PRIPREA ZA ZADACU_3 I SEINAR_3 I Gibnje mterijlne točke Riješeni zdtk: I.. Vektor položj mterijlne točke zdn je relcijom: r(t) = ( 6t 3 4t + 3t) i + (5t 3t + ) j Odredite: ) vrtu gibnj u x i y mjeru i b) vektor brzine u trenutku kd je kcelercij u x mjeru jednk kcelerciji u y mjeru. R: ) x(t)..nejednoliko gibnje duž prvc; y(t)..jednoliko ubrzno gibnje duž prvc kcelercijom 0 m/. r r r r v 0,5 = 3,5i + j, v 0,5 = 4m / b) t=0,5, ( ) ( ) U ovom dijelu zdtk rčun e iz zdnih uvjet neko određeno vrijeme (trenutk, t x ) u kojem e ztim određuje brzin, kcelercij (ukupn), udljenot tijel od ihodišt (d). Njčešće pri tom mormo nći opći izrz z brzinu v(t) i kcelerciju (t) iz zdnog izrz z vektor položj točke ovin o vremenu, r(t). Znmo d brzinu, v(t), dobijemo ko prvu derivciju put (položj) po vremenu, r(t), kcelerciju, (t), ko prvu derivciju brzine po vremenu, v(t). Z nš zdtk tržene derivcije u: v(t) = (8t -8t+3)i+(0t-3)j (t) = (36t-8)i+0 j trenutk, t x, tržimo iz uvjet: x = y, ili 36t-8=0 t = 0,5, p je tržen brzin u tom trenutku jednk: v(0,5) = (8 0,5-8 0,5+3) i + (0 0,5-3)j v(0,5) = 3,5i + j izno brzine, ko e trži: r v ( 0,5) = 4m /
Zdci rješenjim:. Vektor položj mterijlne točke dn je relcijom: r(t) = (3.5t -9t+4)i + (t +3t+)j. Odredite: ) gibnje tijel u x i y mjeru i b) vektor brzine i izno brzine mterijlne točke u trenutku kd je brzin u y mjeru dv put već od brzine u x mjeru. R: ) x-mjer-jednoliko ubrzno kcelercijom =7 m/ y-mjer-jednoliko ubrzno kcelercijom =4 m/ b) t =,, v(,) = 0,54i+7,j, izno: v(,)= 7,3 m/. Vektor položj mterijlne točke dn je relcijom: r(t) = (7t - t + 8)i + (6t - 9t + )j. Odredite: ) gibnje tijel u x i y mjeru i b) izrčunjte vektor i izno brzine i kcelercije u trenutku kd je brzin u x mjeru 5 put već od brzine u y mjeru. R: ) x-mjer-jednoliko ubrzno kcelercijom =4 m/ y-mjer-jednoliko ubrzno kcelercijom = m/ b) t = 0,5, v(0,5) = -5i-3j, izno: v(0,5)= 5,3 m/ 3. Vektori položj mterijlnih točk dni u relcijm: r (t) = (3t + 7t ) i + (t-9t )j i r (t)= t i+ (4t - 7t +3)j. Odredite: ) gibnj obiju točk u x i y mjeru, i b) udljenot točk i rzliku brzin (polutnu vrijednot rzlike) nkon ekunde (t= ). R: ) r (t): x-mjer-jednoliko ubrzno kcelercijom =4 m/ y-mjer-jednoliko uporeno kcelercijom =-8 m/ r (t): x-mjer-jednoliko ubrzno kcelercijom =4 m/ y-mjer-jednoliko uporeno kcelercijom =8 m/ b) z t =, d=3m 4. Vektori položj mterijlnih točk dni u relcijm: r (t) = (3t - 8t ) i + (t+6t )j i r (t)= (t 4) + (4t - 7t +3)j. Odredite: ) gibnj obiju točk u x i y mjeru, i b) udljenot točk i polutnu vrijednot rzlike kcelercij nkon ekunde (t= ). R: ) u vim komponentm gibnj u jednoliko ubrzn; odredite redom onovne uvjete gibnj (v 0, 0 u rznim mjerovim) r r r r r () () = Δ = 3i + 8 j b) r r d = () () = 8m Udljenot točk je ovin o vremenu; provjerite. r r r r r () () = Δ = 0i + 4 j r r m d = () () = 0,3 Rzlik kcelercije nije ovin o vremenu; provjerite.
5. Vektor položj mterijlne točke određen je relcijom: r(t) = (5t 3 5t + 6t)i + (5t 3t +)j. Odredite: ) gibnje mterijlne točke u x(t) i y(t) komponenti i b) vektor brzine i izno brzine u trenutku kd je kcelercij u x mjeru jednk nuli. R: ) uporedite otle zdtke r 6 r r b) t =, v = i + j, 3 3 9 3 v r m = 4, 3 6. Vektor položj mterijlne točke zdn je relcijom: r(t) = ( 5t 3 5t + 6t) i + (5t 3t + ) j. Odredite: ) vrtu gibnj u x i y mjeru i b) vektor i izno kcelercije u trenutku kd je brzin u x mjeru tri put već od brzine u y mjeru. (npomen: ko z vrijeme dobijete dv rješenj, odberite mnje) R: ) uporedite otle zdtke r r r r m b) () = 0i + 0 j, () =,4 7. Vektori položj mterijlnih točk dni u relcijm: r (t) = (3t + 7t ) i + (t-9t )j i r (t)= t i+ (4t - 7t +3)j. Odredite: ) gibnj obiju točk u x i y mjeru, i b) izno brzine prve točke u trenutku kd u brzine druge točke u x i y mjeru jednke. R: ) uporedite otle zdtke r 7 m b) v = 33, 7 4 8. Vektori položj mterijlnih točk dni u relcijm: r (t) = (4t + 7t ) i + (t-9t )j i r (t)= t i+ (4t - 7t +3)j. Odredite ) gibnj obiju točk u x i y mjeru, i b) izno brzine druge točke u trenutku kd u brzine prve točke u x i y mjeru jednke. R: ) u vim komponentm gibnj u jednoliko ubrzn; odredite redom onovne uvjete gibnj (v 0, 0 u rznim mjerovim) r m b) v = 5, 4 9. Vektor položj mterijlne točke dn je relcijom: r(t) = (3.5t 9t + 4)i + (t + 3t + )j. Odredite: ) gibnje tijel u x i y mjeru i b) u trenutku kd u brzine u x i y mjeru jednke, odredite izno brzine tijel i udljenot tijel od ihodišt. R: ) jednoliko ubrzn gibnj u ob mjer; zšto? r r m b) ( 4 ) = d = 40m, v( 4 ) = 6, 3
0. Zdni u vektori gibnj dviju mterijlnih točk: r (t) = (4t 3 +5t +)i + (6t -)j r (t) = (5t -)i + (3t-)j. Odredite: ) gibnje tijel u x i y mjeru i b) izno rzlike brzin zdnih točk u trenutku kd je kcelercij prve točke u x mjeru edm put već od kcelercije druge točke u x mjeru. m R: Δv r (,5) = 79, 7. Vektori položj mterijlnih točk dni u relcijm: r (t) = (3t +t ) i + (-t+5t )j i r (t)= (4t +6t)i+ (t - 0t +3)j. Odredite: ) početne brzine prve i druge točke u y mjeru, i b) izno brzine prve točke u trenutku kd je brzin druge točke u x mjeru, v x, 3 put već od brzine ite točke u y mjeru jednke. R: ) v 0y() = - m/, v 0y() = -0 m/ r b) t = 9, v (9) = 39i + 78j, v (9) 87, m / = 4
II Kinemtik mterijlne točke. Tijelo e gib jednoliko uporeno pri čemu u prvih 5 ekundi pređe 500m u lijedećih 5 ekundi pređe 40m. Izrčunjte kcelerciju tijel. R: = -0,4 m/ v 0 v = kont, < 0 (uporvnje). Autobu e gib iz kmion n rzmku d = 60m. Ob vozil imju jednku brzinu, v 0 = 54km/h. U trenutku kd utobu ubrz kcelercijom 0,8 m/, d bi preteko kmion, kmion ubrz kcelercijom 0,6 m/. Izrčunjte vrijeme u kojem će utobu dotići kmion. R: t = 4,5 v 0 v 0 x K (t) 0 x A (t) d vrijeme uret, x A (t)=d+ x K (t) 3. Tijelo je bčeno horizontlno viine 00 m početnom brzinom 30 m/. Kolik je brzin tijel i kut koji t brzin ztvr oi x (horizontlnom rvninom) nkon 3 ekunde gibnj? R: Ncrtjte hemu horizontlnog hic i pripdnih vektor brzin; iz heme mormo uočiti: ) brzin u nekom trenu, t, ovin je o kontntnoj početnoj brzini, v 0, u x-mjeru i brzini lobodnog pd -g t u y-mjeru, te polutni izno brzine izržvmo relcijom: 5
b) kut gt tg α = = α = 45 v 0 ( v + ( g t) ) v( t) = 4, 4 0 = 0 m 3. Vertiklni hitc: Skup zdtk iz Žute zbirke _ Zbirk zdtk iz fizike; B.ikuličić,. Vrićk i E. Vernić:.53. -.58,.6-.63...upute i rješenj u Zbirci; po potrebi_konzultcije 4. Horizontlni hitc: Skup zdtk iz Žute zbirke _ Zbirk zdtk iz fizike; B.ikuličić,. Vrićk i E. Vernić:.64. -.69..upute i rješenj u Zbirci; po potrebi_konzultcije 4. Koi hitc: Skup zdtk iz Žute zbirke _ Zbirk zdtk iz fizike; B.ikuličić,. Vrićk i E. Vernić:.77. -.78..upute i rješenj u Zbirci; po potrebi_konzultcije 6
III Dinmik mterijlne točke. Automobil težine 0 4 N koči i zutvlj e nkon 5 ekundi, prevlivši pr tom 5 metr jednolikim uporenim gibnjem. Nđite: ) početnu brzinu utomobil, b) ilu kočenj. Rj: v 0 F v v uk = 0 G uk, t uk m v0 = 0, m =, i pripdn il kočenj je F v = m = 000N.. Vlk me 500 ton jednoliko e uporuje upotrebljvjući ilu kočenj, pri čemu e njegov brzin mnjuje od 40 km/h n 8 km/h u jednoj minuti. Izrčunjte ilu kočenj i izvršeni rd. Rj: Uput: zdtk e izrđuje n ličn nčin ko prethodni,. Akcelerciju ćemo nći iz izrz vremenke ovinoti brzine, iz nje i ilu kočenj: v = v + t m 4 = = 0,055 = 0,06 F N v =,77 0 8 Sd možemo korititi relciju z odno brzin n početku i krju nekog pređenog put z jednoliko ubrzno (ili uporeno) gibnje, koj ne predtvlj kinemtičku relciju jer ne prikzuje ovinot o vremenu: v = v +, iz koje izrčunmo put,, potrebn d bimo izrčunli izvršeni rd; = 567m Rd rčunmo iz relcije r r r r W = F = F coα 7
Ako u il i put u itom mjeru, što znči d il djeluje u mjeru put, td je kut α jednk nuli i co α =, te koritimo već poznti izrz z rd: W = F, u kojem u izrzi z ilu, F, i put,, polutni iznoi. U nšem lučju il je jednk ili kočenj, F v, te je izrčunti jednk: W 7 =,57 0 J. Sng je jednk rdu izvršenom u jedinici vremen, što je prikzno relcijom: 7 W,56 0 P = = = 60kW t 60 U lučju d ne poznjemo vrijeme vršenj rd, možemo korititi relciju z ngu: W F P = = = F v t t gdje je v brzin. Budući d e brzin mijenj kod jednoliko ubrznog gibnj, uzimmo rednju vrijednot brzine, v, p je jedndžb z rednju ngu jednk: P = F v. J Nm kg m m 3 jern jedinic z ngu je kilovt (kw); kw = = = = kg m. 3. Vlk me 00 ton zutvlj e n tnici, pri čemu prvih 50 m pređe u 5 ekundi lijedećih 50 m u 7 ekundi. Končn brzin vlk je nul, kcelercije u nvedenim dijelovim put u rzličite. Izrčunjte: ) kcelercije u ob dijel put, b) početnu brzinu vlk, c) ile koje djeluju u vkom dijelu put gibnj vlk; F v,, I-vi dio i F v, IIdio i d) rednje nge u vkom dijelu put. v 0 v v uk = v = 0 I dio put 50 m 5 =? v 0 =? II dio put 50 m 7 =? v =? Uput: rješvnje počinjemo od II-gog dijel put, koriteći kinemtičke jedndžbe ovinoti put i brzine o vremenu; (t) i v(t) v ( t = v + t. ( t) = v t + t ) 8
Gornji izrz je item dviju jedndžbi dvije nepoznnice: v, početn brzin drugog intervl (i končn brzin prvog intervl), i, kcelercij drugog intervl, čij rješenj u: v = 00/7 m/ = 4,3 m/ = - 00/49 m/ = -, m/ N iti nčin rješvju e tržene veličine v 0 i iz I-vog dijel put, te i z njih dobivmo rješenj: = /7 m/ =,8 m/ v 0 = 40/7 m/ = 5,7m/. Kkve u ile u pojedinim dijelovim put? U prvom dijelu put il F v, je il ubrznj ( > 0) u drugom dijelu put F v, je il kočenj ( < 0): F v, = m = 3,6 0 5 N F v, = m = - 4, 0 5 N Srednje nge ubrznj i kočenj mogu u izrčunti iz jedndžbi: P = F v, v I dio i P = F v, v II dio gdje u rednje brzin u prvom i drugom dijelu jednke: v + v m v I dio = 0 0 = i v + 0 m v II dio = = 7, 5. Končne nge u: Rješenj, lijedom trženj zdtk u: ) = /7 m/ =,8 m/ = - 00/49 m/ = -, m/ b) v 0 = 40/7 m/ = 5,7m/. c) F v, = m = 3,6 0 5 N F v, = m = - 4, 0 5 N P = 3600 kw z ubrznje i P = 3003kW z kočenje. d) P = 3600 kw ng ubrznj P = 3003kW ng kočenj Grfički prikz vih kinemtičkih veličin u ob dijel put: 9
dijgrm putov: -vrijeme, t, u intervlu (0-5) = v0 t + t = 5,7 t + 0, 9 t = + v t + t = 50 + 4,3 t, 05 t -vrijeme, t, u intervlu (0-7), nkon prvog intervl dijgrm brzin: v (m/) 5 0 Δv I Δv II 5 5 0 5 t() Δt I Δt II dijgrm kcelercij: (m/ ) - 5 0 t() 3. Vlk me 500 ton jednoliko e uporv upotrebljvjući ilu kočenj, pri čemu e njegov brzin mnjuje od 43, km/h n 7 km/h u, minute. Izrčunjte ilu kočenj i izvršeni rd. 0
IV Reltivn vlg Riješeni primjeri: II.. U dvije protorije odvojene pregrdom, čiji volumeni e odnoe V :V =:3, je tempertur 0 C ( =9,4 g/m 3 ) i reltivn vlg 70 % u mnjoj i 50 % u većoj protoriji. Izrčunjte reltivnu vlžnot u protoriji kd e vrt između protorij otvore, tempertur e nizi n 7 0 C ( 7 =4,5 g/m 3 ). R: zdno: V = V V 3 V uk = V + V = =9,4 g/m 3 r =0,7 V r =0,5 V.. =4,5 g/m 3 V uk = 4V (otvoren vrt, čitvi volumen) r uk =? = 3V 4V koritimo onovne jedndžbe: - reltivn vlg, r r =, od 0- ili r = 00%, od 0-00% - količin vodene pre, A, u nekom volumenu, V: A = V. r V r V = r, A = V = r, A = V = 3 V Podrzumijev e d znmo znčenje veličin i u izrzu z reltivnu vlgu. D li znmo: - zšto je? - kkv je reltivn vlg z >?. r r uk =? uk V uk = uk uk, gdje je uk jednko: Auk A + A uk = = = Vuk 4V r V + r V = =, 4V V ( r + 3r ) = 4V Nkon uvrštvnj vrijednoti i dobivmo izrz z reltivnu vlgu u ukupnom protoru, V uk, u kojem je promijenjen (mnjen) tempertur i pripdn vrijednot, : uk ( r + 3r ) ruk = =, 4 Što nkon rčun dje vrijednot reltivne vlge: r uk =73,6%
II.. U kldištu ppir volumen 80m 3 noću je tempertur 8 0 C ( 8 = 5.4 g/m 3 ) i reltivn vlg je 60%. Ako e dnju tempertur poveć n 3 0 C ( 3 =8.7 g/m 3 ), očekujemo i promjenu reltivne vlge u kldištu. Koliko vlge mormo dnju dodti ili oduzeti iz kldišt ko želimo održti kontntnu reltivnu vlžnot? R: Δ = 7,98 g/m 3, ukupn promjen (dodtk) vodene pre iznoi 34,4 g. Uput: U ovkvim zdcim mormo hvtiti onovnu jedndžbu z reltivnu vlgu i njenu promjenu temperturom: r =, u ovom izrzu rel. vlg poprim vrijednoti (0-) r (%) = 00% u ovom izrzu rel. vlg poprim vrijednoti (0%-00%). U ob izrz reltivn vlg je izržen omjerom: polutne vlge,, koj predtvlj onu količinu vodene pre (izržene u grmim) koj e nlzi u m 3 protor, kod neke temperture i mkimlne polutne vlge,, koj predtvlj mkimlnu količinu vodene pre (izržene u grmim) koj e može ipriti u m 3 protor, kod neke temperture (li ite kod koje e promtr i polutn vlg, ). Vžno je ngliti: njveć vrijednot reltivne vlge je ili u potocim 00%, što određuje vrijednot polutne vlge. Z lučj kd je =, reltivn vlg je jednk ili u potocim 00%. Ako je polutn vlg >, td je reltivn vlg i dlje 00% (ili, ), višk vodene pre (polutne vlge) u odnou n vrijednot mkimlne polutne,, Δ=-, biv kondenzirn n tjenke protorije. Ndlje, ko je u nekoj protoriji zdn reltivn vlg, r =, td iz izrz uočvmo d će e t reltivn vlg mijenjti ko e mijenj tempertur u protoru, koj je proporcionln mkimlnom polutnom vlgom, (tblice, vježbe iz fizike). Ako e protorij hldi, mnjuje e, to znči i povećnje reltivne vlge, r, uz uvjet d ne mijenjmo količinu vodene pre u protoru,. Vrijedi i obrtn odno prilikom zgrijvnj protorije. Zgrijvnjem e povećv vrijednot veličine, što znči mnjenje reltivne vlge, r; dkko opet uz uvjet d ne mijenjmo količinu vodene pre u protoru,.
U nšem primjeru: V =80 m 3 =r =9,4g/m 3 =5,4 g/m 3,, r r =0,6 =8,7g/m 3 r = r Δ=?, ΔA=?,, r =r =7,g/m 3 trebmo dodti: Δ= - =7,98 g/m 3 čitvi protor: ΔA=Δ V =34 g vodene pre, što znči d je potrebno ipriti u protor oko, litre vode z održnje ite vrijednoti reltivne vlge. Zdci rješenjim:. Skldišni protor viine 3m i površine 70m, reltivne vlge 75% i temperture 7 o ( 7 =4.5g/m 3 ) odijeljen je pomičnom pregrdom u dv protor čiji volumeni e odnoe V :V = : 4. Iz mnjeg protor odvodimo vodenu pru u veći protor, pri čemu u mnjoj protoriji potižemo reltivnu vlžnot 45%. Izrčunjte končnu reltivnu vlgu u većem protoru. (tempertur je kontntn) R: r = 8,5%. U kldištu ppir volumen 0 m 3 je tempertur 0 C ( = 8.4 g/m 3 ) i reltivn vlg je 50%. Ako e noću tempertur mnji n 4 0 C ( 4 =.9 g/m 3 ), očekujemo i promjenu reltivne vlge u kldištu. Koliko vlge mormo noću odtrniti iz kldišt ko želimo održti kontntnu reltivnu vlžnot? R: ΔA = - 37,6 g H O pre 3. U kldištu ppir volumen 0 m 3 noću je tempertur 8 0 C ( 8 = 5.4 g/m 3 ) i reltivn vlg je 55%. Ako e dnju tempertur poveć n 9 0 C ( 9 =8.7 g/m 3 ), očekujemo i promjenu reltivne vlge u kldištu. Koliko vlge mormo dnju dodti ili oduzeti iz kldišt ko želimo održti kontntnu reltivnu vlžnot? R: ΔA = 536,5 g H O pre 3
4. Protorij dimenzij 5 6 3.5m 3 im reltivnu vlžnot 65% kod temperture 0 0 C. Ako u protoriju nepžnjom dodmo 40 g vodene pre i pri tom zgrijemo protoriju n 3 0 C, izrčunjte reltivnu vlgu u novontlim uvjetim. ( 0 = 7.3 g/m 3, 3 = 0.6 g/m 3 ) R: r = 74% 5. Protorij volumen 05 m 3 im reltivnu vlžnot 45% kod temperture 0 0 C. Ako u protoriju nepžnjom dodmo 500 grm vodene pre i pri tom zgrijemo protoriju n 3 0 C, izrčunjte reltivnu vlgu u novontlim uvjetim.( 0 = 7.3 g/m 3, 3 = 0.6 g/m 3 ) R: r = 60,9% 6. Protorij volumen 90 m 3 im reltivnu vlžnot 4% kod temperture 0 0 C. Ako u protoriju nepžnjom dodmo 400 grm vodene pre i pri tom zgrijemo protoriju n 3 0 C, izrčunjte reltivnu vlgu u novontlim uvjetim.( 0 = 7.3 g/m 3, 3 = 0.6 g/m 3 ) R: r = 56,8% 7. U kldišnom protoru ppir volumen 80 m 3 je reltivn vlžnot 60% kod temperture 0 C ( =8.3g/m 3 ). Noću e tempertur mnji n 5 0 C (-5 = 3.g/m 3 ). U protoriji mormo održti kontntnu reltivnu vlgu (protorij ne pojeduje uređj z ipunjenje tog uvjet), p izbcujemo 70 grm vodene pre iz čitve protorije u vrhu zdržvnj početne reltivne vlge. D li mo to potigli, ko je promjen od ±5% reltivne vlge dozvoljen? R: r = 6,9%, dozvoljeno 8. U kldišnom protoru ppir volumen 7 5 4 m 3 je reltivn vlžnot 40% kod temperture 0 C, ( =8.3g/m 3 ). Noću e tempertur mnji n 0 0 C, ( -0 =,g/m 3 ). U protoriji mormo održti kontntnu reltivnu vlgu (protorij ne pojeduje uređj z ipunjenje tog uvjet), p izbcujemo 900 grm vodene pre iz čitve protorije u vrhu zdržvnj početne reltivne vlge. D li mo to potigli, ko je promjen od ±3% reltivne vlge dozvoljen? R: r = 4,4%, dozvoljeno 4