. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu lika oomedjenog krivuljama: y = 4 x i y = x x. Rješenje. Prvo pronademo presjek krivulja: 4 x = x x = (x + 1)(x ) = = x 1 = 1, x =. Stoga iz slike vidimo da je P = ((4 x ) (x x) dx =... = 9. 1 Zadatak.6 Odredite površinu lika oomedjenog krivuljom y = x x 6, osi apscisom i pravcima x = 3 i x =. Rješenje. Iz slike se vidi da je P = (x + x ) dx + 1 ( (x x 6)) dx + (x + x ) dx =... = 49 6. 3 1 U polarnim koordinatama krivulju zadajemo s r = f(ϕ), ϕ [α, β]. Tada je površina sektora jednaka β P = 1 (f(ϕ)) dϕ. α
78. INTEGRAL Zadatak.63 Izračunajte površinu omedenu prvim i drugm zavojem Arhimedove spirale: r = aϕ, gdje je a >. Rješenje. P = 1 4π (aϕ) dϕ 1 π (aϕ) dϕ =... = 8a π 3. π Zadatak.64 Odredite površinu Bernoullijeve lemniskate: (x + y ) = a (x y ). Rješenje. Koristeći formule za prijelaz iz pravokutnih koordinata u polarne, x = r cos ϕ y = r sin ϕ, dobijemo (x + y ) = (r cos ϕ + r sin ϕ) = r 4 a (x y ) = a r (cos ϕ sin ϕ) = a r cos ϕ, pa je jednadžba lemniskate u polarnim koordinatama r = a cos ϕ. cos ϕ, za ϕ [, π 4 ] [3π 4, 5π 4 ] [7π 4, π] Iz slike vidimo da je P = 4 1 π/4 a cos ϕ dϕ =... = a. U parametarskim koordinatama krivulju zadajemo s: x = x(t) y = y(t), t [t 1, t ]. Tada je površina omedena krivuljom t (x(t), y(t))
. INTEGRAL 79 i pravcima x = x(t 1 ) i x = x(t ) da na formulom: P = t y(t)ẋ(t) dt, t 1 gdje je = d dt (derivacija po t). Zadatak.65 Odredite parametarsku jednadžbu elipse i izračunajte joj površinu. x a + y b = 1 Rješenje. Iz slike vidimo da je x = a cos t y = b sin t, t [, π]. = x(t 1 ) = a cos t 1 = t 1 = π a = x(t ) = a cos t = t = pa je P = 4 y(t)ẋ(t) dt = 4 b sin t( a sin t) dt =... = abπ. π/ π/.7. Računanje duljine luka krivulje Ako je y = f(x), onda je duljina luka krivulje koja je dio grafa funkcije y = f(x) izmedu točaka (a, f(a)) i (b, f(b)), gdje je a < b jednaka l = b a 1 + f (x) dx. Zadatak.66 Odredite duljinu astroide gdje je a >. x /3 + y /3 = a /3,
8. INTEGRAL Rješenje. Implicitnim deriviranjem dobijemo pa je x /3 + y /3 = a /3 3 x 1/3 + 3 y 1/3 y = a l = 4 = 4a 1/3 = y = y1/3 x 1/3 a 1 + (y (x)) dx = 4 a dx dx =... = 6a. x1/3 1 + y/3 dx x/3 / d dx U polarnim koordinatama je duljina luka krivulje r = f(ϕ), ϕ [α, β] dana formulom tj. kraće l = β α l = f(ϕ) + f (ϕ) dϕ, β r + ṙ dϕ. α Zadatak.67 Odredite ukupnu duljinu kardioide r = a(1 + cos ϕ), gdje je a >. Rješenje. Sa slike vidimo da je π π l = r + (ṙ), dϕ = a (1 + cos ϕ) + a sin ϕ dϕ = 8a π sin ϕ dϕ = 8a.
. INTEGRAL 81 Duljina krivulje zadana parametarskim koordinatama x = x(t) y = y(t), t [t 1, t ] je dana s l = t (ẋ(t)) + (ẏ(t)) dt. t 1 Zadatak.68 Odredite duljinu jednog svoda cikloide x = a(t sin t), t [, π], gdje je a >. y = a(1 cos t) Rješenje. l = = a π π ẋ + ẏ dt = π a (1 cos t) + a sin t dt π (1 cos t dt = a sin t dt =... = 8a..7.3 Računanje volumena i oplošja rotacijskih tijela Ako dio krivulje y = f(x), x [a, b] rotira oko: x-osi, onda je volumen nastalog rotacijskog tijela dan formulom: b V x = π a f(x) dx y-osi, onda je volumen nastalog rotacijskog tijela dan formulom: b V y = π a xf(x) dx Zadatak.69 Odredite volumen kugle radijusa r >.
8. INTEGRAL Rješenje. Kuglu radijusa r dobijemo ako zarotiramo krivulju y = r x, x [, r] oko x-osi pa je volumen kugle r V x = π y dx = π r = π(r 3 r3 3 ) = 4 3 r3 π (r x ) dx = π r (r x ) dx = π(r x x3 3 ) r Zadatak.7 Odredite volumen torusa nastalog rotacijom kružnice oko y-osi. Rješenje. Iz slike se vidi da je V = V 1 V = π r = πr r (x R) + y = r (R + r y ) dy π r y dy =... = Rπ r π r (R r y ) dy Ako dio krivulje y = f(x), x [a, b] rotira oko x-osi, onda je površina nastale rotacijske plohe dana formulom: b V x = π f(x) 1 + (f (x)) dx. Zadatak.71 Nadite oplošje kugle radijusa r >. a Rješenje. Kuglu radijusa r dobijemo ako zarotiramo krivulju y = r x, x [, r] oko x-osi pa je oplošje kugle r S x = π r x 1 + x r x r dx = π r dx = 4r π
. INTEGRAL 83 Ako krivulja zadana u polarnim koordinatama r = f(ϕ), ϕ [α, β], rotira oko polarne osi, onda je volumen dobivenog tijela jednak V = π 3 β f(ϕ) 3 sin ϕ dϕ. α Zadatak.7 Izračunajte volumen tijela koji nastaje rotacijom krivulje r = a sin ϕ oko polarne osi. Rješenje. sin ϕ, za ϕ [, π ] [π, 3π ] V = V 1 = π 3 π/ (a sin ϕ) 3 sin ϕ dϕ = 3π 3 a3 π/ sin 4 ϕ cos 3 ϕ dϕ = 3π 3 a3 1 t 4 (1 t ) dt =... = 64π 15 a3 Ako krivulja zadana u polarnim koordinatama r = f(ϕ), ϕ [α, β], rotira oko polarne osi, onda je oplošje dobivenog rotacijskog tijela jednak β S = π α f(ϕ) sin ϕ f(ϕ) + (f (ϕ)) dϕ. Zadatak.73 Odredite površinu koja nastaje rotacijom kardioide oko polarne osi. r = a(1 + cos ϕ)
84. INTEGRAL Rješenje. π S = π = πa a(1 + cos ϕ) sin ϕ a (1 + cos ϕ) + a ( sin ϕ) dϕ π (1 + cos ϕ) 3/ sin ϕ dϕ =... = 3 5 a π Ako parametarski zadana krivulja x = x(t) y = y(t), t [t 1, t ] rotira oko x-osi, onda je volumen nastalog rotacijskog tijela dan formulom: V x = π t t 1 y(t) ẋ(t) dt y-osi, onda je volumen nastalog rotacijskog tijela dan formulom: V y = π t t 1 x(t) ẏ(t) dt Zadatak.74 Izračunajte volumen elipsoida nastalog rotacijom elipse x = a cos t oko x-osi. Rješenje. Iz slike vidimo da je y = b sin t a = x(t 1 ) = a cos t 1 a = x(t ) = a cos t = t 1 = π = t = π pa je V x = π π π (b sin t) ( a sin t) dt = ab π sin 3 t dt =... = 4 3 ab π. π π
. INTEGRAL 85 Napomena. Ako je a = b = r, onda je elipsoid zapravo kugla radijusa r pa je njen volumen jednak 4 3 r3 π. Ako parametarski zadana krivulja rotira oko x = x(t) y = y(t), t [t 1, t ] x-osi, onda je oplošje nastalog rotacijskog tijela dan formulom: S x = π t t 1 y(t) (ẋ(t)) + (ẏ(t)) dt y-osi, onda je oploqv sje nastalog rotacijskog tijela dan formulom: S y = π t t 1 x(t) (ẋ(t)) + (ẏ(t)) dt Zadatak.75 Izračunajte oplošje tijela koje nastaje rotacijom astoride x = a cos 3 t y = a sin 3, t [, π] t Rješenje. Sa slike se vidi da je S x = π π/ = 1a π π/ a sin 3 t (3a cos t( sin t)) + (3a sin t cos t) dt sin 4 t cos t dt = 1a π 1 s 4 ds = 1a ππ s 5 1 = 1a π 5
86. INTEGRAL Zadaci za vježbu.76 Odredite površinu lika omedenog parabolom y = x + 4x 3 i njenim tangentama povučenim u točkama A(, 3) i B(3, ). 9 4 ).77 Nadite površinu izmedu krivulja y = x i y 3 = x. 3 15 ).78 Nadite površinu izmedu krivulja.79 Izračunajte površinu omedenu ružom s 3 latice : y = 1 1 + x i y = x. π 1 3 ) r = a sin 3ϕ, gdje je a >. a π 4 ).8 Izračunajte površinu omedenu kardioidom: r = a(1 + cos ϕ), gdje je a >. 3a π ).81 Odredite površinu omedenu jednim lukom cikloide x = a(t sin t), t, gdje je a >. y = a(1 cos t) i osi apscisa. 3a π).8 Nadite duljinu luka krivulje y = ln cos x, za x [, a], gdje je a, π.
. INTEGRAL 87 1 ln 1+sin a 1 sin a ).83 Odredite duljinu prvog zavoja Arhimedove spirale r = aϕ, gdje je a >. aπ p 1 + 4π + a ln(π + p 1 + 4π )).84 Izračunajte duljinu prvog zavoja logaritamske spirale y = e ϕ, ϕ [, π]. (e π 1)).85 Odredite parametarsku jednadžbu astroide i izračunajte joj diljinu. x /3 + y /3 = a /3 8a).86 Izračunajte duljinu luka parabole y = x od točke (, ) do točke (, ). 1 ( 5 + ln ( + 5))).87 Odredite površinu omedenog krivuljama y = arcsin x i y = arccos x te osi apscisa.(uputa: integrirajte po varijabli y) 1).88 Odrete površinu lika koji se nalazi unutar kruňice r = 3 cos ϕ, ali izvan kardioide r = 1 + cos ϕ. π).89 Odrete površinu lika koji se nalazi unutar kruňice r = 3 cos ϕ i unutar kardioide r = 1 + cos ϕ. 5π 4 ).9 Odredite volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omedenog krivuljom y = sin x, x [, π] i x-osi oko y-osi. π )
88. INTEGRAL.91 Odredite volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omedenog krivuljom y = x 4 i pravcem y = 1 oko osi y. π 3 ).9 Odredite volumen rotacijskog paraboloida koji nastaje rotacijom lika omedenog krivuljom x = y i pravcem x = a, za a > oko x-osi. a π ).93 Odredite volumen tijela nastalog rotacijom kardioide oko polarne osi. r = a(1 + cos ϕ) 8 3 πa 3 ).94 Izračunajte površinu plohe koja nastaje rotacijom dijela krivulje y = x3 3 od x = do x = 1 oko osi y. π ( + ln (1 + )))