Λύσεις των θεμάτων /04/01 Προσομοίωση 1 Πανελαδικών Εξετάσεων 01 στα «Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής» Γ ΓΕ.Λ και ΕΠΑ.Λ. (Β Ομάδα) ΘΕΜΑ Α Α 1. Θεωρία, απόδειξη σελ.11 του σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, ορισμός σελ.87 του σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, ορισμοί σελ. 140 του σχολικού βιβλίου. Α 4. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 1. Για να είναι η f συνεχής στο σημείο 0 1 θα πρέπει να ισχύει: lim f ( ) f (1). Έχουμε: ( ) ( 1)( ) ( ) lim f ( ) lim lim lim f (1) 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 και άρα η f είναι συνεχής στο σημείο 0 =1. Τώρα για το κ έχουμε: Αφού η f είναι συνεχής στο σημείο 1 1θα ισχύει ότι: lim f ( ) f ( 1) Έχουμε: ( ) ( 1)( ) ( ) lim f ( ) lim lim lim f ( 1) 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 άρα κ=-1 Καραγιάννης Ιωάννης Σχ.Σύμβουλος Μαθηματικών 1 1 1 1 1
Β. ( 1)( 1)( ) Για 1 η f γράφεται f ( ) ( ). Η f είναι παραγωγίσιμη για ( 1)( 1) 1, 1 με f '( ) ( ), 1, 1. Έχουμε διαδοχικά: f '( ) 0 και Για η f '( ) 0 και άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ) Για 1 η f '( ) 0 και άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, 1) Για 1 η f '( ) 0 και άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (1, ) (Μπορούμε να κατασκευάσουμε και πίνακα μεταβολών για το μπρόσημο της f ). Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η f έχει ακρότατο (ελάχιστο) στο σημείο το f ( ). Άρα. f ( ), 1, 1. Η τελευταία σχέση ισχύει και για 0 1 αφού προφανώς f (1). Β. Έχουμε: f '( ) ( ), 1, 1 f ''( ) ( 8), 1, 1 Τώρα έχουμε: f ''( ) f '( ) f ( ) ( 8 6 ) 0, 1, 1 Β 4. Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο, f '( ) σημείο A(, f ( )), f ( ) 4 είναι της μορφής. Επειδή η εφαπτομένη πρέπει να διέρχεται από το Α έχουμε: εξίσωση της εφαπτομένης στο Α είναι: 6 4 6 και άρα η ζητούμενη Καραγιάννης Ιωάννης Σχ.Σύμβουλος Μαθηματικών
ΘΕΜΑ Γ Γ.1 7 P( A) A B Έχουμε ότι:. Αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα τότε και έτσι θα έχουμε: 4 P( A B) 0 P( B) 7 4 11 P( A B) P( A) P( B) P( A B) P( A B) 1 που είναι αδύνατο αφού0 P( A B) 1.Άρα τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. 7 Γ. Επειδή ισχύει ότι : A B A θα έχουμε P( A B) P( A) ή P( A B). Αρκεί να αποδείξουμε ότι: P( A B) 0, P( A) P( A B) 0, P( A B) 0, 4. Η τελευταία σχέση είναι αληθής αφού : A B B και άρα P( A B) P( B) 0, 4 Γ. Έχουμε P( A) P( A B) 0, 4 P( A B) 0,. Ζητούμε την πιθανότητα του ενδεχομένου ( A B) ( B A) με ( A B) ( B A) (ασυμβίβαστα Γιατί;). Άρα από τον απλό προσθετικό νόμο θα έχουμε: P( ) P( A B) P( B A) P( A B) P( B) P( A B) 0,4 0,4 0, 0,6 Για το ενδεχόμενο Δ έχουμε: P( ) P( A B)' 1 P( A B) 1 P( A) P( B) P( A B) 1 0,7 0, 4 0, 0,1 Γ 4. Έχουμε τις παρακάτω ισοδυναμίες: P( A B ) P( B A ) P( A B) 0,7 P( A ) P( B A) P( A B) P( A) P( A) P( A B) P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( A B) P( B). Η τελευταία σχέση είναι αληθής αφού A B B και άρα P( A B) P( B) Σχόλιο: Εδώ μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις πιθανότητες του α μέλους και να καταλήξουμε στην ανισότητα. Καραγιάννης Ιωάννης Σχ.Σύμβουλος Μαθηματικών
ΘΕΜΑ Δ Δ 1. Αφού η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Κ είναι // στον άξονα θα έχουμε ότι: g '( s) 0. Η g είναι παραγωγίσιμη στο R (πολυωνυμική) με g '( ) s( 0 s), και s 1 1 g '( s) 4s s( 0 s) 0 s( 18 s) 0 18s ( s 0 ) ή και άρα το 9 δείγμα δεν είναι ομοιογενές. Δ. Από το Δ 1 ερώτημα έχουμε ότι 9s και αφού η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το σημείο Λ, θα έχουμε διαδοχικά : 11 g( s) s 11 4s s 1 s 1 και άρα 9 Δ. ι) Αν θεωρήσουμε Υ την τυχαία μεταβλητή που προκύπτει από την πρόσθεση του αριθμού α>0 στις τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χ και i i, i 1,,... είναι οι νέες τιμες της Υ τότε, από a 9 a, 0 γνωστή εφαρμογή του σχολικού βιβλίου, θα έχουμε ότι: s s 1 και άρα θα έχουμε CV Καραγιάννης Ιωάννης Σχ.Σύμβουλος Μαθηματικών 4 s 1 1 a 1 9 a. Έτσι, η μικρότερη δυνατή τιμή του α είναι 1. ιι) Είναι g(). Αν θεωρήσουμε Z την τυχαία μεταβλητή που προκύπτει από τον πολαπλασιασμό των τιμών της τυχαίας μεταβλητής Υ με το δηλαδή zi i, i 1,,... v θα έχουμε (πάλι από την γνωστή εφαρμογή στη σελ.99 του σχολικού βιβλίου) και αφού, s 1ότι: z 0( a 1) s z s sz 1 1 Τότε ο CVz Η διαφορά CV CVz 1,11% είναι η % μεταβολή του συντελεστή z 90 μεταβολής σε σχέση με τον αρχικό συντελεστή μεταβολής του ερωτήματος Δ.
Δ 4. Αφού 9, s 1 ζητούμε την πιθανότητα η παρατήρηση που επιλέξαμε να ανήκει στο διάστημα ( s, s) (7,) ( s, ) (, s). Επειδή θεωρούμε ότι η κατανομή των παρατηρήσεων είναι περίπου κανονική το προηγούμενο διάστημα αντιστοιχεί στο %: 9 68 16 81,%.Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 0,81. Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ0 Ν. Δωδεκανήσου Καραγιάννης Ιωάννης Σχ.Σύμβουλος Μαθηματικών