6. Zavisnosti po podacima u programskim petljama
|
|
- Ίσις Βουγιουκλάκης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Instrukcijski nivo paralelizma 63 Zavisnosti po podacima u petljama 6. Zavisnosti po podacima u programskim petljama 6.1. Granice petlje Granice programske petlje definiše ili programer ili razvojni alat u izvornom programu. Te granice u prevodiocima sekvencijalnih mašina preuzimao je prevodilac i sa takvim unapred definisanim iteracijama, kao ograničenjem, radio optimizacije. Programer ne može da bude opterećen još i analizom zavisnosti po podacima u toku pisanja programa, ali se može pretpostaviti da promene granice programske petlje mogu da dovedu do boljeg kôda za paralelizaciju. Već kod primene Trace scheduling-a na petlje, donekle je razmotavanjem promenjena granica petlje, jer su stapane stare iteracije. Pretpostavimo da u programskom kôdu postoji jednostavna petlja sa samo tri instrukcije (operacije), označene sa Op 1, Op 2 i Op 3 koja treba da se izvrši n puta. Tada se petlja može predstaviti sa {Op 1, Op 2, Op 3 } n. Potpuno ekvivalentan kôd dobija se ako se napiše kôd npr. Op 1, Op 2 {Op 3 Op 1, Op 2 } n 1 Op 3. Ako je operacija Op 3 bila zavisna po podacima od operacije Op 2 unutar originalne iteracije, tada se pojavila zavisnost po podacima preko granica iteracije. Pritom u svakoj novoj iteraciji sem prve, prva operacija Op 3 postaje zavisna od poslednje operacije iz prethodne iteracije. Takve zavisnosti po podacima nazivaju se petljom prenete zavisnosti po podacima (loop carried data dependencies). Programer je mogao da u izvornom kôdu napiše bilo koju od te dve prethodne iteracije, pa je samim tim mogao da odredi da li su neke zavisnosti po podacima petljom prenete ili unutar iteracije. Primer 6.1. Pretpostavimo da je programer napisao sledeću programsku petlju: Op 1 : Op 2 : Op 3 : Op 4 : Op 5 : Op 6 : DO I = 3,100 A(I) := C(I-1) + E(I-2) B(I) := A(I) * C(I-3) C(I) := B(I) * K1 D(I) := D(I-1) + K2 E(I) := C(I) + D(I) F(I) := C(I-1) + E(I) END Da bi se sagledale sve zavisnosti po podacima, kako one unutar iteracije, tako i one za operacije iz različitih iteracija, najpogodnije je posmatrati zavisnost po podacima na grafu beskonačno razmotane petlje. U cilju sagledavanja zavisnosti po podacima na prihvatljivo velikom uzorku, napravljen je graf zavisnosti po podacima za četiri iteracije. Pritom, horizontalne zadebljane linije predstavljaju granice iteracija i sve grane koje
2 Instrukcijski nivo paralelizma 64 Zavisnosti po podacima u petljama prelaze granice iteracija prikazuju zavisnosti po podacima operacija iz različitih iteracija (prikazane su isprekidanim linijama). Zbog preglednosti grafa, izostavljena je zavisnost od Op 3 prethodne iteracije ka Op 6 naredne iteracije, jer se radi o tranzitivnoj grani. Sl Četiri iteracije razmotane petlje iz Primera 6.1.
3 Instrukcijski nivo paralelizma 65 Zavisnosti po podacima u petljama U programskim petljama radi se repetitivna obrada i rezultati se najčešće smeštaju u strukturirane tipove podataka, pre svega nizove. Određivanje zavisnosti po podacima u programskim petljama za nizove nije u opštem slučaju trivijalno i detaljno je razmatrano u narednom tekstu Generalizacija problema zavisnosti kod petlji i sistemi Diofantskih jednačina U vreme prevođenja (statički), zavisnosti po podacima ne mogu se generalno ustanoviti kada u programu postoji referenciranje preko pointera (pokazivača). Kada referenciramo pomoću pokazivača (izračunavanje vrednosti pokazivača obavlja se u toku izvršavanja), u vreme prevođenja ne može se znati na koju lokaciju će pokazivati pokazivač. Drugi najvažniji slučaj kada se statički ne mogu uvek utvrditi zavisnosti po podacima je za operacije iz različitih iteracija petlje i on će detaljno biti izložen u ovom poglavlju. Problem zavisnosti po podacima kod petlji biće krajnje generalno postavljen. Mnogi autori predlažu da se pre analize zavisnosti urade transformacije kojima se olakšava otkrivanje zavisnosti po podacima, i izbacuju redundanse vezane za indekse petlji. Ti postupci su: normalizacija petlji, zamena indeksne promenljive i presavijanje izraza. Opisani su u {AK87} i nisu analizirani u ovom radu. Posmatrajmo prvo najjednostavniji slučaj - zavisnost po podacima za niz koji ima samo jednu dimenziju i kada postoji samo jedna normalizovana programska petlja (nema ugnježdavanja petlji). Ovaj najjednostavniji opšti slučaj može se predstaviti na sledeći način: DO i = 1, N X(f(i)) =... = F(X(g(i))) END DO Definisanje fiksnog broja iteracija ne umanjuje generalnost petlje, jer će kasnije biti analiziran slučaj kada N nije poznato u vreme prevođenja. Ovde su funkcije f(i) i g(i) izrazi za indeks vektora X, a F je izraz koji sadrži g(i) element vektora X. Pretpostavimo da vektori imaju indekse koji polaze od 1. Funkcije f i g uzimaju vrednosti iz skupa prirodnih brojeva, jer su u pitanju indeksi vektora. Zavisnost po podacima postoji, ako postoje takvi indeksi i 1 i i 2 da važi: f(i 1 ) = g(i 2 ) Na ovaj način otkrivamo i prave zavisnosti i antizavisnosti po podacima. Da bi se analizirale samo prave zavisnosti po podacima, mora se dodati uslov 1 i 1 i 2 N. Kako se antizavisnosti mogu eliminisati preimenovanjem, u daljoj analizi će se ovaj uslov smatrati jedinim neophodnim da postoji zavisnost po podacima. Oba indeksa petlje i 1 i i 2 moraju istovremeno biti manja ili jednaka od N da bi postojala zavisnost, jer će se
4 Instrukcijski nivo paralelizma 66 Zavisnosti po podacima u petljama izvršiti samo N iteracija petlje. Prethodno navedenim postupcima normalizacije petlji, početna vrednost indeksa proizvoljne petlje, transformacijama se uvek može svesti na vrednost 1. Dakle, gornja dva uslova se svode na rešavanje jednačine: f(x) - g(y) = 0 u datom opsegu brojeva [1, N], pri čemu mora da važi 1 x y N. Pritom su x, y, f(x) i g(y) svi iz skupa prirodnih brojeva. Najčešći slučaj u kôdu je da su f i g linearne funkcije indeksa petlji. Gornja jednačina, se uz tu pretpostavku linearnosti: transformiše u: f(x) = a 1 x + a 0 g(y) = b 1 y + b 0, a 1 x - b 1 y = b 0 - a 0 (6.1.1.) pri čemu su svi koeficijenti celi brojevi. Najveći broj slučajeva kada f i g nisu linearne funkcije petlji je kada neka od vrednosti koeficijenata a 1, a 0, b 1, ili b 0 nije celobrojna konstanta, već celobrojna promenljiva nezavisna od samog izvršavanja petlji ili parametar potprograma. Dobijeni izraz se može transformisati u opšti oblik linearne Diofantske jednačine koja se za dve promenljive predstavlja kao: ax - by = n (6.1.2.) Definicija. Linearna Diofantska jednačina je jednačina koja ima oblik: N a i x i = n, i= 1 gde je N 1, n Z (Z - skup celih brojeva), a i Z za svako i, postoji bar jedno a i koje je različito od nule i x i su celobrojne promenljive. Linearna Diofantska jednačina sa dve promenljive (6.1.2.) navedena gore, ima rešenje ako i samo ako je najveći zajednički delitelj (NZD) brojeva a i b delilac broja n. Na ovom uslovu baziran je jedan od najjednostavnijih testova utvrđivanja zavisnosti po podacima - takozvani GCD (Greatest Common Divisor) test GCD test GCD test zasniva se na teoriji Diofantskih jednačina, koja se odnosi na rešavanje sistema linearnih jednačina, ako je broj jednačina manji od broja nepoznatih. Ovaj test ima nedostatak za paralelizaciju petlji, jer se uslov proverava u celokupnom opsegu celih brojeva, a ne u opsegu vrednosti definisanom granicama petlje. GCD test važi i za opštu linearnu Diofantsku jednačinu. U daljem tekstu navedena je teorema koja daje potrebne i dovoljne uslove za postojanje rešenja opšte linearne Diofantske jednačine sa N promenljivih. Teorema o postojanju rešenja linearne Diofantske jednačine. Neka je N a i x i = n i= 1
5 Instrukcijski nivo paralelizma 67 Zavisnosti po podacima u petljama linearna Diofantska jednačina i neka je k = NZD(a 1, a 2, a 3, a 4,... a n ). Jednačina ima rešenja ako i samo ako važi da je k delilac broja n. Dokaz. Dokaz je sproveden samo za N = 2, jer se opšti slučaj dokazuje matematičkom indukcijom. Neka a x + b y = c označava linearnu Diofantsku jednačinu, i neka je g = NZD(a,b). Dokažimo prvo da ako je g delilac broja c, što se piše kao g c, linearna Diofantska jednačina ima rešenja. Dakle, ako važi da je g = NZD(a,b), tada prema poznatoj teoremi (Bezuova teorema) iz teorije brojeva postoje celi brojevi u i v, takvi da važi: g = a u + b v Sa druge strane, pošto je g delilac broja c, postoji celi broj c takav da važi: g c = c Iz ovih dveju jednakosti sledi g c = a u c + b v c = a (u c ) + b (v c ) = c. Iz zadnje jednakosti proizilazi da Diofantska jednačina ima rešenje (u c, v c ) = (u c/g, v c/g). Dokažimo sada da ako linearna Diofantska jednačina ima rešenje, onda mora važiti i da je g c. Pretpostavimo da jednačina ima rešenje (x 0, y 0 ). Tada važi da je: a x 0 + b y 0 = c. (6.1.3) Iz činjenice da g a i g b, direktno zaključujemo da postoje celi brojevi a i b tako da važe sledeće jednakosti: g a = a i g b = b Jednačinu (6.1.3.) možemo sada napisati na sledeći način: g a x 0 + g b y 0 = c. Iz ove jednakosti direktno zaključujemo da i g c, odnosno da je g delilac broja c. Iz ove teoreme neposredno se zaključuje da za slučaj jednačine sa dve promenljive (6.1.1.) potreban uslov za postojanje zavisnosti po podacima po GCD testu postaje: NZD(a 1, b 1 ) (b 0 - a 0 ), odnosno da je NZD(a 1, b 1 ) delilac broja (b 0 - a 0 ). Potrebno je uočiti da je GCD test samo potreban uslov za zavisnost po podacima, zato što je neophodno da celobrojna rešenja postoje unutar oblasti x y, kao što je prikazano na Slici 6.2. Ova oblast važenja posledica je činjenice da u inicijalnoj petlji, promenljiva iz ranije iteracije ne može da bude zavisna po podacima od operacije iz kasnije iteracije.
6 Instrukcijski nivo paralelizma 68 Zavisnosti po podacima u petljama y y = x x Slika 6.2. Oblast prihvatljivih rešenja GCD test ne uzima u obzir ni granice petlji, pa ukoliko postoji rešenje jednačine, ono može da bude u granicama opsega petlje ili izvan opsega. Zato se postupa na sledeći način: 1. Ako najveći zajednički delitelj od a i b nije delilac broja n, sigurno ne postoji rešenje jednačine, pa samim tim ni zavisnost po podacima. 2. Ako je najveći zajednički delitelj brojeva a i b delilac broja n, onda postoji rešenje u skupu celih brojeva. Zato postoji i zavisnost po podacima za opseg vrednosti indeksa petlje jednak celim brojevima. Međutim, tada zavisnost po podacima u stvarnom opsegu indeksa petlje može, ali ne mora da postoji. Kako ne postoji siguran zaključak, u većini optimizacionih metoda pretpostavlja se da zavisnost po podacima postoji. Ako se sva optimizacija radi u vremenu prevođenja, mora se tada pretpostaviti postojanje zavisnosti, kako bi bili sigurni u ispravnost paralelnog kôda. Ako se optimizacija radi i u toku izvođenja programa, tada se dinamički ponovo proveravaju zavisnosti po podacima, pa će se pogrešna pretpostavka iz vremena prevođenja moći korigovati u toku izvršavanja. Tada se može gubiti samo na brzini izvršavanja, zbog pogrešne pretpostavke o zavisnostima u vreme prevođenja, ali ne i na tačnosti izvršavanja kôda. Ove konstatacije će biti jasnije nakon poglavlja o superskalarnim procesorima. Kao čest rezultat konzervativnog tumačenja GCD testa u fazi prevođenja, događa se da pretpostavimo da zavisnost po podacima postoji, iako ona stvarno ne postoji u opsegu indeksa petlje. Ovo očigledno predstavlja veliki nedostatak GCD testa, kada se on primenjuje kao jedino sredstvo za određivanje zavisnosti po podacima kod programskih petlji Banerjee test Banerjee test traži sva rešenja Diofantske jednačine samo u oblasti od interesa {BAN 88}. Kod njega se prilikom traženja rešenja uzimaju u obzir i granice petlji koje definišu
7 Instrukcijski nivo paralelizma 69 Zavisnosti po podacima u petljama oblast u kojoj bi trebalo da se nađu rešenja. Međutim, on daje odgovor na pitanje da li u toj oblasti postoje realna, a ne celobrojna rešenja, uz uslov da se tretiraju samo prave zavisnosti po podacima. Suština testa zasniva se na sledećem: ako je h(x, y) kontinualna funkcija u domenu realnih brojeva, tada postoji rešenje funkcije h(x, y) = a u skupu realnih brojeva, gde je a realni broj, ako i samo ako važi sledeći uslov: min h(x, y) < a < max h(x, y) U našem slučaju funkcija h(x, y) je f(x) - g(y), a a = 0. Pošto su f(x) i g(y) po pretpostavci linearne funkcije, a samim tim i kontinualne, onda je i funkcija h(x, y) = f(x) - g(y) kontinualna. Prema tome, trebalo bi proveriti da li su minimum i maksimum funkcije h(x, y) u domenu 1 x y N različitog znaka. Ako je ovaj uslov ispunjen, tada postoji realna nula u datom domenu. To još uvek ne znači da postoji i celobrojna nula. Kada gornji uslov nije ispunjen, to znači da nema realnih nula, a samim tim nema ni celobrojnih nula, pa sigurno nema ni zavisnosti po podacima. Međutim, kada je gornji uslov ispunjen, ne može se sa sigurnošću tvrditi da li su postojeće nule realne ili celobrojne, pa, ako se oslanjamo samo na statičko određivanje zavisnosti po podacima, moramo pretpostaviti da zavisnost postoji. Test se jednostavno izvodi pronalaženjem minimuma i maksimuma funkcije h = f - g u zadatom opsegu. Na osnovu razlike znaka minimuma i maksimuma određuje se da li nula pripada opsegu rešenja. Pošto GCD i Banerjee test testiraju da li postoje rešenja polazeći od potpuno drugih polaznih pretpostavki, bilo bi za očekivati da su međusobno komplementarni {TEO 93}, {LA 97}. Opširni testovi različitih autora su pokazali da te komplementarnosti nema Totalni test Totalni test podrazumeva iscrpno ispitivanje f(i 1 ) = g(i 2 ) za sve moguće parove vrednosti i 1 i i 2 koje zadovoljavaju uslov 1 i 1 i 2 N. Ovaj test daje sigurno rešenje, ali ne može se primeniti u prevodiocima, izuzev za male vrednosti N. Ako se pređe na slučaj višedimenzionih nizova u više ugnježdenih petlji, potpuno je neprimenjiv Redukovani test Ovaj test se zasniva na proširenom Euklidovom algoritmu. Osnovna ideja je da se na osnovu ovog algoritma nađe jedno rešenje jednačine. Međutim, pokazano je da su rešenja linearne Diofantske jednačine periodična, i da se na osnovu toga može naći minimalna perioda rešenja, a samim tim i sva rešenja {ZI 90}. Nakon toga pokazano je da ne postoje rešenja koja nisu predstavljena početnim rešenjem na koji se dodaje minimalna perioda pomnožena celim brojem. Dakle, redukovani test nalazi sva rešenja i lako je utvrditi da li su neka od njih u opsegu. Detaljnije se o redukovanom testu može naći u {LA 97}.
8 Instrukcijski nivo paralelizma 70 Zavisnosti po podacima u petljama 6.3. Opšti slučaj višedimenzionog niza u dve ugnježdene petlje Pretpostavljene su samo dve ugnježdene petlje, uz proizvoljnu dužinu niza. Cilj je samo da se postave relacije zavisnosti, kako bi se uočilo u kojim je aspektima problem kompleksniji. Zbog opštosti, biće pretpostavljeno da svi indeksi višedimenzionog niza zavise od indeksa obe petlje. Taj slučaj može se predstaviti sledećim kôdom: DO i = 1, N DO j = 1, M X(f 1 (i, j), f 2 (i, j), f 3 (i, j),...) =... END DO END DO = F(X(g 1 (i, j), g 2 (i, j), g 3 (i, j),...)) Prava zavisnost po podacima u okviru petlje postoji, ako za sve vrednosti indeksa k istovremeno postoje indeksi i 1, i 2, j 1 i j 2 takvi da važi sledeći uslov: f k (i 1, j 1 ) = g k (i 2, j 2 ), gde je k = 1, B, B je broj dimenzija nizova X i F, a f k i g k prirodni brojevi. Takođe mora biti ispunjen jedan od sledećih uslova vezanih za ograničavanje samo na prave zavisnosti i granice opsega indeksa petlji: ili 1 i 1 < i 2 N i j 1, j 2 [1, M] 1 i 1 = i 2 N i 1 j 1 j 2 M Dakle, potrebno je naći rešenje sistema od B Diofantskih jednačina i utvrditi da li postoji istovremeno rešenje za sve jednačine. Te Diofantske jednačine po svakoj dimenziji niza mogu se predstaviti u obliku: f k (x, y) - g k (z, t) = 0, k = 1, B (6.1.4.) Potrebno je pronaći takve vrednosti za promenljive x, y, z i t da predstavljaju istovremeno rešenje za svaku od jednačina (6.1.4.), i da ispunjavaju uslove: ili 1 x < z N i y, t [1, M] (6.1.5.) 1 x = z N i 1 y t M (6.1.6.) Pošto su f k (x, y) i g k (z, t) najčešće linearne funkcije, pretpostavićemo da je svaka jednačina (6.1.4.) sledećeg oblika: a k x + b k y + c k z + d k t = n k (6.1.7.)
9 Instrukcijski nivo paralelizma 71 Zavisnosti po podacima u petljama Pre samog postupka rešavanja sistema jednačina potrebno je ispitati da li ove jednačine pojedinačno mogu uopšte imati celobrojna rešenja. Za svaku od jednačina moramo prvo ispitati da li je NZD(a k, b k, c k, d k ) delilac broja n k, jer samo pod tim uslovom uopšte može da postoji celobrojno rešenje samo za svaku tu jednačinu pojedinačno. Uslov postojanja celobrojnog rešenja sistema jednačina je da postoji celobrojno rešenje svake jednačine sistema pojedinačno (generalizacija GCD testa). Uslov da sve jednačine sistema pojedinačno mogu imati celobrojna rešenja ne znači da zavisnost zaista postoji. Dakle, moguće je da su ta celobrojna rešenja različita za različite jednačine sistema, pa sistem jednačina nema rešenje. Na žalost, generalizovani GCD test ima dvostruki nedostatak: 1. Za svaku pojedinačnu jednačinu pretpostavlja da postoji zavisnost po podacima ako ona ima celobrojna rešenja, mada ne proverava da li su u domenu granica petlji i pravih zavisnosti po podacima, 2. Za sistem jednačina kod kojih svaka jednačina ima pojedinačno celobrojna rešenja pretpostavlja da postoji zajedničko rešenje svih jednačina sistema, iako ne proverava da li je rešenje zajedničko. Na sličan način generalizuju se i osnovni Banerjee test i Redukovani test. Postoji test koji pokušava da otkrije postojanje istovremenih rešenja svih jednačina i on se zove λ test {LI 90}. Njegovo razmatranje nije predmet ove knjige.
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi i strukture podataka - 1.cas
Algoritmi i strukture podataka - 1.cas Aleksandar Veljković October 2016 Materijali su zasnovani na materijalima Mirka Stojadinovića 1 Složenost algoritama Približna procena vremena ili prostora potrebnog
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραKonstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati:
Staša Vujičić Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati: pseudo jezikom prirodnim jezikom dijagramom toka. 2
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραBulove jednačine i metodi za njihovo
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Bulove jednačine i metodi za njihovo rešavanje Master rad Mentor: Slavko Moconja Student: Nevena Dordević Beograd, 2017. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Bulova algebra 3
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότερα7. Optimizacija petlji - softverska protočnost
Instrukcijski nivo paralelizma 7 Optimizacija petlji 7. Optimizacija petlji - softverska protočnost 7.. Fiksne iteracione distance Diofantska jednačina oblika ax-by = n kod jednodimenzionog niza i jedne
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραSistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα