Απαντήσεις στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Ημερομηνία: 9-04-07 ΘΕΜΑ Α. Σχολικό βιβλίο σελ.. Σχολικό βιβλίο σελ.. Σχολικό βιβλίο σελ. 4. i) Λ ii) Λ iii) Σ iv) Λ v) Σ ΘΕΜΑ Β B. i) Επειδή //. Άρα f '( 0 ) f ( ) f '( ) f '( 0) 0 0 0 Οπότε το σημείο επαφής είναι το Α(,f()).Η εξίσωση της εφαπτομένης δίνεται από τον τύπο: : y y ( ) y f ( ) f '( )( ) y ( ) y 4 o ii) Η ευθεία ε τέμνει τους άξονες στα σημεία Β(4,0) και Γ(0,4) και σχηματίζει ορθογώνιο τρίγωνο με τους και y y. Επίσης f ''( ) 0 άρα η f βρίσκεται κάτω από την ευθεία ε. Άρα ( ) f ( ) d 8 ( ) d 8 9 7 8.. Β. i. ( 4 )ln d ( )'ln d ( )ln ( ) d 0ln ( )ln ( ) d ii. 5 5 d d ( )( ) κάνουμε διάσπαση κλάσματος : 4 4 ( )( ) A( ) B( ) A A B B ( A B) A B Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
ΘΕΜΑ Γ Λύνουμε το σύστημα προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε A, B. Άρα το ολοκλήρωμα παίρνει την παρακάτω μορφή: 5 5 5 d d [ ln( ) ln( )] 4 ( )( ) 4 4 6 6 54 45 500 5 ln(5 ) ln(5 ) ln(4 ) ln(4 ) ln ln 6 ln 5 ln ln ln. 0 lim f ( ) lim( e ) e 0 0 lim f ( ) lim[ ln( )] 0 ln 0 0 lim f ( ) lim f ( ) f (0), άρα η f συνεχής συνεχής στο 0 0 0 0 Για την μονοτονία έχουμε: 0 e e e e f ( ) f ( ), άρα η f στο (,0] 0 () 0 ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) () Προσθέτω κατά μέλη τις () και () ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) f ( ) f ( ) άρα η f στο [0,+ ), οπότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0 0 με f (0). lim f ( ) lim ( e ) lim f ( ) lim [ ln( )] H f συνεχής και για το διάστημα (,0] ( lim f ( ), f (0)] (,] f ( ) f f Για το διάστημα [0, ) ( lim f ( ), f (0)] (,] f ( ), οπότε το Σ.Τ. της f είναι το (,]. 0 f ( ),f συνεχής άρα 0 τέτοιο ώστε f( ) 0 0 f ( ),f συνεχής άρα 0 τέτοιο ώστε f( ) 0 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
Β τρόπος: f ( ) 0, f () ln 0, f (0) e.bolzno Η f συνεχής στα [-,0], [0,] και f( ) f(0) 0 και f() f(0) 0 Υπάρχουν (, 0) και (0,) τέτοια ώστε f( ) 0 και f( ) 0, με 0 και 0. f ( ) f ( ) 0 ( )[ f ( ) ] ( )[ f ( ) ] 0( )( ) 0 Θέτω K( ) ( )[ f ( ) ] ( )[ f ( ) ] 0( )( ) K() [ f ( ) ] 0, γιατί f ( ) f ( ) 0 f (0) μέγιστο της f K() [ f( ) ] 0, γιατί f( ) f( ) 0 Η Κ συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών, Κ()Κ()<0 ώστε:.bolzno υπάρχει 0 (,) τέτοιο ( ) 0 ( )[ f ( ) ] ( )[ f ( ) ] 0( )( ) 0 f ( ) f ( ) ( )[ f ( ) ] ( )[ f ( ) ] 0( )( ) 0,( )( ) 0 0 0 0 0 Αφού 0 (, ) 4. Θεωρούμε τη h( ) f ( ) για τα, έχουμε h( ) f ( ) 0 για 0 h( ) f ( ) 0 για 0,γνωρίζοντας ότι, R άρα από Θεώρημα Bolzno υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα ρ στο (, ) τέτοια ώστε h( ) 0 f ( ) 0 f ( ) ΘΕΜΑ Δ. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει 0 (0, ) τέτοιο, ώστε f( 0 ) 0, τότε από την σχέση () έχουμε: 4 f ''( 0 )( f ( 0 )) 4 f ''( 0) 0 0. Άτοπο, άρα f '( ) 0 για κάθε (0, ) (4). Για κάθε (0, ) είναι : () 4 f ''( )( f ( )) 4 f ''( )( f ( )) f '( ) f '( ) (4) ( f( )) f f f f f 4 ''( ) '( ) ( ( )) '( ) [( '( )) ] ( '( )) (5) ( f( )) f c Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
Για = στην σχέση (5) έχουμε: ( f '()) c c c 0 ( f ()) 4 Άρα έχουμε : ( f '( )) 4( f ( )) ( f '( )) [ f ( ) f '( )] (6) ( f( )). Θεωρούμε την συνάρτηση g( ) f ( ) f '( ), (0, ) Από την σχέση (6) έχουμε : g ( ), για κάθε (0, ) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο (0, ),ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Από τις σχέσεις () και (4), έχουμε ότι g() 0 για κάθε (0, ). Άρα η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (0, ) και επειδή g() = f ()f () = / =>0 συμπεραίνουμε ότι g() > 0 για κάθε (0, ).Επομένως για κάθε (0, ) έχουμε: g( ) f ( ) f '( ) ( f ( )) ( )' f ( ) c Για = έχουμε: f () c c c 0 Άρα f ( ), (0, ) Η f είναι συνεχής στο (0, ) και από τη σχέση (4) έχουμε ότι f() 0 για κάθε (0, ), άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (0, ) και επειδή f()= > 0 συμπεραίνουμε ότι f()> 0 για κάθε 0 (0, ) Επομένως έχουμε: f ( ), (0, ) Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και το 0 0, ισχύει Άρα f ( ), [0, ) f (0) lim f ( ) lim 0 0 0 4. i) H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) με f () Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σημείο της Μ(α,f(α)), με α > 0 είναι: : y f ( ) f '( )( ) f ( ) και f '( ) : y ( ) : y 0 ii) Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη (ε) και τον άξονα είναι: Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 4
E ( AMB) f ( ) d ( AM )( BM ) d 0 0 d 0 0 0.. iii) Έστω ότι την τυχαία χρονική στιγμή t είναι: () t (τετμημένη του σημείου Μ) και M Ε = E( t ) (εμβαδόν του χωρίου Ω) Τη χρονική στιγμή to είναι: M t0 '( 0) ( ) 4 μονάδες και t μονάδες / sec Έχουμε ( t) ( ( t)) και ( t) ( ( t)) ( t) ( ( t)) ( t) Την χρονική στιγμή t 0 είναι: ( t0) ( ( t0)) ( t0) 4 τετραγωνικές μονάδες/sec Τις απαντήσεις επιμεληθήκαν οι καθηγητές: Ίμπος Χρήστος Καψαλιάρης Στέλιος Νίκου Δημήτρης Παπαθανασίου Νίκος Σιταρίδης Σπύρος Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 5