Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet ili norm vektor PQ ili r. Prvc n kojem lezi vektor je nosc vektor. Kolinerni vektori su oni, koji leze n prlelnim prvcim. Z njih vrijedi k b ili ko su suprotni vektori, td vrijedi k b. Vrijednost k je sklr. Sklr je ktegorij, broj, koji nem krkteristike vektor. Nul-vektor je vektor s duzinom 0 i kolinern je s svkim vektorom. Jedinicni vektor (ort) je vektor s intenzitetom 1. 0 0 1 Dv vektor su jednk ko imju jednku duzinu i smjer (orijentciju). Zbroj dv vektor je vektor: + b c. Zbroj se dobije ulncvnjem dv vektor. N krj prvog trnslcijom se dod pocetk drugog vektor. Rezultt je vektor koji im duzinu od pocetk prvog do krj drugog vektor. Oduzimnje vektor je dno izrzom: b + ( b) c. Oduzimnje se izvodi tko sto se n pocetk prvog vektor trnslcijom dod pocetk drugog vektor. Rezultt, vektor c, im duzinu od krj drugog do krj prvog vektor (vidi zdtk u nstvku) Kolinerni vektori su linerno zvisni. Linerno nezvisni vektori su oni vektori z koje vrijedi: λ + λ 0 1 1 3 Linerno nezvisni vektori cine bzu vektorskog prostor: V z rvninu i V z prostor. Bz vektorskog prostor dn je s tri uredjen jedinicn vektor i, j, k koji su linerno nezvisni. 3 Svki vektor se moze rstviti n komponente. Z prostor V im oblik: xi + y j + zk ( x, y, z) Sklrni umnozk vektor je sklr: b b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor i b. Z ϕ 0 ili b ( xi + y j + zk) ( bxi + by j + bzk) xbx + yby + zbz i i j j k k 1 i j j k k i 0 Vektorski umnozk dv vektor je vektor: b c koji je okomit n i b. Vektori b, i ccine desni sustv. c b b sin b, Vektori i mtrice 1

Vektorski umnozk jedinicnih vektor u desnom sustvu: ixi 0 jxj 0 kxk 0 ixj k jxk i kxi j jxi k kxj i ixk j i j k b b x y z S sinϕ b b b b x y z Apsolutn vrijednost vektorskog produkt dv vektor jednk je povrsini prlelogrm sto g ztvrju zdni vektori. Mjesoviti umnozk vektor ozncv se s bc,, ( b c) ( b) c b c b c V b c b b b sinϕ cosψ x y z x y z c c c x y z Apsolutn vrijednost mjesovitog umnosk vektor, jednk je volumenu prizme koju ztvrju vektori. 17. Osnovne opercije s vektorim 1. ock S je sjeciste dijgonl prlelogrm ABCD. Izrcunj vektorski zbroj SA + SB + SC + SD. Iz slike je vidljivo, d je SA SC i SB SD SA + SB + SC + SD 0 Vektrorski zbroj zdnih vektor jednk je nuli.. U prvilnom sesterokutu ABCDEF, poznti su vektori AB m i BC n. Izrzi vektore CD, DE, EF, FA, AC, AD i AE pomocu vektor m i n. Iz slike je vidljivo, d je: CD BS BA + AS m + n DE m EF n FA CD m n AC m + n AD n AE AD + AD m n Vektori i mtrice

3. Zdni su vektori prem slici. Izrcunj zbroj vektor AB + AC+ AD Vidljivo je, d je AB + AD AC dijgonl prvokutnik ABCD Prem tome je: AB + AD + AC AC + AC AC AC 4. Zdn su tri jedinicn vektor koji zdovoljvju uvjet + b+ c 0 Izrcunj zbroj b + b c + c Iz zdnog uvjet proizilzi, d zdni vektori cine jednkostrnicn trokut. Kut izmedju vektor je u tom slicju 10. Dlje slijedi: 1 b b cos10 1 1 cos10 cos( 90 + 30 ) sin 30 1 b c b c cos10 1 1 cos10 cos( 90 + 30 ) sin 30 1 c c cos10 1 1 cos10 cos( 90 + 30 ) sin 30 1 3 b + b c + c 3 Vektori i mtrice 3

5. Zdn je trokut ABC i teziste u tocki. Odredi zbroj vektor A + B+ C Ndopunimo li trokut AC u prlelogrm ACD mozemo postviti: A + B + C A + C + B D + B 0 D Vektori D i B su suprotni i njihov je zbroj nul. 6. Zdn si tri vektor koji cine trokut: BC, b CA i c AB. Izrcunj vektore tezisnic trokut AF, BD i CE Iz ABF immo: BF Iz AFC immo: AF b + c + b Iz BCD immo: BD + b c c c b c BD c c b b b CE b + c b CE b 7. Iz vrh C trokut povucen je tezisnic C n bzu trokut ABC u tocki. Izrzi vektor tezisnice C ko linernu kombinciju vektor strnic CA i CB. Iz ABC immo: () 1 C CA+ A ( ) C CB+ B zbrojimo ( 1) i C CA+ A + CB+ B iz slike vidimo: A B CA + CB CA CB C CA + CB C + Vektori i mtrice 4

8. Iz tocke C povucen su tri vektor b, i c. Krjevi vektor leze n prvcu p, s pripdjucim tockm A, B i. ock dijeli duzinu izmedju A i B u omjeru x: y, uz uvjet d je x+ y 1. Dokzi d je c x+ yb. 1 Iz zdtk 7. znmo, ko tock lezi n polovistu bze c ( + b). U ovom slucju je: c CB+ B b + x b x+ 1 x b x yb 9. Zdn je trpez ABCD. Dokzi d su vektori dijgonl AC i DB kolinerni s vektorom bze AB. Iz slike je vidljivo: AC AD+ DC AD+ λ AB DB AB AD AC + DB AD + λ AB + AB AD λ + 1 AB 10. Zdn je trpez ABCD. Dokzi d je sredisnjic trpez jednk polovici zbroj 1 prlelnih strnic S ( AB+ DC) Iz slike je vidljivo: AP + PQ + QB AB AP DP AB + DC DP + PQ + QC DC zbrojimo PQ AB + DC PQ S Vektori i mtrice 5

11. Zdni su vektori 3i + 4 j i b i j. Odredi intenzitet i smjer vektor, b, + b i. ( b ) 4 3 3 + + ϕ ϕ 3 5 Z 3i 4 j immo: 3 4 55 tn cos ϕ 53.13 1 Z b i j immo: b + 1 5 tnϕ cos ϕ b 5 ϕ 333.43 Z + b immo: 3i + 4 j + i j 5i + 3 j; + b 5 + 3 34 3 5 5 tnϕ cos ϕ ϕ 30.96 5 + b 34 Z b immo: i j 3i + 4 j i 5 j; b 1 + 5 6 5 5 1 tnϕ 5 cosϕ ϕ 58.69 1 b 6 1. Vektori u i v su kolinerni. Odredi broj x tko, d vektori ( x 1 ) u + v i b 3u + x+ 1 v budu kolinerni. Iz uvjet kolinernosti dobijemo: x 1 u + v + 3u + x+ 1 v 0 x u + v +v + u 0 x ( u + v) ( u + v) Uvrstimo u zdni izrz: 1 u + v 3u + v b 3u + + 1 v 3u v b Z x immo: 1 u + v u + v b 3u + + 1 v 3 u + v 3 b 3 Vektori i mtrice 6

13. Vektor rstvi n vektorske komponente okomite i prlelne vektoru b. Rstsvimo vektor n komponente x i y : x+ y x mb Iz uvjet okomitosti: y b 0 y x mb b b y b ( mb) b b m b 0 m odnosno: x mb b b b b b y mb b Sklr je projekcij vektor n vektor b. b b b b Vektor je vektorsk projekcij vektor n vektor b. b b 14. Vektori i b su nekolinerni. Odredi relni broj x tko, d vektori m ( x+ ) + b i n x+ ( x 1 ) b postnu kolinerni suprotnog smjer. Iz uvjet kolinernosti: m k n immo: x 1 i x odnosno; Z x 1: m 1+ + b + b n 1 + 1 1 b b klinerni i suprotni Z x : m + + b 4+ b n + 1 b 4 + b vektori su jednki 15. Vektor 4i + 3 j rstvi n vektore 1 prleln i okomit vektoru b 3 i + j. b 4 3 + 3 1 15 3 Iz rnijeg zdtk br.13 immo m b ( 3 + 1 ) 10 3 9 3 Sd je: 1 mb ( 3i + j ) i + j 9 3 1 3 1 ( 4i + 3j) i + j i + j Vektori i mtrice 7

16. Odredi vektor k tko, d z vektore i j i b 3i + j vrijedi: k 7 i b k 7. Ozncimo k mi + nj i upisimo sklrni umnozk dv vektor k ( i j)( mi + nj) : k ( i j )( mi + nj ) mi i + ni j m j i n j j m n 7 Vektori i mtrice 8 1 0 0 1 Z drugi dio zdtk immo: b k 3i + j mi + nj 3mi i + 3ni j + m j i + n j j 3m+ n 7 1 0 0 1 Rijesim te dvije jedndzbe s dvije nepoznnice: m n 7 3m+ n 7 m 3; n 1 rzeni vektor im oblik: k mi + nj 3 i j. 17. Izrcunj umnozk 3 ko je, 3 i, 10. 3 + 3 + 3 3 + 3 3 + 3b 3 ( b) ( + b) b ( b) ( b ) ( b ) b b bb b b 1 3b 3 bcos( 10 ) 3 3 9 ( 3 b + 9 ) ( b ) 3π 18. Odredi duzinu vektor k 3+ b ko je, b i (, b). 4 D bi odredili duzinu vektor k, mormo izrcunti njegovu psolutnu vrijednst: k 3 + b 3 + 3 b + b 9 + 1b + 4b 9 ( k) 3π b + 4 1b 1 b cos 1 4 4 36 4 + 8 0 k 0 5 + 1 19. Odredi kut izmedju dijgonl prlelogrm ABCD ko je AB 4i 3 j i AD b 6 i + j. Iz slike je vidljivo d je: AC + b 4i 3 j + 6i + j 10i j AC 10 + 104 BD b ( 6i + j ) ( 4i 3j) i + 4 j BD + 4 0 b Iz sklrnog umnosk dobijemo: b b cosϕ ϕ rcos b AC BD AC BD + AC BD 10 + 4 0 8 1 i i j j 1 1 3 ϕ r cos r cos r cos 74.74 104 0 16 130 130

0. Vektori 7 5 b i + 3 b, su medjusobno okomiti ko i 7 b i 4 b. Izrcunj kut izmedju vektor i b. Iz uvjet okomitosti: ( 7 5b)( + 3b) 7 5b 1b 15 b 0 i 7 b 4b 7 b 8b + 8 b 0 sredimo i zbrojimo 7 + 16b 15b 0 7 30b + 8 b 0 oduzmimo drugu od prve jedndzbe 1 1 1 46b 3 b 0 b b b b cosϕ b cosϕ ϕ 60 1. Vektori + kb i b medjusobno su okomiti. Izrcunj fktor k ko je kut izmedju vektor i b, ϕ 10 i b. Iz uvjet okomitosti: ( + kb)( b) 0 + ( k 1) b k b 0 nkon zmjene b i b b cos10 0.5 + ( k 1) b 4k 0 + ( k 1)( ) 4 k ( -5k) 0 k 5. Izrcunj + b i b ko je poznt kut izmedju vektor (, b) 60 i ko je 5, b 8. 1 + b +b + b + b cosϕ + b 5 + 5 8 +8 109 + b 109 b b + b b cs o ϕ + b 5 b 69 1 5 8 +8 69 Vektori i mtrice 9

3. Izrcunj ( 4 b)( + 3 b) ko je, b 3 i kut izmedju i b iznosi 10. ( 4 b)( + 3b) 8 +1b b + 3b 8 + 10b 3 3 3 10 bcosϕ 7 4 + 3 5 10 3 0.5 5 30 5 ( b)( b ) 4. Zdni su vektori AB 3i j i AC 7i + 4 j. Dokzi d trokut ABC koji cine vektori prvokutn. BC AC AB 7i + 4j 3i j 4i + 6j Iz uvjet okomitosti: AB BC 0 AB BC 3i j 4i + 6 j 1ii + 18ij 8ij 1 jj 1 1 0 1 0 0 1 Vektori su okomiti i trokut je prvokutn. π 5. Zdni su vektori m α+ 17 b i n 3 b uz, b 5 i (, b). 3 Izrcunj koeficijent α tko d vektori budu okomiti. Iz uvjet okomitosti: m n 0 ( α+ 17b) ( 3 b) 0 b α+ 17b 3 b 3α αb + 51b 17 b 3α + 51 α 17 5 π 1 b b cos 5 5 3 680 ( α+ 17b) ( 3 b) 1α + ( 5)( 51 α) 45 17α 680 0 α 40 17 Vektori i mtrice 10

6. Zdni su vektori i + 1 j k i b αi + j + k. Izrcunj koeficijent α tko d vektori budu okomiti. ( α ) Iz uvjet okomitosti: b 0 b + b + b 0 α + 1 1+ 1 0 i i j j k k α α ( α ) 3α 3 α 1 7. Vektor i + α j + βk okomit je n vektore b i j + k i c i + j + k. Izrcunj koeficijente α i β. Iz uvjet okomitosti: b 0 b i i+ jbj+ kbk 1 1+ + β 0 c 0 b + b + b 1 1 + 1+ β 0 i i j j k k 1 3 1 Rijesimo te dvije jedndzbe: 1 α + 0 α β 5 5 5 8. Izrcunj vektor c koji je okomit n vektor 3i + j k i vektor b 4i j + 3 k. i j k i j k Iz vektorskog umnosk immo: c xb 3 1 x y z b b b x y z 4 1 3 Determinntu rijesimo skrcenim postupkom: i j k i j k i j 3 1 3 1 3 1 3i1+ 4 j + k3 1 1k4 1 i 3j3 4 1 3 4 1 3 4 1 i 17 j 7k Sd mozemo ispitti okomitost prov vektor: c c i i + cjj + ckk 1 3 + 17 1+ 7 3 17 + 14 0 c b cb + c b + c b 14 + i i j j k k ( 17)( 1) + ( 7) 3 4 + 17 1 0 Vektori i mtrice 11

9. Izrcunj povrsinu prlelogrm odredjenog s vektorim 3i j + k i b i + j k. i j k i j k Iz vektorskog umnosk immo: c xb 3 1 x y z b b b x y z 1 1 Determinntu rijesimo skrcenim postupkom: i j k i j k i j 3 1 3 1 3 i 1+ j1 1 + k 1 i1 1 1 1 1 1 1 1 j i + j + k xb + + 3 3 5 3 5 1 35 Povrsin prlelogrm iznosi 35 kvdrtnih jedinic 30. Izrcunj kut izmedju dijgonl prelelogrm kojeg cine vektori i + j k i b i 3 j + k. Iz slike vidimo: AC d1 + b i + j k + i 3 j + k 3i j DB d b i + j k ( i 3j + k ) i + 4j k dxd 1 Kut medju dijgonlm iznosi: sin ϕ d d 1 i j k i j k i j dxd 3 0 3 0 3 4i + 1k + k + 6 j 4i + 6 j+ 14k 1 1 4 1 4 1 4 dxd 1 4 + 6 + 14 48 d1 3 + ( ) 13 d 1 + 4 + ( ) 1 dxd 1 48 48 48 sin ϕ ϕ rcsin 65.8 d d 13 1 73 73 1 Vektori i mtrice 1

31. Izrcunj povrsinu prelelogrm koji im z dijgonle vektore d1 m n i d 3m 4 n i ko su m i n jedinicni vektori pod kutem od ϕ 30. 1 dxd 1 P d1 d dxd m n x 3m 4n 3 mxm 4 mx 3 4 1 ( ) ( ) ( n ) + ( nxm ) + ( nxn ) 4 + 3 ( mxn) ( nxm) ( mxn) 0 1 1 1 1 dxd 1 1 1 dxd 1 ( mxn) nxm n msin 30 1 1 P d d 1 1 4 3. Izrcunj povrsinu prelelogrm koji im strnice m+ n i b m 3 n i ko je m 5 i n 3 i kut medju njim α 30. P xb b sinϕ xb ( m + n) x ( m 3n) ( mxm) 3( mxn) + ( nxm) 6( nxn) 3 ( mxn ) + nxm xb 3 nxm + nxm 5 nxm 0 0 0 1 nxm 1 75 P xb 5( nxm) 5 n m sin30 5 3 5 33. Izrcunj xb ko je poznto: 3i j + k i b i + 3 j k i j k 1 3 3-1 c xb 3 1 i j + k 3 1 1 3 3 1 c i ( 1)( 1) ( 3) j 3 ( 1) + k 3 3 ( 1) 5i + 7j + 11k Vektori i mtrice 13

34. Izrcunj povrsinu trokut s vrhovim u A,3,5, B(4,,-1), C(3,6,4). 1 Povrsin trokut jednk je P xb Strnice trokut rcunmo prem: AB ( 4 ) i + ( 3) j + ( 1 5) k i j 6k AC ( 3 ) i + ( 6 3) j+ ( 4 5) k i + 3j k i j k 1 1 1 1 6 6 1 P xb P 1 6 i j + k 3 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 1 i j + k P + + 19 4 7 19 4 7 46 35. Izrcunj volumen prlelopiped s strnicm 3i - j ; b j + k ; c i + 5 j + 4 k. Volumen prizme je jednk povrsini bze pomnozene s visinom: Ozncimo li visinu s vektorom, td je povrsin bze jednk vektorskom produktu vektor b i c. i j k i j k Volumen iznosi: V b c b b b b b b Zmijenimo: i j k i j k i j k i j k i j k 3 1 0 V b c b b b 0 1 0 0 i j k c c c c c c ci cj ck 1 5 4 P rvilo vrijedi i kd vektori zmijene mjest: b c b c c b Vektori i mtrice 14

36. Izrcunj jedndzbu plohe koj lezi n vrhovim rdij-vektor. Vrhovi rdij-vektor imju koordinte: A(3,1,-), B(-1,,4), C(,-1,-1). Vektori koji spjju vrhove zdnih rdij-vektor cine trokut koji lezi n trzenoj rvnini. Ozncimo vektor, strnicu R1R r - r1 ; b R1R3 r3 - r1 ; c R1R r- r1 Posto vektori leze n rvnini, vrijedi: RR RR RR 0 ( r- r ) ( r ) 1 1 1 1 3 ( r-r1) ( r-r1) ( r-r ) i j 1 k i j k ( r -r ) ( r -r ) ( r -r ) -r r -r 0 r -r r -r r -r 1 3 1 1 1 1 3 1 i 3 1 j 3 1 k x x y y z z 1 1 1 x x y y z z 1 1 1 x x y y z z 3 1 3 1 3 1 Odredimo rdij-vektore: r xi + yj + zk r1 3i + j k r i + j + 4k r3 i j + k r r x i + y j + z+ k ( - 1 ) ( 3) ( -1) ( r -r1) 4i + j + 6k ( r3 -r1) i j + 3k ( r-r1) ( r -r1) ( r3 -r1) {( x ) i ( y ) j ( z ) k} { i j k} { i j k} 3 + -1 + + 4 + + 6 + 3 0 i j k r-r r -r r -r x 3 i + y-1 j + z+ k 4 1 6 0 { } 1 1 3 1 1 3 ( r-r1) ( r -r1) ( r3 -r1) {( x 3) i + ( y-1) j + ( z+ ) k} { 15i + 6j + 9k} 0 {( x ) i ( y ) j ( z ) k} { i j k} ( x ) ( y ) ( z ) 3 + -1 + + 4 + + 6 15 3 + 6 1 + 9 + 0 5x+ y+ 3z 11 0 je trzen jedndzb rvnine. Drugi ncin rjesvnj je koristenje rnije spomenute jedndzbe u obliku determinnte: x x y y z z 1 1 1 x x y y 1 1 1 3 1 3 1 3 1 z x 3 y 1 z+ z 1 3 1 4+ 0 x x y y z z 3 1 1 1+ 15 x 3 + 6 y 1 + 9 z+ 0 Jedndzb rvnine: 5x+ y+ 3z 11 0 Vektori i mtrice 15

37. Vektori i + j k i b i 3 j + k cine dijgnle prlelogrm. Izrcunj kut medju dijgonlm. Prv dijgonl: d1 + b i + j k + i 3 j + k 3i j Drug dijgonl: d b i + j k ( i 3 j + k) i + 4j k i j k 3 0 d1 d 1 4 d d bsinϕ sin ϕ 1 dd 1 3 + 1 + 4 + 4i+6j+14k 4 + 6 + 14 48 1 48 sinϕ ϕ tn 43.6 13 1 73 73 73 38. Zdni su vektori: i + j ; b i 3 j + k i c 4 j 3 k. Izrcunj: ( b) c; ( b c) i zkljuci jesu li t dv produkt jednk. i j k b 1 1 0 i 1 0 j 1 0 + k 3 i j 5 k 3 1 i j k b c i j 5k 4j 3k 1 1 5 { } 0 4 3 i 3 + 0 j 3 0 + k 4 0 b c 3i + 3 j + 4 k i j k b c 3 1 i 9 4 j 6 0 + k 8 0 5i + 6j + 8 k 0 4 3 i j k b c i + j 5i + 6j + 8k 1 1 0 i 8 0 j 8 0 + k 6 5 { } ( 5 6 8 ( b c) 8i 8j + k Zkljucujemo d je : c b c ) Vektori i mtrice 16

39. Izrcunj jedinicni vektor p0 koji lezi n rvnini sto g cine vektori b i c okomit je n vektor. i j + k ; b i + j k; c i + j k rzeni vektor: p p i + p j + p k lezi n rvnini koju cine i b. Znci vrijedi: x y z px py pz px py pz b c p 0 b b b 0 1 1 0 x y z cx cy cz 1 1 p px ( 4+ 1) py ( + 1) + pz ( 1 ) 3px + py pz 0 Iz uvjet p slijedi: p 0 p + p + p p 1p + 1p 0 x x y y z z x y z 3 0 Rijesimo sistem jedndzbi : px + py pz p x 0 p y px 1py + 1pz 0 Jedinicni vektor: p0 p x + p y + p z 0 + p y + p y p y py p j + k p 0 0 40. Z zdne vektore: i j + k ; b 3 i + k; c j k izrcunj ( + b)( b + c) c Zdtk mozemo izrcunti n dv ncin: 0 p z 0 1. ( + b)( b + c) c ( + b) b c + c c + b b c b c + b b c x y z 1 1 1 ( + b)( b + c) c ( b c) bx by bz 3 0 1 3 0 c c c 0 1 1 0 1 0 0+ 3 0 1 6 4. Uvedimo vektor: u + b i j + k + i + j k 4i j + k v b + c i + j k + i + j k i + j Zmijenimo: ( ) ( ) 3 x y z ux uy uz 4 + b b + c c u v c u v c v v v 3 1 0 4 4 u v c 3 1 0 3 1 4+ 0+ 6 0 0 6 4 0 1 1 0 1 x y z c c c x y z 0 1 1 Vektori i mtrice 17

17.3 Opcenito o kvdrtnim mtricm Mtric je uredjen tblic relnih brojev. Sstoji se od element gdje je s i ozncen broj retk s j broj stupc. Kvdrtn mtric drugog red im dv red i dv stupc. 11 1 Mtric se ozncv n slijedeci ncin: A 1 - je cln u prvom redu i prvom stupcu - je cln u prvom redu i drugom stupcu 11 1 - je cln u drugom redu i prvom stupcu - je cln u drugom redu i drugom stupcu 1 x Mtric s smo jednim stupcem nziv se vektor mtric: V y z Dvije mtrice su jednke ond i smo ond ko su im odgovrjuci clnovi jednki: b b A B b b 11 1 11 1 1 1 ( ) A B b, b, b, b 11 11 1 1 1 1 rnsponirn mtric A, mtrice A, se dobije tko, d se u mtricu A upisu u redove clnovi stupc mtrice A. A A Mtric A oblik mxn postje A oblik ij ji Zbroj mtric: Dvije mtrice se zbrjju tko, d se zbroje odgovrjuci clnovi mtrice. 11 1 b11 b1 11 + b11 1 + b1 Rezultt se upisuje u mtricu istog red: 1 + b1 b 1 + b1 + b Umnozk broj i mtrice: Broj se mnozi mtricom tko, d se svki elemet mtrice pomnozi s 11 1 λ11 λ1 tim brojem. Rezultt je mtric istog red: λ λ λ 1 1 0 0 Nul-mtric je mtric koj im sve clnove jednke nuli. 0 0 0 Zbrjnje mtric istog red, svodi se n poznte zkone zbrjnj uz uvjet, d se rcunske opercije vrse s istim clnovim mtrice. Rezultt je uvijek mtric jednkog red: + + + ( ) ( A+B) + + ( + ) ( A+ B) A+ B ( + ) A A+ A A ( A) A B B A A B A B C A B C λ λ λ λ µ λ µ λµ λ µ ij nxm Mnozenje mtric: Mnozenjem dviju mtric A i B dobije se opet mtric, C. Mnozenje se vrsi n slijedeci ncin: Prvi cln rezultntne mtrice, c dobije se tko, d se clnovi prvog red mtrice A pomnoze 11 sklrno s prvim stupcem mtrice B. Drugi cln c se dobije sklrnim mnozenjem prvog red mtrice A s drugim stupcem mtrice B, itd. 1 Vektori i mtrice 18

b b ( 11 11 + 1 1 ) c ( 1 1 + 1 ) ( b + b ) c ( b + b ) c b b b b 11 1 11 1 11 1 1 b1 b c1 1 11 1 1 1 Mnozenje mtric nije komuttivno: AB nije jednko BA Regulrn ili invertibiln mtric je on mtric z koju vrijedi: AB BA I Ako nije invertibiln, mtric je singulrn Inverzn mtric se ozncv s A i zdovoljv uvjet: AB BA A A A A I -1-1 1 Inverzn mtric zdovoljv mtricnu jedndzbu -1-1 -1-1 -1-1 AX B A A ( AX) A B ( A A) X A B X A B b Inverzn mtric z kvdrtnu mtricu drugog red A rcun se ovko: c d 1. Izrcunmo determinntu deta i ko je A regulrn, tj. deta 0, postoji inverzn mtric A -1 1 d b. Inverzn mtric jednk je izrzu: A det A c Inverzn mtric z kvdrtnu mtricu treceg red A 11 1 13 1 3 31 3 33 rcun se ovko: 1. Izrcunmo determinntu deta i ko je A regulrn, tj. deta 0, postoji inverzn mtric A. Izrcunmo trnsponirnu mricu mtrice A tko sto izrcunmo pod-determinntu svkog 3 1 3 1 cln mtrice A: Pdet11 Pdet 3 1 Pdet13 33 31 33 31 3 1 13 11 13 11 1 Pdet 1 Pdet Pdet 3 3 33 31 33 31 3 1 13 11 13 11 1 Pdet31 Pdet3 Pdet33 3 1 3 1-1 -1 Pdet Pdet Pdet rnsponirn mtric im oblik: A Pdet Pdet Pdet 11 1 13 1 3 Pdet Pdet Pdet 31 3 33 3. Inverzn mtric jednk je izrzu: A 4. A se dobije tko d se elementi mtrice zmi dijgonlne osi. -1 1 A det A jene njest preslikvnjem oko glvne Vektori i mtrice 19

17.4 Rjesvnje kvdrtnih mtric 1. Npisi mtricu 3. red kojoj je opci cln dn izrzom i j + 1. 11 1 1+ 1 1 1 1 + 1 0 13 1 3+ 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 3 1 0 A 1 0 + + + 31 3 1 1 3 3 3 1 33 3 3 1 1 + + + 3 1 ij. Izrcunj 3. Izrcunj 1 1 1+ 3 + 1 1 3 1 + 1 0 0 1 ( 1) + 0 1 0+ 1 1 1 1 1 3 1 3 3 3 3 3 6 4 8 ( 6) 4 4 3 3 3 1 1 1 0 6 4 4. Izrcunj A+ B C z A 0 1 3, B 0 1 1, C 0 5 1 3 0 3 3 4 8 1+ 1 0 + 6 + 1 4 3 0 0 A B C + 0+ 0 0 1+ ( 1) ( 5) 3+ ( 1) 1 0 4 0 3+ ( 3) ( 3) 0+ 4 + 8 0 0 5. Izrcunj 3 3 1 0+ 4 0 1+ 6 1 0 0 1 3 4 6 7 8 + 1 0 0 1 0 8 3 3 1 13 1 0+ 0 0 ( 1) + 8 6. Izrcunj 5 6 1 5 1+ 6 3 5 + 6 4 3 34 7 8 3 4 7 1 + 8 3 7 + 8 4 31 46 1 0 3 1 1 7. Izrcunj 1 1 1 4 3 1 5 3 1 3+ + 0 1 1+ 1+ 0 5 1 1 + 4+ 0 3 1 3 7 1 3 + 1 + 1 1 + 1 + 1 1 + 1 4 + 3 1 10 11 3+ 3 + 1 1+ 3 1+ 1 5 1 + 3 4+ 1 3 10 6 17 Vektori i mtrice 0

5 6 3 1 0 0 3 B A I I 0 0 1 3 1 3 55 + 6 + 33 56 + 6 + 31 53 + 61 + 3 5 6 3 5 6 3 3 3 3 3 3 A A A 1 1 3 5+ + 1 3 6+ + 1 1 3+ 1+ 1 3 1 3 1 3 35 + 1 + 3 36 + 1 + 1 33 + 11 + 46 4 7 46 4 7 1 0 0 A A A 16 15.5 9.5 B 5A 3I 5 16 15.5 9.5 3 0 1 0 3 1.5 14 3 1.5 14 0 0 1 8. Izrcunj 5 3 ko je A 1 0 1 0 jedinicn mtric 7 10 135 5 46 3 1 5 4 3 0 5 7 3 0 7 10 135 93 95 5 16 3 0 5 15.5 3 1 5 9.5 3 0 80 73.5 47.5 80 4 5 3 3 0 5 1.5 3 0 5 14 3 1 115 107.5 67 15 115 67 1 3 9. Izrcunj trnsponirnu mtricu A z A 1 0 1 1 1 A 1 3 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 3 1 3 1 0 1 10. Izrcunj A+B ko je A 1, B 1 1 3 0 1 11 1 1 11 1 0 13 1 B B 1 0 1 1 1 1 3 3 13 1 3 3 3 1 1 8 1 A+ B 1 0 1 5 + 0 1 1 3 1 5 Vektori i mtrice 1

3 11. Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A 1 Determinnt deta: det A 3 1 4 3 1 0. Inverzn mtric postoji. Inverzn mtric A -1 1 d b 1 3 3 det A c 1 1 1 3 1 1. Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A 4 Determinnt deta: det A 3 4 1 1 14 0.Inverzn mtric postoji. Inverzn mtric A -1 1 1 d b 1 4 1 7 14 det A c 14 3 1 3 7 14 3 13. Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A 1 4-1 Determinnt deta: det A 4 3 1 8 + 3 11 0. Inverzn mtric postoji. Inverzn mtric A 4 3 1 d b 1 4 3 11 11 det A c 11 1 1 11 11 i 1 14. Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A i imgintn jedinic, -1 0 1+ i -1 Determinnt deta: det 1 0 1 0. A postoji. Inverzn mtric A A -1-1 A i + i i+ i i i+ i i + i 1 + i 1 1 d b 1 1+ i 1 i ( 1+ i) i+ i det A c i( 1 + i) 0 i i 0 i( 1+ i) ( i 1) 1 i 1 + i i+ 1 i 1 + i i i i i + 1 ( i 1)( i+ 1) 4 i 1 1 0 0 0 i( i+ 1) 1 + i 1 + i sin x cos x 15. Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A cos x sin x Determinnt deta: det A sin x sin x+ cos xcos x 1 0. Inverzn mtric postoji. sin cos sin cos -1 1 d b x x x x Vektori Inverzn i mtrice mtric A 1 det A c cos x sin x cos x sin x

sin cos sin cos -1 1 d b x x x x Inverzn mtric A 1 det A c cos x sin x cos x sin x 1 3 16. Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A 1 0 4 0 1 3 1 Izrcunjmo determinntu A: det A det 1 0 ( )( 1) + 8 10 0 4 4 0 Pod-determinnte mtrice izgledju ovko: Pdet 11 3 0 0 ( ) 0 0 3 33 0 1 3 Pdet 1 4 10 1 1 Pdet 1 0 0 4 0 13 { } 1 13 Pdet 1 3 0 1 Pdet 1 { ( ) ( ) } 31 33 4 1 0 31 3 4 0 1 3 3 33 0 11 13 31 33 11 1 Pdet 0 1 4 4 3 1 13 Pdet 1 3 0 31 11 13 Pdet 3 1 7 3 Pdet 33 11 1 1 3 3 4 8 4 1 { ( ) } 31 3 4 0 1 3 ( )( ) 3 0 3 { ( ) } 1 3 1 1 0 ( 1) 1 1 1 0 Mtric prije trnsponirnj im oblik: Pdet Pdet Pdet 0 10 0 11 1 13 A Pdet Pdet Pdet 8 4 1 3 Pdet Pdet Pdet 7 1 31 3 33 rnsponirjmo mtricu A: A 8 4 0 10 0 0 10 8 7 7 1 0 4 1 Vektori i mtrice 3

0 0 10 10 1 1 8 A 10 7 7 det A 10 10 10 0 4 1 4 1 0 10 10-1 Inverzn mtric A 8 1 17. 1 3 Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A 4 5 6 8 9 1 3 1 Izrcunjmo: det A 4 5 6 4 5 1 5 9+ 6 + 3 4 8 3 5 1 6 8 4 9 8 9 8 det A 15 0. Pod-determinnte mtrice izgledju ovko: Pdet 11 3 5 6 45 48 3 3 33 8 9 4 6 { } 31 33 9 1 3 Pdet 36 1 4 1 4 5 31 3 8 1 Pdet 3 10 13 3 { } 3 33 8 9 1 13 Pdet 18 4 6 1 Pdet 1 3 9 6 3 31 33 9 11 13 1 { } 31 3 8 11 1 Pdet 8 4 4 3 3 3 5 6 1 13 Pdet 1 15 3 31 1 3 { } 1 3 4 6 11 13 Pdet 6 1 6 3 1 4 5 1 11 1 Pdet 5 8 3 33 Vektori i mtrice 4

Mtric prije trnsponirnj im oblik: Pdet Pdet Pdet 3 4 11 1 13 A Pdet Pdet Pdet 6 3 4 1 3 Pdet Pdet Pdet 3 6 3 31 3 33 rnsponirjmo mtricu 3 4 3 6 3 4 4 3 6 3 6 3 4 3 A: 6 3 A -1 3 6 3 1 3 15 15 15 5 5 5 3 6 3 1 1 4 3 8 1 A 4 3 6 det A 15 15 15 15 5 5 5 4 3 4 3 4 1 10 15 15 15 15 5 4 8 1 18. Rijesi mtricnu jedndzbu AX B ko je A i B 3 7 3 Rjesiti jedndzbu znci: AX B X A B Odredimo nj prije A -1-1 7 4 7 4 1 1 d b 1 det A det 14 1 0 A 3 7 det A c 3 3 7 7 7 5 8 1 3 4 8 1-1 + + X A B 3 3 3 3 3 1 8+ 1 1+ 1 3 10 1 1 3-4 19. Rijesi mtricnu jedndzbu AXB C ko je A B i C 3 5 3 3-1 Prvi kork rjesenj se svodi n: 1 AXB C XB A C 1 1 1 1 1 d b 1 det A det 4 3 1 0 A 3 det A c 1 3 3 3 1-4 4 3 8 1 7 9 + 5 3 3 3-1 6+ 6 1 1 14 1 XB A C X 3 7 9 X X CD 5 3 1 14 D C 1 Vektori i mtrice 5

3-1 1 1 3 3 Inverzn mtric D : det D 9 10 1 0 D 5 3 1 5 3 5 3 1 3 + + X CD 7 9 7 3 9 5 7 9 3 4 13 1 14 3 14 5 1 14 3 34 18 5 3 1 3 1 3 + 13 31 + 10 31 + 11 9 3 4 1 1 0. Pomnozi: AB 1 + 13 1 + 10 1 + 11 7 3 3 0 1 1 0 1 + 0 3 1 1+ 0 0 1 1+ 0 1 1 1 Vektori i mtrice 6