6 MAGNETIZMUS ELEKTRICKÝCH PRÚDOV Few subjects in science ae moe difficult to undestand than magnetism Encyclopedia Bitannica, Pätnáste vydanie 1989 Máloktoý z fyzikálnych javov fascinuje loveka tak, ako magnetizmus. Už v dávnej minulosti pastie z okolia antického mesta Magnésia (dnešná Manisa v Tuecku) s úžasom pozooval udesné kúsky mineálov, ktoé sa niekedy piahovali, inokedy sa úpone odpudzovali. Staogécky filozof Thales z Milétu už v 6. stooí ped naším letopotom napísal, že "tieto podivné pedmety (išlo o píodne sa vyskytujúce kysliníky železa FeO a Fe O 3 dnes známe pod menom magnetit alebo magnetovec) majú silu piahova železo". Uvádza sa, že íania už v 3. tisícoí ped n. l. v nejakej podobe poznali a na pozemnú navigáciu používali najjednoduchší magnetický pístoj magnetku. Pvé pedmety v históii, na ktoé lovek poteboval železo, bola zejme magnetka a me. Sokates sa vo svojich filozofických dielach zmieuje, že "sú v píode také pedmety (ide o magnetit), ktoé majú schopnos vyvola v železe vlastnos piahova iné železné pedmety", t. j. indukova v om magnetické vlastnosti. Pemanentný (stály) a indukovaný (vyvolaný) magnetizmus teda patia medzi pvé vedecké objavy v históii udstva. Ob. 6.1. Vplyv slneného veta na magnetosféu Zeme Hoci sa staí gécki filozofi domnievali, že elektické a magnetické sily majú spolonú podstatu, ich domnienka sa dlhé stáoia ignoovala. Možno to súviselo s tým, že záujem o magnetické javy sa obmedzoval iba potebami súvisiacimi s konštukciou magnetických 36
kompasov pe námonú plavbu. Samotný pincíp innosti kompasov bol ich tvocom absolútne neznámy. Dôkazom toho je skutonos, že zemský magnetizmus bol objavený až v 16. stooí anglickým uencom Wiliamom Gilbetom (1564 1603) v ase, ke sa kompas už dlhé stáoia používal. Gilbet svoje magnetické expeimenty a pozoovania publikoval v oku 1600 v ozsiahlom šeszväzkovom diele "De Magnete 1 " (O magnete ), ktoé na dlhé oky upadlo do zabudnutia, a v tom ase veda o magnetizme nepokoila ani o kok. K dielu Gilbeta sa až o viac ako 00 okov neskô vátili Gauss a Ampe, ktoým poslúžilo ako základ pe stavbu modenej teóie magnetizmu. Duhým faktoom, ktoý nepiaznivo ovplyvoval ozvoj náuky o magnetizme bola skutonos, že magnetické javy sa tvdošijne oddeovali od javov elektických. Bádatelia 16. stooia svojím scholastickým hodnotením pozoovaných píodných javov usúdili, že elektina a magnetizmus navzájom nesúvisia, petože elekticky nabitý pedmet silovo nepôsobí na pemanentný magnet ("magnet a elektizovaný jantá na seba silovo nepôsobia"). Tento súvis postedníctvom silového pôsobenia medzi pohybujúcimi sa (a pohyb je tu záležitos zásadného významu) elektickými nábojmi a magnetom sa viacmenej náhodne podailo objavi až v oku 180 dánskemu pofesoovi fyziky Hansovi Chistianovi Oestedovi (1777 1851). Oested na konci jednej zo svojich pednášok z fyziky konaných v zime okov 1819/0 na Kodanskej univezite chcel pedvies študentom expeiment o tepelných úinkoch elektického púdu. Všimol si pitom, že magnetka nachádzajúca sa v blízkosti púdom ozžeaveného dôtu sa pod úinkom púdu pohla. Zo zaiatku to pipisoval tepelnému úinku, neskô nad magnetku, kolmo na jej sme umiestnil púdovodi a akal o sa stane, i elektický púd náhodou neotoí magnetku do svojho smeu. Po zapnutí púdu vodiom sa oakávaný úinok na magnetku neobjavil. Ped odchodom z pednášky nieo Oesteda napadlo a otoil púdovodi nad magnetkou do jej smeu. Poda slov jedného z jeho žiakov "po zapnutí púdu v okuhu bol Oested doslova šokovaný, ke uvidel ako magnetka pi zapínaní a vypínaní púdu vykonávala veké kmity a pi stálom púde sa ustálila kolmo na sme púdu, piom sa otoila o 180 o, ak sa sme púdu zmenil". Dnes sme pesvedení, že všetky magnetické efekty sú dôsledkom usmeneného pohybu elektických nábojov, teda púdov, bez ohadu na to, i ide o púdy v tuhých látkach, kvapalinách, plynoch, alebo vo vákuu. Magnetizmus je len jednou neoddelitenou asou všeobecnejšieho píodného fenoménu elektomagnetizmu. Silný magnetizmus pemanentných magnetov (feomagnetizmus) je tiež spôsobený pohybom elektónov v atóme železa po obitách, ale hlavne ich otaným pohybom okolo vlastnej osi ich spinom, teda ich momentom hybnosti. (Táto intepetácia spinu elektónu ako bodového objektu nezodpovedá pedstavám kvantovej fyziky, umožuje však vysvetli dostatone pesne mnohé atómové javy). Feomagnetizmus je natoko tajuplný a zložitý jav, že ani dodnes jeho teóia nie je uzavetá. Vysvetlenie javov feomagnetizmu v svojej podstate spadá do oblasti štatistickej a kvantovej fyziky. Ešte záhadnejšie sú pe nás úinky magnetických polí na biologické objekty. Expeimentálne bolo zistené, že silné nehomogénne magnetické pole ovplyvuje ast astlín, avšak píina a mechanizmy pôsobenia sú zatia neznáme. Takme ni nevieme napíklad o fyziologických úinkoch magnetizmu a o magnetických poliach podukovaných biopúdmi. 1 De Magnete, Magneticisque Copoibus, et de Magno Magnete Tellue O magnete, magnetických telesách a vekom magnete Zeme Oested, H. C.: Expeiment on the effects of a cuent on the magnetic needle, Annals of Philosophy 16 (180) 37
38 Hans Chistian OERSTED (1777 Rudkjöbing v Dánsku 1851 Koda)
Nedostatok exaktných vedomostí o tajoch magnetizmu okamžite zneužívajú ôzni podvodníci a šalatáni, ktoí subujú dôveivým uom svojím "magnetickým" pôsobením odstáni ich telesné tápenia. Doba im paje svojho asu boli napíklad vemi populáne "lieivé" magnetické náamky. Pojem "magnetizmus" sa takto zneužíva na podvod, ale mnohí udia potebujú by klamaní. Z toho mála, o sme doteaz o magnetizme povedali, môže nás znepokoji tvdenie, že magnetizmus je atibút pohybu nábojov, teda že závisí od ich ýchlosti. Keže ýchlos je elatívna veliina a vzahuje sa vždy k istému pozoovateovi (k istej vzažnej sústave), vzniká otázka, i aj magnetické úinky sú elatívne. Odpove je možno pekvapujúca, ale je kladná magnetické úinky sú skutone elatívne, teda ôzne pe ôznych pozoovateov. Magnetizmus je teda jav elativistický a jeho vysvetlenie teba hada v teóii elativity. Z tohoto pohadu nie je pekvapujúce, že teóia elativity naopak, má svoje koene v elektomagnetizme. Piekopnícka páca v tejto oblasti publikovaná Einsteinom 1 v oku 1905 sa nenazýva teóiou elativity, ale "Zu Elektodynamik bewegte Köpe" (K elektodynamike pohybujúcich sa telies), a dnes je len ažko posúdi, i by bola mohla vzniknú ped vznikom teóie elektomagnetického poa. Keže každá fyzikálna teóia musí by elativisticky invaiantná (nezávislá od výbeu vzažnej sústavy), možno sa domnieva, že na základe povedaného tento pincíp pe magnetické javy neplatí. Je to pavda, ale magnetické javy sú len jednou stánkou celkového elektomagnetického úinku spojeného s elektickými nábojmi. Duhou stánkou sú už opisované elektické javy, ktoé logicky musia by tiež elativistické. Celkový elektomagnetický úinok je však elativisticky invaiantný a odpovedá zásade ak sa na jednej stane nieo ubeie, na duhej stane to teba pida. Tieto otázky podobnejšie posúdime v odseku o Loentzových tansfomáciách elektomagnetických polí (odsek 6.5). Teaz chceme iba zdôazni, že elektomagnetická teóia je elativisticky invaiantná teóia a vznikla skô ako teóia elativity. Pi našom výklade magnetických javov nezachováme histoický pincíp, petože to, o bolo známe na zaiatku, menovite feomagnetizmus, sa vysvetuje najažšie. Naše úvahy o magnetizme a magnetických silových úinkoch zaneme opisom magnetického poa elektických púdov. 6.1 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PRÚDU 6.1.1 Magnetické silové pôsobenie dvoch bodových nábojov vo vákuu Ped zaiatkom ítania tohto a alších odsekov o magnetických javoch odpoúam itateovi zopakova a ujasni si význam a vlastnosti vektoovej opeácie "vektoový súin": Vektoovým súinom dvoch vektoov v poadí A B je vekto C = A B, ktoého vekos je C = AB sin ϕ (ϕ je uhol medzi vektomi A a B) a sme je daný pavidlom pavotoivej skutky (ob. 6.a), alebo pavidlom pavej uky (ob. 6.b). Vektoový súin zmení znamienko, ak sa zmení poadie vektoov (ob. 6.c), teda platí C = B A = A B = C. 1 Einstein, A., Ann. d. Physik, Bd. 17 (1905) S. 891 39
Ob. 6. Na ob. 6.3 je zobazená dvojica bodových nábojov q 1 a q ovnakého znamienka, ktoé v istej súadnicovej sústave spojenej s pozoovateom, a v istom ase, sú vo vzájomnej vektoovej vzdialenosti ± 1. Náboje sa pohybujú vo vákuu ýchlosami 1 a. Z elektostatiky je známe, že medzi nábojmi pôsobí sila, ktoé spa Coulombov zákon. Paktická skúsenos ukazuje, že pozoovate vo zvolenej sústave pozouje ešte jednu zvláštnu silu, ktoá súvisí s pohybom nábojov v danej vzažnej sústave. Nová sila F 1 pôsobiaca na náboj q 1 od náboja q tiež závisí piamo úmene od vekosti nábojov a nepiamo úmene od štvoca vzdialenosti 1 (teda podobne ako elektická sila poda Coulombovho zákona), ale okem toho jej vekos a sme závisia od obidvoch ýchlosti spôsobom, ktoý sa dá matematicky vyjadi postedníctvom vektoovej veliiny 1 1 1 Ob. 6.3 Tieto expeimentálne skúsenosti potvdené mnohými pokusmi a každodennou paxou nám poslúžia ako základ pe budovanie teóie magnetizmu. 40
Silu F 1 možno teda vyjadi vzahom Podobne na náboj q od náboja q 1 pôsobí sila F F 1 1 1 1 = k q q (6.1a) 1 1 1 1 1 = k q q (6.1b) 1 1 kde 1 = 1 ( 1 = 1 ). Konštanta k v sústave jednotiek SI sa píše v tvae 1 k = µ 0 4π (6.) kde µ 0 je ozmeová konštanta, ktoej hodnota je daná definitoicky, uením jednotky púdu ako jednej zo základných jednotiek sústavy SI (pozi odsek 6.4.). Konštanta má pesnú hodnotu µ 0 = 4π.10 7 H/m (6.3) a nazýva sa magnetická konštanta (pemeabilita vákua). K jej ueniu sa vátime pi definícii jednotky elektického púdu. Váme sa však k výazom (6.1) pe sily pôsobiace na náboje pi ich pohybe. Tieto sily majú dve zvláštnosti, ktoé ich odlišujú od doteaz známych síl pôsobiacich medzi mateiálnymi objektami. Pedovšetkým tieto sily závisia od ýchlostí obidvoch nábojov. Je zvláštne, že sily vymiznú, ak hoci len jedna z ýchlosti sa ovná nule, iná povedané, ak je pozoovate pevne spojený s jedným z nábojov. V tom spoíva elativita týchto síl. Duhou zvláštnosou síl je skutonos, že na pvý pohad nespajú tetí Newtonov zákon ich vekos je ôzna a nepôsobia pozdž spojnice nábojov. 1 (itateovi odpoúam dokáza, že iba v pípade ovnakých nábojov pohybujúcich sa ovnakými ýchlosami v jednej ovine sú obidve sily ovnako veké a pôsobia na spojnici nábojov smeom k sebe. Ak sú náboje opaného znamienka, sily pôsobia od seba). Možno oakáva, že takéto sily, ktoé nazývame magnetické sily, budú ma na nabité pohybujúce sa objekty podivuhodné úinky, oho svedkom sa staneme v alších astiach tejto knihy. Pe naše alšie úely je vhodné sily (6.1) pepísa do tvau F F = q k q 1 1 1 1 1 3 = q k q 3 1 1 1 1 1 (6.4a) (6.4b) 1 Zdanlivé poušenie tetieho Newtonovho zákona vyvolalo medzi fyzikmi zdesenie a vea diskusií. V oku 1945 Page a Adams (Page, L., Adams, N. I., Am. J. Phys. 13, (1945) st. 141) však dokázali, že v skutonosti tetí Newtonov zákon nie je poušený, petože elektomagnetické pole dvojice bodových nábojov unáša so sebou hybnos, ktoej asová zmena sa ovná páve ozdielu obidvoch síl. Pozi tiež Tamm, I. J.:"Osnovy teoii elektiestva", Gostechizdat Moskva 1957 41
Z tohoto zápisu vidíme, že každá zo síl na vybaný náboj závisí od jeho hodnoty, jeho ýchlosti a od veliiny v zátvoke, ktoá vyjaduje vlastnosti duhého náboja v inteakcii (jeho vekos, znamienko, ýchlos a vektoovú vzdialenos k pvému náboju). Táto veliina vytváa vektoové pole v piestoe, má silový chaakte, petože uuje silu na iný náboj a nazýva sa magnetická indukcia alebo pesnejšie vekto magnetickej indukcie a spavidla sa oznauje symbolom B. Zátvoka vo výaze (6.4a) pedstavuje teda vekto magnetickej indukcie náboja q v mieste náboja q 1 a poda uvedeného mu možno piadi symbol B 1. Podobne zátvoka vo výaze (6.4b) je magnetická indukcia B v mieste náboja q. Vo všeobecnosti náboj q pohybujúci sa v piestoe ýchlosou vytváa vo vektoovej vzdialenosti v bode P na ob. 6.4 magnetické pole s magnetickou indukciou µ 0 3 q B = 4π (6.5) Ob. 6.4 kde konštanta k bola vyjadená pomocou výazu (6.). Vekto magnetickej indukcie B je kolmý na obidva vektoy a, má vekos q B = µ 0 sin 4π ϕ a sme vektoového súinu q (ob. 6.4). Pe magnetickú indukciu platí zákon supepozície, to znamená že magnetické úinky viaceých pohybujúcich sa nábojov sa vektoovo sítavajú. Ak sa teaz vo vzdialenosti od náboja nachádza iný vybaný náboj q a jeho ýchlos je tam, bude na pole B poda výazov (6.4) a (6.5) pôsobi magnetickou silou F mag = q B (6.6) Táto sila pôsobí na náboj q popi elektickej sile F el = qe, kde E je intenzita elektického poa. Celková elektomagnetická sila, ktoá pôsobí na náboj q pohybujúci sa ýchlosou v elektickom poli E a magnetickom poli B, je daná výazom F elmag = F el + F magn = qe + q B (6.7) 4
Tento výaz sfomuloval v oku 1909 holandský teoetický fyzik Hendik Antoon Loentz 1 (1853 198) a poda neho sa nazýva Loentzova sila. Je to jediná sila, ktoá pôsobí na náboje v elektomagnetickom poli, a výaz (6.7) je jeden zo základných výazov teóie elektomagnetického poa. Iné sily v elektomagnetizme nepoznáme. Váme sa však k opisu vlastností magnetických polí. Toto vektoové pole možno podobne ako elektické pole gaficky mapova sústavou ia, ktoé nazývame indukné iay. Sú to iay, ku ktoým má vekto magnetickej indukcie v každom bode poa sme dotynice. Ak sa nejaký náboj q v magnetickom poli pohybuje pozdž induknej iay (vektoy a B sú paalelné, alebo antipaalelné), v tom pípade magnetická sila na náboj je nulová (pozi ob. 6.5a). Ak ýchlos zviea so smeom vektoa B uhol ϕ, sila má vekos F magn = qb sin ϕ a má sme vektoového súinu q B (pozi ob. 6.5b). Ak sú vektoy a B navzájom kolmé, sila je maximálna a má vekos F magn = qb. Sila je vždy kolmá na obidva vektoy a B, a peto nie je spávne zamiea pojem "magnetické indukné iay" pojmom "magnetické siloiay", petože sila nemá sme dotyníc k týmto iaam, ale naopak, je na ne kolmá. Ob. 6.5 Dôležitým pojmom a veliinou v magnetickom poli je pojem toku vektoa magnetickej indukcie Φ, ktoý je fomálne definovaný podobne ako tok intenzity elektického poa, teda tok vektoa magnetickej indukcie zvolenou neuzavetou plochou S v piestoe je (ob. 6.6) Φ = B.dS S (6.8) kde ds je vektoový element na ploche S. Tento pojem há zásadnú úlohu pi takom dôležitom jave ako je elektomagnetická indukcia, ktoá bude pedmetom našich úvah v kapitole 7. 1 Loentz, H. A.: The Theoy of Electons, New Yok, 1909 43
Meacia jednotka pe magnetickú indukciu plynie z výazu (6.6) pe magnetickú silu. Využitím výazu možno napísa ozmeovú ovnicu pe jednotku magnetickej indukcie [ B] [ F] [ q][ ] N.s = = = kg.s.a 1 (6.9) C.m Jednotkou magnetickej indukcie v sústave SI je 1 tesla (T) pomenovanej po ameickom inžinieovi chovátskeho pôvodu Nikola Teslovi (1856 1943). Jej definícia spoíva na vzahoch (6.6) a (6.9), a znie: Magnetická indukcia v nejakom bode piestou, v ktoom je magnetické pole, má hodnotu 1 tesla (T), ak na náboj 1 coulombu (C), ktoý sa v danom bode pohybuje ýchlosou 1 m/s kolmo na indukné iay, pôsobí magnetická sila 1 newton (N). Poda (6.9) N.s V.s 1 T = 1 = 1 = 1 kg.s.a C.m m 1 (6.10) Ob. 6.6 Ak si všimneme výaz (6.8) pe indukný tok, vidíme, že jeho jednotkou musí by 1 T.m, o na duhej stane poda (6.10) sa ovná 1 V.s. Jednotka pe indukný tok má však svoje vlastné meno a nazýva sa webe (Wb) na poes nemeckého fyzika Wilhelma Eduada Webea (1804 1891) pofesoa na Univezite v Göttingene, súasníka a spolupacovníka K. F. Gaussa, teda 1 Wb = 1 T.m = 1 V.s = 1 m.kg.s.a 1 (6.11) Jeden webe (1 Wb) je tok magnetickej indukcie vekosti 1 tesla homogénne a kolmo plochou 1 m. V niektoých staších uebniciach, ale tiež vo vedeckej a technickej paxi hlavne v USA a v západnej Euópe, sa ešte dnes asto používa pe jednotku magnetickej indukcie 44
oznaenie Wb/m, ktoé plynie zo vzahu (6.11) a samotný vekto B sa opávnene nazýva hustota magnetického indukného toku (magnetic flux density). Magnetická indukcia 1 T pedstavuje vemi silné magnetické pole podukované nap. vekým elektomagnetom. Pe poovnanie možno uvies, že piodzené magnetické pole na povchu Zeme dosahuje absolútnych maximálnych hodnôt iba cca 6,.10 5 T (na zemských magnetických póloch). 6.1. Magnetické pole púdu elektických nábojov V paxi dôležitejšie ako magnetické pole bodového náboja je pole súbou pohybujúcich sa nábojov, teda magnetické pole elektického púdu. Púd však nemusí by lokalizovaný na tenký púdovodi (dôt), ale môže ma piestoový chaakte. Pedpokladajme teda, že v piestoe sa pohybujú identické náboje q ozložené s koncentáciou n, takže v nekonene malom objeme dτ je nekonene malý náboj dq = nqdτ, ktoý sa v piestoe pohybuje ýchlosou (ob. 6.7). Nekonene malý píspevok k magnetickej indukcii db, ktoý tento náboj budí vo vektoovej vzdialenosti v bode P, musí by poda pincípu supepozície daný fomálne ovnakým výazom ako je (6.5), teda µ d db = 0 Q 4π 3 Ob. 6.7 Ak uvážime, že dq = nq dτ = Jdτ kde J je púdová hustota, možno poslednému výazu da tva µ 0 J db = dτ 4π 3 (6.1) 45
Vzah (6.1) môže aspo fomálne poslúži k výpotu magnetických polí za pedpokladu, že je zadaná púdová hustota ako funkcia polohy v piestoe. Výaz (6.1) teba integova cez celý objem τ, v ktoom púdy teú. Takto dostaneme výaz µ 0 J B = τ 4π 3 d (6.13) τ Vo väšine paktických pípadov však je výpoet integálu vo výaze (6.13) vemi zložitý. 6.1.3 Biotov-Savatov-Laplaceov zákon Elektické púdy, ktoé podukujú magnetické polia, asto teú elatívne tenkými vodimi (dôtmi), ktoé sú v inak nevodivom postedí nejakým spôsobom ozložené, vemi asto navinuté do tvau jednovstvových husto vinutých cievok (solenoidov) alebo tooidálnych cievok. Magnetické polia v okolí púdovodiov expeimentálne bezpostedne po Oestedovom objave v oku 180 skúmali J. B. Biot a F. Savat a na základe svojich meaní spolu s P. S. Laplaceom sfomulovali zákon, poda ktoého magnetická indukcia, ktoú budí dostatone kátka as púdovodia džky l s púdom I vytváa vo vzdialenosti (» l) magnetickú indukciu vekosti I l B = µ 0 sin ϕ 4π (6.14) kde ϕ je uhol medzi smeom a smeom púdového elementu I l. Pi takom vyjadení magnetickej indukcie sa sme vektoa B uuje ažkopádne, nap. pomocou pavidla pavej uky. Ak však využijeme možnosti, ktoé poskytuje difeenciálny a vektoový poet, možno vzah (6.14) napísa pe elementáne malý píspevok db k magnetickej indukcii od nekonene kátkeho púdového elementu Idl (vekto dl má sme pohybu kladných nábojov) vo vektoovej vzdialenosti (pozi ob. 6.8). Biotov-Savatov-Laplaceov zákon, ktoý udáva vektoový píspevok db k magnetickej indukcii možno napísa v tvae 0 d l db = µ I (6.15) 4π 3 Púdový element Idl je asou nejakého uzavetého púdového obvodu, v ktoom sú zaadené zdoje elektomotoických napätí udžujúce púd v obvode, ale žiadne kondenzátoy. Pípad s kondenzátoom vyžaduje zvláštny pístup a bude pedmetom našich úvah neskô. Ak chceme vypoíta výslednú magnetickú indukciu B od celého uzavetého obvodu, teba píspevky (6.15) integova pozdž celého obvodu. Výsledná indukcia bude potom daná výazom B = 4π I dl µ 0 3 l (6.16) 46
kde l je uzavetá iaa pozdž púdového obvodu. Teba si všimnú, že výaz (6.15) a následne aj (6.16) plynú zo všeobecnejších výazov (6.1) a (6.13) pe magnetickú indukciu spojitého ozloženia púdov s púdovou hustotou J. Ak púdové pole obmedzíme na vnútajšok tenkého vodia pieezu S, potom elementáne objemy dτ na vodii môžeme vytvoi ako kátke úseky džky dl pozdž vodia, teda Ob. 6.8 dτ = Sdl piom sa pedpokladá, že púdová hustota na pieeze vodia je konštantná, takže púd vo vodii I = JS Na základe uvedeného možno vo výaze (6.1) uobi zámenu J dτ I d l a tým pejde na tva (6.15). Biotov-Savatov-Laplaceov zákon umožuje vypoíta magnetickú indukciu v okolí vodiov, ktoými peteká elektický púd. V samotnom vodii, kde pole je tiež nenulové, tento zákon zlyhá. Tam teba použi iný pístup. 6.1.4 Magnetická indukcia v okolí nekonene dlhého piameho púdovodia Pedovšetkým teba poveda, že nekonene dlhý piamy púdovodi je z paktického hadiska fikcia, petože každý púdový obvod musí by uzavetý. Môžu však existova obvody, v ktoých nejaký elatívne dlhý úsek je piamoiay a nás môže zaujíma magnetické pole v jeho blízkom okolí. V tom pípade môžeme použi piblíženie nekonene dlhého púdovodia. Úloha je však dôležitá aj z iného teoetického hadiska, petože jej iešenie dokazuje, že magnetické indukné iay sú uzaveté a my ho použijeme pi fomulácii jednej zo základných ovníc magnetostatiky. 47
Pedpokladajme teda, že v nekonene dlhom tenkom a piamom púdovodii teie stály elektický púd I (pozi ob. 6.9a). Našou úlohou je vypoíta vekos a sme magnetickej indukcie v kolmej adiálnej vzdialenosti od púdovodia. Na vodii vo vzdialenostiach ±l zvolíme dva púdové elementy Idl, ktoé sú v ovnakej vzdialenosti ρ od bodu P, v ktoom teba ui magnetickú indukciu. Píspevok db od honého púdového elementu má vekos sin d B = µ 0 I dl ϕ 4π ρ Z obázka plynie, že ϕ = ϑ + π/, takže platí sin ϕ = sin ϕ ' = cos ϑ. Sme vektoa db v bode P je za nákesu. V dôsledku symetie duhý píspevok db od spodného elementu má ovnakú vekos a vekto db v bode P smeuje tiež za nákesu. Píspevky sa teda sítavajú a výsledný píspevok od dvoch elementov má vekos l db = db + db = µ 0 d cos I ϑ π ρ (6.17) Ob. 6.9 Takéto elementy teba pozdž púdovodia integova od 0 po. Je však výhodné integova nie cez džku l, ale cez uhol ϑ od 0 po π/. Peto džku difeencujeme poda ϑ a dostaneme l = tg ϑ d l = cos ϑ d ϑ 48
alej vyjadíme ρ = cosϑ a výazy pe dl a ρ dosadíme do (6.17). Pe db dostaneme výaz db = µ 0I d π cos ϑ ϑ ktoý závisí iba od ϑ. Po jeho integácii od 0 po π/ dostaneme π/ µ 0 I µ 0 I B = = cosϑ d ϑ π π 0 Na základe uvedených úvah môžeme pehlási, že vekto magnetickej indukcie od nekonene dlhého piameho púdovodia leží v ovine kolmej na púdovodi, jeho vekos závisí iba od púdu I a vzdialenosti poda vzahu B µ I π ϕ = 0 (6.18) Na kužniciach polomeu má B ϕ konštantnú hodnotu a vekto magnetickej indukcie B ϕ má azimutálny sme dotynice ku kužnici v smee vektoového súinu dl (pozi ob. 6.9b). Všetky sústedné kužnice okolo púdovodia sú teda uzaveté indukné iay. Vo vnúti púdovodia je tiež nenulové magnetické pole, ktoé však nemožno vypoíta piamou aplikáciou Biotovho-Savatovho-Laplaceovho zákona. alšie aplikácie Biotovho-Savatovho-Laplaceovho zákona uvedieme v odseku 6.1.9. 6.1.5 Divegencia magnetického poa. Nežiedlovos magnetického poa ako jedna z jeho základných vlastností Pi štúdiu vlastností elektostatických polí sme sa po ozsiahlych analýzach dopacovali k poznaniu, že vlastnosti poa sú uené jeho divegenciou (Gaussov zákon) a otáciou (nulovou pácou po uzavetej dáhe). Použime tieto pincípy aj pe magnetické pole a vypoítajme jeho divegenciu s tým, že využijeme výaz (6.5) pe magnetickú indukciu a pincíp supepozície. Pe naše alšie úely napíšeme výaz (6.5) pe vekto B v tochu neobvyklom tvae o je skutone pavda, petože µ B = 0 1 4π q gad (6.19) 49
gad 1 = 1 = 3 (6.0) [pozi výaz (.106)]. Divegencia vektoa B sa potom dá napísa v tvae µ div B = 0 q div 1 gad 4π Ak na tento výaz použijeme opeátoovú identitu (pozi tabuku ), potom pejde na tva div(a B) = B.otA A.otB µ div B = 0 q 1 1.ot +.ot gad (6.1) 3 4π Rotácia gadientu ubovonej skalánej funkcie sa ovná nule [pozi výaz (.156)], teda duhý len v zátvoke výazu (6.1) sa ovná nule. Hodnotu divegencie B uuje teda súin.ot Ak ozložíme ýchlos na zložku pozdž vektoa a zložku pienu k vidíme, že.ot =.ot ( + ) =.ot +.ot = 0 petože ot = 0 a ot je kolmá na. Zátvoka vo výaze (6.1) sa teda ovná nule, takže môžeme pehlási, že divegencia vektoa magnetickej indukcie pohybujúceho sa bodového náboja sa ovná nule (div B = 0). Na základe pincípu supepozície možno toto tvdenie ozšíi na ubovoný systém nábojov a tvdi, že divegencia každého magnetického poa sa ovná nule, o okem toho platí nielen pe statické magnetické polia, ale dokonca aj pe polia závislé od asu. Teda div B = 0 (6.) vždy a všade aj vo vnúti atómov! Rovnica (6.) je jednou zo základných ovníc elektomagnetického poa, jednou z Maxwellových ovníc v difeenciálnom tvae vo svojej konenej podobe. Skutonos, že magnetické pole má nulovú divegenciu znamená, že neexistujú analogické zdoje i žiedla tohto poa, ako sú elektické náboje zdojmi a žiedlami elektického poa. V tidsiatych okoch dvadsiateho stooia anglický teoetický fyzik Paul Adien Mauice Diac (190 1984) vyslovil podivnú hypotézu o existencii "magnetického náboja" alebo "magnetického monopólu" v snahe o symetizáciu ovníc elektomagnetického poa 1. Veké fyzikálne výskumné centá na svete sa desiatky okov snažili o expeimentálny dôkaz existencie "magnetického monopólu", avšak všetky tieto pokusy skonili s neúspechom. Existencia magnetického monopólu by nevyhnutne viedla k zásadnej evízii dnešnej elektomagnetickej teóie. 1 Diac, P. A. M.: Poc. Roy. Soc. A 133, 60 (1931) Diac, P. A. M.: Phys. Rev. 74, 817 (1948) 50
Existuje ešte iný spôsob dôkazu toho, že magnetické pole má nulovú divegenciu, pi ktoom možno využi vzah (6.13), a neteba využíva pincíp supepozície. Naviac poskytuje výaz pe alšiu, ešte nezavedenú veliinu. Výaz (6.13) s využitím (6.0) možno napísa v tvae µ 0 1 µ 0 J µ 0 J B = J dτ = = = π dτ dτ 4π 4 4π τ τ τ µ 0 J = dτ = A = ot A 4π τ (6.3) kde bola využitá skutonos, že vo vodivom postedí, kde J ~ E, je ot J = 0. Poda výazu (6.3) je vekto magnetickej indukcie daný otáciou nejakého nového vektoa µ 0 J A = τ 4π d [Wb.m 1 = T.m] (6.4) závislého iba od púdovej hustoty J a jej ozloženia v piestoe. Tento vekto sa nazýva vektoový potenciál A a má podobný význam ako skalány potenciál V v elektickom poli. Výsledkom našich úvah sú dve závažné skutonosti: 1. Magnetická indukcia B je vždy otáciou alšieho vektoa A, teda τ B = ot A (6.5) Ak vieme vypoíta vekto A pomocou vzahu (6.4), o je však skô výnimoný pípad, môžeme z neho pomocou vzahu (6.5) vypoíta vekto B.. Ak vždy platí výaz (6.5), potom div B = 0, petože pe ubovoný vekto platí div ot A =.( A) = 0 [pozi výaz (.157)]. K vektoovému potenciálu sa vátime v osobitnom odseku. Skutonos, že magnetické pole má nulovú divegenciu alebo inak povedané, že nemá "žiedla" (neexistujú magnetické monopóly), logicky vedie k záveu, že pole vektoa magnetickej indukcie má chaakte víového poa. Jeho otácia bude vo všeobecnosti nenulová, o dokážeme neskô. Rovnicu (6.) môžeme integova cez ubovoný objem τ, teda div B dτ = 0 τ a aplikova na u Gaussovu vetu. Dostaneme tak integálny pepis základnej ovnice magnetického poa (6.) v tvae S B.d S = 0 (6.6) 51
5 Andé Maie AMPRE (1775 Polémieux pi Lyone 1836 Maseille)
kde S je plocha, ktoá uzatváa objem τ. Z matematického hadiska má výaz (6.6) význam toku vektoovej veliiny B z objemu τ uzavetou plochou S. Tento tok je však v každom pípade nulový. Pokia B 0, je to možné iba vtedy, ak tok do vnúta objemu sa ovná toku von. Z hadiska magnetických indukných ia to znamená, že tieto iay musia by vždy uzaveté, o om sa pesvedíme pi výpote ôznych magnetických polí. Výaz (6.6) sa pe svoju fomálnu podobu na Gaussov zákon pe elektické pole nazýva tiež Gaussov zákon v magnetizme. Ob. 6.10 6.1.6 Ampéov zákon. Rotácia magnetického poa. Víovos magnetického poa ako jedna z jeho základných vlastností Teaz sme pipavení odvodi duhý základný zákon magnetostatiky, ktoý súvisí s úinkom vektoa magnetickej indukcie B na uzavetej dáhe. Pedpokladajme, že v piestoe sa nachádza nekonený piamy púdovodi s púdom I. Zvome v pienej ovine ubovonú uzavetú dáhu l, ktoá obopína vodi (pozi ob. 6.10) a položme si otázku, aká je hodnota integálu l B.d l po tejto dáhe? Podobná otázka o hodnote integálu E.dl v elektickom poli poskytla dôležité teoetické infomácie o vlastnostiach toho poa. Na obázku je zvolený bod vo vzdialenosti od vodia, v ktoom je zvolený element dáhy dl, ktoý v danom bode s vektoom B zviea uhol ϕ, takže B.dl = Bdl cos ϕ = Bdl B 53
kde dl B = dl cos ϕ je piemet elementu dl do smeu magnetickej indukcie, teda na kuhovú induknú iau. Ak uvážime, že v danom bode P je vekos magnetickej indukcie daná vzahom (6.18), môžeme posledný výaz napísa v tvae µ 0I dlb µ 0I B.dl = = dα π π Takýto výaz môžeme napísa pe ubovoný element dáhy, piom je dôležité všimnú si, že ubovoný súin B.dl na dáhe nezávisí od polomeu, na ktoom sa element nachádza, ale je úmený uhlovému elementu dα, pod ktoým vidie element dl z miesta, kde sa nachádza púdovodi. Integál dáhových píspevkov B.dl je úmený integálnemu sútu dα od 0 po π, teda l π µ 0I B.dl = dα = µ 0I π 0 (6.7) Dáhový integál magnetickej indukcie B po uzavetej dáhe, na ozdiel od podobného integálu v elektickom poli, sa teda neovná nule, ale je úmený tomu púdu, ktoý dáha obopína. Ak by dáha neobopínala žiadny púd, uvažovaný integál by sa ovnal nule, o om sa itate môže ahko pesvedi. Naopak, ak dáha obopína n púdov I 1 až I n, potom s využitím pincípu supepozície môžeme oakáva, že dáhový integál bude úmený algebaickému sútu týchto púdov, teda n B.d l = µ 0 k= 1 l I k (6.8) Súvis dáhového integálu s obopnutými púdmi (6.8) je jedna z možných fomulácií Ampéovho zákona (integálny tva). Výaz možno zovšeobecni na púdy, ktoé neteú diskétnymi púdovodimi, ale sú ozložené v piestoe spojito s púdovou hustotou J ako funkciou polohy v piestoe. Ak v púdovom poli J zvolíme uzavetú iau l, ktoá obopína plochu S, potom dáhový integál B po uzavetej dáhe l musí by, s ohadom na výaz (6.8), úmený púdu I = J.d S ktoý dáha l obopína. Môžeme teda výaz pe Ampéov zákon napísa aj v tvae S B.d l = µ 0 J.dS l S (6.9) Ak na avej stane posledného výazu aplikujeme Stokesovu vetu [pozi výaz (.136)], pejde výaz na tva S ot B. ds = J. ds S µ 0 54
Integaná plocha S je ovnaká na obidvoch stanách ovnice a musí spa jedinú podmienku, že je "pipnutá" na svoju haninú iau l, inak je ubovoná. Z toho plynie, že integandy ovnice musia by ovnaké, teda musí plati ot B = µ 0 J (6.30) Rovnica (6.30) je Ampéov zákon v difeenciálnom tvae a vyjaduje lokálnu vlastnos magnetického poa jeho víovos. Všade tam, kde teú púdy, vytváa magnetické pole víy. V takomto poli nemožno vo všeobecnosti definova skalánu funkciu podobnú skalánemu potenciálu v elektickom poli, z ktoej by sa magnetická indukcia poítala ako záponý gadient. Platí totiž, že ot gad = 0 pe každú skalánu funkciu, o by viedlo k spou s výazom (6.30). Skalány magnetický potenciál V m však možno zavies všade tam, kde neteú púdy (J = 0, esp. I = 0). V tých miestach B = gad V m. itateovi v tejto súvislosti odpoúam ieši úlohu 16, z ktoej sa dozvie, ako vyzeá V m pe jednoduchý púdový okuh. Pe výpoet magnetickej indukcie sa však skalány potenciál využíva ziedkavo. Veliinou zásadnejšieho významu v magnetickom poli je ale vektoový potenciál A, ktoého vyjadenie (6.4) sme získali ako "medzipodukt" pi dôkaze nulovej divegencie magnetického poa. Venujme teaz pozonos niektoým jeho vlastnostiam! 6.1.7 Vektoový potenciál Spôsob, ktoým sme získali výaz (6.4) možno nazva "expeimentálny", petože jeho základom je expeimentom potvdený výaz pe magnetickú silu (6.1), ktoú môžete zmea napíklad z pohybu elektónu v obazovke Vášho televízoa. V teóii elektomagnetického poa sa asto postupuje naopak, že sa postulujú základné ovnice poa (Maxwellove ovnice) a skúmajú sa ich dôsledky. Takým spôsobom sa postuluje aj ovnica div B = 0 a skúma sa, aké má vlastnosti pole vektoa B. Ak ovnica platí všeobecne, potom B musí by otáciou iného, už spomínaného vektoa A, teda petože B = ot A (6.31) div (ot A) = 0 vždy. Okem toho poda vzahu (6.30) musí plati, že ot B = ot (ot A) = µ 0 J (6.3) Ak uvážime opeátoovú identitu ot ot gad div (pozi tabuku ), tak ovnicu (6.3) môžeme pepísa do tvau 55
gad (div A) A = µ 0 J (6.33) Z matematického hadiska je to zložitá paciálna difeenciálna ovnica pe neznámy vekto A pi známom ozložení púdovej hustoty J. Bez ujmy na všeobecnosti možno ovnicu zjednoduši. Ak uvážime, že A je zdojom vektoa B postedníctvom vzahu (6.31), potom v uení A je veká vonos bez toho, aby sa zmenilo B. K vektou A možno nap. pipoíta ubovoný konštantný vekto a otácia výsledku, teda B, sa nezmení (spomete si na ubovonú aditívnu konštantu pi skalánom elektickom potenciáli). S vektoovým potenciálom si môžeme dovoli ešte viac; môžeme k nemu dokonca pida gadient ubovonej skalánej funkcie Λ a jeho otácia zostane ovnaká, t. j. B = ot (A + gad Λ) = ot A + ot gad Λ = ot A petože ot gad Λ = 0. Takáto veká vonos vo výbee A uite ho dovouje vyba tak, aby bola splnená podmienka div A = 0 1 (6.34) Ak je podmienka (6.34) splnená, potom sa ovnica (6.33) zjednoduší na tva A = µ 0 J (6.35) Rovnica (6.35) je paciálna difeenciálna ovnica Poissonovho typu pe vektoovú veliinu A (v skutonosti ti difeenciálne ovnice pe ti zložky vektoa A), podobná ovnici (.154b) pe skalány potenciál V. Môžeme oakáva, že ak výaz (.78) je iešením ovnice (.154b), bude iešením (6.35) fomálne ovnaký výaz pe A, menovite µ 0 J A = τ 4π d (6.36) Lenže výaz (6.36) pe nás nie je novým, petože sme ho získali už pi dôkaze nulovej divegencie magnetického poa [pozi vzah (6.4)]. Ak elektický púd I teie uzavetým púdovodiom malého pieezu S, džky l s konštantnou púdovou hustotou J, potom na púdovodii možno voli púdové elementy Idl = Jdτ a výaz (6.36) pe vektoový potenciál A v okolí vodia pejde na tva τ µ l A = 0 I d 4π l (6.37) a nap. v zložkách pavouhlého súadnicového systému A x µ 0I d x µ 0I d y µ 0I d z = Ay = Az = 4π 4π 4π l l l (6.38) 1 Ak by bola div A 0, potom nevíový vekto A by sa skladal z víovej zložky A a nevíovej (žiedlovej) zložky A, teda A = A + A. Potom by ale platilo: div A = 0 a ot A = 0, a tak B = ot A. Zložka A by nevplývala na B, teda by bolo možné položi A = 0 a tak teda platí: div A = div A = 0. 56
kde = x + y + z. Nakoniec nám zostáva odpoveda na dôležitú otázku: Aký je vlastne význam vektoového potenciálu. Ponúka sa odpove, že ovnaký, ako je význam skaláneho potenciálu pomocou neho vypoíta magnetickú indukciu. Avšak A je vekto, teda nemá tú výhodu akú má skalá V, naviac výazy pe vektoový potenciál sú neziedka zložitejšie ako výazy pe samotnú magnetickú indukciu. Vektoový potenciál môže ma dokonca nenulovú hodnotu tam, kde samotná magnetická indukcia je nulová (nap. v okolí nekonene dlhého solenoidu pozi úlohu 178). Teda ponúkaná odpove znie dos nepesvedivo. Avšak existuje vemi dôležitá úloha, ktoej jednoduché iešenie bez vektoového, alebo aspo skaláneho magnetického potenciálu si neviem pedstavi. Je to úloha o magnetickej indukcii v okolí vemi malej púdovej sluky (nap. poda klasickej pedstavy magnetická indukcia od cikulujúceho elektónu v atóme). Vektoový potenciál pomáha hlavne v zložitejších úlohách magnetických polí, umožuje pehadnejší pístup k enegetickým otázkam magnetických polí. Jeho význam sa ocení hlavne v asovo pemenných elektomagnetických poliach a má piamy fyzikálny význam v ôznych poblémoch kvantovej teóie. 1 Vektoový potenciál je dôležitou veliinou elektomagnetickej teóie. 6.1.8 Vektoový potenciál piameho nekoneného púdovodia S akými záludnosami sa možno stetnú pi výpote vektoového potenciálu budeme ilustova na nekonene dlhom piamom púdovodii. Pedpokladajme, že púdovodi má polome a, a teie ním púd I s konštantnou púdovou hustotou J z = I/(πa ) v smee osi z pavouhlého súadnicového systému x, y, z (pozi ob. 6.11a). Pokúsime sa o výpoet vektoového potenciálu vo vzdialenosti = x + y od osi púdovodia najpv pe > a. Pi zvolenom smee púdu má vektoový potenciál nenulovú iba zložku A z v smee osi z, zvyšné zložky A x = A y = 0. K výpotu A z sa ponúka tetí z výazov (6.38), v ktoom teba integova elementy dz od po +, teda + µ 0 I z Az = d 4π + z Takýto integál diveguje, to nie je schodná cesta k výsledku. Inú možnos ponúka piamo ovnica (6.35), ktoá pe jedinú zložku vektoa A pejde na tva I Az = µ 0J z = µ 0 (6.39) πa 1 Pozi nap. Feynman, R. P., Leighton, R. B., Sands, M.: Feynmanove pednášky z fyziky 3, st. 333, Alfa Batislava 1988 57
vo vnúti púdovodia, teda pe < a. Vzhadom na to, že poblém má osovú symetiu, je vhodné ho ieši v cylindických súadniciach, ϕ, z. Zložka A z závisí iba od, peto na pôsobí iba as Laplaceovho opeátoa závislá od a ovnica nadobudne tva (pozi tabuku 3) 1 d d A d d Po vynásobení s a pvej integácii dostaneme výaz da d z I = µ 0 (6.40) π a z = µ 0 Integanú konštantu sme položili ovnú nule, petože výaz musí plati aj pe = 0. Vydelením s a duhou integáciou dostaneme výaz pe A z vo vnúti vodia v tvae I a A I 1 4π a µ z = 0 (6.41) piom duhá integaná konštanta bola zvolená tak, že A z = 0 pe = a. Ob. 6.11 Pe okolie vodia ( > a) pejde ovnica (6.40) na tva 1 d d A d d vynásobením s a po pvej integácii dostaneme výaz z = 0 (6.4) 58
da d z = kde C 1 je integaná konštanta. Vydelením s a alšou integáciou posledného výazu dostaneme A z = C 1 ln + C (6.43) kde C je alšia integaná konštanta. Integané konštanty C 1 a C teba zvoli tak, aby vektoový potenciál a tým aj magnetická indukcia boli spojité na povchu púdovodia. To vyžaduje, aby platilo C = C 1 ln a ím výaz (6.43) nadobudne tva C 1 Az = C 1 ln (6.44) a Z výazu (6.44) vidie, že pe = a je A z = 0, výaz (6.41) pe = a dáva tiež nulovú hodnotu vektoového potenciálu, teda A z je na povchu púdovodia spojitý. Ak tam má by spojitá aj magnetická indukcia, potom pi = a musí by spojitá aj pvá deivácia A z. To vyžaduje voli C 1 = µ 0 I/(π) a výaz (6.44) nadobudne konený tva pe okolie vodia I Az = µ 0 ln (6.45) π a Ak zhnieme naše poznatky o vektoovom potenciáli piameho vemi dlhého púdu vidíme, že vektoový potenciál má sme osi púdu. Na kužniciach polomeu koncentických s osou púdu má pe < a ovnaké hodnoty dané výazom (6.41), a pe > a výazom (6.45). itate sa môže pesvedi, že výpoet ot (A z e z ) s využitím výazu (6.45) vedie na výaz (6.18) pe magnetickú indukciu v okolí púdovodia. Na duhej stane, vo vnúti vodia je magnetická indukcia daná otáciou výazu (6.41), teda daz µ 0I B = ot ( Azez ) = eϕ = e ϕ (6.46) d πa Všimnite si tiež, že výaz (6.45) je fomálne podobný výazu pe skalány potenciál V λ = πε 0 v okolí nekonene dlhého piamkového náboja, ktoý bol odvodený v elektostatike [pozi výaz (.79)]. Analogicky s výazom (6.41) možno tiež spätne pe skalány potenciál vo vnúti nekonene dlhého valca polomeu a nabitého objemovým nábojom ρ = λ/(πa ) napísa výaz ln a λ ρa = V = 1 1 4πε 0 a 4ε 0 a Zložka vektoového potenciálu A z má konštantné hodnoty na kužniciach ktoé splývajú s magnetickými induknými iaami (pozi ob. 6.11a). Radiálna závislos A z () je gaficky znázonená na ob. 6.11b. 59
6.1.9 Výpoet niektoých dôležitých magnetických polí Na výpoet magnetických polí sme v pedchádzajúcich odsekoch vypacovali niekoko metód, ktoé v kátkosti zekapitulujeme. Sú to: a) Biotov-Savatov-Laplaceov zákon (BSL zákon), ktoý dáva možnos vypoíta magnetickú indukciu púdov, ktoé teú v objeme τ s púdovou hustotou J [výaz (6.13)] alebo púdy I teú v púdovodioch [výaz (6.15)]. V poslednom pípade nemožno poíta magnetickú indukciu vo vnúti púdovodia, o ktoom sa pedpokladá, že je nekonene tenký. b) Ampéov zákon v tvae (6.8) alebo (6.9) umožuje ieši niektoé, na pvý pohad zložité úlohy za pedpokladu, že pole má vysoký stupe symetie a je známy piebeh magnetických indukných ia. V tomto ohade je aplikácia Ampéovho zákona analogická aplikácii Gaussovho zákona pi výpote elektických polí. Teoeticky je postiedkom pe výpoet polí aj Ampéov zákon v difeenciálnom tvae (6.30). V skutonosti sú to ale ti zložité difeenciálne ovnice pe zložky vektoa B, pe ktoé teba zada aj okajové podmienky. c) Výpoet magnetických polí z vektoového potenciálu daného ovnicami (6.35) alebo (6.36) až (6.38). Zo známeho vektoového potenciálu sa magnetická indukcia uí za pomoci výazu (6.31). d) Skalány magnetický potenciál V m = µ 0 I 4π Ω [Wb.m 1 = T.m] (6.47a) ktoý budí jednoduchý púdový obvod (púdová sluka) v bode P, z ktoého obvod vidíme pod piestoovým uhlom Ω. Magnetická indukcia v bode P sa vypoíta poda vzahu B = gad V m (6.47b) Výazy (6.47a,b) sú pedmetom dôkazu v úlohe 16. V alšom uvedieme niekoko píkladov na výpoet magnetických polí púdov jednoduchých konfiguácií: 1. Magnetické pole kuhového púdu. Dôležitým magnetickým poom je pole budené púdom I, ktoý teie po obvode kužnice polomeu R. Púdovú dáhu môže tvoi jeden kuhový závit dôtu polomeu R, pípadne tenká pstencová cievka n závitov tenkého dôtu (úinný púd je potom ni), alebo stedný púd elektónu na obežnej dáhe okolo jada atómu. Ukazuje sa, že pole takého jednoduchého púdu je vo všeobecnosti zložité. Magnetická indukcia je jednoduchá na osi závitu (pozi ob. 6.1a), kde ju možno ui pomocou skaláneho alebo vektoového potenciálu, avšak najjednoduchšie piamou aplikáciou BSL zákona. Ak na piemee púdovej kužnice zvolíme dva elementy Idl, každý vo vzdialenosti ρ, v bode P na osi z vyvolá magnetickú indukciu vekosti µ 0I dl db = db = 4π ρ 60
Piemety týchto píspevkov na os z sa vektoovo sítavajú a piemety do oviny kolmej na os z sa ušia. Výsledný píspevok I dl db = ( db + db )sinϑ = µ 0 sinϑ π ρ Ob. 6.1 smeuje pozdž osi z. Ak uvážime, že dl = Rdα a ρ = R/sinϑ, môžeme píspevky integova po polkužnici (uhol ϑ od 0 po π) a dostaneme 3 π µ 0I sin ϑ I B = = R α µ 0 3 d sin ϑ (6.48) π R 0 Magnetická indukcia je tu vyjadená ako funkcia uhla ϑ, ktoý sa môže meni od ϑ = 0 (z = +, B = 0) cez ϑ = π/ [z = 0, B = µ 0 I/(R)] po ϑ = π (z =, B = 0). Magnetická indukcia má všade sme kladnej osi z a pedstavuje piamkovú magnetickú induknú iau od po + (pozi ob. 6.1b). Ak uvážime, že sinϑ = R R + z možno výaz (6.48) napísa v tvae µ 0I R µ 0I 1 B = = ( R + z R ) 3 z 1+ R / 3/ 61
V piestoe mimo osi závitu je výpoet magnetickej indukcie zložitý a vedie na eliptické integály (pozi úlohu 177). Pe alšie úely vypoítame však namiesto B vektoový potenciál A v okolí kuhového závitu. Na ob. 6.13 je znázonený závit s púdom I a bod P, v ktoom chceme ui vektoový potenciál. Dva vybané púdové elementy Idl sú v ovine závitu ozložené na zložky Idx a Idy = Idl ϕ. Keže vybané elementy Idx sú potibežné, ich píspevok k vektoovému potenciálu je nulový a v bode P budú pispieva iba zložky Idl ϕ každá s píspevkom da ϕ µ I dl 0 = 4π ϕ Ob. 6.13 Výslednú hodnotu A ϕ získame integáciou daných píspevkov pozdž celého závitu, teda A ϕ µ 0I = 4π l dl ϕ (6.49) Hadaný vektoový potenciál leží v paalelnej ovine nad závitom vo výške z a tvoí dotynicu ku kužnici s polomeom ρ. Na výpoet integálu sú potebné vyjadenia 6
63 cos d cos d z R R z d R l + + = + = = ϕ ρ ρ ϕ ϕ ϕ (6.50) okem toho položme ϕ = π + α takže dϕ = dα a cos ϕ = sin α 1. Po takýchto substitúciách výaz (6.49) pejde na tva π/ π/ π + + π = = + + π = 0 0 0 sin 4 ) ( 1)d (sin cos d cos 4 α ρ ρ α α µ ϕ ρ ρ ϕ ϕ µ ϕ R z R IR R z R IR A Po alšej substitúcii ( ) k R R z 4 = + + ρ ρ pejde posledný integál do tvau = = = E K 1 sin 1 1)d (sin 4 0 / 0 0 k R k I k R k IR A ρ µ α α α ρ µ ϕ (6.51) kde = = / 0 sin 1 d, K α α k k K (6.5a) je úplný eliptický integál pvého duhu a α dα sin 1, E / 0 = = k k E (6.5b) je úplný eliptický integál duhého duhu. 1 Numeické hodnoty integálov (6.5) sú pe ôzne hodnoty paameta k tabuované v špecializovaných matematických 1 Pozi nap. Rektoys, K.: Pehled užité matematiky, st. 490, SNTL Paha 1981
píukách. 1 Magnetická indukcia v okolí púdového závitu sa "vypoíta" ako otácia azimutálneho vektoového potenciálu A ϕ daného výazom (6.51). Magnetické pole v okolí závitu je znázonené na ob. 6.1b. V paxi je vemi dôležitý pípad výpotu magnetickej indukcie vo vekej vzdialenosti od závitu, alebo ak je polome závitu vemi malý, t. j. je splnená podmienka R «(6.53) Vtedy do výazu (6.49) s ohadom na podmienku (6.53) možno dosadi 1 1 1 = = R + ρ + z Rρ cosϕ R + R cosϕ sinϑ 1 1 + R ím výaz (6.49) pejde na tva cosϕ sinϑ A ϕ µ 0IR = + 4 1 π 0 π R sinϑ cosϕ cosϕ dϕ = µ 0IR R µ 0IπR = ϕ + ϑ ϕ ϕ = ϑ cos sin cos d sin π 4π 0 π (6.54) V poslednom výaze πr = S je plocha kuhu, ktoý je po obvode obtekaný púdom I. Je vhodné túto plochu zavies ako plošný vekto S, ktoý je kolmý na plochu S a smeuje na tú stanu plochy, z ktoej vidie tiec púd poti smeu hodinových uiiek. Vektoová veliina m = IS [A.m ] (6.55) sa nazýva magnetický moment púdovej sluky. Uvažovaný vektoový potenciál má poda vzahu (6.54) tva µ 0m µ 0 m A = Aϕ eϕ = sin ϑ eϕ = (6.56) 3 4π 4π kde e ϕ je jednotkový vekto v azimutálnom smee sféických súadníc, ϑ je polány uhol a je polohový vekto bodu P vzhadom na sted závitu. Pouný je tiež výpoet skaláneho magnetického potenciálu v okolí malej púdovej sluky (pozi ob. 6.14). Z bodu P vo vzdialenosti» R vidie sluku pod piestoovým uhlom S0 S Ω = = cosϑ 1 Pozi nap. Jahnke, E., Emde, F., Lösch, F.: Tafeln höhee Funktionen, B. G. Teubne Velagsgesellschaft, Stuttgat 1960 64
Skalány potenciál daný výazom (6.47a) nadobudne tva I IS m Vm = µ 0 = µ 0 = µ 0 ϑ ϑ = µ 0 m. Ω cos cos 3 4π 4π 4π 4π (6.57) Všimnite si, že skalány magnetický potenciál púdového závitu je svojou matematickou štuktúou ovnaký ako výaz pe skalány potenciál elektického dipólu [pozi výaz (.114), v ktoom možno uobi zámeny 1/ε 0 µ 0 a p m, a pejde na výaz (6.57)]. Ob. 6.14 Výazy (6.56) a (6.57) možno konene využi na výpoet magnetickej indukcie vo vekej vzdialenosti od malej púdovej sluky v ubovonom smee. Výpotom možno ukáza, že magnetická indukcia v okolí púdovej sluky je daná výazom µ 0 m µ m B = A = = = 0. ot gadvm ot gad 3 3 = 4π 4π µ 0 3( m. ) m = 5 3 4π (6.58) Výaz (6.58) sa svojou štuktúou podobá na výaz (.116), ktoý opisuje pole elektického dipólu. Malá púdová sluka sa peto asto nazýva magnetický dipól napiek tomu, že nejde o nijaký dvojpólový objekt. Toto teba ma na pamätí všade, kde v budúcnosti použijeme pojem "magnetický dipól". Robíme tak len z úcty k históii sám pojem pináša do elektomagnetizmu viac škody ako osohu, petože je tendencia spája ho s neexistujúcimi magnetickými nábojmi. Magnetické pole vo väšom okolí sluky (magnetického dipólu) vyzeá fomálne pesne tak, ako elektické pole elektického dipólu (pozi ob. 6.15 a poovnaj s ob..43) a jeho zložky v sféických súadniciach sú m m B = µ 0 ϑ B B = = µ 0 cos ϕ 0 ϑ sin ϑ (6.59) 3 3 π 4π Absolútna hodnota magnetickej indukcie ako funkcia a ϑ je daná výazom µ 0m B = B + Bϑ = 3cos ϑ + 1 (6.60) 3 4π 65
Magnetické pole v bezpostednom okolí sluky nie je na ob. 6.15 zobazené, petože tam nie je dané výazmi (6.58). Tam na jeho výpoet teba využi vektoový potenciál poda výazu (6.51). Gafický piebeh poa v blízkom okolí sluky je na ob. 6.1b. Ob. 6.15 Pojem magnetického momentu má ozhodujúcu úlohu pi štúdiu mikoskopických magnetických vlastností látok. Ako je známe, atómy, z ktoých sa látky skladajú, sú dynamické systémy zložené z elementánych astíc. Tieto elekticky nabité astice vykonávajú v atómoch zložité cikulané a otané pohyby, spávajú sa ako magnetické dipóly. K týmto otázkam sa vátime v asti o magnetických vlastnostiach látok. Ob. 6.16. Magnetická indukcia na osi solenoidu. Solenoid je husto vinutá jednovstvová valcová cievka polomeu R a džky l s hustotou n závitov na jednotku džky (pozi ob. 6.16). Ak vodiom solenoidu teie púd I, vzniká v jeho dutine a v okolí magnetické pole. Jednoducho sa pole analyzuje iba na osi solenoidu, kde indukcia má sme pozdž osi x, a v bode 0 možno vekos vektoa magnetickej indukcie vypoíta ako supepozíciu polí nekonene kátkych pstencových cievok džky dx. Každý takýto pstenec má ndx závitov a teie ním púd nidx, podobne ako v jedinom závite v pedchádzajúcej úlohe. 66
Pstenec vo vzdialenosti x od bodu 0, ktoý z tohto bodu vidie pod uhlom ϑ, vytvoí v bode 0 píspevok k magnetickej indukcii [pozi vzah (6.48)] µ 0nI d x db = sin 3 ϑ (6.61) R Tieto píspevky teba integova pozdž celého solenoidu. K tomu teba elementy dx vyjadi postedníctvom uhlov ϑ a dϑ. Z obázka vidie, že a x = R cotg ϑ R dx = d sin ϑ ϑ Dosadením za dx vo výaze (6.61) po úpave dostaneme výaz ni db = µ 0 ϑ sin Takéto píspevky teba integova pe všetky pstence pozdž solenoidu, vymedzené uhlami ϑ až ϑ 1, takže nakoniec dostaneme ϑ µ 0nI ni B = ϑ ϑ = µ 0 sin d ( cosϑ1 cosϑ ) (6.6) ϑ 1 Ak uvážime, že x cosϑ 1 = cosϑ = R + x R l x + ( l x) možno výaz pe magnetickú indukciu napísa v tvae 0nI x l x B = µ + (6.63) R + x R + ( l x ) Magnetická indukcia na osi solenoidu je najväšia v stede solenoidu (x = l/) a klesá k nule pe x ±. Mimo osi solenoidu je výpoet magnetickej indukcie zložitý a vedie k podobným matematickým poblémom ako v pípade jediného závitu. Ak je solenoid vemi dlhý a tenký, teda ak platí l» R, možno pe vnútoné body okolo stedu položi ϑ 1 = 0, ϑ = π. Pe túto oblas poda (6.6) má magnetická indukcia jednoduchý výaz B = µ 0 ni (6.64) 67
Ob. 6.17 ím je solenoid dlhší, tým pesnejšie platí výaz (6.64) a pole v dutine solenoidu sa stáva homogénnejším. Pe nekonene dlhý solenoid výaz (6.64) platí pesne a dokonca nielen na osi, ale všade v dutine. Pole je homogénne, hoci to z našej doteajšej analýzy nevyplýva. Na výpoet magnetickej indukcie v nekonene dlhom solenoide možno využi Ampéov zákon (metóda b), ak pijmeme logický pedpoklad, že pole vo vnúti nekoneného solenoidu je homogénne, s piamkovými induknými iaami pozdž osi solenoidu zaínajúcimi a koniacimi v nekonenách. Z vonkajšej stany solenoidu musí by pole nulové. Za týchto okolností možno pe integál B.dl na solenoide vyba integanú dáhu po obdžniku ABCD poda ob. 6.17. Dáha obopína nl závitov a hodnota integálu je B.dl = Bl = µ 0 nli ABCD z oho plynie výaz (6.64). Cievky v tvae solenoidov sú vemi astým púdovým zdojom magnetických polí. Ob. 6.18 3. Magnetické pole tooidálnej cievky. Tooidálna cievka (tooid) je husto a adiálne navinutá cievka na pstenci ubovoného, obyajne však kuhového pieezu. V pienom eze je takýto tooid zobazený na ob. 6.18, ozmey sú zejmé z obázka. V našich úvahách budeme pedpoklada, že dutina tooidu je pázdna. Na pvý pohad sa zdá, že výpoet magnetického poa je úloha vemi zložitá, najmä ak by sa mala ieši pomocou BSL zákona. Avšak magnetické pole tooidu je celé uzaveté 68
v dutine tooidu, indukné iay sú koncentické kužnice s osou tooidu a ich polomey spajú podmienku R < < R + d a to umožuje na iešenie poblému využi Ampéov zákon. Pe každú induknú iau s polomeom a s džkou l = π môžeme poda Ampéovho zákona písa B.dl = π B = µ 0NI l N je celkový poet závitov tooidu, takže obopnutý púd každou induknou iaou je NI. Magnetická indukcia v dutine tooidu poda posledného vzahu je teda NI B = µ 0 π (6.65) V okolí tooidu je písne vzaté tiež magnetické pole spôsobené pohybom nábojov po obvode tooidu v dôsledku špiálového stúpania závitov (pozi úlohu 159). Toto pole je podobné ako pole jedného závitu, avšak v poovnaní s poom v dutine je vemi slabé. Ob. 6.19 4. Magnetické pole vo vnúti valcového púdovodia. Petože púdová hustota je vo vnúti púdovodia nenulová, možno oakáva, že tam bude nenulové aj magnetické pole. V piamom vodii polomeu a, v ktoom teie púd I s púdovou hustotou J = I/(πa ), a ktoého as je zobazená na ob. 6.19a, budú magnetické indukné iay koncentické kužnice s polomeom < a. Ampéov zákon aplikovaný na takúto kužnicu vedie k výazu B.dl = πbϕ = µ 0I 69
kde I je púd obopnutý uvažovanou induknou iaou a jeho vekos je I = J = a π Dosadením do pedchádzajúceho výazu dostaneme I B µ I 0 ϕ = πa (6.66) Vo vnúti púdovodia je teda azimutálne magnetické pole, ktoého vekos naastá na osi vodia od nuly k hodnote B = µ 0 I/(πa). Výaz (6.66) sme už získali ako otáciou vektoového potenciálu (6.41) v odseku 6.1.8. Na ob. 6.19b je gaficky zobazená závislos B ϕ od v celom piestoe vo vnúti púdovodia a v jeho okolí. Zaujímavý a dôležitý je pípad, ak púdovodi má vo svojom vnúti koaxiálnu dutinu polomeu a 0 < a. Ak vodiom teie púd I, bude v jeho okolí magnetická indukcia podobne ako v pípade plného vodia, vo vodii bude indukcia klesa až na nulovú hodnotu pe = a, a v dutine je magnetická indukcia ovná nule. Plynie to nap. z Ampéovho zákona, petože ak zvolíme akúkovek uzavetú dáhu l v dutine, dáha neobopne žiadny púd a B.d l = 0 pe každé l. To je možné iba vtedy, ak v dutine B = 0. l Ob. 6.0 5. Magnetické pole v dutine koaxiálneho kábla. Ak sa do cylindickej dutiny polomeu b púdovodia koaxiálne vloží duhý valcový vodi polomeu a, vznikne koaxiálny kábel alebo koaxiálne vedenie (pozi ob. 6.0a), ktoé sa dnes používa na penos elektických signálov do fekvencií až takme 100 GHz (1 GHz = 10 9 Hz). Ak na vstupe kábla je pipojený ideálny zdoj EMN a na jeho vzdialenom konci odpo R, poteie káblom púd I = /R, napíklad tak, ako je to na ob. 6.0a. Okolo vnútoného vodia v dutine vznikne azimutálne magnetické pole s indukciou 70
B µ I π ϕ = 0 (6.67) a v dôsledku ozdielu potenciálov valcov, ktoý je ovný napätiu IR, aj adiálne elektické pole intenzity (ob. 6.0b). E = (pozi úlohu 39). Z vonkajšej stany koaxiálneho kábla neexistuje ani elektické ani magnetické pole, o je dôsledok platnosti Gaussovho a Ampéovho zákona. Koaxiálny kábel je vhodným postiedkom na penos signálov bez vyžaovania, petože elektomagnetické pole je uzaveté v dutine kábla, a takisto vonkajšie ušivé elektomagnetické polia nemôžu ovplyvni signály v dutine kábla. 6. Magnetické pole v okolí nekonenej púdovej oviny a pole dvoch púdových planpaalelných ovín. Ak v ovine xz (y = 0) pavouhlého súadnicového systému teie plošný púd J x (v A/m) v smee osi x (pozi ob. 6.1a), v okolí oviny bude homogénne magnetické pole v smee osi +z pe y kladné a v smee osi z pe y záponé. ln b a Ob. 6.1 Na toto pole možno aplikova Ampéov zákon s uzavetou obdžnikovou dáhou ABCD poda obázka. K integálu B.d l pispievajú iba stany AB a CD obdžnika, teda z oho B.d l = Bzl + Bzl = µ 0 J xl ABCD 71
a vo vektoovom tvae B B z = µ 0 J x = µ 0J x y k (6.68) y kde k je jednotkový vekto v smee osi z. Takéto pole je homogénne na obidvoch stanách púdovej oviny. Ak vo vzdialenosti d od tejto oviny (d > 0) umiestnime planpaalelne duhú ovinu s plošnou hustotou púdu J x (pozi ob. 6.1b), bude tento púd pispieva tiež svojím magnetickým poom a výsledné pole medzi ovinami (0 < y < d) bude B = µ 0 J x k (6.69a) a v okolí dvojice bude pole nulové. Ak púdy v obidvoch ovinách majú ovnaký sme, medzi ovinami je pole nulové a v okolí dvojice je pole s vekosou danou výazom (6.69a), smey poa na oboch stanách dvojice sú opané. Keže plošný púd J x = σ x, kde σ je plošný náboj na ovine a x jeho ýchlos pozdž osi x, tiež platí B = µ 0 σ x k (9.69b) Možno si položi otázku, aký má táto úvaha zmysel, ve nekonené púdové oviny neexistujú. Odpove je ovnaká ako v mnohých iných podobných pípadoch. Výaz (6.68) platí pibližne aj pe púdové oviny konených ozmeov, ak sa zaujímame o pole blízko oviny a aleko od jej okajov. V pípade dvoch ovín konenej šíky uložených vemi blízko seba je magnetická indukcia v stednej oblasti daná pibližne výazom (6.69). Ako píklad môžeme uvies tzv. páskové vedenie (dva ovnobežné kovové pásiky s dielektikom uposted) uené na penos signálov vemi vysokých fekvencií až do mikovlnovej oblasti (ádovo do 10 GHz). Možno ho vyobi z obojstanne plátovanej dosky plošných spojov. Ak je pome šíky k húbke páskového vedenia dostatone veký, magnetické pole v jeho vnúti je pibližne homogénne a dané výazmi (6.69). Pole leží v ovine dosky a je kolmé na sme púdov vo vedení. 6. INTENZITA MAGNETICKÉHO POA Pe opis magnetického poa sa zavádza ešte jedna vektoová veliina vekto intenzity magnetického poa H. Táto veliina sa dlhý as vydávala za základný magnetický vekto (namiesto vektoa B). Dôvodom takého pístupu bolo dobové chápanie magnetických javov, ke bola snaha vysvetova magnetické pole ako podukt "magnetických nábojov". Istým dôvodom takého chápania bola aj staá, Gaussova sústava meacích jednotiek, v ktoej vektoy B a H majú ovnaký ozme, a nakoniec aj skutonos, že najviac študovanými magnetickými javmi bol magnetizmus pemanentných magnetov, ktoých vonkajšie polia majú vea spoloného s elektostatickými poliami. Dnes vekto H považujeme za pomocný magnetický vekto, vhodný a užitoný pi opise magnetických javov pedovšetkým v látkových postediach, hlavne vo feomagnetikách. 7
Pojem intenzity magnetického poa je pacovným pojmom pedovšetkým feomagnetikov technológov. Pozime sa na logické dôvody, ktoé vedú k zavedeniu vektoa intenzity magnetického poa H. Z Ampéovho zákona v jeho integálnej fomulácii (6.7) až (6.9) plynie, že dáhový integál magnetickej indukcie je úmený iba dáhou obopnutému púdu, kde konštanta úmenosti je magnetická konštanta poa (pemeabilita vákua). Ak nap. ovnicu (6.7) vydelíme s µ 0, dostaneme výaz l B.d l = I µ 0 Dáhový integál nového vektoa intenzity magnetického poa (názov má histoické koene) H B = µ 0 [A.m 1 ] (6.70) (a nie B = µ 0 H, ako sa to asto píše), sa skutone ovná iba obopnutému púdu. Možno teda za defininý vzah pe vekto intenzity magnetického poa považova výaz H.d l = I (6.71) l kde I je algebaický súet všetkých púdov vo vodioch obopnutých dáhou l, pípadne integálny púd púdovej hustoty penikajúcej plochou S ohanienou iaou l (pozi ob. 6.11). Výaz (6.71) sa niekedy nazýva zákon celkového púdu, petože púd I v najvšeobecnejšom pípade zaha aj spomínaný, ale zatia nezavedený posuvný púd. Zákonu možno da aj difeenciálny tva ot H = J (6.7) kde J je hustota celkového púdu. Rozme a jednotka A.m 1 pe vekto H plynie z výazu (6.71). Vo vákuu sa vektoy B a H líšia iba multiplikatívnou ozmeovou konštantou µ 0 = 4π.10 7 H/m a peto je na mieste otázka, aký je vôbec zmysel vektoa H. Vo vákuu v statických poliach, pavdu povediac, žiadny! Zatia o B je silový vekto, fyzikálny význam vektoa H nie je na pvý pohad jasný. V tejto súvislosti si spomete, že s podobnými ozpakmi sme zavádzali v elektostatike vekto elektickej indukcie D (pozi odsek 4.). S intepetáciou vektoa H vznikajú vážne poblémy v pemanentných magnetoch, kde I = 0. Vekto H zavádzame na tomto mieste iba kvôli kontinuite výkladu. Magnetickú intenzitu doteaz analyzovaných polí môžeme získa, ak všetky odvodené výazy pe magnetickú indukciu jednoducho vydelíme s µ 0. Iná situácia je v látkových postediach. Ampéov zákon (6.9) a (6.30) aplikovaný v látkovom postedí musí svojou pavou stanou odáža aj magnetické vlastnosti uvažovaného postedia. Vlastnosti postedí môžu by mnohoaké. V takom postedí je dobe definova vekto, ktoý závisí iba od magnetizujúceho (voného) púdu, teda vekto H. Makoskopický paamete, ktoý odáža magnetické vlastnosti látky, sa nazýva pemeabilita postedia 73
µ = µ 0µ (6.73) kde µ je elatívna pemeabilita, ktoá môže by íselnou bezozmenou konštantou, tenzoom, môže závisie od B esp. H, pípadne môže by aj funkciou súadníc a asu. Závisí to od duhu látky a od jej magnetického stavu. V látkovom postedí má Ampéov zákon tva a vekto intenzity magnetického poa B. d l = µ l H I (6.74) B = µ (6.75) Výazom (6.74) a (6.75) bude venovaná väšia pozonos v kapitole 8 o magnetizme látkových postedí. Rovnice (6.71) a (6.7) platia univezálne, bez ohadu na postedie, H teda závisí od púdu a veliiny B a µ závisia od magnetických vlastností postedia. Pod uvažovaným púdom sa tu ozumie iba nami kontolovaný (voný) púd, pípadne aj posuvný púd a nie napíklad atománe, pípadne molekuláne (viazané) púdy v látkach. V tom spoíva význam vektoa intenzity magnetického poa v látkových postediach. 6.3 MAXWELLOV POSUVNÝ PRÚD Pi tvobe jednotnej teóie elektomagnetického poa v šesdesiatych okoch minulého stooia si jej tvoca James Clek Maxwell všimol, že Ampéov zákon pe statické púdy vyjadený vo vákuu nap. ovnicou ot B = µ 0 J (6.76) (pozi odsek 6.1.6) nie je konzistentný so zákonom zachovania elektického náboja, ktoý možno vyjadi ovnicou spojitosti elektického púdu div J = ρ t (6.77) (pozi odsek 5.1.). Ak sa totiž na ovnicu (6.76) aplikuje divegencia, výsledok je v ozpoe s ovnicou (6.77). Platí totiž div ot B = µ 0 div J = 0 (6.78) petože divegencia otácie akéhokovek vektoa sa ovná nule. Rovnica (6.78) platí iba pe stacionáne púdy. Maxwell intuitívne cítil, že na pavej stane ovnice (6.76) k púdovej hustote J teba pipoíta nejakú ozmeovo ovnakú veliinu, a až divegencia sútu týchto veliín sa ovná nule. Takáto možnos sa ponúkla, ke uvážil, že poda Gaussovho zákona ρ = div D (6.79) 74
(pozi odsek 4.). Vyjadenie (6.79) dosadil do (6.77) a dostal alebo po úpave D div J = div D = div t t div J + D = 0 (6.80) t Výaz v zátvoke je tou hadanou veliinou je to celková púdová hustota J c = D J + J J t = + p (6.81) ktoá musí v ovnici (6.76) nahadi púdovú hustotu J. Veliina J p D = t (6.8) sa nazýva hustota posuvného (Maxwellovho) púdu. Ak dosadíme vyjadenie (6.81) do (6.76), dostaneme D ot B = µ 0 J + t (6.83) Ak sa divegencia aplikuje na túto ovnicu, bude splnený zákon zachovania náboja, a aj Gaussov zákon. Rovnica (6.83) sa obyajne píše pe vekto intenzity magnetického poa H, teda D ot H = J + t (6.84) a asto sa nazýva zákon celkového púdu v difeenciálnom tvae. Je to alšia zo séie Maxwellových ovníc vo svojom konenom tvae. Možno ju pepísa do integálneho tvau, ak výaz (6.84) integujeme po ploche S ohanienej iaou l a použijeme Stokesovu vetu. Dostaneme l D H. dl = J. ds +. ds = I + I p (6.85) t S Púd I je celkový púd elektických nábojov penikajúci plochou S a ohaniený iaou l. Podobne I p S =.d S (6.86) D t S je posuvný púd. Ako už bolo spomínané, pojem "posuvný púd" má histoický pôvod. Zaviedol ho ešte Maxwell na vyjadenie posuvu nábojových centie dipólov pi polaizácii 75
dielektík. Význam pojmu sa však stáca vo vákuu, kde niet dipólov, ale napiek tomu môže existova nenulové D/ t = ε 0 E/ t. Z ovnice (6.84) vidíme, že na podukcii magnetického poa sa v istom pomee zúastujú obidve púdové hustoty. Vo vákuu, bez pítomnosti nábojov, je magnetické pole závislé iba od D/ t, naopak, v dobých vodioch je elektická indukcia D obyajne malá, a ak jej asové zmeny sú pomalé, možno posuvný púd opoti vodivému zanedba. V ostatných pípadoch majú obidve púdové hustoty poovnatený podiel na tvobe magnetického poa. Ob. 6. Pokúsime sa teaz Maxwellov pedpoklad o existencii posuvného púdu dokáza mysleným expeimentom. Na ob. 6. je znázonený jednoduchý obvod pozostávajúci z kondenzátoa C a ezistoa R. Kondenzáto pozostáva z masívnych ozmených ideálne vodivých dosiek s elnou plochou S 0 uložených v istej vzdialenosti. Celý elektický odpo obvodu je sústedený v ezistoe R. V ase t = 0 je na kondenzátoe nejaký náboj a zopne sa spína P. V obvode zane tiec asovo pemenný, exponenciálne zanikajúci púd dq( t) dσ( t) I( t) = = S0 dt dt kde Q(t) = S 0 σ(t) je okamžitý náboj na kondenzátoe a σ(t) je plošná hustota náboja na elných plochách kondenzátoa. Púd v obvode vytvoí v celom piestoe, v púdovodii, v masívnych doskách (pedpokladáme, že nie sú feomagnetické), aj v piestoe medzi doskami magnetické pole, ktoé bude s asom takisto zanika. Vytvome okolo púdovodia uzavetú dáhu l v tvae kužnice a položme si otázku, ím je daná hodnota integálu l H. dl po dáhe l. Poda výazu (6.85) je jeho hodnota daná celkovým obopnutým púdom, pesnejšie tým púdom, ktoý peteká plochou S napnutou na iau l. Lenže takých plôch je ubovoné množstvo. Môže to by kuhová plocha S 1, ktoou pechádza púdovodi alebo plocha S pechádzajúca masou dosky kondenzátoa, ale nie je vylúená ani plocha 76
S 3 pechádzajúca vnútom kondenzátoa, a tú žiadny vodivý púd nepetína. Plochou S 1 peteká púd I Q = d dt plochou S ovnaký púd dσ dq I = S0 = dt dt V teom pípade plochou S 3 musí tiec veliina, ktoá s plošnou hustotou náboja σ piamo súvisí. V dutine kondenzátoa elektická je indukcia D = σ, takže plochou S 3 teie veliina dd dσ dq I p = S0 = S0 = = I dt dt dt Teba si všimnú, že zatia o vekto D smeuje spava doava (od kladnej elektódy k záponej), dd/dt smeuje naopak, petože púd I, plošná hustota náboja σ a tým aj D s asom klesajú. Sme dd/dt je teda taký istý ako sme púdu kladných nábojov v obvode. Hodnota integálu l H. dl môže by skutone daná bu integálom púdovej hustoty vodivého púdu J = dσ/dt vo vodioch, alebo púdovej hustoty posuvného púdu J p = dd/dt v dielektiku alebo vo vákuu. Ak tieto postedia nie sú oddelené (ako je to v uvažovanom obvode), potom sa na tvobe integálu podieajú súasne obidva púdy, tak ako to stanovuje ovnica (6.84) alebo ovnica (6.85). Dôležitý význam posuvného púdu ako veliiny úmenej D/ t spoíva v tom, že je spolu s elektomagnetickou indukciou pedpokladom pe vznik elektomagnetických vn, ktoých existenciu pedpovedal Maxwell v oku 1864. 1 Tie kátko po vzniku Maxwellovej teóie v oku 1888 objavil expeimentálne nemecký fyzik H. Hetz. 6.4 SILOVÉ ÚINKY MAGNETICKÝCH POLÍ NA PRÚDOVÉ OBVODY V odseku 6.1.1 sme konštatovali, že v magnetickom poli pôsobí na pohybujúci sa náboj sila. Z paktického hadiska sú neobyajne dôležité sily, ktoými magnetické pole pôsobí na náboje pohybujúce sa v púdovodioch (dôtoch), teda sily pôsobiace na elektické púdy. Takéto silové pôsobenie je totiž základom funkcie každého elektického motoa, magnetoelektických a elektodynamických meacích pístojov, ôznych sevoelementov a i. Sila pôsobiaca na náboje sa penáša na ich nosie, teda na púdovodie. Silové pôsobenie na vodi môže by vemi zložité, závislé od konfiguácie magnetického poa a od púdovej cesty, ktoou je obyajne uzavetý púdový obvod. 1 Maxwell, J. C., Phil. Magazine 155 (1864) Hetz, H.: Käfte elektische Schwingungen behandelt nach Maxwellschen Theoie, Ann. d. Physik (1888) 77
Ob. 6.3 Na ob. 6.3 je znázonený element púdovodia Idl, ktoý je v magnetickom poli indukcie B. Na každý náboj púdového elementu pôsobí magnetická sila daná výazom (6.6), a ak je v elemente celkový náboj dq = Idt, ktoý má ýchlos = dl/dt, elementána sila pôsobiaca na element je alebo df = dq B df = Idl B (6.87) s vekosou df = IBdl sin ϕ, kde ϕ je uhol medzi dl a B. Ako vidíme, magnetická sila na vodi je úmená púdu I, magnetickej indukcii B v mieste elementu a ozhodujúcim spôsobom závisí od uhla medzi dl a B. Ak element dl je kolmý na B (ϕ = π/) sila je v danom mieste maximálna, má vekos df = IBdl a smeuje kolmo na ovinu vektoov dl a B v smee vektoového súinu dl B. Ak púdový element smeuje pozdž magnetickej induknej iay, sila je nulová (pozi tiež ob. 6.5 a,b). Silové pôsobenie magnetického poa na elektický púd a jeho postedníctvom na púdovodi objavil A. M. Ampe takme súasne s Oestedovými objavmi, a peto sa výaz (6.87) niekedy nazýva Ampéov silový zákon. 6.4.1 Púdová sluka v magnetickom poli Na kuhovej púdovej sluke budeme ilustova silové úinky magnetického poa na púdový obvod. Výsledky, ktoé dosiahneme, majú význam pe pochopenie vlastnosti sily (6.87), ale súasne poskytujú infomáciu o úinkoch magnetického poa na magnetický dipól. Najpv pedpokladajme, že v homogénnom magnetickom poli indukcie B sa nachádza jednoduchý kuhový púdovodi polomeu R s púdom I ako na ob. 6.4, piom os závitu splýva so smeom vektoa B. Ak na obvode závitu vyznaíme dva púdové elementy Idl, potom na každý element pôsobí adiálna sila df = Idl B všade ovnako veká, teda df = IBdl. Výsledná tanslaná sila na závit je nulová a silový úinok poa sa pejaví iba adiálnym napínaním púdovej dáhy (napínaním púdovodia). 78
Púdový závit v homogénnom poli možno považova za "magnetický dipól" s magnetickým momentom vekosti m = IS = πr I, ktoý pi danej oientácii púdu smeuje naho, teda v smee vektoa magnetickej indukcie B (vyznaené plnými šípkami). Magnetické pole má tendenciu zväši magnetický moment, teda zväši plochu S (podobne ako elektické pole má tendenciu zväši moment elektického dipólu, t. j. zväši jeho džku d). Ak sa zmení sme púdu alebo poa (peušované šípky), zmení sa sme sily (závit bude stláaný). Je zaujímavé, že adiálna sila bude pôsobi na závit aj vtedy, ak vonkajšie pole neexistuje. Vtedy je závit napínaný vlastným magnetickým poom. Možno poveda, že púdový závit (magnetický dipól) má svoju vlastnú vnútonú enegiu. Ob. 6.4 Ešte zaujímavejší je pípad, ak os závitu (teda jeho magnetický moment m) zviea s vektoom B nenulový uhol ϕ (pozi ob. 6.5). Jednoduchým výpotom pomocou vzahu (6.87) možno dokáza, že v takom pípade na závit pôsobí magnetické pole silovým toivým momentom Ob. 6.5 M = m B (6.88) s vekosou M = mb sinϕ, kde ϕ je uhol medzi m a B. Výaz (6.88) môžeme napísa piamo, petože magnetické pole "magnetického dipólu" je fomálne ovnaké ako pole 79
elektického dipólu. Výaz (6.88) je analógom výazu (.11). Toivý moment (6.88) je maximálny M max = mb vtedy, ke je dipólový moment kolmý na sme poa a má tendenciu natoi dipól do smeu magnetickej indukcie B tak, že vektoy m a B budú ma ovnaký sme. Vtedy toivý moment (6.88) vymizne (ϕ = 0, M min = 0) a dipól je v stabilnej polohe. Vo využívaní analógií možno pokaova a napísa výaz pe tanslanú silu F, ktoou na magnetický moment pôsobí nehomogénne magnetické pole alebo v zložkách F = (m.gad)b (6.89) F x = m.gad B x F y = m.gad B y (6.90) F z = m.gad B z [poovnaj s výazom (.1)]. Takáto sila má tendenciu posúva dipól do miest, kde je pole homogénne, teda tam, kde sa gadienty zložiek indukcie B ovnajú nule. Tam sa dipól otoí do smeu B, a to je jeho stabilná poloha. Analogickou veliinou je aj potenciálna enegia magnetického dipólu v magnetickom poli W = m.b = mb cos ϕ (6.91) [poovnaj s výazom (.10)]. Podobne ako v elektickom poli, dipól v magnetickom poli má maximálnu potenciálnu enegiu W max = mb ak je otoený poti smeu poa (ϕ = π); nulovú W = 0 ak dipól leží v poli kolmo na sme B (ϕ = π/); a minimálnu W min = mb ak je otoený v smee poa (ϕ = 0). Odpoúam itateovi do pozonosti skutonos, že ak sa na dipól dívame ako na púdovú sluku s púdom I, má v magnetickom poli potenciálnu enegiu W = IΦ (6.9) kde Φ = B. ds je indukný tok penikajúci plochou S obopnutou púdom I. S Pojem magnetického momentu je základným pojmom, na ktoom je založená mikoskopická teóia magnetizmu látok. Spolu s pojmom elektického dipólu umožujú vytvoi celkový elektomagnetický obaz neživej aj živej píody, pitom tento obaz je dvojjediný, závislý od uhla pohadu na píodu. 80
6.4. Vzájomné silové pôsobenie elektických púdov Definícia jednotky ampé (A) Dôležitý pípad silového pôsobenia je vzájomné pôsobenie púdov, ak magnetická indukcia vo výaze (6.87) je daná iným púdom, teúcim v nejakom uzavetom elektickom obvode l (pozi ob. 6.6). Magnetická indukcia B 1 v mieste púdového elementu I 1 dl 1 od púdového obvodu l sa dá vypoíta využitím BSL zákona. Spojením výazov (6.16) a (6.87) dostaneme výaz pe elementánu silu df 1 pôsobiacu na púdový element I 1 dl 1 obvodu l 1 v tvae µ I df1 = I1dl1 B1 = I1dl1 4π dl 0 1 1 3 l (6.93) kde význam symbolov plynie z ob. 6.6. alšia integácia cez obvod l 1 sa obyajne neobí, petože v pevnom obvode l 1 by sa sítavali silové úinky s ôznymi pôsobiskami bez uváženia silových momentov na sluku. Dôležitým pípadom je silové pôsobenie medzi nekonene dlhými piamymi paalelnými púdovodimi s ovnakými púdmi I 1 = I = I, uloženými vo vzájomnej vzdialenosti a. Poda výazu (6.18) magnetická indukcia od jedného v mieste duhého púdovodia je I B = µ 0 πa Ob. 6.6 Táto magnetická indukcia vyvolá na džku l duhého vodia magnetickú silu I F = I lb = µ 0 l πa Sila na jednotku džky púdovodia má vekos F l I = µ 0 πa (6.94) 81
má píažlivý alebo odpudivý chaakte poda vzájomnej oientácie púdov vo vodioch a závisí iba od vekosti púdov I a vzájomnej vzdialenosti púdovodiov a. Tento vzah slúži na definíciu jedinej elektomagnetickej základnej jednotky sústavy SI, jednotky pe elektický púd. Ak vzdialenos medzi vodimi zvolíme pevnú, vekosti a = 1 m, tak vo vzahu medzi silou a púdom vystupuje jediná, zatia neuená konštanta µ 0, ktoej hodnotu možno vyba ubovone, napíklad tak, aby zohadovala pedtým používané jednotky púdu, požiadavky paxe a aby pi celoíselných hodnotách sily mal púd takisto celoíselnú hodnotu. S uvážením týchto požiadaviek možno íselnú hodnotu µ 0 vyba takto µ 0 = 4π.10 7 H.m 1 (6.95) kde H je jednotka induknosti, ktoá bude uená neskô. Potom možno výaz (6.94) pepísa na íselný vzah F l =. 10 7 I z ktoého vidie, že ak sila na jednotku džky medzi púdovodimi má hodnotu F/ l = =.10 7 newtonov na jednotku džky (N.m 1 ), teba hodnotu púdu považova za jednotkovú, teda I = 1 jednotka. Táto jednotka bola na poes fancúzskeho fyzika a uenca Andé Maie Ampe nazvaná ampé (A). Ob. 6.7 8
Na základe uvedených úvah môžeme vyslovi definíciu jednotky elektického púdu: Jeden ampé (1 A) je elektický púd, ktoý pi stálom pietoku dvoma paalelnými piamymi nekonene dlhými vodimi zanedbateného kuhového pieezu, umiestnenými vo vákuu vo vzdialenosti 1 m, vyvolá medzi vodimi silu.10 7 N na jeden mete džky. Meanie sily medzi piamymi vemi dlhými vodimi je nepaktické, a peto ako štandad alebo etalón púdu, boli vyvinuté pecízne púdové (Ampéove) váhy, uené na kalibáciu púdových meacích pístojov (ampémetov). Na ob. 6.7 sú znázonené váhy, ktoé sa na meanie púdu používajú v metologických centách na celom svete. Základ váh tvoí tojica pecízne vinutých pstencových cievok. Dve cievky sú pevné, uchytené na masívnom mamoovom stole, tetia pohyblivá je zavesená na vahadle dvojamenných váh a zasahuje medzi dve pedchádzajúce. Cievky sú zapojené tak, že meaný púd je spoloný všetkým tom. Váhy sa vyvažujú bežne závažiami a púd sa z nameanej sily vypoítava zložitými výpotami. 6.5 LORENTZOVE TRANSFORMÁCIE ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ Naše úvahy o magnetických poliach sme zaali pekvapujúcim zistením, že magnetické silové pôsobenie má elativistický chaakte, že pozoovatelia v ôznych pohybových stavoch pozoujú ôzne silové úinky. Z toho vyplýva, že aj samotné magnetické polia majú elativistický chaakte, a pojalo nás podozenie, že elativistické je aj elektické pole. Bude peto nanajvýš užitoné podobnejšie peskúma, aké polia pozoujú dvaja pozoovatelia jeden spojený s pevnou sústavou S pavouhlých súadníc x, y, z, a duhý spojený so sústavou S (iakovaných súadníc), ktoá sa voi sústave S pohybuje ýchlosou x pozdž súadnice x poda ob. 6.8. Budeme vychádza zo všeobecnej platnosti Loentzových elativistických tansfomaných vzahov medzi súadnicami pevnej a pohyblivej sústavy. Ak zavedieme oznaenie β = x /c (c je ýchlos svetla vo vákuu), tansfomané vzahy medzi súadnicami budú ma tva x = x x t 1 β y = y z = z (6.96a) Ob. 6.8 83
a as sa tansfomuje poda vzahu t = t β c x 1 β (6.96b) Je dobe si uvedomi, že ak sa zmení x na x, zmenia sa iakované súadnice a as na neiakované, a naopak. Loentzove tansfomácie majú ti zaujímavé a vemi dôležité dôsledky: 1. Vektoové sítavanie ýchlosti je neplatné a musí by nahadené zložitejším vzahom. Ak sa v sústave S pohybuje objekt P (astica, bodový náboj a pod., pozi ob. 6.8) ýchlosou u x, potom v sústave S sa ten istý objekt P pohybuje ýchlosou u x ux x ux x = + ux x + = + 1 1+ β uβ c (6.97) kde β u = u x /c. (Ak u x = c, potom aj u x = c, zatia o pi Galileiho tansfomácii u x = c + x ).. Džka objektu (dáhy) pe pozoovatea, ktoý sa pohybuje, je vždy katšia, ako pe pozoovatea v systéme spojenom s objektom, teda l = l 1 β < l (6.98) (Loentzova-FitzGealdova kontakcia džok). 3. asové úseky pe pozoovatea v pevnej sústave sú vždy dlhšie ako pe pozoovatea v pohybujúcej sa sústave, teda t = t > t 1 β (6.99) (Einsteinova dilatácia asu). Tieto základné pincípy teóie elativity a skutonos že elektický náboj je elativistický invaiant využijeme pi hadaní odpovede na otázku: Aké elektické a magnetické polia E a B bude pozoova pozoovate v sústave S, ak pozoovate v sústave S pozouje polia E a B? Pe naše úvahy využijeme najjednoduchšie typy homogénnych elektických a magnetických polí, ktoé sme spoznali v našich doteajších úvahách. Je to elektické pole medzi homogénne plošne nabitými, nekonene vekými ovinami, dané výazom (.48) a magnetická indukcia medzi týmito ovinami daná výazom (6.69), ak sa náboje pohybujú vybaným smeom. Napíklad σ E = E y j = j B = Bz k = µ 0 J xk = µ 0σ xk (6.100) ε 0 84
kde σ je plošná hustota náboja x je jeho ýchlos, j je jednotkový vekto v smee osi y a k jednotkový vekto v smee osi z. V danom pípade je dvojica nabitých ovín planpaalelná s ovinou xz. Využitím týchto jednoduchých polí a zákona supepozície možno dokáza tansfomané vzahy medzi zložkami polí v sústavách S a S, ktoé sú iná výsledkom nie jednoduchých úvah teóie elektomagnetického poa. Využijeme pitom tiež skutonos, že náboj je elativistický invaiant, t. j. jeho vekos nezávisí od pohybového stavu. Pedpokladajme, že na nekonených planpaalelných ovinách sú ozložené náboje s plošnou hustotou ±σ. V S sústave vyjadíme túto hustotu ako pome náboja Q, ktoý je ozložený na ploche štvoca so stanou a, teda σ = Q a (6.101) V alšom budeme pacova s týmto vybaným štvocovým "kondenzátoom" s plochou A = a v S-sústave. "Kondenzáto" budeme otáa do toch navzájom kolmých smeov, ím budeme postupne vytváa polia pozdž jednotlivých súadníc x, y, z. Na ob. 6.9a je kondenzáto svojimi plochami uložený v ovine yz a vytváa elektické pole E x = σ ε 0 (6.10) Ob. 6.9 V sústave S je náboj na kondenzátoe v pokoji, a peto tento pozoovate nepozouje žiadne magnetické pole, teda B = 0 (6.103) Pe pozoovatea v sústave S sa skacujú džky v smee osi x, teda nabité plochy sa pibližujú. Keže pole nekoneného kondenzátoa nezávisí od vzdialenosti nabitých ovín, bude aj tento pozoovate pozoova ovnaké pole, teda E x = E x (6.104) V smee pohybu obidvaja pozoovatelia vidia ovnaké elektické a žiadne magnetické pole. 85
Otome teaz kondenzáto do oviny xz ako na ob. 6.9b. V S sústave teaz existuje elektické pole E y = σ ε 0 (6.105) a žiadne magnetické pole. Iná situácia však nastala pe pozoovatea S. Pe neho sa v smee osi x džky skacujú a pôvodný vybaný štvoec z nekoneného kondenzátoa sa edukuje na obdžnik s plochou A = a 1 β Keže náboj je invaiantný, musí sa pe pozoovatea v S zvýši hustota náboja na hodnotu σ = Q = σ 1 β 1 β a a pozoovate vidí v kondenzátoe elektické pole intenzity σ σ E y E y = = = ε 0 ε 1 β 1 β 0 (6.106a) ktoé je väšie ako to, o vidí pozoovate v S. Zaujímavé je, že pozoovate v S pozouje aj magnetické pole, petože z jeho hadiska sa náboje ±σ pohybujú ýchlosou x a na ovinách vytváajú plošný púd J x = ±σ x. Medzi ovinami v S je s ohadom na (6.100) magnetické pole indukcie B = µ J = µ σ = z 0 x 0 x µ σ µ ε E 0 0 0 = 1 β 1 β x y x Ak uvážime, že µ 0 ε 0 = 1/c, možno pe magnetickú indukciu napísa konený výaz B = z x E y c 1 β (6.106b) Nakoniec otoíme kondenzáto do oviny xy a uobíme podobné úvahy pe novú situáciu. itate sa môže pesvedi, že pozoovatelia v S a S pozoujú nasledovné elektické a magnetické polia: v S sústave σ Ez = B = 0 (6.107) ε 0 86
v S sústave Zaveme oznaenie E = z x Ez E z B = c y 1 β 1 β (6.108) E = E x i B = B x i E = E x i B = B x i (6.109) pe zložky poa pozdžne so súadnicou x, esp. x, a oznaenie E = E y j + E z k E = E y j + Ez k (6.110a) B = B y j + B z k B = B y j + Bz k (6.110b) pe zložky poa piene k súadnici x (vo všeobecnosti piene k tej súadnici, pozdž ktoej sa sústava S pohybuje). S využitím týchto oznaení pi supepozícii získaných zložiek polí dostaneme výazy, poda ktoých sa elektostatické pole pevného pozoovatea v sústave S tansfomuje na polia pohyblivého v sústave S. Tieto výazy sú E = E = E B = B = 0 ( E) E B = c 1 β 1 β (6.111) Vidíme, že v tomto najjednoduchšom pípade, ak pevný pozoovate v S-sústave pozouje iba elektostatické pole, pohyblivý spojený so sústavou S pozouje okem elektického aj magnetické pole. Toto magnetické pole ako dôsledok pohybu v elektickom poli spájame s pojmom posuvného púdu. Zaujímavý a dôležitejší je pípad, ak magnetické pole existuje aj v pevnej sústave S, t. j. v pevnej sústave teú elektické púdy. Vytvoený kondenzáto umiestnime v ovine xz tak, ako na ob. 6.30 a plošný náboj ±σ v pevnej sústave S necháme na om tiec v smee osi x ýchlosou u x. V piestoe kondenzátoa bude elektické pole E y = σ ε 0 (6.11) a magnetické pole B z ux = µ ux = c E 0 σ y (6.113) 87
V sústave S sú elektické a magnetické polia dané výazmi σ E = y Bz = µ 0 σ ux (6.114a,b) ε 0 kde σ a u x je plošný náboj a jeho ýchlos v sústave S. iakované veliiny teba teaz vyjadi cez neiakované. Zaveme oznaenia ux ux β u = β u = (6.115) c c Ob. 6.30 V pevnej sústave sa pe náboje džka v smee osi x skacuje, a teda platí Q = σ a 1 β u a v iakovanej sa takisto skacuje džka x, teda Q = σ a 1 β u Poovnaním týchto výazov dostaneme plošnú hustotu náboja v sústave S σ = σ 1 β u u 1 β (6.116) ktoý sa tam pohybuje ýchlosou u x, a pe ktoú poda vzahu (6.97) platí 88
u x x u x = (6.117) u xx 1 c Rýchlostný fakto β u = u x /c možno pomocou (6.115) a (6.117) vyjadi v tvae β u β β u = 1 ββ u (6.118) a nakoniec plošnú hustotu náboja v sústave S výazom 1 x u x 1 β 1 u ββ σ u = σ = σ = σ c β β 1 β 1 β 1 u 1 ββ u (6.119) Ak teaz výaz (6.119) pe σ dosadíme do (6.114a) dostaneme pe y-ovú zložku intenzity elektického poa v sústave S výaz = xux xux 1 1 σ σ E = c = E c E B y y = ε 0 ε 0 1 β 1 β 1 β y x z (6.10a) kde bol tiež využitý vzah (6.113). Zložku magnetickej indukcie B y dostaneme dosadením výazov (6.117) a (6.119) pe u x a σ do výazu (6.114b), teda ux x Bz = µ 0σ ux = µ 0σ 1 β Ak zase využijeme vzahy (6.11) a (6.113), výaz pe magnetickú zložku poa dostane konený tva B = z B z x E y c 1 β (6.10b) Celú úvahu možno zopakova pe kondenzáto, ktoého oviny sú planpaalelné s ovinou xy a púdy majú v sústave S plošné hustoty ±σu x. itate sa môže pesvedi, že tansfomané vzahy pe existujúce piene zložky polí sú tvau x E E + B B z y x y E = B = c z y 1 β 1 β z (6.11) 89
Nakoniec, ak kondenzáto otoíme do oviny yz, vznikne v om elektické pole v smee osi x, ktoé je ovnaké pe obidvoch pozoovateov z dôvodov uvedených už skô. V tomto pípade platí E x = E x (6.1a) Teba ešte ukáza, že aj zložky magnetického poa v smee pohybu sú pe obidvoch pozoovateov ovnaké. Za tým úelom možno uvažova páskové vedenie šíky a uložené v smee osi y v ovine xy, ktoým teie púd I y pozdž súadnice y ako na ob. 6.31. Magnetická indukcia od takého púdu má medzi páskami sme osi x. Púd vo vedení dq I y = = σ ya dt a zložka magnetickej indukcie v S sústave je B x I y 1 dq = µ 0σ y = µ 0 = µ 0 a a dt Pozoovate v sústave S pozouje magnetické pole 1 dq Bx = µ 0 a dt Pe neho sa ale džka a skacuje na vekos a asový inteval dt sa pedlžuje na Ob. 6.31 a = a 1 β dt = dt 1 β takže a dt = adt a teda B x = B x (6.1b) 90
Odvodené výazy možno teaz vyjadi ako pozdžne a piene zložky poa pomocou vyjadení (6.109) a (6.110). Tak pe pozdžne zložky elektického a magnetického poa dané výazmi (6.1) platí E = E B = B (6.13) Piena zložka elektického poa s využitím výazov (6.10) a (6.11) je tvau E E j + E k + ( B j + B k) + ( B) y z x z x y = + Ey j Ezk = = E 1 β 1 β (6.14a) a podobne piena zložka magnetického poa B B = ( E) c 1 β (6.14b) Nakoniec pepíšeme tansfomané vzahy do fomy: E = E B = B E E = ( B) + 1 β B B = ( E) c 1 β (6.15) Výazy (6.15) sú najvšeobecnejšie tansfomané vzahy medzi poliami v pevnej a v pohyblivej sústave. Možno si všimnú, že ak B = B + B = 0, pechádzajú na výazy (6.111), ke v pevnej sústave S niet magnetického poa. Nechcem, aby u itatea vznikol mylný dojem, že tieto tansfomácie sú dôležité iba pi extémne vysokých t. j. elativistických alebo ultaelativistických ýchlostiach blízkych ýchlostiam svetla, s ktoými sa teóia elativity obyajne spája. Takéto ýchlosti, asté vo fyzike elementánych astíc, sa v bežnom živote nevyskytujú. Vzahy však platia a majú závažné dôsledky aj v eálnom svete bežných nízkych ýchlostí. Ak «c, tak β 0 a menovatele tansfomaných vzahov možno považova za jednotky. V tom pípade E = E + ( B) (6.16) Celkové pole v piestoe je sútom pozdžnej a pienej zložky (E = E + E, at.), a tak môžeme tiež napísa E = E + B (6.17) Ak sa v iakovanej sústave nachádza nap. bodový náboj q, bude na pôsobi sila F = qe = qe + q B (6.18) 91
Výaz (6.19) je nám už známa Loentzova sila, teaz získaná ako dôsledok elativistickej tansfomácie. Možný je aj iný vemi dôležitý pohad na výaz (6.16), esp. (6.17). V iakovanej sústave pozoovate vidí dve intenzity elektického poa. Jednu obyajnú E, ktoú pozouje aj pozoovate v pevnej sústave, a duhú "neobyajnú" B, ktoá súvisí s magnetickým poom a pohybom. Ak sa napíklad pozoovate posadí do iakovanej sústavy na ob. 6.30 s kovovou tyou v uke v smee osi y, vznikne poda vzahu (6.10a) pozdž tye popi intenzite E y dodatoná intenzita elektického poa x B z, ktoá na tyi džky l vytvoí elektické napätie vekosti x B z l. Petože itate už nejakú fyzikálnu pípavu má, vznik napätia úinkom magnetického poa a pohybu, musí v om evokova spomienky na elektomagnetickú indukciu. Duhý len vo výaze pe E je skutone magnetickým poom indukovaná intenzita elektického poa a keby ju nebol v oku 1831 svojimi expeimentmi objavil Michael Faaday, bol by ju možno zhuba o tidsa okov neskô objavil na písacom stole James C. Maxwell, alebo o alšie polstooie neskô Albet Einstein. Všimnime si teaz duhý pieny výaz pe B. Ak β 0, potom a pe celkovú magnetickú indukciu B = B ( E) c E B = B c (6.19) (6.130) Ako vidie, aj magnetická indukcia v pohyblivej sústave sa skladá z dvoch astí. Z obyajnej B a zo "záhadnej" asti ( E)/c. Na pvý pohad by sa zdalo, že vzhadom na pítomnos c v menovateli je to bezvýznamný píspevok k magnetickej indukcii. Ak si ale uvedomíme, že v našom "kondenzátoe" ádová vekos intenzity elektického poa E je σ/ε 0, potom ádová vekos tejto indukcie je µ 0 σ, o už neznie tak pesvedivo o jeho bezvýznamnosti, petože σ je vekos plošného púdu na doskách. o teda možno poveda o jeho fyzikálnom význame? Dôležité je, že poda toho lena elektické pole môže by píinou vzniku magnetického poa. Ak záove vezmeme do úvahy jav elektomagnetickej indukcie, potom môže vzniknú svojázny koloto magnetické pole podukuje elektické pole, to znovu podukuje magnetické pole, to znovu podukuje elektické, o v konenom dôsledku vedie na vznik elektomagnetických vn. V odseku 6.3 sme zaviedli pojem posuvného púdu, ktoého hustota vo vákuu je daná výazom J p E = ε 0 t Je to nejoulovský púd, ktoý sa spolu s vodivým púdom podiea na tvobe magnetického poa a jeho úinok je vyjadený zákonom celkového púdu. Duhý len na pavej stane 9
výazu (6.130) je páve vyjadením úinku tohto posuvného púdu, o om sa možno pesvedi podobnejšou analýzou. Na ilustáciu Loentzových tansfomácií posúdime elektomagnetické polia základného elektického objektu polia bodového náboja q. Pedpokladajme, že v sústave S sa náboj pohybuje ýchlosou x spolu so sústavou S a v ase t = 0 zaiatky súadníc splývajú. V sústave S je náboj nepohyblivý a pozoovate v nej vidí iba adiálne elektické pole E = q πε 4 0 3 ktoé možno ozloži na ti ovnako veké zložky v smee súadnicových osí x, y, z, a žiadne magnetické pole. V pevnej sústave pozouje pozoovate poda vzahov (6.111) v smee osi x elektické pole vekosti E x = E = x 1 πε 4 0 q x a v pienych smeoch y a z polia E y = E y 1 β E z = E z 1 β Obidve tieto zložky sú ovnaké a väšie ako E x, takže pôvodne guové pole adiálnych siloia v sústave S sa zmení na elipsoidálne pole v sústave S ako na ob. 6.3. V sústave S pozoovate vidí poda vzahov (6.111) aj magnetické pole 1 B = E c Ob. 6.3 Ob. 6.33 93
kde = x i je ýchlos, ktoou sa náboj q pohybuje v sústave S a E = E y j + E z k je piene elektické pole v sústave S. Magnetické pole je v tejto sústave tiež piene a indukné iay majú tva koaxiálnych kužníc s osou v smee pohybu náboja (pozi ob. 6.33). V súvislosti s týmto píkladom itateovi odpoúam ieši tiež úlohu 187. Záveom môžeme konštatova, že Loentzove tansfomácie polí, okem iného pohadu na elektodynamiku nás doviedli k dvom základným pincípom elektomagnetizmu k elektomagnetickej indukcii a k posuvnému púdu, bez ktoých si nevieme pedstavi dnešnú elektickú enegetiku a modenú komunikáciu postedníctvom elektomagnetických vn. Nepoužili sme pi tom ni iné, iba Gaussov a Ampéov zákon na vyjadenie elektického a magnetického poa dvojice nábojových plôch a samozejme Loentzove tansfomané vzahy pe súadnice a as. Úlohy 15 193 15. Nekonený piamy vodi vytváa v istom mieste polkužnicu s polomeom a poda ob. 15. Vodiom teie púd I. Vypoítajte magnetickú indukciu v stede polkužnice. Ob. 15 Ob. 153 153. Nekonený vodi je ohnutý do tvau U poda ob. 153. Polome ohybu je R. Vodiom teie púd I. Vypoítajte magnetickú indukciu v bode P (v stede ohybovej kužnice) a uite jej sme. 154. Vypoítajte magnetickú indukciu budenú púdom I v štvocovej sluke so stanou a, v bode P na osi sluky vo vzdialenosti d od jej stedu (ob. 154). 155. V laboatónej paxi je asto potebné vysokohomogénne magnetické pole v elatívne vekom objeme. Takéto pole možno vytvoi vo vemi dlhom solenoide, avšak vemi dlhý solenoid je nepaktický a okem toho piesto, kde je maximálna homogenita poa (sted solenoidu) je zle pístupný. Vysokohomogénne pole možno vytvoi aj sústavou dvoch tenkých axiálnych cievok (paalelných kuhových púdov), ktoé sa nazývajú Helmholtzovými cievkami (ob. 155). Každá z cievok má n závitov. Peskúmajte magnetické pole v polovinej vzdialenosti cievok na ich osi (bod O). Za tým úelom: a) napíšte výaz pe magnetickú indukciu na osi cievok vo vzdialenosti x od bodu O, b) pedpokladajte, že x «a, b (a polome cievok, b vzdialenos cievok). Rozvite výaz pe magnetickú indukciu do MacLauinovho adu, v ktoom zanedbajte leny s mocninami vyššími ako x, c) zistite ako teba voli vzájomný súvis medzi a a b, aby v danom piblížení pole nezáviselo od x, d) napíšte výaz pe magnetickú indukciu v bode O (a v jeho blízkom okolí). 94
Ob. 154 Ob. 155 156. Tenký dielektický disk (Rowlandov disk 1 ) s polomeom R, nabitý plošným nábojom σ sa otáa okolo svojej otanej osi uhlovou ýchlosou ω. Vypoítajte magnetickú indukciu na osi otácie vo vzdialenosti z od stedu disku. 157. Vypoítajte magnetickú indukciu B v okolí dvoch piamych, paalelných, nekonene dlhých vodiov vo vzájomnej vzdialenosti a, ktoými teie púd I: a) v obidvoch vodioch v súhlasnom smee, b) v obidvoch vodioch v opanom smee. 158. Koaxiálny kábel pozostáva z vnútoného valcového vodia s polomeom a a hubého pláša s vnútoným polomeom b a s húbkou d (ob. 158). Mateiál vodiov má pemeabilitu µ = µ µ 0, dutina kábla má pemeabilitu µ = µ 0. Káblom teie púd I (vo vnútonom vodii a v plášti v navzájom opaných smeoch). Vypoítajte magnetickú indukciu ako funkciu vzdialenosti od osi kábla. Ob. 158 159. V okolí nekoneného solenoidu sa magnetické pole obyajne považuje za nulové. V skutonosti v dôsledku špiálového stúpania závitov existuje pozdžna zložka púdu v solenoide, ktoá vytváa v okolí solenoidu slabé magnetické pole. Pedpokladajte, že solenoid s polomeom a je navinutý z dôtu s polomeom δ, piom δ «a. Odhadnite pome magnetickej indukcie na povchu solenoidu a v jeho vnúti za pedpokladu, že solenoidom teie púd I. 160. Solenoid dlhý 30 cm je zhotovený z dôtu s piemeom 0, mm s odpoom 0,65 Ω/m. Na jeden milimete pipadá 5 závitov a pieme solenoidu je 6 cm. Solenoid je pipojený na 4 V zdoj so zanedbateným vnútoným odpoom. Vypoítajte magnetickú indukciu v stede solenoidu a ozptýlený tepelný výkon v solenoide. 1 Rowland, H. A., Ame. Joun. of Science 3, XV, 30 38, 1878 95
161. V nekonenom vodivom valci s polomeom a je vyvtaná valcová dutina, ktoej os je paalelná s osou valca (ob. 161). Valcom teie púd s konštantnou hustotou J. Vypoítajte magnetickú indukciu v dutine. 16. Vychádzajúc z Biotovho-Savatovho-Laplaceovho zákona µ dl db = 0 3 4π I dokážte, že v ubovonom bode P v okolí uzavetej púdovej sluky l s púdom I, možno magnetickú indukciu vyjadi v tvae µ 0I µ 0I B = gad Ω = gad Ω = gad 4π 4π kde Ω je piestoový uhol, pod ktoým sluku vidie z bodu P. V m Ob. 161 Ob. 163 163. V uzavetom obvode tvoenom asou kužnice s polomeom R a piamym úsekom pod uhlom ϕ 0 vzhadom na sted kužnice (ob. 163) teie púd I. Kolmo na ovinu obvodu a stedom kužnice pechádza piamy vodi, ktoým teie púd I 1. Vypoítajte moment dvojice síl, pôsobiaci na obvod. 164. Vypoítajte magnetický moment dutej gule s polomeom R a s nábojom Q ovnomene ozloženým na jej povchu, ak sa gua otáa s uhlovou ýchlosou ω. Vypoítajte gyomagnetický pome gule, t. j. pome magnetického momentu k mechanickému momentu (moment hybnosti), ak celková hmotnos gule je M. 165. Vypoítajte magnetický moment otujúcej dielektickej gule s polomeom R a s nábojom Q, ovnomene ozloženým v objeme gule. Uhlová ýchlos otácie je ω. Vypoítajte gyomagnetický pome gule, ak jej hmotnos je M. 166. Zemské magnetické pole má vlastnosti magnetického poa dipólu. Vypoítajte magnetický moment zemského magnetického dipólu, ak je známe, že na sevenom magnetickom póle je magnetická indukcia 0,6.10 4 T. Aký ekvivalentný púd by musel tiec na ovníku pe dipól s vypoítaným momentom? Za polome Zeme považujte hodnotu 6.10 6 m. 167. Poda jednej zo zavhnutých hypotéz o pôvode zemského magnetizmu je magnetické pole Zeme dôsledkom ovnomene ozloženého náboja v celom objeme Zeme. Vychádzajúc z tejto hypotézy, vypoítajte objemovú hustotu náboja vo vnúti Zeme, ak magnetické pole na póle má vetikálny sme a vekos 0,6.10 4 T. Polome Zeme je pibližne 6.10 6 m. Koko neskompenzovaných 96
elementánych nábojov by obsahoval 1 m 3? Aká by bola intenzita elektického poa na povchu Zeme v dôsledku existencie takýchto nábojov? 168. Koaxiálny kábel pozostáva z vnútoného dutého vodia s polomeom D/ = 1 cm a vonkajšieho vodia s polomeom a = 5 cm. Húbka stien vodiov je zanedbatene malá. Vnútoný vodi je obalený feitovou vstvou hubou d = 1 cm s elatívnou pemeabilitou µ = µ /µ 0 = 50. Zvyšok vnúta koaxiálneho kábla je vyplnený mateiálom s pemeabilitou µ = 1 (ob. 168). Koaxiálnym káblom teie púd 1 A. Vypoítajte enegiu magnetického poa na mete džky kábla. Koko pecent enegie je uskladnených vo feite? Takáto úpava kábla feitom zvyšuje jeho chaakteistickú impedanciu (vlnový odpo). 169. Vypoítajte enegiu magnetického poa Zeme v celom jej nekonenom okolí. Pedpokladajte, že magnetické pole Zeme je poom magnetického dipólu s indukciou na ovníku 3,1.10 5 T. Posúte, i by výbuch atómovej bomby s enegiou 1 megatony tinitotoluénu (~ 4,.10 15 J) vo vysokých vstvách atmosféy mohol ovplyvni magnetické pole Zeme. 170. Poda Bohovej teóie obieha elektón v atóme vodíka po kuhovej dáhe s polomeom a s obežnou ýchlosou h a = µ c m e = 0,59.10 10 m 0 e µ 0 c e = h =,187.10 6 m/s kde e je náboj a m e je hmotnos elektónu, h = 6,66.10 34 J.s je Planckova konštanta, µ 0 je magnetická konštanta (pemeabilita vákua) a c je ýchlos svetla vo vákuu. Vypoítajte: a) aký ekvivalentný púd zodpovedá obiehajúcemu elektónu v atóme, b) aká je magnetická indukcia v mieste potónu, c) aký je obitálny (zviazaný s pohybom elektónu okolo jada) magnetický moment elektónu, ktoý je atománou jednotkou magnetického momentu a nazýva sa Bohov magnetón. Ob. 168 Ob. 171 171. Hubá cievka má p vstiev dôtu, piom v každej vstve je n závitov. Cievka má džku l, vnútoný polome a, vonkajší polome b (ob. 171). Vypoítajte magnetickú indukciu na osi cievky v bode P, vo vzdialenosti z od jej stedu. 17. Vemi dlhý solenoid má n závitov na jednotku džky. Nájdite miesto na osi solenoidu, v ktoom sila pôsobiaca na malý objem slabomagnetického mateiálu je maximálna. 173. Vekto magnetickej indukcie je daný výazom J z B = k 3 97
kde J z je konštantný vekto v smee osi z, je vekto kolmý na os z a k je konštanta. Vypoítajte otáciu vektoa B. 174. Vekto magnetickej indukcie v cylindických súadniciach je daný výazom B = kj z kde J z je konštantný vekto v smee osi z a k je konštanta. Vypoítajte otáciu vektoa B. 175. Vemi dlhý (nekonene) solenoid s polomeom 3 cm je navinutý z tenkého dôtu s piemeom 0,3 mm tak, že závity sú tesne veda seba. Vypoítajte aké magnetické pole v solenoide spôsobí ozthnutie dôtu, ak je známe, že mateiál, z ktoého je dôt vyobený má pevnos v ahu.10 8 N/mm. 176. Dielektická gua s hmotnosou M nabitá ovnomene v celom objeme nábojom Q sa otáa okolo jedného zo svojich piemeov uhlovou ýchlosou ω. Gua je umiestnená v magnetickom poli s indukciou B tak, že sme poa zviea s osou otácie uhol ϑ. Pod úinkom magnetického poa bude gua vykonáva pecesný pohyb okolo smeu magnetického poa, podobne ako gyoskop v gavitanom poli. Vypoítajte uhlovú ýchlos pecesie gule. Pi výpote využite skutonos, že magnetický moment m otujúcej gule je zviazaný s jej momentom hybnosti L vzahom m = γl, kde γ je gyomagnetický pome (pozi úlohu 165). Ob. 177 177. Vypoítajte magnetickú indukciu ako funkciu vzdialenosti od stedu kuhového závitu, v ktoom teie púd I (ob. 177). Poovnajte vypoítanú magnetickú indukciu s indukciou v stede závitu (µ 0 I/R). 178. Vektoový potenciál A fomálne ovnako súvisí s magnetickou indukciou B, ako magnetická indukcia s púdovou hustotou J, t. j. ota = B a otb = µ 0 J. Aké tvdenie týkajúce sa A zodpovedá tvdeniu, že integál po uzavetej dáhe l z magnetickej indukcie B sa ovná µ 0 -násobku celkového púdu ohanieného iaou l? Peskúmajte magnetickú indukciu od púdu v nekonene dlhom valcovom vodii pi konštantnej púdovej hustote vo vodii. Na základe uvedenej analógie nájdite vektoový potenciál nekonene dlhého solenoidu, v ktoom B = konšt. vekto ako funkciu vzdialenosti od osi solenoidu. Všimnite si, že vektoový potenciál sa neovná nule v oblasti, kde B = 0 (v okolí solenoidu). 179. Dvojvodiové vedenie poda ob. 179 je zakonené odpoom R (polome vodiov je a, osová vzdialenos d, a «d). Na vstup vedenia je pipojený zdoj s napätím U. Aký musí by odpo R, aby magnetická sila medzi vodimi bola kompenzovaná elektickou silou? 180. V magnetickom poli vemi dlhého piameho vodia s púdom I 0 sa nachádza obvod s púdom I poda ob. 180. Rovina obvodu je kolmá na vodi. Nájdite moment dvojice síl pôsobiaci na tento obvod. 98
Ob. 179 Ob. 180 181. Bodový náboj q sa pohybuje vo vákuu piamoiao ovnomene s ýchlosou. Využitím Maxwellovej ovnice pe cikuláciu vektoa H nájdite intenzitu magnetického poa H v ubovonom bode P. Platí: «c. 18. Doskový kondenzáto s doskami v tvae kuhov s polomeom b a vzdialenosou dosiek l je nabitý na potenciálový ozdiel U a v ase t = 0 je pepojený odpoom R (ob. 18). a) Nájdite asovú závislos napätia na kondenzátoe. b) Uite asovú závislos intenzity elektického poa medzi doskami. c) Uite asovú závislos intenzity magnetického poa medzi doskami vo vzdialenosti od spojnice stedov dosiek, piom < b. Výpoet uobte z posuvného púdu. Systém je vo vákuu a platí b» l. 183. Kondenzáto pozostávajúci z dvoch kuhových planpaalelných dosiek polomeu a je nabitý nábojmi ±Q 0. V ase t = 0 sa stedy dosiek pepoja tenkým vodiom (ob. 183), ktoého odpo R je tak veký, že možno zanedba induknos systému. Nájdite asové a piestoové závislosti: a) plošnej hustoty nábojov na doskách kondenzátoa, b) celkového náboja, c) púdu vodiom, d) posuvného púdu, e) magnetickej indukcie. Ob. 18 Ob. 183 184. Kondenzáto pozostáva z dvoch štvocových dosiek so stanami dlhými a = 0 cm, uložených planpaalelne s ovinou xz pavouhlého súadnicového systému poda ob. 184. Vzdialenos dosiek je d = mm a kondenzáto je nabitý na potenciálny ozdiel U = 300 V. a) Vypoítajte poet elektónov na záponej doske kondenzátoa. b) Pozoovate sa pohybuje ýchlosou 0,6c v smee osi x. Vypoítajte v jeho sústave: ozmey kondenzátoa, poet elektónov na záponej doske a intenzitu elektického poa v kondenzátoe. c) Odpovedzte na otázky bodu b) ak sa pozoovate pohybuje ýchlosou 0,6c v smee osi y. 99
Ob. 184 185. Elektické pole v laboatónej sústave má zložky E x = E 0 cos ϕ E y = E 0 sin ϕ E z = 0 Nájdite elektické a magnetické polia v sústave, ktoá sa pohybuje v smee osi y ýchlosou. Riešte numeicky pe: E 0 = 33 V/m, ϕ = 30, = 0,6c. 186. Dva elektóny sa pohybujú po paalelných dáhach vo vzdialenosti ýchlosou na jednej úovni poda ob. 186. Vypoítajte: a) silu, ktoou elektóny na seba pôsobia v sústave pohybujúcej sa spolu s nimi, b) silu, ktoou na seba pôsobia v laboatónej sústave. Petansfomujte piamo silu vypoítanú poda bodu a) do laboatónej sústavy a poovnajte ju s výsledkom poda bodu b). Aká bude sila v laboatónej sústave pi malých ýchlostiach elektónov ak c? 187. Pi ultaelativistických ýchlostiach elektónov, t. j. ak γ = 1 >> 1 1 β je elektické pole elektónu pakticky celé sústedené v ovine kolmej k smeu pohybu a v jeho blízkom okolí poda ob. 187. Vo výaze pe elektické pole pohybujúceho sa elektónu Ob. 186 Ob. 187 e E = 4πε 0 1 c 1 c sin ϑ 3/ {1} 300
možno v tomto pípade položi ϑ = π/ ± ε kde ε «1. Dokážte, že v ultaelativistickom pípade vzah {1} pejde na tva e γ E = {} 3 4πε ( 1+ γ ε ) / 0 Ob. 188 Ob. 19 188. Mieou elativistického "stlaenia" siloia elektického poa pohybujúceho sa náboja je uhol α medzi dvoma kónickými plochami poda ob. 188, vymedzujúcimi polovicu toku elektického poa. Využitím výazu {} vypoítajte uhol α v ultaelativistickom pípade. 189. V sústave xyz je dané elektické pole a magnetické pole so zložkami E y a B z. Nájdite ineciálnu sústavu, v ktoej je: a) elektické pole nulové, b) magnetické pole nulové. Vypoítajte zložky polí v týchto sústavách. 190. Bodový náboj q je umiestnený vo vzdialenosti a od nekonenej piamky nabitej džkovým nábojom λ. Vypoítajte silu, ktoá pôsobí na náboj v laboatónej sústave, v ktoej je náboj i piamka v pokoji a v sústave, ktoá sa pohybuje pozdž piamky ýchlosou. Náboje q a λ sú ovnakého znamienka. 191. Dokážte, že veliiny a) E.B, b) E c B sú invaiantné k špeciálnym Loentzovým tansfomáciám. 19. Dva elektóny sa pohybujú ýchlosou vo vzdialenosti a po oboch stanách nekonenej oviny nabitej plošným nábojom +σ (ob. 19). Vypoítajte: a) vekos plošného náboja, pi ktoom sila pôsobiaca na elektóny je nulová, b) pome plošných nábojov z pípadu a) pe elektóny s enegiou 500 MeV a elektóny v pokoji. 193. Dve nekonene dlhé paalelné tye sú nabité nábojom s hustotou ±λ na jednotku džky a umiestnené vo vzdialenosti d. Vypoítajte silu, ktoou na seba tye pôsobia: a) v sústave spojenej s tyami, b) v sústave pohybujúcej sa ýchlosou pozdž tyí. 301
30 Michael FARADAY (1791 Newington pi Londýne 1867 Hampton Cout)