MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi poklapaju s radijvekorima: a = i + j k, b = i j + k, c = 5 i j + k Odredie α ako da vekori a = ı+α j+ k i b = 4 ı j k budu okomii Odredie ku izmed - u vekora a + b i vekora a b 4 (a) Odredie modul vekora a b, ako je a = i + k i b = j + k (b) Odredie α R ako da a b bude okomi na vekor c = i + α j 5 Odredie: (a) Kosinus kua α paralelograma razapeog vekorima a = ı + j + k i b = ı + k (b) Površinu og paralelograma 6 Odredie: (a) Površinu rokua s vrhovima A(,,4), B(,,5) i C(0,,4) (b) Visinu v A 7 Zadani su vekori a = ı + (λ + ) j,, b = ı + λ j + k i c = ı + j + k Odredie λ R, ako da zadani vekori budu komplanarni 8 U ravnini x+y+z 4 = 0 odredie očku, koja je najbliža ishodišu koordinanog susava, i izračunaje njenu udaljenos do ishodiša 9 Zadani su vrhovi eraedra A(,, ), B(, 5, 0), C(, 4, 0), D(0, 0, 0) Napišie jednadžbu pravca na kojem leži visina v D eraedra 0 Napišie jednadžbu ravnine u kojoj leži očka T (,, ) i koja odsijeca na osi x odrezak, a na osi y odrezak Napišie jednadžbu ravnine u kojoj leži očka T (,, ) a okomia je na ravnine x y + z = 0, x + y + z + = 0 Napišie jednadžbu ravnine u kojoj leže očke A(,, ) i B(,, ) a okomia je na ravninu x +4y z + 5 = 0 Provjerie da su ravnine x y + z = 0, x 4y + z = 0 paralelne, pa odredie njihovu med - usobnu udaljenos
4 Odredie A i B ako da pravac p x = y = z leži u ravnini π Ax + By + z + = 0 5 Za koju vrijednos od A je ravnina Ax + y 5z + = 0 paralelna pravcu x 4 = y + = z 6 Odredie jednadžbu ravnine u kojoj leže pravci p x y 7 4 = z = y+ = z, p x+ = 7 Odredi jednadžbu ravnine koja prolazi očkom T(,-,-) i paralelna s pravcima p x = y+5 = z x+, p = y = z+4 5 7 8 Pravac p presječnica je ravnina 5x y + z 5 = 0 i x y z = 0 Napišie kanonske jednadžbe og pravca U kojoj očki pravac p probada ravninu z =? 9 Nad - ie jednadžbu ravnine koja sadrši pravac x na ravninu x 4y + z = 0 = z, y = i koja je okomia 0 Odredie očku Q simeričnu očki P(,-,) obzirom na ravninu x+y +z 9 = 0 Odredie sjeciše pravaca p x+ = y+4 = z 4, p x+ = y 8 5 = z+5 4 Napišie jednadžbu pravca na kojem leži visina v a rokua čiji su vrhovi A(5,,), B(8,,-5) i C(5,0,7) Odredie kueve koje s koordinanim osima zavara pravac odred - en kao presječnica ravnina x y + z = 0 i 6x y + z = 0 4 Odredie očke u kojima koordinane osi probadaju ravninu x y + 4z = 0 5 Odredie očke u kojima pravac x = y 4 = z 6 probada koordinane ravnine 6 Odredie ku koji zavara brid eraedra na kojem leže vrhovi A i D s ravninom baze ABC, ako su vrhovi eraedra A(0,-, ), B(,,5 ), C(-,,- ) i D(,5,- ) 7 Napišie jednadžbu ravnine u kojoj leže očke A(,,-), B(,,0), C(0,-,) 8 Točkama A(a,,) i B(,,) prolazi pravac p, a očkama C(,0,) i D(4,-,) pravac p Odredi a ako da pravci p i p leže u isoj ravnini 9 Orogonalna projekcija pravca p koji leži u ravnini x + y + z 6 = 0 na ravninu z = 0 je pravac y = x Odredie kanonske jednadžbe pravca p 0 Odredie jednadžbu pravca koji prolazi ishodišem okomi je na os x i siječe pravac x+ = y 7 = z
Odredie jednadžbu ravnine koja sadrži presječnicu ravnina x + y + 5z + 6 = 0 i x + 4y + z + 4 = 0, a usporedna je s osi x Odredie jednadžbu ravnine u kojoj leži očka M(,,) i pravac x=+, y=, z=- Odredie jednadžbu pravca koji leži u ravnini x y z =, prolazi očkom T(,0,) i okomi je na os z 4 Na pravacu x = y = z odredie očku koja je jednako udaljena od očaka A(,4,0) i B(4,0,4) 5 Na pravcu x + 6 = y + = z 4 odredi očku jednako udaljenu od ravnina x y + z = 0, x + 4y 4z + = 0 6 Odredie jednadžbu pravca koji je paralelan pravcu x=+, y=, z=- a prolazi očkom M(,,) 7 Odredie cjelobrojni paramear λ, ako da se pravci x + 4 λ = y = z, x + = y z + λ sijeku 8 Odredie očku Q simeričnu očki P(4,,6) obzirom na pravac x + = y 7 = z 9 Odredie udaljenos očke A(,,0) od pravca koji prolazi očkama B(-,-,-) i C(,,) 40 Odredie orogonalnu projekciju očke T (,, ) na pravac koji je presječnica ravnina x + y + z = i x y + z = Rješenja: c 0 = i j k, cos α =, cos β =, cos γ = V = 6 α =, cos( a + b, a b ) = 5 9 4 a b = 9, α = 5 cos α = 5, P =
6 P =, v 7 λ = 8 T (,, ), d(t, O) = 4 9 p x = y 4 = z 0 9 0 π x + y + z = 0 π x y z = 0 π x y z + = 0 d = 6 4, B = 5 6 π x + y 4z + = 0 7 π x + 5y + z + 4 = 0 8 p x+ 5 = y+5 9 = z, T (, 4, ) 9 π x + y z + 5 = 0 0 Q(4,, 6) S(,, ) p x 5 = y, z = p x 4 = y+ 6 = z+, cos α = 4 6, cos β = 6 6, cos γ = 6 4 A(4, 0, 0), B(0,, 0), C(0, 0, ) 5 A ( 0,, ) ( 7, B, 0, ) 6, C( 7,, 0) 6 sin α = 7 6 7 π x + z = 0 8 a = 9 p x = y = z 0 p x = 0, y 5 = z π 5y + z + = 0
π 4x 5y + z = 0 p x = y, z = 4 T (,, ) 5 T (, 0, ) 6 p x = y = z 7 λ = 8 Q ( 6,, ) 9 d = 40 T ( 7,, ) 7 6 6 MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu II dio Odredie vrijednos paramera ako da bude + 6 0 0 0 Odredie barem jednu maricu B = 0 AB = 0 ako je 0 Zadana je marica: Izračunaje maricu A a b c d 4 4 (B nije nul marica) akvu da bude 4 Zadana je marica Izračunaje A A 5I 5 0 B = 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Pokažie da vrijedi AB = BA
6 Odredie vrijednos od a ako da za marice vrijedi AB = BA 7 Zadana su marice 8 Odredie a ako da marica bude singularna 9 Zadana je marica 0 0 B = 0 0 6 a 0 6 a 0 6 a 0 0 0 5 0 5 0 0 a i B = 0 0 0 0 0 0 0, izračunaje maricu B T A T Pokažie da je regularna, odredie joj inverznu maricu i provjerie rezula 0 Riješie maričnu jednadžbu XA=B ako su zadane: i 7 0 B = 0 9 Riješie maričnu jednadžbu AX=B ako su zadane: B = Riješie maričnu jednadžbu BX=I-A ako su zadane: B = Riješie maričnu jednadžbu AXB=I ako su zadane: B = 0 4 5 0 5 i i i
4 Odredie rang marice A ako je 5 Odredie rang marice A ako je 4 6 0 4 4 0 0 0 4 0 4 4 0 0 6 Ispiaje rang marice A u ovisnosi od paramera a a 0 a a a 0 a a 7 Ispiaje rang marice A u ovisnosi od paramera a a a 5 0 6 8 Zadan je susav: x + y z = 0 x y + 5z = 0 4x + y + λz = 0 Odredie λ ako da susav ima beskonačno mnogo rješenja Napišie barem jedno nerivijalno rješenje 9 Riješie susav: x + y + z + v = 0 4x y z v = 0 x + 4y + 5z = 0 Napišie barem jedno nerivijalno rješenje susava 0 Pokažie da ravnine x + y + z = 0 4x y z = 0 x + 4y + 5z = 0 imaju jedan pravac zajednički Odredie njegove kanonske jednadžbe
Imaju li zajedničku očku ravnine: x 4y + z = x y + 4z = x y + 5z =? Gaussovom meodom eliminacije riješie susav: x + 5y = x + y z = 5 x + y z = 9 x y + z = 4? Gaussovim posupkom eliminacije riješie susav: 4 marice 5 0 0 0 marice C x + y + z + v = x 4y + z + v = x y z + v = 5 Odredie karakerisični polinom i svojsvene vrijednosi e, B = 8 C = AB Odredie svojsvene vrijednosi 6 Odredie svojsvene vrijednosi i svojsvene vekore marice 7 Pokažie da marica 8 Pokažie da marica 0 0 0 0 0 0 0 9 Jedna svojsvena vrijednos marice barem jedan svojsveni vekor ponišava svoj karakerisični polinom ponišava svoj karakerisični polinom 0 0 jednaka je λ = 5 Odredie
0 Provjerie koji od vekora x = Vekor x = Rješenja: 0 0 0 5 0 = ili = 0 0 B = c R, d R c d A = A 4 A A 5I = 5 AB = B 6 a = 7 B T A T = 8 a = 6 4 9 0 0, y = 0 za svojsvenu vrijednos λ = jedan je svojsveni vekor marice je svojsveni vekor marice Odredie pripadnu svojsvenu vrijednos 8 6 4 8 9 4 0 0 0 0 0 0 9 de(a) 0, A = 0 X = X = 0
5 X = 7 X = 4 r(a) = 5 r(a) = 6 r(a) = za a = 0, a = i a = a r(a) = za sve osale a R 7 r(a) = za a = a r(a) = za a 8 λ = 7, 9 0 0 4 5 7 5 R x = y = z R Da, deerminana susava D = 5 0 x = 4 9, y = 9, z = 75 9 7 9 + 6 0 R 5 4 λ,, = 5 λ = 4, λ = 4 6 λ, =, R, 0 7 p(λ) = λ λ, p(a) = O
8 p(a) = A A = O 9 4 R, jedan svojsveni vekor je 0 x je svojsveni vekor za svojsvenu vrijednos λ = λ = 4