POTPUNO RIJEŠENI 2000/2001. TEHNIČKE FAKULTETE PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNU PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA NA
|
|
|
- Λάχεσις Αγγελίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNU PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA NA TEHNIČKE FAKULTETE 000/00. Zdte riješili i grfiči obrdili * IANA i MLADEN SRAGA *
2 Tehniči-fulteti 000./00. Zdci su uzeti iz mtemtičo fizičog list. Zdte riješili: IANA SRAGA MLADEN SRAGA Grfič obrd: MLADEN SRAGA Mtemtiči slog: MLADEN SRAGA Tis z vlstite potrebe M.I.M.-Srg d.o.o. Svi ovi zdtci su sstvni dio nše zbire zdt pod rednim brojem 0. n postoji dvije vrijnte te zbire duž s ompletno riješeni svim zdtcim od 99.g. p do 005. I rć vrijnt s ompletno riješeni svim zdtcim od 000.g. p do 005. Cijen tih zbiri je o cijen ili st instrucij Štmpnu vrijntu zbiri možete nručiti milom ili telefonom Potpunu grnciju n ompletnu sriptu dje: centr z dopisnu poduu M.I.M.-SRAGA -dle sve što vm se čini nejsno rivo ili sumnjivo - zovite ili i tržite dodtne upute i objšnjenj... Ao vm treb još zdt jvite nm se mim-srg@zg.htnet.hr ili Sv prv n prodju ove sriptu potpuno riješenih zdt zdržv centr z dopisnu poduu M.I.M.-SRAGA isljučivo u oviru svog progrm podue i dopisne podue. M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
3 Tehniči-fulteti 000./ /00.g. M-. Izrz jedn je 6 ( ) ( ) ( ) ( + ) + + A. B. C. D. E Krtimo ocste + + ( + ) ( + ) zgrde ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + b ALGEBARSKI IZRAZI b g b gb g + b + b + b + b+ b b+ bg bb+ g b g b g b g b b b b+ b b bg bb g b bg b+ bg b b + b + b+ b + b b b+ b b b b + b+ b b bgb + bg b g g b g d i b+ bgd b+ b i g m + n p + + RST UW mf nf m n q m + n b RST m n c UW + b + b + c + b + c + b + c + bc p q b + c + m + n + c... M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
4 M- Tehniči-fulteti 000./00.. Td f ( ) iznosi :. Z vdrtnu funciju f + b + c poznto je d vrijedi f, f 0 i f A. B. C. D. f + b + c f f f + b+ c + b + c b+ c z f 0 f f + b+ c b + c c c z f f f + b+ c + b + c + b+ c E. Sd riješimo sustv b+ c + b+ c c b+ + + b :8 8 b +, b b b + f b c f b : b f () f () P je: M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
5 M-. Z oje relne brojeve je + Zbog orjen mor biti: + 0 reln broj? Tehniči-fulteti 000./00. A. [, 0 ], B. C. 0, D. E., I + 0 ( ++, ) II (, ) + + 0, 0 0, 0, ± ± + 6, ± 5, , [, ],, [ 0 ] 0, 0 [, 0 ], M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 5
6 ( ),, ( gh)? Tehniči-fulteti 000./00. M-. Ao je f, g i h, ond vrijednost funcije f g h u toči iznosi: A. B. C. D. 0 E. f g h f Uvedemo P je sd: f gh f w w g h f ( gh) z 0 M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 6
7 + y 7 A. B. C. 0 D. E. + y + y M-5. Ao je i, ond je izrz jedn Tehniči-fulteti 000./00. + y + y + y + y + y + y 7 + y sustv: + y + y + y + + y y y y y 6 + y, y M.I.M.-SRAGA 99./ 00. Trženi izrz: 7 + y + 6
8 Tehniči-fulteti 000./00. M-6. Ao je log + log b i log log b, ond je izrz b jedn A. 0 B. 0 C. 0 0 D. 00 E log + log b log log b log + log b log logb } + log 5 : 5 log 0 5 Po prvilu z ntilogritmirnje: log A B C B A C log log b, log 5 log b 5 log b log b b 0 5 Po prvilu z ntilogritmirnje: log A B C B A C 5 6 P je: b () c log b c b logb logc b 0 log ili log log log log ( b b b + b ) log log log b log b 9 log n b log log log log ( b b ) n b log b b log log ( ) log log y n y n log log log ( 5) n Logritmse nejedndžbe logc > logcb log log log ( 5A) I II o je c > o je 0< c < log ( 6) log ( ) ( 6A) td je > b td je < b log 0 7 log b 8 log b o je td je o je 0 b td je b c log < log b 5 c I II c > < c < < > c M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 8
9 + + M-7. Zbroj rješenj jedndžbe iznosi: 5 7 A. B. 0 C. D. E. Tehniči-fulteti 000./ ,, uvedemo: t t + t 5 t t t 5 t + 7 t 0 t t t t t + 7 ± 7 5 7± ± 9 7± t 5 t Zbroj rješenj je: M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 9
10 M-8. Zbroj 0 uzstopnih prnih prirodnih brojev iznosi 0. Njveći od njih je A. 6 B. 6 C. 66 D. 68 E. 70 Tehniči-fulteti 000./00. Ovdje se rdi o Aritmetičom nizu, jer je d -rzli dvju susjednih prnih brojev... Prvi prni broj oznčimo s - tj broj je prn bez obzir n jer se množi s dv d d d S 0, n 0, d n Sn + ( n ) d 0 0 ( 0 ) ( + 9 ) : 6 6 Trženi njveći broj je: + 9 d Rješenje pod: E n Opći čln Diferencij Zbroj prvih n člnov Interpolcij Aritmetiči niz n + ( n ) d S ( + d ) n n n + b n + d δ n d n n n r + d Sn + ( n ) d n + n+ Opći čln Kvocijent Zbroj prvih n člnov Interpolcij q q b n q Sn n r+ n q q n n q q S n n n+ n n q Geometrijsi niz M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 0
11 Tehniči-fulteti 000./00. M-9. Priliom rješvnj jednog zdt iz mtemtie, % učeni nije riješilo zdt, % učeni je djelomično riješilo zdt, ostt od učeni je zdt točno riješilo. Kolio je učeni bilo u rzredu? A. B. C. D. E. 5 % nije riješilo zdt % je rješilo dio učeni je riješilo zdt Postot učeni oji je riješio zdt je: 00% % + % 00% % 56% Sd znmo d je učeni 56% od uupnog broj učeni u rzredu. Pišemo: 56% od učeni, uupn broj učeni ili 56% Rješenje pod: E M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
12 M-0. Površin trout, ojemu je duljin jedne strnice, utovi uz tu strnicu 5 i 60, jedn je Tehniči-fulteti 000./00. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A. E. 6 6 C. 5 D. 8 E. 9 β 5 γ 60 P? α 80 β + γ α α α 75 β 5 γ 60 β γ P P P P P P P P sin β sinγ sin ( α + β) sinα cos β + cosα sin β sinα sin 5 sin 60 sin 75 sin po gornjoj formuli sin 75 sin 0 cos 5 + cos0 sin ( ) ( ) Rješenje pod: A ( ) ( + ) ( + ) Adicijse formule sin α + β sinα cos β + cosα sin β sin α β sinα cos β cosα sin β cos α + β cosα cos β sinα sin β cos α β cosα cos β + sinα sin β tg tg ctg ctg + tgα + tg β tgα tgβ ( α β) tgα tg β + tgα tgβ ( α β) ctgα ctg β + ctg β + ctgα ( α β) ctg ctg α β + ctg β ctgα ( α β) M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
13 Tehniči-fulteti 000./00. M-. Prvoutni ABCD čije strnice imju duljine 6 i 8, podijeljen je dijgonlom n troute ABC i CDA. Udljenost između središt ružnic upisnih u te troute iznosi: A. 5 9 B. 5 C. D. E. Ncrtjmo sliu: D 8 C Treb uočiti prvoutn trout SES - čij je hipotenuz jedn d S, S A ρ ρ ρ E ρ S 8 ρ ρ d S ρ 6 B. Izrčunmo površinu trout ABC 86 P P 6 P + b+ d. d s d 00 s d 0 s. Površin trout jedn je i: S ρ E 8 ρ (, S ) d S S P ρ s ρ ρ ρ uvrstimo sve poznto: ( S ) ρ (. d S, + 8 ρ ( S ) ( ( S ) ( S ) ( S) ( S ) ( S ) ( S ) d S, + 8 d S, + d S, + 6 d S, 0 d S, 0 d S, 5 d S, 5 ) ) M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
14 Tehniči-fulteti 000./00. M-. olumen usprvne četverostrne pirmide ojoj je bz vdrt strnice duljine, bočne strne ngnute pod utem od 5 u odnosu n bzu iznosi: A. B. C. D. E. 6 Ncrtjmo sicu te pirmide, p izdvojimo prvoutni trout ES... Kut što g ztvr bočn strnic pirmide s bzom je ustvri ( v ) ut oji ztvr visin bočne strnice s bzom... 5 A D v S B v C 5 5 E S E v v Izdvojimo prvoutn trout ES Bv v., B 6 tet nsuprot ut tg tet uz ut v tg 5 v v v : v M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
15 M-. olumen ugle upisne u stožc polumjer bze r i visine v iznosi: 5 9 A. π B. π C. π D. 5π E. π Tehniči-fulteti 000./00. Ncrtjmo sicu: Treb uočiti slične troute BD i SE s ( v ρ ) ρ ρ S ρ E s v s ( v ρ ) A r D r B D r B E ρ S Ko su trouti BD i SE slični strnice im se odnose: s r v s s s s 5 + ( ρ ) ( ρ ) s: v r: ρ 5: : ρ 5 ( ρ) ρ ρ ρ ( ρ) 5 ρ 5ρ ρ 5ρ + ρ 8ρ ρ ρ 8 olumen ugle je: M.I.M.-SRAGA 99./ ρ π π π 9 π 9 π
16 Tehniči-fulteti 000./00. M-. Tornj viso 0 m vidi se pod utem od 0, iz toče oj leži u rvnini podnožj tornj. Dvostruo viši tornj vidio bi se iz iste toče pod utem od A. 8 ' B. 6 8' C. 9 6' D. 50 ' E. 5 ' Ncrtjmo sicu: 0 0 T. S oznčimo udljenost toče T od tornj... tg 0 0 tg0 0 tg ϕ ϕ T T Ncrtmo sd dvostruo viši tornj i s ϕ tet nsuprot ut tgϕ tet uz ut 0 tgϕ tgϕ 0 0,7,6 oznčimo trženi ut... tgϕ,57 tg ϕ 9 06 ϕ 9 6 M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 6
17 Tehniči-fulteti 000./00. M-5. U trpezu su poznte duljine osnovic 6 cm i c cm, te duljine rov b cm i d cm. Duljin rće dijgonle trpez iznosi: A. 7 cm B. cm C. 5 cm D. 9 cm E. Ncrtjmo sicu: D c C D c C A d f e b d d b α β α c α β B A E ( c) B. Trnsltirmo strnicu d u vrh C -p dobijemo trout EBC iz ojeg izrčunmo α i β Prem osinusovom teoremu: + cos b d c d c cos cosα α 6 cosα : 6 E C d b α ( c) β B cosα 0, 6875 cos α 6 0. b d sin β sinα sin β b sin β sinα d sinα b d sinα sin β b sin 6 0 sin β 0,7685 sin β sin β 0,9686 sin β 75 D. Prvilo že: Nsuprot mnjem utu u troutu nlzi se mnj strnic. Mi immo dv trout ABD i ABC oji ns znimju tj. znimju ns njihove str. e i f o smo izrčunli d je α < β td je i e f prem gornjem prvilu. e d d e e e e < + cosα cos , , d e e 9 A α B Z provjeru možete izrčunti: + cosβ f b b M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 7
18 M-6. Kut pri vrhu rterističnog presje osog ružnog stošc iznosi 60, duljin njdulje izvodnice iznosi 0, njrće. olumen stošc iznosi: A. 676 π B. 05 π C. 55 π D. 5 π E. 55 π Tehniči-fulteti 000./00. Ncrtjmo sicu: 60 s s v ϕ ϕ r. Primjenimo osinusov teorem i odredimo r: ( r) ( r) ( r) r s + s s s cos r 6 r. Još jednom osinusovim teoremom odredimo ϕ : + cosϕ s r s r s cos cosϕ cosϕ 8 78 cosϕ 78 cosϕ 8 :78 cosϕ 0,0865 cos ϕ 9 5 ϕ. v B v ϕ + ϕ 80. sinϕ s 5. s ϕ 80 ϕ v s sinϕ r π v sin ϕ v 0,9996, v π ϕ v, ,08 π 55 π 8 M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
19 Tehniči-fulteti 000./00. sin + M-7. Zbroj rješenj jedndžbe u intervlu (0, π ) iznosi: sin π 5π π π A. B. C. π D. E. 6 Uvedemo: sin sin sin + sin sin sin sin 0 t t t, + sin sin + + sin t ± ± 9 8 ± Uvjet: nzivni mor biti rzličit od nule, dle: sin 0 sin sin π π + t t rtimo: t sin sin sin π π 5π sin sin + π sin sin + π sin sin + π 6 6 π π 5π + π + π + π 6 6 Zdno je: ( 0, π ), tve -ove dobijemo jedino z 0, z,,... ovi su izvn ( 0,π ) Z 0 π π 5π 6 6 Zbroj rješenj je: π π 5π π + π + 5π 9π π M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 9
20 M- Tehniči-fulteti 000./ Z oju vrijednost broj površin trout što g omeđuju prvci y, y i y 6 iznosi? A. B. C. D. E. 5 6 Ncrtjmo sicu: y y y C B y 6 Odredimo toče u ojim se sjeu prvci: y i y y i y 6 y i y 6 supstitucijom y 6 6 dobijemo: 6 6 : ( 0,0 ) (,6,6 ) B 6 0 ( ) 0 :( ) 6 C,6 0 A y y 0 6 A ( 0,0 ) B (,6,6 ) C,6 6 0, y 0 6, y 6, y 6 Zdn je površin trout ojeg ztvrju t tri prvc: P Formul že: Površin trout zdnog s tri toče P ( y y) + ( y y) + ( y y) 6 0 ( 6 6) + 6 ( 6 0) + ( 0 6) A uvrstimo sve poznto: : Ko je zdno to otpd, jedino rješenje je 7 5 M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 0
21 Tehniči-fulteti 000./00. ( ) ( y ) M-9. N ružnicu + + povučene su tngente u točm u ojim ružnice sijeu os. Kut među tngentm iznosi: A. 80 B. 85 C. 90 D. 95 E. 00. Odredimo toče u ojim ružnic sjeće os Sve toče n osi imju y oordintu nult tj. y 0 ( ) ( ) ( ) ( ) + + y, y ± y y y y 0 ( 0,0 ) B (,0 ) A B r S ϕ A. Sd u tim točm odredimo jedndžbe tngenti n ružnicu: ( ) ( y ) + + p q r ( ) Jedndžb tngente u toči T, y ( p) ( p) + ( y q) ( y q) r ( 0,0 ) B (,0 ) A 0 y 0 y 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ( ) ) ( ( ) ) + ( 0 ) ( y ) ( ) y ( + ) + ( ) ( y ) ( + ) ( + ) + ( ) ( y ) + y+ ( + ) y+ p p + y q y q r p p + y q y q r + 0 y y+ y 0 y + y y y. Kut tih tngenti odredimo preo formule: tgϕ tgϕ ϕ 90 M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
22 ( ) ( ) (, ), ( 6, ), (, 8 ). Odredimo oordinte težišt: Tehniči-fulteti 000./00. M-0. Koordinte vrhov trout su A,, B 6,, C,8. Udljenost težišt trout od strnice AB iznosi: A. B. C. 6 D. E. 5 A B C y y y T T T + + y + y + y yt yt y T T (,). Odredimo jedndžbu prvc AB (, ) B ( 6,) A y y y y y y ( ) y ( ) 6 5 y+ ( ) 5 y+ + y y+ 0 y 0 A, B, C, T,, y.udljenost težišt trout od str. AB d d A + By + C A + B + + d + d d M.I.M.-SRAGA 99./ 00. je:
23 M-. Prvc t tngir lijevu, njemu prlelni prvc t desnu grnu hiperbole y. Ao ti prvci sijeu os pod utom od 60, ond je njihov međusobn udljenost jedn A. B. C. D. E. Tehniči-fulteti 000./00..Ncrtjmo sliu: t t α.prvci s -osi ztvrju ut od 60 α 60 o znmo d je: tgα y y Odredimo i b, b je oeficjent smjer tngente (prvc) tg 60.Uvjet dodir prvc i hiperbole: b l l l l l ±.Tržene tngente imju jedndžbe: t... y + l t... y + l y + y + y+ 0 y+ 0 A, B, C C 5.Udljenost prlelnih prvc je: d C C d A + B + + d M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
24 Tehniči-fulteti 000./00. M-. Koordinte toč jedno udljenih od središt ružnic + y + y 0 i y y zdovoljvju jedndžbu: A. y B. y 0 C. + y D. + y 0 E. y. Odredimo oordinte središt tih ružnic ndopunjvnjem n potpuni vdrt: y y y y y y y ( ) ( y ) ( ) ( y ) ( ) ( y ) ( ) ( y ) p q p q p q p q S (, ) S (, ) y y.ncrtjmo sliu: y. Tržimo toče oje su jedno udljene od središt ovih ružnic... S S Polovište dužine SS je sigurno jedno udljeno od obdv središt, i sve toče oje se nlze n prvcu oji je oomit n prvc roz S is i oji prolzi roz polovište dužine SS....Odredim polovište dužine SS y SS + 0 P y + y + 0 y y ( ) p p p p SS ( 0,0 ) y S y P S p... y 0 5. P 0,0, 6.Jedndžb trženog prvc je M.I.M.-SRAGA 99./ 00. p p p... y y y y y 0 y y 0
25 M-. Pod ojim se utom iz toče T 5, vidi ružnic + y + 6 8y 0? A. 77 ' B. 80 C. 60 D. 75 E. 8 8' Tehniči-fulteti 000./00.. Odredimo oordinte središt i polumjer ružnice...ndopunjvnjem n potpuni vdrt y y y y ( ) ( y ) ( ) ( y ) p q r p q r 5 S (, ) S r y ϕ T t ( 5, ) t. Zdn je toč T iz oje se gled ružnic, ordinte te toče morju zdovoljvti jedndžbu tngente: T 5, y + l 5+ l 5 y 5 l l 5. Uvjet dodir prvc i ružnice glsi: ( ( ) + ( 5) ) 5 ( + ) ( + + 5) 5 ( + ) p+ q l r +, p q r 5 l 5 ( ) :9 M.I.M.-SRAGA 99./ ± Immo oeficjente smjer obdvije tngente p sd smo izrčunmo ut oji ztvrju te dvije tngente- to je trženi ut... tgϕ tgϕ tgϕ,6078 tg ϕ 5
26 { } M-. Sup A, y R : + y 6y+ 7 0 je + y 6y+ 7 0 y y ( y y) ( ) ( y y ) Tehniči-fulteti 000./00. A. elips B. hiperbol C. pr prvc D. prbol E. toč ( ) ( y ) ( ) ( y ) ( ) ( y ) ( ) ( y ) + 0 I to je to ili to to izgled prijemni ispiti n Teh-fultete su uvije n isti lup li njteži dle trži se sve Ao vm treb još zdt jvite nm se mim-srg@zg.htnet.hr ili ih potržite n Svi ovi zdtci su sstvni dio nše zbire zdt pod rednim brojem 0. n postoji dvije vrijnte te zbire duž s ompletno riješeni svim zdtcim od 99.g. p do 005. I rć vrijnt s ompletno riješeni svim zdtcim od 000.g. p do 005. Cijen tih zbiri je o cijen ili st instrucij Pod rednim brojem 0. Metodič zbir potpuno riješenih zdt Mtemti z prijemne ispite s slijedećih fultet: -Arhitetur, Kemij, FSB, Frmcij, Tehnologij, -FOI, RNG, PMF, Eonomij, Promet i Grđevin Moj svjet: riješite što je više moguće zdt i lše će te položiti prijemni ispit. M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 6
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
![c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]](/thumbs/92/108578155.jpg "c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]")
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?
MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE
**** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c.
Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
NASTAVNI PREDMET: MATEMATIKA 3
GIMNZIJ I STRUKOVN ŠKOL JURJ DORILE PZIN NSTVNI PREDMET: MTEMTIK nalitiča geometrija u ravnini. GORTN ROERT..00 Nastavno pismo NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU TLI SDRŽJ. NLITIČK GEOMETRIJ
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Koliko sati toga dana je razina vode bila iznad 30 cm? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 13 Rješenje: E. Rješenje: A A) 1 B) 2 C) 6 4 D) 3 4 E) 2.
MATEMATIČKI KLOKAN S 6 700 000 sudionik u zemlji Europe, Amerike, Afrike i Azije Četvrtk,. ožujk 0. Trjnje 7 minut Ntjecnje z Student (IV. rzred SŠ) * Ntjecnje je pojedinčno. Rčunl su zbrnjen. * Svki zdtk
SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Zadatak 1
PISMENI ISPIT IZ KLASIČNE MEHANIKE I 3.. 9. Zdtk Čestic mse m izbčen je s površine Zemlje pod kutem α brzinom v. Ako je otpor zrk proporcionln trenutnoj brzini konstnt proporcionlnosti je ), izrčunjte
Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.
Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Priprema za ispit - RJEŠENJA
Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo
TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore
MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
( ) ( )
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj 05. 4. rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ
Popis zadataka. 1. Odredi Re
Pops zdtk. Odred Re. Odred, ko vrjed: (-) +(-b) = (-b). Zbroj znmenk dvoznmenkstog broj jednk je, umnožk. Koj je to broj?. U koordntnom sustvu prkž grf funkcje f() = -(+)(-). Izrčunj vrjednost ostlh funkcj
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
KUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTENCIJE α M-- uiverzl zbirk potpuo riješeih zdtk Rješej svih zdtk s kopleti postupko i uput. Koristio
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
ZBIRKA ZADATAKA SA PRIJEMNIH ISPITA NA FAKULTETU TEHNIČKIH NAUKA
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA NOVI SAD ZBIRKA ZADATAKA SA PRIJEMNIH ISPITA NA FAKULTETU TEHNIČKIH NAUKA (MATEMATIKA) NOVI SAD, 0 Izdvč: Fultet tehničih nu Trg Dositej Obrdović 000 Novi
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Osnove inženjerskog proračuna
Osnove inženjerskog prorčun Skript z studente Sveučilišt Sjever Ktrin Pisčić, UNIN 04. Kut Kut je dio rvnine omeđen s dv prvc koj se sijeku. Obično se obilježv kružnim lukom među prvcim. Ako je duljin
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Metode rješavanja izmjeničnih krugova
Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov
Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu
P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Državna matura iz matematike Ispitni katalog za nastavnike
Držvn mtur iz mtemtike Ispitni ktlog z nstvnike Rujn 7. Verzij. Člnovi stručne rdne skupine z pripremu ispit iz mtemtike doc. dr. sc. Željk Milin Šipuš, Prirodoslovno-mtemtički fkultet-mtemtički odjel
Matematički osnovi Z transformacije
Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno
a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac
) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Mimoilazni pravci. Ela Rac Marinić Kragić, Zagreb
Mimoilzni prvci El Rc Mrinić Krgić, Zgreb Dv se prvc u rvnini ili sijeku ili ne sijeku. Ako se sijeku, sjecište može biti jedn tok, prvci se mogu i poklpti. Ovj drugi sluj zjedno s slujem kd dv prvc nemju
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Kinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a
Kinemik meijlne oke 3. dio ) Zdnje kiocnog gibnj b) Bzin i ubznje 1 Kiocno gibnje meijlne oke Položj meijlne oke u skom enuku emen možemo definii n slijedee nine: 1. Vekoski nin defininj gibnj (). Piodni
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet
Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc
3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120
Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34