Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Transcript

1 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014

2 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih Pojam funkcije više promjenljivih Osnovni elementi preslikavanja Grafičko predstavljanje funkcija Granična vrijednost funkcije n varijabli Pojam granične vrijednosti Simultana i uzastopna granična vrijednost Neprekidnost funkcije n varijabli Diferencijabilnost funkcije n varijabli 8.1 Izvod u pravcu Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Gradijent Diferencijabilnost funkcija više promjenljivih Pravila diferenciranja Izvodi višeg reda, Hesseova matrica Diferencijali višeg reda Ekstremumi funkcija više promjenljivih Nalaženje lokalnog ekstrema Nalaženje globalnog ekstrema Uslovni ekstrem i

3 Poglavlje 1 Funkcije više promjenljivih 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih Osnovni elementi preslikavanja Grafičko predstavljanje funkcija Granična vrijednost funkcije n varijabli Pojam granične vrijednosti Simultana i uzastopna granična vrijednost Neprekidnost funkcije n varijabli Notacija y = f(x), gdje je f : R R, služila nam je za iskazati da je varijabla y zavisna od jedne varijable x, tojest reći da je y funkcija od x. Domen ovakve funkcije f bio je skup realnih brojeva (ili neki njegov podskup). Mnoge veličine mogu se posmatrati u zavisnosti o više varijabli, te su onda one funkcije više varijabli. Naprimjer, zapremina kružnog cilindra je veličina ovisna o poluprečniku osnove cilindra (r) i njegove visine (H), tj. V = πr H, pa kažemo da je V funkcija dvije varijable r i H. Izaberemo li notaciju za ovu funkciju sa f, tada je V = f(r,h), te imamo da je f(r,h) = πr H,( r > 0, H > 0 ). Pri tome su ograničenja na poluprečnik osnove (r > 0) i visinu (H > 0) prirodni uslovi jer te veličine ne mogu biti negativne, a ni nule jer takav cilindar onda ne postoji. Svaka dva tijela u univerzumu djeluju jedno na drugo silom, direktno proporcionalno njihovim masama i obrnuto proporcionalno kvadratu njihovog rastojanja (Newtonov zakon univerzalne gravitacije). Dakle, intenzitet gravitacionog privlačenja (F) izmedu tijela mase m 1 i tijela mase m, koja se nalaze na rastojanju r, je funkcija tri varijable, F = F(m 1,m,r) = Gm 1m r, m 1,m,r > 0, gdje je G univerzalna gravitaciona konstanta. 1

4 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih Neka su S X R n i S Y R m proizvoljni skupovi. Definicija Ako svakoj tački X S X po nekom zakonu ili pravilu f dodijelimo tačno jednu tačku Y S Y, kažemo da je sa f definisano preslikavanje ili funkcija sa S X u S Y. S obzirom na domen (S X ) i kodomen (S Y ) ovako definisanog preslikavanja, uobičajeno se za ovakvo preslikavanje kaže da je vektorska funkcija (izlazni rezultat je vektor u R m ) vektorske promjenljive (ulazna veličina je vektor iz R n ). Definicija 1.1. Pod realnom funkcijom n realnih promjenljivih podrazumijevamo svako preslikavanje f : D f R, gdje je D f R n. Pri tome za proizvoljno X(x 1,x,...,x n ) D f pišemo f(x 1,x,...,x n ) = y ili f(x) = y. U kontekstu komentara iza prve definicije, za ovakvo preslikavanje kažemo da je realna funkcija (izlazni rezultat funkcije je realan broj) vektorske promjenljive (ulazna veličina je vektor iz R n ). Kako uredena n-torka označava tačku u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru, to ćemo često funkciju f zvati funkcija tačke. Funkcija koja svakoj tački trodimenzionalnog prostora dodjeljuje temperaturu u toj tački, primjer je takve funkcije, ili funkcija koja prikazuje bruto nacionalni dohodak neke države. U prvom slučaju domen funkcije je trodimenzionalan, dok je u drugom slučaju, zbog kompleksnosti pojma bruto nacionalni dohodak, mnogo većih dimenzija (npr. stotinu). Bez obzira što ćemo mi govoriti o proizvoljnom n-dimenzionalnom prostoru, naši primjeri će najčešće biti u dvije ili tri dimenzije Osnovni elementi preslikavanja U izrazu f : D f R, skup D f nazivamo domenom funkcije f i kao i kod funkcije jedne varijable, podrazumijevamo da je to najširi skup tačaka X(x 1,x,...,x n ) R n za koje izraz f(x 1,x,...x n ) ima smisla, tojest da je to neki realan broj. Realne brojeve x 1,x,...,x n nazivamo nezavisne varijabe,

5 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih argumenti ili promjenljive funkcije f. Za funkciju f : R R, zadatu sa z = f(x,y), kažemo da je funkcija dviju nezavisnih varijabli x i y, pri čemu je z zavisna varijabla. Za funkciju g : R 3 R, gdje je w = g(x,y,z), w je zavisna varijabla, a x, y, z su nezavisne varijable funkcije tri promjenljive. Domen funkcije n varijabli je proizvoljan podskup prostora R n. On može biti otvoren ili zatvoren skup i u principu se sastoji od unutrašnjih i rubnih tačaka. unutrašnja tačka (x,y) D D (x,y) rubna tačka (a) Slika 1.1: Unutrašnja i rubna tačka oblasti u ravni. Unutrašnja tačka je obavezno tačka skupa D, dok to za rubnu tačku nije slučaj. (b) Tačka X je unutrašnja tačka skupa D ako oko nje možemo opisati kuglu koja komletno leži unutar skupa D (B(X,r) D). Ako se skup D sastoji samo od unutrašnjih tačaka, onda je on otvoren skup. Tačka X je rubna tačka skupa D (X D) ako svaka kugla opisana oko nje sadrži i tačke van tog skupa. Rubne tačke nisu obavezno elementi skupa. Ako skup D sadrži sve svoje rubne tačke, onda je on zatvoren skup (a) Otvorena jedinična kugla, {(x,y) x +y < 1} (b) Rub jedinične kugle, {(x,y) x + y = 1} (kružnica) (c) Zatvorena jedinična kugla, {(x,y) x +y 1} Slika 1.: Unutrašnje i rubne tačke jedinične kugle u ravni. Slično intervalima na realnoj pravoj koji mogu biti otvoreni((a, b)), zatvoreni([a,b])iliniotvoreninizatvoreni((a,b]ili[a,b)),ioblastuvišedimenzionalnom prostoru ne mora biti ni zatvorena ni otvorena. Na slici 1. je prikazana 3

6 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih situacija da ako otvorenoj kugli (a) dodamo sve tačke ruba (b), dobijamo zatvorenu kuglu (c). Naravno, ako otvorenom skupu dodamo samo neke tačke ruba (ne sve), takav skup ne bi bio ni otvoren ni zatvoren. Dio prostora je ograničen ako leži unutar neke kugle fiksnog radijusa, u suprotnom kažemo da je on neograničen. Dakle, skup A R n je ograničen ako postoji kugla B(X,r) (X R n, r > 0), takva da je A B(X,r). Primjeri ograničenih skupova u R i R 3 su: segment, trougao, pravougaonik, unutrašnjost kruga, elipsoid i sl. Neograničeni skupovi su npr. prava linija, kvadranti, poluravni, oktanti i sl. Primjer 1.1. unutrašnjost domena Za funkciju f : D f R, f(x,y) = 1 x y, D f rub domena Primjer 1.. unutrašnjost domena x i y su nezavisne varijable, a domen je D f = {(x,y) R x + y 1}. Domen je ograničen i zatvoren skup. Za funkciju f : D f R, D f rub domena f(x,y) = log(y x ), x i y su nezavisne varijable, a domen je D f = {(x,y) R y > x }. Domen je neograničen skup i u ovom primjeru on se sastoji samo od unutrašnjih tačaka. Kodomen funkcija više varijabli je dio realne prave i naravno diktiran je samom funkcijom. Funkcija Domen Kodomen f(x,y) = x+y R R 1 f(x,y) = R (0,1) x +y +1 z = y x y x [0,+ ) z = log(1 x y ) x +y < 1 (,+ ) z = 1 xy xy 0 (,0) (0,+ ) w = z x +y x +y 0 [0,+ ) 4

7 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih 1.1. Grafičko predstavljanje funkcija U grafičkom predstavljanju funkcija više varijabli uobičajena su dva načina, pomoću nivo linija i pomoću grafa. Definicija Za datu funkciju f : R n R i realan broj c, skup L = {(x 1,x,...,x n ) R n f(x 1,x,...,x n ) = c} nazivamonivoskupfunkcijef zanivoc. Zan =,Lnazivamonivokriva funkcije f, a za n = 3, kažemo da je L nivo površ funkcije f. Crtanje koje prikazuje nivo skupove za različite nivoe nazivamo konturno crtanje funkcije. z z Konturna linija z = c z y x Nivo linija (a) Presjek sa ravni z = c y x (b) Pogled sa z-ose x (c) Nekoliko presjeka y Slika 1.3: Konturna linija grafa i njoj odgovarajuća nivo linija. Naprimjer, kod funkcije dvije promjenljive z = f(x, y), držeći z fiksnim, tj. stavljajući f(x, y) = c, geometrijski to tumačimo kao presjecanje površi f(x,y) sa ravni z = c (Slika 1.3 (a)). U presjeku (crvena linija) dobijamo sve tačke površi f(x, y) čija je vrijednost (vrijednost zavisne promjenljive z) jednaka c i datu liniju nazivamo konturna linija (kriva). Projektovanjem konturne linije u xoy ravan dobijamo liniju koju nazivamo nivo linija (kriva). Ovo možemo zamisliti kao da figuru na slici (1.3) gledamo iz neke daleke tačke na z-osi, što vidimo na slici (1.3.(b)). Radeći ovaj postupak za razne c, dobijamo konturnu sliku grafa. Primjer 1.3. Neka je f : R R, zadata sa f(x,y) = 4 x y. Za zadato c R, skup tačaka koje zadovoljavaju jednakost 4 x y = c predstavlja nivo skup funkcije f. Jasno, ako je c > 4, taj skup je prazan 5

8 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih jer bi u tom slučaju imali da je x y > 0, što očigledno nije moguće niti za jedno (x,y) R ; za c = 4 on se sastoji samo od jedne tačke, (0,0) (rješenje jednačine x y = 0 je samo jedna tačka (x,y) = (0,0)); za c < 4 taj skup je elipsa sa centrom u koordinatnom početku, tj. za svako c < 4 nivo linija je predstavljena elipsom, što je prikazanao na donjoj slici (slika 1.4 desno) za nekoliko različitih nivoa (izborom vrijednosti konstante c =, c = 1, c = 0 i c = 1). y c = c = 1 c = 0 c = 1 z x (a) Pogled sa z-ose (b) Nivo linije funkcije f(x,y) = 4 x y. Slika 1.4: Formiranje konturne slike. Primjer 1.4. Neka je f : R R, zadata sa f(x,y) = sin x +y x +y. Za proizvoljnu tačku (x,y) na centralnoj kružnici x +y = r, poluprečnika r > 0, funkcija f(x,y) ima konstantnu vrijednost sinr, pa će nivo linije ove r funkcije, kao što je prikazano na slici (1.5 (a)), biti koncentrični krugovi sa centrom u koordinatnom početku Slika 1.5: Nivo linije površi f(x,y) = sin x +y x +y. 6

9 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih Primjer nivo linija imamo u kartografiji. Naime, kada na karti, koja je dvodimenzionalni prikaz trodimenzionalnog terena, želimo prikazati planinu, onda to upravo činimo prikazom punom linijom onih tačaka te planine koje su na istoj nadmorskoj visini. To je prikazano na slici 1.6, gdje se uvećanje nivo linija (nadmorske visine) dobija uvećanjem nadmorske visine za 100 metara. Ovim načinom takode predstavljamo izobare (područja sa istim pritiskom), izoterme (područja sa istom temperaturom) i sl Slika 1.6: Prikazivanje nadmorskih visina pomoću nivo linija. Primjer 1.5. Posmatrajmo funkciju f : R 3 R, zadatu sa f(x,y,z) = x +y +3z. Jedna nivo površ ove funkcije zadata je jednačinom x +y +3z = 1, što predstavlja jednačinu elipsoida. Primjetimo da ako u gornjoj jednačini fiksiramo z = z 0, dobijamo jednačinu x +y = 1 3z0, a to su elipse u xoy ravni, što opravdava činjenicu da su nivo površi funkcije f elipsoidi (slično smo mogli fiksirati i varijable x i y i dobiti da su projekcije u yoz ravan i u xoz ravan takode elipse). Generalno, nivo površi date funkcije su elipsoidi x +y +3z = c, gdje je c R proizvoljna konstanta. z x y Slika 1.7: Nivo površi funkcije f(x,y,z) = x +y +3z (elipsoidi). Narednim slikama su prikazane neke površi (funkcije dvije varijable) zajedno sa svojim konturnim grafovima. 7

10 1.1. Pojam funkcije vis e promjenljivih (a) -5 (b) Slika 1.8: Nivo linije (a) i graf (b) funkcije f (x, y) = x y x + y (a) (b) Slika 1.9: Nivo linije (a) i graf (b) funkcije f (x, y) = xy x3 + y (a) (b) Slika 1.10: Nivo linije (a) i graf (b) funkcije f (x, y) = sin x + cos y Kod prouc avanja funkcije jedne promjenljive, y = f (x), svakom smo paru (x, y) pridruz ivali jednu tac ku M(x, y) u realnoj ravni. Skup svih takvih tac aka M, c inio je grafik funkcije f i on je bio predstavljen kao kriva linija u ravni. U sluc aju kada posmatramo funkciju dvije promjenljive z = f (x, y), grafik funkcije c e biti izraz en tac kama M(x, y, z), dakle u trodimenzionalnom prostoru. Pri tome vrijedi 8

11 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih 1 Svaka tačka grafika, M(x,y,z), ima apscisu (po x-osi) i ordinatu (po y-osi) koje predstavljaju koordinate neke tačke X(x, y) iz domena funkcije, i aplikatu (po z-osi) koja je jednaka vrijednosti funkcije u tački X(x,y). Svaka tačka M(x,y,z) prostora za koju tačka X(x,y) pripada domenu funkcije, a aplikata z je jednaka vrijednosti funkcije u tački X, pripada grafiku funkcije. aplikata z M apscisa ordinata y X x Na osnovu rečenog zaključujemo da je grafik funkcije slika njene oblasti definisanosti. Ako je z = f(x,y) definisana u oblasti D R, njen grafik predstavlja površ u prostoru R 3, čija je projekcija na xy-ravan oblast D. Definicija Neka je f : D f R, D f R n. Skup G = { (x 1,x,...,x n,x n+1 ) R n+1 x n+1 = f(x 1,x,...,x n ) }, nazivamo graf funkcije f. Primjetimo da je graf G funkcije f : R n R u prostoru R n+1, pa kao posljedicu toga imamo da smo u mogućnosti geometrijski predstavljati samo slučajeve kada je n = 1 i tada imamo krivu koja predstavlja funkciju jedne varijable, i kada je n = u kom slučaju je graf površ u trodimenzionalnom prostoru. Šta bi bila geometrijska interpretacija grafika funkcije 3 i više promjenljivih za sada nam je nemoguće reći, s obzirom da nemamo način da prikažemo uredene četvorke, petorke itd. Primjer 1.6. Graf funkcije f(x,y) = x + y, f : R R, prestavlja skup uredenih trojki (x,y,z) R 3, koje zadovoljavaju jednakost z = x +y. Da 9

12 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih bi smo predstavili graf ove funkcije u R 3, koristimo ideju da predstavljamo dijelove tog grafa koji leže iznad mreže linija paralelnih osama u xy-ravni. Npr., za jedno fiksirano x = x 0, skup tačaka koje zadovoljavaju jednačinu z = x 0 +y, predstavlja parabolu koja leži iznad linije x = x 0 u xy-ravni. Na isti način, ako fiksiramo y = y 0, skup tačaka koje zadovoljavaju jednačinu z = x +y 0, je parabola koja leži iznad linije y = y 0. Ako istovremeno nacrtamo više tih parabola za razne x = x 0 i y = y 0, dobijamo mrežnu predstavu te površi (grafa) i u ovom slučaju ta površ je paraboloid (Slika 1.11). z x x 0 y 0 y Slika 1.11: Paraboloid; Graf funkcije z = x +y. Primjer 1.7. Mada se za grafove mnogih funkcija možemo poslužiti idejom mreže, izloženom u gornjem primjeru, za većinu funkcija dobra slika njihovih grafova zahtjeva upotrebu računarske grafike ili eventualno mnogo umjetničke vještine. Tako naprimjer, za predstavljanje grafa funkcije f(x,y) = sin x +y x +y, možemo se poslužiti konturnim crtanjem i zaključiti da graf funkcije osciluje ukoliko se pomjeramo od koordinatnog početka u bilo kom pravcu, tačnije da nivo krugovi iz konturnog crtanja rastu i opadaju sa oscilacijom sinr, gdje je r r = x +y. Ekvivalentno, dijelovi grafa funkcije f iznad proizvoljne linije u xy-ravni koja prolazi kroz koordinatni početak, predstavljeni su funkcijom z = sinr r. 10

13 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih Ovo zaista jeste dobra ideja za predstavljanje grafa funkcije f, ali iskreno govoreći mnogi ne bi bili u stanju produkovati sliku tog grafa koja je prikazana na slici (1.1). Primjetimo takode da naša funkcija nije definisana u tački (0,0) ali da ona teži ka vrijednosti 1, kada tačka (x,y) teži ka (0,0), što je opravdano činjenicom sinr lim = 1. r 0 r z x y Slika 1.1: Graf funkcije f(x,y) = sin x +y x +y. Ovdjetreba otklonitiinedoumicu oko funkcija oblika z = sinx(slika 1.13 lijevo) ili z = y (Slika 1.13 desno). Naime, u oba slučaja podrazumijevamo da je z = z(x,y) pa grafici predstavljaju površi u prostoru, a nepojavljivanje neke od varijabli znači njenu proizvoljnost u definisanosti funkcije. z z x y x y Slika 1.13: (lijevo) z = sinx, (desno) z = y. Primjeri još nekih funkcija dvije varijable: 11

14 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli z z y y x x f(x,y) = (4 x y )e (x +y ) f(x,y) = 10 ( x 3 +xy 4 x 5) e (x +y ) +e ((x 1.5) +y ) 1. Granična vrijednost funkcije n varijabli 1..1 Pojam granične vrijednosti Neka je data funkcija y = f(x 1,x,...,x n ) i A(a 1,a,...,a n ) R n. Sa U A označimo proizvoljnu okolinu tačke A i neka je L R i U L okolina tačke L. Definicija 1..1 Funkcija n nezavisnih projenljivih, f(x 1,x,...,x n ) = f(x), ima u tački A(a 1,a,...,a n ) graničnu vrijednost jednaku L, ako vrijedi, 1 tačka A je tačka nagomilavanja domena funkcije f, zaproizvoljnuokolinuu L, postojiokolinau A, takodasevrijednost funkcije f(x) nalazi u okolini U L za svaku tačku X A koja se nalazi u U A. Činjenicu da funkcija f ima u tački A graničnu vrijednost jednaku L, simbolički zapisujemo sa lim f(x) = lim f(x) = lim f(x 1,x,...,x n ) = L. X A (x 1,...,x n) (a 1,..,a n) x 1 a 1,...,x n a n Posmatrani limes nazivamo simultani limes, a odgovarajuću graničnu vrijednost nazivamo simultana granična vrijednost. Istaknimo da za postojanje granične vrijednosti, sama tačka A ne mora pripadati domenu funkcije f, što ističemo prvim zahtjevom u gornjoj definiciji. Ako se za okoline U A koriste sferne okoline, onda gornju definiciju možemo iskazati na sljedeći način. 1

15 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Definicija 1.. Funkcijaf utačkia R n imagraničnuvrijednostjednakulakovrijedi, 1 tačka A je tačka nagomilavanja domena funkcije f, za proizvoljno ε > 0, postoji δ = δ(ε) > 0, takav da za sve X ( n )1 za koje je 0 < d(x,a) < δ (x i a i ) < δ, vrijedi f(x) L < ε. i=1 Ukoliko koristimo kubne okoline, Definicija 1..1 izgleda ovako. Definicija 1..3 Funkcijaf utačkia R n imagraničnuvrijednostjednakulakovrijedi, 1 tačka A je tačka nagomilavanja domena funkcije f, za proizvoljno ε > 0, postoji δ = δ(ε) > 0, takav da za sve X za koje je 0 < d(x,a) < δ 0 < x i a i < δ, i = 1,,...,n, vrijedi f(x) L < ε. Posmatrajmo neke slučajeve graničnog procesa za funkciju dvije promjenljive. Primjer 1.8. Naprimjer, slučaj lim (x,y) (a,b) f(x,y) = lim x a y b f(x,y) = L, (1..1) tumačimo na sljedeći način: Ako fiksiramo ε > 0, onda postoji δ = δ(ε) > 0 tako da važi f(x,y) L < ε, kad god su x i y takvi da važi x a < δ i y b < δ (kubna okolina), ili (x a) +(y b) < δ (sferna okolina). Pri tome je okolina tačke A(a,b), u zavisnosti od metrike data na slici, Sada nam granični proces (1..1) govori da je slika svakog X iz odgovarajuće okoline tačke A, u nekoj okolini broja L na z-osi. 13

16 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli z b+δ b X A f ( ) L f b+δ b X A b δ a δ a a+δ b δ a δ a a+δ (a) Kugla sa metrikom d (b) Kugla sa metrikom d Primjer 1.9. Granični proces lim x + y b f(x,y) = L, tumačimo na sljedeći način: Za proizvoljno ε > 0, postoje δ = δ(ε) > 0 i M(ε) > 0 takvi da važi f(x,y) L < ε, kad god su x i y takvi da je x > M i y b < δ. Pri tome je okolina tačke A beskonačni pravougaoni pojas prikazan na slici z b+δ b b δ M X f ( ) L Kao i u prethodnom primjeru, za svako X iz pravougaonog pojasa (formalno okolina tačke A(x,b)), vrijednost f(x) će ležati u okolini broja L na z-osi. Sljedeće osobine graničnih vrijednosti funkcija više varijabli, analogon su i iskazom i dokazom odgovarajućih tvrdnji za funkcije jedne varijable. Teorem 1..1 Neka su f,g : R n R i neka postoje lim f(x) = F i lim g(x) = G. X A X A Tada postoje i granične vrijednosti funkcija f(x)±g(x), f(x) g(x), 14

17 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli f(x) g(x) (g(x) 0) i kf(x) (k R) i pri tome vrijedi, 1. lim X A (f(x)±g(x)) = F ±G,. lim X A (f(x)g(x)) = F G, 3. lim X A f(x) g(x) = F G, 4. lim X A kf(x) = kf. Gornju tvrdnju treba shvatiti kao pravila izračunavanja limesa funkcija više varijabli. Tako naprimjer, tvrdnju pod 1. treba shvatiti da limes zbira ili razlike funkcija računamo kao zbir ili razliku limesa funkcija, tj. lim (f(x)±g(x)) = lim f(x)± lim g(x), X A X A X A naravno pod pretpostavkom da limesi pojedinačnih funkcija postoje. Primjer Neka je f : R n R zadata sa f(x 1,x,...,x n ) = x k, k {1,,...,n}. UkolikosadaposmatramograničniproceskadaX A,tj. X(x 1,x,...,x n ) A(a 1,a,...,a n ), što u stvari znači da za proizvoljno i = 1,,...,n vrijedi x i a i, tada imamo lim f(x 1,x,...x n ) = lim x k = a k. X A (x 1,...,x n) (a 1,...,a n) Specijalno, ako posmatramo funkciju f(x,y) = x, onda imamo lim f(x,y) = lim x = a. (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) Primjer Neka je sada f : R 3 R, zadata sa f(x,y,z) = xyz. Koristeći Teorem 1..1 i gornji primjer, imamo lim f(x,y,z) = lim xyz (x,y,z) (a,b,c) (x,y,z) (a,b,c) ( )( )( ) = lim x lim y lim z (x,y,z) (a,b,c) (x,y,z) (a,b,c) (x,y,z) (a,b,c) = abc. 15

18 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Dakle, ako imamo da je A(1,,1), tada je lim xyz = 1 1 =. (x,y,z) (1,,1) Primjer 1.1. Kombinujući prethodno, sada računamo lim (x +y 3xy) = ( lim x)( lim x)+ (x,y) ( 1,) (x,y) ( 1,) (x,y) ( 1,) ( lim y)( lim y) 3( lim x)( lim y) (x,y) ( 1,) (x,y) ( 1,) (x,y) ( 1,) (x,y) ( 1,) = ( 1)( 1)+ 3( 1) = 11. Sva tri gornja primjera predstavljaju primjere graničnih procesa posebne grupe funkcija više varijabli. Naime, funkciju f : R n R, oblika f(x 1,x,...,x n ) = cx k 1 1 x k x kn n, gdje je c skalar, a k i (i = 1,,...,n) nenegativni cijeli brojevi, nazivamo monomom ili monomijalna funkcija. Funkciju koja predstavlja sumu monoma nazivamo polinom ili polinomijalna funkcija. Za nešto složenije funkcije trebat će nam i dodatni alat. Sljedeći rezultat nam govori o graničnom procesu kompozicije funkcije više varijabli i funkcije jedne varijable. Teorem 1.. Neka je f : R n R i h : R R. Ako postoji granična vrijednost lim f(x) = F X A i ako je h neprekidna funkcija, tada vrijedi lim h(f(x)) = h(f). X A Primjer Koristeći Teorem 1.. i gornje razmatranje za polinomijalne funkcije, lagano računamo i granične procese složenijih funkcija. Neka je f : R n R, zadata sa f(x 1,x,...,x n ) = x 1 +x + x n. 16

19 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Kako je korjena funkcija neprekidna, sada imamo lim f(x 1,x,...,x n ) = lim (x 1,x,...,x n) (a 1,a,...,a n) (x 1,x,...,x n) (a 1,a,...,a (x 1 +x + x n ) n) = a 1 +a + a n. Ili y lim +3x y) (x,y) (1,1) e(x3 = e (lim (x,y) (1,1)(x 3 y +3x y)) = e 3. U oba primjera podrazumijevamo da je tačka A iz domena funkcije f. Pored polinomijalnih, često su u upotrebi i funkcije oblika f(x) = g(x) h(x), gdje su g i h polinomijalne funkcije. Takvu funkciju nazivamo racionalna funkcija. I ovdje, ukoliko je tačka graničnog procesa A iz domena funkcije, limes računamo jednostavno. Naime vrijedi, lim f(x) = lim X Ag(X) X A lim X A h(x). Primjer Neka je f(x,y,z) = x y +5xyz x +3z. Primjer lim f(x,y,z) = (x,y,z) (1, 1,) lim ln (x,y) (1,) ( ) xy x +y x y +5xyz lim (x,y,z) (1, 1,) x +3z = 1 ( 1)+5 1 ( 1) 1 +3 = 6 14 = 3 7. ( = ln lim ( ) = ln 6 17 (x,y) (1,) = ln3. ) xy x +y

20 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Napomenimo još jednom bitnost pretpostavke da je granična tačka u svim gornjim primjerima graničnih procesa, bila tačka oblasti definisanosti posmatrane funkcije. Medutim, u definiciji granične vrijednosti funkcije više varijabli, zahtjevalimo smo u 1 da je A tačka nagomilavanja domena funkcije, što znači da granične vrijednosti možemo računati i u nekim drugim tačkama. Tako naprimjer, za funkciju f(x,y) = x y x +y, tačka A(0, 0) nije iz domena, ali jeste tačka nagomilavanja domena funkcije. Iako je naša funkcija racionalna, ne bismo mogli primjeniti raniji postupak izračunavanja limesa ove funkcije u tački A jer bi to dovelo do neodredenog oblika 0 0. Ipak, ako izaberemo tačku X dovoljno blisku tački A, tj. neka je 0 < d(x,a) = x +y < δ = ε, za proizvoljno ε > 0, tada ćemo imati f(x,y) 0 = x y x +y = x y x +y d(x,a) d(x,a) = d(x,a) < ε. d(x,a) Ovo na osnovu Definicije 1.. znači da vrijedi lim f(x,y) = 0. (x,y) (0,0) Za utvrdivanje egzistencije granične vrijednosti funkcije više varijabli naredna tvrdnja može biti od velike koristi. Teorem 1..3 Neka je f : R n R i neka postoji lim f(x) = F. X A Tada za proizvoljan niz (X n ) n N, takav da X n A (n ), vrijedi lim f(x n) = F. n Ovu tvrdnju možemo sada primjeniti na maloprije uradeni primjer. Naime, utvrdili smo da postoji limes funkcije f(x,y) = x y u tački A(0,0). x +y 18

21 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Naosnovuposljednjetvrdnje, posmatramoliproizvoljanniztačaka(x(x n,y n )) n N koji konvergira ka tački A(0, 0) mora vrijediti lim f(x) = lim f(x n). X A n Posmatrajmo niz (x n,y n ) = ( 1 n, 1 n ) (n N). Jasno je da vrijedi (1 n, 1 n ) (0,0) kada n. Sada imamo lim (x,y) (0,0) x y x +y = lim n 1 1 n n n n 1 = lim n n = 0. Kako gornja tvrdnja daje samo potrebne, a ne i dovoljne uslove egzistencije granične vrijednosti mnogo ju je bolje koristiti u kontrapoziciji. Naime, ako postoje nizovi (X n ) n N i (X n ) n N takvi da X n A i X n A kada n, za koje je lim n f(x n) lim f(x n n), tada ne postoji limes lim X A f(x). Primjer Ispitajmo postojanje granične vrijednosti funkcije f(x, y) = xy u tački A(0,0). x +y Posmatrajmo nizove tačaka ( 1, ) 1 i ( ) 1 n n n N n, 1. Očigledno oba niza konvergiraju ka tački A(0, 0). n n N Medutim lim n 1 1 n n = lim n n n ( ) 1 n 1 n = lim n n 1 n n = 1, 1 n lim n n = 1. n Dakle, granična vrijednost posmatrane funkcije u tački A(0, 0) ne postoji. 1.. Simultana i uzastopna granična vrijednost Prisjetimo se da smo za funkciju f : R R, postojanje granične vrijednosti lim f(x) = L, x a opravdavali postojanjem i jednakošću lijeve i desne granične vrijednosti u tački a, tj. uslovom lim f(x) = L = lim f(x). x a x a+ 19

22 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Ukoliko jedna od ovih graničnih vrijednosti u tački a ne postoji, tada ne postoji ni granična vrijednost funkcije u toj tački. Slično razmišljanje možemo primjeniti i za funkciju više varijabli, ali razlika leži u činjenici što će sada postojati beskonačno mnogo krivih po kojima se tačka X može približavati nekoj tački A u prostoru R n, za razliku od samo dvije mogućnosti u prostoru R. z x a a+ x y a x Slika 1.14: Prilaz tački na pravoj (lijevo) i u ravni (desno) Graničnu vrijednost L, definisanu u Definiciji 1..1, nazivamo simultana granična vrijednost funkcije f(x 1,x,...,x n ). To je bio slučaj kada tačka X(x 1,x,...,x n ) teži ka tački A(a 1,a,...,a n ) tako da sve koordinate x i tačke X istovremeno teže ka odgovarajućim koordinatama a i tačke A. Medutim, granični proces možemo posmatrati i tako da puštamo prvo jednu koordinatu da teži odgovarajućoj fiksnoj vrijednosti, a ostale držimo fiksnim. Zatim puštamo neku drugu koordinatu da teži fiksnoj vrijednosti, a preostale držimo fiksnim i tako do posljednje koordinate. Na taj način bi smo posmatrali granični proces u obliku lim x n a 1 lim lim lim f(x 1,x,...,x n ), x n 1 a n 1 x a x 1 a 1 i posmatrani proces nazivamo uzastopni ili sukcesivni limes funkcije. Posmatrajmo sada funkciju dvije promjenljive f(x, y). Pored simultane granične vrijednosti, prema gore rečenom, od interesa je posmatrati još dvije granične vrijednosti, a to su L 1 = lim limf(x,y), L 1 = lim x ay b y b lim x a f(x,y), koje nazivamo uzastopne granične vrijednosti (slika 1.15). Pri tome podrazumijevamo sljedeće, ( ) ( ) L 1 = lim lim f(x,y), L 1 = lim lim f(x,y), x a y b y b x a odnosno, u izračunavanju limesa L 1 prvo računamo lim y b f(x,y), držeći x fiksnim, a zatim od dobijenog rezultata računamo limes, puštajući da x a. 0

23 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Kod L 1 princip je obrnut, prvo računamo lim x a f(x,y), držeći y fiksnim, a onda od dobijenog posmatramo granični proces kada y b. Primjer Izračunati uzastopne limese funkcije f(x,y) = x y u tački x +y A(,1). ( L 1 = lim lim x y 1 L 1 = lim y 1 ( lim x ) x y x +y ) x y x +y = lim x x 1 x +1 = 1 5. = lim y 1 y 4+y = 1 5. a x (x,y) (x,y) y b (a,b) (a,b) a x y b (a) Uzastopni limes: L 1 = lim y b lim x a (b) Uzastopni limes: L 1 = lim x a lim y b Slika 1.15: Uzastopni limesi funkcije dvije promjenljive. Veza simultane i uzastopnih graničnih vrijednosti data je nerednim tvrdenjem. Teorem 1..4 Ako postoji simultana granična vrijednost L = lim x a y b f(x,y) i ako za svako y postoji granična vrijednost lim x a f(x,y), tada postoji i uzastopna granična vrijednost i vrijedi L = L 1. L 1 = lim y b lim x a f(x,y), 1

24 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Dokaz : Ako postoji simultana granična vrijednost L, to znači da za svako ε > 0, postoji δ > 0 tako da vrijedi f(x,y) L < ε, kad god je x a < δ i y b < δ. Ako fiksiramo y 0 tako da je y 0 b < δ, prema pretpostavci teorema, postoji lim f(x,y 0). x a Kako je fiksirano y 0 bilo proizvoljno, postojat će i granična vrijednost lim limf(x,y), y bx a pa je L granična vrijednost funkcije F(y) = lim x a f(x,y) kada y b, čime je dokaz završen. Formulaciju gornje teoreme možemo iskazati potpuno analogno koristeći i graničnu vrijednost L 1. Posljedice ove teoreme su: 1) Ako postoje simultana i uzastopne granične vrijednosti tada vrijedi L = L 1 = L 1. ) Ako je L 1 L 1, onda simultana granična vrijednost L ne postoji. Primjer Posmatrajmo funkciju f(x,y) = x y u tački O(0,0). x+y x y L 1 = lim lim x 0y 0 x+y = lim x x 0 x = 1. L 1 = lim y 0 lim x 0 x y x+y = lim y 0 L 1 L 1 pa dakle L ne postoji. Primjer f(x,y) = xcosy, x 0 i y +. Zbog ograničenosti funkcije kosinus vrijedi y y = 1. L = lim x 0 y + xcosy = 0. L 1 = lim y + lim x 0 xcosy = 0. L 1 ne postoji jer ne postoji granična vrijednost funkcije cosy kada y +.

25 1.3. Neprekidnost funkcije n varijabli Slika 1.16: Graf funkcije f(x,y) = xy x +y. Primjer 1.0. f(x,y) = xy x +y, x 0 i y 0. L 1 = lim x 0 lim y 0 xy x +y = 0 = lim lim y 0 x 0 xy x +y = L 1. Simultani limes ne postoji! Zaista, ako se tački O(0, 0) približavamo po pravoj x = y (tj. ako posmatramo tačke oblika X(x,x), a to onda znači da ako X O, onda mora x 0), tada je x L = lim x 0 x = 1, a ako se ka tački O(0,0) približavamo po pravoj x = y, tj. posmatramo tačke oblika X(x, x), imamo iz čega je jasno da L ne postoji. x L = lim x 0 x = 1, Sa gornjim primjerima smo pokazali neke od mogućnosti ali i probleme kod odredivanja graničnih procesa funkcija više varijabli. 1.3 Neprekidnost funkcije n varijabli Kao i kod funkcije jedne varijable, neprekidnost funkcije više varijabli definisana je direktno u vezi sa limesom funkcije. Pri tome, pričati o neprekidnosti preslikavanja ima smisla samo o tačkama u kojima je preslikavanje definisano. 3

26 1.3. Neprekidnost funkcije n varijabli Definicija Neka je funkcija f : R n R definisana u okolini tačke A(a 1,a,...,a n ). Funkcija tačke f je neprekidna u tački A ako vrijedi lim f(x) = f(a). X A Iz gornje definicije vidimo da bi funkcija f bila neprekidna u tački A treba biti zadovoljeno: 1 da postoji granična vrijednost funkcije kada X A, da funkcija bude definisana u tački A, 3 dagraničnavrijednost funkcijeutačkiabudejednakavrijednosti funkcije u tački A. Definicija 1.3. Funkcija f je neprekidna u tački A ako se za svako ε > 0 može odrediti δ = δ(ε) > 0, tako da je za sve X takve da je 0 d(x,a) < δ, zadovoljeno f(x) f(a) < ε. Funkcija je neprekidna u oblasti D ako je neprekidna u svakoj tački te oblasti. Naravno da gornju definiciju možemo posmatrati bilo sa sfernom bilo sa kubnom okolinom tačke A. Iz razmatranja u prethodnoj sekciji, vezana za polinomijalne i racionalne funkcije imamo sljedeća tvrdenja. Teorem Neka je f : R n R polinomijalna funkcija. Tada za svako A R n vrijedi lim f(x) = f(a), X A tj. polinomijalna funkcija je neprekidna u svakoj tački A R n. 4

27 1.3. Neprekidnost funkcije n varijabli Primjer 1.1. Za polinomijalnu funkciju f(x,y) = 3x 3 +xy x+y posmatrajmo granični proces kada (x,y) (0, 1). lim f(x,y) = lim (3x 3 +xy x+y) = 1 = f(0, 1). (x,y) (0, 1) (x,y) (0, 1) Generalno, ako (x,y) (x 0,y 0 ) zbog neprekidnosti polinomijalne funkcije imamo, Teorem 1.3. lim f(x,y) = (x,y) (x 0,y 0 ) 3x3 0 +x 0 y 0 x 0 +y 0 = f(x 0,y 0 ). Ako je racionalna funkcija f definisana u tački A, tada vrijedi lim f(x) = f(a), X A tj. racionalna funkcija je neprekidna u svakoj tački svog domena. Primjer 1.. Za funkciju f(x,y) = x+y x +y posmatrajmo granični proces kada (x,y) (1,1). x+y lim f(x,y) = lim (x,y) (1,1) (x,y) (1,1) x +y = = 1 = f(1,1). Kako je D f = R \ (0,0), tačka X(1,1) D f, te je racionalna funkcija neprekidna u toj tački. Generalno, ako tačka X(x 0,y 0 ) D f, tada zbog neprekidnosti vrijedi lim f(x,y) = (x,y) (x 0,y 0 ) Teorem lim (x,y) (x 0,y 0 ) x+y x +y = x 0 +y 0 x 0 +y 0 = f(x 0,y 0 ). Neka su funkcije f,g : R n R neprekidne u tački A R n. Tada su f u toj tački neprekidne i funkcije f ± g, f g, (g(a) 0) i kf (k g proizvoljan skalar iz R). 5

28 1.3. Neprekidnost funkcije n varijabli Teorem Neka je f : R n R neprekidna funkcija u tački A i ako je g : R R neprekidna funkcija, tada je i g f neprekidna funkcija u tački A. Primjer 1.3. Kako je funkcija g(t) = sint neprekidna za proizvoljno t iz R i kako je funkcija f(x,y,z) = x +y +z neprekidna za sve tačke (x,y,z) R 3, onda je i funkcija neprekidna u svim tačkama iz R 3. h(x,y,z) = sin( x +y +z ) Primjer 1.4. Prema prethodnom primjeru (samo za funkciju dvije varijable), funkcija h(x,y) = sin( x +y ) je neprekidna za sve (x,y) R. Takode je neprekidna i funkcija g(x,y) = x +y za sve (x,y) R. Zaključujemo onda da je i funkcija f(x,y) = sin( x +y ) x +y neprekidna u svakoj tački iz R, različitoj od tačke A(0,0). Medutim, sin( x lim f(x,y) = lim +y ) X A (x,y) (0,0) x +y sin(d(x, A)) sint = lim = lim (x,y) (0,0) d(x, A) t 0 t Dakle, prekid funkcije u tački A(0, 0) je otklonjiv, tj. ako definišemo novu funkciju sin( x +y ) ; (x,y) (0,0) F(x,y) = x +y 1 ; (x,y) = (0,0) onda je ona neprekidna u svim tačkama (x,y) R. = 1. 6

29 1.3. Neprekidnost funkcije n varijabli Definicija Linija ili površ koja predstavlja skup tačaka prekida funkcije f naziva se linijom ili površinom prekida funkcije. Ako je funkcija f neprekidna u oblasti D, ona je neprekidna po svakoj liniji i po svakoj površi koja leži u toj oblasti. Ako specijalno posmatramo prave paralelne koordinatnim osama, to onda znači da je funkcija neprekidna po svakoj varijabli posebno. Medutim obrat ne važi, tj. funkcija može biti neprekidna po svakoj varijabli posebno ali da ipak ima prekide. Na primjer, funkcija f(x,y) = xy x +y je u tački O(0, 0) neprekidna po svakoj varijabli, ali granična vrijednost (simultana) u tački O ne postoji, tj. funkcija ima prekid u tački O. Primjer 1.5. f(x,y) = ex +e y. Linija prekida ove funkcije je kružnica x +y 1 x +y = 1. Primjer 1.6. f(x,y,z) = sfera x +y +z = Površ prekida funkcije je ln(4 x y z ) Dio o neprekidnosti završimo sa dva važna stava, koji opet predstavljaju analogone odgovarajućih tvrdenja za funkcije jedne varijable. Teorem Svaka funkcija n promjenljivih koja je neprekidna u zatvorenoj i ograničenoj oblasti je ograničena u toj oblasti. Teorem Ako je f neprekidna u proizvoljnoj oblasti i ako za X 1 X iz te oblasti vrijedi f(x 1 ) f(x ), tada za proizvoljno C izmedu f(x 1 ) i f(x ), postoji tačka X u toj oblasti takva da je f(x) = C. 7

30 Poglavlje Diferencijabilnost funkcije n varijabli.1 Izvod u pravcu Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Gradijent Diferencijabilnost funkcija više promjenljivih Pravila diferenciranja Izvodi višeg reda, Hesseova matrica Diferencijali višeg reda Ekstremumi funkcija više promjenljivih Nalaženje lokalnog ekstrema Nalaženje globalnog ekstrema Uslovni ekstrem U ovoj glavi govorit ćemo o drugoj važnoj osobini proizvoljnog preslikavanja, o diferencijabilnosti. Ovdje ćemo pretpostavljati uvijek ako drugačije nije naglašeno, da svaka tačka domena D f posmatranog preslikavanja, pripada tom skupu zajedno sa nekom svojom okolinom, tj. pretpostavljat ćemo da je skup D f otvoren. U nekim razmatranjima bit će neophodna i osobina povezanosti (koneksnosti) tog skupa. Za takav skup (otvoren i povezan) reći ćemo da je oblast u prostoru R n..1 Izvod u pravcu Za funkciju φ : R R, izvod u tački x 0 D φ definisali smo sa φ (x 0 ) = lim h 0 φ(x 0 +h) φ(x 0 ) h, (.1.1) i geometrijski, predstavljao je nagib tangente (tj. najbolju linearnu aproksimaciju) na krivu φ u tački (x 0,φ(x 0 )) ili trenutnu mjeru promjene funkcije 8

31 .1. Izvod u pravcu φ(x) u odnosu na varijablu x, kada je x = x 0. Kao uvod za nalaženje ovakve najbolje linearne aproksimacije za funkciju f : R n R, pokušat ćemo iskoristiti, tj. generalizovati (.1.1) da bi realizovali ideju nagiba i mjere promjene za ovakvo preslikavanje. Posmatrajmo funkciju f : R R, definisanu sa f(x,y) = 4 x y, čiji je graf prikazan na slici (.1). Ukoliko želimo da vizualiziramo kretanje po ovom grafu (površi), nagib puta po kome se krećemo ovisi od polazne tačke ali i od pravca našeg kretanja. Naprimjer, neka je startna tačka P(1,1,1) na površi i neka je pravac kretanja odreden vektorom v = ( 1, 1,3). Ovo će uzrokovati kretanje direktno ka vrhu grafa i jasno je da je mjera promjene rastuća. Medutim, ako se iz iste tačke krećemo u pravcu vektora v, onda silazimo niz graf, tj. mjera promjene je opadajuća. Obje ove mogućnosti naznačene su na slici crvenom bojom. Ako iz iste tačke krenemo u pravcu vektora w = ( 1,,0), vidimo da je putanja kretanja po elipsi x +y = 3, tj. obilazimo oko grafa, pa je nagib bez promjene, a time i mjera promjene je 0. Ova mogućnost kretanja je na slici prikazana zelenom bojom. Dakle, govoriti o nagibu na graf funkcije f u tački, zahtijeva specificirati pravac kretanja. z v x v X w w y Slika.1: Izvod u pravcu Kretanju na grafu iz tačke P(1,1,1), u pravcu vektora v, odgovara kretanje u domenu funkcije, iz tačke X u pravcu vektora v = ( 1, 1). Analogno, 9

32 .1. Izvod u pravcu kretanju u pravcu vektora w, odgovara kretanje iz X u pravcu w = ( 1,). Dakle, ukoliko se krećemo iz tačke X(1,1) u pravcu vektora u = v v = 1 (1,1), (normiranje vektora vršimo iz prostog razloga što se time pravac i smjer vektora ne mijenjaju, pa ćemo veličinu pomjeranja u pravcu takvog vektora diktirati sa veličinom h) tada izraz f(x +h u) f(x) h za proizvoljno h, će predstavljati aproksimaciju nagiba na graf funkcije f u tački X, u pravcu u. Uradimo malo računa. f(x +h u) f(x) = f (1 h,1 h ) f(1,1), ( = 4 1 h ) ( 1 h ) 1 = 3 3 (1 ) h+ h = 3 h 3h = h ( 3 3h Kao što smo to radili sa funkcijama jedne varijable, puštajući sada da h teži ka 0, dobili bi smo egzaktan nagib na graf, u tački A, u pravcu u. Iz gornjeg onda imamo f(x +h u) f(x) lim = lim h 0 h h 0 ( 3 3h ). ) = 3. Dakle, naš graf ima nagib od 3 (naravno da ova veličina izražava tangens ugla pod kojim se krećemo) ukoliko startujemo iz tačke X(1,1), u pravcu vektora u. Sličnimračunombidobilidajeupravcu unagib 3, odnosno u pravcu vektora w w = 1 ( 1,), 5 nagib je 0. 30

33 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Definicija.1.1 Neka je funkcija f : R n R definisana u nekoj otvorenoj kugli oko tačke X. Za dati vektor u, izraz D u f(c) = lim h 0 f(x +h u) f(x) h, (.1.) ukoliko limes postoji, nazivamo izvod u pravcu, funkcije f, u pravcu vektora u, u tački X. Primjer.1. Prema gornjem razmatranju, za funkciju f(x,y) = 4 x y je D u f(1,1) = 3, D u f(1,1) = 3, D w f(1,1) = 0.. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Kao što smo vidjeli iz gornjeg, za funkciju više varijabli ne možemo jednostavno govoriti o izvodu te funkcije, tj. možemo govoriti o izvodu ali pri tome moramo znati pravac kretanja, i tada ustvari govorimo o izvodu u pravcu. Pravac u kome nalazimo izvod funkcije više varijabli može biti proizvoljan, ali pravci odredeni baznim vektorima prostora domena su od posebne važnosti. Neka su e 1,e,...,e n standardni vektori baze prostora R n, e 1 = (1,0,0,...,0), e = (0,1,0,...,0) e n = (0,0,0,...,1). Posmatrajmo funkciju f : R n R f(x) = f(x 1,x,...,x n ), koja je definisana u nekoj okolini U A tačke A(a 1,a,...,a n ) R n. Razmotrimo za trenutak funkciju g : R R, uvedenu na sljedeći način g(t) = f(t,x,x 3,...,x n ), tj. definišemo je preko funkcije f, tako što počev od druge, sve varijable držimo fiksnim(ne mjenjamo ih), a samo prvu shvatimo kao varijablu. Dakle, tada je g funkcija jedne varijable pa na nju možemo primjeniti jednakost (.1.1), g g(x+h) g(x) (x) = lim. h 0 h 31

34 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Ali tada imamo g g(x 1 +h) g(x 1 ) (x 1 ) = lim h 0 h f(x 1 +h,x,...,x n ) f(x 1,x,...,x n ) = lim h 0 h = lim h 0 f((x 1,x,...,x n )+(h,0,...,0)) f(x 1,x,...,x n ) h f(x +he 1 ) f(x) = lim = D e1 f(x). h 0 h Vidimo da je izvod funkcije g u tački x 1 u stvari izvod u pravcu, funkcije f u tački X, u pravcu vektora e 1. Naisti načinsmomoglifiksirati proizvoljnu k-tupromjenljivu(k = 1,,...,n) funkcije f, tj. staviti da je g(t) = f(x 1,x,...,x k 1,t,x k+1,...,x n ) i zaključiti da bi vrijedilo g (x k ) = D ek f(x). Definicija..1 Neka je funkcija f : R n R definisana u nekoj okolini tačke A i neka je e k (k {1,,...,n}) k-ti vektor standardne baze u R n. Ukoliko postoji, izvod u pravcu D ek f(a) nazivamo parcijalni izvod funkcije f po promjenljivoj x k, u tački A. Naravno da smo pojam parcijalnog izvoda mogli uvesti i na mnogo formalniji način, uvodeći pojmove priraštaja. Definicija.. Neka je U A R n okolina tačke A(a 1,a,...,a n ) i X(x 1,x,...,x n ) U A proizvoljna. Razliku x k = x k a k ; k = 1,,...,n nazivamo priraštajem varijable x k, a razliku xk f(x) = f(x 1,...,x k + x k,...,x n ) f(x 1,...,x n ) nazivamo parcijalnimpriraštajemfunkcije f popromjenljivoj x k, utački X. 3

35 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Na isti način možemo definisati parcijalni priraštaj funkcije u proizvoljnoj tački A(a 1,...,a n ): xk f(a) = f(a 1,...,a k + x k,...,a n ) f(a 1,...,a n ). Primjećujemo da parcijalni priraštaj funkcije n promjenljivih dobijamo tako što vršimo promjenu samo jedne varijable dok ostale varijable držimo fiksnim. Definicija..3 Granična vrijednost xk f(a) f(a 1,...,x k,...,a n ) f(a 1,...,a n ) lim = lim, x k 0 x k x k a k x k a k naziva se parcijalnim izvodom funkcije f po promjenljivoj x k u tački A. Na analogan način definišemo parcijalni izvod u proizvoljnoj tački xk f(x) f(x 1,...,x k + x k,...,x n ) f(x 1,...,x n ) lim = lim. x k 0 x k x k 0 x k U različitim knjigama matematičke analize nalazimo razne oznake za parcijalne izvode, kao npr. f x f k ; f xk ; i sl.. x k Mi ćemo najčešće koristiti oznaku f x k, zato primjetimo da ovdje nismo koristili označavanje koje smo imali kod funkcije jedne promjenljive, tj. oznaku df dx. Razlogza toje činjenica da izraz f x k ni ukom slučaju nemožemo shvatiti kao dijeljenje ( f sa x) što je bio slučaj sa df dx (df = f (x)dx). Tehnika odredivanja parcijalnog izvoda se ni u čemu ne razlikuje od tehnike izračunavanja izvoda funkcije jedne promjenljive. Pri nalaženju parcijalnog izvoda po promjenljivoj x k, sve ostale promjenljive shvatamo kao konstante, a nalazimo izvod po x k, koristeći pravila i tablicu izvoda funkcija jedne promjenljive. Primjer.. Za funkciju f : R R, zadatu sa f(x,y) = xy, parcijalni izvodi su f f(x+ x,y) f(x,y) (x+ x)y xy (x,y) = lim = lim = y. x x 0 x x 0 x f f(x,y + y) f(x,y) x(y + y) xy (x,y) = lim = lim y y 0 y y 0 y 33 = x.

36 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Primjer.3. f(x,y) = sin(xy y). f x (x,y) = sin(xy y) x = cos(xy y) (xy y) x ( = cos(xy y) x (xy) ) x y = ycos(xy y). f y (x,y) = sin(xy y) y = cos(xy y) (xy y) y ( = cos(xy y) y (xy) ) y y = (x 1)cos(xy y). Primjer.4. Posmatrajmo funkciju f : R 3 R, f(x,y,z) = ln(x+yz). f x (x,y,z) = x ln(x+zy) = 1 x+zy x (x+zy) = 1 x+yz, f y (x,y,z) = y ln(x+yz) = 1 x+yz y (x+yz) = f z (x,y,z) = z ln(x+yz) = 1 x+yz z (x+yz) = Parcijalni izvodi u konkretnoj tački, npr. A(1, 1, ) bili bi z x+yz, y x+yz. f x (1,1,) = 1 3, f y (1,1,) = 3, f z (1,1,) = 1 3. Primjer.5. f(x,y) = x y. f x = y f y = y x x y x x y x x y y y y = y 0 y = 1 y, = 0 x y = x y. 34

37 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Kod funkcije jedne varijable y = f(x), ako je x = g(t), imali smo pravilo izvoda složene funkcije (pravilo kompozicijeili lančano pravilo) y = f(g(t)), koje glasi df dt = df dx dx dt. Pravilo kompozicije moramo takode imati i kod funkcija više varijabli. Pokazaćemo to pravilo za funkciju dvije varijable, a ono se lahko prenosi na funkcije sa n varijabli. Kao prvo razmotrimo slučaj kada je f funkcija dviju varijabli i g funkcija jedne varijable, tojest posmatrajmo slučaj kompozicije z = g(f(x,y)). z je ovisna o dvije varijable pa njene parcijalne izvode računamo po pravilu: z x = dg df f x, z y = dg df f y. Primjer.6. Neka je f(x,y) = x +y. Ona je kompozicija polinomijalne funkcije (x +y ) i korijene funkcije (funkcija jedne varijable). f x = 1 x +y x = x x +y, f y = 1 x +y y = y x +y. Primjer.7. Pravilo kompozicije možemo primjenjivati i u drugim situacijama. Npr. posmatrajmo šemu otpornika u paralelnoj vezi. R 1 R Ukupan otpor kola dat je sa 1 R = 1 R R + 1 R 3. (..1) R 3 U Dakle, ukupan otpor je funkcija tri varijable, R = R(R 1,R,R 3 ). Ako sada želimo naći parcijalne izvode po R i (i = 1,,3), onda to možemo uraditi izračunavajući otpor R eksplicitno iz formule (..1) R 1 R R 3 R =. R 1 R +R 1 R 3 +R R 3 Medutim, ako lijevu stranu u (..1) shvatimo kao kompoziciju racionalne funkcije ( 1 ) i naše funkcije R, onda direktno imamo R d 1 R R = 1 R R + 1 R 3, dr R 1 R 1 R 1 R 1 35

38 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal odakle je 1 R = 1, R R 1 R1 tj. R = R. R 1 R1 Analogno nalazimo parcijalne izvode po ostalim promjenljivima. Neka je z = f(x,y) i neka su i x i y funkcije nekog parametra t, tj. x = x(t) i y = y(t). Tada je funkcija z = f(x(t),y(t)), ustvari funkcija jedne varijable (t) i pri tome imamo: Ako su funkcije x(t) i y(t) diferencijabilne u t i ako je funkcija f diferencijabilna u tački (x(t), y(t)), tada vrijedi z x z z y x y dz dt = z dx x dt + z dy y dt. dx dt t dy dt Primjer.8. Neka je f(x,y) = sinx+cos(xy) i neka su x = t i y = t 3. Tada prema pravilu kompozicije imamo df = f dx dt x dt + f dy y dt = (cosx sin(xy)y)t+( sin(xy)x)3t = (cost t 3 sint 5 )t 3t 4 sint 5. Primjer.9. Pravougaonik ima dužinu 6 m i širinu 4 m. U svakoj sekundi dužina se poveća za 3 m, a širina za m. Odrediti promjenu površine pravougaonika u jednoj sekundi. m 4m P 6m 3m x - dužina pravougaonika y - širina pravougaonika P - površina pravougaonika t - vrijeme 36

39 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Dužina i širina pravougaonika su funkcije vremena, x = x(t) i y = y(t). Promjena dužine u jedinici vremena je dx = 3, a promjena širine u jedinici dt vremena je dy =. dt Površina pravougaonika je P(x,y) = x y, a zbog zavisnosti dužine i širine od vremena imamo P(x(t), y(t)) = x(t) y(t). Izračunajmo zavisnost površine o vremenu. dp dt = P dx x dt + P dy y dt = ydx dt +xdy dt. Stepen promjene površine u datom momentu je dp m (6,4) = = 4 dt s. Ukoliko su x i y zavisne od dvije varijable, tj. x = x(t,s) i y = y(t,s), tada pravilo kompozicije glasi: Ako funkcije x i y imaju parcijalne izvode prvog reda u tački (t,s) i ako je funkcija z = f(x,y) diferencijabilna u tački (x(t,s),y(t,s)), tada vrijedi x x t z x t x s z y t s z y y y s z t = z x x t + z y y t, z s = z x x s + z y y s. Primjer.10. Zadata je funkcija z = f(x,y) = x y i pri tome je x = ρcosφ, y = ρsinφ. Odrediti parcijalne izvode funkcije f po promjenljivima ρ i φ. f ρ = f x x ρ + f y y ρ = xcosφ+ysinφ = ρ(cos φ sin φ) = ρcosφ, f φ = f x x φ + f y y φ = x( ρsinφ)+yρcosφ = ρ cosφsinφ = ρsinφ. 37

40 .3. Gradijent.3 Gradijent Mnoge fizikalne veličine imaju različite vrijednosti u različitim tačkama prostora. Na primjer, temperatura u nekoj prostoriji nije jednaka u svim tačkama: zimi je visoka kraj izvora toplote, a niska pored otvorenog prozora. Električno polje oko tačkastog naboja veliko je pored naboja i smanjuje se kako se udaljavamo od naboja. Slično, gravitacijska sila koja djeluje na neki satelit zavisi od udaljenosti satelita od Zemlje. Brzina toka vode u nekom potoku velika je u uskim kanalima, a mala tamo gdje je potok širok. U svim ovim primjerima postoji neko područje prostora koje nam je posebno zanimljivo za problem koji rješavamo; u svakoj tački prostora neka fizikalna veličina ima svoju vrijednost. Izraz polje znači često i područje i vrijednost fizikalne veličine u tom području (npr. elektično polje, gravitacijsko polje). Ako je fizikalna veličina koju promatramo skalar (npr. temperatura), tada govorimo o skalarnom polju. Ako je fizikalna veličina vektor (npr. električno polje, brzina, sila) tada govorimo o vektorskom polju. Jedna od veličina koja karakteriše termin polja jeste pojam gradijenta. Definicija.3.1 Neka je funkcija f : R n R definisana u okolini U A tačke A i neka postoje f x k (A) za sve k = 1,,...,n. Vektor ( f f(a) = (A), f (A),..., f ) (A), x 1 x x n nazivamo gradijent funkcije f u tački A. U gornjoj definiciji posmatramo funkciju čije su vrijednosti skalari, za koju u primjenama kažemo da je skalarno polje, a definisana veličina bi onda imala naziv gradijent skalarnog polja. Korisno je primjetiti to da za funkciju f : R n R, njen gradijent je funkcija f : R n R n, tj. gradijent je funkcija čiji je ulaz n-dimenzionalna veličina (vektor), a izlazna je takode n- dimenzionalni vektor. Ovakve funkcije uobičajeno nazivamo vektorsko polje, a sa čime ćemo se susresti u narednim matematičkim izučavanjima. Vektorski operator (nabla) se u dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu (3D) definiše sa ( x, y, ) z = i x + j y + k z. 38

41 .3. Gradijent Kažemo da je to vektorski operator jer on funkciji f dodjeljuje veličinu f, po principu f = i f x + j f y + k f z. Primjer.11. Na osnovu Primjera., gradijent funkcije f(x,y) = xy je f(x,y) = (y,x), odnosno u konkretnoj tački je, npr. f(,7) = (7, ) = i +7 j. Primjer.1. Iz Primjera.4 imamo ( 1 f(1,1,) = 3, 3, 1 ) = i j + k. 3 Primjer.13. Zafunkcijuf(x,y) = 4 x y imamo f f (x,y) = 4x, (x,y) = x y y, pa je gradijent dat sa ( ) f f f(x,y) = (x,y), x y (x,y) = ( 4x,y). Konkretno u tački O(0,0) je f(0,0) = (0,0). Nije teško pokazati da za gradijent vrijede sljedeća pravila: 1. (kf) = k f, (k = const. ).. (f ±g) = f ± g. 3. (fg) = g f +f g. ( ) f g f f g 4. =. g g Gradijent skalarnog polja iznimno je važan u fizici gdje izražava vezu izmedu polja i potencijala (gravitacijska polja), odnosno sile i potencijalne energije (električna polja). Ako se neko polje E može u cijelosti opisati konkretnom funkcijom f(x) tako da je E = f(x), odnosno simbolički, polje = (potencijal), tada skalarnu funkciju f nazivamo njegovim potencijalom. Specijalno, ako se neka sila F može napisati kao negativni gradijent neke funkcije V, tada skalarnu funkciju V nazivamo potencijalnom energijom. 39