomi µ + µ µ σ + σ σ,,, yra epriklausomi µ + µ µ = σ + σ + + σ =σ µ σ y Imtis epriklausoma, vidurkis ir dispersija vieodi Imtis epriklausoma, vidurkis ir dispersija vieodi 4.5 Imties vidurkio tikimybiis skirstiys Tarkime, kad iš populiacijos, turičios ormalųjį skirstiį, kurio vidurkis µ ir dispersija σ, paimta tūrio atsitiktiė imtis. Imties vidurkio reikšmė apskaičiuojama pagal formulę xi x =. Nesuku pastebėti, kad skaičių x, x,, x atsiradimas tarp stebėjimo duomeų yra visiškai atsitiktiis. Lygiai taip pat į imtį galėjo patekti bet kuri kita reikšmė, atitikati tam tikrą populiacijos objektą. Vadiasi, imties vidurkis iš tikrųjų yra atsitiktiis dydis! Daugeliui tyriėtojų, eagriėjačių statistikos teoriių pagridų, sukiai pasiseka įsisąmoiti tai, kad imties vidurkis yra atsitiktiis dydis! Statistikas, atlikęs eksperimetą ir gavęs imties vidurkį x =0.0, atūraliai eigia jo atsitiktiumo požymius. Abejoes šalia ir tai, kad imties vidurkio reikšmė 0.0 yra gauta remiatis stebėjimo duomeimis. Legva įsivaizduoti, kad pakartojus eksperimetą daug kartų, atitikačios skirtigus eksperimetus imties vidurkio reikšmės bus skirtigos. Jeigu imties paėmimo ir aalizės darbas esudarytų ekoomiių sukumų, tai imtis uolatos galėtume geeruoti vis aujas. Tokiu būdu galėtume gauti be galo daug imčių. Natūralu tyriėti imties vidurkio dėsigumus galimų imčių visumoje. Tarkime, kad populiacijos vidurkis yra lygus µ, o dispersija - σ. Kaip apskaičiuosime imties vidurkio vidurkį ir dispersiją, jeigu iš populiacijos paimta tūrio imtis? Pasiaudodami vidurkio ir dispersijos savybėmis, turime: ) E ( ) = µ. Ši lygybė parodo, kad imties vidurkio vidutiė reikšmė yra lygi populiacijos vidurkiui;

39 39 σ ) Var( ) =. Ši lygybė parodo, kad imties vidurkio dispersija sumažėja kartų, lygiat su populiacijos dispersija. Pastaba: - puktuose suformuluoti teigiiai bus teisigi tiktai esat prielaidai, kad imties stebėjimai yra epriklausomi. Tai teisiga, kai imtis yra atsitiktiė. Pastaba: Imties vidurkio stadartie paklaida laikome kvadratię šakį iš imties σ σ dispersijos, tai yra: Var( ) = =. Kita imties vidurkio savybė paaiškia imties vidurkio dėsigumus, kai imties tūris eribotai didėja. Ši savybė yra vadiama cetrie ribie teorema. 3) Imties vidurkio pasiskirstymas artėja prie ormaliojo tikimybiio skirstiio, kai imties tūris eribotai didėja. Ši savybė išlieka teisiga et tuo atveju, kai populiacijos agriėjamo požymio skirstiys ėra ormalusis. Suvesime rezultatus. Tarkime, iš populiacijos paimta tūrio imtis. Tada imties vidurkį galime laikyti kaip atskirą duomeį iš populiacijos, kurios vidurkis yra lygusµ, o dispersija yra σ lygi. Jeigu imties tūris yra didelis (imtis didelė) ir populiacijos skirstiys ėra perdaug sudėtigas, tada galime laikyti, kad imties vidurkis turi ormalųjį tikimybiį skirstiį. Jeigu populiacija turi ormalųjį skirstiį, tada imties vidurkis taip pat turi ormalųjį skirstiį et esat mažoms imtims. Pavyzdys: Tarkime, kad vyro ūgis apytiksliai turi ormalųjį skirstiį, kurio vidurkis µ = 75, stadartiis uokrypis σ = 0. Kokia tikimybė, kad paėmus 4 vyrų imtį, vidutiis ūgis bus mažesis egu 80 cm? Spredimas. Galime laikyti, kad imties vidurkis turi ormalųjį skirstiį, kurio vidurkis σ 00 E ( ) = µ = 75, dispersija Var( ) = = = 5 ir stadartiis uokrypis 4 σ = 5= 5. Tikimybei apskaičiuoti paaudojame Z trasformaciją (cetravimas, ormavimas). Gauame: µ P( < 80) = P Z = < = ( < ) = P Z σ 00 4 Pavyzdys: (Populiacijos skirstiys ėra ormalusis). Tarkime, kad gyvetojų, turičių uosavus amus, automobilių skaičiaus pasiskirstymas yra toks: Automobilių skaičius x 0 3 Namų saviikų kiekis procetais f(x) Apskaičiuokite tikimybę, kad, atsitiktiai parikus 00 amų saviikų, vidutiis jų automobilių skaičius yra mažesis už 0.8. Spredimas. Apskaičiuojame populiacijos vidurkį ir dispersiją: µ = x f (x) = = 0.73, σ = x f ( x) µ = = = Kadagi imties tūris =00, tai imties vidurkis apytiksliai turi ormalųjį skirstiį (ors populiacija ėra ormaliai pasiskirsčiusi). Vadiasi:

40 40 P( µ < 0.8) = P Z = < = ( P Z σ <.38) = Pratimai 4. Dideliame laive esačių sugedusių vaisių dalis yra 0.0. Apskaičiuokite tikimybę, kad atsitiktiai paėmus 9 vaisius sugedę bus: A. lygiai trys vaisiai, B. e daugiau kaip trys vaisiai. 4. Didžiausios amplitudės bagų skaičius per sekudę turi Puasoo skirstiį, kurio vidurkis λ s=. Apskaičiuokite tikimybę, kad per 5 sekudes bus: A. ė vieos bagos (P(=0)), B. e daugiau 6 bagų (P( 6)), C. daugiau egu 9 bagų (P(>9)). 4.3 Keturlapių dobilų skaičius pievos m turi Puasoo skirstiį, kurio vidurkis lygus. A. Apskaičiuokite tikimybę, kad pievos m keturlapių dobilų skaičius bus: ) bet vieas; ) lygiai vieas. B. Kokia tikimybė, kad 0 m pievos keturlapių dobilų bus lygiai 0? 4.4 SBR veislės karvių primelžto pieo kiekis turi ormalųjį skirstiį, kurio vidurkis µ = 4. 5 ir dispersija σ = 30. A. Kokia tikimybė, kad atsitiktiai parikta karvė duos mažiau egu 8 kg pieo? B. Kokia tikimybė, kad atsitiktiai pariktų 0 karvių vidutiis pieo kiekis bus lygus 6 kg? C. Kokia tikimybė, kad atsitiktiai pariktų 0 karvių bedras pieo kiekis bus lygus 80 kg? D. Apskaičiuokite gauamo pieo, kurį duoda 95% karvių, apatię ir viršutię ribas. (Ribos turi būti simetriškos vidurkio atžvilgiu). E. Apskaičiuokite 0 karvių gauamo vidutiio pieo kiekio apatię ir viršutię ribas. Į šias ribas turi patekti 95% visų galimų 0 karvių grupių vidutiis pieo kiekis. 4.5 Laboratorijoje požymio ALT ustatymas dažai būa esėkmigas. Kiekvieo tiriamo egzemplioriaus laboratoriių badymų gautos reikšmės turi ormalųjį skirstiį, kurio vidurkis lygus tikrajai ALT reikšmei ir stadartiis uokrypis σ = 4. A. Tarkime, kad skaičius 40 usako didelę ALT kocetraciją. Kokia tikimybė, kad gautas tiriamo pacieto badiys bus didelės kocetracijos, jeigu pacieto tikroji ALT kocetracija yra lygi 35? B. Tarkime, kad laboratorija utarė padaryti po du kiekvieo egzemplioriaus badymus. Kokia tikimybė, kad šių dviejų badymų vidurkis bus didesis už 40, jeigu pacieto tikroji ALT kocetracija yra 35? C. Apskaičiuokite badymo rezultato 95% paklaidos ribas, kai pacieto tikroji ALT kocetracija lygi 35, jeigu: ) egzempliorius tiriamas vieą kartą, ) egzempliorius tiriamas du kartus. 4.6 Farmacijos kompaija audoja testą ustatyti, ar asmuo vartoja arkotikus. Testas leidžia ustatyti priklausomybę et ir tuo atveju, kai asmuo tuo mometu arkotikų eaudojo. Didelė reikšmė parodo, kad asmuo vartoja arkotikus. Testas buvo paaudotas vieoje asmeų grupėje, kuri

41 4 vartoja arkotikus ir kitoje asmeų grupėje, kuri evartoja arkotikų. Abiejų populiacijų parametrai pateikti letelėje: Vidurkis Stadartiis uokrypis Narkomaų Kotroliė Asmuo, kurio testo reikšmė yra didesė už 3.5, laikomas arkomau. Diagostikos testo jautrumas išreiškiamas tikimybe, kad ligotą asmeį testas ustato ligoiu. Diagostikos testo specifiškumas išreiškiamas tikimybe, kad sveiką asmeį testas ustato sveiku. Klausimai A. Apskaičiuokite testo jautrumą. B. Apskaičiuokite testo specifiškumą. C. Gali įvykti taip, kad kotroliėje grupėje yra asmeų, oričių uslėpti savo priklausomybę uo arkotikų. Šie asmeys tikriausiai turės didelę testo reikšmę. Tarkime, kad toks asmuo galėtų būti idetifikuotas ir elimiuotas iš kotroliės grupės. Kokią įtaką tai padarytų: i) jautrumui, ii)specifiškumui. 4.7 Mediciiiai eksperimetai daugiausia remiasi dviejų sigma taisykle. Kraujo tyrimo metu gali būti ustatomas: kalcis, cholesterolis, kalis ir pa. Dviejų sigma taisyklė usakoma taip: (vidurkis) ± ( stadartiiai uokrypiai). Kitaip tariat, 95% sveikų asmeų gali tikėtis, kad tyrimo rezultatai pateks į urodytas ribas. Moterų dviejų sigma cholesterolio ribos yra tokios: Amžius Mažesis egu Nuo iki ir daugiau sigma ribos Klausimai A. Nustatykite kiekvieos amžiaus grupės vidurkį µ ir stadartiį uokrypį σ, kurie buvo paaudoti riboms ustatyti. B. Kokia tikimybė, kad atsitiktiai parikto asmes reikšmės epateks į 3 sigma ribas? C. 8m. amžiaus mergios cholesterolio kiekis yra 5. Kokia tikimybė, kad mergaitė sveika, jeigu eksperimeto metu bus gauta reikšmė 5 arba didesė?

42 4 5 skyrius Statistiės išvados: įvertiimai Stebėjimo duomeų rikimo ir tvarkymo pagridiis tikslas yra apibedriačių išvadų suformulavimas. Gydytojo arba veteriaro pagridiis tyrimo objektas yra pacietas. Statistiis tyrimas apima e tiktai pavieį pacietą, o pacietų visumą. Kitaip tariat, problema formuluojama taip: Eksperimeto metu utukusių pacietų, gydytų vaistu A, sumažėjo svoris 3 kilogramais (vidutiiškai), o pacietų, gydytų vaistu B, svoris vidutiiškai sumažėjo.7 kg. Šiuo rezultatu gydytojai pasiaudoja, kada padaro išvadą, kurį vaistą yra geriausia vartoti. Gydytojas galėtų priimti spredimą, kad kokretus pacietas yra labai paašus į tirtų pacietų visumą, ir tada jam tikamiausia vartoti vaistą A. Dauguma statistiių spredimų reikalauja atitikamų prielaidų. Pirmiausia, laikome, kad egzistuoja populiacija, kuriai bus taikomi gauti rezultatai. Dažiausiai matematiškai populiacija pateikiama atitikamu statistiiu skirstiiu. Populiacija gali būti aprašyta atitikamais parametrais: populiacijos vidurkiu µ, populiacijos dispersija σ, populiacijos proporcija p ir t.t. Populiacijos parametrai dažiausiai yra ežiomi, todėl vieas iš stebėjimo duomeų aalizavimo tikslų yra rasti šių parametrų įvertiimus. Tam iš visos populiacijos imama atitikamo dydžio imtis (pavyzdys). Pagal ją galime rasti daug imties skaitiių charakteristikų, kuriomis remdamiesi apibūdiame imtį: imties vidurkis x, imties dispersija s, imties proporcija p ir t.t. Šią situaciją vaizduojame taip: Imties ėmimo metodo esmė yra ta, kad remiatis imties stebėjimo duomeimis, reikia padaryti išvadas apie visą tiriamą populiaciją. Šias procedūras vadiame statistiėmis išvadomis. Pavyzdys: Atsitiktiai paimta 000 rikėjų imtis. Iš jų 350 pasisakė, kad šiadie palaikytų socialdemokratus. Kokią išvadą galime padaryti apie palaikačių socialdemokratus proporciją tarp visų rikėjų? Pavyzdys: Laktozei ustatyti tirpale prietaisas paaudotas pekis kartus. Matavimų atsitiktiės paklaidos sąlygoja tai, kad kiekvieo matavimo reikšmė yra skirtiga. Pekiems matavimams gautos imties charakteristikos: vidurkis x =3., dispersija s = Koks yra tikrasis laktozės kiekis tirpale? Pavyzdys: A rūšies kviečiai augiami 0 laukelių ir B rūšies kviečiai taip pat augiami 0 laukelių. A rūšies kviečių vidutiis derlius yra 8.0, o B rūšies kviečių Ar galime užtikritai tvirtiti, kad A kviečių rūšis yra derligesė? 5. Žymėjimo sistema Aksčiau pastebėjome, kad populiacijos ir imties skaitiėms charakteristikoms pažymėti yra audojamos skirtigos raidės. Kitoje letelėje pateiksime daugiausia audojamų simbolių suvestię.

43 43 Objektų kiekis Vidurkis Dispersija Stadartiis uokrypis Proporcija Populiacijos parametrai N µ σ σ p arba p x Imties statistikos x s s p arba p x 5. Taškiis įvertis Populiacijos parametro įvertis yra tam tikra stebėjimo duomeų fukcija (statistika), kuri apytiksliai apibrėžia parametro skaitię reikšmę. Kokreti įverčio reikšmė yra vadiama parametro įvertiimu. Parametro įvertiimas gali būti pateikiamas vieitele skaitie reikšme - taškiiu įvertiimu arba atitikamu itervalu - pasikliautiuoju itervalu. Norėdami urodyti, kad yra audojamas parametro taškiis įvertiimas rašome parametrą atitikačio simbolio viršuje stogelį. Parametro µ įvertiimas yra žymimas µ, o parametro σ įvertiimas žymimas Pavyzdys: x yra parametro µ taškiis įvertis. Vadiasi, imties vidurkis yra x =.4, tai skaičius.4 yra parametro µ (taškiis) įvertiimas. Pavyzdys: imties dispersija yra σ taškiis įvertis. Vadiasi, s yra parametro s =3.5, tai skaičius 3.5 yra parametro σ. µ = x. Jeigu apskaičiuotas σ = s. Jeigu apskaičiuota σ (taškiis) įvertiimas. 5.3 Įverčių savybės Statistiko pagridiis tikslas yra gauti parametro įvertiimą kiek įmaoma artimesį tikrajai parametro reikšmei. Kai kurios parametro įverčio savybės yra pageidautios, ors ir ebūtios Nepasliktumas Parametro θ įvertį θ vadiame epasliktuoju, jeigu E ( θ ) = θ. Pavyzdys: Galime įrodyti, kad E (x) = µ. Vadiasi, imties vidurkis yra populiacijos vidurkio epasliktasis įvertis. Pavyzdys: Galime įrodyti, kad E ( s ) = σ. Vadiasi, imties dispersija yra populiacijos dispersijos epasliktasis įvertis. Pavyzdys: Bedruoju atveju, E (s) σ. Vadiasi, imties stadartiis uokrypis ėra populiacijos stadartiio uokrypio epasliktasis įvertis. Įverčio poslikis apskaičiuojamas pagal formulę 5.3. Efektyvumas Bias ( θ ) = E( θ ) θ. Kiekvieam parametrui įvertiti galime paaudoti keletą skirtigų metodų. Vieas iš įvertiimų palygiimo būdų yra dispersijų agriėjimas.

44 44 Natūralu laikyti, kad įvertis θ yra efektyvesis už įvertį θ, jeigu Var θ ) < Var( θ ). Įverčio Var θ θ satykiis efektyvumas prieš įvertį θ apibrėžiamas satykiu Var( θ ( Pavyzdys: Imties mediaą pažymėkime Md. Galime įrodyti, kad ormaliojo skirstiio π σ σ atveju teisiga lygybė: Var(Md) =. Aksčiau pastebėjome, kad Var( x )=. Mediaos Var( Md) Md satykiį efektyvumą vidurkio x atžvilgiu išreiškiame pagal formulę = π. 57. Var( x) Vadiasi, vidurkis x yra 57% efektyvesis egu mediaa. Kitaip tariat, jeigu vidurkio µ įverčiui vietoje x audotume Md, tai orit gauti tokio paties tikslumo vidurkio µ įvertiimą reiktų atlikti 57% stebėjimų daugiau Vidutiė kvadratiė paklaida Nagriėdami įverčius galime aptikti parametro įvertį, kuris yra pasliktasis, tačiau jo dispersija yra mažesė lygiat su bet kuriuo kitu epasliktuoju įverčiu. Įverčio parikimo kriterijumi galime audoti parametro įvertiimo θ vidutię kvadratię paklaidą, būtet: MSE = E( θ θ). Statistikas privalo audoti įvertį, kuris turi miimalią vidutię kvadratię paklaidą MSE. Galime įrodyti, kad MSE( θ )= Var ( θ ) + Bias( θ ).. ) 5.4 Pasikliautiieji itervalai 5.4. Vidurkio µ pasikliautiasis itervalas, kai σ žioma Pasikliautiasis itervalas yra tam tikras teigiys apie populiacijos parametrą. Teigiį usako itervalo pavidalas: itervalui uo.5 iki 5.9 priklauso tikroji parametro reikšmė. Suformuluotam teigiiui patvirtiti duodamas jo patikimumo (pasikliovimo) laipsis, pavyzdžiui 95%. Tada statistikas gali tikėtis, jog teigiys bus teisigas 95%. Pavyzdys: Prietaisas laktozei ustatyti tirpale paaudotas pekis kartus. Matavimų atsitiktiės paklaidos sąlygoja tai, kad matavimų reikšmės yra skirtigos. Gauti matavimai: Prietaiso istrukcijoje tvirtiama, kad matavimų paklaidos dispersija σ = Apskaičiuosime pasikliautiąjį itervalą tikrajam laktozės lygiui tirpale, jeigu pasikliovimo lygis yra 95%. Sąlygoje pateikti tokie duomeys: ) apskaičiuotas imties vidurkis yra x =3.; ) imties tūris =5; 3) populiacijos dispersija σ = ; 4) prietaiso matavimo reikšmių () skirstiio ežiome. Priimame prielaidą, kad turi ormalųjį skirstiį. ( Matavimų reikšmės dažiausiai pasiskirsčiusios pagal ormalųjį skirstiį); 5) ors sąlygoje ebuvo aptarta, tačiau mes priimame, jog matavimai yra epriklausomi.

45 45 Remiatis pateiktais faktais ir prielaidomis galime teigti, kad turi ormalųjį skirstiį, σ σ kurio vidurkis µ (jis yra ežiomas) ir dispersija (ji yra žioma). Taigi: ~ N( µ, ). Dydžio skirstiį išreikšime stadartiiu ormaliuoju skirstiiu taip: E( ) µ Z= =. Var( ) σ Kadagi dydis Z turi stadartiį ormalųjį skirstiį, tai esat tikimybei 0.95 dydis Z įgis reikšmę iš itervalo uo -.96 iki +.96 (pasikliovimo lygmuo 95%). Pastebime, kad ši reikšmė yra radama 5 letelės stulpelio, pažymėto 0.975, paskutiėje eilutėje, esačioje priede. Vadiasi, gauame: µ P.96 < <.96 = σ Sutvarkome reiškiį, esatį po tikimybės žeklu: σ σ P.96 < µ < +.96 = Paaudoję duomeis, pateiktus uždaviio sąlygoje, gauame pasikliautiąjį itervalą: < µ < ; <µ < ; 3.04<µ <3.46. Taigi 95% esame įsitikię, kad itervalas (3.04; 3.46) apima tikrąją parametro µ reikšmę. Šį itervalą vadiame 95% vidurkio µ pasikliautiuoju itervalu. Vadiasi, vidurkio µ pasikliautiąjį itervalą apskaičiuojame taip: x ± σ z. α Dydžio z reikšmes taip pat galime rasti t (Stjudeto) skirstiio letelės paskutiėje eilutėje. Pavyzdžiui, 95% pasikliautiąjį itervalą rasime audodami stulpelį, pažymėtą Pasikliautiasis itervalas priklauso uo trijų dydžių: ) didesė stadartiio uokrypio σ reikšmė paplatia pasikliautiąjį itervalą; ) didesis imties tūris susiauria pasikliautiąjį itervalą. (Jeigu padidisime stebėjimų skaičių, tai sumažisime atsitiktię variaciją); 3) pakeitę pasikliovimo lygmeį, pakeisime pasikliautiąjį itervalą. Pavyzdžiui, 99% pasikliautiasis itervalas yra platesis egu 95% pasikliautiasis itervalas Vidurkio pasikliautiasis itervalas µ, kai σ ežioma Kai populiacijos dispersija yra ežioma, tada apskaičiuoti pasikliautiąjį itervalą pateiktu būdu egalima, es dydžio Z formulėje yra ežiomas dydis σ. Įrodyta, kad esat atitikamoms prielaidoms, statistika µ turi t skirstiį. Šis skirstiys dažai yra vadiamas s Stjudeto skirstiiu. Reikaligos t skirstiiui prielaidos yra šios:

46 46 ) stebėjimai privalo būti atliekami taip, kad jų patekimas į imtį epriklausytų vieas uo kito. Tai galime pasiekti imdami atsitiktię imtį, ors eretai atsitiktiumą sudėtiga užtikriti; ) stebimojo dydžio skirstiys privalėtų būti ormalusis. µ Jeigu šie reikalavimai yra teisigi, tai statistika turės t skirstiį. Šis skirstiys yra s charakterizuojamas parametru, kuris vadiamas laisvės laipsiais. Nepateikdami įrodymo galime teigti, kad mūsų agriėtame uždaviyje laisvės laipsių skaičius yra (-). (Dydis (-) yra imties dispersijos s išraiškos vardiklis). Letelė, usakati t skirstiio reikšmes, yra pateikta priedo 5 letelėje. Pavyzdys: Laktozei ustatyti tirpale prietaisas paaudotas pekis kartus. Matavimų atsitiktiės paklaidos sąlygoja tai, kad matavimų reikšmės yra skirtigos. Gauti matavimai: Populiacijos dispersija σ yra ežioma. Apskaičiuosime tikrojo laktozės lygio pasikliautiąjį itervalą tirpale, jeigu pasikliovimo lygis yra 95%. Pasiaudodami stebėjimo duomeimis galime apskaičiuoti imties vidurkį x = 3. ir dispersiją s = x ( x) ( 6.) 5.03 = 4 5 = = Kadagi turime =5 stebėjimus, tai laisvės laipsių skaičius yra -=4. t skirstiio letelėje radame reikšmę t=.776, kuri atitika 95% tikimybę. Todėl galime laikyti, kad µ P.776 < <.776 = s Sutvarkę reiškiį po tikimybės žeklu, gauame: s s P.776 < µ < = Paaudoję stebėjimo duomeis, gausime pasikliautiąjį itervalą: < µ < ; <µ< ;.95<µ<3.49. Taigi 95% esame įsitikię, kad itervalas (.95;3.49) apima tikrąją parametro µ reikšmę. Pasikliautiasis vidurkio itervalas (kai populiacijos dispersija σ yra ežioma) apskaičiuojamas pagal formulę: s x± t. Formulėje esati t reikšmė radama t skirstiio letelėje. Pavyzdžiui, 95% pasikliautią itervalą apskaičiuosime audodami letelės stulpelį, pažymėtą Laisvės laipsių skaičius skirstiyje yra -. Letelėje didžiausias laisvės laipsių skaičius yra 00. Esat didesiam laisvės laipsių skaičiui, galime audoti stadartiio ormaliojo skirstiio reikšmes. Galime palygiti: t skirstiio, turičio 00 laisvės laipsių, reikšmė lygi.984 (stulpelyje 0.975), o stadartiio ormaliojo skirstiio reikšmė yra.95. Laisvės laipsiams, kurių letelėje ėra, galime audoti iterpoliavimo formules.

47 Pasikliautiojo itervalo formulė Bedroji pasikliautiojo itervalo formulė, pagrįsta ormaliuoju skirstiiu, yra tokia: (Parametras)=(Įvertiimas)± t arba z (Įvertiimo stadartiės paklaidos įvertiimas) ± ( arba z) Var ) θ= θ t θ. ( Jeigu žiome įverčio dispersiją arba stadartiį uokrypį, tada audojame z. Jeigu dispersija turi būti įvertita audojat imtį, imame t Pasikliautiojo itervalo prasmė Aksčiau pateiktame pavyzdyje apskaičiuotas vidurkio pasikliautiasis itervalas buvo toks: 3.± Pasikliautiasis itervalas yra tam tikra įtaiga apie populiacijos vidurkį: leidžiame suprasti, kad itervalas 3.± apima tikrąją populiacijos vidurkio µ reikšmę. Šis tvirtiimas pateiktas usistačius atitikamą pasikliovimo laipsį (agriėtame pavyzdyje 95%). Vadiasi, statistikas yra tikras, kad aalogiškų eksperimetų metu suformuluotas teigiys pasitvirtis 95 procetais. Tai pailiustruosime atlikdami esudėtigą eksperimetą. Iš populiacijos, kurios vidurkis µ =6, o dispersija σ =0, imamos tūrio =0 imtys. Tarkime, kad apskaičiuotas pirmos imties vidurkis x= Tada pagal šią imtį apskaičiuotas 95% pasikliautiasis itervalas bus toks: x ± σ zα. ; 0 6.7±.96 ; 6.7±.96. Vadiasi, pasikliautiojo itervalo rėžiai 0 yra uo 4.7 iki 8.7. Šis itervalas apima tikrąją parametro reikšmę µ=6. Eksperimetas buvo pakartotas 0 kartų. Eksperimetų metu gautų stebėjimų apdoroti rezultatai pateikti paveiksle: Iš paveikslo matyti, kad daugelio eksperimetų pasikliautiieji itervalai apima tikrąją parametro reikšmę µ =6. Eksperimeto, kurio umeris 7, pasikliautiojo itervalo ribos - uo.5 iki 5.4. Vadiasi, vidurkio µ reikšmė 6 epateka į šį itervalą. Taigi, 7 imtis mus uvylė. Apibedridami šiuos eksperimetus galime teigti, kad apie 5% visų 95% pasikliautiųjų itervalų eapims tikrosios populiacijos vidurkio reikšmės. Reikia pastebėti, kad pasikliautiasis itervalas eturi iformacijos, kokia populiacijos stebėjimų dalis pateka į atitikamą matavimų itervalą. Jeigu orime apskaičiuoti itervalą, į kurį patektų 95% stebėjimų, tai šios išvados egalėsime padaryti apskaičiavę pasikliautiąjį itervalą. Šią problemą išspręstume skaičiuodami procetilius, fiksavę parametrus ir skirstiį Imties tūrio ustatymas Pavyzdys: Laktozei ustatyti tirpale prietaisas, paaudotas pekis kartus. Matavimų atsitiktiės paklaidos sąlygoja tai, kad matavimų reikšmės yra skirtigos. Prietaiso istrukcijoje tvirtiama, kad matavimų paklaidos dispersija σ = Reikia atlikti aują eksperimetą, kad

48 48 95% pasikliautiasis vidurkio µ itervalas būtų mažesis egu ± 0.0. Koks turi būti imties tūris? Iš sąlygos žiome, kad σ = Reikalaujame, kad esat aujajai imčiai galiotų σ elygybė: Iš šios elygybės gauame, kad:.96 σ 0.0 ;.96σ. Pasiaudoję duota dispersija σ = 0. 05, 0.0 Suapvaliame: = Bedroji imties tūrio formulė gauame: Imties tūrį skaičiuojame pagal formulę: zσ =, L čia L yra statistiko ustatytas tikslumas (L yra pusė pasikliautiojo itervalo ilgio). Formule išreikštą imties tūrį apvaliame iki artimiausio sveikojo skaičiaus. Pastebime: audojat imties tūrio ustatymo formulę dispersija σ turi būti iš aksto žioma. Praktikoje dispersija yra retai žioma tol, kol esurikti stebėjimų duomeys. Dispersijai vertiti gali būti audojami šie metodai: ) jeigu žioma populiacijos dispersija, tada formulėje audojame jos reikšmę; ) jeigu populiacijos dispersija yra ežioma, tada kaip dispersiją galime imti akstesiame eksperimete gautą dispersijos įvertiimą; 3) jeigu ė viea iš akstesių prielaidų egalioja, tada audojamas kitas greitas, tačiau etikslus metodas. Badome įsivaizduoti ir įspėti didžiausią (x max ) ir mažiausią (x mi ) stebimojo dydžio reikšmę. Daugumai gerai žiomų tikimybiių skirstiių yra teisiga ši apytikslė lygybė: x x 4s. (Kitiems skirstiiams galime imti: max mi x x 5s ). Ši apytikslė lygybė leidžia įvertiti dispersiją: max mi x max x σ s mi Pratimai 5. Įvairiuose prekybos objektuose atliktas vieos obuolių rūšies kaių tyrimas. Buvo padaryta atsitiktiė atraka, ir kaios doleriais buvo tokios: A. Apskaičiuokite vidurkį ir dispersiją. B. Apskaičiuokite vidurkio µ 95% pasikliautiąjį itervalą. C. Koks stebėjimų procetas pateka į pasikliautiąjį itervalą? Pakometuokite? 5. Atliktas kraujo cholesterolio tyrimas. Stebėta 0 uiversiteto dėstytojų vyrų. Gauti stebėjimai (gramais litre): A. Apskaičiuokite vidurkį ir dispersiją. B. Apskaičiuokite vidurkio µ 95% pasikliautiąjį itervalą ir pakometuokite. 5.3 Įvertita, kad paprastai 90% maistui audojamų viščiukų svoris - uo.9 iki. kg. Eksperimete bus įvertiama auja maitiimo techologija. Apskaičiuokite eksperimetui reikaligą imties tūrį su sąlyga, kad vidurkio µ 95% pasikliautiojo itervalo plotis būtų e

49 49 didesis už ± 0gr ( ± 0.0kg ). Tarkime, kad viščiukų svorio eksperimeto metu stadartiis uokrypis sutampa su paprastai audojamu stadartiiu uokrypiu. 5.4 Tarkime, kad tam tikroje šalyje yra vaisigo amžiaus moterų. Plauojat sveikatos palaikymo programą, rekama iformacija apie vaikų (uo 0 iki 6 metų) skaičių šalyje. Paimta atsitiktiė =400 moterų imtis, fiksuojat vaikų uo 0 iki 6 metų skaičių. Stebėjimų duomeys pateikti letelėje: Vaikų skaičius x Moterų skaičius f Iš viso 400 A. Apskaičiuokite vieos moters vaikų skaičiaus vidurkį ir dispersiją. B. Apskaičiuokite vieos moters vaikų skaičiaus vidurkio µ 95% pasikliautiąjį itervalą. C. Apskaičiuokite šalies sumiio vaikų uo 0 iki 6 metų skaičiaus 95% pasikliautiąjį itervalą. D. Bus pakartojamas aalogiškas tyrimas. Koks turi būti moterų skaičius imtyje, kad vidurkio µ 95% pasikliautiasis itervalas būtų e didesis už ± 0. 05?

50 50 6 skyrius Hipotezių tikriimas 6. Pavyzdys Klasikiis pavyzdys priklauso R.A.Fišeriui, kuris laikomas žymiausiu statistiku. Jis formuluojamas taip: Poia pasisiūlė pagal arbatos skoį ustatyti, kas pirma buvo pilama - pieas ar arbata. Tam buvo paruošti peki puodukai. Į vieus puodukus pirmiausia buvo pilama arbata, o į kitus puodukus pirmiausia buvo pilamas pieas. Kiekvieam puodukui patikriti eksperimetuotoja metė moetą ir taip ustatė, kas buvo pilama pirmiausia. Įvyko taip, kad poia visus pekis kartus ustatė teisigai. Reikia patikriti hipotezę, kad poia iš tikrųjų gali atskirti arbatos paruošimo būdus. Akivaizdu, jog kiekvieas iš teigiių, kad poia skiria arbatos paruošimo būdus ar eskiria, ėra iš esmės teisigas. Statistikas gali pasiūlyti atitikamą spredimo taisyklę, kuri leidžia paaudoti suformuluoto teigiio klaidos galimybę didelėje eksperimetų serijoje. Moksliis klausimo tyrimo pradžia - epasitikėjimas poia. Pirmas teigiys būtų toks: poia eskiria arbatos paruošimo būdų. Tai reiškia, kad kiekvieo puoduko teisigo įvertiimo galimybė yra 0.5. Šį teigiį vadiame ulie hipoteze ir žymime: H 0 : p= 0.5. Jeigu poia atskiria arbatos paruošimo būdus, tai ši uliė hipotezė yra eteisiga. Pagal pateiktą situaciją mes turėtume būti kilūs ir mayti, jog poia atskiria arbatos paruošimo būdus, es jos sugebėjimo atskirti tikimybė yra žymiai didesė už 0.5. Natūralu alteratyvią hipotezę suformuluoti taip: H : p> 0.5. Moksliškai spredžiat problemą, teka patvirtiti vieą iš suformuluotų hipotezių. Viea iš spredimo galimybių yra ustatyti spredimo taisyklę prieš atliekat eksperimetą. Ši taisyklė galėtų būti formuluojama taip: Jeigu poia teisigai įspėjo mažiau kaip pekis kartus, tada teisiga hipotezė H 0. Jeigu poia teisigai įspėjo pekis kartus, tada teisiga hipotezė H. Abiem atvejais spredimai gali būti klaidigi. Sėkmės atveju poia galėjo teisigai įspėti pekis kartus, ors jos galimybė yra p = Tai reiškia, kad mes atmetame hipotezę H 0, ors iš tikrųjų ji yra teisiga. Šios rūšies klaidos tikimybę žymime raide α. Jeigu poia jaučia skirtumus tarp arbatos paruošimo būdų (pavyzdžiui, jeigu jos teisigo atsakymo tikimybė yra 0.8), ji padarys klaidą. Kadagi ji galėtų 4 kartus įspėti teisigai ir vieą - suklysti. Bet kartu pagal suformuluotą taisyklę mes privalome atmesti hipotezę H, ors iš tikrųjų ši hipotezė būtų teisiga. Šios rūšies klaidą žymime raide β. Eksperimeto rezultatus pateikiame letelėje: Patvirtita Teisiga H 0 Klaidiga H 0 Priimta H 0 Spredimas teisigas Tikimybė=-α Atros rūšies klaida Tikimybė= β Atmesta H 0 Pirmos rūšies klaida Tikimybė=α Spredimas teisigas Tikimybė=- β Pateiktame pavyzdyje: α = = Jeigu laikytume, kad p = 0. 75, tada gautume: β = P( x< 5) = P( x= 5) = Dydis - β yra vadiamas kriterijaus galia. Kriterijaus galia (taip pat ir β ) priklauso uo to, kiek hipotezė H 0 yra eteisiga. Galime ubraižyti kriterijaus galios fukciją, kuri parodo, kaip kita - β keičiatis tikrajai tikimybės p reikšmei:

51 5 Kriterijaus galia 6. Hipotezės H 0 : µ = µ tikriimas 0 Pavyzdys: Prietaisas laktozei ustatyti tirpale paaudotas pekis kartus. Matavimų atsitiktiės paklaidos sąlygoja tai, kad matavimų reikšmės yra skirtigos. Gauti matavimai: Prietaiso istrukcijoje tvirtiama, kad matavimų paklaidos dispersija σ = Tyrimui pateiktas stadartiis tirpalas, kuriame laktozės kiekis µ = Jeigu prietaisas daro sistemię paklaidą, jis privalo būti grąžitas gamitojui. Ar prietaisą reikia grąžiti? Suformuluojame hipotezes: H : µ 3.0 (uliė hipotezė), 0 = H : µ 3.0 (alteratyvioji hipotezė). Jeigu hipotezė H 0 yra teisiga, tai dydis µ 0 turi stadartiį ormalųjį skirstiį. Z= σ Reikšmė µ 0 yra ustatyta uliėje hipotezėje. Suformuluotam teigiiui patvirtiti turi būti įvykdytos dvi sąlygos: ) imties vidurkio skirstiys privalo būti ormalusis. Tai bus įvykdyta tuomet, kai: a) stebimas dydis turi ormalųjį skirstiį (epriklausomai uo imties tūrio ); b) stebimo dydžio skirstiys ėra labai ypatigas, ir imties tūris pakakamai didelis (pagal cetrię ribię teoremą); ) stebėjimo duomeys imtyje privalo būti epriklausomi. Tai galima pasiekti, audojat paprastą atsitiktię imtį. Padarę šias prielaidas galime suformuluoti tokią hipotezės tikriimo taisyklę: apskaičiuojame z skaitię reikšmę; jeigu apskaičiuotoji z reikšmė yra didesė už teorię, tai hipotezę H 0 reikia atmesti; priešigu atveju hipotezę H 0 patvirtiame. Šios taisyklės pagrįstumas gali būti aiškiamas tuo, kad esat teisigai hipotezei H 0, dydis z retai įgis didelę skaitię reikšmę, ir tiktai tada būtų tiksliga atmesti hipotezę H 0. Ką turime galvoje sakydami didelė arba maža z reikšmė? Pavyzdžiui, galime parikti hipotezės, kuri atitiktų 5% tikimybę (α reikšmę), atmetimo ribas.

52 5 Atmesti H 0 Patvirtiti H 0 Atmesti H 0 Vadiasi, audodami šią spredimo taisyklę, galime daryti išvadą: jeigu z <. 96, tai hipotezę H 0 atmetame, jeigu z >. 96, tai hipotezę H 0 taip pat atmetame. Jeigu apskaičiuota z reikšmė yra iš itervalo:.96 z. 96, tada hipotezė eatmetama. Ši spredimo taisyklė eatmeta galimybės atsirasti pirmos rūšies klaidai α =0.05. Tada hipotezę H 0 atmesime, ors iš tikrųjų ji yra teisiga. Dydį α priimta vaditi kriterijaus reikšmigumo lygmeiu. Paaudodami pavyzdyje pateiktus stebėjimo duomeis, gauame: x µ z= = =.0. σ Kadagi pagal stebėjimo duomeis apskaičiuota z reikšmė yra didesė už ribię reikšmę.96, tai sakome, kad gauta z reikšmė yra reikšmiga, todėl hipotezę H 0 atmetame. Vadiasi, egalime laikyti, jog vidutiė reikšmė µ = Kriterijaus p reikšmė Užuot darydami spredimą (ar atmestia hipotezė H 0 ) pagal dydžio z ribies reikšmes, galime apskaičiuoti, kiek yra tikėtia stebima z reikšmė (pagal ormaliojo skirstiio letelę). Matome, kad P ( Z >.0) = , P ( Z <.0) = Šie dydžiai leidžia tvirtiti, kad esat teisigai hipotezei H 0, reikšmės z=.0 įgijimo tikimybė yra = Šią tikimybę vadiame kriterijaus p reikšme. Kitaip tariat, jeigu yra teisiga hipotezė H 0, tai tikimybė gauti didesę reikšmę egu apskaičiuota pagal stebėjimo duomeis yra Apskaičiuoti p reikšmę yra kur kas sudėtigiau egu apskaičiuoti dydžio z ribas. Kompiuteriės programos dažiausiai skaičiuoja p reikšmes. Pavyzdyje pateiktų stebėjimo duomeų aalizė Miitab paketu atrodo taip:

53 Žvaigždučių sistema Dera įsidėmėti, kad moksliėse publikacijose įprasta pateikti p reikšmę, jeigu statistikas audoja reikšmigumo kriterijų. Tada skaitytojas gali susidaryti uomoę, kada rezultatas viršija jo/jos reikšmigumo stadartus. Kriterijus parodo, kad vidurkio reikšmė skyrėsi uo 3.0 (p=0.08). Įsidėmėkite, kad audiga taikyti tokią sistemą: jeigu p > 0.05, tai gautas rezultatas yra ereikšmigas,.s.; jeigu 0.0 < p 0.05, tai gautas rezultatas yra reikšmigas 5%, *; jeigu 0.00 < p 0.0, tai gautas rezultatas yra reikšmigas %, **; jeigu p 0.00, tai gautas rezultatas yra reikšmigas 0.%, ***. Dauguma redaktorių ir apžvalgiikų eori pritarti tvirtiimams: reikšmigas 9%, apytiksliai reikšmigas ir t.t. Formuluojat tvirtiimus apie reikšmigumą, 5% lygis tapo stadartiiu dydžiu. 6.4 Viepusė alteratyva Neretai aptikamas uždaviys, kada teka ustatyti skirtumo egzistavimą tiktai atitikama kryptimi. Pavyzdžiui, orime parodyti, kad taikat aująją dietą svoris didesis egu seąją dietą, arba stebimojo požymio vidutiė reikšmė yra didesė egu 3.0. Šiuos teigiius galime vaditi viepuse alteratyva. Nuliė hipotezė formuluojama aalogiškai, būtet tvirtiama apie esmiio skirtumo ebuvimą. Paaiškiti agriėkime pavyzdį, kad stebimojo požymio vidutiė reikšmė µ yra didesė egu 3.0. Nagriėsime įvesdami tokias hipotezes: H 0 : µ = 3.0 (Svarbu įsidėmėti, kad hipotezė H 0 turi lygybės žeklą. Be to, galime laikyti, kad H : µ 3. 0 ). didelė: 0 : µ > 3.0 H. Vadiasi, turime atmesti hipotezę H 0 tiktai tuo atveju, kai apskaičiuota z reikšmė yra Priimti H 0 Atmesti H 0 Normaliojo skirstiio letelėje radame, kad hipotezė H 0 turėtų būti atmesta tada, kai z >. 645, jeigu audojamas reikšmigumo lygmuo yra α = Apskaičiuota z reikšmė yra.0. Kadagi ši reikšmė yra didesė už ribię reikšmę.645, tai rezultatas yra reikšmigas. Todėl hipotezę H 0 atmetame. Aalogiškai apskaičiuojame p reikšmę: P ( Z>.0) = Hipotezės H 0 : µ = µ 0 tikriimas, kai σ yra ežiomas Pavyzdys: Pekis kartus paaudotas prietaisas laktozei ustatyti tirpale. Matavimų atsitiktiės paklaidos sąlygoja tai, kad matavimų reikšmės yra skirtigos. Gauti matavimai:

54 54 Tyrimui pateiktas stadartiis tirpalas, turitis laktozės kiekį µ = Jeigu prietaisas daro sistemię klaidą, jis privalo būti grąžitas gamitojui. Ar prietaisą reikia grąžiti? Užrašome hipotezes: H : µ 3.0 (uliė hipotezė), 0 = H : µ 3.0 (alteratyvioji hipotezė). Kadagi ežiome populiacijos dispersijos σ, tai paaudojame metodą, kurį taikėme ustatydami pasikliautiąjį itervalą. Remiatis reikalavimais, pateiktais apibrėžiat pasikliautiąjį µ itervalą, galime tvirtiti, kad dydis T= turi (-) laisvės laipsio t skirstiį. Esat s reikšmigumo lygmeiui α = 0. 05, hipotezė H 0 turėtų būti atmesta, jeigu t>.776 arba t<-.776 (abipusis kriterijus). Pavyzdyje pateiktų stebėjimo duomeų, s = Todėl t = =.69. Kadagi pagal stebėjimo duomeis apskaičiuota t reikšmė yra mažesė už ribię.776, tai galime daryti išvadą, kad rezultatas yra ereikšmigas. Vadiasi, hipotezės H 0 eatmetame. Leidiio gale pateikta t skirstiio letelė eapima visų galimų reikšmių, todėl pasiaudoti letele p reikšmėms skaičiuoti yra sudėtiga. Atlikę aalizę audodami kompiuteriius paketus, gausime apskaičiuotą p reikšmę: Jeigu alteratyvioji hipotezė H būtų viepusė, tada rezultatas būtų reikšmigas (p=0.043). Pastabos:. Net ir tuo atveju, kada esame įsitikię, jog rezultatas yra reikšmigas, egalime absoliučiai tvirtiti, kad H 0 yra eteisiga. Visada egzistuoja rizika (α ), kad mes suklydome (atmetėme H 0, kai ji teisiga).. Net ir tuo atveju, kada esame įsitikię, jog rezultatas yra ereikšmigas, egalime absoliučiai tvirtiti, kad H 0 yra teisiga. Visada egzistuoja rizika ( β ), kad išvada yra klaidiga. Rizika (tikimybė β ) gali būti gerokai didesė, jeigu imties tūris yra mažas. Parametriė hipotezė H 0 : θ = θ 0 Taškiis įvertiim as θ Statistika T arba = Z Kometarai, prielaidos Naudojame Z, jeigu θ θ 0 populiacijos Var( θ ) yra Var( θ žioma. Naudojame Z, jeigu imties tūris yra didelis ir Var( θ ) yra įvertita. Priešigu atveju audojame T.

55 55 Hipotezių tikriimo suvestiė (pagrįsta ormaliuoju skirstiiu). (Kiti atvejai pateikti priede). 6.6 Pratimai 6. Atliktas kraujo cholesterolio tyrimas. Stebėta 0 uiversitetų dėstytojų vyrų. Gauti stebėjimai (gramais litre): Bedrasis vyrų cholesterolio kiekis yra.0. Patikrikite hipotezę, kad vyrų uiversiteto dėstytojų cholesterolio kiekis yra Paimta = karvių pieo atsitiktiė imtis. Matuojamas riebalų kiekis piee. Gauti rezultatai: i i = x = 73, x 57. A. Paaudodami šią iformaciją apskaičiuokite populiacijos karvių vidutiio pieo riebumo 95% pasikliautiąjį itervalą. B. Kitų karvių pieo riebumas yra 4.%. Patikrikite hipotezę, kad tirtų karvių vidutiis pieo riebumas yra mažesis.

56 56 7 skyrius Išvados apie proporciją 7. Proporcijos p pasikliautiasis itervalas Pavyzdys: Paimta atsitiktiė =000 rikėjų imtis. Iš jų 350 (35%) balsuotų už socialdemokratus, jeigu rikimai vyktų šiadie. Kiek patikimas šis dydis? Turime įvertiti parametrą p, kuris usako rikėjų, palaikačių socialdemokratus, proporciją (dalį, tikimybę). Ituityviai mąstat ir įvertiat parametrą p reikia imti: 350 = = 0.35, išreiškiati rikėjų proporciją imtyje. Pažymėkime rikėjų, palaikačių p 000 socialdemokratus, skaičių imtyje raide x. Galime parodyti, kad x (taip pat ir p = x ) yra susijęs su biomiiu skirstiiu (žr. 4 skyrių ). Jeigu imtys yra didelės, tada biomiis skirstiys gali būti aproksimuotas ormaliuoju skirstiiu. Reikia pastebėti, kad skirtigi autoriai pateikia skirtigus skaičius didelei imčiai apibrėžti. Toliau laikysime, kad p ir (-p) privalo būti daugiau už 0. Kai kuriose kygose galime aptikti skaičių 5 vietoje 0. Ta pati taisyklė taikoma, kai parametras p yra ežiomas. Šiuo atveju vietoje parametro p audojame jo taškiį įvertiimą p. Pateiktame p pavyzdyje = 350 ir ( p ) = 650. Šie skaičiai leidžia aproksimaciją laikyti ormaliuoju skirstiiu. Papildomai atsižvelgę į sąlygas, kad stebėjimai yra epriklausomi ir gauti atsitiktiės atrakos būdu, galime suformuluoti tą pačią bedrą taisyklę pasikliautiajam itervalui rasti: (Parametras)=(Įvertiimas)± t arba z (Įvertiimo stadartiės paklaidos įvertiimas) θ = θ ± t arba z Var( θ ) Šiose formulėse p yra parametras, o p - parametro taškiis įvertis. Reikia žioti įverčio p p( p) dispersiją. Galime įrodyti, kad Var( p) =. Paskutiėje formulėje turime ežiomą dydį p. Vietoje parametro p paėmę jo taškiį įvertiimą p, gauame dispersijos priimtiąją aproksimaciją: Var( p) itervalą galime užrašyti taip: p( p). Jeigu sujugsime abi dalis, tada parametrui p pasikliautiąjį p( p) p± z. Ši formulė remiasi tuo, kad imties tūris yra didelis, es tada dydžio p skirstiys gali būti aproksimuojamas ormaliuoju skirstiiu, ir formulėje galime audoti reikšmę z. Jeigu audosime duomeis, pateiktus paragrafo pradžioje, ir reikšmę z=.96 (esat 95% 0.35( 0.35) pasikliautiajam itervalui), tada gauame: 0.35±.96, tai yra 0.35± Galime 95% pasikliauti, kad tikroji rikėjų dalis, kuri palaiko socialdemokratus, yra (0.3; 0.38). Didžiausia paklaida yra apie 3%.

57 57 7. Imties tūrio ustatymas Tarkime, orime įvertiti socialdemokratų rikėjų proporciją ir rasti 95% pasikliautiąjį itervalą parametrui p, kuris būtų e didesis už 0.0. Koks privalo būti imties tūris? Aukščiau apskaičiavome 95% pasikliautiąjį itervalą parametro p: p( p) p± z. 0.35( 0.35) Gavome tokį rezultatą: 0.35±.96, 0.35± Jeigu orime gauti itervalą, 000 mažesį egu 0.0, ir imame akstesę parametro p reikšmę, tada turime pareikalauti, kad galiotų 0.35( 0.35) elygybė: 0.35 ± Išspredę elygybę atžvilgiu, gauame: ( 0.35) = Vadiasi, imties tūris privalo būti e mažesis egu Šiems skaičiavimams audojome p įvertiimą p ˆ= 0. 35, gautą iš akstesių stebėjimo duomeų. Natūraliai kyla klausimas, ką galėtume daryti, jeigu eturime jokių akstesių stebėjimo duomeų. Reikaligą imties tūrį galime ustatyti ežiodami ei p (arba p ). Nesuku pastebėti, p ( p) kad dydis didžiausią reikšmę pasiekia, kai p=0.5. Vadiasi, apskaičiuotas imties tūris, kai p=0.5, bus tikrai pakakamas. Jeigu paaudotume šią reikšmę (p=0.5) jau suformuluotame ( 0.5) pavyzdyje, tai gautume: = 40. Jeigu akstesiame pavyzdyje imtis 0.0 būtų 400 rikėjų, tai dalies rikėjų, pritariačių socialdemokratams, didžiausia paklaida būtų mažesė egu Hipotezės H 0 : p = p tikriimas 0 Pavyzdys: Nupirktų sėklų daigumas yra 90%. Atsitiktiai paimta ir pasėta Sudygusių sėklų skaičius buvo x=66. Reikia patikriti hipotezę: H : p 0.90, 0 = =00 sėklų. H : p Reikia padaryti išvadą apie parametrą p, kurio prasmė yra tikimybė, kad atsitiktiai paimta x 66 sėkla sudygs. Parametro p geriausias įvertis yra p ˆ = = = Jeigu stebėjimai yra 00 epriklausomi, tada x (taip pat ir pˆ ) susieti su biomiiu skirstiiu. Kadagi laikome, kad imtis yra didelė, tai išvadoms formuluoti galime paaudoti dydžio x ormaliąją aproksimaciją. Šiame uždaviyje gauame: p 0 = 80 ir ( p0 ) = 0. Kadagi abu skaičiai yra didesi už 0, todėl galime audoti ormaliąją aproksimaciją, būtet: dydžio Z= stadartiis ormalusis. p p p 0 0 ( 0 p ) skirstiys yra

58 58 Pastebime, kad dydžio Z vardiklyje audojame reikšmę p 0, įrašytą uliėje hipotezėje. Logiška tikėti ulie hipoteze H 0 iki tol, kol eįrodytas jos klaidigumas. Reikia pastebėti, kad pasikliautiojo itervalo išraiškos vardiklyje audojome įvertiimą p vietoje p0. Abipusės alteratyvos atveju, esat 5% lygiui, hipotezę H 0 atmesime, jeigu z >. 96. Jeigu tikritume hipotezę esat% lygmeiui, tada atitikamos ribos būtų z > Gauame: z = = Šis dydis yra reikšmigas abiem atvejais: esat5% ir % lygmeims Todėl hipotezę H 0 atmetame. p reikšmė (dvipusės alteratyvos) yra p = = Gautas rezultatas atitika trijų žvaigždučių reikšmigumą. 7.4 Skirtumo p A pb pasikliautiasis itervalas Pavyzdys: Eksperimeto metu tiriamas dviejų pesticidų poveikis kekėjams. Pesticidas A buvo pritaikytas 00 kekėjų, o pesticidas B - 80 kekėjų. Tarp kekėjų, gavusių pesticido A, žuvusių buvo 40, o tarp kekėjų, gavusių pesticido B, žuvusių buvo 00. Kekėjų, gavusių pesticido A, žuvimo tikimybę žymime raide p A, o kekėjų, gavusių pesticido B, žuvimo tikimybę žymime raide p B. Apskaičiuosime ir paaiškisime tikimybių skirtumo p A pb 95% pasikliautiąjį itervalą. Turime daryti išvadas apie parametrą, kurio prasmė yra dviejų parametrų skirtumas: p. Čia paaudotas įprastas metodas pasikliautiajam itervalui rasti: A p B. Koks skirtumo p A p B tikimybiis skirstiys? Skirtumo kiekvieas arys yra sietias su biomiiu skirstiiu. Be to, imdami dideles imtis, ormalioji aproksimacija tampa priimtia kiekvieam iš dėmeų. Todėl galime laikyti, kad dydžiai p A ir p B yra ormaliai pasiskirstę. Vadiasi, skirtumas p A p apytiksliai turės ormalųjį skirstiį, es ormaliųjų dydžių suma ir skirtumas yra ormaliai pasiskirstę.. Kokia yra skirtumo p A p B dispersija? Jeigu laikysime, kad A p ( A B A B, p B yra epriklausomi, tada gauame: Var p - p ) = Var( p ) + Var( p ). Iš to, kas pasakyta, gauame: p A ( p A ) pb ( pb ) Var( p A - p B ) = Var( p A ) + Var( p B ) = +. Kadagi parametrai p A, p B yra ežiomi, tai paaudojame jų taškiius įvertiimus p A p A ( p A ) p B ( p B ) A- p B ) = + A B Var( p. A B B, p B : Vadiasi, pasikliautiąjį itervalą užrašome taip: p A ( p A ) p B ( p B ) p A - p B± z +. Atliksime skaičiavimus paaudodami pavyzdyje pateiktus stebėjimo duomeis: A B p A = = 0.7, p B = = % pasikliautiasis 00 80

59 itervalas užrašomas taip: ± ; 0.4± Vadiasi, 95% galime pasikliauti, kad tikroji skirtumo p A pb reikšmė pateka į itervalą ( ). Kadagi pasikliautiasis itervalas eapima reikšmės 0, tai galime mayti, jog abu pesticidai daro kekėjams skirtigą įtaką. 7.5 Hipotezės H 0 : p A = pb tikriimas Pavyzdys: Eksperimeto metu tiriamas dviejų pesticidų poveikis kekėjams. Pesticidas A buvo pritaikytas 00 kekėjų, o pesticidas B - 80 kekėjų. Tarp kekėjų, gavusių pesticido A, žuvusių buvo 40, o tarp kekėjų, gavusių pesticido B, žuvusių buvo 00. Kekėjų, gavusių pesticido A, žuvimo tikimybę žymime raide p A, o kekėjų, gavusių pesticido B, žuvimo tikimybę žymime raide p B. Patikrikite hipotezę H : p =. 0 A pb Suformuluotas klausimas labai paašus į agriėtą pasikliautiojo itervalo ustatymą. Pastebėjome, kad didelės imties įverčio p A p skirstiys gali būti aproksimuojamas ormaliuoju skirstiiu. Įverčio dispersija gali būti užrašyta taip: p A ( p A ) pb ( pb ) Var( p A - p B ) = Var( p A ) + Var( p B ) = +. Pasikliautiojo itervalo formulėje dispersijos išraiškoje parametrai p A, p B buvo pakeisti jų taškiiais įvertiimais. Tačiau hipotezei tikriti audosime geresį įvertį. Hipotezės tikriti sudarome statistiką laikydami, kad uliė hipotezė yra teisiga. Tad privalome laikyti, kad pa = pb= p0 kol eįrodyta, jog šis tvirtiimas yra klaidigas. Kai hipotezė H 0 yra teisiga, tada parametro p geriausią įvertį gausime sujugę abi imtis: A p A+ B pb p0 = (šis satykis išreiškia sumiį žuvusių kekėjų skaičių iš visų kekėjų + A B skaičiaus). Pakeitę abu įvertiimus A p A B, p B B vieu įvertiimu p 0, gauame: p 0 ( p 0 ) p0 ( p 0 ) Var( p A- p = + = ( ) + B ) p 0 p 0. Hipotezei H 0 A B A B patikriti apskaičiuojame statistiką: p A - p B Z =. Jeigu apskaičiuota z reikšmė viršija ribię reikšmę esat p ) + 0 ( p 0 A B atitikamam reikšmigumo lygmeiui, tada hipotezę H 0 atmetame. Palygisime tikimybes paragrafo pradžioje suformuluotame pavyzdyje. Apskaičiuojame: p 0 = = 0. 63, z = =.9. Gauta reikšmė viršija 5% ribię reikšmę (.96), ji taip 0.63( 0.63) pat viršija % ribię reikšmę (.576). Tačiau ši reikšmė eviršija 0.% ribiės reikšmės (3.9). Atitikama p reikšmė yra Rezultato reikšmigumas yra dviejų žvaigždučių. Vadiasi, pesticidų efektyvumas yra skirtigas.

60 Pratimai 7. Išrastas aujausias vaistas N uo spuogų. Šiuo vaistu buvo gydyti 0 pacietų. 4 pacietų sveikata žymiai pagerėjo. Klausimai: A. Apskaičiuokite proporcijos (parametras p) 95% pasikliautiąjį itervalą (pagerėjusios sveikatos pacietų, audojat vaistą N ). B. Tarkime, kad pasikliautiasis itervalas yra per daug didelis. Suplauokite aują eksperimetą. Naujame eksperimete imties tūris turi būti įvertitas taip, kad 95% pasikliautiasis itervalas esat tikimybei p būtų e didesis egu 0.. Raskite. 7. Ar pavojiga laikyti mylimą paukštį? Berlyo apžvalgoje pateikti duomeys apie 39 ligoius, sergačius plaučių vėžiu, ir 49 sveikų berlyiečių kotrolię grupę, turičią aalogišką pasiskirstymą pagal amžių ir lytį. Vieas iš stebėtų požymių buvo paukščio laikymas gyveamoje patalpoje. Gauti stebėjimai: Turi mylimą paukštį Neturi mylimo paukščio Asmeys, sergatys plaučių vėžiu 98 4 Sveikų asmeų kotroliė grupė 0 38 Ištirkite paukščių saviikų proporciją ligoių ir kotroliėje grupėje. Ar galima laikyti, kad ši proporcija tarp ligoių ir kotroliėje grupėje sutampa? Spredimas privalo apimti: hipotezę, statistiką, prielaidas, diskusiją ir aptarimą. Ar pavojiga laikyti mylimą paukštį? 7.3 Atliktas tyrimas orit ustatyti, ar širdies ligos priklauso uo karkimo itesyvumo. Eksperimeto metu buvo ištirti 484 asmeys. Duomeys pateikti kryžmiėje letelėje: Karkimas Širdies ligos Retai/iekada Dažai/visada Iš viso Turi Ne Iš viso Ištirkite karkiačių (dažai/visada) proporciją tarp pacietų, sergačių širdies ligomis, ir kotroliėje grupėje. Ar galima laikyti, kad ši proporcija tarp ligoių ir kotroliėje grupėje sutampa? Spredimas privalo apimti: hipotezę, statistiką, prielaidas, diskusiją ir aptarimą. Kohlmeier et al (99): Pet birds as a idepedet risk factor for lug cacer: case-cotrol study. British Medical Joural, pp P. G. Norto ad E. V. Du (985): Sorig as a risk factor for disease. British Medical Joural, pp

61 6 8 skyrius Dviejų vidurkių palygiimas 8. Įvadas Vidurkių palygiimas biologiiuose tyrimuose yra daža problema. Pavyzdžiui, eksperimetiė grupė su kotrolie grupe, vieos rūšies kviečių derlius su kitos rūšies kviečių derliumi, kraujo spaudimas prieš medikameto paaudojimą su kraujo spaudimu po medikameto taikymo ir t.t. Šiuose pavyzdžiuose bedroji ypatybė pasižymi tuo, kad reikia agriėti parametrą µ µ, kuris išreiškiamas dviejų parametrų skirtumu. Tyrimo metodo parikimas priklauso uo to, kaip paimti stebėjimo duomeys. Išskirsime du atvejus:. Suporuoti duomeys Suporuoti duomeys išreiškiami dviejų skaičių pora ( bloku ). Pavyzdžiui: Atliekamas požymio vieas matavimas (x) prieš gydymą, o kitas matavimas (y) atliekamas po gydymo (kiekvieo asmes). Atliekamas požymio matavimas, tiriat pacieto kairę raką (x) ir dešię raką (y). 0 gyvūų sugrupuoti į 0 porų. Kiekvieas iš 0 tyrimo laukelių padalitas į dvi dalis. Laukelio viea dalis apsėjama A rūšies, o kita dalis apsėjama B rūšies augalais.. Dvi epriklausomos grupės Tokiu atveju yra reikalaujama, kad visi badymai eksperimete atliekami atsitiktiai. Pavyzdžiui: A rūšies augalais užsėta 0 laukelių, B rūšies užsėta kiti 0 laukelių. Gydymas A pritaikytas 0 gyvūų, o gydymas B pritaikytas kitiems 0 gyvūų. Turėdami dvi epriklausomas grupes priklausomai uo problemos duomeų aalizei atlikti galime išskirti atskirus metodus. Parikimą galime pavaizduoti diagramoje: 8. Skirtumo µ µ įvertiimas: suporuoti duomeys Pavyzdys: skyriuje trumpai pamiėjome 876 metais Darvio paskelbtus duomeis. Darvio tikslas buvo įrodyti, kad augalai padaugiti kryžmiimo būdu auga geriau egu be kryžmiimo. Darvias eksperimete audojo augalų poras: poroje vieas augalas buvo sukryžmitas, o kitas - e. Kiekvieos poros augalai buvo augiami vieodomis sąlygomis. Eksperimeto plaavimo teorijoje šį metodą priimta vaditi blokiiu eksperimetu. Augalų ūgiai buvo išmatuoti coliais ir pateikti letelėje:

62 6 Poros Nr Kryžmitas x k Nekryžmitas x d= x k x Ar Darvias buvo teisus? Atsakymą į šį klausimą gausime apskaičiavę skirtumo µ k µ pasikliautiąjį itervalą arba patikrię hipotezę H : µ µ 0. Šį klausimą galime k = suformuluoti aalogiškai, imdami dydį d, kuris išreiškia skirtumą tarp x k ir x kiekvieoje poroje. Dydžiui d yra teisiga: ( d) 39. d d = =.607, s 5 d = = Nagriėjamas parametras: µ k µ = µ d, čia µ d pažymi populiacijų skirtumo vidurkį. Norėdami patikriti, ar abiejų rūšių augalai yra vidutiiškai to paties ūgio, turime tikriti hipotezę: H : µ 0, 0 d= esat vieai iš alteratyvų: H : µ 0 (dvipusė), H H d : d> : d< = µ 0 (viepusė), µ 0 (viepusė). Alteratyvą parekame priklausomai uo suformuluoto klausimo. Tam eturi įtakos duomeys. Kadagi Darvias orėjo įrodyti, kad kryžmiimas pageria augalo augimą, tai gali būti parikta alteratyva H : µ 0. Hipotezės tikriimas atliekamas įprastu būdu. Apskaičiuojame: d 0 t= = s d d> =.4. Taikat dvipusę alteratyvą ir reikšmigumo lygmeį α= 0.05 gauame, kad statistikos t (4 laisvės laipsių) ribiės reikšmės yra ±. 45. Apskaičiuota t reikšmė yra šiame itervale. Taikat viepusę alteratyvą ir reikšmigumo lygmeį α= 0.05 gauame, kad statistikos t (4 laisvės laipsių) ribiė reikšmė yra.76. Vadiasi, hipotezę H 0 turime atmesti, jeigu taikome viepusę alteratyvą. Naudodamiesi Miitab paketu gauame tą patį rezultatą:

63 63 Šis agriėjimas patvirtia Darvio teigiį, kad augalų kryžmiimas vidutiiškai pageria augimą. Aalogiškai hipotezei tikriti galime apskaičiuoti vidutiio skirtumo µ d pasikliautiąjį. itervalą. Pasikliautiąjį itervalą skaičiuojame taip:.607± t.975, 4 ;.607±.6; 5 ( ). Tą patį rezultatą gauame audodamiesi Miitab paketu: Apskaičiuotas pasikliautiasis itervalas atitika dvipusę alteratyvą. Pastebime, kad reikšmė 0 priklauso šiam itervalui. Vadiasi, skirtumas ėra reikšmigas, jeigu imtume dvipusę alteratyvą. 8.3 Pricipiės išvados apie µ µ Tarkime, turime palygiti dviejų eksperimetų viduties reikšmes, kai kiekvieas badymas eksperimete yra atsitiktiis (būtet, eksperimeto plaas esusideda iš suporuotų duomeų). Kitaip tariat, agriėjami du epriklausomi eksperimetai. Reikia daryti išvadas apie parametrą µ µ. Šio parametro µ µ įvertiimui audosime įvertį x x. Galime įrodyti, kad: E ( x x ) = µ µ. Vadiasi, įvertiimas yra epasliktasis. Pasikliautiajam itervalui rasti ir hipotezėms tikriti privalome apskaičiuoti įverčio dispersiją. Laikome, kad abu eksperimetai yra epriklausomi ir visi vieo eksperimeto badymai laikomi taip pat epriklausomi. Iš to, kas pasakyta, gauame: σ σ Var ( x x ) = Var( x) + ( ) Var( x ) = +. Jeigu kiekvieame eksperimete tiriami požymiai turi ormaliuosius skirstiius, tada dydžiai x, x, x x taip pat turės ormaliuosius skirstiius. Jeigu tiriamos populiacijos ėra ormaliai pasiskirsčiusios, tada dydis x x apytiksliai turės ormalųjį skirstiį, kai imčių tūriai dideli. Šią išvadą galime padaryti, remdamiesi cetrie ribie teorema. Reiktų paaiškiti didelės imties sąvoką, tačiau tikslus atsakymas eegzistuoja (imtis laikoma didele, kai tūris didesis už 30). Jeigu eksperimetuose stebimų požymių dispersijos yra žiomos, tada vidurkių skirtumo µ µ pasikliautiąjį itervalą užrašome taip: ( x x ) σ σ ± z +. Jeigu tikriame hipotezę H µ µ 0, tada įvedame statistiką: : = ( x x ) 0 Z=. σ σ + Spredžiat praktiius uždaviius įprasta, kad dispersijos yra ežiomos. Paagriėsime du šios problemos variatus. Pirmiausia laikysime, kad populiacijos dispersijos yra lygios. 8.4 Išvados apie µ µ : mažos imtys, lygios dispersijos Pavyzdys: Lygiami du skirtigi bulių maitiimo režimai. 8 buliai atsitiktiai suskirstyti į dvi grupes po 4 gyvulius. Vieai grupei duodamas pašaras A, o kitai - B. Svorio prieaugiai pateikti letelėje:

64 Maistas A Iš šių duomeų apskaičiuojame: Pašaras A: = 4, x = 360, s = B: = 4, x = 330, s = svorių skirtumą. Šio parametro įverčiu imame dydį: tokia: Var( x x ) = Var( x) + Var( ) Nagriėjame parametrą µ µ, kuris usako vidutiių x x. Pateikto įvertiimo dispersija yra σ σ x = +. Daugeliu atvejų galime laikyti, kad dispersijos sutampa ir epriklauso uo eksperimeto. Pavyzdžiui, dispersija atspidi atūralų atsitiktiį svorio varijavimą tarp gyvulių, ir jos eveikia atsitiktiis gyvulių suskirstymas į grupes. Dispersijų sulygiimas turi taip pat ir techię prasmę. Įmaoma ustatyti dispersijos įverčio laisvės laipsius. Jeigu abiejuose eksperimetuose dispersijas laikome vieodomis, tada gauame: σ σ σ = =. Dispersijos įvertiimą apibrėžiame taip: σ ( = ) s+ ( ) s + įvertiimas turi + laisvės laipsius. Pakartodami aksčiau suformuluotus pricipus, galime tikriti hipotezę: H 0 : µ = µ ( H µ µ 0 ), 0 : = esat alteratyvai H µ µ 0. : Hipotezei tikriti sudarome statistiką: t = x σ x + ( ) s+ ( ) s σ =, o t turi Stjudeto + laisvės laipsių skirstiį. + Maistas B Šis, čia Paaudojame pavyzdžio duomeis: σ = = = 000, t = = laisvės laipsių T skirstiio 5% kritiė reikšmė yra.447. Vadiasi, apskaičiuota statistikos reikšmė ėra reikšmiga, t.y. hipotezė eatmetama. Todėl galime laikyti, kad abiejų grupių gyvulių vidutiis svoris yra vieodas. Miitab paketas skaičiavimo rezultatus pateikia taip:

65 65 Pastebime, kad šioje iformacijoje yra vidurkių skirtumo µ µ pasikliautiasis itervalas ir statistikos reikšmė. Pasikliautiasis itervalas apskaičiuotas taip: ( ) s+ ( ) s x x ±.447 σ +, čia σ = Išvados apie µ µ : mažos imtys, elygios dispersijos Jeigu eįmaoma laikyti, kad abiejuose eksperimetuose dispersijos sutampa, tada turime pasitelkti vairias aproksimacijas. Nagriėjamam vidurkių skirtumui µ µ įvertiti audojame statistiką x x. Šio įvertiimo dispersiją apskaičiuojame aalogiškai, kaip ir didelės imties atveju: s s Var ( x x ) = +. Gaa sudėtiga ustatyti šio dispersijos įvertiimo laisvės laipsius. Galime įrodyti, kad laisvės laipsių [ s / + s / ] skaičių reikia skaičiuoti pagal formulę: γ = [ s / ] [ s / ] + tačiau skaičiavimai kompiuteriu ėra sudėtigi. Jeigu laikytume, kad aksčiau pateiktų duomeų dispersijos evieodos, tada Miitab paketas pateiktų tokią skaičiavimo rezultatų suvestię:. Ši išraiška gaa gremėzdiška, Letelėje matome, kad laisvės laipsių skaičius yra 5, o e aksčiau turėti 6. Išvados atitika aksčiau suformuluotąsias. 8.6 Išvados apie µ µ : didelės imtys Jeigu imtys yra didelės, tada galime audoti ormaliąją aproksimaciją. Pavyzdys: Lygiami dviejų karvelių veislių svoriai. Atsitiktiai parikus abiejų veislių karvelius, gautos tokios skaitiės charakteristikos: rūšis: = 6, x =. 43, s = rūšis: = 40, x =. 58, s = Reikia įvertiti dviejų karvelių veislių vidutiių svorių skirtumą µ µ. Šio parametro įverčiu laikome statistiką x x. Kadagi imtys yra didelės, tai įverčiai x, x turi ormaliuosius skirstiius. Vadiasi, įvertis x x taip pat apytiksliai bus pasiskirstęs pagal ormalųjį skirstiį. σ Įvertiimo dispersija užrašoma taip: σ Var( x x ) = Var( x) + Var( x ) = +.

66 66 s Šiai dispersijai įvertiti imame dydį: s Var ( x x ) = +. Kiek šis įvertiimas turi laisvės laipsių, atsakyti sudėtiga. Kadagi imtys yra didelės, tai galime laikyti, jog laisvės laipsių yra daug. Todėl galime pasitelkti ormaliojo skirstiio reikšmes. Patikrisime hipotezę: H 0 : µ = µ, esat alteratyvai H : µ µ. Apskaičiuojame x x statistikos reikšmę: z = = = Gauta reikšmė yra reikšmiga s s lygiat su kritiėmis reikšmėmis.96 (5%),.576 (%) arba 3.9 (0.%). Apskaičiuota p reikšmė yra mažesė egu Svorių skirtumo 95% pasikliautiasis itervalas apskaičiuojamas taip: s s ( x x ) ± ; ±.96 + ; -0.5± Dviejų grupių palygiimas: Miitab pavyzdys Reikia palygiti dviejų vorų veislių Diopis ir Meeus sugauamo grobio dydį. Kyla klausimas, ar abiejų vorų veislių vidutiis grobis yra vieodas? Atsitiktiai paimta po 0 kiekvieos rūšies vorų ir išmatuotas jų grobio dydis (mm.). Duomeys pateikti letelėje ir diagramoje: Diopis Meeus Naudodamiesi Miitab paketu atliksime du skirtigus skaičiavimus. Pirmiausia, tarkime, kad dispersijos sutampa: Tarkime, kad dispersijos esutampa:

67 67 Vadiasi, egalime tvirtiti, kad skirtigos veislės vorai pagaua skirtigo dydžio grobį. 8.8 Pratimai 8. Išmatuotas dviejų veislių karvių pieo kiekis. Apdoroti duomeys pateikti letelėje: Veislė Vidurkis Stadartiis Imties tūris uokrypis A B Patikrikite hipotezę, kad abi karvių veislės duoda vieodą pieo kiekį. Kokios šiai aalizei reikaligos prielaidos? 8. Eksperimeto metu tiriamos dvi skirtigos miežių veislės. Gautas javų kiekis pateiktas letelėje: Veislė Trebi Svaota A. Patikrikite hipotezę, kad abiejų veislių miežiai vidutiiškai vieodai derlūs. B. Apskaičiuokite abiejų veislių vidutiių derlių skirtumo 95% pasikliautiąjį itervalą. 8.3 Reikia įvertiti, ar mamos potraukis alkoholiui turi įtakos vaiko vystymuisi po gimimo. Leidiyje urodyta, kad 6 moterys ėštumo metu chroiškai vartojo alkoholį. Jų 7 metų vaikų IQ testo rezultatai: A. Apskaičiuokite pateiktų stebėjimų IQ testo vidurkį ir dispersiją. B. Kotroliės grupės (evartojusių alkoholio), susidedačios iš 46 moterų, vaikų IQ testo apibedriti duomeys buvo tokie: x = 99, ( x ) i x = 50. Patikrikite hipotezę, kad abiejų grupių vaikų IQ testo vidutiiai rezultatai yra vieodi. C. Kaip jūs maote, ar klausimą B galime išagriėti šiame eksperimete? Paaiškikite. 8.4 Atliekamas tyrimas apie maliarijos paplitimą dviejose skirtigose ekologiėse srityse A ir B. Kiekvieoje srityje atsitiktiai pariktos 7 vietovės, kuriose buvo tiriami gyvetojų kraujo mėgiiai. Nustatyta, koks procetas atitikamos vietovės gyvetojų turi maliarijos virusą. Stebėjimo duomeys pateikti letelėje: Vietovė Sritis A Sritis B

68 68 A. Ar maliarijos lygis abiejose srityse sutampa? B. Apskaičiuokite maliarijos vidutiio lygio skirtumo srityse 95% pasikliautiąjį itervalą. Adapted from Joes et al, Lacet, Jue 974. C. Kokios aalizei reikaligos prielaidos? 8.5 Tropiėse šalyse buivolai ir galvijai yra paaudojami cukraus gamyboje. Guvuliai dirba 90 miučių eidami ratu ir sukdami cukraus gamybos mašią. Buvo tirti 0 buivolų ir 8 kiti gyvuliai. Eksperimeto metu buvo matuojamas jų širdies ritmas prieš darbą ir po darbo. Gauti stebėjimo duomeys: Buivolai Kiti gyvuliai Buivolai Kiti gyvuliai Prieš darbą Po darbo Prieš darbą Po darbo A. Patikrikite hipotezę, ar abiejų gyvulių rūšių širdies ritmo pasikeitimas yra vieodas? B. Suformuluokite aalizei reikaligas prielaidas.

69 69 9 skyrius Eksperimeto plaavimo pagridai 9. Eksperimeto plaavimas Eksperimetui atlikti reikia didelių darbo ir fiasiių sąaudų. Kiekvieam matavimui atlikti reikia skirti laiko ir piigų. Dauguma eksperimetų biologijoje yra lygiamieji. Šiuose eksperimetuose tyrėjas palygia skirtigus badymus, pavyzdžiui: atmaias, maitiimo būdus, augiimo metodus. Eksperimeto plaavimo tikslas yra surikti kiek galima gausesę iformaciją, suaudojat miimalias sąaudas. Jeigu iš dviejų eksperimeto plaų, kurių rezultatai aalogiški, turime pasirikti eksperimeto plaą, tyrėjas rekasi metodą, reikalaujatį mažesių sąaudų. Eksperimeto plao sudarymas turi ir etiį aspektą, es eksperimetas su gyvūais privalo apsiriboti miimaliu gyvūų kiekiu. Daugelis tyriėtojų turi susidarę uomoę, kad pagridiis faktorius, ulemiatis eksperimeto išvadų tikslumą, yra stebėjimų skaičius. Vėliau pastebėsime, kad eksperimeto plaas tikslumui daro įtaką (pavyzdžiui, blokavimas). Blokavimo esmė yra ta, kad lygiami badymai atlikti paašiomis sąlygomis. Pavyzdžiui, skirtigi paršiukų maitiimo būdai gali būti palygiami tarp vieos paršavedės paršiukų grupių. Tokiu būdu biologiės variacijos įtaka bus sumažita ir atliksime produktyvesį eksperimetą. Atra vertus, eksperimetas egali būti laikomas produktyviu, jeigu mažai variacijai įvertiti suaudosime daug resursų. Akivaizdu, kad žymiai mažiau produktyvu paimti dirvožemių imtis ir atlikti po 0 chemiių aalizių egu paimti 0 dirvožemių imčių ir atlikti po dvi chemies aalizes. Tai galime aiškiti tuo, kad chemiių aalizių atsitiktiė paklaida yra epalygiamai mažesė už dirvos parikimo variaciją. Vadiasi, galime tvirtiti, kad priklausomai uo eksperimeto plao stebėjimai įgaua savo vertę. Eksperimeto plaas turi įtakos stebėjimo duomeų aalizės metodų parikimui. Apie tai kalbėsime vėliau. 9. Termiai ir apibrėžimai Eksperimetuose tiriami skirtigi objektų požymiai: tręšimo būdai, temperatūra ir t. t. Eksperimete audojama objekto tiriamo požymio sąvoka dažiausiai yra vadiama faktoriumi. Faktoriai gali būti žymimi didžiosiomis lotyiškomis raidėmis, pavyzdžiui, A, B. Faktoriaus skirtigas reikšmes arba klasifikacijas vadiame faktoriaus lygiais. Faktoriaus A lygių skaičių žymime raide a. Pavyzdys: Norime palygiti tris veršigų karvių šėrimo būdus. Faktorius A yra maistas, kuriame išskiriami trys lygiai (a=3): A - didelis proteių kiekis, A - vidutiis proteių kiekis, A 3 - mažas proteių kiekis. Pavyzdys: Norime palygiti keturis pomidorų tręšimo būdus. Faktorius A yra tręšimas, kuriame išskiriami keturi lygiai (a=4): A - kompostas, A - pjuveos, A 3 - žolė, A 4 - kotroliis. Eksperimetiiu vieetu laikome mažiausią vieetą, jo badymas atliekamas atskirai. Pavyzdys: Jeigu veršigos karvės yra šeriamos idividualiai, tada eksperimetiiu vieetu laikome veršigą karvę. Jeigu visos karvės, esačios garde, maitiamos vieodai, tada eksperimetiiu vieetu laikome visą karvių gardą. Pavyzdys: Jeigu kiekvieas pomidorų augalas yra tręšiamas idividualiai, tada eksperimetiiu vieetu laikome augalą. Tarkime, jeigu 0 augalų sklypelį tręšime vieodai, tada šį sklypą laikome eksperimetiiu vieetu. Eksperimetai gali apimti keletą faktorių. Tokius eksperimetus vadiame faktoriiais eksperimetais. Pavyzdys: Veršigų karvių eksperimete gali būti agriėjami du faktoriai: A - šėrimo būdas (a=3), B - ferma (b=0).

70 70 Priklausomai uo faktoriaus lygių parikimo, faktorius gali būti fiksuotasis arba atsitiktiis. Jeigu asmuo, suplaavęs eksperimetą, iš aksto ustatė faktoriaus lygius ir tik juos agriėja, tada tokį faktorių laikome fiksuotuoju. Faktorius laikomas atsitiktiiu, jeigu jo lygiai yra parekami atsitiktiai iš populiacijos lygių sąrašo. Pavyzdys: Dauguma žemės ūkyje atliekamų eksperimetų agriėja ūkius. Todėl ūkis laikomas atsitiktiiu faktoriumi, es populiacijoje ūkių skaičius yra labai didelis. Fiksuotojo tipo faktoriai: lytis, tautybė, maitiimas, tręšimas ir t.t. Atsitiktiių faktorių pavyzdžiai: ūkis, bada, medyai. Reikia pastebėti, kad metai kartais laikomi atsitiktiiu faktoriumi. 9.3 Pagridiės eksperimeto plaavimo sąvokos Pagridiės eksperimeto plaavimo sąvokos: pakartojimas, lokalioji kotrolė, radomizavimas Pakartojimas Pavyzdys: Reikia ištirti, kuri iš dviejų kukurūzų veislių yra derligesė. Tam buvo pasėta veislė A į vieą sklypą, o veislė B - į kitą. Tarkime, veislės A buvo didesis derlius. Ar galima šį tvirtiimą taikyti visai populiacijai - visiems sklypams, kurie gali būti apsėti? Kitaip tariat, ar galime motyvuotai patarti ūkiikams sėti A kukurūzų veislę? Tikriausiai e. Įrodymas, paremtas vieitelio sklypo rezultatais, ėra pakakamas išvadoms formuluoti. Norėdami teikti bedrą rekomedaciją dėl veislės A tikamumo, privalome turėti daugiau iformacijos. Įrodymą patvirtisime, atlikę didesį badymų skaičių. Šį procesą vadiame pakartojimu. Pakartojimas leidžia įvertiti eksperimeto paklaidą. Paklaidą įvertisime apskaičiavę visų eksperimete atliktų badymų dispersiją. Natūralu, kad atlikę didesį badymų skaičių, gausime tikslesį rezultatą. Tai galime paaiškiti tuo, kad imties vidurkio dispersija priklauso uo imties σ tūrio : σ =. Vadiasi, didėjat dispersija mažėja. x Kada atliekami pakartojimai yra tikri? Pavyzdys: Norime palygiti dvi kukurūzų veisles. Eksperimete audojame du sklypus. Kiekvieą sklypą padaliame į dvi dalis. Tarkime, veislės A kukurūzais apsėjome abi pirmojo sklypo dalis, o veislės B - abi atrojo sklypo dalis. Ar gavome pakartojimą? Pavyzdys: Norime įvertiti orgaiių medžiagų kiekį vietovės dirvožemyje. Paagriėkime, kiek yra tikrų pakartojimų šiais atvejais? Paimtas vieas dirvožemio mėgiys ir atlikta 00 chemiių aalizių. Paimta 0 dirvožemio mėgiių skirtigose vietovės vietose ir atlikta po 0 chemiių aalizių. Iš 0 kvadratiių sklypelių, kurių dydis 0x0m, paimta po 0 mėgiių. Kiekvieo sklypelio mėgiiai sumaišyti ir atlikta po dvi kiekvieo mišiio chemies aalizes Lokalioji kotrolė Pavyzdys: Reikia palygiti dvi kukurūzų veisles. Eksperimetui atlikti galime audoti keturis sklypus. Du sklypai yra greta ir išsidėstę prie pagridiio kelio, o kiti du sklypai taip pat išsidėstę greta, tačiau jie utolę uo kaimo.

71 7 Kuriuos iš sklypų,, 3, 4 reikia užsėti veislės A kukurūzais, kuriuos - B? Tarkime veisle A apsėjame sklypus ir, o likusius sklypus apsėjame veisle B. Šis eksperimeto plaas ėra geras. Jeigu veislės A derlius būtų didesis, tai kiltų klausimas, ar derliui eturėjo įtakos dirvožemio šalia kelio sudėtis. Šis eksperimetas epaaiškia, ar derlius priklauso uo kukurūzų veislės, ar uo dirvožemio sudėties. Eksperimeto plaas bus geresis, jeigu veislės A kukurūzais apsėsime vieą sklypą prie kelio, kitą - už kaimo, o likusius sklypus apsėsime veislės B. Šio eksperimeto rezultatai mažiau priklauso uo dirvožemio sudėties. Todėl veislų palygiimas šiame eksperimete būtų žymiai tikslesis Radomizavimas Tarkime, utarėme veislės A kukurūzais apsėti arba sklypą, arba. Kuo turime remtis, priimdami spredimą? Dauguma tyriėtojų šiam klausimui eskiria ypatigo dėmesio. Parikę vieą sklypą veislei A ir kitą - veislei B, sakome, kad sklypai buvo parikti atsitiktiai. Ar šį kaip pavyko sklypo parikimo būdą galime laikyti atsitiktiiu? Neigiamas poelgio vertiimas egzistuoja et ir tuomet, kai poelgis ėra sąmoigas. Pavyzdžiui, agroomas suvokęs, kad atitikamas sklypas yra tikamesis veislės A kukurūzams, gali šį sklypą jais ir apsėti. Tačiau tai paaikia eksperimeto ešališkumą, ir įvertiimas tampa pasliktuoju. Miėtus eskladumus elimiuosime sklypus ir veislėms parikę atsitiktiai - radomizuotai. Šis atsitiktiis parikimo būdas privalo epriklausyti uo tyriėtojo. Tai galime pasiekti keliais skirtigais būdais: * Moetos metimas. Jeigu umetus moetą iškrito herbas, tai sklypą apsėti veislės A kukurūzais. Šis būdas priimtias tiktai turit du badymus. * Surašyti visus badymus at atskirų popieriaus lapų ir sumaišius atsitiktiai ištraukti vieą iš jų. Šį metodą galime taikyti epriklausomai uo badymų skaičiaus. * Naudoti atsitiktiių skaičių letelę. * Naudoti kompiuterio arba kišeiio kalkuliatoriaus atsitiktiių skaičių geeratorių. * SAS arba Miitab paketuose duoti eksperimeto plaavimo komadą. Patarimas: Kotroliuodami eksperimeto plaą, saugokitės didelės variacijos ir audokite lokaliąją kotrolę. Pavyzdžiui, galėtume sklypus,, 3, 4 veislėms A ir B priskirti atsitiktiai. Gali atsitikti taip, kad sklypai, yra priskiriami veislei A, o 3, 4 - veislei B. Tačiau pastebėjome šio plao epriimtiumą veislėms palygiti. Tyriėtojas, sudaręs bedrą eksperimeto plaą, privalo audoti radomizavimą, spręsdamas kurį badymą kurioje vietoje atlikti Subalasuotasis ir pilasis plaas Eksperimeto plaą vadiame subalasuotuoju, jeigu kiekvieos badymų kombiacijos stebėjimų skaičius yra vieodas. Jeigu tai eįvykdoma, tai eksperimeto plaą vadiame esubalasuotuoju. Jeigu eatliekamas ė vieas stebėjimas tam tikros badymo kombiacijos, tai toks eksperimeto plaas vadiamas epiluoju.

72 7 Pavyzdys: Į eksperimetą įtraukti du faktoriai A ir B. Stebėjimo duomeis žymime raide. Užrašome tokius eksperimeto plaus: A A A A A A B B B 3 Subalasuotasis Nesubalasuotasis Nepilasis Pagridiė taisyklė: subalasuotąjį plaą legviau aalizuoti ir iterpretuoti. 9.4 Eksperimeto plao pavyzdžiai 9.4. Eksperimeto plao ir badymų struktūra Nagriėjat eksperimeto plaavimą, būtia skirti eksperimeto plao struktūrą uo badymų struktūros. Badymų struktūra atspidi, koks badymas arba jų kombiacija yra aktuali eksperimeto rezultatams. Pavyzdžiui, jeigu orime palygiti kukurūzų veisles, tai badymų objektu laikysime veisles. Kiti badymų pavyzdžiai galėtų būti tręšimo kiekis, šėrimo tipai ir t.t. Eksperimeto struktūra parodo būdą, kuriuo siekiama įgyvediti eksperimeto lokaliąją kotrolę. Jeigu eksperimeto plaas yra absoliučiai radomizuotas, tada lokalioji kotrolė yra eaudojama. Galimi tokie radomizuotų plaų tipai: blokiis, lotyiškojo kvadrato ir t.t Absoliučiai radomizuotasis plaas Vieas faktorius Pavyzdys: Reikia palygiti tris kukurūzų veisles: A, B, C. Sklypą galime padalyti į dalių. Vadiasi, kiekvieą veislę galime augiti 4 sklypeliuose. Jeigu sklypeliams veisles priskirsime absoliučiai radomizuotai, tai gautas plaas galėtų atrodyti taip: Du faktoriai Pavyzdys: Reikia palygiti, kokią įtaką šėrimo būdai A ir A turi karvių pieo kiekiui. Karvių veislės yra dvi: B, B. Vadiasi, galime sudaryti keturias skirtigas badymų kombiacijas: A B, A B, A B, A B. Jeigu turime po 4 kiekvieos veislės karves, tada vieas plaas galėtų būti toks: atsitiktiai parikti kiekvieos veislės karves badymui A, o kitas karves priskirti badymui A. Toks plaas atitiktų dviejų faktorių absoliučiai radomizuotąjį plaą. Tokio tipo eksperimeto plaą galėtume apibedriti esat didesiam faktorių kiekiui. Pavyzdžiui, javų tręšimo eksperimetas galėtų turėti tris faktorius N, P, K, kurie gali būti laikomi faktoriais. Be to, kiekvieas faktorius turi tris lygius (0, vidutiis, aukštas). Tada badymų kombiacijų skaičius toks: v= = 7. Jeigu orėtume kiekvieą kombiaciją pakartoti kartus, tada eksperimetui tektų paaudoti 54 sklypus. Reikia pastebėti, kad badymų kombiacijų skaičius labai didėja, padidėjus faktoriaus lygių skaičiui. Eksperimetą supaprastisime, sumažię faktoriaus lygių skaičių. Pavyzdžiui, javų tręšimo eksperimete kiekvieo faktoriaus lygių skaičių sumažię iki lygių, turėtume paaudoti tiktai 8 badymų kombiacijas.. Natūraliai kyla klausimas, kam reikaligi kelių faktorių eksperimeto plaai, kai galime kiekvieą faktorių tirti atskirai. Vieas iš atsakymų galėtų būti ekoomiė auda paprasčiau

73 73 atlikti vieą faktoriį eksperimetą ei po atskirą kiekvieo faktoriaus eksperimetą. Be to, daugiafaktoris eksperimeto plaas leidžia agriėti sąveiką tarp faktorių. Pavyzdžiui, galima situacija, kai viea javų veislė duoda didesį derlių esat vieam tręšimo lygiui, o kita esat kitam tręšimo lygiui. Faktorių tarpusavio efektai yra aktualūs moksliiams tyrimams Radomizuotasis blokiis plaas Naudojat absoliučiai radomizuotąjį plaą yra etaikoma lokalioji kotrolė. Tai gali turėti įtakos, jeigu yra didelė biologiė varijacija. Naudiga eksperimete stebimų objektų skirtumus išryškiti audojat blokavimo metodą. Pavyzdys: Tarkime, kad sklypas turi uolydį rodyklės kryptimi. Sklypų, išsidėsčiusių rodyklės kryptimi, dirvožemio savybės gerėja. Suformuluota savybė gali būti paaudota sudaryti geresiam eksperimeto plaui. Sudaromas eksperimeto plaas turėtų atspidėti badymų tolygesį pasiskirstymą derligų ir ederligų dirvožemių atžvilgiu. Ši galimybė efiksuojama absoliučiai radomizuotame plae. Todėl radomizuotasis blokiis eksperimeto plaas gali būti toks: Šiame eksperimeto plae kiekvieas badymas į eilutę imamas vieą kartą. Kiekvieoje eilutėje visi trys badymai yra radomizuoti. Laikome, kad kiekvieoje eilutėje dirvožemis yra vieodas, ir toks eksperimeto plaas leis geriau ištirti badymų skirtumus. Vadiasi, eksperimeto plaui sudaryti paaudojome lokaliąją kotrolę. Pavyzdys: Blokavimas taip pat gali būti paaudojimas atliekat eksperimetą su gyvūais. Tyriėtojas paašius tam tikromis savybėmis gyvūus gali jugti į blokus. Jugimui audojama iformacija gali būti: amžius, pieo kiekis, svoris ir t.t. Reikia pastebėti, kad formuojat blokus audiga atsižvelgti į tiriamų požymių lygius. Tarkime, turime 8 telyčias, kurių charakteristikos yra tokios: Telyčios Nr Atvedimo data Svoris Bloko Nr lapkritis gruodis 3 lapkritis 6 gruodis 4 gruodis 30 lapkritis 0 gruodis 4 lapkritis Lapkričio mėesį gimusios telyčios (Nr. ir 3) svorio atžvilgiu yra labai paašios, o telyčios (Nr. 6 ir 8) taip pat paašios. Todėl turėtume į vieą bloką įtraukti telyčias ir 3, o į kitą bloką įtraukti telyčias 6 ir 8. Gruodžio mėesį gimusios telyčios (Nr. ir 4) ir telyčios (Nr. 5 ir 7) svorio atžvilgiu yra labai paašios. Remiatis šiuo tvirtiimu buvo sudaromi blokai, kurie įrašyti letelėje. Plao struktūroje visada galime audoti radomizuotuosius blokus, epaisat kurį badymų plaą audotume. Pavyzdys: Eksperimete tiriama ekologiė dėlių produkcija. Tyrimo metu reikia ustatyti, ar produkcijos kiekis priklauso uo komposto padavimo laiko (0 savaičių, savaitės, 4 savaitės) ir atstumų tarp komposto eilių (50 cm, 70 cm). Eksperimetas suplauotas kaip blokiis eksperimetas su trimis blokais: -as blokas -as blokas 3-ias blokas

74 74 Pirmas skaičius urodo laiką, o atras - atstumą cm Lotyiškojo kvadrato plaas Kartais blokavimo metodu turime atspidėti du variacijos šaltiius. Pavyzdžiui, eksperimetiis laukas gali turėti uolydį abiejų krypčių atžvilgiu (eilutės ir stulpelio). Pavyzdys: Reikia palygiti keturias javų veisles: A, B, C, D. Sklypą galime padalyti į 6 dalių. Vadiasi, kiekvieą veislę galime sėti į 4 badymų sklypelius. Tačiau sklypo dirvožemis ėra tapatus: geriausias dirvožemis yra kairiajame viršutiiame kampe ir blogėja palaipsiui slekat į dešiįjį apatiį kampą. Vieas eksperimeto plao sudarymo būdų yra lotyiškojo kvadrato plaas. Tai atliekama taip: badymus išdėstome radomizuotai taip, kad tas pats badymas eilutėje ir stulpelyje būtų tiktai vieą kartą. Plaas būtų toks: A C D B B A C D C D B A D B A C Lotyiškojo kvadrato eksperimeto plaas gali būti audojamas eksperimetuose su gyvūais. Pavyzdys: Tiriame karvių šėrimo keturių racioų (A, B, C, D) įtaką pieo kiekiui. Kiekvieas racioas tris savaites paeiliui paaudojamas visoms karvėms. Pieo kiekis matuojamas kiekvieo periodo trečią savaitę. Tai leidžia elimiuoti kitų šėrimo racioų efektą. Gauti stebėjimo duomeys: Periodas 3 4 Karvės umeris 3 4 A:33.3 B:9.5 C:35. D:35.7 B:3.9 D:30.8 A:34. C:7.6 C:6.5 A:8.5 D:3.5 B:7.5 D:30.3 C:7.8 B:3.7 A: Plyšiės diagramos plaas Pavyzdys: Dažai atskiriems kitamiesiems gali būti audiga pritaikyti skirtigas blokavimo schemas. Pavyzdžiui, javų veislių A, B, C ir žemės arimo būdų,, 3, 4 eksperimete gali atsitikti taip, kad skirtigus žemės arimo būdus galime paaudoti tik didesiame žemės plote, o veislę galime keisti ir mažesiuose sklypeliuose. Taigi, arimo būdus keičiame didesiuose žemės sklypuose, o javų veisles keičiame šiuose sklypuose. Arimo būdai kiekvieame bloke parekami atsitiktiai ir po to mažesiuose sklypeliuose atsitiktiai parekamos javų veisles. Eksperimeto plaas gali būti toks: B C A A C B

75 75 A A C B B C C B B C A A A C C B B A B A B A A C C B A C C B -as blokas -as blokas 3-ias blokas Arimo metodų legedos Metodas Metodas Metodas 3 Metodas Nepilieji blokai Kai kuriuose eksperimetuose gali atsitikti taip, kad audotias radomizuotasis blokiis plaas. Tačiau ribotas blokų dydis gali eleisti juose išdėstyti visų badymų (arba badymų kombiacijų). Pavyzdys: Tarkime, reikia palygiti 6 badymus: A, B, C, D, E, F. Eksperimetui atlikti galime paaudoti 30 badymo vieetų, kurie padalyti į 6 blokus po 5 vieetus. Taigi, egalime atlikti visų 6 kiekvieo bloko badymų (pavyzdžiui, tai gali atsitikti eksperimeto su gyvūais arba augalais metu). Turime geriausiai suskirstyti 30 eksperimeto vieetų į 6 blokus taip, kad badymų palygiimas būtų efektyviausias. Jeigu laikysime, kad kiekvieas badymas turi būti atliktas pekis kartus, tai tokį eksperimeto plaą vadisime subalasuotuoju epiluoju blokiiu plau. Tokio plao pavyzdžiu gali būti šis plaas: A A A A A B B B B B C C C C C D D D D D E E E E E F F F F F Pateiktame eksperimeto plae visi badymai A, B, C, D, E, F pasikartoja po pekis kartus. Vadiasi, kiekvieas badymas (pavyzdžiui, C) sulygiamas su kitu keturis kartus. Badymus surašėme sistemiga tvarka, o jų radomizavimą atlikome prieš pradėdami eksperimetą Pakartotų stebėjimų plaai Kai kurių eksperimetų tikslas yra įvertiti atitikamo badymo pasikeitimus laiko atžvilgiu. Šiuos eksperimetus priimta vaditi pakartotų stebėjimų eksperimetais. Eksperimeto plaas sudaromas bet kuriuo aksčiau aprašytu būdu. Aalizei daro įtaką tai, kad tas pats objektas laikui bėgat yra matuojamas keletą kartų. Tyrimo tikslas yra pavaizduoti evoliuciją kaip matematię kreivę.

76 76 Pavyzdys: Tarkime, reikia ištirti trijų lygių (a=3) faktoriaus A įtaką vieo kitamojo kitimui laikui bėgat. Eksperimete yra 8 gyvulių, kurie padalyti į 6 blokus po 3 gyvulius. Kiekvieame bloke badymai yra raduomizuotieji. Laiko efektui atspidėti tas pats badymas atliktas skirtigu laiko mometu tris kartus. Gauti stebėjimo duomeys atrodo taip: blokas 6 blokas Gyvulio Nr Badymas A A 3 A A 3 A A laikas laikas 3 laikas Pakeičiamieji eksperimeto plaai Pakeičiamaisiais eksperimeto plaais laikome specialaus tipo pakartotų stebėjimų eksperimetus. Pakeičiamuosiuose eksperimetuose atitikamame etape yra pakeičiamas eksperimete tiriamų objektų išdėstymas. Objektai gali būti keičiami radomizuotu būdu arba taikat atitikamą blokavimo sistemą. Pavyzdys: Reikia palygiti tris gyvulių badymus. Eksperimeto plae išskiriame tris periodus. Kiekvieame badymų periode pakeičiame gyvulius. Plaas gali būti toks: Blokas 4 Gyvulys Periodas 3 A A A 3 A A 3 A A 3 A A A A 3 A Šiame eksperimete gyvuliai yra padalyti į blokus po tris gyvulius. Eksperimetas yra suskirstytas į tris periodus taip, kad atliekami kiekvieo gyvulio visi galimi badymai. -ame periode atliekamas gyvulio, kurio umeris, badymas A, -ame periode - badymas A ir 3- iame periode - badymas A 3. Blokavimas atliekamas siekiat išlaikyti paašų periodų efektą. Tiriat su pieies karves bloke turi būti vieodos laktacijos gyvuliai. Vadiasi, geriausias požymis blokuojat yra veršiavimosi laikas. Pastebėtia, kad kiekvieame bloke yra pritaikytas lotyiškojo kvadrato plaas. Įprasta tarp periodų umatyti eiamąjį periodą. A A A 3 A 3 A A A A A 3 A A 3 A A 3 A A Pradžia -as periodas pereiamasis -as periodas pereiamasis laikotarpis 3-ias periodas laikotarpis Šio tipo eksperimetuose yra lygiami gyvulio badymai. Badymų palygiimas yra efektyvus, es paklaidos dispersija yra maža. Galime sudaryti daug skirtigų eksperimeto plaų priklausomai uo badymų skaičiaus, periodų ir gyvulių Stebėjimo duomeų aalizė Eksperimeto plaavimo techiėje literatūroje yra urodoma skaičiavimų metodika. Tačiau pateiktų skaičiavimo schemų ereikia laikyti eksperimeto plaavimo esmiiu dalyku. Šiuolaikiiai skaičiavimo būdai apima įvairias kompiuteries programas. Tarp jų reikia išskirti paketus SAS ir Miitab. Naudodamiesi šiais paketais galime aalizuoti dispersiją vieo ir dviejų faktorių tiesiiuose modeliuose.

77 77 0 skyrius Vieo faktoriaus dispersiė aalizė (Aova) 0. Pavyzdys Dispersijos skaidymo į dalis ir jų iterpretavimo metodų rikiį vadiame dispersie aalize (Aova). Pagridiis dispersiės aalizės paaudojimo aspektas yra hipotezių tikriimas. Aksčiau apibrėžėme t testą - esmiiams skirtumams tarp dviejų grupių (pavyzdžiui, skirtigų badymų) ustatyti. Paprasčiausias Aova metodas lygia daugiau egu dvi grupes. Dispersiė aalizė susideda iš statistiių modelių, kuriuos audojat apytiksliai atspidima aalizuojama situacija. Situacijai usakyti galime paaudoti kelis ją atitikačius modelius. Aalizei atlikti privalome rasti geriausią modelį. Paagriėsime kukurūzų derliaus eksperimeto stebėjimo duomeis. Matavimai atlikti 4 sklypeliuose keičiat tręšimo būdą: Badymo Nr i= j= Kotroliis K O+N K O+P O 5 N+ P O y ij= 896 y =79. Klausimas: Surikus pateiktus stebėjimo duomeis, pagridiis klausimas yra ustatyti, ar egzistuoja esmiis skirtumas tarp badymų. Stebėjimus pažymime y, čia pirmas ideksas i pažymi badymo umerį, o atras ij ideksas j pažymi stebėjimo umerį. Pateiktame pavyzdyje y = 99 ir y 4= 04. Vieo badymo stebėjimų vidutię reikšmę žymime y i, o visų stebėjimų vidutię reikšmę žymime y. Taigi, taškas, įrašytas idekso vietoje, parodo suvidurkiimą pagal atitikamą ideksą. i-tojo badymo stebėjimų sumą žymime T i., o visų stebėjimų sumą žymime T. Badymas A turi a lygių. i-tojo badymo stebėjimų skaičių žymime raide, o visų stebėjimų skaičių - raide N. Pateiktame pavyzdyje: a=4, i =6, N= i j= y ij y i alteratyva: skirtigų badymų stebėjimai alteratyva: skirtigų badymų turi skirstiius su skirtigais vidurkiais. stebėjimai turi tą patį skirstiį, t.y. vidurkiai sutampa.

78 78 0. Modelis ir apribojimai Skirtigų eksperimeto badymų vidutiių reikšmėmių tiesiis modelis užrašomas taip: y = µ + α + e, ij čia µ yra visų stebėjimų vidutiė reikšmė (bedrasis vidurkis), α i yra skirtumas tarp i-tojo badymo vidurkio ir bedrojo vidurkio, e yra atsitiktiė paklaida (liekaa). Laikome, kad liekaos ij e ij dispersijos yra vieodos (t.y. epriklauso uo badymo) ir žymime laikome, kad liekaos i ij σ e. Be to e ij yra epriklausomos ir turi ormalųjį skirstiį. Užrašome taip: e ij ~NID(0; σ e ). Dydis α dažiausiai yra vadiamas i-tojo badymo efektu. Badymų efektų suma lygi i i uliui, t.y. α = 0. Ši lygybė privalo galioti įvertius efektus audojat eksperimeto stebėjimo duomeis. Reikia pastebėti, kad, esat teisigai alteratyvai, modelį galime supaprastiti ir užrašyti taip: y ij=µ + eij, es tada α i yra lygus uliui. Tyrimas apie visų badymų vidurkių lygybę leidžia atsakyti į klausimą, kuris iš dviejų modelių yra priimtiesis. Šią problemą galime suformuluoti kaip hipotezės tikriimo uždaviį: H 0 :visi µ yra lygūs, i H : visi α yra lygūs uliui, 0 H : α 0. 0 i i = Alteratyvioji hipotezė tvirtia tai, kad badymų vidutiės reikšmės ėra lygios. Kitaip i > tariat: H : α 0. Vadiasi, alteratyvioji hipotezė yra viepusė. Atskirojo stebėjimo 0.3 Kvadratų sumos išdėstymas y ij ir bedrojo vidurkio y skirtumą galime užrašyti taip: yij y ) = ( yij y ) + ( y y ). Dydis y ij y ) parodo kiek badyme atskirasis stebėjimas ( i i ( i yra utolęs uo badymo vidurkio, dydis ( y i y ) parodo, kiek i-tojo badymo vidurkis yra utolęs uo bedrosios vidurkio reikšmės. Akstesėje lygybėje visus dėmeis pakeliame kvadratu ir susumuojame pagal visus stebėjimus. Piloji visų stebėjimų variacija užrašoma taip: SS T ( yij ) = y i j. Šią variaciją galime skirstyti į du dėmeis, kurių vieas atspidi variaciją tarp badymų, o atras - stebėjimo duomeų atsitiktię variaciją. y T = ij ij i i i j i j Užrašome taip: SS ( y y ) = ( y y + y y ) = Pažymime: SS A ( ij y i ) + ( y i y i i = i j ( yi ) = y i i, SS y y ). e = i i j ). ( ij Vadiasi, piląją variaciją (piląją kvadratų sumą) išskirstėme į vieą dalį, priklausačią uo skirtumų tarp badymų ( SS - badymų kvadratų suma), ir kitą dalį, priklausačią uo A

79 79 atsitiktiės variacijos ( SS - paklaidų arba liekaų kvadratų suma): e SS = SS + SS. Svarbiausias išdėstymo pricipas yra tas, kad, esat didelių skirtumų tarp badymų, SS A turėtų būti maža ir atvirkščiai, - jei skirtumai tarp badymų dideli, dydžio SS A reikšmė didelė, dydis SS apibrėžia kiekvieo stebėjimo variaciją. Todėl jį mažai veikia skirtumai tarp badymų. Toliau e išsiaiškisime, kas yra laikytia didele kvadratų suma? Su kiekviea kvadratų suma yra susijęs kitas dydis, kurį vadiame laisvės laipsiais, (d.f.). Bedruoju atveju laisvės laipsių skaičius sutampa su kvadratų sumoje esačių dėmeų skaičiumi atėmus dėmeis ribojačių tiesiių apribojimų skaičių. Kvadratų suma SS T = yij y ) turi N dėmeų ir vieą apribojimą y i j i j ( ( y ) = 0. Vadiasi, ši kvadratų suma turi N- laisvės laipsį. ij Kvadratų suma SS A ( y i ) = y i i turi a dėmeų (sutaps su badymų skaičiumi) ir vieą apribojimą ( y i y ) = 0. Vadiasi, ši kvadratų suma turi a- laisvės laipsį. i i Kvadratų suma SS y y ) turi N dėmeų ir a ij i j e = i i j ( ij apribojimų ( y y ) = 0. Vadiasi, ši kvadratų suma turi N-a laisvės laipsį. Jeigu kiekvieą sumą padalisime iš ją atitikačio laisvės laipsių skaičiaus, tada gausime kvadratų vidurkį. Pažymime: SS A SSe MS A =, MSe=. a N a Kvadratų vidurkiai yra atitikamų dispersijų įvertiimai. Vadiasi, paklaidos kvadratų vidurkis MS e yra liekaų e ij dispersijos σ e įvertiimas. Tai galime užrašyti taip: E( MS e ) = σ e. N Galime įrodyti, kad : E( MS A) = σ e+ ( ) α i. a Jeigu visi badymų vidurkiai yra vieodi, tada visi badymų efektai α i yra lygūs uliui. = Tai ekvivaletiška lygybei: α 0. Vadiasi, jeigu badymų vidurkiai yra vieodi, tai MS A dydžiai MS A ir MS e turėtų būti apytiksliai lygūs. Palygiimui apskaičiuojame satykį: F=. MSe Jeigu pagridiė hipotezė yra teisiga, tada šis satykis turi F skirstiį su a- laisvės laipsiu skaitiklyje ir N-a laisvės laipsiu vardiklyje. Sąvokoms paaiškiti audosime stebėjimo duomeis, pateiktus šio skyriaus pradžioje. Turime: = = 7 79= µ įvertiimas: µ y = 79, α įvertiimas: α 7, α įvertiimas α = , 3 = α įvertiimas α = 66 79= 3, 4 3 α įvertiimas α = , 4 = i (Nesuku įsitikiti, kad α = = 0 ). T A e

80 y SS T i= j= = ( y ij ) viso 4 dėmeys). 4 SS A= i ( yi y ) i= viso 4 dėmeys). SS e 4 6 i = ( yij y ) i= j= = (99 79) = 6(7 79) = (99 7) + (40 79) + 6(95 79) + (40 7) (78 79) + 6(66 79) (7 79) + 6(83 79) = 6 (iš = 940 (iš + (78 83) + (7 83) = 37 (iš viso 4 dėmeys). Reikia pastebėti, kad: SS + SS = = 6= SS. Atliekat skaičiavimus A e kalkuliatoriumi, galime paaudoti efektyvesius reiškiių apskaičiavimo būdus. Tai pateikiama priede. T 0.4 Aova letelė Atlikus skaičiavimus kompiuteriiu paketu, skaičiavimo rezultatai pateikiami atitikamoje letelėje. Ji yra vadiama Aova letelė: Šaltiis d.f. SS MS E(MS) Modelis, A a- SS A MS A σ e+ ( Liekaa N-a SS e Ms e Bedroji suma N- SS T σ e Naudodami pavyzdyje pateiktus duomeis, gautume letelę: N a ) Šaltiis d.f. SS MS F Modelis, A 4-= Liekaa 4-4=0 37 Bedroji suma 4-= MS 980 Apskaičiuota statistikos F reikšmė: = A F = = Norėdami atsakyti į MSe 63.6 klausimą, ar šis rezultatas yra reikšmigas skirtumams tarp badymų egzistuoti, rasime F skirstiio 5% kritię reikšmę. Letelėje radame, kad F skirstiio su 3 ir 0 laisvės laipsiais kritiė reikšmė lygi Ta pati reikšmė, esat % lygiui, yra Kadagi pagal stebėjimus apskaičiuota statistikos reikšmė 5.99 yra didesė už 4.938, tai galime tvirtiti, kad pagridiė hipotezė yra atmetama. Vadiasi, badymų skirtigi rezultatai. Aalogišką išvadą galėtume padaryti, jeigu audotume Miitab paketą: α i Iš letelės matome, kad p reikšmė yra labai maža (0.004). Vadiasi, tarp badymų vidurkių egzistuoja esmiiai skirtumai. Kad geriau supratume eksperimetą, galime paaudoti aprašomosios statistikos metodus. Pavyzdžiui, galime pavaizduoti badymų blokię diagramą:

81 8 Badymas Aalizuodami šį paveikslą darome išvadą, kad egzistuoja esmiiai skirtumai tarp badymų vidurkių. Natūralu toliau agriėti klausimą, kurie iš badymų yra skirtigi? Šį klausimą agriėsime vėlesiuose skyriuose. 0.5 Kompiuteriė aalizė 0.5. Stebėjimo duomeų struktūra Dispersiės aalizės metodai yra susiję su didelėmis skaičiavimų apimtimis. Todėl būtia audoti kompiuteriius skaičiavimų ir aalizės paketus. Dauguma kompiuteriių paketų turi paašią duomeų pateikimo struktūrą: atskiro objekto stebėjimas pateikiamas eilutėje, o atitikami objekto požymiai (kitamieji) pateikiami stulpeliuose. Jeigu badymo umerį laikysime kitamuoju, tai jį galime koduoti skaičiumi, raide arba atitikamu žodžiu. Pavyzdys: Pateiktus šio skyriaus pradžioje stebėjimo duomeis turime pateikti taip: kitamasis badymas rašomas vieame stulpelyje, o kitamasis derlius - kitame stulpelyje. Taupydami vietą, pateiksime tiktai 7 pirmuosius ir 7 paskutiiuosius stebėjimus: Badymas Derlius Modelio simboliė kalba SAS ir Miitab paketai turi paašią komadų užrašymo struktūrą. Abiems paketams privalome urodyti, kad badymas yra klasės kitamasis. Šis kitamasis eprivalo būti skaitmeiis, jis bus laikomas kokybiiu kitamuoju. SAS pakete modelį užrašome komada, o Miitab pakete užpildome atidarytą lagą. Modelis turi formą:

82 8 yield (derlius)=treat (badymas), Šis užrašymas reiškia: derlius priklauso uo badymo. Bedrasis vidurkis ir liekaa į modelį yra įtraukiami automatiškai Aalizė audojatis SAS paketu Komada, įvedati stebėjimo duomeis į SAS paketą, užrašoma taip: Komados SAS pakete rašomos didžiosiomis raidėmis. Kitamųjų ir failų vardai užrašomi mažosiomis raidėmis, statistikas šiuos vardus pareka laisvai. Programa susideda iš dviejų dalių: DATA (duomeys) ir PROC (procedūra). DATA dalyje yra sukuriamas SAS duomeų failas ex, kuris turi du kitamuosius: treat ir yield. Duomeis surašome po žodžio CARDS ir baigiame atskiroje eilutėje parašydami kabliataškį. PROC dalyje užrašome atliekamos aalizės pobūdį. Aalizei atlikti galime paaudoti procedūrą GLM (bedrasis tiesiis modelis). Atlikus skaičiavimus, rezultatai pateikiami letelėse: Dispersiės aalizės rezultatai audojat SAS paketą susideda iš dviejų dalių. Viršutiėje dalyje variacija yra padalyta į dvi dalis: modelio ir liekaos. Apatiėje dalyje pateiktos modelio skirtigų dalių kvadratų sumos. Pateiktame pavyzdyje yra vieitelis dydis. Todėl kvadratų suma SS, apskaičiuota treat, yra ta pati kaip ir model. Pastebime, kad p reikšmė Pr>F yra mažas skaičius Vadiasi, tarp badymų egzistuoja esmiiai skirtumai. SAS papildomai pateikia tokias skaities charakteristikas: R-Square parodo, kokią bedrosios kvadratų sumos dalį paaiškia model. Šis dydis SS el apskaičiuojamas taip: R mod =. Naudodami akstesius skaičiavimus, galime patikriti: SS 940 R = = T R gali įgyti skaities reikšmes uo 0 iki. Ši reikšmė artima vieetui. Vadiasi, modelis paaiškia didžiąją stebėjimo duomeų variacijos dalį. Jeigu koeficietas R

83 83 būtų artimas uliui, tada galėtume teigti, kad stebėjimo duomeų variacijos didesė dalis yra atsitiktiė variacija. C.V. apibrėžia variacijos koeficietą. Jis parodo (%) kokią vidurkio dalį sudaro stadartiis uokrypis. Stadartiis uokrypis yra žymimas Root MSE ir apibrėžiamas dydžio MS e kvadratie šakimi. Miėto pavidalo apskaičiuotasis kvadratiis uokrypis yra stadartiio uokrypio σ taškiis įvertiimas. Paaudodami pateiktus stebėjimo duomeis, įsitikiame: e MS e =63.6, Root MSE= 63.6=. 79. Kadagi bedrasis vidurkis (YIELD Mea) yra.7906 lygus , tai C.V. = 00 = 6. 9 (%). Stadartiis uokrypis sudaro 6.9% vidurkio Aalizė audojat Miitab paketą Aalizei atlikti privalome įvesti stebėjimo duomeis į Miitab Data lagą. Po to, galime pasiaudoti STAT meiu: Stat, Aova, Geeral liear model. Aalizės lagas atsivers tuomet, kada Resposes dėžutėje įrašysime yield, o Model dėžutėje įrašysime Treat. Miitab audoja tą patį simboliį modelį: derlius=badymas. Miitab išvedimo lapas buvo pateiktas aksčiau. 0.6 Pratimai 0. Turime trijų badymų A, A, A 3 stebėjimo duomeis: A : y = y = 4 A : y = 3 y = 5 y 3 = 7 A 3 : y 3 y 4 3= 3= A. Apskaičiuokite kiekvieo badymo vidurkį ir dispersiją. B. Sudarykite Aova letelę. 0. Turime trijų badymų A, A, A 3 stebėjimo duomeis: A : A : 0 - A 3 : 4 6 A. Pateikite stebėjimų y, y, y reikšmes. B. Apskaičiuokite kiekvieo badymo vidurkį ir dispersiją. C. Sudarykite Aova letelę. 0.3 Maisto produktų tyriėtojas agriėja pieo sudėtiių dalių įtaką badelės tūriui (matuojama mililitrais/00g svorio). Tapačiomis sąlygomis iškepta 5 badelių. Atsitiktiai visos badelės padalytos į 3 blokus ir į pirmos grupės badeles papildomai pridedamas mažas pieo sudėtiių dalių kiekis, į atros - vidutiis kiekis, į trečios - didelis kiekis. Badelių tūriai tokie: Kiekis Mažas Vidutiis Didelis Badelės umeris

84 84 A. Atlikite dispersię aalizę ir ustatykite, ar pieo sudėtiių dalių kiekis turi įtakos badelės tūriui. Aalizė privalo apimti hipotezių tikriimą, Aova letelę, testų rezultatus ir išvadas. B. Suformuluokite aalizei reikaligas prielaidas. 0.4 Atliekamas kelių rūšių paukščių tyrimas. Skirtigų rūšių paukščiai turi skirtigas balso savybes. Viea iš stebėtų savybių buvo garso ilgis sekudėmis. Tirtos trys paukščių rūšys:a, B, C. Gauti stebėjimo duomeys pateikti letelėje: 0.5 A B C Apskaičiuotos stebėjimo duomeų sumos ir kvadratų sumos: A. Patikrikite hipotezę, kad visų rūšių paukščių garso vidutiis ilgis yra vieodas. B. Suformuluokite aalizei reikaligas prielaidas.

85 85 skyrius Kada F testas yra reikšmigas Dispersiėje aalizei būdiga, kad testo F reikšmė yra reikšmiga, jeigu egzistuoja esmiiai skirtumai tarp badymų vidurkių µ. Tačiau testas F eleidžia įvertiti, kurie iš badymų i yra skirtigi. Pavyzdžiui, atlikę vieo faktoriaus keturių javų veislių derliaus stebėjimus ir sudarę Aova letelę, egalime spręsti, kuri javų veislė yra geriausia. Šiai išvadai padaryti reikaliga papildoma aalizė. Pavyzdys: Atliktas tyrimas stebit 4 javų veisles. Stebėjimo duomeys: Veislė A B C D Vidurkis Atlikus dispersię aalizę audojatis SAS paketu, gauti rezultatai: Rezultatai rodo, kad F testas yra reikšmigas, es tikimybė Pr>F yra mažas skaičius Tačiau egalime ustatyti, kuri iš veislių yra geriausia (blogiausia). Galime urodyti keletą palygiamųjų metodų. Ateityje apžvelgsime keletą metodų ir pateiksime skaičiavimus, audodami pateikto pavyzdžio stebėjimo duomeis.. Badymų palygiimas.. Poriis palygiimas Paprasčiausias javų veislių palygiimo būdas yra T testo audojimas dviem imtims. Pavyzdžiui, galime palygiti veisles A ir B (patikriti hipotezę H : µ µ 0 ). Skaičiavimams taikome 8 skyriuje pateiktas formules: x A x B ( A ) s A+ ( B ) sb t =, čia s =. A+ B s + A B 0 A B = Imties dispersijai s apskaičiuoti buvo paaudota prielaida, kad veislės A ir B turi vieodą dispersiją σ. Reikia pastebėti, kad Aova programoje yra priimama, jog visos keturios veislės A, B, C, D turi vieodą dispersiją, o e tik veislės A ir B. Taigi, būtų efektyviau dispersiją

86 86 σ įvertiti pagal Aova letelę, tai yra = e s s = s s e = (liekaos kvadratų vidurkis). Turime: Vadiasi, hipotezei H 0 : µ A= µ B tikriti statistikos t reikšmė yra: t = =.93. Laisvės laipsių skaičius yra 6. t skirstiio letelėje radame kritię reikšmę.. Vadiasi, apskaičiuota statistikos reikšmė -.93 ėra reikšmiga (vidurkiai sutampa). Pateikto metodo praašumą galime pagrįsti efektyvesiu dispersijos σ įvertiimu, es laisvės laipsių skaičius buvo imamas 6, o e 8 (5+5- įprasto t testo atveju)... Poriio palygiimo rezultatų pateikimas Pailiustruosime badymų paporiio palygiimo SAS paketu tabuliagramą. Naudojami duomeys pateikti šio skyriaus pradžioje. Apatiėje tabuliagramos dalyje pateiktos veislių vidurkių reikšmės ( Mea ). Stulpelyje T Groupig prieš veislę C parašyta A ir raidė B - prieš veisles D, B, A. Toks užrašymas reiškia, kad tarp veislių D, B, A vidurkių ėra esmiių skirtumų, bet veislė C turi vidurkį kuris iš esmės skiriasi uo kitų veislių vidurkių. Badymų, turičių stulpelyje T Groupig tą pačią raidę, vidurkiai iš esmės esiskiria. Tabuliagramos viršuje esatis užrašas Least Sigificat Differece dažai sutrumpitai užrašomas: LSD. Šis dydis urodo miimalią skaitię reikšmę tarp badymų vidurkių skirtumo, kad tarp badymų egzistuotų esmiis skirtumas. LSD= t MS + = = Pateiktame pavyzdyje statistikos t e A B 5 5 skirstiio laisvės laipsiai sutampa su dydžio MS e skirstiio laisvės laipsiais N-a=6. Jeigu skirtumas tarp badymų vidurkių yra didesis už 3.65, tada skirtumas yra esmiis. Javų veislės C vidurkis 7.6, o javų veislės D , tada vidurkių skirtumas =7.. Kadagi šio dydžio modulis yra didesis egu 3.65, tai skirtumas yra esmiis esat 5% reikšmigumo lygiui. LSD reikšmę galime efektyviai paaudoti subalasuotame eksperimete. Kito tipo eksperimetuose t reikšmę tektų apskaičiuoti kiekvieam palygiimui. Poriio palygiimo stadartiė paklaida ( dviejų vidurkių skirtumo stadartiė paklaida ) žymima SED ir skaičiuojama pagal formulę: SED = MSe. Paagriėsime sudėtigesį palygiimo pavyzdį, pateiktą 0 skyriuje (psl. 5). Šiame pavyzdyje yra lygiami 4 badymai. Atlikti skaičiavimai rodo, kad tarp kai kurių badymų egzistuoja esmiis skirtumas. Poriio palygiimo audojat SAS paketą tabuliagrama atrodo taip:

87 87 Badymų ir 4 vidurkių skirtumas ėra esmiis, es stulpelyje T Groupig turi tą pačią raidę A. Badymų 4 ir vidurkių skirtumas ėra esmiis, es stulpelyje T Groupig turi tą pačią raidę B. Badymų ir 3 vidurkių skirtumas ėra esmiis, es stulpelyje T Groupig turi tą pačią raidę C. Kitos vidurkių poriio palygiimo kombiacijos yra reikšmigos...3 Kotrastai Praktikoje sutikama vidurkių palygiimo problema yra sudėtigesė egu poriis palygiimas. Tarkime, teka agriėti skirtigų badymų tiesies kombiacijas. Pavyzdžiui, javų veislė A yra pavyzdiė. Reikia palygiti, ar ši pavyzdiė javų veislė skiriasi uo kitų veislių vidurkio. Vadiasi, turime tikriti hipotezę: µ B+ µ C+ µ D H 0 : µ A. 3 Tokią badymų vidurkių kombiaciją priimta vaditi kotrastu. Bedruoju atveju kotrastą užrašome taip: L = µ, čia h = 0. Reikia pastebėti, kad vidurkių poriio palygiimo h i i i metodas yra atskiras kotrasto atvejis. Hipotezei tikriti turime įvertiti kotrasto reikšmę ir apskaičiuoti šio įvertiimo dispersiją. Naudojame šiame skyriuje pateikto pavyzdžio stebėjimo duomeis: y B+ y C+ y D L= y A = 87.8 = Kotrasto įvertiimo 3 3 dispersijos įvertiimas skaičiuojamas taip: y B y C y D Var( L) = Var( y A ) = Var( y A ) + Var( y B ) + Var( y C ) + Var( y D ) = σ σ σ σ + = σ A 9 B C D A 9 B C D Aksčiau pastebėjome, kad dispersijai σ įvertiti imame dydį MS e. Taigi: Var ( L) = = 7.5. Hipotezei H 0 : L= 0 tikriti, apskaičiuojame Lˆ 8.67 statistiką: t = = = Gautą reikšmę lygiame su 6 laisvės laipsių t 7.5 Var( Lˆ) skirstiio kritiėmis reikšmėmis, atitikamai. (5%) ir.9 (%). Matome, kad esat % lygmeiui kotrastas yra reikšmigas.

88 Bedruoju atveju kotrasto įvertiimas yra skaičiuojamas pagal formules: σ įvertiti audojame formulę: h i 88 L = µ įvertiimas ir kotrasto įvertiimo dispersijos σ = MS. e i L= h i y i, Var( L) = h i σ i. Dispersijai. Kelių testų problema Jeigu eksperimeto aalizės metu tikriame daug hipotezių, tada išvadų rizikos laipsis padidėja. Suformuluotame pavyzdyje galime atlikti 6 skirtigus badymų vidurkių poriius palygiimus: A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, C-D. Nutarę atlikti 6 epriklausomus palygiimus (esat 5% lygmeiui), susidursime su 6% (-(-0.05) =0.6) rizika, kad vieas iš skirtumų yra esmiis, ors esmiių skirtumų ėra. Tokia rizika yra labai didelė. Be to, ji didėja didėjat badymų skaičiui. Pavyzdžiui, esat 0 badymų, 45 galimų poriių badymų palygiimų rizika sudarytų 90%. Vadiasi, 5% lygmuo ėra priimtias. Didelis hipotezių kiekis vieame eksperimete suformuoja masiio reikšmigumo problemą. Kitaip tariat, galime keletą skirtumų tarp badymų pripažiti reikšmigais, ors iš tikrųjų esmiių skirtumų tarp badymų ėra. Paagriėsime metodus, padedačius sumažiti rizikos laipsį... Spredimas Vieas iš būdų, spredžiat masiio reikšmigumo problemą, yra rezultatų reikšmigumo padidiimas. Tarkime, esat 5% reikšmigumo lygiui t statistikos kritiė reikšmė yra t >.. Tačiau, atsižvelgdami į masiio reikšmigumo problemą, šias ribas išplečiame ir imame: t > Vadiasi, kiekvieo palygiimo reikšmigumo lygmuo buvo paimtas mažesis egu α. Teka atsakyti į klausimą, koks privalo būti aujasis reikšmigumo lygmuo? Skirtigi autoriai siūlo skirtigas metodikas reikšmigumo lygmeiui ustatyti. Pateiksime keletą metodų, kurie gali būti pritaikyti aalizuojat tabuliagramas, pateikiamas SAS komadomis PROC ANOVA ir PROC GLM... Boferoi Boferoio t testas ( BON parikimas SAS pakete, taip pat Miitab) tvirtia, kad poriis badymų vidurkių palygiimas yra reikšmigas esat lygiui α, jeigu įprastiis t testas yra α reikšmigas esat reikšmigumo lygiui, čia c poriių palygiimų skaičius. Akstesiame c pavyzdyje, poriių palygiimų skaičius c=6. Taigi, orėdami tikriati 5% reikšmigumo lygmes hipotezę: H : µ µ 0, 0 A B = kiekvieame teste reikšmigumo lygmeį turime imti = Vadiasi, vietoje kritiės reikšmės. ( t >. ) turime audoti kritię reikšmę 3.0 ( t > 3. 0). Letelėje dažiausiai eįmaoma rasti atitikamų t skirstiio kritiių reikšmių...3 Sidak Sidako t testas ( SIDAK parikimas SAS pakete; taip pat Miitab) tvirtia, kad poriis badymų vidurkių palygiimas yra reikšmigas esat lygiui α, jeigu įprastiis t testas yra

89 89 reikšmigas esat reikšmigumo lygiui ( α ) c, čia c - poriių palygiimų skaičius. Pagal aksčiau suformuluotą pavyzdį, c=6, α =0.05, ( 0.05) 6= , t > Šefė α lygmes dviejų badymų vidurkių skirtumas reikšmigas, jeigu t satykis yra didesis už dydį ( a ) F( α; a, ν ), čia a- ir ν laisvės laipsių F() yra F skirstiio lygmes α kritiė reikšmė. Pagal aksčiau suformuluotą pavyzdį, 5% F (3, 6) laisvės laipsių reikšmė yra 3.4. Pagridię hipotezę H : µ µ 0 atmesime, jeigu t satykis yra didesis egu ( 4 ) 3.4 = A B =..5 Tuki Čia suformuluoti metodai gali būti pritaikyti e tiktai poriiam vidurkių palygiimui, bet taip pat ir kotrastams. Tuki pasiūlė metodą tiktai poriiam vidurkių palygiimui. Aalizuojat Tuki metodu laikome, kad esatα lygmeiui du vidurkiai iš esmės yra skirtigi, jeigu t satykis yra didesis už skaičių q ( α; a, ν ) /, čia q turi Stjudetizuoto pločio skirstiį, α yra reikšmigumo lygmuo, a yra badymų skaičius ir ν yra F skirstiio vardiklio laisvės laipsių skaičius. Stjudetizuoto pločio skirstiio kritiės reikšmės pateikiamos priedo 9 letelėje. Pagal aksčiau suformuluotą pavyzdį, a=4, α =0.05, ν=6. Stjudetizuoto skirstiio kritiė reikšmė yra Pagridię hipotezę H : µ µ 0 atmesime, jeigu t satykis yra 0 A B = didesis egu 4.05 / =. 86. Miitab paketu taip pat galime atlikti Tuki testą. Paagriėsime 0 skyriuje (psl. 7) pateiktą pavyzdį. SAS paketu poriio palygiimo tabuliagrama buvo gauta aksčiau. Tuki metodo SAS paketu gauta tabuliagrama atrodo taip: Aksčiau atlikta aalizė parodė, kad badymų ir, ir 3, 4 ir 3 vidurkiai iš esmės yra skirtigi. Tuki metodo tabuliagrama parodo, kad badymų 4 ir 3 vidurkiai iš esmės esiskiria. Tai paaiškiama tuo, kad Tuki metodas reikšmigumo lygmeiui kelia didesius reikalavimus egu t testas. Aksčiau LSD buvo 5.404, dabar Šis dydis buvo apskaičiuotas pagal formulę.86 MS e +. Tuki testą galime išsikviesti Miitab pakete. Miitab tabuliagrama yra skirtiga, tačiau gauame aalogišką rezultatą. Miitab tabuliagrama atrodo taip:

90 90..6 Žigsio žemy metodas Šiuo metodu pirmiausia išagriėjame, ar a badymų vidurkiai sutampa esat tam tikram reikšmigumo lygmeiui γ. Jeigu gauame, kad vidurkiai iš esmės skiriasi, tada agriėjame, ar a a- badymų vidurkiai sutampa esat γ a reikšmigumo lygmeiui. Priešigu atveju baigiame agriėjimą. SAS paketu šį metodą atliksime audodami procedūrą REGWQ. Metodas yra pagrįstas Stjudetizuoto pločio skirstiiu. Šiuo metodu egalima atlikti aalizės audojat Miitab paketą...7 Rekomedacijos SAS paketo aprašyme vidurkiams palygiti galime rasti daugiau metodų. Tačiau būtų sudėtiga pasakyti, kuris iš metodų yra geriausias. Ieškodami šiam klausimui atsakymo turime apibrėžti geriausio metodo sąvoką. Statistikai, tikridami hipotezes, dažiausiai audojasi tokiu kriterijumi: tikrasis reikšmigumo lygmuo turėtų būti lygus arba artimas umatomam reikšmigumo lygmeiui reikšmigumo lygmes testas turėtų turėti hipotezės atmetimo tikimybę, artimą 0.05, jeigu hipotezė H 0 yra teisiga. Nustačius reikšmigumo lygmeį, testas privalo turėti didelę hipotezės H 0 atmetimo tikimybę, kai ji yra klaidiga. Kitaip tariat, testas privalo turėti didelę galią. Atliekat kartotiius palygiimus, reikia išskirti du mometus. Pirma, apibrėžiame reikšmigumo lygmeį dviems vidurkiams palygiti. Atra, apibrėžiame reikšmigumo lygmeį visiems vidurkiams palygiti. Pirmuoju atveju galime taikyti t testą. Atruoju atveju audojame SAS paketo procedūrą REGWQ. Jeigu reikaliga papildoma iformacija apie pasikliautiuosius itervalus, tada audojame procedūrą TUKEY..3 Pratimai. Turime trijų badymų eksperimeto tokius stebėjimo duomeis:

91 9 A A A A. Apskaičiuokite kvadratų sumas ir pateikite Aova letelę. B. Jeigu gautas rezultatas yra reikšmigas, tada atlikite badymų poriį palygiimą. (LSD - palygiimus).. Eksperimete turime palygiti Allimum schoeoprasum trijų veislių A, A, A 3 ašumą. Kiekviea veislė išbadyta 0 sklypelių. Apdoroti stebėjimo duomeys atrodo taip: = 0 y. = 60 s= 0 = 0 y. = 50 s= 5 3= 0 y3. = 80 s3= 8 A. Užrašykite modelį, sudarykite Aova letelę ir palygikite visų trijų veislių ašumo vidurkius. B. Atlikite poriį veislių ašumo palygiimą (5% LSD)..3 Tiriamos dvi pašarų rūšys: A paruoštas iš kukurūzų, A paruoštas iš miežių. Abu pašarai vieodo maistigumo. Pašaras A 3 pagamitas iš abiejų pirmųjų pašarų, imat vieodas dalis. Visi trys pašarai galvijams priskiriami atsitiktiai, po 0 galvijų kiekvieam pašarui išbadyti. Vykdat eksperimetą, vieą galviją teko iš eksperimeto pašaliti. Apibedriti galvijų svorio stebėjimo duomeys buvo tokie: = 0 y. = 5.5 s=.0 = 0 y. = 4.5 s=.5 3= 9 y3. = 7.5 s3=.8 A. Užrašykite modelį, paruoškite Aova letelę ir palygikite visų trijų pašarų įtaką galvijų vidutiiam svoriui. B. Patikrikite tokius kotrastus: L =α α, L = 0.5α α α 3. Paaiškikite kotrastų prasmę.

92 9 skyrius Blokiės struktūros eksperimetai. Radomizuotasis blokiis plaas.. Pavyzdys Atliktas eksperimetas, tiriat šiltamiuose ekologię pomidorų produkciją. Pradžioje tirti šeši badymai (uo A iki F). Dėl įvairių priežasčių veislių E ir F tyrimas buvo utrauktas. Likę badymai turėjo tokią prasmę: A - kotroliė, B, C, D - išskiriami pagal tręšimui audojamo komposto pobūdį. Pomidorai buvo augiami lysvėse. Kiekvieoje lysvėje buvo vieodas augalų skaičius. Šiltamyje buvo įmaoma padaryti dvi lysvių eiles: viea eilė išsidėstė prie pietiės šiltamio sieos, o kita - prie šiauriės. Eksperimeto metu buvo išmatuotas per sezoą gautas derlius (kg/m ). Badymų išdėstymas pateiktas paveiksle: E Neaudota F Neaudota D 3 A 7 A C 0 B 0 E Neaudota F Neaudota B 5 C D 0 Pietūs Šiaurė Šio eksperimeto pagridiis tikslas - įvertiti, ar tarp badymų vidurkių egzistuoja esmiis skirtumas. Turime radomizuotąjį blokiį plaą, čia eilė laikoma bloku. Stebėjimo duomeims suteikiame tokį pavidalą: Blokas Badymas Derlius A B C D A B C D The situatio is based o research by Agr. Lic. Lea Garedal, SLU... Modelis ir apribojimai Stebėjimo duomeims agriėti taikysime modelį: y = µ + α + β + e, i =.. a, j =..b. Iš viso turime N = a b stebėjimų. Priimame, kad eij ~ NID(0, σ e ). Apribojimai: α i= β = 0. j..3 Kvadratų sumos Dalį stebėjimo duomeų variacijos apspredžia badymai (A) ir blokai (B). Likusią variaciją laikome atsitiktie, kuri priklauso liekaoms. Galime užrašyti y y ) = ( y y ) + ( y y ) + ( y y y ). ( ij.. i.... j.. ij i.. j+ y.. vidurkio. Dydis y ij y ) išreiškia skirtumą tarp atskiro stebėjimo ir bedrojo eksperimeto (.. ij i j ij

93 93 Dydis ( y i. y.. ) = α i palygia i-tojo badymo vidurkį su bedruoju eksperimeto vidurkiu. Kitaip tariat, šį skirtumą galime laikyti badymo efektu. Dydis ( y. j y.. ) = β j palygia j-tojo bloko vidurkį su bedruoju eksperimeto vidurkiu. Kitaip tariat, šį skirtumą galime laikyti bloko efektu. Dydis ( y ij y i. y. j+ y.. ) = eij yra vadiamas liekamuoju ariu, t. y. liekaa. Kiekvieą dėmeį pakeliame kvadratu ir susumuojame pagal visus stebėjimus N=ab). Jeigu atmesime uliius dėmeis, tada gauame: a b i= j= a b i= j= (y (y ij ij y y.. i. ) = y.j a i= j= + y.. b SS T = SS A + SS blokas + SS e ) (y i. y.. ) + a b i= j= Vieo faktoriaus eksperimete gauame: bedrosios kvadratų sumos SS T laisvės laipsių skaičius yra (N-), badymų sumos SS A laisvės laipsių skaičius yra (a-), blokų sumos SS blokas laisvės laipsių skaičius yra (b-).taigi SS e = SS T -SS A -SS blokas.. Šios sumos laisvės laipsių skaičių rasime taip: N--a+-b+=(a-)(b-). Priede pateiktos formulės, leidžiačios skaičiuoti kalkuliatoriais. Nesuku įrodyti, kad: E ( MS E A e i (y.j y ) = σ + b α /( a ), E ( MS ) = σ + a β /( b ), ( MSe ) E( s e ) = σ e =. blokas SAS pakete radame pažymėjimus: Q(A) = b α /( a ), Q(Block ) = a β /( b ). Gauame tokią Aova letelę: i e.. ) j + j SS SS T..4 Pavyzdžio spredimas Naudodami pateikto pavyzdžio stebėjimo duomeis, gauame tokias kvadratų sumas: a b = blokas i= j= b = = a i ( y ij ( y j y. j.. y ).. ) = ( 7.375) = 4( ) + ( ) + 4( ) ( ) = 8.5 = SS A = i ( y i. y.. ) = ( ) + ( ) + ( 7.375) + (.5 i= 7.375) = SS e = SS T -SS A -SS blokas = = Dispersiės aalizės (Aova) letelė:

94 94 Source d.f. SS MS=SS/df F Treatmets (A) a = Blocks (B) b = Error ( a )( b ) = Total N = Hipotezė H 0 : ėra badymų efektų (t.y α = 0 ). F kritiė reikšmė (laisvės laipsiai (3; 3)), esat 5% reikšmigumo lygmeiui, yra 9.77, esat % reikšmigumo lygmeiui , esat 0.% reikšmigumo lygmeiui Vadiasi, gautoji F reikšmė (54.69) yra reikšmiga emažesiu egu % reikšmigumo lygmeiu. i Hipotezė H 0 : ėra blokų efektų (t.y β = 0 ). F kritiė reikšmė (laisvės laipsiai (; 3)), esat 5% reikšmigumo lygmeiui, yra 0.8, esat % reikšmigumo lygmeiui , esat 0.% reikšmigumo lygmeiui Vadiasi, gautoji F reikšmė (5.000) yra reikšmiga e mažesiu egu 5% reikšmigumo lygmeiu. Šiame eksperimete blokų efektas ėra esmiis. Blokavimas padidia eksperimeto efektyvumą. Jeigu blokavimo procedūra atlikta sėkmiga, tada galima tikėtis blokų efekto. Reikia toliau tyriėti modelį, et ir eegzistuojat blokų efektui. Blokų efekto testas yra audigas toliau plauojat eksperimetą. Tarkime, jeigu blokai yra ereikšmigi esat 5% arba 5% reikšmigumo lygmeims, tai kitame eksperimete blokavimui reiktų audoti kitus faktorius. Poriis badymų palygiimas bei įvairių kotrastų agriėjimas gali būti atliktas audojat skyriaus metodus. Reikia pastebėti, kad kiekvieo badymo vidurkiui apskaičiuoti yra audojama b stebėjimų. Todėl dviejų badymų poriio palygiimo vidurkių skirtumo σ e σ e σ e dispersija tokia: Var( y. y. ) = + =. b b b..5 Kompiuteriė aalizė Dispersiė aalizė audojat SAS procedūrą: PROC GLM Galime sudaryti tokią stebėjimo duomeų aalizės programą: j SAS pateikia tokią tabuliagramą:

95 95 Nustatėme, kad badymų ir blokų efektai yra reikšmigi. Badymas A (kuris yra kotroliis) turi vidurkį, iš esmės mažesį už kitus badymus. Dispersiė aalizė audojat Miitab paketą Šiame pakete derlius yra priklausomas kitamasis, o modelį sudaro blokas ir badymas. Pateikiama tokia tabuliagrama: Miitab paketu galime ubrėžti pagridiių efektų diagramas, kurios parodo kiekvieo lygio pagridiių efektų vidurkius.

96 96. Lotyiškojo kvadrato eksperimetai.. Pavyzdys Nagriėsime tam tikrą gamybos procesą. Reikia palygiti pekis skirtigus maisto produkto receptus: A, B, C, D, E. Galutiis produktas papildomai priklauso uo audojamų produktų grupės bei darbą atlikusio operatoriaus. Operatoriai audoja produktų grupes pagal lotyiškojo kvadrato pricipą. Gauti tokie stebėjimo duomeys: Operatorius Grupė A 4 B 7 C 8 D 6 E B 0 C 4 D 38 E 3 A 30 C 9 D 30 E 6 A 6 B 0 D 4 E 7 A 7 B 3 C 9 E 4 A 36 B C D 3 Radomizacija atliekama priskiriat skirtigiems efektams atsitiktiai pariktus kodus: A, B, C, D, E... Modelis ir prielaidos Lotyiškojo kvadrato eksperimeto plaui audojame tokį matematiį modelį: y = µ + α + β + γ + e. Ideksą (k) rašome skliaustuose, kadagi stebima reikšmė ij( k) i j ( k) ij( k) tampa žioma fiksavus ideksus i ir j. Laikome, kad: eij( k) ~ IND(0, σ e ). α i apibrėžia i-tojo badymo efektą, β apibrėžia j-tosios eilutės efektą, γ ) apibrėžia k-tojo stulpelio efektą: i =..a, j =.. a, k =.. a, j a (k i N =. Apribojimai: α = 0, β = 0, γ Kvadratų sumos ir Aova letelė j ( k) = Stebėjimo duomeų variaciją aiškisime badymais (A), eilutėmis (B) ir stulpeliais ( C). Visą likusį kitamumą priskiriame atsitiktiei variacijai - liekaai. Įvedame skirtumus: y y ) = ( y y ) + ( y y ) + ( y y ) + ( y y y + y ) ( ij ( k)... i j......( k)... ij( k) i... j...( k) + y... Dydis ) apibrėžia skirtumą tarp atskirojo stebėjimo ir bedrojo vidurkio. Dydis ( y ij ( k ) y... vidurkio (badymo efektas). ( y i.. y... ) = α i apibrėžia skirtumą tarp i-tojo badymo vidurkio ir bedrojo Dydis ( y. j. y... ) = β j apibrėžia skirtumą tarp j-tosios eilutės vidurkio ir bedrojo vidurkio (eilutės efektas). Dydis ( y..( k) y... ) = γ ( k) apibrėžia skirtumą tarp k-tojo stulpelio vidurkio ir bedrojo vidurkio (stulpelio efektas). Dydis y ( ) y y + y + y ) = e apibrėžia liekaą. ( ij k i... j...( k)... Visus dėmeis pakėlę kvadratu ir susumavę pagal visus (N) stebėjimus, gauame: ij

97 ( y ( y ij( k) ij( k) y y... i.. ) = y. j. ( y + y i....( k) y... ) + y SS = SS + SS + SS + SS. T A Row Col e... ) + ( y 97. j. y... ) + ( y..( k) y... ) + Skaičiuojat kalkuliatoriumi, šias formules gaa suku paaudoti. formulės pateiktos leidiio priede. Dispersiės aalizės (Aova) letelę užrašome taip: Todėl taikytios..4 Kompiuteriė aalizė Eksperimeto matematiį modelį užrašome taip: Y=Row Col Treat. Dispersiė aalizė paaudojat SAS Stebėjimo duomeų programa SAS pakete atrodo taip: Gauame tokią tabuliagramą: Paaudodami badymų poriį palygiimą, galime gauti kitus reikšmigus rezultatus. Dispersiė aalizė Miitab paketu atliekama aalogiškai.

98 98.3 Pratimai. Eksperimeto tikslas yra palygiti tris tręšimo būdus: A, B, C. Eksperimetui atlikti paaudota žemės sklypelių, kurie padalyti į 4 blokus po 3 sklypelius. Gauti tokie stebėjimo duomeys: Tręšimas Blokas A B C A. Dispersiės aalizės metodu ustatyti, ar tręšimas efektyvus. Aalizė privalo apimti hipotezių tikriimą, Aova letelę, testų rezultatus, išvadas. B. Laikome, kad A yra stadartiis tręšimo būdas, o B ir C - auji tręšimo būdai. Palygikite kiekvieą aują tręšimo būdą su stadartiiu. C. Kokios prielaidos yra reikaligos aalizei atlikti?. Tiriami trys plovikliai, skirti bakterijoms paaikiti pieo talpose. Aalizė atliekama laboratorijoje. Per vieą dieą galima atlikti tiktai tris mėgiius. Kadagi diea turi lemiamą reikšmę variacijai, tai ją ir laikome blokavimo faktoriumi. Tyrimas atliekamas keturias dieas. Duomeyse atsispidi bakterijų kiekis po plovimo. Gauti tokie stebėjimo duomeys: Ploviklis 3 4 A B C A. Dispersiės aalizės metodais ištirkite ar egzistuoja esmiis skirtumas tarp ploviklių. B. Ar yra esmiis skirtumas tarp ploviklių A ir B? C. Kokios aalizei reikaligos prielaidos?.3 Atliktas tyrimas apie elių populiacijos skaičiaus pasikeitimus priklausomai uo laiko: prieš medžioklės sezoą, per medžioklės sezoą, po medžioklės sezoo. Tyrimas atliktas keturiuose plotuose. Buvo stebimas vidutiis pėdų skaičius atitikamame plote per savaitę. Gauti stebėjimo duomeys : Data from D. Brow, Dept. of Biology, Ratford Uiversity; ad Ratford Uiversity Cosultig Service, October 990. Plotas Prieš medžioklę Per medžioklę Po medžioklės A. Dispersiės aalizės metodais ištirti, ar egzistuoja esmiiai skirtumai tarp elių populiacijos skaičiaus. Užrašykite hipotezes. B. Jeigu egzistuoja esmiiai skirtumai tarp badymų (A), tada paaudokite daugiaplaį palygiimą. C. Kokios prielaidos reikaligos aalizei?

99 99.4 Buvo išvestos keturios kviečių veislės, kurios yra atsparios grybeliei ifekcijai. Iformacijos apie javų veislių derlių ėra. Eksperimeto metu kiekviea išvestųjų kviečių veislių pasėta 5 skirtigose šalies vietovėse ir išmatuoti gauti derliai. Gauti tokie stebėjimo duomeys: Vietovė Veislė NW NE C SE SW Vidurkis y i FR- BCM DBC RC y y.. = ij = 5. j ij y, y = Paaudodami stebėjimo duomeis atlikite dispersię aalizę. Ar egzistuoja esmiis derliaus skirtumas tarp skirtigų kviečių veislių? Ar egzistuoja esmiis derliaus skirtumas tarp skirtigų vietovių? Kurią iš kviečių veislių reiktų rekomeduoti? Kokios aalizei reikaligos prielaidos?.5 Tiriama tręšimo (A, B, C, D) įtaka kviečių derliui. Tyrime paaudotos keturios javų veislės ir keturi žemės sklypai. Kiekvieas sklypas buvo padalytas į keturias dalis ir paaudotas lotyiškojo kvadrato eksperimeto plaas. Gauti stebėjimo duomeys: Javų veislė 3 4 Sklypai 3 4 Vidurkis 35.5 (A) 4.3 (B) 4. ( C) 5.0 (D) 4.5 (B) 6. ( C) 6. (D) 64.5 (A) 4.7 ( C) 3.7 (D) 34.3 (A) 34.6 (B) 35.5 (D) 4.5 (A) 9.7 (B) 9.0 ( C) Vidurkis Paaudojus tręšimą A, B, C, D, atitikamai gauti vidutiiai derliai: 39.70, 3.7, 3.50, 0.0. A. Sudarykite dispersiės aalizės letelę. B. Užrašykite matematiio modelio lygtį ir suformuluokite reikaligas prielaidas. C. Nustatykite, ar egzistuoja derliaus esmiis skirtumas tarp tręšimo būdų, kai reikšmigumo lygmuo α = D. Nustatykite, ar egzistuoja derliaus esmiis skirtumas tarp javų veislių, kai reikšmigumo lygmuo α = E. Raskite kiekvieos javų veislės vidutiio derliaus taškiį įvertiimą. F. Raskite kiekvie tręšimo būdo vidutiio derliaus taškiį įvertiimą..6 Fišeris (95) tyriėjo Magold šakų svorį. Buvo paaudoti 5 badymai: A, B, C, D, E. Laukas buvo padalytas į 5 sklypelius. Sklypeliai išdėstyti kvadratie tvarka 5 5. Kiekvieo badymo rezultatai paaudoti vieą kartą eilutėje ir vieą kartą stulpelyje. Gautas sklypelyje derliaus svoris ir paaudoti badymo duomeys pateikti letelėje:

100 00 Stulpelis Eilutė Vidurkis D (376) B (36) C (36) E (37) A (3) E (37) D (338) A (36) B (343) C (33) C (355) E (336) B (335) A (330) D (37) B (356) A (356) D (343) C (37) E (38) A (335) C (33) E (330) D (336) B (306) Vidurkis Miitab paketu gauta tabuliagrama atrodo taip: Klausimai: A. Suformuluokite ir patikrikite įprastas hipotezes. B. Suformuluokite ir aptarkite aalizei būtias prielaidas. C. Patikrikite hipotezę, kad badymo A vidurkis iš esmės skiriasi uo likusių badymų vidurkio..7 Vieas iš lotyiškojo kvadrato eksperimeto plao trūkumų yra tas, kad paklaida gali turėti mažą laisvės laipsių skaičių. Pavyzdžiui, audojat lotyiškojo kvadrato eksperimeto plaą 4 4, liekaa turi tik 6 laisvės laipsius. Paagriėkime eksperimeto plaą, kuriame yra du faktoriai: medžiagų grupė ir operatorius. Naudojat keturias medžiagų grupes ir keturis operatorius bei lotyiškojo eksperimeto plaą, gauti duomeys: Operatorius Grupė A: y B: y C: y 3 D: y 4 B: y C: y D: y 3 A: y 4 C: y 3 D: y 3 A: y 33 B: y 43 D: y 4 A: y 4 B: y 34 C: y 44 Viea iš galimybių padiditi laisvės laipsių skaičių yra eksperimeto pakartojimas. Tai galime įgyvediti keliais skirtigais būdais: metodas: Pakartoti eksperimetą, audojat tas pačias medžiagų grupes ir tuos pačius operatorius. metodas: Pakartoti eksperimetą, audojat tas pačias medžiagų grupes ir skirtigus operatorius. 3 metodas: Pakartoti eksperimetą, audojat skirtigas medžiagų grupes ir tuos pačius operatorius. 4 metodas: Pakartoti eksperimetą, audojat skirtigas medžiagų grupes ir skirtigus operatorius. Kiekvieam eksperimetui pakartoti įrašykite skirtigų variacijos šaltiių laisvės laipsius.

101 0 Šaltiis metodas metodas 3 metodas 4 metodas Badymai Eilutės (grupės) Stulpeliai (operatoriai) Pakartojimai Liekaa Iš viso

102 0 3 skyrius Faktoriiai badymai Faktorių eksperimetų metu vieame iš jų yra kompouojami keli faktoriai. Idealiu atveju kiekvieas vieo faktoriaus lygis yra deriamas su visais kito faktoriaus lygiais. Sakome, kad faktoriai yra kryžmiami. 3. Du fiksuoti faktoriai 3.. Pavyzdys Eksperimeto metu reikia palygiti dvi sėklų rūšis ( ir ) bei tris tręšimo būdus. Iš viso turime 3=6 skirtigas lygių kombiacijas. Tyrimo žemės plotą padalijame į 4 sklypelius. Visus skirtigus 6 badymus atsitiktiai priskiriame žemės plotams taip, kad kiekvieas skirtigas badymas pasikartotų 4 kartus. Eksperimeto plaui pavaizduoti tręšimo būdus simboliškai galime pažymėti L, M, H (mažas, vidutiis, didelis), o sėklų tipą - arba. Vieas iš eksperimeto plao ir rezultatų deriių galėtų būti toks: Šiuos stebėjimo duomeis į letelę surašome taip: rūšis Vidurkis rūšis Vidurkis Bedrasis vidurkis =mažas =vidutiis =didelis Bedrasis vidurkis Pagridiiai klausimai: ar abi sėklų rūšys vieodai derlios? Ar skirtigi tręšimo būdai daro įtaką derliui? Stebėjimo duomeis pavaizduosime grafiškai ir aksčiau suformuluotus klausimus agriėsime dispersiės aalizės metodais. Grafiškai stebėjimo duomeis galime pavaizduoti taip: Kairėje pusėje esatis paveikslas leidžia tvirtiti, kad -os rūšies sėklų derlius didėja didėjat tręšimo lygiui, be to, kiekvieo tręšimo -os rūšies sėklų vidutiis derlius yra mažesis. Iš

103 03 paveikslo matyti, kad -os rūšies sėklų mažiausias derlius gauamas audojat -ą tręšimo būdą. Tai, kas pasakyta, galime suprasti kaip dviejų faktorių (sėklų rūšies - tręšimo būdo) sąveiką.` Dešiėje pusėje esatis paveikslas parodo, kad kiekvieo tręšimo būdo abiejų sėklų derliaus skirtumas yra vieodas. Vadiasi, šiuo atveju tarp faktorių sąveika eegzistuoja. Dispersiės aalizės pagridiė problema yra įvertiti, ar tarp faktorių egzistuojati sąveika yra reikšmiga? 3.. Modelis ir apribojimai Tarkime, kad faktorius A turi a lygių, o faktorius B turi b lygių. Stebėjimus pažymime taip: y ijk, i =..a ; j =.. b, k =... Bedrasis stebėjimų skaičius: N=ab. Laikome, kad eksperimeto plaas yra subalasuotasis. Kiekvieo badymo vidutiė reikšmė: y ij. yijk = /. Pateiktas letelės eilutės k= i vidurkis. ( y ( y e ijk ijk i.. a Faktoriaus B j-tojo lygio vidurkis: y. j. yijk /( a) =. i= k= b Faktoriaus A i-tojo lygio vidurkis: y i.. yijk /( b) =. j= k= a b Bedrasis stebėjimų vidurkis: y... yijk /( ba) =. i= j= k= Matematiis modelis: y = µ + e = µ + α + β + (αβ ) + e. ijk e Prielaida: e ~ NID(0; σ ). ijk a ij Apribojimai: α i= 0 ; β j= 0 ; ( αβ ) ij= ( αβ ) ij= 0. i= b j= ijk i a b i= j= 3..3 Kvadratų sumos ir Aova letelė Skirtumą tarp kiekvieo stebėjimo ir bedrojo vidurkio užrašome taip: y...) = ( y ij. y...) + ( yijk y ij. ) =. y ) + ( y y ) + ( y y y + y ) + ( y y ).... j.... ij. i... j.... Pirmiausia išskiriame badymų kombiacijas (Trt) ( y ij. y...) ir liekaas = y y ). Badymų kombiacijų efektus išskaidome taip: faktoriaus A efektą ( ijk ij. ( y i.. y... ), faktoriaus B efektą ( y. j. y... ) ir abiejų faktorių sąveikos efektą ( y ij. y i.. y. j. + y... ijk + ( y ijk ijk ( y y...). j. y... ) = ijk + ). Dėmeis pakeliame kvadratu ir susumuojame: ( y ijk ij. ( y y...) ij. y i.. Apibedrię užrašome taip: + y ijk. j. ( y ijk + y... y ) ij. + ) ijk = ijk ( y ijk ijk j ij. ( y i.. y ij. y ). ij... ) + ijk

104 04 SS T = SS Trt + SS e = N- (ab-) (N-ab) =SS A + SS B + SS AB + SS e (a-) (b-) (a-)(b-) (N-ab) Vadiasi, bedrąją variaciją išskaidėme taip: Bedroji variacija Tarp badymų kombiacijų Liekaa paklaida Formulės, palegviačios skaičiavimus kalkuliatoriumi, yra pateiktos leidiio priede. Reikia pastebėti, kad Aova letelėje erasime dėmes SS Trt. Šis dydis yra audojamas dėmeiui SS AB apskaičiuoti. SAS procedūros komada GLM pirmoje tabuliagramos dalyje pateikia SS Trt pavadiimu Model. Sudarome Aova letelę: efektą. Šaltiis df SS MS E(MS) Faktorius A a- SS A MS A σ e+ Q( A, A* B) Faktorius B Sąveika A*B Liekaa b- (a-)(b-) N-ab SS B SS AB SS e Bedroji N- SS T MS B MS AB Ms e = s e ij σ e+ Q( B, A* B) σ e+ Q( A* B) Pažymime: Q( A* B) = ( αβ ) /( a )( b ). Šis dydis įvertia sąveikos Q ( A, A* B) įvertia faktoriaus A efektą ir faktorių A, B sąveikos efektą. Jeigu Q ( A* B) = 0, tada Q ( A, A * B ) = Q ( A ) = b α /( a ) i Q ( B, A* B) įvertia faktoriaus B efektą ir faktorių A, B sąveikos efektą. Jeigu Q ( A* B) = 0, tada Q ( B, A * B ) = Q ( B ) = a β /( b ). Pastebėjome, kad kiekvieo atskirojo faktoriaus A arba B efektas yra įkompouotas į faktorių sąveikos efektą. Vadiasi, pirma teka tyriėti faktorių A, B sąveikos efektą. Jeigu faktorių sąveikos efektas ėra reikšmigas, tada tiriame atskirų faktorių efektus. Nagriėjimą pradedame hipoteze: H : Q ( A* B) = 0 (ėra faktorių sąveikos), esat alteratyvai: 0 H : Q ( A* B) > 0 (egzistuoja sąveika tarp faktorių). Hipotezei tikriti audojame statistiką: i σ e ( a )( b ),( N ab) MS AB / se. F = Jeigu sąveika tarp faktorių ėra reikšmiga, tada tiriame atskirų faktorių efektus. H : Q ( A) = 0 (faktoriaus A efekto ėra), esat alteratyvai: 0 H : Q ( A) > 0. Naudojame statistiką: ( a ),( N ab) MS A / se. F = H : Q ( B) = 0 (faktoriaus B efekto ėra), esat alteratyvai: 0 H : Q ( B) > 0. Naudojame statistiką: ( b ),( N ab) MS B / se. F =

105 Kompiuteriė aalizė Modelio simboliė išraiška Dviejų faktorių eksperimeto modelį simboliškai pateikiame taip: Y = A B A*B, čia A ir B yra faktoriai. Pateikto pavyzdžio modelį galime užrašyti taip: Yield=Seed Fert Seed * Fert. Dispersiė aalizė audojat SAS Stebėjimo duomeų įvedimo ir aalizės programa atrodo taip: SAS išveda tokią tabuliagramą: 59 Aalizuodami matome, kad sąveika tarp faktorių yra reikšmiga. Vadiasi, testai apie faktorių efektus ėra reikšmigi. Vėliau paagriėsime tokios aalizės metodus. Pateiktos vidurkių letelės yra patogios audoti.

106 06 Dispersiė aalizė audojat Miitab Aalizuodami stebėjimo duomeis Miitab paketu, gauame tokią tabuliagramą: 3..5 Tolesė aalizė Dispersiė aalizė esat faktorių sąveikai Jeigu faktorių sąveika yra reikšmiga, tada agriėti įprastą, pavyzdžiui, faktoriaus A efektą ėra prasmės. Tokiu atveju faktoriaus A efektas yra skirtigas esat skirtigiems faktoriaus B lygiams. Vadiasi, tolesėje aalizėje turime palygiti badymų kombiacijų vidurkius µ. Galime sudaryti vidurkių kotrastus, pavyzdžiui: įvertiami taip: L= h ij y ij. taip: Var( L) = MSe hij / L = µ, čia h = 0. Kotrastai e ij / h ij ij ij. Kotrasto dispersija: Var( L) = σ h. Kotrasto dispersija įvertiama. Pavyzdys: Tarkime, reikia ustatyti, ar egzistuoja esmiis skirtumas tarp sėklų, kai audojamas aukštas tręšimo lygis. Iš vidurkių letelės gauame -os sėklų rūšies vidutiį derlių 8.5, o -os Sudarome tokio pavidalo kotrastą: L = µ 3 µ 3. Kotrasto įvertiimas: L = =. 60. Kotrasto dispersijos įvertiimas: se se Var( L) = + ( ) =. = 0.6. Hipotezei, kad kotrastas yra reikšmigas, 4 y3 y patikriti apskaičiuojame statistiką: t= = = = se. 4 Statistika yra 8 laisvės laipsių. t skirstiio 8 laisvės laipsių 5% kritiė reikšmė yra.0. Vadiasi, skirtumas tarp vidurkių ėra esmiis, esat 5% reikšmigumo lygmeiui. Dispersiė aalizė, kai ėra faktorių sąveikos Jeigu ėra faktorių sąveikos, tada tolimesė aalizė turėtų apimti atskirų faktorių A, B i efektus. Įvedame kotrastą: L = h i µ i., čia h = 0. Kotrasto įvertiimą skaičiuojame ij

107 07 e taip: L= h i y i.. Kotrasto įvertiimo dispersija: Var( L) = σ hi /( b). Stadartiė paklaida SE L = s e hi. Ji turi (N-ab) laisvės laipsius. Faktoriui B galime pritaikyti b aalogiškas formules. Kotrasto pasikliautiasis itervalas užrašomas taip: ± ab L t N SE. L 3. Du fiksuoti badymų pakartojimų faktoriai Daugiausia praktikoje atliekami radomizuotųjų blokų eksperimetai. Augalų augiimo eksperimetuose žodžio pakartojimas sąvoką suvokiame kaip pilutiį eksperimeto pakartojimą keliuose blokuose. Pavyzdys: Ekologiškai augiami tam tikri augalai. Jie sodiami skirtigais atstumais: 50cm arba 70cm. Pasoditi augalai tręšiami kompostu po skirtigo laiko itervalo: 0 savaičių, savaičių, 4 savaičių. Visos badymų kombiacijos ( 3 = 6 ) pakartotos trijuose blokuose. Iš viso atlikta N = 3 3 = 8 skirtigų stebėjimų. Po 6 savaičių, išmatavus augalų masę, gauti duomeys: Šio tipo eksperimetuose galime tikėtis, kad ėra sąveikos tarp blokų ir pagridiių faktorių. Modelis privalo apimti pagridiių faktorių efektus ir jų sąveikos efektą. Eksperimeto, kuriame faktorius A turi a lygių, b blokų ir faktorius C turi c lygių, dispersiės aalizės Aova letelė yra tokia: Data from Birgitta Bath, SLU. Šaltiis Df SS MS E(MS) Blokas b- SS B MS B σ e+ Q( Blokas) Faktorius A Faktorius C Sąveika A*C Liekaa a- c- (a-)(c-) (ac-)(b-) SS A SS C SS AC SS e MS A MS C MS AC Ms e = s e Bedroji N- SS T Modelį simboliškai galime pateikti taip: WGPS = Block σ e+ Q( A, A* B) σ e+ Q( C, A* B) σ e+ Q( A* C) σ e

108 08 Nedbruk Radavst Nedbruk*Radavst. SAS paketu gauame tokią tabuliagramą: Iš letelės matome, kad trijų blokų badymai turi 3-= laisvės laipsius. Badymų kombiacijos a c = 6 duoda 5 laisvės `laipsius, kurių išskaidymas yra toks: Nedbruk a = laisvės laipsiai, Radavst c = laisvės laipsis ir sąveikos ( a )(c ) = laisvės laipsiai. Pastebime, kad reikšmigi yra šie efektai: blokų ir Nedbruk. Galime audoti poriį palygiimą pagal aksčiau pateiktus aalizės metodus. 3.3 Daugiafaktorė aalizė Išagriėtas dviejų faktorių modelis gali būti pritaikytas didesiam faktorių skaičiui. Kadagi skaičiavimų apimtis yra labai didelė, tai būtia audoti kompiuterius. Paagriėsime trijų faktorių subalasuotąjį eksperimetą. Tarkime, kad eksperimete yra trys faktoriai A, B, C, kurių lygių skaičius atitikamai: a, b, c. Visos badymų kombiacijos pakartojamos kartų. Tada bedrasis stebėjimų skaičius: N= abc. Variacijos išskaidymą užrašome Aova letelėje: Source df SS A a SS A B b SS B C SS c C a SS AB a SS AC b SS BC a SS ABC AB ( )( b ) AC ( )( c ) BC ( )( c ) ABC ( )( b )( c ) Error ( ) abc SS e Total N Kadagi visi faktoriai yra fiksuoti, tai visi efektai gali būti ustatyti vardiklyje rašat dydį MS e. Reikia pastebėti, kad paaiškiti kai kuriuos faktorių sąveikų tipus gali būti suku. Galime agriėti dviejų faktorių ir trijų faktorių sąveikas. Trijų faktorių sąveiką sudėtiga vaizdžiai usakyti. Jeigu turėtume tiktai vieą kiekvieos badymų kombiacijos pakartojimą ( = ), tada laisvės laipsių skaičius būtų lygus uliui. Tokiu atveju galima badyti modelį paagriėti be trijų faktorių sąveikos. Tada trijų faktorių sąveika atstos liekaą.

109 Nesubalasuotieji eksperimetai 3.4. Skirtigi SS tipai Faktoriiuose eksperimetuose bedrosios dispersijos skaidymas į sudedamasias dalis yra uikalus dalykas. Tai būdiga subalasuotiesiems eksperimeto plaams su visų badymų kombiacijų vieodu pakartojimų skaičiumi. Jeigu eksperimeto plaas yra esubalasuotasis priklausomai uo eksperimeto plao arba atsitiktiumo, tada kvadratų sumos priklauso uo faktorių įvedimo į modelį tvarkos. Faktoriaus B kvadratų suma SS priklauso uo to, ar faktorius A yra modelyje, ar ėra. Šis faktas gali sukelti abejoių iterpretuojat esubalasuotojo eksperimeto stebėjimų duomeis. SAS paketas vartotojui suteikia galimybę parikti vieą iš keturių kvadratų sumų tipą. I tipas. Kiekvieo faktoriaus kvadratų sumos SS yra apskaičiuotos kaip kvadratų sumos SS e pasikeitimas, kada atitikama tvarka į modelį yra įvedamas papildomas faktorius. Tarkime, kad turime modelį: Y = A B A*B. Tada pirmiausia apskaičiuojama kvadratų suma SS A laikat, kad eksperimete yra vieitelis faktorius A (modelis Y = A). Vėliau apskaičiuojame kvadratų sumą SS B kaip kvadratų sumos SS e redukavimą, įvedus į modelį faktorių B (modelis Y = A B). Galiausiai apskaičiuojama kvadratų suma SS AB, kaip kvadratų sumos SS e redukavimą, įvedus į modelį faktorių A ir B sąveiką (modelis Y = A B A*B). Tai užrašome taip: SS(A), SS(B/A), SS(AB/A,B). Kvadratų sumos SS, apskaičiuotos -o tipo tvarka, dažiausiai yra vadiamos uosekliosiomis. II tipas. Kvadratų sumos SS faktoriams yra apskaičiuotos kaip faktorių A, B sąveikos kvadratų sumos dalis. Tarkime, kad turime modelį: Y = A B A*B. Tada kvadratų sumos SS užrašomos taip: SS(A/B), SS(B/A), SS(AB/A,B). III tipas. Kvadratų sumos SS yra apskaičiuotos esat sąlygai, kad eksperimeto plaas yra subalasuotasis. Dažai tai įvardijama kaip daliės kvadratų sumos. III tipas audojamas esubalasuotiesiems eksperimeto plaams. Reikia pastebėti, kad III tipo modelyje faktorių ir jų sąveikos kvadratų suma esutampa su bedrąja kvadratų suma. Miitab paketas III tipo kvadratų sumas pavadia Adjusted Sum of Squares. IV tipas. Šis tipas skiriasi uo III tipo tuo, kad čia galimas atvejis, kai ėra atliktas ė vieas tam tikrų badymų kombiacijų stebėjimas. Jeigu eksperimeto plaas yra subalasuotasis, tai visų tipų kvadratų sumos sutampa. Praktikoje esubalasuotojo eksperimeto atveju yra audojamas kvadratų sumų III tipas. Negalima pasakyti, jog tai yra eklaidigas metodas Mažiausiasis kvadratų vidurkis Nesubalasuotojo eksperimeto atveju ėra visiškai aišku, ką turime omeyje sakydami vidutiė reikšmė. Paagriėkime paprastą dviejų faktorių, turičių du lygius, eksperimetą: A A B B Vidurkis Apskaičiavę visų keturių lagelių vidurkius gauame:

110 0 A A B B Vidurkis A visų stebėjimų vidutiė reikšmė yra 4, o A visų stebėjimų vidutiė reikšmė yra Atroje letelėje gavome kitas viduties reikšmes, kurias galime pavaditi vidurkių vidurkiai. Vidurkių ir 5 vidurkis yra 3. Šis dydis yra A vidutiė reikšmė. Atitikati A vidutiė reikšmė yra Šiuo būdu apskaičiuotos vidutiės reikšmės atitika viduties reikšmes, gauamas subalasuotame eksperimete. Šių reikšmių apskaičiavimui SAS pakete audojame komadą LSMEANS. Ta pati komada suteikia galimybę tikriti hipotezes ir rasti pasikliautiuosius itervalus. Toliau pateiksime programą, kuri apskaičiuoja ormalius ir LSMEANS vidurkius aksčiau pateiktame pavyzdyje: Komada MEANS apskaičiuoja įprastus vidurkius, komada LSMEANS apskaičiuoja mažiausiąjį kvadratų vidurkį. Abiem atvejais audodamiesi t testu palygiame lygius A ir A. Bedras kometaras yra tas, kad mažiausiasis kvadratų vidurkis labiausiai tika palygiimui esubalasuotame eksperimete, audojat 3-jų kvadratų sumų tipą. Tačiau tai visų problemų eišspredžia. Bedrasis patarimas: jeigu įmaoma, reikia stegtis sudaryti subalasuotąjį eksperimeto plaą. 3.5 Pratimai 3. Surikti duomeys apie švio kiekį paukščių kraujyje. Tyrimui atsitiktiai parikta po 4 kiekvieos iš trijų rūšių paukščius. Kiekvieos rūšies paukščiams suteikti umeriai:,, 3, 4. Išmatuotas švio kiekis. Aalizei SAS paketu sudaryta tokia programa:

111 Išvesta tokia tabuliagrama: Statistikas pareiškia uomoę, jog etiksliga suteikti paukščiams umerius (BIRDNUM). A. Ar jūs sutikate su šia uomoe, ar e? Paaiškikite savo tvirtiimą. B. Neaudodami BIRDNUM atlikite aują aalizę. Atlikę aalizę, turėtumėte gauti reultatą, kuris gauamas SAS programa: C. Pagal t testą palygikite Eagles ir Owls. 3. Atliktas eksperimetas tiriat sausos žolės derlių. Tyrimui pariktos dvi žolių rūšys, ir žolė augiama dvi, tris, keturias savaites per metus. Eksperimetas buvo išskirstytas į 4 blokus. Stebėjimo duomeys buvo tokie: Žolė Elephat Žolė Guatemala Blokas Duomeų aalizė atlikta audojat SAS paketą. Dalis rezultatų: A. Užpildykite likusią letelės dalį, įrašydami laisvės laipsius ir vidurkius. B. Suformuluokite tikamas hipotezes ir jas patikrikite. C. Apibūdikite faktorių sąveikos arį. Kokia žolės tipo ir augiimo laiko kombiacija duoda didžiausią derlių. 3.3 Atliktas tyrimas tiriat trijų chemikalų (fugicido Capta, pesticidų Dieldre ir Diazio) įtaką fazaų kiaušiių produkcijai. Eksperimeto metu buvo registruojamas kiekvieo fazao kiaušiių skaičius. Buvo atlikti aštuoi kiekvieos chemikalų kombiacijos stebėjimai. Gauti stebėjimo duomeys:

112 Dalis Aova letelės yra tokia: A. Užpildykite letelę, įrašydami laisvės laipsius ir kvadratų vidurkius. B. Suformuluokite tikamas hipotezes ir jas patikrikite. C. Paaiškikite sąveikos arį. Ar egzistuoja fugicido ir pesticido deriys, turitis įtakos kiaušiių skaičiui? D. Ar reikaligos aalizei prielaidos ėra pažeistos? Pasiūlykite geresį aalizės atlikimo būdą. 3.4 Atliktas pagamito popieriaus stiprio eksperimetas. Popierius pagamitas medieos masę verdat tris valadas. Eksperimeto metu tirti šie faktoriai: kietmedžio kiekis medieos masėje (%, 4%, 8%), spaudimo dydis virimo metu (400, 500, 600), popieriaus stiprusis. Atlikti kiekvieos spaudimo ir kietmedžio procetų kombiacijos trys stebėjimai. Aalizė buvo atlikta pagal programą: Gautoje tabuliagramoje kai kurie rezultatai pakeisti klaustukais.

113 3 A. Užpildykite letelę, įrašydami laisvės laipsius ir vidurkius. B. Naudodami F testą, ustatykite reikšmigus efektus. C. Apskaičiuokite determiacijos koeficietą (R kvadratu). D. Paaiškikite sąveikos efektą. 3.5 Atliktas tyrimas apie vades kiekio bei žirių veislės įtaką stiebo aukščiui. Tirti trys skirtigi vades kiekiai ir dvi žirių veislės. Buvo išbadyta po 8 kiekvieos žirių veislės augalų. Atsitiktiiu būdu augalai suskirstyti į tris grupes ir kiekvieai grupei atsitiktiai pariktas vades kiekis. Stebėjimo duomeų aalizė atlikta pagal programą: Gauti rezultatai išsiųsti faksu: Iš gautos tabuliagramos dalies rezultatų eįmaoma atstatyti. Sudarykite dispersiės aalizės Aova letelę. A. Nustatykite, ar egzistuoja sąryšis tarp augalo tipo ir vades kiekio. Jeigu egzistuoja faktorių sąveika, tai ją paaiškikite. B. Išagriėkite, ar egzistuoja augalo tipo efektas priklausomai uo stiebo aukščio ir paaiškikite. C. Išagriėkite, ar egzistuoja vades kiekio efektas priklausomai uo stiebo aukščio ir paaiškikite. 3.6 Atliktas tyrimas siekiat ustatyti, kaip sausosios medžiagos kiekis augale priklauso uo augalo veislės ir augiimo laiko. Šiltamyje atskiruose iduose augita po 0 dviejų rūšių augalų. Ideliai atsitiktiai surikiuoti letyose. Kiekvieame (iš 5) derliaus uėmimo periodų buvo pamatuotas derlius, imat po du abiejų veislių augalus. Sudaryta tokia SAS programa:

114 4 Gauta tabuliagrama: Klausimai: A. Sudarykite Aova letelę. Patikrikite būdigas hipotezes ir suformuluokite žodies išvadas. B. Koks derliaus uėmimo periodas duoda skirtigus rezultatus? Į pateiktą klausimą atsakymo ieškokite poriio palygiimo metodu. Apsisaugokite uo masiio reikšmigumo efekto. C. Ar tarp veislių egzistuoja esmiis skirtumas, kai derliaus uėmimo periodas yra lygus 5? 3.7 Tyrime dalyvaujatiems 4 vyrams, sveriatiems apytiksliai po 40 svarų, taikoma skirtigų badymų kombiacijų. Badymų kombiacijos susideda iš 4 dietų ir 3 fiziio krūvio tipų. Kiekvieas vyras gaua vieodą kalorijų kiekį per dieą. Dietos skiriasi proteių, riebalų ir agliavadeių kiekiu. Stebėjimo duomeys apdoroti tokia SAS programa:

115 5 Gauta tabuliagrama: 73 Klausimai: A. Ar yra esmiių skirtumų tarp dietų? Jeigu atsakymas teigiamas, tada paaiškikite skirtumus. B. Ar yra esmiių skirtumų tarp fiziio krūvio tipų? Jeigu atsakymas teigiamas, tada paaiškikite skirtumus. C. Ar egzistuoja sąveika tarp dietų ir fiziio krūvio tipų? Jeigu atsakymas teigiamas, tada paaiškikite skirtumus. D. Kyla įtarimas, kad vyrų, gavusių ormalią dietą ir eturėjusių fiziio krūvio, svėrė mažiau. Ar šis skirtumas yra esmiis? E. Aalizuojat Tukey metodu, gauta papildoma iformacija: NOTE: This test cotrols the type I experemetwise error rate, but geerallyhas a higher type II error rate tha REGWQ. Žodžiu paaiškikite šį tvirtiimą. Ka reiškia type II error? 3.8 Augalų fiziologas tiria potvyio įtaką dviejų medžių veislių šakų medžiagų apykaitai. Tyrtas upės beržas ir europiis beržas. Kiekvieos rūšies po keturis augalus buvo patvidyti vadeiu ir 4 buvo kotroliiai. Buvo išmatuota adeosie triosphate (ATP) kiekis šakyse. Stebėjimo duomeys pateikti letelėje : Patvidytas Kotroliis Patvidytas Kotroliis Klausimai: A. Suformuluokite įprastas hipotezes.

116 6 B. Apskaičiuokite patvidyto europiio beržo ATP 95% lygio pasikliautiąjį itervalą. C. Ar tarp beržų veislių kotroliių grupių yra esmiis skirtumas? 3.9 Tiriamas oro užterštumo (ozoo, sieros dioksido) poveikis pupų derliui. Gauti tokie stebėjimo duomeys 3 : Ozoo yra Ozoo ėra Sieros dioksido Sieros dioksido Nėra Yra Nėra Yra Vidurkis Stadartiis uokrypis Apskaičiuota: SS = , SS = Error Total Klausimai: Atlikite stebėjimo duomeų dispersię aalizę, patikrikite hipotezes: A. Ozoo. B. Sieros dioksido. C. Ozoo ir sieros dioksido sąveikos. D. Suformuluokite aalizei reikaligas prielaidas. Tripepi ad Mitchell, Plat Physiology (984), pp

117 7 4 skyrius Radomizuotieji ir hierarchiiai modeliai 4. Modeliai su atsitiktiiais faktoriais Pasitaiko eksperimetų, kai vieo arba daugiau faktorių lygiai yra parekami iš populiacijos lygių sąrašo. Pavyzdžiui, gyvulių eksperimeto metu tirti galime skirtigas badas, miškų ūkyje galime tirti skirtigus medyus ir pa. Kai kurių faktorių laikymas atsitiktiiais daro įtaką formuluojamoms išvadoms. Trumpai apžvelgsime aalizės metodus. 4.. Vieo faktoriaus Aova Pavyzdys Tyrimui atsitiktiai parikta 40 karvių badų. Pariktų karvių veislė yra SRB. Iš kiekvieos bados atsitiktiai pariktos 5 karvės ir išmatuojamas gauamo pieo riebumas. Taigi, turime faktorių bada, kuris turi 40 lygių ( a = 40 ). Šiame uždaviyje ėra aktualu tyriėti skirtumus tarp atskirų badų, es, esat skirtumui tarp -os bados ir -os bados, egalime daryti apibedriimų apie visas karvių badas. Vadiasi, aktualu įvertiti šios karvių bados populiacijos vidurkį µ (vidutiis pieo riebumas), įvertiti variacijos tarp badų dydį σ A ir įvertiti variacijos tarp karvių dydį σ e. Šie dispersijos įvertiimai yra vadiami dispersijos kompoetėmis. Pateikiame stebėjimo duomeis SAS paketui, urodydami riebalų lygį fet, bados umerį bes, karvės umerį ko. SAS pakete stebėjimo duomeys atrodo taip: Modelis ir prielaidos Šio eksperimeto matematiį modelį užrašome tokį: y =µ + a+ e, i =.. a, j =.., N= a, čia a i yra bados i efektas. Reikia pastebėti, kad formulėje buvo paaudota a i vietoje α i, es visuotiai yra priimta lotyiškomis raidėmis žymėti atsitiktiius faktorius, o graikiškomis - pastovius faktorius. Reikia įvertiti vidurkį µ ir dispersijos kompoetes: Var ( a i ) σ A =, Var ( e ij ) σ e =. Aova letelė Formaliai kalbat, kvadratų sumų skaidymas yra toks pat, kaip ir fiksuotųjų faktorių atveju. Tačiau tikėtias kvadratų vidurkis yra skirtigas. Tai matome Aova letelėje: ij i ij

118 8 Šaltiis Df SS MS E(MS) A a- MS A σ + Liekaa N-a SS A SS e Bedroji N- SS T Galima patikriti hipotezę: H : σ 0, esat alteratyvai 0 A= 0 : A> H σ 0. MS e = s e Dispersijos kompoečių įvertiimas σ e e σ A MS A Tikridami audosime statistiką: F ( a, N a) =. Tačiau šis testas yra e toks se reikšmigas kaip dispersijos kompoečių įvertiimai. Iš E(MS) stulpelio gauame dispersijų įvertiimus: σ = MS, e e A A e / σ = ( MS MS ). Vidurkio µ pasikliautiasis itervalas Populiacijos vidurkį įvertiame taip: ˆ= y.. Dispersija įvertiama pagal formulę:.. σ A + σ e / =. µ. Vadiasi: Var( y ) [ ] N Var( y.. ) = MS A / N. Šis dydis turi (a-) laisvės laipsį. Taigi vidurkio µ pasikliautiasis itervalas apskaičiuojamas pagal formulę: y MS A ± t( α /, a ). N.. Kompiuteriė aalizė Atsitiktiio faktoriaus modelio apskaičiavimai atliekami aalogiškai, kaip ir esat fiksuotam faktoriui. Programoje urodome, kad faktorius A yra atsitiktiis. SAS programa užrašoma taip: Gautoje tabuliagramoje turime Aova letelę: Remiatis tabuliagrama legva apskaičiuoti dispersijos kompoetes.

119 9 SAS procedūra PROC MIED apskaičiuoja dispersijos kompoetes. Šią procedūrą paaudojame taip pat, kaip ir procedūrą PROC GLM. Atsitiktiis faktorius ėra modelio dalis, bet įrašomas į procedūrą atskira komada RANDOM. Programa užrašoma taip: Žodis SOLUTION urodo, kad reikia apskaičiuoti tiktai fiksuoto parametro µ įvertiimą. Gauama tokia iformacija: Gauame įvertiimus: σ ˆ = , σ ˆ = , µ ˆ= ( Itercept ). A Vidurkio įvertiimo stadartiė paklaida yra 0.66, kuri turi 39 laisvės laipsius. Galime apskaičiuoti vidurkio µ pasikliautiąjį itervalą.: ± ; ± Dviejų faktorių dispersiė aalizė (Aova) Modeliai su dviem kryžmiiais faktoriais gali turėti du, vieą arba ė vieo atsitiktiio faktoriaus. Pavyzdys su dviem atsitiktiiais faktoriais: iš atsitiktiai pariktų dvylikos badų paimama po dvi karves ir sukryžmiama su kiekvieu iš atsitiktiai pariktų 5 bulių. Tarkime, matuojamas gimusio veršiuko svoris. Šį modelį reikia vaditi atsitiktiių efektų modeliu; bados ir buliai yra atsitiktiiai faktoriai. Stebėjimo duomeys gali būti užrašyti taip: Bada, j Bulius, i 5 Atsitiktiių efektų matematiis modelis su abiem atsitiktiiais faktoriais yra toks: y = µ + a+ b + ( ab) + e, i =.. a ; j =.. b ; k =.. ; N = ab, a ~ IND(0, σ ) ; ijk i B j ij ijk e b ~ IND(0, σ ) ; ( ab) ~ IND(0, σ ) ; e ~ IND(0, σ ). Pagridiis modelio tikslas yra j ij AB ijk įvertiti dispersijos kompoetes ir bedrąjį vidurkį. Jeigu vieas iš faktorių yra fiksuotas, o kitas atsitiktiis, tai tokį modelį vadiame mišriuoju. Mišriojo modelio pavyzdžiu gali būti viščiukų trijų maisto racioų palygiimas. Atsitiktiai parekame dvylika viščiukų fermų. Kiekvieoje fermoje imame po vieą dviejų viščiukų veislių arvą.viščiukai pasveriami. Stebėjimo duomeys tokie: e i A

120 0 taip: Ferma, j Racioas, I 3 Mišrusis modelis, kai faktorius A yra fiksuotasis, o faktorius B - atsitiktiis, užrašomas y = µ + α + b + ( ab) + e, i =.. a ; j =.. b ; k =.. ; N = ab, b ~ IND(0, σ ) ; ijk i AB ( α b) ~ IND(0, σ ) ; e ~ IND(0, σ ). ij j ijk ij ijk e Reikia pastebėti, kad faktorių sąveika yra atsitiktiė, es vieas iš jų yra atsitiktiis. Šiame modelyje galime agriėti fiksuotojo faktoriaus reikšmigumą ir įvertiti atsitiktiio faktoriaus dispersijos kompoetes. Kvadratų sumos ir Aova letelė Kvadratų sumos apskaičiuojamos aalogiškai, epaisat to, ar faktorius yra fiksuotasis, ar atsitiktiis. Tikėtios kvadratų sumos skirsis priklausomai uo to, ar faktorius yra fiksuotasis, ar atsitiktiis. Palygisime skirtigus modelius, audodami Aova letelę: Šaltiis df SS MS A B AB Liekaa a- b- (a-)(b-) (N-ab) SS A SS B SS AB SS e MS A MS B MS AB MS e Bedroji N- SS T Skirtigų modelių tipų tikėtii kvadratų vidurkiai yra tokie: j B Šaltiis A B Fiksuotasis E(MS) σ e+ Q( A, AB) σ e+ Q( B, AB) Mišrusis E(MS) σ e + σ AB + e+ σ AB Q( A) σ + aσ B Atsitiktiis E(MS) e e AB AB σ + σ + bσ σ + σ + aσ A B AB Liekaa σ e+ Q( AB) σ e σ e+ σ AB σ e σ e+ σ AB σ e Ši letelė turi du tikslus. Pirma, parodo dispersijos kompoečių apskaičiavimo būdus. Atra, E(MS) leidžia apibrėžti hipotezių tikriimo statistikas. Fiksuotajame modelyje, aalogiškai aalizei atliktai 3 skyriuje, faktorių ir sąveikos efektai tiriami lygiat su stadartie kvadratie paklaida. Pastebime, kad mišriajame modelyje faktoriaus A ir sąveikos AB E(MS) apskaičiavimas skiriasi tik ariu Q (A). Hipotezei H 0 : Q( A) = 0 patikriti apskaičiuojame statistiką F= MS( A) / MS( AB). Vadiasi, fiksuotasis faktorius A yra testuojamas vardiklyje imat sąveikos, o e paklaidos arį. Dispersijos kompoetės yra įvertiamos taip: AB AB e / B B AB / σ = ( MS MS ) ; σ = ( MS MS ) a. σ = MS ; Atsitiktiių efektų modelyje F testai pagridiiams faktoriams A ir B yra sudaromi vardiklyje imat MS(AB). Dispersijos kompoetės yra įvertiamos taip: σ ˆ = MS ; ˆ AB AB e / ˆ B B AB / ˆ A A AB / σ = ( MS MS ) ; σ = ( MS MS ) a ; σ = ( MS MS ) b. e e e e

121 Nesuku pastebėti testavimo ir įvertiimo sudėtigumą. Naudodami paketus sukumų galime išvegti. SAS paketas turi procedūrą MIED. Paagriėkime porą pavyzdžių. Pirma, atsitiktiių efektų modelis. SAS programa yra tokia: Gauama tokia tabuliagrama: Programa apskaičiuoja dispersijos kompoečių įvertiimus, bedrąjį vidurkį ( Itercept ), stadartię paklaidą ir jos laisvės laipsius. Atlikdami aalogišką aalizę Miitab paketu, galime urodyti faktorius A ir B kaip atsitiktius ir pareikalauti tabuliagramoje išvesti dispersijos kompoetes:

122 Aalogiškai atliekama mišriojo modelio aalizė. Naudojame komadą PROC MIED: Gauame tabuliagramą: Atlikę aalogišką aalizę Miitab paketu, gauame rezultatus: