ZÁKLADY VLNOVEJ MECHANIKY.1 ÚVOD. POJEM STAVU V KVANTOVEJ MECHANIKE Úplý adpis tejto apitoly by vlaste mal by Zálady vlovej mechaiy jediej bezspiovej astice v silovom poli. Vzhadom a to, že vatová mechaia je uiverzálou teóriou javov v oblastí atómovej fyziy, je to téma pomere úza, ale umožuje postupé budovaie matematicého aparátu teórie i jeho fyziálej iterpretácie. V predchádzajúcej apitole sme sa síce zaoberali s jedoduchými vatovými systémami, ale výlad bol založeý a ituitívych argumetoch a a aalógiách. V tejto apitole bude výlad o osi systematicejší a viac pozorosti budeme veova rozvoju formalizmu. Záladou myšlieou, z torej budeme vychádza je to, že stav astice v uritom oamihu t je úple charaterizovaý stavovou vlovou fuciou (r, t ). asová závislos vlovej fucie (r, t) bude potom udáva asový vývoj stavu. Už v predchádzajúcej apitole sme sa a ituitívej úrovi zaoberali súvisom stavu vatovomechaicej sústavy a vlovej fucie. Ke teraz predpoladáme, že stav astice je úple charaterizovaý vlovou fuciou, zameá to, že tieto dva pojmy vlaste stotožujeme, že zada stav zameá to isté, o zada vlovú fuciu, ta, ao v lasicej mechaie zada stav zamealo zada polohu a hybos astice. 9 Aby taéto chápaie pojmu stav malo aj praticý výzam, musíme si uáza ao a zálade zalosti vlovej fucie možo predpoveda (v pravdepodobostom zmysle) výsledo meraia ubovoej fyziálej veliiy v daom oamihu. Budeme tiež musie ájs pre vlové fucie príslušú pohybovú rovicu, aby bolo možé a zálade zámej vlovej fucie v daom oamihu predpoveda, aá bude vlová fucia a teda stav systému v budúcosti. Sôr vša, ao sa zaeme zaobera s taýmito otázami, všimeme si a prílade voej astice ietoré súvislosti medzi tým, ao chápeme stav v vatovej mechaie a ao ho chápeme v lasicej mechaie. Ituitíve je jasé, že súvislos tu musí by, ia by sme rýchlo prišli vážym problémom. Vieme totiž, že lasicá fyzia je vemi dobrou teóriou pre pohyb astíc s hmotosou 9 Odporúame itateovi obozámi sa s láom W. Heiseberga, O vývoji pojmu stavu v histórii vatové teorie, publiovaom v esom prelade v s. as. fyz., roí A 5, ro 1975, str. 97. 67
oolo 1 g alebo väšou. V sutoosti vieme i to, že je to dobrá teória pre opis pohybu astíc i s ovea mešími hmotosami. Na druhej strae vieme, že pre pohyb eletróov s hmotosou 9.1 1 g už platí vatová mechaia. A si teraz predstavíme, že po rebríu hmotosti postupujeme postupe dolu, pýtame sa a to, edy, t. j. pri torej hmotosti prestae plati lasicá mechaia a zae plati vatová mechaia. Aosi ažo uveri, že by eistovala taáto stritá hraica, ad torou by platila jeda teória a pod ou druhá teória, úple iá. V sutoosti je teto prechod plyulý, lasicá mechaia sa stáva so zmešovaím sa hmotostí a rozmerov oraz horším a horším priblížeím u sutoosti a zaía plati vatová mechaia. Naopa, a zaeme z oblasti platosti vatovej mechaiy a postupujeme smerom u lasicej, vidíme, že lasicá mechaia sa postupe stáva lepším a lepším priblížeím a i opis stavov sústavy postupe prechádza od vatovomechaicého u lasicému. Túto sutoos, torá je špeciálym prípadom Bohrovho pricípu orešpodecie, si podrobejšie všimeme a zaiatu tejto apitoly. Potom sa budeme zaobera Schrödigerovou rovicou a esôr sa budeme veova tomu, ao v vatovej mechaie opisujeme fyziále veliiy.. VLNOVÉ FUNKCIE VONEJ ASTICE astici, torá sa pohybuje voe (eachádza sa v silovom poli) a má uritú hybos p, je poda de Broglieho hypotézy priradeá vlová fucia A ep (i.r iωt), de p/, ω E/ p /(m). V uritom ase t je stav astice charaterizovaý vlovou fuciou p (r) C ep(ip.r/) (1) de C je ompleá oštata (v predchádzajúcom ozaeí C A ep ( iωt )). asová závislos stavu voej astice je charaterizovaá vlovou fuciou p (r, t) A ep[i(p.r Et)/] () istá roviá vla (1) opisujúca stav voej astice s hybosou p v celom (eoeom) priestore spa C a preto emožo vybra C ta, aby platilo p ( r ) dv 1 () 68
t. j. ta, aby vlová fucia bola ormovaá a jedotu v celom objeme. Túto formálu ažos možo obís dvoma spôsobmi. Pri prvom z ich pracujeme s eoeým objemom a vlové fucie potom ormalizujeme ta, ao je to obvylé v teórii Fourierových itegrálov, t. j. používame fucie (π) / [ep i p.r/] (4) toré sú, ao fyzici vravia, ormovaé a δ-fuciu. Taéto fucie budeme tiež esôr používa, ale predtým sa s δ-fuciami budeme musie obozámi. Druhá možos je jedoduchšia a spoíva v ormovaí a oeý objem. Fyziále je jasé, že eby sme si predstavili svet ao oeý a uzavretý v oce s hraou, povedzme 1 1 svetelých roov, ezmeilo by to i a správaí sa eletróu v atóme vodía, alebo a vlastostiach iých atomárych objetov, torých rozmery sú rádovo 1 1 m. Stavové vlové fucie voých astíc môžeme teda písa ao 1 ip.r / p ( r ) e (5) V de V L je áš ormovai objem (oca s hraou L). Vo výraze (5) hodota hybosti p sa môže mei spojité a dostávame ta spojito eoeú možiu možých stavov, líšiacich sa hodotou p. Nie všety z týchto stavov sú vša lieáre ezávislé, 1 ietoré z ich môžeme dosta ao lieáre ombiácie ostatých a možos vytváraia stavov lieárymi ombiáciami je daá už pricípom superpozície. Pýtame sa preto a to, ao by sme mohli dosta systém lieáre ezávislých stavov typu (5). Odpove a túto otázu je záma z teórie Fourierových radov. Staí vybra iba tie hodoty p, p y, p z, pre toré je fucia p (r) periodicá v aždej z premeých, y, z a itervale (, L). Naprílad pre premeú to zaí e ip / e ip ( + L)/ Nemožos ormovaia súvisí s tým, že stav (1) je iba istou idealizáciou a emožo ho eperimetále pripravi. Každá eletróová vla totiž v istom ase iede vziá a je preto loalizovaá v aždom ase v istej oeej priestorovej oblastí (hoci obrovsej, ale oeej). Sutoe realizovateé sú iba vlové balíy. Ale roviá vla je ta užitoou idealizáciou, že by ebolo rozumé sa jej zrieu vôli formálym ažostiam. 1 Naša termiológia ie je presá. Pojem lieárej závislosti býva obvyle vyhradeý pre oeé lieáre ombiácie. My tu pripúšame i superpozície eoeého potu fucií. Navyše by sa žiadalo precizova defiié obory fucií, o torých hovoríme a zmysel overgecie príslušých radov. Vyhýbame sa tu týmto (z hadisa matematiy podstatým) otázam, lebo v daej situácii pre pochopeie fyziálej podstaty ie sú evyhuté. 69
Odtia dostávame podmieu p 1 L/ π 1 1, ±1, ±,... (6a) a podobe pre ostaté dve zložy hybosti p L/ π 1, ±1, ±,... (6b) p L/ π 1, ±1, ±,... (6c) Už sme použili ozaeie toré podobe ao p p 1, p y p, p z p 1, y, z budeme asto používa v alšom. Aby sme sa vyhli stálemu písaiu symbolu v meovateli epoetu v (5) je užitoé používa radšej vlový vetor a ruhovú freveciu ω ω (p) E(p)/; i p i / i 1,, a písa stavové vlové fucie reprezetujúce systém stavov (5) v tvare 1 i.r ( r ),, ( r ) e 1 (7a) V π i i, i, ±1, ±,... (7b) L Stavové vlové fucie typu (7) príslušé rôzym hodotám ( 1,, ) sú iele lieáre ezávislé, ale a trojica ( 1,, ) prebieha všety hodoty (7b), tvoria aj úplý systém v zmysle teórie Fourierových radov; t. j. aždú fuciu f(, y, z) možo vútri ášho ormalizaého objemu rozviú do radu f (, y, z) c ( r ) (8) de situjeme cez všety ( 1,, ) prípusté podmieou (7). Koeficiety c vystupujúce v rovici (8) aho uríme, a si všimeme, že vlové fucie (r) spajú podmieu V ( r ) ( r )dv δ (9) de a pravej strae máme Kroecerov symbol, torý je rový jedej a ' a rový ule a '. 7
Tato staí rovicu (8) ásobi vlovou fuciou q(r) a preitegrova cez ormalizaý objem V. A môžeme zamei poradie sumy a itegrálu (a to budeme predpolada), dostaeme V q ( r ) f ( r ) dv q ( r ) ( r ) dv Itegrál a pravej strae je ale rový Kroecerovmu symbolu δ, q, to zameá, že je ulový pri všetých, s výimou jedého jediého prípadu q a vtedy je itegrál rový jedej. Celá pravá straa sa teda rová c q, a máme oeý výsledo V c ( r ) f ( r q q ) dv (1) torý uazuje postup ao uri oeficiety v rozlade (8) pri zámej fucii f(r). Postup, torý sme tu použili, sa v vatovej mechaie používa ta asto, že si zasluhuje ieoo pozámo. 1. Rozlad fucie f(r) do radu (8) ie je viazaý a špeciály tvar fucií (7), ale môžeme ho použi vždy, a máme istý úplý systém fucií { }. Možos rozladu (8) je vlaste vyjadreím pojmu úplosti systému { }. Koeficiet c v taomto rozlade možo uri pomocou rovice typu (1), a súbor fucií { } je ortoormovaý, t. j. a platí m dv δ m de a pravej strae je Kroecerov symbol rový 1 pre m a rový ule pre m. Stavy povoleé podmieou (7b) si môžeme zázori bodmi v abstratom -priestore. Je to trojrozmerý priestor, v torom a jedotlivé osi vyášame zložy vetora, a prvú os 1 a druhú a a tretiu. Predstavme si teraz, že celý -priestor je zapleý ocami s džou hray π/l. Vlové fucie povoleé podmieou (7b) sú práve tie, pri torých hodoty vetora (zaresleé v -priestore) splývajú s vrcholom ietorej ocy. Koca má 8 vrcholov a aždý vrchol je spoloý 8 ocám. Na jedu ocu s hraou π/l pripadá preto práve jeda povoleá hodota. Pre vea apliácií je užitoé zavies pojem hustoty povoleých hodôt v -priestore. Táto hustota je rová potu povoleých vetorov pripadajúcich a objemovú jedotu v -priestore. Pretože a objem (π/l) pripadá práve jedo povoleé, dostaeme pre túto hustotu ozaeú symbolom ρ() výraz 1 L V ρ ( ) (1) (π/ L) (π) (π) 71
Nieedy sa stáva, že z fyziáleho postaveia problému je zrejmé, že oeficiety c v rovici typu (8) sú pomaly sa meiacimi fuciami vetora. Vtedy je užitoé prejs od sumy v (8) itegrálu. Pretože a jedotový objem pripadá ρ() povoleých vetorov, bude ma prepis rovice (8) tvar f ( r) c( ) ( r) ρ( )d (1) de c() je pomaly sa meiaca hladá fucia premeej, torá v povoleých bodoch -priestoru adobúda hodotu c. Pre dostatoe veý ormovací objem V je taéto ahradeie sumy itegrálom praticy vždy dobrým priblížeím. Po dosadeí za (r) a ρ() môžeme rovicu (1) prepísa (zatia bez zrejmejšieho úelu) ao i.r V 1 e f ( r ) c( ) d / / (π) V (π) A výraz v hraatej zátvore ozaíme ao a() máme i.r e f ( r ) a( ) d (14) / (π). Normovací objem V, torý sme vyššie používali je zae ubovoý. Žiadali sme le to, aby bol obrovsý v porovaí s rozmermi atomárych sústav. Na zálade ituície možo oaáva, že fyziále výsledy zísaé pri rôzych vobách veosti V od tohto V ebudú závisie. Uazuje sa, že je to sutoe ta a v alších láoch sa ešte streteme s ilustráciami tohto tvrdeia. Výber roviých v ormovaých a objem V ta, ao sme ho uviedli, sa môže zda trocha ubovoý. Prišli sme emu ta, že sme hadali systém fucií: a) typu roviých v; b) ormovaých a jedotu v oeom objeme V; c) lieáre ezávislých. Tieto fucie totiž opisujú súbor fyziálych stavov a a zálade pricípu superpozície vieme, že lieárou ombiáciou vlových fucií dostávame vlovú fuciu prislúchajúcu uritému možému stavu. Ao súbor bázicých stavov sústavy potom prirodzee musíme vybra súbor lieáre ezávislých vlových fucií. Toto by sme už mohli urobi rôzymi spôsobmi, ale všety by boli evivaleté v tom zmysle, že bázicé fucie ového systému by boli lieárymi ombiáciami systému (7). Systém (7) používame preto, že je pre praticé použitie ajvhodejší. Pozameajme, že vzah (14) je formále podobý rozladu do roviých v ormovaých a δ-fuciu, o torom budeme hovori esôr. 7
Toto vlaste ie je pozáma, ale rada do života pre itateov, torí doítali až sem, ale doteraz sa s teóriou Fourierových radov a itegrálov podrobejšie estretli. Pre alšie ítaie tejto ihy a pochopeie jej fyziáleho obsahu tých ieoo pomere povrchých pozámo, toré sme uviedli, je dostaujúce. A si itate predchádzajúce trochu premyslí, môže íta alej. Dooca sa mu môže sta, že s taýmito zalosami vystaí i v iých praticých fyziálych apliáciách. Môže to vša aho zvies a podceeie rigorózej matematiy, a to by sme rozhode echceli. Sú situácie, e podrobá a presá zalos je rozhodujúca. Rozhode si treba ájs ieedy as a aspo raz v živote si preíta ieo z matematicej literatúry o Fourierových radoch. 4. VLNOVÉ BALÍKY. GRUPOVÁ RÝCHLOS DE BROGLIEHO VN A PRINCÍP KOREŠPONDENCIE asový vývoj stavu astice opisujeme v vatovej mechaie vlovou fuciou (r, t). Teto opis emá zdalivo i spoloé s opisom astíc v lasicej mechaie. V tomto láu uážeme, že istý vzah medzi lasicým a vatovým opisom predsa le eistuje a že isté typy vlových procesov sú v uritom zmysle príbuzé pohybu lasicých astíc po trajetóriách. Najprv si vša pripomeieme ieoo pojmov súvisiacich s matematicým opisom vlových javov. Roviú vlu šíriacu sa v smere vlového vetora zapisujeme v tvare i(.r ω t) (r, t) C e de C je vo všeobecosti ompleé íslo. Vloplochou azývame plochu, a torej a fáza oštatú hodotu, teda. r ωt ošt Fázová rýchlos je defiovaá ao rýchlos, torou sa posúva v priestore daá vloplocha. A máme pre jedoduchos roviú vlu pohybujúcu sa v smere, potom rovica vloplochy je ωt ošt a pre fázovú rýchlos máme d ω f (1) d t Váše dáva rady do života je choroba, torej sa pedagóg, ajmä v stredých a vyšších rooch ažo vyhe. Nech ám itate túto chorobu z povolaia prepái. 4 Môže to by aprílad iha G. J. Šilov: Matematicá aalýza, Alfa, Bratislava 1974. Táto iha je pre fyzia užitoá iele vôli Fourierovým radom. 7
Rovié vly sú idealizáciou sutoých vlových procesov. Reále vly sú vždy loalizovaé v istej oblasti priestoru a ich trvaie v ase je tiež obmedzeé. A je priestorová oblas, v torej je vleie eulovo malá, hovoríme o vlovom balíu. Každý taýto vlový balí vša možo zapísa ao superpozíciu (lieáru ombiáciu) roviých v. 5 Zaujímame sa teraz o to, ao sa taýto vlový balí pohybuje. Najprv uvedieme jedoduchý argumet pre reále lasicé vly a potom predisutujeme realisticejší prípad sladaia ompleých de Broglieho v. Predstavme si teda superpozíciu dvoch v, torých vlové vetory a ruhové frevecie sa le o málo odlišujú a amplitúdy sú rovaé. U 1 (, t) A si[( ) (ω ω)t] U (, t) A si[( + ) (ω + ω)t] A použijeme zámy vzah si(α + β) + si(α β) siα cosβ, po úprave dostaeme U 1 + U si( ωt) cos(. ω. t) Obr..1 Prvý le a pravej strae je približe pôvodá vla, druhý je modulaý fator, torý vedie vziu výrazých miím a maím vleia, zázoreých a obr..1. Rýchlos šíreia sa týchto maím, z torých aždé vlaste odpovedá vlovému balíu, je daá leom cos(. ω. t) a poloha maima je daá rovicou. ω. t 5 Toto tvrdeie po matematicej stráe vyplýva z úplosti sústavy roviých v a v tomto otete sme o om už hovorili v predchádzajúcom láu. 74
75 Odtia máme pre rýchlos šíreia sa maima, azývaú tiež grupovou rýchlosou t g ω d d Pre malé píšeme g d dω Teraz uvedieme realisticejší prílad. Uvažujme superpozíciu roviých v, šíriacich sa v smere osi c t t d )e ( ), ( ) ) ( ( i ω (4) závislos (a() vyberieme taú, aá prislúcha voej astici (.), t. j. m m p E ) ( ω a c() zvolíme aprílad v tvare ) ( ep ) ( κ A c (6) Uvažujeme teda prílad superpozície roviých v, torých vlové vetory sú gaussovsy rozmazaé v oolí hodoty s euritosou κ. Po dosadeí (S) a (6) do (4) a substitúcii q dostaeme + + q t m q m t q A t t d i i 1 ep e ), ( ) ( i κ ω e sme ozaili ω ω( ). Využitím zámeho Laplaceovho itegrálu dostaeme ) i( 1/ e i 1 ep i ), ( t m t t m t m m A t ω κ κ κ + + π Výraz (7) (ao aj celý áš prílad) je trošu techicy ompliovaý, ale vemi pouý. Vo vzahu (7) totiž aho rozpozáme epoeciály fázový fator ep [i( ω t)] predstavujúci roviú vlu, avša modulovaú (ompleým) amplitúdovým fatorom výrazom v zložeých zátvorách. Aby sme si urobili lepšiu predstavu o charatere vlového balía, torý výraz (7) predstavuje, uvedomme si, že pre posúdeie pravdepodobostí výsytu astice je rozhodujúca absolúta hodota vlovej fucie
76 + + π 1/4 4 4 ep 4 ), ( m t t m t m m A t κ κ κ κ (7') Hlavým iiteom, torý uruje tvar vlového balía je zrejme epoeciály výraz vo vzahu (7'). Je zrejmé, že poloha maima vlového balía je daá vzahom t m t m (8) Teda vlový balí (jeho maimum) sa pohybuje rýchlosou m g (9) o odpovedá vzahu (), a do dosadíme z (5) m m g d d d d ω Z predchádzajúceho je zrejmé, že asticiam lasicej fyziy majú ajbližšie loalizovaé vlové balíy a pricíp orešpodecie žiada, aby v lasicej limite opis pomocou taýchto balíov prešiel a opis blízy opisu pohybu astíc pomocou lasicých trajetórií. Tato sme ituitíve vedeí priradeiu de Broglieho v vlový balí mechaie v lasicej astica V taom prípade ale rýchlos astice v lasicej mechaie musí by rová rýchlosti pohybu maima vlového balía, teda de Broglieho v rýchlos grupová mechaie v lasicej rýchlos astice Zo vzahu (9) je he zrejmé, že taéto priradeie je možé. Platí totiž m p m g Výraz p /m je vša práve rýchlos lasicej astice s hybosou p. Aalógia medzi vlovými balími a asticami lasicej fyziy má vša svoje ohraieia. Jedo z ich vido aprílad z rozplývaia sa vlových balíov. Túto vlastos vido aj zo vzahu (7')- Je zrejmé, že tam uvedeá amplitúda pre
rozdiele od hodoty (8) rýchlo lesá ule. Rýchlos tohto polesu je v prevažej miere daá meovateom v epoeciálom fatore vo výraze (7'). Rozmer vlového balía teda možo aho odhadú a dostaeme ( ) 1 κ t + m Vidíme, že rozmer balía s asom eustále rastie. Nebudeme sa tu saži o podrobejšiu matematicú aalýzu tohto javu, ale uvedieme iba fyziu, torá je za ím. Predstavme si, že v ase t máme vlový balí s rozmerom ( ). Poda vzahu euritosti budú ma de Broglieho vly, torých superpozíciou bol balí vyrobeý, hybosti v itervale p ~ /( ). Príslušé rýchlosti p/m budú ma tato euritos p ~ ~ m m( Tieto euritosti v rýchlosti povedú zväšovaiu rozmerov balía s rastúcim asom, priom dodatoé rozplyutie bude približe ) t ( ) ~. t ~ m( Presejšia aalýza by ám uázala, že správy vzah pre sladaie pôvodého a dodatoého rozmazaia je ( ) ( ) + ( )' Výraz (1) má sutoe prese taúto štrutúru. Rozplývaie vlových balíov zemožuje chápa vlové fucie priradeé stavom astíc ao hmotosté vly v pôvodom Schrödigerovom zmysle. Po dostatoe dlhom ase sa totiž vlový balí rozplyie do veých rozmerov, prestae by loalizovaý a emožo ho stotoži so samotou asticou. ).4 ASOVÝ VÝVOJ STAVU. SCHRÖDINGEROVA ROVNICA Schrödigerova rovica (alej zväša le SchR) je záladým pohybovým záoom vatovej mechaiy. A pozáme stav sústavy v ase t, daý vlovou fuciou (r, t ) Schrödigerova rovica vedie jedozaému stavu (r, t) pre ubovoé t > t. Jej úloha v schéme vatovej mechaiy je teda aalogicá s úlohou Newtoových pohybových rovíc v lasicej mechaie. Pre jedu asticu achádzajúcu sa v silovom poli s poteciálou eergiou V(r) má SchR tvar ψ ( r, t) i ψ ( r, t) + V ( r ) ψ ( r, t) (1) t m 77
de je Laplaceov operátor + y + z Vzhadom a t je to difereciála rovica prvého rádu a zadaím zaiatoého stavu (r, t ) je jej riešeie daé jedozae. SchR tato uruje asový vývoj stavu sústavy. Na zdôrazeie tejto sutoosti ju budeie azýva ieedy asovou Schrödigerovou rovicou. Táto rovica je záladým záoom vatovej mechaiy. Nemôžeme ju preto odvodi z lasicej fyziy práve ta, ao emožo odvodi Newtoove záoy z výsledov predewtoovsej fyziy. Záladé záoy ovej teórie treba vždy v istom zmysle uhádu. Aby sme túto sutoos zdôrazili uviedli sme tvar SchR rovo, bez predbežého ometára. Pravda, vždy možo uvies dôvody, toré autora ovej teórie, v tomto prípade E. Schrödigera, viedli (r. 196) daej formulácii záoa. Reproduovaie pôvodého Schrödigerovho heuristiceho postupu 6 by vša zabralo privea miesta. Uvedieme tu preto iba ieoo argumetov, toré by mohli urobi SchR prijateejšou. Zaeme tým, že ájdeme rovicu, torú spa vlová fucia voej astice i ( p.r Et) de A je oštata a E E(p) p /m. Derivovaím tohto (r, t) poda asu dostaeme ψ ( r, t) Ae () i ( ψ p.r Et) i AE( p)e E( p) ψ ( p) ψ ( r, t) () t Vaa vzahu medzi eergiou a hybosou môžeme pravú strau tiež prepísa a máme p ψ i ψ t m A sa ale pozrieme a (r, t) daé rovicou () vidíme, že hybosti môžeme dosta z epoetu pred vlovú fuciu aj ta, že budeme derivova poda súradíc. Sutoe, a derivujeme (r, t) poda súradice a výsledo ásobíme fatorom (/i), dostaeme ψ ( r, t) p ψ ( r, t) i (5) 6 Archimedes po objaveí svojho záoa bežal vraj ahý ulicami Syraúz volajúc Heuréa (ašiel som). Heuristicy postup je postup pre achádzaie ieoho ového. 78
Keby sme to isté urobili ešte raz, dostaeme ψ ( r, t) ψ ( r, t) p (, t) ψ r i A urobíme to isté aj s ostatými súradicami, aho sa presvedíme o tom, že ψ m 1 ( p + p y + pz ) ψ m 1 p ψ m de A a avej strae je Laplaceov operátor. Na pravej strae (6) máme ale to isté o a pravej strae (4) a vidíme, že pre roviú vlu platí ψ ( r, t) i ψ ( r, t) m Koeficiety v tejto rovici ezávisia od hybosti a eergie daej roviej vly a preto tejto rovici vyhovuje aždá roviá vla tvaru () za predpoladu, že vzah medzi eergiou a hybosou je taý, ao má by, t. j. E p /m. Rovica je lieára a preto ju spolu s aždými dvoma riešeiami spa aj ubovoá lieára ombiácia týchto riešeí. Odtiato prídeme he záveru, že rovicu (7) spa ubovoá ombiácia roviých de Broglieho v a teda i všety vlové balíy. Porovaím (7) a (1) vidíme, že (7) je SchR pre prípad ulovej poteciálej eergie V(r). Podstatým pre zísaie tejto rovice bol vzah E p /m platý pre eergiu voej astice. Pre asticu achádzajúcu sa v silovom poli s poteciálou eergiou V(r) možo oaáva, že pre zísaie správej rovice bude treba v ietorej z predchádzajúcich urobi zámeu výrazu odpovedajúceho ieticej eergii a výraz odpovedajúci celovej eergii. V rovici (7) máme a pravej strae výraz ( /m), torý poda (6) sutoe odpovedá ieticej eergii. A v (7) urobíme a pravej strae zámeu + V ( r ) m m a apliujeme pravú strau a, dostaeme práve SchR (1). Tomuto formálemu argumetu možo prida istý fyziály zmysel a si predstavíme pohyb astice v poli s vemi pomaly sa meiacou poteciálou eergiou V(r) (V(r) sa meí le vemi málo a vzdialeosti približe rovej vlovej dže de Broglieho vly). A sa V(r) meí le pomaly zameá to, že sily pôsobiace a asticu sú malé (sila je rová grad V(r)) a možo oaáva, že vlová fucia bude približe vyzera ao i ψ ~ ep ( p ( r ). r Et (8) 79
priom p(r) závisí od polohy ta, že platí [ p( r )] m + V ( r ) E ošt (9) Pri derivovaí pravej stray v (8) poda súradíc môžeme zaedba derivácie p(r) poda, y, z, pretože sa p(r) meí s polohou le vemi pomaly a vzhadom a (9) bude vlová fucia (8) spa SchR (1). Pripomeme ešte raz, že tieto argumety emali by a ai eboli dôazom Schrödigerovej rovice. Ich úel bol sôr pedagogicý; argumety mali urobi SchR prijateou a trocha objasi jej zmysel. V teórii ale SchR vystupuje ao postulát, torého správos sa doazuje súhlasom teórie s eperimetom. Na záver láu ešte upozoríme itatea a ieoo postupov, s torými sme sa tu stretli, a s torými sa streteme ešte vearát v alšom. V rovici (5) vidíme, že pôsobeím výrazu (/i)/ a roviú vlu dostávame zas tú istú roviú vlu, ale ásobeú hodotou p. Výraz (/i)/ je špeciálym prípadom operátora, t. j. predpisu, torým istej fucii f() priraujeme fuciu g(), v ašom prípade f() g(); f ( ) g( ) i Operátor (/i)/ zrejme súvisí s -ovou ompoetou hybosti astice, lebo z roviej vly v zmysle rovice (5) vylúpe práve hodotu p. Podobe operátor ( /m) vylúpe z roviej vly ieticú eergiu astice, ta ao to vidie z rovice (6). V alšom uvidíme, že toto je v vatovej mechaie všeobecým javom a aždej fyziálej veliie je priradeý istý operátor, torý pracuje podobe ao pracujú tie dva, o sme práve spomíali v súvislosti s rovicami (5) a (6)..5 STACIONÁRNE STAVY Z valitatívych úvah v apitole l sme prišli tomu, že disrétym vatovým stavom s uritými hodotami eergie odpovedajú stojaté vly (harmoicé mity) de Broglieho v. Taéto stavy boli charaterizovaé tým, že ich asový vývoj bol daý jediou freveciou tu, stojatá vla mala tvar (r, t) e iω t (r) (1) a eergia stavu bola daá vzahom E ω. Taéto stavy sa azývajú aj stacioárymi stavmi. A vlová fucia (1) má opisova asový vývoj stavu, potom musí vyhovova asovej SchR. To zrejme ebude možé pre ubovoú fuciu (r). 8
Poúsme sa teraz ájs podmiey, toré musí spa fucia (r), aby výraz typu (1) bol riešeím SchR (4.1). Po dosadeí (1) do (4.1), dostaeme i [e t iω t ( r )] + V ( r ) e m iωt ( r ) A a avej strae vyoáme azaeú deriváciu a obe stray vyrátime fatorom ep (iωt) dostaeme podmieu ω ( r ) + V ( r ) ( r ) m Vzhadom a to, že ω je práve eergia stacioáreho stavu, máme + V ( r ) ( r ) E( r ) m Argumet by sme mohli obráti asledove: A eistuje íslo E a fucia (r) taé, že je spleá podmiea () a a (r) spa štadardé podmiey pre to, aby mohla reprezetova stav uvažovaej sústavy 7, potom fucia (r, t) daá výrazom (1) je riešeím asovej SchR a opisuje asový vývoj stacioáreho stavu sústavy. Podmiea () sa ieedy azýva bezasovou Schrödigerovou rovicou. Názov ale ie je vemi šaste zvoleý, pretože aho vedie zámee dvoch pricipiále odlišých rovíc: Schrödigerovej rovice (4.1), o je pohybová rovica, torú musí spa aždá vlová fucia reprezetujúca asový vývoj stavu sústavy a bezasovej Schrödigerovej rovice (), o je podmiea stacioárosti stavov. Nebezpeie zámey je tým väšie, že v hovorovej rei sa aj o bezasovej Schrödigerovej rovici zväša hovorí iba ao o Schrödigerovej rovici. Zatia sme bezasovú Schrödigerovu rovicu chápali trocha v pasívom zmysle ao otrolu stacioárosti uvažovaého stavu. V prai ju ale používame v atívom zmysle a urujeme pomocou ej možé stacioáre stavy daej sústavy a možé hodoty eergie týchto stavov. Uazuje sa totiž, že rovica () má fyziále prijateé riešeia iba pri istých hodotách parametra E. Tieto hodoty sú asto disréte a vtedy urujú možé hodoty eergie (disrétych) vatových stavov sústavy. Pod riešeím bezasovej SchR () rozumieme: a) ájdeie možých hodôt eergie, b) ájdeie príslušých riešeí. Tato sa v vatovej mechaie urujú hodoty eergie stacioárych () 7 Tieto podmiey sú fyziálej povahy a závisia do istej miery od toho, aý systém súmame. Je to aprílad ormovateos vlovej fucie, jej jedozaos a pod. S taýmito podmieami sa streteme ešte v alšom pri disusii riešeí SchR v orétych fyziálych situáciách. 81
stavov iele pre jedoduché sústavy ao lieáry harmoicý oscilátor a atóm vodía, ale i pre ovea ompliovaejšie sústavy..6 ASTICA VIAZANÁ NA ÚSEKU Teraz si a vemi jedoduchom prílade uážeme ao bezasová SchR vedie ureiu hodôt eergie a vlových fucií stacioárych stavov. Budeme sa zaobera prípadom eletróu, torý sa môže pohybova iba v jedom smere a je viazaý a úseu L. Túto situáciu si môžeme predstavi realisticejšie ao eletró pohybujúci sa v poli poteciálu V(), priom V() vútri uvažovaej úsey a mimo ej V() adobúda vemi vysoú hodotu V. Nesôr sa podrobejšou aalýzou presvedíme o tom, že táto situácia vedie tomu, že eletró emôže preiú mimo úsey a jeho vlová fucia je teda mimo uvažovaej úsey ulová. A vlová fucia má by spojitá (podrobejšiu disusiu tejto požiadavy zatia odložíme), potom musí by ulová aj v orajových bodoch úsey. Stavová vlová fucia stacioáreho stavu musí spa vútri úsey bezasovú Schrödigerovu rovicu d ( ) E( ) m d a poda predchádzajúceho aj orajové podmiey () (L) (a) (b) Pre E > (o odpovedá fyziálej požiadave ladeej a eergiu voej astice) môžeme rovicu (1) prepísa do tvaru Všeobecým riešeím () je fucia d me α ( ), α () d () A si(α) + B cos(α) Orajová podmiea (a) je spleá le pri B a máme A toto riešeie dosadíme do (b), máme podmieu () A si(α) (4) (L) A si(αl) (5) 8
Keby platilo A, máme triviále riešeie (), toré eopisuje žiady stav. Fyziále prijateé riešeia dostaeme teda le pre urité hodoty parametra α, meovite pre tie, pre toré α α, α L π, celé (6) Parameter α je ale zviazaý s eergiou vzahom (). A toto vyjadreie α pomocou E dosadíme do (6), prídeme tomu, že (6) je spleé le pre hodoty E daé podmieou E π (7a) ml a u aždej hodote E máme poda (4) stavovú vlovú fuciu stacioáreho stavu π ( ) Asi, pre L L () pre mimo úsey (, L) Koštatu A urujeme z ormovacej podmiey L ( ) d 1 torá fyziále odpovedá tomu, že pravdepodobos pre ájdeie astice a úsee (, L) je rová jedej. Riešeím tejto podmiey je aprílad A L a tato prichádzame sústave stavových vlových fucií 8 π ( ) si, 1,, (7b) L L 8 V rovici (7b) už uvažujeme iba ladé hodoty. Zmea by totiž le zmeila zamieo vlovej fucie a to je pri stacioárom stave evivaleté le zmee fázy ep( iωt) ep( iωt + iπ) o z fyziálych dôvodov odpovedá tomu istému stavu. Taisto zámea A Ae iβ pri reálom β meí le fázu, ale emeí fyziály stav. 8
Hodoty eergie im príslušé sú daé vzahom (7a). asová závislos stacioárych stavov potom bude π ψ (, t) ep( iet/ ) si (8) L L Výsledy, toré sme tu dostali riešeím bezasovej SchR sú prese rovaé ao tie, toré sme a zálade aalógie vatových stavov s uritou eergiou a harmoicých mitov lasicých strú uhádli už v predchádzajúcej apitole. Je užitoé všimú si podrobejšie mechaizmus vatovaia. Samotá bezasová SchR () má riešeie pri ubovoej hodote eergie. Isté disréte hodoty eergie sú tu vlaste vybraé spoluprácou orajových podmieo (a) a (b). S aalógiami tejto jedoduchej situácie sa ešte streteme esôr pri zložitejších sústavách..7 STREDNÉ HODNOTY FYZIKÁLNYCH VELIÍN Pozaie stavu sústavy umožuje predpoveda pravdepodobosti výsledov meraia fyziálych velií. Úplá predpove výsledov meraia uritej fyziálej veliiy K v stave obsahuje: súbor hodôt {K }, toré môžu by výsledom meraia veliiy K, súbor pravdepodobostí {P }, de P je pravdepodobos amera v stave hodotu K. Pretože meraie vo všeobecosti meí stav sústavy, musíme uvedeú predpove verifiova meraím veliiy K bu a viacerých sústavách, toré sú všety pred meraím v stave, alebo musíme jediú študovaú sústavu pred aždým meraím uvies do stavu. asto sa ale stáva, že epotrebujeme úplú iformáciu o výsledoch meraia daej veliiy a staí ám poza jej stredú hodotu, prípade i stredú vadraticú odchýlu. V tomto láu sa budeie zaobera tým, ao taéto veliiy môžeme vypoíta pri daom stave a fyziálej veliie K. Najprv si pripomeieme ieoo pojmov zámych z teórie pravdepodobostí a štatistiy. Predpoladajme, že veliia K môže adobúda hodoty K i, i l,...,, a v stave ich adobúda s pravdepodobosami p i. Stredú hodotu veliiy K, ozaeú symbolom K, potom defiujeme vzahom K i 1 K i p i Stredá hodota veliiy v daom stave je prirodzee defiovaá ao stredá hodota výsledov meraí tejto veliiy a veom súbore ideticých sústav achádzajúcich sa v uvažovaom stave. (1) 84
Jedotlivé výsledy meraí budú viac alebo meej rozptýleé oolo stredej hodoty K. Užitoou mierou taéhoto rozptylu je stredá vadraticá odchýla defiovaá vzahom ( K ) ( K K ) () i 1 i p i A rozložíme výraz (K i K ) a využijeme defiíciu K, dostaeme vyjadreie užitoejšie pre praticé použitie de K je defiovaé ao ( K) K K () K i 1 K i p i (4) A pre súmaý stav veliia K môže adobúda iba jediú hodotu 9 K 1, potom K K 1 a ( K). Hovoríme tiež, že v tomto stave adobúda veliia K ostrú hodotu. Príladom a taúto situáciu sú stacioáre stavy, v torých má eergia ostrú hodotu. astejšie sa vša stretávame so situáciou, de ( K) >. Stredá vadraticá odchýla predstavuje mieru euritosti veliiy K v daom stave. V vatovej mechaie sa asto stretávame so situáciami, e súmaá veliia môže v daom stave adobúda hodoty spojito rozložeé a ejaom itervale. A túto veliiu ozaíme ao a zavedieme hustotu pravdepodobosti p(), potom jedoduchým zovšeobeceím vzahov (1) a () dostaeme p( ) d (5) ( ) ( ) p( ) d (6) Pritom p()d je pravdepodobos pre ájdeie hodoty z itervalu (, + d). Pre mohé apliácie postaí, a pozáme iba stredé hodoty a stredé vadraticé odchýly ietorých velií v uvažovaom stave a a zálade tejto iformácie si vieme vytvori dostatoú predstavu o súmaom stave. V asledujúcich láoch budeme preto systematicejšie študova výpoty stredých hodôt 9 Vtedy sa p 1 l a všety ostaté p i sú rové ule. 85
a stredých vadraticých odchýlo fyziálych velií v stavoch daých stavovými vlovými fuciami. Predtým ale uvedieme jedoduché prílady súvisiace s asticou viazaou a úseu. Predstavme si ajprv, že eletró viazaý a úseu, L je v záladom stave opísaom stavovou vlovou fuciou ψ 1 ( ) si L Jeho eergia je vtedy prese E 1, taže platí π L π E E1 ml ( E ) Hustota pravdepodobosti pre ájdeie eletróu v oolí bodu v itervale, L je π p( ) ψ 1( ) si L L a poda vzahov (5) a (6) itegrovaím per partes ájdeme odtia poda () L π L si d L L L π 1 1 si d L L L π π 6 ( ) L (8) 1π.8 STREDNÉ HODNOTY VELIÍN ZÁVISIACICH OD SÚRADNICE V tomto a v asledujúcom láu sa auíme vypoíta stredé hodoty velií v stave, torého asová závislos je opísaá vlovou fuciou (r, t). V lasicej mechaie jediej astice vo voajšom silovom poli môžeme aždú fyziálu veliiu vyjadri pomocou súradice r a hybosti p. Ao prílad uveme eergiu 1 E p + V ( r ) m 86
alebo momet hybosti L r p Najjedoduchší prílad predstavujú veliiy závislé iba od súradice; taou veliiou je aprílad poteciála eergia V(r), samotá poloha astice r, alebo jej druhá mocia r at. Výpoet stredých hodôt taýchto velií v vatovej mechaie ie je problémom, pretože už vieme, že (r, t) je hustotou pravdepodobosti pre ájdeie astice v oolí bodu r (v ase t). A máme lasicú veliiu F závislú od súradice astice vzahom F F(r), potom prirodzee predpoladáme, že v vatovom prípade stredú hodotu F vypoítame zo vzahu F( t) F( r ). ψ ( r, t) d r ψ ( r, t) F( r ) ψ ( r, t)d r (1) Vo všeobecosti bude stredá hodota F závislá od asu, vaa tomu, že (r, t) obsahuje asovú závislos. Špeciálym prípadom je samotý polohový vetor astice r. Stredá hodota polohy astice je daá vzahom ( t) ψ ( r, t) r ψ ( r, t)d r () r Fyziále je r (t) vatovomechaicým aalógom lasicej trajetórie astice a uruje asovú závislos polohy stredu vlového balía..9 VELIINY ZÁVISLÉ OD HYBNOSTI Zadaie stavovej vlovej fucie úple uruje stav sústavy a preto vlová fucia musí obsahova i iformáciu o hybosti astice a o veliiách závislých od hybosti. Pravda, zaódovaie tejto iformácie do vlovej fucie ie je taé jedoduché ao v prípade velií závislých iba od súradice. A máme (v ormalizácii a oeý objem poda láu.) asticu v uritom ase v stave opísaom stavovou vlovou fuciou (.5) 1 ip.r/ ( r p ) e V (1) torá odpovedá de Broglieho vle s hybosou p, potom je zrejmé, že pri meraí hybosti v tomto stave ameriame urite hybos p. Predstavme si teraz, že máme asticu v stave (r) c 1 p1 (r) + c p (r) () 87
de pri spleí ormovacej podmiey ψ ( r ) ψ ( r )dv V vaa ortogoálosti a ormovaosti (pozri láo.) fucií p1, p platí c 1 + c l () Pýtame sa teraz a to, aé hodoty hybosti môžeme amera v stave (), a urobíme eperimet, v torom meriame hybos. Ituitíve sa zdá, že v stave (), torý je superpozíciou de Broglieho v s hybosami p 1, p môžeme amera iba tieto hodoty hybosti. Teto ázor je potvrdeý aj disusiou procesu meraia v láu 1.14. Poda tejto disusie je tiež zrejmé, že musíme predpolada, že pravdepodobosti P 1 a P amera hodoty p 1, resp. p sú daé vzahom P 1 c 1, P c (4) priom vaa platosti vzahu () je spleá dôležitá vlastos pravdepodobostí P 1 + P 1 (5) Celá schéma vatovej mechaiy uazuje, že predpolad (4) je správy a jeho zovšeobeceie (streteme sa s ím esôr) patrí záladým postulátom vatovej mechaiy. Teraz je už zrejmé, omu povedie meraie hybosti v stave, torý je všeobecou superpozíciou roviých v ψ ( r ) c p p ( r ) (6) p de situjeme iba cez hodoty p povoleé podmieou (.6). Vaa ortoormovaosti systému p ormovaos (r) zase žiada c p 1 (7) p Zovšeobeceím (4) prídeme tomu, že v stave (6) ameriame jedotlivé hodoty hybosti s pravdepodobosami P p c p (8) Stredú hodotu hybosti potom poítame štadardým postupom p p p p p p P p c (9) 88
Vaa tomu, že rovié vly (1) tvoria úplý systém, možo ubovoú fuciu písa v tvare superpozície (6) a teda pre ubovoý stav sústavy môžeme taýmto postupom zísa úplú iformáciu o meraí hybosti. Pre výpoet v realisticej situácii by vša táto schéma bola trocha príliš zdhavá, pretože vlovú fuciu (r) emáme od zaiatu daú ao superpozíciu (6) de Broglieho v. V pricípe to ie je problém, lebo (poda láu.) môžeme oeficiety c p vypoíta poda vzahu p cp ( r ) ψ ( r ) dv (1) V Zdhavos procedúry je v tom, že pri výpote p musíme poda predchádzajúceho a) z daého (r) spoíta poda (1) oeficiety c p ; b) poda (8) uri pravdepodobosti P p ; c) poda (9) spoíta p. Našastie celá schéma sa dá podstate zjedoduši a p môžeme dosta rovo poda vzahu p ψ ( r ) ψ ( r )dv (11) V i Pome sa o tom presvedi. Do (11) dosadíme rozvoj fucie (r) zapísaý v (6) a máme { c { c } dv V } p p p i p Celý tri je v tom, že operátor (/i) vylúpe z aždej de Broglieho vly príslušú hybos, lebo, ao sa aho presvedíme i ( r ) ( r ) A toto dosadíme do (1) a prehodíme poradie súm a itegrálov, dostaeme p cpc p p dv (1) Ao sme už spomíali v láu. fucie p spajú podmieu p p, dv (14) de δ je Kroecerov symbol. Po dosadeí (14) do (1) z dvojej sumy vypadú všety ley s p a ostae ám a to je prese vzah (9). p c pc p p p p c p 89
Celom aalogicy možo prís i vzahom pre výpoet stredých hodôt vyšších mocí hybostí. itate sa aprílad aho presvedí o tom, že i p ( r ) ( p ) p ( r ) a teto výsledo spolu s postupom medzi rovicami (11) až (15) vedie rýchlo tomu, že ψ dv ( p ) cp i p ψ Pravá straa v tomto vzahu je ale práve rová ( p ). Tato máme ( p ) ψ ψ dv i V špeciálom prípade dostaeme ( p ) ψ ψ dv ψ ψ dv i (16) (16') Stredú vadraticú odchýlu -ovej ompoety hybosti potom môžeme spoíta poda vzahu ( p ) ( p ) p (17) Všimime si ešte, že poda predchádzajúceho láu sme pre stredú hodotu súradice mali vzah ψ ψ dv (18) Výrazy (11) a (18) majú už a prvý pohad rovaú štrutúru a podobú štrutúru majú i ostaté výrazy pre stredé hodoty, toré sme uvádzali vyššie. Sôr, ež urobíme zovšeobeceie tejto štrutúry a výpoet stredej hodoty ubovoej veliiy je vša potrebé zavies pojem operátora. Na záver tohto láu ešte splatíme dva dlhy itateovi. V láu. sme hovorili, že odpovede a fyziále dobre postaveé otázy ezávisia od veosti ormovacieho objemu V. Uveme teraz typicý prílad a to, ao objem V vypade z oeých výsledov. Nech (r) je stavová vlová fucia opisujúca stav sústavy v uritom ase t. Zaujímame sa o to, s aou pravdepodobosou ameriame hybos astice v itervale I, de I: p 1 p p 1 + 1 p p y p + (19) p p z p + 9
priom i sú podstate väšie ao vzdialeos medzi susedými stavmi hybosti, t. j. (poda.6) >> π L Toto je dobre postaveá otáza. Keby sme sa ale pýtali a to, s aou pravdepodobosou ameriame daú hodotu hybosti, mali by sme prílad a fyziále zle postaveú otázu (matematicy je otáza oretá). Dôvod je v tom, že pri veom ormovacom objeme V sú stavy povoleé podmieou (.6) ta tese pri sebe, že žiady detetor eodlíši dva susedé stavy. Pravdepodobos ájs stav s daou presou hodotou hybosti je poda (1) a (1) P p 1 ip. r/ cp e ψ ( r )dv V V tejto pravdepodobosti sa teda objaví fator l/v, torý závisí od veosti ormovacieho objemu. Pravdepodobos ájs asticu v itervale I daom rovicou (19) je rová sútu výrazov c p pre všety p z itervalu I. Poet stavov dovoleých podmieou (.6) je ale úmerý ormovaciemu objemu V; teto poet je totiž úmerý hustote povoleých stavov daej rovicou (.1). Z výrazu pre pravdepodobos ájdeia hybosti astice v istom itervale I teda ormalizaý objem vypade. Druhým dlhom je disusia o hybosti astice viazaej a úseu, torú sme v láu 1.1 urobili iba valitatíve. A sa astica achádza v stave, < π ψ ( ) si, L () L L, > potom pravdepodobos amera uritú hybos p je daá vzahom P(p) c(p) A/ 1 de c p e A/ A ip/ ψ ( )d de A je ormovací objem. Predpoladáme A >> L. Itegrál aho vypoítame a dostaeme c ( p) 1 [e LA p p de sme ozaili p π/l. il( p p )/ 1 1] [e p + p il( p+ p )/ 1] 91
Graf fucie c(p) pre 1 a 5 je a obr... Výpoet je pouý preto, 4 lebo uazuje, že hoci eergia astice je vatovaá, hybos vatovaá ie je. Le pre dostatoe veé hodoty sú v rozdeleí pravdepodobosti výrazé maimá v oolí bodov p ±p. Obr.. V disusii v láu 1.1 sme v sutoosti potrebovali iba euritos p. Pre stav () ju aho zrátame. Pre stredú hodotu p poda (11) a () máme a pre p dostaeme poda (16') p L π π si si d i L L L π π π p si si d L L Stredú vadraticú odchýlu potom ájdeme poda (17) ( p ) p p a pre euritos v hybosti defiovaú ao p ( p ) L π L L 4 Podrobejšiu disusiu možo ájs v príspevu A. Laciu, Pozáma aalógii stacioárí vatový stav stojatá vla a stru, v materiáloch oferecie Pedagogico-fyziálí problematia vatové fyziy, Luhaovice, 1. 14. 5. 1981, red. M. erohorsý, Bro 1981. 9
máme π p L a toto spolu so vzahom (7.8) vedie presejšiemu odhadu súiu euritostí p. pre asticu viazaú a úseu v záladom stave..1 OPERÁTORY V tomto láu zavedieme pojem operátora, torý hrá cetrálu úlohu vo formalizme vatovej mechaiy. Defiícia: Nech D 1 a D sú dve možiy fucií. Predpis, torým aždej fucii z možiy D 1 priraujeme fuciu z možiy D, azývame operátorom. Prílad 1. Nech D je možia fucií defiovaých a itervale (, 1). Defiujme operátor ásobeia oštatou c ta, že aždej fucii priradíme jej c-ásobo: f() cf(). Prílad. Nech D je možia fucií, toré sú defiovaé a (, 1) a majú v aždom bode tohto itervalu prvú deriváciu. Potom môžeme zavies operátor, torý aždej fucii f() D priradí jej deriváciu df ( ) f ( ) d Operátory spravidla budeme ozaova grotesovými písmeami, iže A, B, a, a pod. A A je operátor defiovaý a možie fucií D, a a f D, ta symbol Af ozauje fuciu, torú operátor A prirauje fucii f. asto používaý symbol Af() zameá hodotu fucie Af v bode, a ie pôsobeie operátora A a íslo f(). alej bude obor defiície operátora zvyaje zrejmý z otetu. Vtedy ho spravidla ebudeme eplicite uvádza. V vatovej mechaie sa ajastejšie stretávaie s lieárymi operátormi. Defiícia: Operátor A, defiovaý a možie fucií D, azývame lieárym, a pre ubovoé dve fucie f 1, f D a pre ubovoé dve ompleé ísla a 1, a platí: A(a 1 f 1 + a f ) a 1 Af 1 + a Af Obidva operátory uvedeé v predchádzajúcich príladoch boli lieárymi operátormi. Súi dvoch operátorov je defiovaý asledove. Nech fucia f 1 patrí do oboru defiície operátora A a ech fucia f Af 1 patrí do oboru 9
defiície operátora B. Operátor C BA je potom zobrazeie f 1 f Cf 1, de Cf 1 B(Af 1 ). Celom aalogicy defiujeme mociu operátora..11 PRIRADENIE OPERÁTOROV FYZIKÁLNYM VELIINÁM Výrazy pre stredé hodoty súradice (8.), hybosti (9.11) a pre alšie veliiy, toré sme už vyššie spomíali, sú oštruovaé poda formále podobého predpisu. Vo všetých prípadoch mal výraz pre stredú hodotu Ā veliiy A v stave (r) tvar A ψ ( r ) Aψ ( r ) d r (1) de A bol uritý operátor súvisiaci s veliiou A. Pozrime sa a túto schému podrobejšie. Súradici priradíme operátor, torý zavádzame ao jedoduché ásobeie súradicou. A f() je fucia súradice, potom platí: Zlože hybosti p priradíme operátor f() f() () f p p f () i i Mociám hybosti p, p y, p z priradíme mociy operátorov f ( p ) f f i i a pod. Podobe mociám priradíme operátory ásobeia príslušou mociou, aprílad f() f() Vzahy pre stredé hodoty zložie hybosti a pre súradice (v uritom stave) potom píšeme v tvare p ψ ( r) p ψ ( r)d r ψ ( r) ψ ( r)d r Vidíme, že výrazy majú štrutúru typu (1) a môžeme oaáva, že (1) je všeobecý typ vzahu pre výpoet stredých hodôt fyziálych velií. Postup, torý sme použili v predchádzajúcich láoch by sme mohli rozšíri aj a veliiy ao p y a pod. a tiež by sme prišli vzahu typu (1). Ao všeobece (4) 94
platé tvrdeie by sme teto spôsob výpotu stredej hodoty museli postulova, priom postulát by mal zhruba asledujúci tvar: V vatovej mechaie je aždej fyziálej veliie A priradeý istý operátor A ta, že v stave je stredá hodota Ā daá vzahom (1). Teto postulát je povahy sôr matematicej ao fyziálej a ehovorí ám i o tom, o si v vatovej mechaie máme (alebo môžeme) pod fyziálou veliiou predstavova. Pozrime sa preto a teto problém podrobejšie a zaime tým, ao situácia vyzerá v lasicej fyzie. Stav astice je v lasicej fyzie daý jej polohovým vetorom r a hybosou p. Mechaicé veliiy sú fuciami r a p, a preto zadaie stavu tu uruje aj hodoty všetých fyziálych velií. A v istom stave meriame povedzme hybos dostaeme vždy te istý výsledo a e meriame (stále v daom stave) súradicu, vždy dostaeme tú istú hodotu r (daú zadaím lasicého stavu). V vatovej mechaie je situácia podstate odlišá. Zadaím stavu, t. j. zadaím vlovej fucie urujeme le možosti výsledov rôzych meraí. A sa aprílad rozhodeme, že budeme mera, povedzme, hybos v daom stave, potom to zameá, že postupe pripravíme vea sústav priom aždá je v stave a u aždej z ich meriame hybos. Ao výsledo dostaeme rad ísel výsledov meraia hybosti. p 1, p, p,, p, (5) A sa rozhodeme pre meraie súradice, postavíme celom iý eperimet, v torom ao výsledy meraia dostaeme rad ameraých hodôt súradice, t. j. ieo ao 1,,,, (6) Stredá hodota hybosti p je stredou hodotou ísel v postuposti (5) a stredá hodota súradice je stredou hodotou ísel v rade (6). Vidie tato, že a p, a tým aj operátory a p vystupujúce v (4) odpovedajú iým fyziálym situáciám. Operátor odpovedá eperimetu, v torom meriame súradicu a p eperimetu a meraie hybosti. Operátory priradeé fyziálym veliiám ie sú teda spojeé so stavom sústavy, ale s procesom, v torom daú fyziálu veliiu meriame. A si chceme urobi istú predstavu o fyziálej veliie v vatovej mechaie, môžeme si predstavi istý prístroj, torým túto veliiu meriame. Na prvý pohad by sa mohlo zda divé, že fyziála veliia ta tese súvisí s meracím prístrojom a mohlo by sa tiež zda, že sa týmto do iterpretácie váša subjetívy elemet. Ale ie je to pravda. Výsledy pre, ( ) a pod. ezávisia od toho, i súradicu meriame sereím a fotograficej plati, Geigerovým-Müllerovým poítaom, mirosopom, drôtovou omorou alebo iým spôsobom. Meraiu súradice všetými týmito spôsobmi je priradeý te istý operátor. Možo teda poveda, že teto 95
operátor je priradeý iteracii atomáreho objetu so všetými marosopicými prístrojmi, toré vedú loalizácii astice. 41 Podobe operátor priradeý istej veliie F je priradeý všetým iteraciám atomáreho objetu s marosopicým objetom, toré vedú uritej hodote veliiy F. Zdôrazime ešte raz, že tu je podstatý rozdiel medzi vatovou a lasicou fyziou, v torej sú fyziále veliiy jedozae daé stavom a to bez ohadu a aéove iteracie sústavy s iými objetmi. Správos výberu operátora priradeého istej veliie je závažou otázou a eeistuje a u uiverzály ávod. V oeom dôsledu teto operátor treba uhádu. V ietorých prípadoch je vša toto hádaie vemi jedoduché. A aprílad hadáme operátor priradeý veliie, torá má lasicý aalóg, potom poda pricípu orešpodecie oaávame, že vyjadreie tohto operátora pomocou operátorov súradice a hybostí bude rovaé ao vyjadreie príslušej lasicej veliiy pomocou súradice a hybosti platé v lasicej mechaie. V asledujúcom láu si uážeme prílady taéhoto postupu. Doteraz sme ehovorili o tom, ao môžeme pri daej fyziálej veliie K a daej sústave ájs hodoty K i, toré môžeme pri meraí K ájs. S touto otázou sa budeme zaobera podrobejšie v láu.14. Zdôrazime ale už a tomto mieste, že súbor K i ezávisí od stavu sústavy, ale je ureý samotou veliiou K a sústavou, a torej K meriame..1 OPERÁTORY ENERGIE A MOMENTU HYBNOSTI, PRINCÍP KOREŠPONDENCIE Operátor eergie (Hamiltoov operátor). V lasicej mechaie sa celová eergia (ozaujeme ju H) astice rová sútu ieticej a poteciálej eergie 1 H ( p + p y + pz ) + V ( r ) m de p je hybos, m hmotos a r polohový vetor astice. Operátor eergie H (Hamiltoov operátor alebo hamiltoiá) dostaeme ta, že p, p y, p z ahradíme príslušými operátormi 1 H ( p + p y + p z ) + V ( r ) + V ( r ) (1) m m 41 Absolúte stotožeie meracieho prístroja s operátorom ie je možé už i preto, že aždý operátor musí pôsobi a urité premeé a tieto premeé sa musia vysytova vo vlových fuciách priradeých stavom, o toré sa zaujímame. Preto je sá vhodejšie priraova operátor typu iteracie ao priamo meraciemu prístroju. Naprílad Sterov a Gerlachov prístroj (láo 1.8) meria spi eletróu, ale práve ta môže mera aj hodoty mageticých mometov iého pôvodu. 96
Operátor príslušý fucii V(r) sa reduuje podobe ao v roviciach (8.1) a (1.) a jedoduché ásobeie fuciou V(r). Operátor mometu hybosti. V lasicej mechaie je momet hybosti defiovaý vzahom L r p. Táto vetorová rovica predstavuje tri rovice L yp z zp y, L y zp p z, L z p y yp Operátor mometu hybosti dostaeme opä ahradeím súradíc a zložie hybosti operátormi. Dostaeme L yp z zp y i y z z y L y zp p z i z () z L z p y yp i y y Operátor druhej mociy mometu hybosti je defiovaý vzahom L L + L y + L z () Pomocou trochu zdhavých ale štadardých úprav (toré preechávame itateovi ao cvieie) možo operátory L, L y, L z a L vyjadri v sféricých súradiciach r, ϑ, ϕ zviazaých s, y, z vzahmi Koeé vzorce sú r si ϑ cos ϕ, y r si ϑ si ϕ, z r cos ϑ r ( + y + z ) 1/, ϑ arccos r z, ϕ arctg y L i siϕ + cotgϑ cosϕ ϑ ϕ L y i cosϕ + cotgϑ siϕ (5) ϑ ϕ L i ϕ 1 1 L siϑ + (6) siϑ ϑ ϑ si ϑ ϕ (4) 97
Podobým spôsobom možo ájs operátory príslušé alším veliiám, toré majú lasicý aalóg. Teto postup vša ie je vždy jedozaý. A sa vo vyjadreí lasicej veliiy vysytuje súi p alebo yp y a pod., potom evieme, i príslušý operátor bude p alebo p. Súi lasicých velií je totiž omutatívy p p, zatia o súi dvoch operátorov v vatovej mechaie vo všeobecosti omutatívy ie je. aho sa o tom presvedíme a prílade operátorov a p. Pôsobeím operátora p a ubovoú fuciu f() dostaeme f p f() i (7) zatia o pôsobeím operátora p a tú istú fuciu dostaeme fuciu p f() p ( f()) i ( f ) if f i (8) Pravé stray v roviciach (7) a (8) sú rôze. Vidíme teda, že pôsobeie operátora p p a fuciu f dá výsledo f f (p p )f i if i if (9) Keže teto vzah platí pre ubovoú fuciu f (a dva operátory A, B sa rovajú, a pre ubovoé f platí Af Bf), môžeme (9) zapísa ao operátorovú rovos p p i (1) Operátorové výrazy tohto typu sú atoo dôležité, že je pre e zavedeé zvlášte ozaeie [A, B] AB BA (11) Operátor [A, B] azývame omutátorom operátorov A, B. Vráme sa teraz problému priradeia správeho operátora lasicému súiu p. Pretože operátory, p, eomutujú, je rozdiel, i lasicý výraz p ahradíme operátorom p, alebo p, alebo (p + p )/ at. Uiverzály predpis eeistuje, ale ajastejšie vedie cieu posledá z troch spomíaých možostí. Táto ejedozaos ie je chybou vatovej mechaiy, uazuje le obmedzeie použiteosti pricípu orešpodecie. V istom zmysle sa toto obmedzeie vzahuje i a operátor mometu hybosti. V roviciach () sa síce eomutujúce operátory a pravých straách evysytujú, taže vyjadreia pre L, L y, L z v () dostaeme jedozae z pricípu orešpodecie. Problém je v tom, že apr. pre eletró predstavuje orbitály momet hybosti daý rovicami () iba as celového mometu hybosti. Aby sme dostali operátor celového mometu hybosti, musíme () ešte prida spiový momet hybosti a jeho vyjadreie emožo zísa z pricípu orešpodecie. 98
.1 HERMITOVSKÉ OPERÁTORY, VLASTNÉ FUNKCIE, VLASTNÉ HODNOTY Videli sme, že operátory budú ma jedu z hlavých úloh vo formalizme vatovej mechaiy. Uvedieme preto ieoo defiícií a viet matematicého charateru, toré budeme potrebova pri alšom budovaí formalizmu. Pritom si budeme všíma ajmä tzv. hermitovsé operátory, lebo práve tieto sú priradeé fyziálym veliiám. Lieáry operátor A defiovaý a možie fucií D azývame lieárym hermitovsým operátorom, a pre ubovoú fuciu () D platí [ ( ) ( )d] A ( ) A( ) d (la) Túto defiíciu možo pomocou výrazov pre stredé hodoty preformulova asledove: Operátor A je lieáry hermitovsý operátor, a všety jeho stredé hodoty sú reále ísla. Stredé hodoty fyziálych velií musia by v rozumej teórii reálymi íslami, a preto musíme požadova, aby aždý operátor priradeý reálej fyziálej veliie bol hermitovsým operátorom. Z defiície (la) vyplýva dôležitá vlastos hermitovsých operátorov. Nech 1 a sú dve ubovoé fucie z oboru defiície hermitovsého operátora A. Potom platí: ψ1 ψ d ( Aψ1) ψ d A (1b) Teto vzah dostaeme priamo z rovice (la), a za raz dosadíme ( 1 + ) a raz ( 1 + i ). Pre výrazy typu 1 A 1 d použijeme priamo rovicu (la) a vytvoríme vhodé lieáre ombiácie zísaých rovíc. Nech A je operátor defiovaý a možie fucií D. A operátor A + je defiovaý a tej istej možie fucií, a a pre všety 1, D platí: + ψ ) ψ ( 1 1 ψ A d ψ A d (1c) ta hovoríme, že A + je operátor hermitovsy združeý operátoru A. Operátor hermitovsy združeý s daým budeme ozaova rížiom, ta ao v (1c). Na zálade vzahu (1c) sa dá aho doáza, že (A + ) + A a že (AB) + B + A +. Z porovaia (1c) a (1b) vido, že operátor A je hermitovsý, a platí A A +. Na ilustráciu teraz uážeme, že operátor hybosti je hermitovsým operátorom a možie vlových balíov (r), toré dos rýchlo lesajú ule pre r. Pre zjedodušeie uvažujeme le operátor p a jedorozmerý vlový 99