3. FIZIKA SEIZMIČKIH IZVORA

Transcript

1 . FIZIKA EIZMIČKIH IZVORA Nakon što smo stažl azne tpove sezmčkh valova ko se aspost koz Zeml, te počl ntašn stkt našeg planeta koa oblke pole sezmčkh valova, veme e da se pozabavmo zvoma samh sezmčkh valova. Iako se mnoga stažvana stkte Zemle obavla tako da se mnmalza teca nepozdanost zvoa, općento stažvana stkte zahteva detalno poznavane sezmčkog zvoa. Naavno, sam zvo s od velkog nteesa, e občno pkaz važne dnamčke pocese. Zaps potesa na sezmogam e kompleksn spo svostava zvoa efekata aspostana. oznavane efekata aspostana dozvolava nam bavlene fzkalnm pocesma zvoa. To e početna pozca: potebt ogančen zoak sezmčkog valnog pola detektanog egstanog sezmometma azmeštenma po povšn, kako b zvel zaklčke o kompleksnm katkotanm (tanzentnm) fenomenma ko se događa tsćama klometaa daleko, možda na velkm dbnama, sedstv komplcanom kao što e Zemla! Upavo s svostva sezmčkh valova saveznk sezmologa p tom nastoan, s detalnm nfomacama o poces zvo koe s penesene do sezmometa s elatvno malo gbtka ezolce, osgavać mogćnost zmana obz efekata aspostana.

2 .. TEORIJA ELATIČKOG ODRAZA otebno e poznat se s elastodnamčkm modelma ko s azven da pkaž fzkalne vete stenama pod koma nasta sezmčk valov. Osnovn mehančk pkaz sezmčkog zvoa e ogančeno podče postone dmenze L vemena taana L/c, gde e c bzna lomlena. Kada e epcentalna dalenost >>L valne dlne s elatvno velke (/L>>) l, goozne, />>L, epcentalno podče može bt shvaćeno kao točka koo s sle napetost ppadn moment avnotež ( sle napetost ščezava, a takođe moment sla M F ednadžbe gbana pelaze ednadžbe napetost nema gbana). Love e 97. napavo edn od pvh analza sstava sla točkastom zvo. Uzoc potesa otes nasta p znenadnom oslobađan enege nta ogančenog podča Zemle. Ta enega e gavtacsko potencalna, knetčka, kemska l enega elastčkh defomaca. Oslobađane takve enege može se smatat neposednm zokom potesa. Osnovno geodnamčko ptane e ko poces dovode do akmlana te enege. Mnoštvo dokaza navod da od navedena čet tpa enege, samo enega elastčke defomace može bt oslobođena dovolno kolčn da zoke značan potes. otes zokovan oslobađanem enege elastčkh defomaca zov se TEKTONKI OTREI. Tektonsk potes nastae kada sle napetost nekom podč Zemlne ntašnost bva akmlane do točke kada mateal vše ne može podnost petean sl dolaz do loma. Bdće sezmčke valove zok see lomova stenama, ko se dešava stom sme ponekad se potež nekolko klometaa ( slča potesa z 906. smcane dž an Andeas aseda potezalo se 40 km s maksmalnm pomakom dž aseda od 7 m). mećeno e da s VULKANKI OTREI povezan s vlkanskom aktvnost vlkanskm podčma Zemle. U tm slčaevma oslobođena enega može bt hdodnamčkog poekla (np. kada se gbane mase magme nta vlkana znenada zastav). U ostalm slčaevma dektan zok može bt pekomeno akmlane plnova (aste tlak!). oloža magme može bt sekndan zok potesa, e zokć napetost defomac ssednh podča dovod do poave tektonskh potesa. v potes ko pozlaze z vlkanske aktvnost s elatvno mal. Velk potes mog se ponekad dogodt blz vlkana, al počavana s pokazala da on ns dektno povezan s lokalnm vlkanom. Ostal podn potes (sv elatvno male enege) klč one č e zok oslobađane gavtacono-potencalne enege (np. šavane šplna blz Zemlne povšne l odon zemle). Takođe kemske nkleane eksploze zok sezmčke valove.

3 Dektan dokaz polagane akmlace elastčke enege nenog naknadnog oslobađana pozlaz z počavana fenomena potesa. očavane geodetskh meena dž an Andeas aseda pe posle velkog potesa an Fancsc ( ) omogćlo e H.F. Red da 9. znese svo teo elastčkog odaza koa dae vez zmeđ enege elastčke defomace potesa. Teoa elastčkog odaza (Osnovn postlat). Lom stene sled koeg dolaz do tektonskog potesa e ezltat elastčke napetost veće nego što čvstoća stene može podnet. To zoke elatvn pomak dž asednh kla.. Do th elatvnh pomaka ne dolaz znenada s početkom loma, već on svoe maksmalne znose postž postepeno odeđenom (vše l mane dgom) vemenskom nteval.. Gbane masa do koeg dolaz za veme potesa e edno elastčko delovane dž loma, koe tež spostavlan stana bez elastčke defomace. To gbane postepeno opada, gledano od žašta, a pža se nekolko klometaa daleko od samog loma. 4. Valov potesa nasta na povšn loma. ovšna s koe se počn št osclace nape e vlo mala, a bzo se može ako povećat. 5. Enega oslobođena za veme potesa bla e, neposedno pe početka loma, akmlana oblk enege elastčke defomace. Red tvd: osto mogćnost da se kpn pomak neko točk ne dogod odednom već nekolko koaka. vako znenadno pekdane počnane gbana zokovat će nastaane sezmčkh valova. Možemo vdet da e veoatnost neeglanog gbana povezana s svostvma loma aseda (povemen zasto, azlke tlak, hapavost asednh ploha). Ta svostva loma aseda mogće e klčt modelane sezmčkog zvoa. Rasedna hapavost (oghness) e poznata kao aspet (aspetes), a mesta gde se lom spoava l zastavla nazva se baeama. N. Haskell e 964. azvo model sezmčkog zvoa koem e gbane dž aseda opsano nzom koheentnh zvoa dž ednog segmenta aseda (petpostavleno e da e šene valova sa ssednh asednh kla statstčk neovsno). Godne 977. s Das Ak azmatal modele asedana s baeama. Rasedane može počet žašt blz baee št se na edn l obe stane (nlatealno l blatealno) sve dok ne bde spoeno l zastavleno na sledećo bae. Baee mog ostat nepomenene l pknt sled pomcana okolne mase. onekad baea ne pkne odmah, nego sled aspodele napetost nelneanh efekata pkne kasne zokć (ponekad!) naknadne potese. Zaklčno, za fzkaln model zvoa tektonskh potesa sada se smata da se asposte po asedno ploh stenama. Lom aseda napede kao posledca nza pomaka (dslokaca) azlčth bzna loma, nastalh žašt potesa. Fonta th pomaka mena bzn p polaz peko podča hapavost l baea na ased. Na bovma pomaka, odeđenom vemenskom nteval teba doć do smcana (slp) spotnh asednh ploha, a samo smcane moa bt takvo da elastčko

4 povatno delovane ob stana aseda mane kpn napetost. amo smcane (slp) ma vetkaln hozontaln komponent, te može vaat dž aseda. Zbog oslobađana enege napetost za veme smcana, blz fonte pomaka nasta sezmčk valov.

5 .. ENERGIJA DEFORMACIJE RIJE OTREA osto veza zmeđ enege oslobođene žašt potesa čvstoće mateala blz žašta. etpostavt ćemo da s E devaton (l dstozsk) tenzo napetost defomace neko točk podča gde defomaca dovod do loma ko zoke potes. Uvest ćemo sledeć notac: p p p a c k p p c 0 A k p a A p p a A Konecke delta A A ema defnc devaton tenzo napetost e: p p p p p p p p p p p p gde s p tenzo napetost. Iz gone ednadžbe pozlaz: = p - p obzom da po defnc devatonog tenzoa moa vedt: (p -p) + (p -p) + (p -p) = 0 moa bt: p p ll p p p ll

6 obzom na navedeno velčne E defnamo na sledeć načn: E p e pll ell (4) Znamo da e : e ll e Hookov zakon glas: p = + e (5) što za = zgleda: p = + e p = + e p = + e manem gonh ednadžb dobvamo: p p ll e e e λ μθ p kθ λθ μ θ k ll (6) (k = λ + μ) omoć (4), (5) (6) dobvamo: p k E k Iz (4) dobvamo: E E e e e E, e k e k k 9 E e ll e e 9 k

7 omatat ćemo sedstvo M nta paaleleppeda če s dmenze stanca, a volmen V =. p p p p p p -p -p -p n Napomena: edznak napetost p se poddaa sa smeom vanske nomale na poedn ploh. Indeks označava os na ko e stanca okomta, a ndeks os dž koe e smeen vekto napetost. Inteesa nas točka, č pomak e označen s, a akceleaca s a. d kpan pomak točke vemen dt dwv kpan ad de k V povećane knetčke enege dqv mehančk ekvvalent topln ko emta sedstvo M duv povećane ntane enege v zakon temodnamke glas: dw = du + de k + dq Da bsmo dobl kpan ad obavlen na del sedstva M, moamo smat ad obavlen pod tecaem volmnh sla ona obavlen pod tecaem povšnskh sla. ((Opaska: sla=napetostpovšna; ad=slapt)) Rad obavlen pod tecaem volmne sle X po ednc mase e (sla po volmen = F/V = maρ/m = ρa): VX d

8 Rad obavlen pod tecaem povšnskh sla odedt ćemo tako da nape pomotmo samo edn komponent sle napetost, np. p : p d p d p d p d V Analogno dobvamo ostale komponente sle napetost, tako da e kpan ad po ednčnom volmen ednak: dw X d pd (6) Za knetčk eneg mamo: de kv d Vv d obzom da e V 0 možemo gon ednadžb psat kao: dt de k d v v dv dt dt a d (7) Ako znamo da elastodnamčka ednadžba gbana glas: a p X tada možemo azlk ednadžb (6) (7) psat: dw de dw de k k X d p pd d pd p d a d X a d pd (8) obzom da možemo psat (sa zadovolavaćom točnost): d d a po defnc komponente defomace (često otacona defomaca) s sledećeg oblka:

9 e (9) Tako z (8) (9) dobvamo: dw de k du dq p de p d obzom da e p smetčan tenzo (p = p ), a antsmetčan ( = - ; = 0), pa podkt p d ščezava. DOKAZ: p d p p d d p 0 d p d p d d p d p d p p p d p p d p p 0 0 Dakle možemo psat: d p d du+dq = p de BOX RVI ZAKON TERMODINAMIKE: a) Enega može pelazt z ednog oblka dg, al se ne može stvot l nštt. Ukpna kolčna enege sedstva svem ostae konstantna, samo se mena z ednog oblka dg. (Enega posto aznm oblcma, kao toplnska, kemska, elektčna svetlosna. Enega e sposobnost da dođe do pomene l da se obavla ad.) b) vakom sstav mogće e dovest eneg oblk toplne l ada. Ako se sstav dovod enega na takav načn da on ne obavla ad, pema zakon o sačvan enege, nem će se akmlat neka kolčna enege koa povećava negov ntašn eneg. Toplna dovedena sstav delomčno se petvaa ntašn eneg sstava, a delomčno ad što sstav p pezman toplne zvede na okoln. Q = U - W (W>0 ako ad obavla vanska sla na sstav W<0 ako ad obavla sstav svladavać nek vansk sl) DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE: a) N edan poces tekom koeg se obavla ad l dolaz do pomene ednog tpa enege dg ne 00% efkasan. To znač da e vek do enege zgblen kao nasmčno gbane molekla, što nazvamo toplnskom enegom. b) U svakom sstem entopa ma tendenc povećana. Entopa e mea needa. c) Toplna ne može pelazt sama od sebe s tela nže tempeate na telo vše tempeate. etpostavmo l zotemne vete (T=konst.), stane koem e sedstvo M e fnkca samo defomace e. o dgom zakon temodnamke d (= dq/t), pa tme samo dq, e potpn dfeencal defomace e (de ). Iz pvog zakona temodnamke pozlaz da e du potpn dfeencal e (de ). toga možemo psat: p de = d(u+q) = d (0)

10 gde e fnkca defomace e zovemo e GUTOĆA ENERGIJE DEFORMACIJA (engl. stan enegy densty l stan-enegy fncton). p e ada ćemo vest tenzo 4-tog eda c kl ko e fnkca samo elastčkh konstant defnan e sledećm zazom (Jeffeys and Jeffeys, 97: Methods of Mathematcal hyscs): c kl = kl + ( k l + l k ) ada možemo Hookov zakon psat na sledeć načn: p = c kl e kl () DOKAZ: p kl kl e kk e k l e kl l k kl e e e l l k e e kl k ( ) e k l e ( ) e ( ) e k kl e k e k e e e k p e e k e e k e = (e s smetčn!) Ako povežemo (0) (), dobvamo: p ckle kl e () Vdmo da e homogena fnkca komponenata defomace. Iz tog azloga e moa eksplctno ovst samo o defomac e. obzom da e e mala velčna možemo psat oblk pva t člana McLanova eda:

11 Odnosno: a e e e 0 kl e e 0 e kl 0 a e a e 0 kl ekl Rbn vet: a) Za slča kada nema defomace (e = 0) moa enega bt ednaka 0 ( e 0) a 0 0 a 0 0 b) Enega popma svo mnmm za slča kada nema defomace e e 0 0 a 0 Dakle mamo: a kleekl () Za koefcent a kl možemo psat: a kl ee kl 0 e kl p e 0 p e kl 0 c c (4) kl 0 kl Konačno, na osnov (), () (4) sled: c kl e e kl p e Gon ednadžb nazvamo CLAEYRON-ovm OBLIKOM GUTOĆE ENERGIJE DEFORMACIJE. Nadale z Hookovog zakona sled: p e e e e e k k k E e e k e e (5)

12 Na osnov zvedene elace vdmo da nam e dstozska enega defomace sledećeg oblka: E DD V E dv Ako pšemo: = ( ) gde e vednost ko će popmt fnkca za =. koefcentom označavamo dalenost točke od mesta asedana, te može popmt vednost nteval od 0 do (0 ). Za =, točka se nalaz na asedan. Velčn nazvamo INDEKOM ČVRTOĆE. Na osnov do sada zvedenh elaca mamo: E DD 4E V DD E dv V V 4 dv dv V dv V D gde e V D volmen defomanog podča na koem e posvda =. Zaedno s dstozskom enegom defomace E DD, općento će postoat neka dlatacska enega defomaca E D koa odgovaa pvom član na desno stan ednadžbe (5). Općento, zbog gbtaka p ten naknadnh potesa, enega E oslobođena vd sezmčkh valova glavnog potesa bt će mana od sme enega E D E DD (E D = E D + E DD ). Enega naačh potesa e eda velčne 0 0 J. otes navećh oslobođenh enega događa se za žašne dbne do 50 km, a dbl potes mog oslobodt eneg pblžno /0 naveće vednost.

13 .. RIKAZ EIZMIČKOG IZVORA Izvo sezmčkh valova mog bt vansk (vlkanske epce, azne eksploze, veta, oceansk valov, pad meteota, ) ntan (potes, podzemne eksploze). Razmatat ćemo ntane zvoe azlkovat ćemo dva tpa zvoa: ) zvo zokovan asedanem (faltng soce) ) volmn zvo (volme soce) Gbana zabležena na sezmogam s ezltat efekata aspostana valova efekata sezmčkog zvoa. toga e glavn vet p počavan mehanzama zvoa zolane efekata aspostana valova. U nove veme se mehanzm pomaka žašt potesa počava kako b se pkazalo gbane tektonskh ploča. Teoa sezmčkog zvoa e takođe šoko pmenva s gledšta pocene sezmčkog hazada, na osnov geološkh geofzčkh podataka o oblžnm asedma azdob egonalnh napetost. Glavnna sezmčkh zvoa klče asedane l smcana gbana Zemlno ntašnost. No, postoe zvo zokovan kontolanom podzemnom eksplozom. To s čest zvo dosta šokog aspona oslobođene enege. Male eksploze se koste za mnane, tasane cesta, azne kontkcske pmene, al za stažvane podnh essa stde koe. Velk zvo klč podzemne nkleane testove ko pozvode valove dovolno snažne da bd egstan na spotno stan Zemle. Naosnovn aspekt koeg nttvno povezemo sa svm eksplozama e sfena smetčnost, kako samog zvoa tako pola pomaka. Inače, sama eksploza može pozvest špln kao posledc talena, defomace okolnh stena,... (np. nkleana eksploza može pozvest špln pomea do 500 m).

14 ... Izvo zokovan asedanem Za azlk od podzemnh eksploza većna sezmčkh zvoa ne sfeno smetčna. Na pme, asedane zokovano smčnm pomakom (smcanem) na avno povšn, svakako ne sfeno smetčno, al sveedno pokaze smet nskog eda. Izlazeć valov s pod tecaem azdobe defomaca blz zvoa stoga penose asmet na dalene lokace. To dovod do poma model postone azdobe začena (adaton patten), ko klče geometsk ops ampltde početnog gbana aspodelenog na valne fonte - -valova blzn zvoa. meta nskog eda smčnog pomaka omogće nam da pedvdmo odnos zmeđ modela postone azdobe začena, valnog gbana koe se može otkt oentace asednh avnna, što omogće odeđvane dalenh asednh pocesa. ema teo elastčkog povatnog delovana, do smčnog gbana (smcana) na ased dolaz kada akmlaca elastčke defomace blzn zvoa svlada statčk napetost zokovan tenem koa spečava gbane. Klzno gbane započne točk (žašte potesa), te se fonta pomaka š pema van peko celog aseda, azdvaać podča koa se gba (l s klznla potom stala) od onh koa se oš ns pomaknla (slka ). Epcenta Epcenta ole pomaka na ole podč pomaka loma na podč loma D(,t) D(,t) Žašte l Žašte l hpocenta hpocenta Rasedna avnna avnna Šene Šene fonte fonte loma loma lka. hematsk pkaz loma na ased ko se š od hpocenta (žašta potesa) peko avnne aseda. va podča koa se smč zače kontnano eneg zlazećh - -valova. ole pomaka, D, t, se mena po povšn aseda. mette da sme aspostana loma općento ne paalelan sme pomaka. Šene podča loma e stoga fnkca položaa vemena, A(,t), kao što e ppadna fnkca pomaka, D, t, koa dae tentn vekto klznog gbana na ased. Nakplena enega elastčke defomace podč zvoa oslobođena e oblk toplne sezmčkh valova, te tako gbane dž aseda pestae. Za valove velkh valnh dlna (dgopeodčk), ko s pobđen gbanma zvo, podče loma volmen zvoa ko oslobađa eneg defomace s elatvno mal mog bt apoksman točkastm zvoom (pont soce). Valov kaćh valnh dlna

15 (katkopeodčk) s osetlv na dmenze detalne pomene pocesa pomaka na ased, te on zahteva modele ogančenh zvoa (fnte soce). Ovde se nećemo bavt podom klzana asednh kla z klčeno tene ppadnm ežmom napetost stenama. ada ćemo se pak koncentat na geometsk pod asedana matematčk pkaz samog asedana. Ovde e zgodno navest standadn nomenklat p opsvan oentace aseda smea pomaka. Rasedane pedočavamo pomcanem dva bloka (asedna kla) mateala (slka.a), p čem se zahteva da pomak lež avnn koa poveze ta dva bloka. Ova zahtev naped sklče etensonal cack (pkotna koa se š), pa ćemo takve zvoe dsktat kasne. Vekto pomaka Vekto pomaka odna odna Kovna lka.(a) (b) Konvenca menovana dva bloka aseda (asedna kla). Blok spod aseda e ODINA, a ona znad KROVINA. tandadna defnca avnne aseda paametaa ko defna oentac vektoa pomaka. Na slc s defnan sme pžana aseda (stke - f ), nagb aseda (dp - ) pomak dž aseda (ake - ). Kako bsmo bl mogćnost opsat oentac asedne avnne pomoć geogafskh koodnata, potebna s nam dva ktna paameta (slka.b). To s sme pžana aseda (stke), f, ko e azmt poekce aseda na povšn Zemle, meen od geogafskog sevea, kt nagb aseda (dp),, ko e kt meen pema dole od povšne Zemle do avnne aseda. me pžana aseda e defnan tako da kt nagba aseda moa bt man od 90 (ako smete palac desne ke dž smea pžana aseda otate svo k pema dole od hozontalne avnne pema avnn aseda, vaša ka moa zatvaat s hozontalnom avnnom kt man od 90). me pžana aseda e pozvolne oentace za ased vetkalnog nagba ( = 90). Tentno gbane asednh kla e defnano vektoom pomaka, ko može mat blo kakv oetac na avnn aseda. me vektoa pomaka e dan ktom pomaka (ake),, ko se me avnn aseda od smea pžana aseda do vektoa pomaka, pokazć sme gbana kovne odnos na podn. Velčna (znos) vektoa pomaka e dana s D, što e kpn pomak asednh kla. Općento, f,, D mog se menat dž ogančene povšne aseda, dok za ednostavne modele zmamo nhove posečne vednost. U sledećo tablc s dane osnovne kategoe aseda ovsnost o ktevma.

16 Osnovne kategoe aseda l l 70 lev thst lev evesn desn thst desn evesn desn nomaln desn nomaln lev nomaln lev nomaln stke slp stke slp dp slp dp slp Na sledećo slc pkazan s azlčt tpov asedana. tke-slp tke-slp ased ased Nomaln ased Revesn ased lka. me asedana za azlčte vektoe pomaka.

17 ... padne ( ekvvalentne ) postone sle Kao što e poznato ednadžba gbana elastčkom sedstv e sledeća: f etpostavt ćemo da se pomak može zazt pomoć skalanog vektoskog potencala: te s na ta načn azdvoen poemeća - -valova, ponaosob. ada možemo postavt sledeće ptane: ostoe l postone sle f koe s ednake (ekvvalentne) pomcan sled potesnog asedana, ako postoe možemo l ešt gon ednadžb kako b ponašl valn poemeća ko s te sle pozvele? Na pv pogled zgleda neveoatno da b blo ko sstav ednostavnh postonh sla mogao na zadovolavać načn pkazat konačno smčno (smcano) asedane. onape, asedane e konačnh dmenza. Kao što smo već navel, lom započne žašt š se peko asedne avnne kao fonta loma (slka ). Kako se fonta loma š, sva podča aseda koa se počn gbat (klzat) kontnano zače eneg oblk - -valova. oedn delć na ased mog mat glatk l nepavln vemensk nz gbana čestca. Takođe, svaka točka na povšn loma može mat neznatno azlčt vekto pomaka. Općento, očeke se da će t vekto pomaka bt pblžno paaleln, al znos pomaka može vaat postono nta zone loma moa vaat na bovma povšne loma (tamo gde pomak ščezava). pomcan dž aseda, koe ezlta poavom potesa, zanemaemo mnoge dge fenomene kao što s: lokalno zagavane mogće talene stena, hdološke pomene tlaka, lomlene stena, kako b oblčl knematčk pkaz samog loma. Naš cl e zament ta poces knematčkog loma s pkladnm sstavom sla ko zoke ednako začene sezmčkh valova. Nas glavnom zanma kaaktestke aseda kao što s: kpno podče loma (A), posečn pomak dž aseda ( D ) posečna bzna sme aspostana loma ( v ). Za sezmčke valove, peoda džh l spoedvh taan loma valnh dlna velkh odnos na dmenze aseda, možemo kompleksno asedane pedočt pkazom ednostavnog pomcana (slka 4). U svoem naednostavnem oblk ta dealzaca modela pomcana će obhvaćat točkast zvo (nema postone dmenze) s vemenskm nzom ednostavnog pomcana kako b apoksmal poces začena sezmčkh valova za veme pomcana čestca šena podča loma. Kompleksn model postonh azdoba pomcana mog se zvest z ovog gančnog slčaa. Kompleksnost modela povećava se kako ome valne dlne sezmčke enege dlne aseda opada.

18 kaz stvanog pola pomaka po asedno avnn osečn model pomcana padn sstav postonh sla lka 4. Koncept ekvvalentnh postonh sla. tvano asedane klče kompleksno pcane fkcono klzane (klzane z teca tena) po povšn katkom vemen što ezlta postono-vemenskm nzom klzanog gbana. Konačn postono-vemensk poces asedana može bt apoksman modelom pomcana s vemenskm nzom pomcana D t. Nadale, ta model pomcana može se pkazat ekvvalentnm sstavom sla ko može bt dektno klčen ednadžbe gbana. osečn model pomcana sa slke 4. sada zgleda dovolno ednostavno da b mogao bt zamenen sstavom sla koe će bt DINAMIČKI EKVIVALENTNE, što znač da zok ekvvalentno začene sezmčkh valova. Tako će se poavt poteba za VREMENKI ROMJENJIVIM AROM ILA ko će delovat nta elastčkog sedstva kako b smlal pomcane. Nvo apoksmace klčen slc 4. ovs o osetlvost sezmčkh valova na poednost kompleksnost asedana, koe e ovsno o fekvenc valno dln, o dmenzama postoa na koem želmo odedt stvane napetost dž aseda. Osnovn nedostatak ovakvh knematčkh modela e da on eksplctno ne klč fzk nastanka pestanka loma, te ostavla mnoga temelna ptana neešena, al sveedno nam omogć počavane mnoštva kaaktestka samog asedana. Kod modela asedana s ednm paom sla avla se sledeć poblem: pa sla ma ppadn ( net ) moment f d ( d - azmak zmeđ kakova sla f ). M 0 Dakle, tentk kada dođe do pomcana sedstv se poav potpno neavnotežen net moment. Ako se pak psetmo dvoznačnost asedne pomoćne avnne za slča modela aspostana -valova, za očekvat e da nam e poteban dg pa sla kako b avnotežl naveden net moment sstava sla (slka 4.). Tako smo dobl model DVOTRUKOG ARA ILA (doble-cople) ko se tentno vše pefea kao model ekvvalentnh povšnskh sla za zvo pomcana. Kasne ćemo obadt općent sstav postonh sla nazvan TENZOR EIZMIČKOG MOMENTA, ko klče doble-cople kao specaln slča. Ako azmotmo geomet doble-cople sstava sla, možemo pedvdet neke od ezltata do koh ćemo doć dćm poglavlma. lka 5. pokaze da doble-cople sstav sla može bt ekvvalentno pkazan paom otogonalnh dpola bez smcana, što oš nazvamo GLAVNIM OIMA (to s os koma data velčna ma ekstem). Te os s pod ktem od 45 odnos na -avnn aseda, otogonalno avnn. Dpol smeem pema zvo e KOMREIJKI l - O lež kvadant dlatacskh pvh pomaka -vala. Dpol smeen od zvoa e

19 TENZIJKI l T-O lež kvadant kompesskh pvh pomaka -vala. ostona azdoba začena -valova sled geomet pkazan na slc 5. ostone azdobe začena - -valova s zaotane za 45 edna od dge. Doble-cople sstav sla Glavne os ostona azdoba začena -vala ostona azdoba začena -vala lka 5. Doble-cople sstav sla -avnn za smčno pomcane - avnn. Ekvvalentn set točkasth sla ko se sasto od dva dpola bez smcana, l glavnh os, e pkazan sedn. Na desno stan e postona azdoba začena - -valova (model gbana čestca sedstva sled polaza - -valova) za poedne valne fonte -avnn. Odeđvane ešena ednadžb gbana za kompleksn set postonh sla kao što e doble-cople, svod se nape na odeđvane pola pomaka nastalog sled delovana edne točkaste sle, potom poabom lneanost elastčkh ešena odedmo ešene za nekolko sla, kako b dobl pole pomaka za pa sla. toga e neophodno dobt (steć) fzkaln vd naelementana elastčka ešena za točkast sl. U t svh azmott ćemo ešene statčkog poblema sle f, koa dele točk O homogenog, elastčkog sedstva (slka 6a) kaaktezanog vednostma ρ, λ μ. Zanma nas pole pomaka točk. etpostavlamo da e vanska ganca beskonačnost ogančena, a to znač da e = 0 beskonačnost. etpostavmo da mamo sl F koa dele na mal sfe adsa a oko zvoa. Razmatmo pomak avnn koo se nalaz sla (vetkaln pesek). Ne teško zamslt da e ezltantn pomak pkazan sa stelcama na slc 6b. A znos samog pomaka možemo odedt na sledeć načn: petpostavmo sfe adsa. U avnotežnom stan sla koa dele sedšt te sfee moa bt zbalansana napetostma na povšn. Na slc 6b s napetost na povšn sfee kompesske točk C, smcane A te pol smcane pol kompesske B.

20 a) b) lka 6. (a) kaz beskonačnog sedstva; (b) Ravn pesek koz todmenzonaln volmen V koem dele točkasta sla F. Razmatat ćemo svostva pola pomaka na sfeno povšn daleno od točke delovana sle. Ako, općento, napetost na označmo sa, tada će avnoteža pvog eda sle davat (gde e 4 povšna sfee ): F 4 Ako zmemo da e () ednako znos pomaka, tada z geomete pkazane na slc d/d dae znos napetost (za lnean elastčnost znamo da ved E E, gde e E nek općent elastčk modl eda velčne e λ l μ, a defomaca): d F sla E napetost. d 4 povšna

21 Negatvn pedznak e zet e () opada s poastom. Integać gon zaz, te zmać obz ( ) = 0 dobvamo: F () 4E Možemo, dakle, očekvat da se pole pomaka (nastalog sled delovana točkasth sla) smane s dalenošć od zvoa, a pomac s dektno popoconaln sl obnto popoconaln elastčkom modl. Zapavo, goozna devaca pokaze (pokazat ćemo malo kasne) da, ako defnamo polane koodnate kao na slc: dobvamo sledeće zaze: Γ gde e: Γ Nadale ćemo vest točkast sl, potebt ednadžbe avnoteže l gbana kako b zvel avnotež sla, te tada ponašl pkaz vdlvog povšnskog gbana ( statčkog tanzentnog polaznog) odnos na velčn sle vemensk nz.

22 ... Elastostatka Cl nam e odedt statčk pomak točk zotopnom, homogenom sedstv gstoće elastčkh konstant, nastao kao posledca delovana sle točk O. Na velkm dalenostma od zvoa e pomak =0. Defnat ćemo točkast sl F sledećm zazom: F lm fv V 0 gde e: f - sla na ednc mase f - postona sla na ednčn volmen V mal element volmena na koeg f dele. Uvest ćemo todmenzonaln delta fnkc (): 0 V za dv 0 gde e V volme ko klče shodšte = 0. Tada točkast sl F možemo psat kao: F Fa () gde e a ednčn vekto sme sle. (6) BOX Gassov teoem Integal po volmen V s povšnom plohe koa omeđe ta volmen (oploše) e: dv n V d gde e: n - ednčn vekto smeen pema van svgde na, - vektosko pole, - dvegenca vektoa, koe me tok vektoskog pola koz ednčn volmen. Akmlaca pola volmen ednaka e tok koz povšn. ; to e skalano pole Neka e dalenost dva ad vektoa,, :

23 kladno b blo zazt δ() kao fnkc adalne koodnate. toga ćemo začnat sledeć ntegal: dv poabom Gassova teoema ko glas: dv gde e n nomala na povšn. V V n d Dakle, možemo psat sledeće: dv dv Gassov V V teoem n d d d Ako povodmo ntegac po sfe malog adsa, vedt će: 4R, R 0, te će gon ntegal popmt sledeć vednost: R d 4 odsktat ćemo gone ešene za slča kada e veće od 0, te kada tež 0: R a) > 0 R 0 => lm 4 0 R 0 R b) 0 R 0 => 4 R => dv 0 lm => dv V 4 V (7) Za slča kada b podntegalna fnkca (7) bla ednaka, tada b sa (7) 4 pavo bla defnana todmenzonalna delta fnkca, te na osnov navedenoga možemo psat: () 4 što všteno (6) dae: a F F 4

24 tatčko pole pomaka sled delovana edne sle Uvest ćemo sada ova matematčk pkaz točkaste sle naš osnovn elastčk ednadžb avnoteže, z 0 : F 0 U početk azmotmo točkast sl velčne F : F f Fa a a a F F gde e a ednčn vekto sme sle. (Upoabl smo elac: ) Jednadžba avnoteže pelaz sledeć oblk: a a F 4 4 obzom da znamo da se svako pole pomaka može pkazat smom solenodnog (gde e dvegenca pola svgde ednaka 0) bezvtložnog (gde e cklaca pola svgde ednaka 0) pola, tažt ćemo ešena oblka: z : A A A A 0 A 0 A Tako spsttcom dobvamo: Fa 4 A A Fa 4 A A 0 menom opeatoa otace dvegence na gon ednadžb dobvamo: Fa A 4 Fa A 4 Ako stavmo: A A a A A a dobvamo ossonove ednadžbe: (8)

25 4 F A 4 F A obzom da e, nteganem gonh zaza dobvamo: DOKAZ: 8 F A 8 F A Ova ešena s potencal ko zadovolava nehomogene ednadžbe (8). omake ćemo dobt tako da zaze za potencale metnemo zaze za pomake. psttamo l potencale A A, te zazmo vektoske opeace s adekvatnom notacom ndeksa. Np,,, y y y y y y y y y dobvamo I-TU KOMONENTU OMAKA ZA JEDINIČNU ILU (F=) U J-TOM MJERU ( ): za za 0 z pozlaz Ovo (9)

26 gde e: ZADATAK: Dokazat (9)! Za, ossonov ome /. Jednadžbom (9) defnan e OMIGLIANA TENZOR. Lako e očt da e on smetčan ( = ). Za sl F mamo sledećh 6 nezavsnh pemtaca: F 8 F 8 F 8 F 8 F 8 F 8 (0) DOKAZ (0):

27 lka 7. (a) Jednčn vekto polanom koodnatnom sstav s shodštem zvo. (b) Azmtalna azdoba adalnh ( ) tangencalnh ( ) pomaka avnn za točkast sl sme -os. Razmotmo naednostavn slča kada sla dele sme -os ponađmo pomake polanm koodnatama (,, ) za efeentn sstav zvoa (slka 7.) abeć Jacobanove tansfomace koodnata: 0 cos sn sn sn cos cos cos cos sn sn cos sn U avnn e = 0, pa mamo: cos 4 F sn cos sn 4 F cos sn cos sn ()

28 Ovo ešene (napsal smo ga već nešto ane) gafčk e pkazano na slc 7. Radalno gbane čne statčke defomace ednostavne (dve pavlne ozete) snsodalne azdobe oko zvoa s maksmmma dž smea delovana sle F. Tangencalne defomace avnn takođe ma slčn azdob (dve pavlne ozete). Osna smeta zahteva da ove azdobe bd zaotane oko -os kako b dobl pn -dmenzonaln azdob. ZADATAK: Za pozvolno odaban model gafčk pkažte ešene ()!

29 tatčko pole pomaka sled delovana paa sla Ako stavmo sl na položa (,, ) mesto shodšte, pomak (,, ) će nadale bt omoglana tenzo, p čem će sve dalenost tebat kogat za pomak lokace zvoa (np. ). Ako postavmo sl F, koa dele sme -os, na položa d dg sl F, koa dele sme - -os, na položa d, dobt ćemo edan pa sla, kao što e pkazano na slc 8. lka 8. a sla koe del na položa (,, ) paalelno s avnnom. omak točk (,, ) ednak e sm pomaka nastalh sled delovana svake poedne sle. Ako svak pomak azvemo Tayloov ed možemo psat:, d d O d, :,,, d, :,, Ovde agment nape označava lokac zvoa, a potom položa točke opažana. Dakle, ačnamo azlk zmeđ pola pomaka nastalh sled delovana poednh sla, dozvolavać malen poston pomak d zmeđ kakova sla, kako b odedl teca paa sla. obzom da ved:

30 možemo psat:. toga ved:, k k pa e pomak nastao sled delovana paa sla, pozconanh kao na slc 8., O d d Ako stavmo da F 0 d, tako da M Fd (konačn moment), dobt ćemo statčko pole pomaka za edan pa sla s momentom M. To e dektna posledca lneane spepozce ešena za elastčke mateale. Dakle, pomak nastao sled delovana ednog paa sla zvo, p čem sle del sme -os, a pomak kakova e sme -os, ćemo dobt ako zamenmo F sa M omglana tenzo, devamo sve članove po, te pomenmo pedznak: M d 8 M d 8 M d Jednako tako, ako e pa sla oentan dž -os s pomakom kakova dž -os možemo zvest: M 8 M 8 M Općento, za pa sla oentanh sme -os s pomakom kakova sme k-os će pomac bt,k, p čem e defnano da moment bde poztvan za

31 otac sme kazalk na sat (za k), te negatvan za on spotn od kazalk na sat ( za k). tatčko pole pomaka sled delovana dva paa sla lka 9. (a) Dva paa sla avnn. (b) Azmtalna azdoba adalnh ( ) tangencalnh ( ) pomaka avnn. (c) Razdoba kpnog pomaka avnn na kg oko zvoa, koa klče kombnac komponenata. U pethodnom poglavl (...) pokazano e da e model dva paa sla pkladan za ops sstava postonh sla koe zok pomcane sled potesa. Da b odedl pole pomaka nastalo sled delovana dva paa sla, potebno e smat pomake poednh paova. (To e stoga što pncp spepozce ko ved za točkaste sle moa takođe vedt za paove sla.) Dakle, za dva paa sla avnn, kao što e pkazano na slc 9a, pomac s dan sa:

32 Napomena: na ploč ne napsat ono nta okomth zagada!!!,,,, nekm elacama teba pazt da za slča > k => M < 0 M 8 M 4 M 8 M 4 M 4 M M 8 M () ZADATAK: Izvest ednadžbe ()! Na osnov ednadžb () vdmo da s pomac, polanm koodnatama (slka 7.) dan sledećm elacama: M 4 M 4 M 4 sn sn sn sn sn cos () ZADATAK: Izvest ednadžbe ()! mette da pole pomaka za dva paa sla opada s dalenošć od zvoa bže (/ ) nego što e bo za slča točkastog zvoa (/). Na avnn,, 0, te

33 sn cos Ovm ednadžbama s dane azmtalne vaace pomaka avnn koe s pkazane na slc 9b. Ako azmotmo statčke pomake na kg, dobt ćemo model kao na slc 9c, p čem smo klčl obe komponente (adaln tangencaln). Da l s ov ezltat koe smo pavo zvel kosn za nešto? vakako da es, s obzom da se ednadžbe (9), l slčne za blo ko dg oentac dva paa sla, mog nmečk začnat kako b odedl statčk defomac dela ntašnost Zemle oko aseda ko e klzno. Osnovna dea e da se pole pomaka nastalo sled smcanog pomcana može pkazat polem pomaka nastalm sled delovana dva paa sla smeštenh sedstvo koem nema nkakvog pomcana. To e edan od navažnh koncepata sezmolog on sadž seb statčko dnamčko modelane pomaka. lka 0. Izačnat povšnsk pomac za model vetkalnog stke-slp aseda dlne L, ko se poteže do dbne D polposto. Gbana paalelna ased s pkazana na gono desno slc, ona okomta na ased na dono levo, a vetkalna gbana na dono desno slc. Velčne na kvlama s edncama 0 - U, gde e U nfomno pomcane dž aseda. ne lne na dono desno slc pć na zdzane, dok se ctkane odnose na leknća.

34 obzom da statčke defomace opada bže s dalenost od zvoa, većna modelana klče vetkalne hozontalne povšnske defomace koe s opažene blzn zvoa, apoksmaca točkastog zvoa gotovo nkad ne spavna. Iz tog azloga občno se ab ased konačne dmenze s nmečk dsketnom azdobom dvostkh paova sla. Račnane povšnskh hozontalnh vetkalnh pomaka za slča vetkalnog stke-slp aseda e pkazano na slc 0. mette da konačne dmenze aseda zok kompleksn azdob pomaka na kaevma aseda, čak za ova slča modela s nfomnm pomakom dž aseda. Opažene azdobe mogće e modelat tako da vedemo ogančena na poedne paamete asedana (kpn pomak dž aseda, asedno podče) za slčaeve dobo zableženh događaa. mena na stvane podatke e pkazana na slc., gde e povšnsko vetkalno gbane, meeno nvelacom pe posle Loma eta potesa z 989. godne (a), potebleno kako b se zveo posečn model aseda za naveden događa, te na osnov nega očekvan model pomaka (b). lka. Opažena vetkalna povšnska gbana ( mm) blzn Loma eta zone loma (989) spoedb s pedvđenm modelom pomcana. Oentaca zone aseda e ased dlne 0 km, paalelan an Andeas ased, nagba 70 pema g. Zvezdca označava epcenta.

35 Dalna stažvana geodetskog modelana asedana klč zmane obz vskozno-elastčne (vskoelastčnh) efekte donh delova koe goneg plašta, sloevtost elastčke paamete heteogenost model Zemle, kao mogćnost vaablne fnkce pomaka dž aseda, te pomenvog mehanzma pomaka žašt potesa. Nadale ćemo vest vemensk ovsan sstav sla zvo, što dovod do tanzentnh (katkotanh) valova pemanentnh statčkh defomaca sedstva.

36 ..4. Elastodnamka ada ćemo azmott pmen vemensk pomenvog sstava sla na homogeno elastčko sedstvo. Matematčk to e znatno komplcan poblem nego statčk slča. Vemenska ovsnost znač da ćemo tebat povest dodatn set ntegaca, kako odnos na postone koodnate tako odnos na veme. Elastostatka nam e osgala logčn osnov za elastodnamk, te ćemo sledt ednak postpak. ( obzom da e do matematke zlaz z okva ovog gadva, odeđen bo matematčkh koaka e zostavlen. Detaln analz mogće e nać Ak Rchads, 980 l Kasaha, 98.) Kao za statčk poblem, ešene za dvostk pa sla dobva se zbaanem ešena za ednostke paove sla. Osnovna elastodnamčka ednadžba e: f Neka e ovsnost postone sle po ednc volmena ( f ) o vemen dana sledećom elacom: f (t) F(t) ()a, gde e F(t) vemenska evolca sle f. Nadale mamo: f F(t) ()a () F(t) 4 a a F(t) 4 4 a 4 ema Helmholtzovom teoem, svako pole pomaka može se pkazat kao sma bezvtložnog solenodnog pola, pa tažmo ešena oblka (kao slča elastostatke): (t) A A A 0 gde e A 0 Uzevš obz goe navedeno dobvamo: A A A A A A a a F(t) 4 4 (4) Iz ovoga slede naedne dve elace:

37 A A F(t)a 4 F(t)a A 4 A (5) Ako zmemo obz vete (4), ednadžbe (5) pelaze sledeće oblke: F(t)a A A 4 F(t)a A A 4 (6) Na ta načn smo elastodnamčk ednadžb sepaal dve. Ako nadale petpostavmo da s potencal A A kolnean sa slom, odnosno: A A a A A a, z (6) dobvamo dve skalane ednadžbe: A A F(t) 4 F(t) 4 A t, A t, (7) ada ćemo azmott oblke ešena nehomogene valne ednadžbe. Iz ednadžbe (6) sled: tavmo da e: točkasta sla vemen posto!!! Gona ednadžba sada zgleda: Rešene ove ednadžbe pema Ak Rchads (00) e:

38 To e eksplctno valno ešene. Ono nam govo da e ešene mplsa smetčnog točkastog zvoa val ko popaga pema van (eng. otwad-popagatng) bznom α, ampltde koa opada s dalenost. ada ćemo skazat t poblema, te dat nhova ešena. To admo kako bsmo naše valne ednadžbe (7) pmenl na slča volmnog zvoa.. Ako azmatamo ednadžb tpa: tada e neno ešene:. Ako mamo ednadžb: gde e: tada spepozcom ešena A p dobvamo ešene od navedene ednadžbe koe glas:. Ako se zvo š koz volmen V (volmn zvo), kao koz veme, mamo sledeć ednadžb:

39 gde e : Tada spepozcom ešena A p, dolazmo do: Ovo ešene kaže da e pole posto vemen osetlvo na aktvnost zvoa element dv (na položa ξ ) tek za etadano veme t ξ α. Iz goe navedenh azmatana oblka ešena valnh ednadžb sled da kada se ad o volmnom zvo tada s ešena ednadžb (7): gde e ξ = 0 za točkast sl shodšt. Integale gonm ednadžbama možemo poednostavt tako da mesto po volmen V ntegamo po koncentčnm sfenm lskama sa sedštem (slka).

40 gde e: Volmen V defna etended volmn zvo. Izvo se š vemen τ e bo na položa defnanom vektoom ξ. Za koncentčne sfene lske d ved: d sn d (opseg kžnce deblna kglna sloa) Kosnsn počak nam dae: R cos RdR sn d (8) Od ane mamo za slča volmnog zvoa: F t A dv 4 0

41 omena volmena e ednaka: dv d d (kako se š d, tako aste volme bznom α vemen dτ) Možemo psat: A 4 0 Ft d d I ada ćemo začnat dvostk ntegal po povšn z gone ednadžbe označen s I: I d... d R sn d R s obzom da s R pblžno ste dalenost odnos na dmenz volmnog zvoa ( ), pkladne e ovde pomatat dalenost R Iz ednakost (8) sled: RdR sn d Dvostk ntegal po povšn e tada: sn d R R R 0 dr dr 4 4 za za (tocka (točka OO nta sfee ) (točka (točočo Ozvan sfee ) ) a e tako A ednako: A 4 4 F(t ) F(t ) 4d d za 4 F(t ) 4 d F(t ) d za

42 * - na sfe, svgde nta sfee e, pa ako stavmo pod ntegal moamo to zet obz podntegalno fnkc F F t. pedznak se mena e gladamo fnkc F s dge stane dele od nas, a ne pema nama! koekca etadan og vemena Analogno azmatane povedemo za A. Tako dobvamo sledeće elace: A A 4, t F t d Ft 4 0 0, t F t d Ft 0 0 d d (9) tvano pole pomaka dobemo ako začnamo: A A etpostavmo da sla F(t) dele shodšt sme -os. Tada će kpno pole pomaka bt ednako:, t 4 4 F(t )d 4 F t F t (40) (. do. člana s posledca devaca podntegalnh fnkca, a otot se astav f f f ) kao: ZADATAK: Izvest ednadžb (40)! (ZA OLOBAĐANJE OD IMENOG IITA!!) Defnamo kosnse smea na sledeć načn: pa će bt:.

43 Tako za točkast sl F(t) smešten shodšte, a koa dele sme -os mamo klasčno tokes-ovo ešene:, t 4 4 F t F(t )d 4 F t (4) v član elace (4) e za zvoe katkog taana (shot-daton soces) popoconalan, a ostal članov s popoconaln. Zato pvog člana nazvamo član blzog pola (nea-feld tem), a ostale članove članov dalekog pola (fa-fleld tems). v član dalekog pola opse daleko pole -vala: 4 F t sledećh svostava: () ono slab s, () val se asposte bznom, () valn oblk e popoconalan pmeneno sl F etadanom vemen, (4) pomak e paalelan sme sme od zvoa (sme ttana čestce e paalelan sme aspostana vala. Na slc. s pkazan adaln pomac -vala kao posledca gone elace. Dg član dalekog pola opse daleko pole -vala: 4 F t sledećh svostava: () ono slab s, () val se asposte bznom, () valn oblk pomaka e popoconalan sl, (4) sme pomaka e okomt na sme od zvoa (ttane čestca e okomto sme aspostana vala).

44 lka. me pomaka dalekog pola na valnm fontama - -vala, zokovanh ednom slom koa dele sme -os beskonačnom, homogenom, zotopnom sedstv. Na slc. vdmo sme pomaka -vala (sheang gbane) na velko dalenost od zvoa (daleko pole). omac blzog pola sadže dopnose valnh pola kako - tako -valova, te h se ne može ednostavno azdvot. Analogno statčkom slča, pole pomaka za slčaeve ednog l dva paa sla dobva se devacama ezltata za edn sl po odgovaaćm koodnatama. Devane kompletnog tokes-ovog ešena po odeđeno koodnat dae ezltat za pa sla paalelan s tom koodnatom. amo za nfomac: kompletno ešene klčć članove blzog pola dano e na stanc 8 Ak&Rchadsa (980). Važn ezltat mog bt dobven na osnov azmatana samo dalekog pola -vala, dok se ostal dob slčnm analzama. omac -vala dalekom pol, nastal kao posledca delovana paa sla (slka.) mog se dobt tako da smamo gbana sled delovana ndvdalnh točkasth sla: F F 4 4 F h t F h t

45 gde e h(t) vemenska ovsnost paa sla. lka. a sla za koega s ačnat pomac dalekog pola -vala. ma ovh ednadžb dae kpn pomak sled paa sla: F F C t h t h 4 (4) Razmotmo sada : za,, F F ) (za ) (za F F F F mette da ako e <<, ne obavezno <<. ema slc. možemo kosnse smeova apoksmat sledećm zazma: = sme pomaka kakova ψ

46 cos F cos cos cos F Tako da mamo: ht ht C (4) 4 Takođe, možemo apoksmat h t h t? sa za, al koa e veza zmeđ h t h t možda ne malo odnos na t t 0 veme dolaska vala (aval tme). toga tebamo pment azvo Tayloov ed: h(t 0 ) h(t) h(t 0 ) (t t 0 ) t ht ht h t t t h t h t Ako zanemamo članove všh potenca mamo:

47 C 4 h t ht h t DZ Dga gpa članova opada s, stoga s to članov blzog pola koe možemo odbact z azmatana kad se ogančavamo na daleko pole (članov ko opada s ). Tako nam peostae zaz za pomake dalekog pola oblk: C 4 h t Btno e napoment da e poces devana doveo do vemenske devace fnkce vemenske ovsnost zvoa. oston pomak kakova sla dovod do pomaka dalekog pola ko e osetlv na bzne aspostana čestca nego na pomake th čestca (ved za eksploze). ada tebamo azmott : C 4 h t Moamo takođe zet obz gančne slčaeve h M, što e moment paa sla: 0 h, tako da e M t M t h lm 0 lm 0 h h t h t Tako e ešene za pa sla oblka: C 4 M t (44)

48 Ako povedemo st analz za pa sla koe s paalelne sme -os avnn z pomak kaka F za sme -os, dobt ćemo ednake ezltate zbog smete podkta kosnsa smeova. manem ta dva paa sla dobt ćemo dva paa sla (doble-cople) kao što e pkazano na slc 9. Tako će kpn odgovo na sstav dva paa sla dalekog pola -vala bt: Dc 4 M t (45) Opć oblk pomaka dalekog pola za pa sla pq avnn e dan sledećom elacom: C n M pq G np,q n p 4 q M pq t gde e s M pq označen blo ko od 9 mogćh položaa paa sla za -dmenzonaln geomet (slka 4.). Th 9 paova tvoe tenzo sezmčkog momenta. Općent oblk pomaka dalekog pola -vala za pa sla pq avnn dan e sa: C n n p 4 np q M pq t (46)

49 lka 4. Devet mogćh položaa paa sla. Ako pomatamo pomake sfenom koodnatnom sstav (slka 7.), nać ćemo da s pomac dalekog pola dan ovm zazom: (, t) 4 cossn ˆ M 0 sn cosˆ M 0 t M t 4 coscosˆ gde e (t) a(t)d(t) vemensk ovsna fnkca momenta. v član gone elace pedstavla začene -vala, a dg začene -vala. Ova zaz pkaze azdob oblk 4 pavlne ozete, kao što e pkazano na slc 5. mette da e azmtalna azdoba ednaka ono za statčk slča (slka 9.). Takođe očte da s pomac dalekog pola popoconaln vemensko devac fnkce momenta, M (t), ko nazvamo fnkca pomene momenta (moment ate fncton).

50 lka 5. Razdoba začena dalekog pola avnn ( = 0) za adalne komponente pomaka (levo) tansvezalne komponente pomaka (desno), za dva paa sla avnn. Ukpn vekto pomaka e dan ednadžbom (47). Občno e pkladne zazt pomake (azdob začena) kao fnkc geogafskh koodnata, nego peko koodnatnog sstava defnanog doble-cople sstavom sla. To zahteva defnane algebaske veze zmeđ ta dva sstava, kao što s pkazan na slc 6. lka 6. Defnane geogafskog koodnatnog sstava. Os (poztvne vednost) e smeena pema sedšt. me aseda (stke) φ f se me od sevea, nagb (dp) δ e zapavo nagb asednog kla odnos na hozontal. Azmt postae e φ s, a zaka vala do te postae ma kt ncdence h odnos na os.

51 Za potpno oslobađane od spta: Izvest ednadžbe za daleko pole valova doble-cople sstava sla žašt z standadne paamete oentace aseda (kao na slc 6) kao fnkc geogafskh koodnata!