ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία σχολ βιβλίου σελ 99 Α α ψευδής β g Α Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ 6 Α4 α Λάθος β Λάθος γ Σωστό δ Σωστό ε Σωστό Β 4 παραγωγίσιμη για κάθε με 4 8 '( ) ' 8 '( ) 8
Β 8 - + + - - + + - + συνεχής στο συνεχής στο '( ) άρα γν αύξουσα στο '( ) ( ) άρα γν φθίνουσα στο συνεχής στο Η έχει τ μέγιστο για =- το (-)=- παραγωγίσημη για κάθε με άρα δεν έχει σ καμπής Β ΚΑ '( ) άρα γν αύξουσα στο 8 4 ''( ) ' 4 για κάθε συνεχής ''( ) άρα κοίλη στο συνεχής ''( ) άρα κοίλη στο 4 lim ( ) lim γιατί: lim lim 4 Άρα η ευθεία = είναι ΚΑ της C - - κοίλη κοίλη
4 ( ) 4 lim lim lim 4 lim 4 4 lim ( ) lim lim Άρα η ευθεία y y είναι ΠΑ της C στο 4 ( ) 4 lim lim lim 4 lim 4 4 lim ( ) lim lim άρα η ευθεία με εξίσωση y= είναι ΠΑ της C στο B4
ΘΕΜΑ Γ Γ Η πλευρά τετραγώνου ισούται με ισούται με 8 Άρα το εμβαδόν του τετραγώνου 4 8 4 6 8 8 Επομένως το εμβαδόν του κύκλου ισούται με Η περιφέρεια κύκλου ισούται με 8 Άρα 8 64 6 ύ 8 Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδό 4 ισούται με 64 6 4 64 56 8 6 4 6 Γ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με 4 64 8 6 Άρα Κάνουμε τον πίνακα προσήμων: 4 Η 4 - + είναι συνεχής στο φθίνουσα στο 4 8 4 4 Η στο 4 είναι συνεχής στο 8 4 άρα 8 γνησίως στο γνησίως αύξουσα στο 8 4 Επομένως για η 4 άρα παρουσιάζει ελάχιστο Για αυτή την τιμή του η πλευρά τετραγώνου είναι 8 8 8 και η διάμετρος του κύκλου ισούται με 4 4 4 8 4 8 Τελικά η πλευρά τετραγώνου ισούται με την διάμετρο 4 κύκλου Γ Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση 5 έχει μοναδική λύση στο 8 Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της
6 6 lim 4 4 4 6 8 lim 4 4 4 8 Επομένως 5 άρα υπάρχει ένα 4 είναι μοναδικό αφού γνησίως φθίνουσα στο σημαίνει ότι εξίσωση 5 έχει μοναδική λύση στο τέτοιο ώστε 5 To 4 Ακόμα 5 που 8 ΘΕΜΑ Δ Δ Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων με e e Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων με e e e e e e e e Κάνουμε τον πίνακα προσήμων: - + κοίλη κυρτή η είναι κυρτή στο άρα η Η είναι κοίλη στο καμπής το δηλαδή το Δ Η είναι συνεχής στο και γνησίως φθίνουσα Άρα lim όμως e C έχει σημείο αφού lim lim e γιατί lim e και lim άρα με άρα τέτοιο ώστε μονότονη στο που σημαίνει ότι υπάρχει ένα που είναι μοναδικό αφού γνησίως Όμως για κάθε
Επίσης για κάθε στο Άρα η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το οποίο είναι και μοναδικό Η είναι συνεχής στο lim Όμως και γνησίως αύξουσα Άρα lim lim e lim e e όμως lim lim DLH e e άρα Επομένως με lim άρα που σημαίνει ότι υπάρχει ένα τέτοιο ώστε είναι μοναδικό αφού γνησίως μονότονη στο Όμως για κάθε Επίσης για κάθε που Τελικά η παρουσιάζει στο τοπικό ελάχιστο το οποίο είναι μοναδικό Δ Α τρόπος: Η είναι γνησίως φθίνουσα στο άρα lim lim e Έχουμε δείξουμε ότι g g e Θα e e Θεωρούμε e Έχουμε g e e Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο g Συνεπώς g g g Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο και για g g g e e Άρα που σημαίνει ότι η εξίσωση είναι αδύνατη Β τρόπος: Προφανής ρίζα της εξίσωσης είναι η e e α> άρα
όπου η είναι γνησίως φθίνουσα από Δ άρα αυτή η ρίζα θα είναι μοναδική που σημαίνει ότι δεν υπάρχει άλλη ρίζα στο άρα και στο Συνεπώς η εξίσωση είναι αδύνατη στο Δ4 Για α= η ( ) e R Βρίσκουμε την εφαπτομένη της C στο () '() () Άρα : y () '()( ) : y ( ) : y Η κυρτή στο από Δ συνεπώς η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο () οποίο ταυτίζονται δηλαδή ισχύει: ό ( ) ( ) η ισότητα ισχύει μόνο για = με εξαίρεση το σημείο επαφής στο ( ) Επίσης ( ) είναι συνεχείς στο Οι συναρτήσεις Άρα ( ) d d () Έστω
-d θέτουμε - =u =u + άρα d=udu για = τοτε u= για = τοτε u= οπότε (- ) u u u du 4 4u 4u du 5 u u 4 4 5 4 4 5 5 5 u du Άρα από () ( ) d 5 Επιμέλεια: Ομάδα μαθηματικών Φροντιστηρίου ΟιδαΝικώ