Vajerxtrasova reprezentacija minimalnih povrxi

Transcript

1 Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Master rad Vajerxtrasova reprezentacija minimalnih povrxi Autor: Mentor: dr Mirjana ori septembar 011.

2 Sadraj Predgovor 1 Istorijski osvrt i motivacija 3 Klasiqne minimalne povrxi u R Definicije minimalnih povrxi Primeri minimalnih povrxi Neke osobine minimalnih povrxi Izotermalne koordinate 4 Vajerxtrasova reprezentacija Lokalna Vajerxtrasova reprezentacija Globalna Vajerxtrasova reprezentacija Bjorlingova formula 49 6 Noviji rezultati 53 Biografija

3 Predgovor U ovom radu izloeni su osnovi teorije dvodimenzionalnih minimalnih povrxi. U prvom poglav u prikazan je kratak istorijski razvoj ove tematike, sa posebnim akcentom na tome gde se sve pojav uju minimalne povrxi i odakle potiqe motivacija za ihovo prouqavae. Klasiqni primeri minimalnih povrxi prikazani su u drugom poglav u i prvenstveno istaknute one u klasama rotacionih, pravolinijskih i Monovih povrxi. Uvoee izotermalnih koordinata na povrxi je osnov za izuqavae ovih povrxi i to je izloeno u treem poglav u. Date su formule u ovim koordinatama, uveden je pojam minimalne krive i u novim terminima preformulisani neki dobijeni rezultati. Qetvrto poglav e, koje predstav a glavni deo rada, sadri prvo lokalni oblik Vajerxtrasove reprezentacije minimalne povrxi, ilustrovan kroz primere iz drugog poglav a. Time su dobijene neke informacije o geometriji tih povrxi, xto je i bio jedan od ci eva rada. Nakon toga ukratko je prikazano kako se prelazi na globalnu verziju reprezentacije, samo na sluqaju orijentabilnih povrxi. Bjorlingova formula, prikazana u petom poglav u, daje naqin za generisae novih minimalnih povrxi sa unapred zadatim uslovima. U posled- em, xestom poglav u, opisan je metod deformacije minimalnih krivih i egova veza sa minimalnim povrxima. Zahva ujem se svom mentoru dr Mirjani ori na velikoj podrxci, razumevau i pomoi tokom pisaa ovog rada. Takoe, zahva ujem se qlanovima komisije dr Miroslavi Anti i dr Sranu Vukmiroviu na brojnim korisnim primedbama i pa ivom qitau rada, kao i Tijani Xukilovi na pomoi oko crtaa slika u programu Mathematica. - -

4 1 Istorijski osvrt i motivacija Teorija minimalnih povrxi razvija se od 18. veka do danas, koristei aparat diferencijalne geometrije, kompleksne analize, parcijalnih diferencijalnih jednaqina i varijacionog raquna. Spoj ihove bogate matematiqke strukture i praktiqnog znaqaja u drugim naukama zainteresovali su neke od najveih nauqnika ovog vremena. Poqeci ove teorije mogu se pronai u radovima Ojlera iz i Lagrana iz Ojler je pokazao da je katenoid minimalna povrx, dok je Lagran prvi doxao do parcijalnih jednaqina koje funkcija oblika z = f(x, y (tzv. Monova povrx mora da zadovo ava da bi en grafik odreivao minimalnu povrx. Ovo su bili prvi netrivijalni primeri, nakon povrxi koja predstav a deo ravni Mejsner 1 je dokazao da je i helikoid minimalna povrx. Matematiqki svet je morao da qeka jox 50 godina za nove primere minimalnih povrxi, i to Xerkovu minimalnu povrx, Xerkovu petu minimalnu povrx, kao i familiju povrxi koja predstav a izometriqnu deformaciju izmeu helikoida i katenoida Vajerxtras je napravio veliki pomak objavivxi svoju formulu koja je omoguila generisae novih primera minimalnih povrxi iz ve postojeih. Danas je ispitivae minimalnih povrxi tesno povezano sa upotrebom raqunara i vizuelizacijom jer nam omoguavaju diskretno zadavae minimalnih povrxi i izvoee 'eksperimenata' u raznim softverskim okru- eima. Upravo tako je otkrivena fascinantna Kostina minimalna povrx ne tako davne godine. Zamislimo jedan jednostavan kuhiski ekperiment: u sapunicu zaronimo proizvo nu zatvorenu konturu naprav enu od metalne ice. Kada pa ivo izvuqemo konturu napo e, vidimo da je nad om razapeta povrx od sapunice. Iako kraje jednostavan, ovaj eksperiment praktiqno rexava matematiqki problem nalaea povrxi najmae povrxine meu svim dovo no bliskim povrxima sa zadatom granicom (na primer icom. Naime, priroda tei da minimizuje potencijalnu energiju povrxi, koja je proporcionalna povrxini sapunice. Dakle, formirana povrx u stau stabilne ravnotee zaista ima minimalnu povrxinu, odakle i potiqe naziv minimalne povrxi. Fiziqar Plato prvi je izvodio mnoge eksperimente sa sapunicom sredinom 19. veka. On je formulisao 4 postulata koji opisuju singularitete koje moe imati ovakva povrx od sapunice u ravnotenom stau. Postoje dva tipa: 1 glatka singularna ivica po kojoj se seku tri singularne ravni, svake dve pod uglom od 10 ; singularna taqka u kojoj se spajaju qetiri glatke singularne ivice, pri qemu je 1 Jean Babtiste Meusnier de la P lace ( , francuski matematiqar Joseph Antoine F erdinand P lateau ( , belgijski fiziqar - 3 -

5 ugao izmeu svake dve od ih priblino (ugao qiji je kosinus 1 3. Najbo i primeri ovih singulariteta vide se kod minimalnih povrxi razapetih nad granicom tetraedra i kocke, redom. Treba biti pa iv sa terminologijom jer ovo nisu primeri regularnih povrxi u smislu diferencijalne geometrije. Platoova precizna merea raznih povrxi koristila su kasnije kao potvrda mnogih teorijskih rezultata. Odatle je proistekla hipoteza: Da li za proizvo nu zatvorenu prostornu krivu koja nema samopreseka postoji minimalna povrx qija je to granica? Problem pronalaea takve povrxi se zato naziva Platoov problem. Kompletan matematiqki dokaz ovog problema prvi je objavio Daglas i nezavisno od ega Rado 4, koristei potpuno nov matematiqki aparat, tzv. varijacioni raqun qiji se naziv prethodnih 00 godina vezivao za Lagranovo delo. Preciznije, oni su dokazali da postoji minimalna povrx koja minimizuje povrxinu i qija je granica proizvo na ordanova kriva, a oblast parametara jediniqni disk (granica diska slika se na krivu. Godine 1936, Daglas je za svoj poduhvat nagraen Fildsovom meda om. Dokaz ovog problema ne opisuje geometrijske osobine te povrxi i ne daje naqin kako se ta povrx efektivno nalazi, xto je otvorilo nova pitaa i pravce istraivaa. Pored egzistencije, moe nas zanimati jedinstvenost rexea ovog problema. Na ovo pitae odgovor je negativan, a jedan od primera je tzv. Daglasova kontura. Povrxi od sapunice su samo jedan od primera gde se minimalne povrxi pojav uju. Bilo kakve membrane izmeu homogenih medija/sredina u prirodi imaju priblino oblik minimalnih povrxi: elijske membrane, membrana sredeg uha, razni oblici kristala... Ako granicu izmeu dva homogena medija tretiramo kao povrx (jer nema deb inu, ena sreda krivina H je proporcionalna razlici pritisaka tih medija i rezultujui pritisak je u smeru normale na povrx. Ovo opisuje tzv. Laplas-Jangova jednaqina ( 1 p = γ R R, (1 gde je p razlika pritisaka sa razliqitih strana povrxi, γ povrxinski napon teqnosti (konstanta vezana za povrx jednaka energiji povrxi po jedinici povrxine, eng. surface tension, a R 1 i R glavni polupreqnici krivine u dva normalna glavna pravca (moemo smatrati da je proizvo no mali deo povrxi ograniqen delovima krugova ovih polupreqnika. Prema tome, sreda krivina povrxi je H = 1 R R, 3 Jesse Douglas ( , ameriqki matematiqar 4 T ibor Radó ( , maarski matematiqar - 4 -

6 pa jednaqina (1 postaje p = γh. Za povrx od sapunice vai p = 0, pa je H 0. Ovo uzimamo za osnovnu definiciju minimalne povrxi, a u narednom poglav u emo videti vezu izmeu prethodnog opisa i ihovog naziva. U vezi sa minimalnim povrxima svakako bi trebalo pomenuti i povrxi konstantne srede krivine H const (tzv. CMC surfaces, qiji su osnovni primeri mehurovi od sapunice, kod kojih je razlika unutraxeg i spo ax- eg pritiska na sapunicu konstantna. Minimalne povrxi se zahva ujui mexavini estetskih i praktiqnih osobina qesto mogu susresti i u arhitekturi. Zbog minimiziraa povrxine one znaqajno smauju koliqinu utroxenog materijala i samim tim veoma su lake. Najqexe se upotreb avaju za lake krovne i xatoraste konstrukcije i imaju oblik ogromnih povrxi od sapunice sa odreenom granicom, koje su zbog stabilnosti fiksirane u nekim taqkama. Arhitekta Oto Frej 5 je na taj naqin konstruisao krovove Olimpijskog stadiona u Minhenu, Kongresne dvorane u Berlinu, kao i pavi on Zapadne Nemaqke na prestinoj izlobi Expo 67 odranoj u Montrealu. Meutim, minimalne povrxi su popriliqno 'ravne' povrxi za arhitekte, pa su ponekada podlone podrhtavau od vetra i snega. Qesto se upotreb ava i hiperboliqki paraboloid (primer linijske povrxi kao priblini model minimalne povrxi, iako to naravno nije minimalna povrx. 5 F rei P aul Otto (195, nemaqki arhitekta i ineer - 5 -

7 Klasiqne minimalne povrxi u R 3.1 Definicije minimalnih povrxi Sada emo pokazati vezu izmeu pomenutih definicija minimalne povrxi. Neka je M povrx u R 3 zadata parametrizacijom r : U M. Nada e podrazumevamo Lagranovu definiciju iz godine kojom se minimalne povrxi karakterixu sredom krivinom koja je identiqki jednaka nuli. Formula za sredu krivinu u terminima koeficijenata prve i druge fundamentalne forme je H = eg ff + ge (EG F. ( Prednost ove definicije je u tome xto je lokalna jer se sreda krivina definixe u taqki, za razliku od druge definicije kao povrxi koja minimizuje povrxinu jer tada moramo porediti povrxinu cele povrxi sa oj bliskim povrxima. Takoe, ne zavisi od graniqne krive i samim tim povrxi bez granice mogu takoe biti minimalne. Mana je u tome xto nije odmah jasno da li je definicija geometrijsko svojstvo povrxi, odnosno da li e se promeniti ako odaberemo neku drugu parametrizaciju. Definisaemo familiju povrxi M(t koje nastaju malim promenama povrxi M u pravcu normalnom na povrx. Oznaqimo sa A(t povrxinu povrxi M(t. Podsetimo se da je povrxina dela povrxi r(q za proizvo an kompaktan skup Q U zadata formulom r u r v dudv. Q Definicija.1. Neka je h : Q R diferencijabilna funkcija i ε > 0 proizvo no. Normalna varijacija povrxi r zadata funkcijom h je preslikavae r : ( ε, ε Q R 3 odreeno sa za (u, v Q i t ( ε, ε. r(t, u, v = r(u, v + th(u, vn(u, v (3 Pokaimo prvo da je ovo zaista regularna parametrizacija za dovo no malo ε. Diferencirajui (3 po u i v dobijamo r u = r u + th u n + thn u r v = r v + th v n + thn v. Uz standardne oznake koeficijenata prve forme, vai E(t = r u r u, F (t = r u r v, G(t = r v r v. Specijalno je E = E(0, F = F (0, G = G(0. Nakon kraeg raquna - 6 -

8 imamo E(t = (r u + th u n + thn u (r u + th u n + thn u = E + thr u n u + O(t = E the + O(t. Sliqno se dobijaju i ostali koeficijenti Determinanta prve forme iznosi I(t = E(tG(t F (t F (t = F thf + O(t, G(t = G thg + O(t. = (E the + O(t (G thg + O(t (F thf + O(t = EG F th(eg F f + Ge + O(t = (EG F (1 4thH + O(t. (4 Kako je I neprekidna funkcija promen ive t i I(0 = EG F > 0, postoji dovo no malo ε > 0 tako da je I(t > 0 za t < ε. Prema tome, za dovo no malo ε normalna varijacija date povrxi je opet regularna parametrizovana povrx. Povrxina r(q data je formulom A(t = E(tG(t F (t dudv. Lema.1. Vai A (0 = pri qemu je H sreda krivina povrxi M. Dokaz. Koristei (4 dobijamo Q Q hh EG F dudv, (5 E(tG(t F (t = (EG F (1 4thH + O(t odakle je da e = EG F (1 4thH + O(t = EG F (1 thh + O(t, ( A(t = EG F (1 thh + O(t dudv Q = EG F dudv t Q Q hh EG F dudv + O(t. (6 Diferencirajui (6 po t i zameujui t = 0 dobijamo traenu formulu

9 Teorema.1. Neka je r : U R 3 regularna parametrizovana povrx i Q U kompaktan skup. Tada je povrx r minimalna na Q akko je A (0 = 0 za normalnu varijaciju povrxi r u odnosu na proizvo nu h : Q R. Dokaz. Ako je H 0, onda na osnovu (5 dobijamo A (0 = 0 za proizvo nu h. Obrnuto, pretpostavimo da je A (0 = 0 za proizvo nu diferencijabilnu funkciju h i da postoji taqka q Q u kojoj je H(q 0. Tada moemo nai okolinu V taqke q u kojoj je H(u 0, neka je bez umaea opxtosti H(u > 0 za u V. Moemo odabrati glatku funkciju h takvu da je h(q > 0, h(u 0 za sve u i h(u = 0 van V. Tada je integral na desnoj strani (5 negativan, xto povlaqi A (0 < 0. Kontradikcija! Dakle H(q = 0, i poxto je q proizvo no, r je minimalna. Primetimo da nemamo nikakvu informaciju o A (0, tj. minimalna povrx, iako je kritiqna taqka funkcionala povrxine, ne mora zaista biti i lokalni minimum. Dovo no male delove minimalnih povrxi koje su zaista lokalni minimumi funkcionala povrxine moemo realizovati pomou ice koja odgovara ihovoj granici i sapunice. One minimalne povrxi koje su samo sedlaste kritiqne taqke funkcionala ne moemo realizovati na pomenuti naqin jer predstav aju staa nestabilne ravnotee potencijalne energije i zovemo ih nestabilnim mimimalnim povrxima. Naime, male deformacije tako formirane povrxi odmah bi dovele do enog puca- a, dok bi se kod onih u stabilnoj ravnotei deformisana povrx odmah vratila u svoj prvobitni poloaj (lep primer videemo uskoro kod katenoida. Takoe, intuitivno je jasno da je bilo koju povrx u R 3 konaqne povrxine uvek mogue ovako deformisati tako da se ena povrxina povea. Prema tome, minimalne povrxi ne mogu biti taqke lokalnog maksimuma funkcionala povrxine, tj. nema smisla definisati maksimalne povrxi. Napomenimo jox nexto: ako bismo umesto normalne varijacije povrxi, odnosno one deformacije kod koje se svaka taqka pomera malo u pravcu normale, posmatrali deformacije sa dovo no malim kompaktnim nosaqem na kome se odvija normalna varijacija, minimalne povrxi bi zaista bile lokalni mimimumi pridruenom funkcionalu, odnosno zaista bi minimizovale povrxinu. Upravo ovo je sluqaj kod povrxi qija je granica unapred zadata kriva. Povrxi konstantne srede krivine su takoe kritiqne taqke istog funkcionala, ali su dozvo ene deformacije samo one koje quvaju zapreminu (deta nije u [3]. Naravno, suavaem dozvo enih deformacija poveali smo broj kritiqnih taqaka, tj. povrxi jer sada u obzir dolaze i povrxi konstantne nenula srede krivine koje nisu minimalne, pa samim tim nisu kritiqne taqke funkcionala povrxine na prostoru svih normalnih varijacija

10 Neka je J(r = Q L(u, v, r(u, v, r u (u, v, r v (u, vdudv funkcional povrxi M zadate parametrizacijom r : Q R 3, pri qemu je Lagranijan L definisan na tangentnom raslojeu T M. Podrazumevamo da je skup Q kompaktan, sa glatkom ili deo-po-deo glatkom granicom C, kao i da J = J(r pripada vektorskom prostoru F svih glatkih vektorskih funkcija na Q. Posmatrajmo varijaciju r(ε, u, v = r(u, v + εη(u, v sa fiksiranom granicom η C = 0. Kako je ε = 0 oqigledno lokalni minimum funkcije J(r(ε, u, v, posmatrane kao funkcije jedne promen ive ε, vai lim J(r + εη ε ε=0 = 0. Izvod moe ui pod integral, pa dobijamo Q ( L r η + L η u + L η v dudv = 0. r u r v r u, posleda dva qlana inte- Ako u Grinovoj teoremi odaberemo P = η L grala nam zbog η C = 0 daju Prema tome Q ( L r u η u + L r v η v Q [ L η r dudv = r v i Q = η L Q J(r + εη J(r = ε 0 ϵ [ ] L η r u u + L dudv. r v v ] L r u u L dudv = 0. (7 r v v Sliqno kao u dokazu Teoreme (.1, da bi formula (7 vaila za proizvo nu funkciju η koja zadovo ava uslov η C = 0, izraz u zagradama mora biti identiqki jednak nuli. Upravo to je tzv. Ojler-Lagranova jednaqina L r u ( L r u v ( L = 0. r v Ako je J = A(r funkcional povrxine zadat Lagranijanom L(u, v, r(u, v, r u (u, v, r v (u, v = L(r u, r v = (r u, r u (r v, r v (r u, r v i r(u, v = (r 1 (u, v, r (u, v, r 3 (u, v ekstremum tog funkcionala, tada Ojler-Lagran{ ova jednaqina postaje u ( L r i u + v ( L = 0, i = 1,, 3. (8 r i v Sliqno kao kod geodezijskih linija i funkcionala duine, Ojler-Lagranove jednaqine nam daju potreban uslov pri kome neka povrx (samo lokalno minimizuje povrxinu. Kao posledica ovih formula moe se direktno dobiti tei smer Teoreme (.1, ali su nam potrebne specijalne koordinate na povrxi o kojima e biti reqi u narednom poglav u

11 Slika 1: Eneperova povrx. Primeri minimalnih povrxi Ravan Trivijalan primer minimalne povrxi je deo ravni (npr. z = 0 i dobija se od sapunice ako je kriva od ice ravanska. Eneperova minimalna povrx Ovo je jedna od najjednostavnijih minimalnih povrxi u R 3 jer je ena parametrizacija polinomna. Otkrio ju je Eneper godine. r(u, v = (u u3 3 + uv, v v3 3 + vu, u v, (u, v R. Uprkos svojoj jednostavnoj definiciji, ova povrx ima 'rupu' u sredini i samopreseke, odnosno nije regularna parametrizovana povrx (bie ako uzmemo dovo no mali deo ravni, na osnovu teoreme o implicitnoj funkciji. Prva forma povrxi r je ds = (u + v + 1(du + dv, druga forma je (du dv, glavne krivine su λ 1 = λ = (u + v + 1, pa je H = 0 i povrx je minimalna. Implicitna jednaqina ove povrxi je ( y x z Katenoid + z y = 6( x 1 4z 4 (x + y z +, z 0. 9 Katenoid je rotaciona povrx koja se dobija rotacijom lanqanice x = 1 a oko z ose. ena parametrizacija (za a = 1 je cosh az r(u, v = (cosh u cos v, cosh u sin v, u, (u, v R (0, π. 6 Alfred Enneper ( , nemaqki matematiqar

12 Prva forma povrxi je ds = cosh v(du + dv, druga forma je du dv i koristei formulu (, dobijamo H = 0. Dokaimo da je katenoid jedina rotaciona povrx, pored ravni, koja je minimalna. Pretpostavimo da imamo standardnu parametrizaciju r(u, v = (f(u cos v, f(u sin v, g(u, gde profilna kriva u (f(u, 0, g(u lei u xz ravni, prirodno je parametrizovana i f > 0. Jednostavnim raqunom dobijaju se prva i druga forma povrxi du + f(u dv i (f g f g du + fg dv, kao i H = 1 (f g f g + g f Pretpostavimo da za neko u = u 0 vai g (u 0 0. Tada je g (u 0 u nekoj okolini taqke u 0. Neka je u (α, β najvei takav interval. Zbog uslova prirodne parametrizacije f + g = 1 dobijamo f g f g = f g, odakle je H = 1 ( g f f g. Prema tome, ova povrx je minimalna akko je 1 f = g = ff, tj. ako glatka funkcija f > 0 zadovo ava diferencijalnu jednaqinu Uvodei smenu f = h dobijamo f = dh fh dh ff = 1 f. dt = dh df df = 1 h. Zbog g 0 je h 1, pa moemo integraliti hdh 1 h = df f, 1 1 h = af,. df dt = hdh i prethodna jednaqina postaje df h = a f 1, af gde je a 0 konstanta (izbacili smo ± jer znak moemo promeniti zamenom u sa u ako je neophodno. Vraajui smenu h = df i integralei ponovo imamo afdf a f 1 du = du, f = 1 a 1 + a (u + b, gde je b konstanta. Moemo pretpostaviti nada e b = 0 jer je promena koordinata u u + b difeomorfizam. Dakle f = a a u. Iz g = 1 f = 1 h = 1 a f

13 dobijamo dg du = ± a u, g = ± 1 a sinh 1 (au + C, au = ± sinh 1 (a(g C, f = 1 cosh(a(g C, a za prozivo nu konstantu C. Profilna kriva je x = 1 a cosh(a(z C. Translacijom du z ose moemo postii C = 0, qime dobijamo standardni katenoid. Za sada smo pokazali da deo povrxi koji odgovara parametru u (α, β predstav a deo katenoida, zbog ograniqea g 0. Pretpostavimo da je β < + i da je profilna kriva definisana i u taqkama u β. Tada mora da vai g (β = 0 jer bi u suprotnom g bilo razliqito od nule u okolini taqke β, xto protivreqi uslovu da je (α, β najvei interval koji sadri u 0 i na kome je g 0. Prethodne formule daju g = za u (α, β, pa zbog neprekidnosti funkcije g mora biti g (β = a u 1 + a β 0. Ovo pokazuje da profilna kriva nije definisana u taqkama u β, xto naravno trivijalno vai za β = +. Sliqan argument vai i za α, xto znaqi da je profilna kriva definisana samo na (α, β. Ostaje da razmotrimo sluqaj g (u 0 na celom domenu. Meutim, tada je g(u konstanta, recimo d, i povrx je deo ravni z = d. Ovim je dokaz zavrxen. Implicitna jednaqina katenoida je cosh z = x + y. a i Katenoid moemo realizovati sapunicom. Posmatrajmo dva podudarna kruga koji se nalaze u paralelnim ravnima taqno jedan iznad drugog. Oznaqimo sa h rastojae izmeu ravni i sa ρ polupreqnik ( krugova. Ispostav a se da za malo h postoje taqno z dva katenoida r = a i cosh, i = 1, ; jedan od ih blizu toga da postane cilindar, drugi konus. Kako h 0 imaemo a 1 ρ i a 0. Ako poveavamo h, spo ni katenoid se sve vixe ulub uje (a 1 se smauje, a unutraxi postaje sve mae oxtar (a raste. Dakle, poveavaem h katenoidi se pribliavaju jedan drugom. Najzad, u nekom trenutku za h = h cr (ρ katenoidi se,,zalepe"jedan za drugi. Nad tom konturom postoji jedinstven katenoid. Ako nastavimo da razdvajamo krugove, u praksi e se desiti da katenoid koji odgovara h cr (ρ pree u dva diska od sapunice nad pomenutim krugovima. Kada je h > h cr, ne postoji nijedan katenoid nad ovom konturom. Opravdajmo sada formalno analitiqki ova zapaaa. Uvedimo cilindriqne koordinate (r, ϕ, z; krugovi polupreqnika ρ lee u ravnima z = ± h, sa centrima na z osi. Tada katenoidi odreeni ovom konturom zadovo avaju jednaqinu r = a cosh ( ( z h a, odnosno ρ = a cosh za naxe konkretne vrednosti. Broj tih katenoida jednak je broju rexea poslede jednaqine po promen ivoj a > 0. a Posmatrajmo - 1 -

14 ( h grafik funkcije y = a cosh a, za fiksirano h. Traena rexea dobijaju se u preseku grafika i prave y = ρ. Ako a 0 ili a +, oqigledno y +. Pokazaemo da za a > 0 funkcija y(a = a cosh ima jedinstveni lokalni ekstremum, i to minimum. Prvi izvod ( h a dy da = cosh h a h a sinh h a = 0 ima jedinstveno pozitivno rexee a = a 0 poxto je ekvivalentna jednaqini coth ( h = a h a, a > 0. Neka je t 0 jedinstveno pozitivno rexee jednaqine coth t = t. Tada je a 0 = a cr = h a 0 = h t 0. Ako poveamo h, grafik se pomera navixe. Kako h +, kritiqna taqka ( h a = a 0 cosh t i samim tim kritiqna vrednost y 0 = a 0 cosh t 0 Obrnuto, ako h +, tada a 0 + i y 0 +. Zak uqak: Za svako ρ > 0 postoji kritiqna vrednost h cr (ρ takva da za h < h cr (ρ prava y = ρ seqe grafik funkcije y(a = a cosh ( h a u taqno dvema taqkama koje se pribliavaju jedna drugoj kako h h cr (ρ; za h = h cr (ρ prava y = ρ dodiruje grafik funkcije; za h > h cr (ρ prava i grafik nemaju preseqnih taqaka. Ovim smo opravdali geometrijsku sliku o ponaxau katenoida opisanu ranije pri promeni uda enosti h. Naravno, jako je vano primetiti da u realnim eksperimentima za h < h cr (ρ dobijamo samo jedan od dva katenoida, i to onaj blii cilindru za malo h jer je egova povrxina oqigledno maa. Drugi katenoid je nestabilna minimalna povrx i ne moe se realizovati sapunicom. Helikoid Helikoid je linijska povrx koja se dobija istovremenim ravnomernim rotiraem i podizaem (dela prave du fiksirane prave (recimo z ose. Neka je ω ugaona brzina rotacije i a brzina podizaa du z ose. Ako se prava na poqetku poklapa sa x osom, u trenutku v nalazi se na visini av, zarotirana za ugao ωv. Prema tome, vektor poloaja taqke (u, 0, 0 nakon vremena v je (u cos ωv, u sin ωv, av. Uvodei odgovarajue smene moemo helikoid parametrizovati sa r(u, v = (u cos v, u sin v, av. Prva forma je (a + u du + dv a, druga forma je dudv, pa se koristei a + u formulu ( trivijalno dobija da je H = 0, tj. helikoid je minimalna povrx. Helikoid je, pored ravni, jedina pravolinijska minimalna povrx. Ovaj netrivijalan rezultat dokazao je jox Katalan 184. godine. Varijacija egovog dokaza moe se nai u [3], a nexto drugaqiji dokaz izloiemo sada

15 Posmatrajmo standardnu parametrizaciju pravolinijske povrxi r(u, v = γ(u + vδ(u, gde je δ vektorsko po e du krive γ. Moemo pretpostaviti da je po e jediniqno, tj. δ(u = 1 za sve u, kao i da je δ (u 0 (kasnije emo razmotriti i δ (u = 0. δ moemo tretirati kao prirodno parametrizovanu krivu, odakle je δ δ = δ δ = 0. Primetimo da nismo pretpostavili da je kriva γ prirodno parametrizovana. Posmatrajmo sada krivu γ(u = γ(u (γ (u δ (uδ(u. Ako oznaqimo v = v+γ δ, povrx moemo reparametrizovati koristei γ i parametre u, v kao r(u, v = γ(u + vδ(u, s tim xto sada imamo γ δ = 0. To znaqi da smo mogli na poqetku da pretpostavimo da je γ δ = 0, xto emo sada uqiniti. Koeficijenti prve forme su E = γ + vδ, F = (γ + vδ δ, G = 1; koeficijenti druge forme su e = (γ + vδ ((γ + vδ δ, EG F f = δ (γ δ, g = 0, pa iz formule ( dobijamo uslov da je pravolinijska povrx EG F minimalna (γ + vδ ((γ + vδ δ = (δ γ (δ (γ δ, koji mora vaiti za sve (u, v. Izjednaqavajui koeficijente uz stepene v dobijamo γ (γ δ = (δ γ (δ (γ δ, (9 γ (δ δ + δ (γ δ = 0, (10 δ (δ δ = 0, (11 Jednaqina (11 nam daje linearnu zavisnost δ, δ, δ. Kako su δ i δ ortognalni jediniqni vektori, postoje glatke funkcije α(u i β(u takve da je δ = αδ + βδ. Diferenciraem dva puta dobijamo α = 1 i β = 0, odnosno δ = δ. Zajedno sa qienicom δ δ = 1, dobijamo da je krivina krive jednaka 1, vektor normale je δ, binormale δ ( δ, a zbog d du (δ δ = δ δ + δ δ = 0 je torzija jednaka nuli. Prema tome, δ predstav a do na izometriju krug polupreqnika 1. Moemo pretpostaviti da je u xy ravni, tj. δ(u = (cos u, sin u, 0. Iz δ (γ δ = δ (γ δ = 0 i jednaqine (10 dobijamo γ (δ δ = 0, pa je γ paralelna xy ravni i oblika je γ(u = (f(u, g(u, au + b,

16 za neke glatke funkcije f i g i konstante a i b. Ako je a = 0, povrx je deo ravni z = b. Inaqe, jednaqina (9 nam daje g cos u f sin u = (f cos u + g sin u. Ovde konaqno koristimo uslov γ δ = 0, tj. f sin u = g cos u i nakon diferenciraa f sin u + f cos u = g cos u g sin u. Iz ovih jednaqina sledi f = g = 0, odnosno f i g su konstantne funkcije. Transliraem povrxi moemo postii da su f, g i b nule, odnosno γ(u = (0, 0, au i r(u, v = (v cos u, v sin u, au, tj. u pitau je helikoid. Pretpostavka sa poqetka da je δ svuda razliqito od nule se otklaa na sliqan naqin kao u sluqaju katenoida. Implicitna jednaqina helikoida za a = 1 je tg z = y x. Helikoid je takoe mogue dobiti kao povrx od sapunice. Potrebno je napraviti konturu koja se sastoji od dve zavojnice (spirale koje se "ukrxtaju"i zatvorene su dvema duima sa obe strane. Za dovo no veliku visinu periode helikoida (odnosno spirala, povrx od sapunice razapeta ovom konturom bie zaista heliks. Kako smaujemo visinu periode sabijajui zavojnice, u nekom trenutku helikoid e prei u traku male xirine koja predstav a rastojae izmeu zavojnica. Ovo je posledica qienice da je helikoid nestabilna minimalna povrx, beskonaqnog indeksa. Vixe o (nestabilnosti minimalnih povrxi i ihovom indeksu moe se nai u [3]. Dodajmo samo da Eneperova povrx i katenoid imaju indekse 1, deo Xerkove povrxi nad jediniqnim diskom indeks 0, a sve periodiqne minimalne povrxi indekse + kao i helikoid. U Poglav u 5 videemo da su katenoid i helikoid izometriqne povrxi, kao i same formule deformacije. Henebergova povrx Parametrizacija ove povrxi je r(u, v = ( sinh u cos v 3 sinh 3u cos 3v, sinh u sin v + 3 sinh 3u sin 3v, cosh u cos v. Povrx je regularna u svim taqkama osim u ( 0, nπ, n N. Primetimo da je r(u, v = r( u, v + π, pa za svaki otvoren skup U u desnoj poluravni {(p, q p > 0} postoji odgovarajui skup Ũ u levoj poluravni {(p, q p < 0} takav da je trag povrxi definisane na ima isti podskup od R 3. Takoe, za jediniqnu normalu n ove povrxi vai n(u, v = n( u, v + π, pa su povrxi definisane ovom parametrizacijom na skupovima {(p, q p > 0, π < v < π} i {(p, q p < 0, π < v < π} suprotno orijentisane. Monove minimalne povrxi Pretpostavimo da je povrx zadata kao grafik glatke funkcije (u, v (u, v, h(u, v. Koristei formulu ( dobijamo H = (1 + h vh uu h u h v h uv + (1 + h uh vv, xto znaqi

17 da su minimalne povrxi odreene funkcijama h koje zadovo avaju parcijalnu diferencijalnu jednaqinu. reda H = (1 + h vh uu h u h v h uv + (1 + h uh vv = 0. (1 Primetimo da smo istu jednaqinu mogli da dobijemo kao posledicu jednaqine x h x + = 0, 1 + h x + h y y 1 + h x + h y koja sledi iz (8, jer pri malim deformacijama ova povrx ostaje grafik glatke funkcije. Parcijalna jednaqina (1 ponekad se naziva jednaqinom minimalne povrxi, jer se svaka povrx moe lokalno prikazati kao grafik glatke funkcije. Ona samim tim daje potrebne i dovo ne uslove da bi Monova 7 povrx bila minimalna, ali problem je u tome xto je u opxtem sluqaju nerexiva. Meutim, Xerk 8 je prvi pokuxao da nae ena rexea koja razdvajaju promen ive, tj. one funkcije oblika h(u, v = f(u + g(v. Imamo h uu = f (u, h uv = 0, h vv = g (v, pa jednaqina (1 postaje f (u 1 + f (u = g (v 1 + g (v. Kako su u i v nezavisne promen ive, obe strane moraju biti jednake nekoj konstanti a. Ako je a = 0, tada f i g moraju biti linearne funkcije, pa je povrx deo ravni. Inaqe, obe jednaqine h y f (u 1 + f (u = a = g (v 1 + g (v imaju netrivijalna rexea f(u = 1 a log cos(au i g(v = 1 log cos(av, odakle je a h(u, v = 1 ( cos(av a log. Dakle, Monova povrx r : U M zadata funkcijom cos(au h(u, v = f(u + g(v, tj. parametrizacijom r(u, v = (u, v, f(u + g(v je minimalna akko je deo ravni ili postoji konstanta a 0 takva da je h(u, v = 1 ( cos(av a log. cos(au Ovakva povrx naziva se Xerkova minimalna povrx. Radi jednostavnosti uzmimo a = 1. Najvei otvoren skup na kome je ova povrx definisana je Oznaqimo sa U = {(u, v cos u cos v > 0} = {( mπ + π, nπ + π m, n Z { U(m, n = (u, v mπ π < u < mπ + π, nπ π < v < nπ + π } i obojimo U(m, n crno ako je m + n parno i belo ako je m + n neparno. Time je uv ravan predstav ena kao beskonaqna xahovska tabla i U je unija crnih kvadrata }. 7 Gaspard Monge ( , francuski matematiqar 8 Joël Scherk ( , francuski fiziqar

18 Slika : Henebergova i Xerkova minimalna povrx te 'table', nad kojima je definisana Xerkova minimalna povrx. Kako je h(u, v = h(u + mπ, v + nπ za sve realne brojeve u, v i cele brojeve m, n, Xerkova minimalna povrx nad proizvo nim crnim U(m, n kvadratom je translat dela povrxi nad kvadratom U(0, 0. Prave normalne na uv ravan koje sadre temena crnih kvadrata ne pripadaju povrxi, ali im se delovi povrxi nad 'susednim' kvadratima proizvo no blizu pribliavaju i simetriqni su u odnosu na ih. Katalanova povrx Zadata je parametrizacijom r(u, v = ( u sin u cosh v, 1 cos u cosh v, 4 sin u sinh v, (u, v R. Ova povrx oqigledno ima samopreseke, sliqno Eneperovoj povrxi. Parametarska kriva u = 0 je prava linija, parametarska kriva u = π je parabola, dok je parametarska kriva v = 0 cikloida. Sve ove krive su geodezijske na Katalanovoj 9 povrxi. Xerkova peta minimalna povrx Ova povrx najqexe je definisana implicitno jednaqinom sin z = sinh x sinh y. Moemo je parametrizovati na sledei naqin: r(u, v = (arcsinhu, arcsinhv, arcsin uv. Ova povrx takoe ima rupe, ali nema samopreseka. Naime, postoji samo 5 kompletnih minimalnih povrxi bez samopreseka, i to su: katenoid, helikoid, Xerkova minimalna povrx, Xerkova peta minimalna povrx i Kostina minimalna povrx

19 Slika 3: Katalanova i Xerkova peta minimalna povrx Xvarc-Rimanova povrx Konstrukcija ove povrxi zasniva se na Xvarc-Rimanovim 10 principima: 1. Ako granica minimalne povrxi M R 3 sadri segment I prave linije l, tada je unija M M povrxi M i ene slike M pri refleksiji u odnosu na pravu l glatka minimalna povrx (tj. minimalne povrxi M i M se glatko spajaju du segmenta I u novu minimalnu povrx.. Ako se povrx M R 3 i ravan Π ortogonalno seku du glatke regularne krive γ, tada je unija M M povrxi M i ene slike M pri refleksiji u odnosu na ravan Π glatka minimalna povrx (tj. minimalne povrxi M i M se glatko spajaju du krive γ u novu minimalnu povrx. Posmatrajmo proizvo nu kocku i qetiri taqke: sredixta A, B, C triju ivica koje imaju zajedniqko teme kocke i centar kocke O. Ove taqke oqigledno qine pravilan tetraedar OABC, nad kojim razapnemo povrx. Ako je reflektujemo preko ivica OA i OB, dobijamo jox jedan tetraedar qiji je jedno teme O i preostala tri su sredixta ivica koje imaju zajedniqko teme kocke. Ponav ajui sliqne refleksije za novodobijene tetraedre, dobijamo kao rezultat xest tetraedara koji imaju zajedniqko teme O i svaki od ih jox po tri sredixta ivica koje se spajaju u istom temenu 9 Eugène Charles Catalan ( , francuski matematiqar belgijskog porekla 10 Georg F riedrich Bernhard Riemann ( , nemaqki matematiqar

20 kocke. Rezultujua minimalna povrx se cela nalazi unutar kocke i razapeta je nad konturom koja se sastoji od 1 segmenata koji spajaju sredixta susednih ivica kocke. Ako ovu,,eliju"reflektujemo preko svih strana kocke, dobijamo Xvarc-Rimanovu povrx koja je periodiqna i nema samopreseke..3 Neke osobine minimalnih povrxi Sredu krivinu H : M R moemo definisati i sa H(p = 1 trs(p, gde je S : M p M p operator oblika i predstav a negativno tangentno preslikavae normalnog vektorskog po a povrxi. Formula ( za sredu krivinu dobija se kada za bazu tangentnog prostora odaberemo {r u, r v } i en znaqaj je u tome xto nam daje naqin da odmah operativno raqunamo sredu krivinu samo preko koeficijenata fundamentalnih formi. Meutim, operator oblika je linearno preslikavae tangentnog prostora koji je geometrijski objekat i samim tim trag tog preslikavaa ne zavisi od baze u kojoj je predstav en, odnosno sreda krivina se nee promeniti pri promeni parametrizacije. Ako odaberemo ortonormiranu bazu sopstvenih vektora koja dijagonalizuje operator oblika, dobijamo teorijski bitnu formulu H = κ 1 + κ, gde su κ 1 i κ glavne krivine. U svakoj taqki minimalne povrxi glavne krivine su jednake po apsolutnoj vrednosti i suprotnog su znaka. Glavne krivine predstav aju maksimum i minimum do kojih se povrx krivi u okolini odreene taqke (preciznije, do kojih se krive na povrxi koje sadre tu taqku krive, xto znaqi da se minimalna povrx 'podjednako krivi' na obe strane, tj. u oba meusobno normalna glavna pravca. Ova ravnotea krivina daje estetski kvalitet minimalnim povrxima. Takoe, ihova Gausova krivina je oqigledno nepozitivna zbog K = κ 0, xto znaqi da je svaka taqka minimalne povrxi sedlasta (hiperboliqka ili planarna i ona u proizvo noj okolini najqexe izgleda kao kosko sedlo. Samim tim za mnoge povrxi moemo odmah da prepoznamo da nisu minimalne. Za razliku od Gausove krivine, sreda krivina nije unutraxe svojstvo povrxi. Drugim reqima, sreda krivina povrxi M zavisi od naqina na koji je povrx smextena u R 3. Na primer, kruni cilindar polupreqnika a ima sredu krivinu 1, a ravan 0. Meutim, ravan i cilindar su izometriqne povrxi. Samim tim a nema smisla definisati sredu krivinu apstraktnih povrxi zadatih samo prvom formom, kao ni koje su minimalne meu ima

21 Neka je p M proizvo na taqka minimalne povrxi, κ 1 i κ glavne krivine i e 1 i e odgovarajui jediniqni glavni vektori. Ako sa θ oznaqimo ugao izmeu proizvo nog vektora u p i e 1, tada nam Ojlerova teorema daje formulu za normalnu krivinu κ(u p samo u terminima glavnih krivina i ugla θ κ(u p = κ 1 cos θ + κ sin θ. Odavde lako sledi da u formuli za sredu krivinu ne moramo uzeti poluzbir glavnih krivina, ve je mogue uzeti poluzbir normalnih krivina du dva proizvo na normalna pravca. Ako je taqka p M hiperboliqka, postoje taqno dva normalna asimptotska pravca u p i ihove simetrale su glavni pravci. Zaista, zbog K = κ 1 κ < 0, glavne krivine κ 1 i κ su suprotnog znaka. To specijalno znaqi da je za neki ugao π < θ < π glavna krivina jednaka 0, odnosno tg θ = κ 1. Oznaqimo κ u p (θ = cos θe 1 +sin θe. Tada iz Ojlerove teoreme sledi da su u p (θ i u p ( θ linearno nezavisni asimptotski vektori u taqki p. Ugao izmeu ih je θ i e 1 je samim tim simetrala ugla izmeu ih. Kako je povrx dodatno minimalna, dobijamo tg θ = 1, tj. θ = ± π. U okolini taqke p postoje dve razliqite familije asimptotskih krivih. 4 Diferencijalna jednaqina asimptotskih krivih je eu + fu v + gv = 0, a jednaqina ea + fab + gb = 0 ima realne korene u okolini hiperboliqke taqke; moemo je faktorisati kao ea + fab + gb = (Aa + Bb(Ca + Db, za neke realne brojeve A, B, C, D. Samim tim se jednaqina asimptotskih krivih faktorixe u (Au + Bv (Cu + Dv = 0, za realne funkcije A, B, C, D. Jedna familija je rexe- e diferencijalne jednaqine Au + Bv = 0, a druga jednaqine Cu + Dv = 0. Ako je povrx M u R 3 kompaktna, postoji taqka u kojoj je Gausova krivina pozitivna (dokaz se moe nai u [8]. Drugim reqima, ne postoji kompaktna povrx u R 3 qija je Gausova krivina svuda nepozitivna. Samim tim, ne postoji kompaktna minimalna povrx u R 3. Naredne Teoreme dajemo bez dokaza (oni se mogu nai u [3]. Primetimo da formulacije podseaju na sliqne osobine harmonijskih funkcija u kompleksnoj analizi. U narednom poglav u videemo da to nije sluqajnost. Teorema.. Neka je M kompaktna povezana glatka minimalna povrx u R 3 sa granicom M. Tada se M nalazi unutar konvesnog omotaqa C( M svoje granice. Specijalno, svaka povrx od sapunice razapeta nekom zatvorenom krivom mora leati unutar koveksnog omotaqa te krive. Teorema.3. (jedinstvenost Ako dve glatke minimalne povrxi M 1 i M sadre otvoren skup u preseku, tada je ihova unija M 1 M glatka minimalna povrx

22 Teorema.4. (princip maksimuma Neka se minimalne povrxi M 1 i M u R 3 bez samopresecaa dodiruju u taqki P koja je u ihovoj unutraxosti. Pretpostavimo da se povrx M 1 lokalno (u nekoj okolini taqke P nalazi sa jedne strane povrxi M. Tada se povrxi M 1 i M poklapaju u nekoj okolini taqke P

23 3 Izotermalne koordinate Definicija 3.1. Neka je U R otvoren skup. Za elementarnu povrx zadatu parametrizacijom r : U R 3 kaemo da je izotermalna ako postoji diferencijabilna funkcija λ : U R takva da je r u r u = r v r v = λ i r u r v = 0, odnosno E = G i F = 0. Funkciju λ nazivamo funkcijom skaliraa, a koordinate na povrxi izotermalnim koordinatama. Ovakva parametrizacija xa e beskonaqno male kvadrate u U na beskonaqno male kvadrate na povrxi (umesto u proizvo ne qetvorouglove u opxtem sluqaju jer su r u i r v jednaki, meusobno ortogonalni vektori. Uglovi iz karte se quvaju jer je preslikavae r : U r(u konformno, pa se ovakve povrxi ponekad nazivaju konformnim. Ispostav a se da na svakoj povrxi mogu lokalno da se uvedu izotermalne koordinate. Gaus je 18. dobio nagradu Univerziteta u Kopenhagenu jer je pokazao da je mogue preslikati jednu povrx na drugu tako da su one,,sliqne do najsitnijih delova". Teorema 3.1. Neka je M povrx sa metrikom ds zadata parametarski x = x(p, q, y = y(p, q, z = z(p, q i P M. Tada postoji otvoren skup U R i izotermalna parametrizacija r : U M takva da je P r(u i ds = λ (u, v(du + dv. Dokaz. Posmatrajmo formalnu faktorizaciju ds = ( Edp + F + i I E dq( Edp + F i I dq, E gde je I = EG F. Traimo funkcije u(p, q, v(p, q i µ(p, q za koje vai µ( Edp + F + i I dq = du + idv, E µ( Edp + F i I dq = du idv. E Za takve funkcije imali bismo µ ds = du + dv, odnosno ds = 1 µ (du + dv. Kako je imamo µ( Edp + F + i ( ( I u u dq = du + idv = E p + i v dp + p q + i v dq, q µ F + i I E µ E = u p + i v p, = u q + i v q. - -

24 Dakle odnosno Tako dobijamo sistem (F + i ( ( u u I p + i v = E p q + i v, q v p u p F u p I v p = E u q, u I p + F v p = E v q. F u p E u q =, I E v q F v p =, I u G v q = p E u q, I v F u q = q G v p. I Sada koristei jednakost ponov enih parcijalnih izvoda traene funkcije u, v vai L(u = 0, L(v = 0, gde je L = q [ F p E ] q + [ F q E ] p I p I p q = q p imamo da za linearni parcijalni operator drugog reda. Tvree sada sledi iz netrivijalnih opxtih stavova o rexivosti jednaqine oblika L(u = 0. Prethodna Teorema je egzistencijalne prirode i iz dokaza se ne moe dobiti algoritam za nalaee izotermalnih koordinata na datoj povrxi. Meutim, za minimalne povrxi se mogu dobiti konkretne formule za izotermalne koordinate. Odaberimo Dekartov koordinatni sistem sa koordinatnim poqetkom u taqki P, takav da je tangentna ravan T P M povrxi u taqki P upravo xy ravan. Povrx se u okolini taqke P moe opisati kao grafik funkcije, tj. kao Monova povrx: x = x, y = y, z = f(x, y. Sve takve funkcije f zadovo avaju jednaqinu minimalnih povrxi (1 + f y f xx f x f y f xy + (1 + f x f yy = 0. (13 Oznaqimo p = f x, q = f y i ω = 1 + fx + fy. Primetimo da je ωdxdy povrxinski element povrxi. Direktnim raqunom dobijamo ( 1 + f x ω ( 1 + f y ω y x ( fx f y ω ( fx f y ω x y = f y ω ((1 + f y f xx f x f y f xy + (1 + f x f yy, = f x ω ((1 + f y f xx f x f y f xy + (1 + f x f yy, - 3 -

25 pa iz (13 sledi ( 1 + p ω ( 1 + q ω y x ( pq = ω ( pq = ω Samim tim u svakoj prostopovezanoj okolini koordinatnog poqetka P u tangentnoj ravni T P M postoje funkcije F (x, y i G(x, y koje zadovo avaju jednaqine F x = 1 + p ω, F y = pq ω, G x = pq ω, G y = 1 + q ω. Neka je Φ : (x, y (u, v preslikavae odreeno sa u = x + F (x, y, v = y + G(x, y. Tada su (u, v izotermalne koordinate. Zaista, za jakobijan J preslikavaa Φ vai (u, v (1 + ω J = = (x, y ω x y,. > 0, pa je Φ lokalni difeomorfizam. Na osnovu Teoreme o inverznoj funkciji, u nekoj okolini koordinatnog poqetka postoji diferencijabilno preslikavae Φ 1 sa Jakobijevom matricom ( xu x v y u y v = ( 1 + ω + q pq pq 1 + ω + p 1 (1 + ω. U (u, v koordinatama povrx M zadata je preslikavaem r(u, v = (x(u, v, y(u, v, f(x(u, v, y(u, v i vai ( ( ω q r u = (1 + ω, pq ω q (1 + ω, p (1 + ω ( pq r v = (1 + ω, ω ( p pq (1 + ω, p (1 + ω odakle se direktno dobija E = G = izotermalne. ( pq + q (1 + ω + q ( ω p (1 + ω,, ω i F = 0, odnosno koordinate su zaista (1 + ω Primer 3.1. Stereografska projekcija Posmatrajmo jediniqnu sferu S u R 3. Parametrizacija π : R S \N dela sfere bez severnog pola N = (0, 0, 1 data je sa ( π(u, v = u u + v + 1, v u + v + 1, u + v 1 u + v

26 4 4 Prva fundamentalna forma je (u + v + 1 du + (u + v + 1 dv, xto znaqi da su koordinate izotermalne. Jox jedna izotermalna parametrizacija sfere (bez jednog meridijana je takozvana Merkatorova parametrizacija r(u, v = (sechu cos v, sechu sin v, tanh u. Samim tim vidimo da izotermalne koordinate nisu jedinstvene na povrxi. Primer 3.. Izotermalne koordinate na Eneperovoj povrxi, Katalanovoj povrxi i katenoidu su upravo one date u prethodnoj glavi. Jedino parametrizacije katenoida za a = ±1 su izotermalne, iako su sve minimalne povrxi. Izotermalne koordinate na helikoidu su r(u, v = (sinh u cos v, sinh u sin v, av. Primer 3.3. Poluravanski model L hiperboliqke geometrije sa prvom formom ds = dx + dy y je izotermalna povrx. To nam daje mogunost da uglove izmeu prave u hiperboliqkoj ravni raqunamo u karti kao ugao izmeu euklidska kruga, ili izmeu euklidske prave i euklidskog kruga. Sada moemo dokazati vano tvree vezano za Gausovo preslikavae minimalne povrxi. Teorema 3.. Gausovo preslikavae orijentabilne minimalne povrxi M u R 3 je konformno. Dokaz. Neka je r : U R 3 izotermalno parametrizovana povrx i G : M S Gausovo preslikavae. Vai formula n u n v = Kr u r v, gde je K Gausova krivina povrxi, pa je Gausovo preslikavae regularno ako je K 0 u svim taqkama povrxi. Takoe, Gausovo preslikavae je samo lokalni difeomorfizam, pa ne moemo tvrditi da je konformni difeomorfizam. Potrebno je da dokaemo da vai G (v p = ρ(u, v v p za sve p M i tangentne vektore v p na M u taqki p, gde je ρ : M R diferencijabilna pozitivna funkcija skaliraa. U tom ci u dokazaemo G (r u G (r v = ρ (u, vr u r v, odakle e slediti G (r u = ρ(u, v r u i G (r v = ρ(u, v r v. Koristei E = G i F = 0, kao i specijalan oblik Vajngartenovih jednaqina za minimalne povrxi S(r u = n u = e λ r u + f λ r v, S(r v = n v = f λ r u + g λ r v, - 5 -

27 dobijamo G (r u = n u = e E r u f E r v, G (r v = n v = f E r u g E r v, Odavde je n u = 1 E (e + f, n v = 1 E (f + g i n u n v = f (e + g. Iz formule E (17 imamo e = g, pa je n u n v = 0. Takoe, zbog izotermalnih koordinata vai r u = r v = E i r u r v = 0, pa je Gausovo preslikavae konformno, sa funkcijom skaliraa ρ = e + g E = K. Slika 4: Eneperova povrx i ena slika pri Gausovom preslikavau Specijalno, Gausovo preslikavae minimalne povrxi oquvava odnos duina stranica, kao i uglove beskonaqno malih pravougaonika (npr. dobijenih od koordinatnih linija na povrxi. Ova osobina se lepo oslikava na sferi uporeujuu primer Eneperove povrxi, koja je minimalna, i povrxi majmunskog sedla, koja nije minimalna. Moe se pokazati da povrx qije je Gausovo preslikavae konformno obavezno mora biti deo sfere ili deo neke minimalne povrxi. Primer 3.4. (Bernxtajnov problem U prethodnom poglav u izveli smo tzv. jednaqinu minimalnih povrxi. Postav a se jedno prirodno pitae: da li postoji funkcija z = f(x, y definisana na celoj ravni koja zadovo ava jednaqinu (1, odnosno qiji je grafik minimalna povrx M nad celim R? Jedno oqigledno rexee je ravan zadata linearnom funkcijom, ali da li postoje neka netrivijalna rexea? Ispostav a se da je odgovor odreqan, tj. nema drugih kompletnih grafika (nad celom ravni u R 3 koji su minimalne povrxi. Neka je G : M S Gausovo preslikavae, a π : S \S R stereografska projekcija iz junog pola S = (0, 0, 1. Oqigledno - 6 -

28 Slika 5: Majmunsko sedlo i egova slika pri Gausovom preslikavau je G(M u goroj polusferi jer se radi o grafiku funkcije. Moemo da uvedemo izotermalne koordinate na povrxi M, ali samo lokalno. Meutim, ispostav a se da se funkcije F i G iz dokaza Teoreme (3.1 mogu produiti na celu ravan, odnosno Φ je difeomorfizam (videti [3], dovo no je dokazati da Φ ne poveava rastojae izmeu taqaka. Neka su u uv ravni uvedene kompleksne koordinate ξ = u + iv, a u xy ravni koordinate η = x + iy. Tako dobijamo preslikavae kompleksne ravni C ξ R (u,v u samu sebe C η R (x,y C ξ R (u,v M ν S \N π R (x,y C η. Ovo preslikavae C ξ C η je holomorfno jer je kompozicija takvih-koordinate na povrxi su izotermalne, a Gausovo preslikavae je konformno. Slika pri stereografskoj projekciji dela gore polusfere je ograniqen podskup od C η, pa Gausovo preslikavae odreuje jedno ograniqeno preslikavae cele kompleksne ravni u sebe. Prema Liuvilovoj teoremi iz kompleksne analize, ono mora biti konstantno. To znaqi da se pri Gausovom preslikavau cela povrx M slika u jednu taqku, pa su sve normale na povrx meusobno paralelne i povrx je ravan. Naravno, ne bismo mogli da primenimo Liuvilovu teoremu da koordinate (u, v ne uzimaju sve vrednosti iz R. Mnoge formule se znatno pojednostav uju u ovim koordinatama. Oznaqimo sa = u + v Laplasijan u R. Teorema 3.3. Gausova krivina K izotermalno parametrizovane povrxi r : U R 3 data je u terminima funkcije skaliraa λ sa K = log λ λ. (14-7 -

29 Kristofelovi simboli dati su formulama Γ 1 11 = Γ 1 = Γ 1 = λ u λ Γ 1 1 = Γ 11 = Γ = λ v λ. (15 Dokaz. Formule se dobijaju iz opxtih formula, koristei E = G = λ i F = 0. Preciznije K = 1 { λ u { = 1 λ = ( 1 λ + ( } 1 λ λ u v λ v } log λ + u v log λ log λ λ. Formula (14 lepo opisuje tvree Gausove brilijantne teoreme jer K zavisi samo od λ, odnosno samo od koeficijenata prve fundamentalne forme. Teorema 3.4. Sreda krivina H regularne izotermalno parametrizovane povrxi r : U R 3 sa funkcijom skaliraa λ data je formulom Takoe vai gde je n jediniqna normala na povrx. H = e + g λ. (16 r uu + r vv = λ Hn, (17 Dokaz. Diferencirajui E = G = λ i F = 0 dobijamo r uu r u = r uv r v i r vv r u = r vu r v. Sabirajui ove jednakosti dobijamo (r uu + r vv r u = r uv r v r vu r v = 0. Sliqno je (r uu +r vv r v = 0, odakle sledi da je vektor r uu +r vv kolinearan sa vektorom normale n. Koristei formulu za sredu krivinu dobijamo H = eg ff + ge (EG F i samim tim formule (16 i (17. = e + g λ = (r uu + r vv n λ, Definicija 3.. Neka je U R otvoren skup i x, y : U R 3 parametrizovane elementarne povrxi. Kaemo da je parametrizacija x harmonijska ako je x uu + x vv = 0. x u = y v i x v = y u. Takoe, x i y su konjugovano harmonijske ako su zadovo ene relacije - 8 -

30 Iz qienice da su dve parametrizacije konjugovano harmonijske sledi i da su harmonijske, sliqno kao kod Koxi-Rimanovih uslova za realni i imaginarni deo kompleksno vrednosne funkcije. Iz (17 dobijamo: Posledica 3.1. Regularna izotermalna povrx x : U R 3 je minimalna povrx ako i samo ako je harmonijska. Sada postaje jasno da su minimalne povrxi i kompleksno analitiqke (holomorfne funkcije u tesnoj vezi. Do sada smo razmatrali samo minimalne povrxi u R 3. Prethodna Posledica nam daje jedan naqin da proxirimo definiciju na proizvo ni R n jer pojam harmonijskih funkcija i tamo postoji. Definicija 3.3. Minimalna izotermalna povrx x : U R 3 je ona elementarna povrx qija je parametrizacija izotermalna i harmonijska. Opisaemo metod za generisae familije ovakvih povrxi, generalizaciju deformacije izmeu helikoida i katenoida. Definicija 3.4. Neka su x, y : U R 3 konjugovano harmonijske izotermalne povrxi. Pridruena familija za x i y je jednoparametarska familija povrxi z(t, x, y : U R 3 data sa z(t, x, y = R(e it (x + iy = x cos t + y sin t. (18 Za sada nemamo naqina da naemo taqne jednaqine ove familije jer jox uvek ne znamo praktiqno da naemo konjugovanu povrx povrxi x. Naredne formule su direktna posledica Koxi-Rimanovih uslova i daju nam informacije o prvoj i drugoj fundamentalnoj formi pridruene familije povrxi. Jasno je da su z(t, x, y i z (t + π, x, y konjugovano harmonijske za svako t. z(t, x, y u = x u cos t x v sin t, z(t, x, y v = x u sin t + x v cos t, z(t, x, y uu = x uu cos t x uv sin t = z(t, x, y vv, z(t, x, y uv = x uu sin t + x uv cos t. Jasno je da je z(t, x, y minimalna izotermalna povrx za svako t i da sve povrxi familije imaju istu prvu fundamentalnu formu. Zato se z naziva i izometriqna deformacija izmeu x i y. Takoe, iz z(t, x, y u z(t, x, y v = x u x v, t R, sledi da sve povrxi familije z(t, x, y imaju istu normalu i tangentnu ravan, do - 9 -

31 na paralelnost. Dakle, moemo poistovetiti jediniqnu normalu povrxi z i jediniqnu normalu povrxi x, pa sve povrxi pridruene familije imaju isto Gausovo preslikavae. Ubudue e nam biti korisno da sa standardnih u, v koordinata u R preemo na kompleksne koordinate z, z. Smena koordinata data je formulama z = u + iv, z = u iv, odnosno u = z + z, v = z z. i Ovo znaqi da moemo z i z posmatrati kao apstraktne koordinate u R = C, iako su to zapravo kompleksni brojevi. Uvedimo i standardne diferencijalne operatore z = 1 z = 1 ( u i, v ( u + i. v Koxi-Rimanove jednaqine sada postaju f(z, z = 0. Diferenciraem se lako dobija z dz = du + idv, dz = du idv, pa je dz = dzdz = du + dv = u + v = 4 z z. Parametrizacija povrxi x u R 3 sastoji se od tri realne funkcije. Kompleksni izvod parametrizovane povrxi x : U R 3 predstav a delovae operatora na x i dat z je formulom gde je z = u + iv. x z = 1 (x u ix v, Ako su (u, v i (u, v izotermalne koordinate u nekoj okolini povrxi M, promena koordinata (u, v (u, v koja quva orijentaciju je konformno preslikavae (videti [3]. Na orijentabilnoj povrxi M sve mogue izotermalne koordinate, sa funkcijama prelaska koje quvaju koordinate, odreuju kompleksnu strukturu na povrxi. Koordinate (u, v zameujemo kompleksnim u + iv, pa promena koordinata postaje analitiqka funkcija (kompleksna funkcija je analitiqka ako i samo ako je konformna i quva orijentaciju, ena matrica je kompozicija matrice rotacije i homotetije. U ovom zapisu, diferencijalima funkcija prelaska koordinatnih preslikavaa odgovaraju uobiqajni kompleksni izvodi odgovarajuih koordinatnih holomorfnih funkcija, koji deluju na kompleksne koordinate tangentnih vektora

32 obiqnim mnoeem. Povrxi na kojima se moe uvesti kompleksna struktura nazivaju se Rimanove povrxi. Ako uvedemo oznake (φ 1 (x, φ (x, φ 3 (x = x z = 1 lako slede identiteti 4 ( x1 u i x 1 v, x u i x v, x 3 u i x 3, (19 v 3 φ k (x = x u x u x v x v ix u x v = E G if, (0 k=1 4 3 k=1 φ k (x = x u x u + x v x v = E + G. (1 Sledea Teorema nam lokalno opisuje minimalne povrxi preko trojke holomorfnih funkcija qiji je zbir kvadrata nula, xto omoguava upotrebu monih teorema kompleksne analize u ispitivau dvodimenzionalnih minimalnih povrxi. Teorema 3.5. Neka je x : U R 3 parametrizovana elementarna povrx. Tada a x je harmonijska ako i samo ako je x z b x je izotermalna ako i samo ako je analitiqka funkcija; 3 φ k (x = 0; k=1 v ako je x izotermalna, tada je x regularna ako i samo ako je 3 φ k (x 0. k=1 Obrnuto, pretpostavimo da je U prostopovezan, i neka analitiqke funkcije φ 1, φ, 3 3 φ 3 : U C 3 zadovo avaju uslove φ k (x = 0 i φ k (x 0. Tada postoji k=1 regularna minimalna izotermalna povrx x : U R 3 koja zadovo ava (19. Dokaz. Deo a proistiqe iz qienice da Koxi-Rimanove jednaqine za x z glase x uu + x vv = 0 i x uv x vu = 0, xto je identitet. Sada je b posledica (0, a v posledica (1. U suprotnom smeru, pretpostavimo da analitiqke funkcije φ j zadovo avaju date uslove. Odaberimo x = ( R φ 1 (zdz, R φ (zdz, R k=1 φ 3 (zdz. Integracija se zapravo sprovodi du proizvo ne deo-po-deo glatke krive u U koja spaja fiksiranu taqku z 0 i taqku z. Uslov "prostopovezanosti"garantuje nam da su

33 ovi integrali dobro definisane analitiqke funkcije koje ne zavise od puta integracije, dok su ihovi realni delovi harmonijske funkcije. Sada, (0 implicira da je povrx x izotermalna, a (1 da je regularna. Dakle, x je regularna minimalna izotermalna povrx. Poznato je da par konjugovano harmonijskih funkcija odreuje analitiqku funkciju. Neka su x, y : U R 3 konjugovano harmonijske povrxi. Tada je preslikavae x + iy : U C 3 analitiqko i vai Zanimaju nas geometrijske osobine ovog preslikavaa. x z = (x + iy. ( z Definicija 3.5. Neka je U otvoren skup u C. Minimalna kriva je kompleksno analitiqka funkcija Ψ : U C 3 za koju vai Ψ (z Ψ (z = 0 (3 za sve z U. Ako je dodatno Ψ (z Ψ (z 0 za sve z U, kaemo da je Ψ regularna minimalna kriva. Minimalne krive prvi je prouqavao Li. Minimalne krive moemo shvatiti s jedne strane kao uopxtee minimalnih izotermalnih povrxi, a s druge strane kao uopxtee realnih krivih u R 3. Za zadatu minimalnu krivu Ψ : U C 3, povrxi x, y : U R 3 definisane sa x(u, v = RΨ(u + iv, y(u, v = IΨ(u + iv, su konjugovano harmonijske izotermalne minimalne povrxi. Stoga ih nazivamo konjugovano harmonijskim izotermalnim povrxima pridruenim krivoj Ψ. Takoe, ako je Ψ minimalna kriva koja odgovara minimalnoj povrxi x, tada je i kriva iψ minimalna i odgovara konjugovanoj minimalnoj povrxi od x. Pomou ih formiramo pridruenu familiju povrxi z(t, u, v : U R 3 z(t, u, v = R(e it Ψ(u + iv. (4 Napomiemo da je z(t, u, v povrx u realnim koordinatama i nije isto xto i Ψ(u + iv = x + iy. Ve smo videli da su sve ove povrxi minimalne i izotermalne i predstav aju izometriqnu deformaciju izmeu x i y. Interpetirajmo neke od prethodnih rezultata u terminima minimalnih krivih Ψ : U C 3. Na primer, direktna posledica (6 je z u iz v = e it Ψ

34 Takoe vai 1 Ψ = x z = 1 (x u ix v = (φ 1, φ, φ 3, 1 Ψ = x z = 1 (x u + ix v = (φ 1, φ, φ 3. Primer 3.5. Naimo konjugovanu povrx katenoida sa parametrizacijom r(u, v = (cosh u cos v, cosh u sin v, u. Imamo Ψ(z = r u ir v = (sinh u cos v + i cosh u sin v, sinh u sin v i cosh u cos v, 1 = (sinh(u + iv, i cosh(u + iv, 1 = (sinh z, i cosh z, 1. Primetimo da su uslovi Teoreme (3.5 zadovo eni jer je oqigledno Ψ 0 i zbir kvadrata enih komponenti je sinh z cosh z + 1 = 0. Konjugovana povrx katenoidu (do na translaciju je r(u, v = R (i sinh z, cosh z, idz = R(i cosh z, sinh z, iz Nakon reparametrizacije (u, v vidimo da je dobijena povrx helikoid. = (sinh u sin v, sinh u cos v, u. ( sinh u, v + π i translacije za π du z ose Definicija 3.6. Gausovo preslikavae minimalne krive Ψ je Gausovo preslikavae proizvo ne povrxi iz familije pridruene Ψ (po obiqaju identifikujemo Gausovo preslikavae sa jediniqnom normalom. Za minimalnu krivu Ψ : U C 3 vai identitet iψ Ψ = (I(ϕ ϕ 3, I(ϕ 3 ϕ 1, I(ϕ 1 ϕ = Ψ n, (5 odakle imamo i formulu za jediniqnu normalu n i Gausovo preslikavae minimalne krive. Vratimo se sada na jako vano preslikavae iz prethodnog poglav a, stereografsku projekciju, koja nam uspostav a vezu izmeu jediniqne sfere u R 3 i kompleksne ravni. Neka je P = (p 1, p, p 3 S (1 proizvo na taqka razliqita od severnog pola N = (0, 0, 1. Oznaqimo sa Q = (q 1, q, 0 prodor prave P N kroz kompleksnu ravan. Nakon kraeg raquna dobija se q 1 = p 1 t 0 = p 1 1 p 3, q = p t 0 = p 1 p

35 Dakle, preslikavae π : S (1\{N} C je u kompleksnim koordinatama dato formulom π(p 1, p, p 3 = p 1 + ip 1 p 3. Sledea Lema daje nam jednostavnu formulu za kompoziciju stereografske projekcije i Gausovog preslikavaa za minimalnu krivu u C 3. Lema 3.1. Neka je Ψ : U C n minimalna kriva i Ψ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3. Neka je n jediniqno normalno vektorsko po e pridruene minimalne povrxi. Tada je π n = φ 3 φ 1 iφ. Dokaz. Koristei dobijene formule za jediniqnu normalu i stereografsku projekciju u kompleksnim koordinatama dobijamo π n = (I(φ φ 3 + ii(φ 3 φ 1 Ψ 1 I(φ 1φ Ψ = (I(φ φ 3 + ii(φ 3 φ 1 Ψ I(φ 1 φ = φ 3(φ 1 + iφ φ 3 (φ 1 + iφ Ψ I(φ 1 φ = ( φ φ 3 (φ 1 + iφ + φ 3 3 φ 1 iφ Ψ I(φ 1 φ = φ 3( Ψ + iφ φ 1 iφ φ 1 (φ 1 iφ ( Ψ I(φ 1 φ φ 3 =. φ 1 iφ su Koeficijenti druge fundamentalne forme pridruene familije povrxi z(t, u, v e(t, u, v = g(t, u, v = R((e it Ψ n, f(t, u, v = I((e it Ψ n. Kako su sve povrxi pridruene familije izometriqne, one imaju istu Gausovu krivinu, pa moemo govoriti o Gausovoj krivini minimalne krive. Lema 3.. Gausova krivina minimalne krive Ψ : U C n je K = 4( Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ

36 Dokaz. Koristei Ψ = λ i formulu (14 imamo K = 4 Ψ z z log(ψ Ψ = Ψ z ( Ψ Ψ Ψ = 4( Ψ Ψ (Ψ Ψ (Ψ Ψ Ψ 6 = 4( Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 6. Postav a se pitae kako konstruisati minimalne krive. Znamo da je minimalna izotermalna povrx x : U R 3 realni deo minimalne krive, odnosno trojke (ψ 1, ψ, ψ 3 analitiqkih funkcija. Kako taqno ih odreujemo ako znamo x? Standardan metod za odreivae (do na konstantu analitiqke funkcije f : U C qiji je realni deo data harmonijska funkcija h : U R koristi Koxi-Rimanove uslove i zahteva integraciju, kao xto smo ve videli. Meutim, postoji i jedan drugaqiji, algebarski metod koristei kompleksne koordinate formalno umesto realnih u, v u h(u, v. Lema 3.3. Neka je U otvoren podskup R = C na kome je definisana harmonijska funkcija h : U R i z 0 = u 0 + iv 0 U fiksirana taqka. a Neka je f : U C analitiqka funkcija qiji je realni deo Rf(u + iv = h(u, v i imaginarni deo u taqki z 0 If(z 0 = 0. Tada vai ( z + z0 f(z = h, z z 0 h(u 0, v 0. (6 b Obrnuto, ako je f : U C definisana sa (6, tada je ona analitiqka i zadovo ava f(z 0 = h(u 0, v 0. Neka za minimalnu izotermalnu povrx x : U R 3 vai x(u, v = (h 1 (u, v, h (u, v, h 3 (u, v. Primeujui prethodnu Lemu na svaku komponentu h j u proizvo noj fiksiranoj taqki (u 0, v 0 U dobijamo analitiqke funkcije ψ j koje zadovo avaju uslove Rψ j (u + iv = h j (u, v, (7 Iψ j (z 0 = 0. Definicija 3.7. Preslikavae Ψ = (ψ 1, ψ, ψ 3 qije komponente zadovo avaju uslove (7 naziva se kompleksifikacija povrxi x. Svaka komponenta povrxi x je realni deo odgovarajue komponente od Ψ, pri qemu se poklapaju u taqki z 0. Dakle, vai

37 Teorema 3.6. Neka je x : U R 3 minimalna izotermalna povrx i (0, 0 U. Oznaqimo sa Ψ = (ψ 1, ψ, ψ 3 kompleksifikaciju povrxi x odreenu uslovom IΨ(0 = 0. Tada je ( z Ψ(z = x i, z x(0, 0, dok je konjugovano harmonijska izotermalna povrx y povrxi x odreena uslovom y(0, 0 = 0 data sa ( ( u + iv y(u, v = I x, u + iv x(0, 0. i Primer 3.6. Primenimo prethodnu Teoremu uzimajui za x parametrizaciju Eneperove povrxi. Zameujui u i v redom sa z i iz dobijamo minimalnu krivu Ψ(z = (z z3, iz + iz3 3 3, z. (8 Konjugovana Eneperova povrx data je sa y(u, v = ImΨ(u + iv = (v + v3 3 u v, u + u3 3 uv, uv. Sada se lako moe pokazati da su sve povrxi pridruene Eneperovoj povrxi dobijene samo rotacijom oko z ose. Formula (8 moe se generalizovati sa Ψ(z = (z zn+1 zn+1, iz + i n + 1 n + 1, zn+1. n + 1 Diferenciraem dobijamo φ 1 (z = 1 z n, φ = i + iz n, φ 3 = z n, pa se lako proveravaju uslovi Teoreme (3.5: φ 1 + φ + φ 3 = 0 i φ 1 + φ + φ 3 0, xto znaqi da je realni deo ove minimalne krive minimalna povrx

38 4 Vajerxtrasova reprezentacija 4.1 Lokalna Vajerxtrasova reprezentacija Teorema (3.5 daje nam lokalni opis minimalne povrxi preko trojke Φ = (φ 1, φ, φ 3 analitiqkih funkcija koje zadovo avaju uslov φ 1 + φ + φ 3 = 0, odnosno preko minimalne krive Ψ koja zadovo ava uslov Ψ Ψ = 0. Ispostav a se da je ova diferencijalna jednaqina rexiva eksplicitno po Ψ. Teorema 4.1. Neka su f i g analitiqke funkcije definisane na otvorenom prostopovezanom podskupu U kompleksne ravni. Za fiksirano z 0 U kriva Ψ = (ψ 1, ψ, ψ 3 : U C 3 data sa je minimalna. ψ 1 (z = ψ (z = ψ 3 (z = z z 0 z z 0 z f(ω (1 g(ω dω, if(ω (1 + g(ω dω, z 0 f(ωg(ωdω Dokaz. Kompleksni izvod analitiqke funkcije Ψ jednak je ( 1 Ψ = Φ = f(z(1 g(z, 1 if(z(1 + g(z, f(zg(z, odakle se lako proverava da je zadovo en uslov Ψ (z Ψ (z = 0. Krivu Ψ nazivamo Vajerxtrasovom minimalnom krivom sa poqetkom u z 0 i odreenom funkcijama f i g. Kako su ψ 1, ψ, ψ 3 analitiqke funkcije, formulama { x(u, v = R(ψ1 (u, v, ψ (u, v, ψ 3 (u, v, (30 y(u, v = I(ψ 1 (u, v, ψ (u, v, ψ 3 (u, v, odreene su minimalne izotermalne elementarne povrxi x i y takve da je Ψ(z = (x+ iy(z kompleksifikacija od x. Nazivamo ih redom Vajerxtrasova i konjugovana Vajerxtrasova povrx sa poqetkom u z 0, odreene funkcijama f z i g, tj. formulama ψ k (z, z = c k + R φ k dz, c k = const, pri qemu se integrali po proizvo noj deo-podeo glatkoj krivoj koja spaja taqke z i z 0 z 0. Uslov da funkcije f i g budu analitiqke je dosta jak. Mnoge poznate minimalne povrxi ne mogu se dobiti na ovaj naqin, ve kao Vajerxtrasove povrxi odreene funkcijama f i g koje imaju izolovane singularitete. Preciznije, dozvo avamo i da funkcije f i g budu meromorfne, tj. da imaju eventualne singularitete koji su obavezno polovi. Zapravo, u [9] se uzima da je f holomorfna na nekom otvorenom (9-37 -

39 skupu U kompleksne ravni, a g meromorfna na U, pri qemu je svaki pol z 0 funkcije g reda m 1 ujedno i nula funkcije f vixestrukosti bar m. Zbog ovog uslova Loranov red funkcija f(1 ± g u okolini taqke z 0 sadri samo pozitivne stepene od z z 0, pa su one holomorfne u okolini svake takve taqke z 0, a samim tim je i funkcija ϕ holomorfna. Drugi naqin je da se nametne uslov da funkcija fg mora biti holomorfna. Lako se dokazuje da je metrika na ovim povrxima zadata sa ds = 1 4 f(z (1 + g(z dz, xto specijalno znaqi da su one izometriqne. Iz oblika metrike se vidi da je funkcija skaliraa λ = ϕ = f (1 + g. Takoe, one su regularne u onim taqkama u kojima je funkcija f razliqita od nule. Kako je g meromorfna, mogue je da u taqki z 0 bude f(z 0 = 0 i fg (z 0 0, pa su i u takvim taqkama minimalne povrxi regularne. Ako dozvolimo singularitete na minimalnim povrxima, takve minimalne povrxi nazivamo generalizovanim minimalnim povrxima. Singularne taqke z 0 na ima nazivamo granama ili taqkama granaa i one su odreene uslovima f(z 0 = 0 i fg (z 0 = 0. Pre nego xto preemo na primere, postoji jox jedan oblik (lokalne Vajerxtrasove 11 reprezentacije. Pretpostavimo da je funkcija g holomorfna, sa holomorfnom inverznom funkcijom g 1. Tada g smatramo novom kompleksnom promen ivom τ = g sa dτ = g dz. Definiximo F (τ = f, odakle dobijamo F (τdτ = fdz. Dakle, ako g zamenimo g sa τ i fdz sa F (τdτ, dobijamo Teorema 4.. Za svaku holomorfnu funkciju F (τ, povrx data parametrizacijom je minimalna povrx. Tada je Φ = x 1 (u, v = R (1 τ F (τdτ, x (u, v = R i(1 + τ F (τdτ, x 3 (u, v = R (1 τ F (τdτ, ( 1 (1 τ F (τ, i (1 + τ F (τ, τf (τ. Prva reprezentacija je opxtija jer vai pri slabijim uslovima. Ovim dobijamo da svaka holomorfna funkcija F (τ odreuje minimalnu povrx. Naravno, texko je oqekivati da e svaka dati kompleksne integrale koje je mogue predstaviti lepim formulama. Uprkos tome, iz same Vajerxtrasove reprezentacije mogue je dobiti dosta informacija o samoj povrxi. 11 Karl T heodor W ilhelm W eierstrass ( , nemaqki matematiqar

40 Primer 4.1. Najjednostavniju Vajerxtrasovu reprezentaciju ima Eneperova povrx, odreenu funkcijama f(z = 1 i g(z = z na celoj kompleksnoj ravni. x(u, v = R (1 z, i(1 + z, zdz = R (z (z z3 3, i + z3, z 3 = (u + uv u3 3, v + v3 3 + u v, (u v, do na translaciju. Smenom koordinata (u, v parametrizaciju. ( u + v, u v dobijamo standardnu Primer 4.. Jedna Vajerxtrasova reprezentacija katenoida je odreena funkcijama f(z = 1, g(z = z, definisanih na skupu C\{0}. Iako skup C\{0} nije prostopovezan, ipak moemo korektno definisati Vajerxtrasovu reprezentaciju. z z Naime, potrebno nam je da skup U bude prostopovezan da integral ϕ k dz ne bi zavisio od z 0 puta. U sluqaju skupova koji nisu prostopovezani, definixemo periode, tj. integrale du proizvo ne zatvorene krive koja se ne moe neprekidno skupiti u taqku. Da bi smo imali korektnu definisanost, z potrebno je da realni periodi integrala budu nula, odnosno da vrednost ϕ k dz budu qisto imaginarni brojevi. Ako su (ρ, ϕ z 0 polarne koordinate u kompleksnoj ravni, tada je katenoid zadat formulama x = 1 ( 1 ρ + ρ cos ϕ,, y = 1 ( 1 ρ + ρ sin ϕ, z = log ρ. Prema tome, veza izmeu koordinata je ρ = e z. Kako ρ 0, to z +. Paralele z = const odgovaraju koncentriqnim krugovima ρ = z = const, koji se skup aju u taqku ρ = 0 kako z +. Ako malo variramo Vajerxtrasovu reprezentaciju katenoida stav ajui f(z = i z, g(z = z, dobiemo realne periode na C\{0}. Da bismo ih se oslobodili, izbaciemo iz kompleksne ravni polupravu odreenu nepozitivnim realnim brojevima, qime dobijamo prostopovezanu oblast. Time dobijamo jedan deo helikoida zadatog jednaqinama x = 1 ( ρ 1 sin ϕ = sinh a sin b, ρ y = 1 ( ρ 1 cos ϕ = sinh a cos b, ρ z = ϕ = b, gde je ϕ < π, ρ > 0 i ρ = e a, ϕ = b. Ako sada zalepimo prebrojivo mnogo kopija C\R na prirodan naqin (gori deo k te na doi deo (k + 1 ve, k Z, dobijamo

41 ceo helikoid. Ovo je zapravo ekvivalentno tome da se ugao ϕ kree od do +. elimo da naemo promenu koordinata odreenu sa e z. Kompletan helikoid moemo dobiti Vajerxtrasovom reprezentacijom odreenom funkcijama f = i e z, g(z = e z na C, i to x = sinh u sin v, y = sinh u cos v, z = v, gde je z = u + iv. Funkcijama f = e z, g(z = e z na C odreeno je natkrivae katenoida sa beskonaqno listova, zadato formulama x = cosh u cos v, y = cosh u sin v, z = u. Slika 6: Transformacija helikoida u katenoid Primer 4.3. Vajerxtrasova reprezentacija Xerkove povrxi nad jediniqnim diskom z < 1 odreena je funkcijama f = 1 i g(z = z. Ako posmatramo reprezentaciju 4 z 1 z na C\{z z 4 = 1}, integrali ϕ k dz imae realne periode. Analognim postupkom z 0 kao kod helikoida, dobiemo reprezentaciju cele Xerkove povrxi. Primer 4.4. Vajerxtrasova povrx odreena funkcijama f(z = 1 1 i g(z = z je z4 reparametrizacija Henebergove povrxi. Zaista, vai Φ(z = ( 1 (1 z 4 (1 z, i (1 z 4 (1 + z, z(1 z