Statistička interpretacija entropije Funkcije stanja
|
|
- Τισιφόνη Μοσχοβάκης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Statistička interpretacija entropije Funkcije stanja
2 Entalpija - pogledajmo izobarni proces iz stanja 1 u stanje 2 - rad koji je obavio sustav dan je W = P dv = P dv = P V 2 V 1 - iz prvog zakona termodinamike dobivamo ( ) ( ) U 2 U 1 = Q P P V 2 V 1 ( U + PV ) ( U + PV ) = Q P Entalpija H = ( U + PV ) Entalpija je funkcija stanja (jer su U, P, V funkcije stanja) - za izobarni proces vrijedi: H 2 H 1 = ΔH = Q P C p = dq dt p = dh dt p ili dh = C p dt
3 Josiah Willard Gibbs ( ) - definicija entropije sustava kao mjeru stupnja izmiješanosti na atomskoj ili molekulskoj razini - entropija plinova je veća od entropije tekućina koja je pak veća od entropije kristala - fazni prijelaz: latentna toplina, entropija se povećava za q T ΔS = ΔH fazniprijelaz T f.p. Kako definirati stupanj izmiješanosti - odgovor na to daje statistička mehanika - osnovna pretpostavka: ravnotežno stanje sustava je jednostavno ono koje je najvjerojatnije od svih mogućih stanja - temelji leže u kvantnoj fizici
4 Koncept mikrostanja - QM: ukoliko je čestica ograničena na gibanje unutrar određenog volumena, njena energija je kvantizirana - čestica može imati samo određene diskretne vrijednosti energije koje su razdijeljene vrpcama zabranjene energije - razmak među kvantiziranih vrijednosti energije smanjuje se kako se povećava volumen koji stoji raspolaganju - energija postaje kontinuirana tek onda kada ne postoji ograničenje na položaj čestice - primjer: savršeni kristal, kod kojeg su svi čvorovi rešetke zauzeti jednakim česticama - najniža energija (energija osnovnog stanja) je ℇ0, a sve više su ℇ1, ℇ2, ℇ3, itd. - čestica ima n a ukupna energija je U Na koliko načina se može rasporediti n čestica na svim energetskim razinama a da je ukupna energija U? Koji je od tih načina najvjerojatniji?
5 Jednostavnosti radi, kristal se sastoji od 3 identične čestice na položajima A, B i C Energetske razine su ekvidistantne, osnovno stanje ℇ0=0, ℇ1=u, ℇ2=2u itd.; ukupna energija je U=3u - moguće raspodjele - detaljna raspodjela Ukupno postoji 10 načina na koji tri čestice možemo rasporediti na energijske razine tako da je ukupna energija sustava, U, jednaka 3u. Ovi načini nazivaju se mikrostanja a svih 10 načina čine jedno makrostanje.
6 - U, V i n su fiksni -> sva mikrostanja su jednako vjerojatna (p = 1/10) - deset mikrostanja pojavljuje se u 3 konfiguracije - vjerojatnost za a 1/10, za b 3/10 i za c 6/10 - najvjerojatnija je raspodjela c Fizikalno značenje: 1. u nekom trenutku vjerojatnost da je sustav u stanju c je 6/10 2. ukoliko se sustav promatra duže vrijeme, 6/10 vremena biti će u stanju c Broj mikrostanja (Ω) za n čestica od kojih je n0 na energetskoj razini ε1, n1 na ε2,, i nr na najvišoj razini εr je: Ω = n! n 0!n 1!n 2!...n r! = n! r Π n! i i=0 U našem slučaju: Ω( a) = 3! 0!3!0!0! = 1, Ω b ( ) = 3! 2!0!0!1! = 3, Ω c ( ) = 3! 1!1!1!0! = 6
7 Najvjerojatnija raspodjela svodi se na određivanje skupa brojeva n0, n1,, nr koji maksimiziraju Ω. ( ) Za velike ni koristi se Stirlingova aproksimacija ln X!= X ln X X lnω = nlnn n Uvjeti koji moraju biti zadovoljeni: r i=0 ( n i lnn i n ) i r 1. U = const = n 0 ε 0 + n 1 ε n r ε r = n i ε i i=1 r 2. n = const = n 0 + n n r = n r i=1 Bilo kakva zamjena čestica među energetskim razinama: 1. δu = ε i δ n i = 0 1 i ( ) ( ) 2. δ n = δ n i = 0 2 i 3. δ lnω = δ n i lnn i + n iδ n i n i δ n i = ( δ n lnn ) i i
8 Ukoliko Ω ima najveću moguću vrijednost tada mala preraspodjela čestica među energetskim razinama neće promijeniti Ω ili ln Ω. δ lnω = ( δ n i lnn ) i = 0 Uvjet da Ω ima najveću moguću vrijednost je istodobno zadovoljavanje tri prethodna uvjeta. Jednadžbe (1) i (2) množimo konstantama α i β: Zbrajanjem prethodnih relacija: βε i δ n i = 0, αδ n i = 0 ( lnn i + α + βε i )δ n i = 0 lnn i + α + βε i = 0 n = e α e βε i i n i = n = e α e βε i - zbroj po svih r energetskih razina e βε i = e βε 0 + e βε e βε r = P e α = n P Particijska funkcija! (određena s β i εi)
9 n i = ne βε i P - broj stanja po energetskim razinama Raspodjela koja maksimizira Ω (najvjerojatnija raspodjela) je ona kod koje se zauzeće energetskih razina eksponencijalno smanjuje s porastom energije. Oblik raspodjele određen je s β. β = 1 k B T kb je Boltzmannova konstanta k B = R N A = = J K
10 Utjecaj temperature T - porast temperature izaziva popunjavanje gornjih energetskih razina - to odgovara povećanju prosječne energije čestica U n ( ) - V i n su fiksni, ukupna energija raste n U = n i ε i = ε i e ε i P ε i e ε i k B T = UP n k B T = n P ε i e ε i k B T lnω = nln P + U k B T
11 - zamislimo sustav čestica u termičkoj ravnoteži s toplim spremnikom; U, V i n su fiksni - U = Usustav čestica + Utopli spremnik V = Vsustav čestica + Vtopli spremnik n = ukupan broj čestica - zbog termičke ravnoteže moguće su male izmjene energije: δ lnω = δu k B T (P ovisi samo o εi i T) Ukoliko je V = const. δu = δq izmjena energije = izmjena topline δ lnω = δq k B T, δq T = δ S δq δ S = δ lnω = k B T S = k B lnω Boltzmannova jednadžba - veza između entropije i stupnja izmiješanosti - Ω broj načina na koji se energija može podijeliti među česticama - najvjerojatnije stanje je ono gdje je Ω=max S = max
12 Konfiguracijska entropija i termička entropija Prethodni primjer: broj načina na koji se energija može raspodjeliti među česticama uz preraspodjelu termičke energije između dva sustava - termička entropija. Entropiju možemo gledati i preko broja načina na koji se čestice mogu rasporediti u prostoru - konfiguracijska entropija. Primjer: dva kristala, iste T i p, jedan sadrži atome A, drugi atome B. - ukoliko uspostavimo fizički kontakt dolazi do spontanog procesa difuzije atoma A u kristal B i obrnuto. - proces je spontan, entropija se stvara, i doći će do ravnoteže (entropija će biti max) kada su difuzijski procesi takvi da su svi gradijenti koncentracije u sustavu eliminirani. - ovo je prijenos mase ekvivalentan prijenosu topline kada toplina ireverzibilno prelazi između dva tijela dok god postoji gradijent temperature.
13 Ω 4:0 = 1 (međusobna zamjena atoma A na lijevoj strani i atoma B na desnoj strani ne mijenja konfiguraciju) Jedan atom A prelazi na desno, a B na lijevo: Ω 3:1 = 16 Drugi atom A prelazi na desno, a B na lijevo: Ω 2:2 = 36 Treći atom A prelazi na desno, a B na lijevo: Ω 1:3 = 16 Ω 0:4 = ! ! = 1 Sveukupno broj načina: 8! 4!4! = 70 Vjerojatnosti za nalaženje sustava u stanjima 0, 1, 2, 3 ili 4 su redom 1/70, 16/70, 36/70, 16/70, 1/70. Konfiguracija 2:2 je najvjerojatnija i odgovara ravnotežnom stanju. Entropija je maksimalna. S = k B lnω
14 U ovom slučaju porast entropije izazvan je povećanjem prostornih konfiguracija koji su postale dostupne sustavu nakon uspostavljanja kontakta između kristala A i B. To možemo pisati kao: ΔS conf = ΔS conf (2) ΔS conf ( 1) = k B lnω conf ( 2) k B lnω conf ( 1) = = k B ln Ω conf 2 Ω conf 1 ( ) ( ) Ω conf 2 ( ( ) = n A + n B )!, Ω n a!n b! conf ( 1) = 1 ( ΔS conf = k B ln n + n A B )! n a!n b! ukupna promjena konfiguracijske entropije Ukupna entropija sustava sastoji se od termičke entropije, Sth, koja dolazi od broja načina na koji se energija sustava može podijeliti među česticama, i konfiguracijske entropije, Sconf, koja dolazi od broja načina na koji čestice mogu popuniti dostupan prostor.
15 Ukupna entropija: S total = S th + S conf = k B lnω th + k B lnω conf = k B lnω th Ω conf Broj prostornih konfiguracija koji su dostupni aranžmanu od dva zatvorena sustava koji su u termičkom kontaktu je 1. U tom slučaju jedina promjena entropije je zbog termičke entropije. ΔS total = k B ln Ω th( 2) Ω conf ( 2) = k B ln Ω th( 2) = ΔS th Ω th( 1) Ω conf ( 1) Ω th( 1) Jednako tako, ukoliko miješamo čestice A s česticama B, a bez preraspodjele čestica po energetskim razinama (Ωth(1)=Ωth(2)) mijenja se jedino konfiguracijska entropija. Ovo se naziva idealno miješanje i nužan uvjet je da je kvantizacija energije jednaka u kristalu A i kristalu B. To je češće iznimka nego pravilo. U svim slučajevima, ravnotežno stanje sustava je ono koje, pri konstantnim U, V i n maksimizira umnožak Ωth Ωconf.
16 Funkcije stanja Kombiniranjem 1. i 2. zakona termodinamike: du = TdS PdV Time su definirani i uvjeti za ravnotežu: 1. U sustavu s konstantnom unutrašnjom energijom i volumenom, entropija ima maksimalnu vrijednost, 2. U sustavu s konstantnom entropijom i volumenom, unutarnja energija ima minimalnu vrijednost. No, S i V su nespretan izbor za nezavisne varijable. Premda se V može relativno lako izmjeriti i kontrolirati, entropiju ne možemo niti jednostavno mjeriti, niti kontrolirati. U tu svrhu definiraju se dodatne termodinamičke funkcije H (entalpija), A (Helmoltzova slobodna energija), G (Gibbsova slobodna energija) i μi (kemijski potencijal tvari i). A = U TS, G = U + PV TS = H TS H = U + PV
17 Entalpija Za zatvoreni sustav kojem se mijenja stanje pri konstantnom tlaku P, od stanja 1 do stanja 2, 1. Z.T. daje: U 2 U 1 = Q p P( V 2 V ) 1 ( U 2 + PV ) 2 ( U 1 + PV ) 1 = Q p ΔH = H 2 H 1 = Q p Kada zatvoreni sustav prolazi kroz promjenu stanja pri konstantnom tlaku, promjena entalpije jednaka je toplini koju sustav izmjenjuje s okolinom. Helmholtzova slobodna energija A ( A 2 A ) 1 = ( U 2 U ) 1 ( T 2 S 2 T 1 S ) 1 Q W ( A 2 A ) 1 = Q W ( T 2 S 2 T 1 S ) 1 T=const Q T ( S 2 S ) ( 1 A 2 A ) 1 W
18 Može se pokazati da vrijedi ( A 2 A ) 1 + T ΔS irr = W - pri reverzibilnom izotermičkom procesu rad koji je obavio sustav je upravo jednak smanjenju Helmholtzove slobodne energije - pri izohornom izotermičkom procesu vrijedi odnosno, za promjenu tog procesa da + TdS irr = 0 ( A 2 A ) 1 + T ΔS irr = 0 - budući da se entropija povećava prilikom svakog spontanog procesa očito je da se A tada smanjuje - budući da je promjena entropije 0 prilikom reverzibilnog procesa tada je da = 0 U zatvorenom sustavu koji se drži na konstantnoj temperaturi i volumenu, Helmholtzova slobodna energija se može jedino smanjivati ili biti konstantna, i ravnoteža je postignuta kada A poprima minimalnu vrijednost. Herman von Helmholtz ( )
19 Promjena stanja sustava iz 1 u 2: Gibbsova slobodna energija G ( G 2 G ) 1 = ( H 2 H ) 1 ( T 2 S 2 T 1 S ) 1 = ( U 2 U ) 1 + ( P 2 V 2 P 1 V ) 1 ( T 2 S 2 T 1 S ) 1 ( G 2 G ) 1 = Q W + ( P 2 V 2 P 1 V ) 1 ( T 2 S 2 T 1 S ) 1 - gledamo proces gdje je T=const. i P=const. ( G 2 G ) 1 = Q W + P( V 2 V ) 1 T ( S 2 S ) 1 W je ukupan rad koji obavio sustav, ili je obavljen na njega. Osim rada ekspanzije protiv vanjskog tlaka on može sadržavati kemijski ili električni rad! W = W + P( V 2 V ) 1 ( G 2 G ) 1 = Q W T ( S 2 S ) 1 Kao i kod Helmholtzove energije, možemo pisati ( G 2 G ) T ΔS irr = W
20 - u slučaju izotermnog i izobarnog procesa, za vrijeme kojeg se obavlja samo P-V rad (w =0): ( G 2 G ) 1 + T ΔS irr = 0 - takav proces odvija se spontano (povećanje entropije) jedino ukoliko se Gibbsova energija smanjuje - kako je uvjet za termodinamičku ravnotežu dsirr=0, mala promjena izotermnog izobarnog procesa koji se odvija u ravnoteži nužno zahtijeva uvjet dg=0 Za sustav koji prolazi kroz proces pri konstantnoj T i P, Gibbsova energija može se samo smanjivati ili biti konstantnom, a ravnoteža se postiže kada sustav ima minimalnu vrijednost G (za dane P i T) Josiah Willard Gibbs ( ) - američki matematičar
21 Sažetak jednadžbi za zatvoreni sustav 1. ZTD du = TdS PdV H = U + PV dh = TdS + VdP A = U TS da = SdT PdV G = H TS dg = SdT + VdP A - thermodynamic square - thermodynamic wheel - Guggenheim scheme - Born square
22 Varijacije sastava i veličine sustava Do sada smo proučavali zatvorene sustave fiksne veličine i sastava; dovoljne su bile dvije nezavisne varijable koje, kada su fiksne, na jedninstven način definiraju stanje sustava. To se mijenja ukoliko se veličina i sastav mijenjaju - dvije varijable više nisu dovoljne. Npr. Gibbsova slobodna energija je funkcija i broja molova svih sastavnih komponenti G = G T,P,n i,n j,n k,... ( ) dg = G T dt + P,n i,nj... G P dp + T,n i,nj... G n i T,P,nj... dn i... dg = SdT + VdP + k i=1 G n i T,P,nj... dn i Kemijski potencijal komponente i G n i T,P,n j... = µ i
23 du = δq δw, δq = TdS δw = PdV + µ i dn i i Kemijski potencijal komponente i u homogenoj fazi je brzina povećanja G s ni kada se komponenta i dodaje u sustav pri konstantnoj temperaturi, tlaku i broju molova ostalih komponenti. Termodinamičke diferencijale sad možemo pisati: dg = SdT + VdP + du = TdS PdV + dh = TdS + VdP + da = SdT PdV + k i=1 k i=1 k i=1 µ i dn i µ i dn i µ i dn i k i=1 µ i dn i Jer vrijedi: G n i = µ i = U n T,P,n j i = H n S,P,n j i = A n S,P,n j i T,V,n j W kemijski rad
24 Iz prethodnih relacija možemo izvesti termodinamičke relacije: T = U S P = U V V = H P V,comp S,comp S,comp S = A T V,comp = H S P,comp = A V T,comp = G P T,comp = G T P,comp
25 Schwartzov teorem: 2 f x i x j ( a 1,...,a n ) = 2 f x j x i ( a 1,...,a n ) T V T P S V S P S S T S = P S = V S = P T V Maxwellove jednadžbe P V = V T Važnost leži u činjenici da sadrže lako mjerljive veličine! Jednako možemo gledati i promjene u sastavu P
26 Primjer: Entropija S = S T,V ( ) ds = S T V dt + Sjetimo se toplinskog kapaciteta pri V=const TdS = δq V = du = nc V dt S V T dv 1. S T V = nc V T 2. S V T = P T V ds = nc V T dt + P T V dv JIP P T V = nr V ds = nc V T dt + nr V dv Integriramo: S 2 S 1 = nc V ln T 2 T 1 + nrln V 2 V 1
27 G = H TS G T P = S Gibbs-Helmholtzova jednadžba G = H + T TdG GdT T 2 dg dt = HdT T 2 ili GdT = HdT + TdG d( x y) = ( ydx xdy) y 2 P=const. d( G T ) dt d( ΔG T ) dt = H T 2 Gibbs-Helmholtzova jednadžba = ΔH T 2 - primjenjiva je na sustave s nepromjenjivim sastavom - iznimno bitna formula jer omogućava eksperimetnalno mjerenje G i H Na isti način: A = U TS = U + T A T V d( A T ) dt = U d( ΔA T ) T 2 dt V=const. = ΔU T 2
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραU unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA
HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραOpća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραReverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραPRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE
PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE TERMODINAMIČKI SUSTAVI - do sada smo proučavali prijenos energije kroz mehanički rad i kroz prijenos topline - uvijek govorimo o prijenosu energije u ili iz specifičnog
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότερα12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016.
12 SKUPIN ZDK IZ FIZIKE I 6 linja 2016 Zadatak 121 U osudi - sremniku očetnog volumena nalazi se n molova dvoatomnog lina na temeraturi rema slici) Plin izobarno ugrijemo na temeraturu, adijabatski ga
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena
13. TERMODINAMIKA - dio fizike koji proučava vezu izmeñu topline i drugih oblika energije (mehanički rad) - toplinski strojevi: parni stroj, hladnjak, motori s unutrašnjim izgaranjem - makroskopske veličine:
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραA B C D. v v k k. k k
Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραTermodinamički zakoni
Termodinamički zakoni Stanje sistema Opisano je preko varijabli stanja tlak volumen temperatura unutrašnja energija Makroskopsko stanje izoliranog sistema može se specificirati jedino ako je sistem u unutrašnjoj
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραKoličina topline T 2 > T 1 T 2 T 1
Izvršeni rad ermodinamički sustav može vršiti rad na račun unutrašnje energije. Smatramo da je rad pozitivan ako sustav vrši rad, odnosno da je negativan ako se rad vrši nad sustavom djelovanjem vanjskih
Διαβάστε περισσότεραBIOFIZIKA TERMO-FIZIKA
BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA Akademik, prof. dr Jovan P. Šetrajčić jovan.setrajcic@df.uns.ac.rs Univerzitet u Novom Sadu Departman za fiziku PMF Powered byl A T E X 2ε! p. / p. 2/ Termika FENOMENOLOŠKA TEORIJA
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραSustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016.
17. prosinca 2016. Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα4. Termodinamika suhoga zraka
4. Termodinamika suhoga zraka 4.1 Prvi stavak termodinamike Promatramo čest suhoga zraka mase m. Dodamo li česti malu količinu topline đq brzinom đq / dt, gdje je dt diferencijal vremena, možemo primijeniti
Διαβάστε περισσότεραUvod u termodinamiku
Uvod u termodinamiku «Uvod u statističku fiziku» Ivo Batistić ivo@phy.hr Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2006/2007 Pregled predavanja Osnovni pojmovi Termodinamičko stanje Termodinamički
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραRad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραTEHNIČKA TERMODINAMIKA
UVOD TEHNIČKA TERMODINAMIKA dr. sc. Dražen Horvat, dipl.ing. Zagreb, ožujak 2006. TERMODINAMIKA = znanost o energiji ENERGIJA = sposobnost da se izvrši rad ili mogućnost da se uzrokuju promjene PRINCIP
Διαβάστε περισσότεραΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-IV ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ - ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ
ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-IV ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ - ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας,
Διαβάστε περισσότεραMoguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Ι. Ενότητα 6: Εντροπία. Σογομών Μπογοσιάν Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Ι Ενότητα 6: Εντροπία Σογομών Μπογοσιάν Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι η περιγραφή των ορισμών και των θεμελιωδών εννοιών και η
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότερα