Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM IAŞI 27

2

Cuprins 1 Integrle improprii 9 1.1 Introducere............................ 9 1.2 Definiţi integrlei improprii................... 1 1.3 Formul Leibniz Newton..................... 18 1.4 Proprietăţi le integrlelor improprii.............. 19 1.5 Reducere integrlelor improprii l şiruri şi serii numerice... 21 1.6 Criteriul integrl l lui Cuchy.................. 25 1.7 Metode de clcul le integrlelor improprii........... 26 1.7.1 Schimbre de vribilă în integrl improprie..... 26 1.7.2 Integrre prin părţi în integrl improprie....... 3 1.8 Testul lui Cuchy de convergenţă integrlelor improprii... 33 1.9 Integrle improprii bsolut convergente............. 35 1.1 Criterii de comprţie le integrlelor improprii........ 38 1.11 Criterii de convergenţă le integrlelor improprii cu integrntul de semn vribil........................ 49 1.12 Convergenţ în sensul vlorii principle unei integrle improprii 55 2 Integrle depinzând de un prmetru 61 2.1 Integrle proprii depinzând de un prmetru.......... 61 2.2 Integrle improprii simple depinzând de un prmetru..... 73 2.3 Integrle improprii depinzând de un prmetru, uniform convergente.............................. 78 2.3.1 Definiţi integrlelor improprii depinzând de un prmetru, uniform convergente............... 78 2.3.2 Reducere integrlelor improprii depinzând de un prmetru l şiruri de funcţii................ 81 2.3.3 Proprietăţile integrlelor improprii uniform convergente în rport cu prmetrul y............... 86 3

4 CUPRINS 2.4 Criterii de convergenţă uniformă................. 94 2.5 Integrle Cuchy Frullni.................... 99 2.6 Integrlele lui Euler........................ 17 2.6.1 Definiţiile funcţiilor Bet şi Gm............ 17 2.6.2 Proprietăţi le funcţiei Gm.............. 17 2.6.3 Proprietăţi le funcţiei Bet............... 112 2.6.4 Relţie între funcţiile Bet şi Gm........... 115 3 Integrle curbilinii 121 3.1 Drum, drum rectificbil, curbă.................. 121 3.2 Definiţi integrlei curbilinii de primul tip........... 131 3.3 Proprietăţile integrlelor curbilinii................ 137 3.4 Aplicţii le integrlelor curbilinii de primul tip........ 138 3.4.1 Ms şi centrul de greutte le unui fir mteril.... 139 3.4.2 Momente de inerţie le unui fir mteril........ 144 3.5 Definiţi integrlei curbilinii de l doile tip.......... 147 3.5.1 Lucrul mecnic l unui câmp de forţe.......... 147 3.5.2 Definiţi integrlei curbilinii de l doile tip...... 15 3.6 Legătur dintre cele două tipuri de integrle curbilinii..... 152 3.7 Formul de clcul integrlei curbilinii de l doile tip.... 154 3.8 Proprietăţi le integrlelor curbilinii de l doile tip...... 158 3.9 Integrle curbilinii de tipul l doile pe curbe închise..... 158 3.1 Independenţ de drum integrlei curbilinii de l doile tip. 159 3.1.1 Formulre problemei................... 159 3.1.2 Czul unui domeniu pln simplu conex......... 16 3.1.3 Czul unui domeniu în spţiu simplu conex....... 164 3.1.4 Opertorul rotor..................... 165 3.11 Primitiv unei expresii diferenţile................ 166 4 Integrl dublă 171 4.1 Elemente de topologie în IR 2................... 171 4.2 Ari figurilor plne........................ 174 4.3 Definiţi integrlei duble..................... 179 4.4 Condiţii de integrbilitte.................... 183 4.5 Clse de funcţii integrbile.................... 187 4.6 Proprietăţile integrlei duble................... 189 4.7 Evlure integrlei duble.................... 193 4.7.1 Integrl dublă pe intervle bidimensionle închise... 193

CUPRINS 5 4.7.2 Integrl dublă pe domenii simple în rport cu x Oy 197 4.7.3 Integrl dublă pe domenii simple în rport cu x Ox 2 4.8 Formul integrlă Riemnn Green................ 23 4.9 Schimbre de vribile în integrl dublă........... 212 4.1 Aplicţii le integrlei duble în mecnică şi geometrie..... 22 4.1.1 Ms şi centrul de greutte le unei plăci........ 22 4.1.2 Momente de inerţie le unei plăci............ 224 4.1.3 Momente sttice le unei plăci.............. 226 4.1.4 Flux luminos incident pe o plcă............ 227 4.1.5 Debitul unui fluid prin secţiune trnsverslă unui cnl........................... 228 4.1.6 Volumul unui cilindroid.................. 229 4.11 Integrle duble improprii..................... 233 4.11.1 Domeniul de integrre nu este mărginit......... 233 4.11.2 Integrle duble din funcţii nemărginite......... 244 5 Integrle de suprfţă 247 5.1 Elemente de geometri diferenţilă suprfeţelor....... 247 5.1.1 Pânze prmetrice netede................ 247 5.1.2 Semnificţi geometrică condiţiei de regulritte. Linii prmetrice...................... 249 5.1.3 Interpretre geometrică diferenţilei funcţiei vectorile r = r(u, v) în punctul (u, v ) A. Pln tngent. 251 5.1.4 O ltă definiţie plnului tngent............ 256 5.1.5 Definiţi suprfeţei.................... 257 5.1.6 Ecuţi crtezină implicită unei suprfeţe...... 257 5.1.7 Vector norml unei suprfţe întrun punct regult... 258 5.1.8 Element de rie l unei suprfeţe netede........ 261 5.2 Ari unei suprfeţe netede.................... 267 5.3 Integrl de suprfţă de primul tip............... 274 5.4 Aplicţii în inginerie le integrlelor de suprfţă de primul tip 283 5.5 Integrle de suprfţă de l doile tip.............. 288 5.6 Formul integrlă lui Stokes.................. 298 6 Integrl triplă 35 6.1 Elemente de topologie în IR 3................... 35 6.2 Definiţi integrlei triple..................... 38 6.3 Condiţii de existenţă unei integrle triple........... 39

6 CUPRINS 6.4 Proprietăţile integrlei triple................... 312 6.5 Evlure integrlei triple.................... 314 6.5.1 Integrl triplă pe intervle tridimensionle închise.. 314 6.5.2 Integrl triplă pe un domeniu simplu în rport cu x Oz............................. 32 6.5.3 Integrl triplă pe un domeniu simplu în rport cu x Ox............................. 324 6.5.4 Integrl triplă pe un domeniu simplu în rport cu x Oy............................. 325 6.5.5 Integrl triplă pe un domeniu orecre......... 327 6.6 Formul integrlă Guss Ostrogrdski............. 33 6.7 Schimbre de vribile în integrl triplă........... 336 6.7.1 Coordontele cilindrice su semi polre în spţiu... 338 6.7.2 Coordontele sferice su polre în spţiu........ 339 6.7.3 Coordonte polre (sferice) generlizte......... 341 6.7.4 Elementul de volum în coordonte curbilinii...... 342 6.7.5 Schimbre de vribile în integrl triplă....... 343 6.8 Aplicţii le integrlei triple................... 348 6.8.1 Clculul volumelor.................... 348 6.8.2 Ms şi centrul de greutte le unui solid........ 349 6.8.3 Momente de inerţie le unui solid............ 35 6.8.4 Potenţilul newtonin l unui solid........... 352 6.8.5 Atrcţi exercittă de către un solid.......... 352 7 Ecuţii diferenţile ordinre 357 7.1 Câtev generlităţi despre ecuţii diferenţile ordinre..... 357 7.2 Ecuţii diferenţile ordinre, de ordinul întâi, integrbile prin cudrturi............................. 365 7.2.1 Ecuţii diferenţile cu vribile seprte........ 365 7.2.2 Ecuţi diferenţilă exctă................ 368 7.2.3 Ecuţii diferenţile de ordinul întâi cre dmit fctor integrnt.......................... 37 7.2.4 Ecuţii diferenţile cu vribile seprbile....... 374 7.2.5 Ecuţi diferenţilă omogenă.............. 376 7.2.6 Ecuţii diferenţile reductibile l ecuţii diferenţile omogene.......................... 381 7.2.7 Ecuţi diferenţilă liniră de ordinul întâi....... 387

CUPRINS 7 7.2.8 Ecuţii diferenţile de ordinul întâi reductibile l ecuţii linire.......................... 395 7.3 Ecuţii diferenţile lgebrice în y................. 42 7.4 Ecuţii diferenţile de ordinul întâi, nerezolvte în rport cu y, integrbile prin metode elementre.............. 43 7.4.1 Ecuţi diferenţilă de form y = f(y )......... 43 7.4.2 Ecuţi diferenţilă de tipul F (y, y ) =........ 45 7.4.3 Ecuţi diferenţilă de form x = f(y )......... 46 7.4.4 Ecuţi diferenţilă de tipul F (x, y ) =........ 47 7.4.5 Ecuţi diferenţilă de tip Lgrnge........... 49 7.4.6 Ecuţi diferenţilă de tip Clirut........... 413 7.4.7 Ecuţi diferenţilă de form y = f(x, y )........ 415 7.4.8 Ecuţi diferenţilă de tipul x = f(y, y )........ 417 8 Ecuţii diferenţile ordinre de ordin n integrbile prin cudrturi 419 8.1 Ecuţii diferenţile de tipul y (n) = f(x)............. 419 8.2 Ecuţi diferenţilă F (x, y (n) ) =................ 42 8.3 Ecuţi diferenţilă F (y (n 1), y (n) ) =............. 422 8.4 Ecuţi diferenţilă F (y (n 2), y (n) ) =............. 423 9 Ecuţii diferenţile ordinre cre dmit micşorre ordinului425 9.1 Ecuţi F (x, y (k), y (k+1),, y (n) ) =.............. 425 9.2 Ecuţi F (y, y, y,, y (n) ) =................. 427 9.3 Ecuţi F (x, y, y, y,, y (n) ) =, omogenă în y, y,, y (n) 429 9.4 Ecuţi F ( x, y, dy dx, d2 y dx,, dn y ) =, omogenă în x, y, dx, 2 dx n dy, d 2 y,, d n y.......................... 43 9.5 Ecuţi F (y, xy, x 2 y,, x n y (n) ) =.............. 433 Bibliogrfie 437

8 CUPRINS

Cpitolul 1 Integrle improprii 1.1 Introducere Definiţi integrbilităţii Riemnn unei funcţii rele de o vribilă relă, mărginită, f : [, b] IR, c limit finită sumelor integrle Riemnn n σ (f, ξ k ) = f(ξ k )(x k x k 1 ), k=1 pentru lungime celui mi mre intervl [x k 1, x k ] [, b] tinzând l zero, nu înglobeză czul când integrntul f este o funcţie nemărginită su intervlul de integrre [, b] este infinit. Lungime celui mi mre intervl [x k 1, x k ] se noteză cu şi se numeşte norm diviziunii = {x =, x 1, x 2,, x n = b}, x k 1 < x k, k = 1, n ir ξ k [x k 1, x k ] se numesc puncte intermedire. Pentru c funcţi relă mărginită f să fie integrbilă Riemnn pe compctul [, b] trebuie c limit sumelor integrle Riemnn pentru să fie finită şi să nu depindă de legere punctelor intermedire. Acestă limită se numeşte integrl definită şi se noteză cu simbolul b f(x)dx, 9

1 Ion Crăciun deci putem scrie eglitte b n f(x)dx = lim f(ξ k )(x k x k 1 ). k=1 În fizic mtemtică se întâlnesc tât integrle din funcţii nemărginite cât şi integrle pe domenii de integrre nemărginite. Astfel de integrle se numesc integrle improprii. Pentru defini ceste tipuri de integrle nu este suficient să plicăm o trecere l limită întro sumă integrlă Riemnn ci este necesr să folosim o trecere l limită suplimentră cre să implice domeniul de integrre. Pentru cest, domeniul iniţil de integrre, unde definiţi integrbilităţii Riemnn nu se pote plic, se înlocuieşte cu un subdomeniu pe cre funcţi să fie integrbilă Riemnn. Apoi, cest subdomeniu se extinde până coincide cu domeniul iniţil de integrre. Limit integrlei lută pe subdomeniu, când cest subdomeniu tinde să devină mulţime iniţilă de definiţie funcţiei, se numeşte integrlă improprie. Acest este idee generlă pe cre se bzeză definiţi integrlelor improprii. 1.2 Definiţi integrlei improprii Fie elementele, b IR cu proprietăţile < < b + şi f : [, b) IR, (1.1) o funcţie integrbilă Riemnn pe orice intervl compct [, t] [, b) şi nemărginită întro vecinătte lui b dcă b IR. Definiţi 1.2.1 Limit în punctul t = b funcţiei F : [, b) IR, F (t) = t f(x)dx (1.2) se numeşte integrlă improprie cu limit superioră de integrre punct singulr şi se noteză cu simbolul b f(x)dx. (1.3)

Cpitolul 1 Integrle improprii 11 Din cestă definiţie rezultă b t f(x)dx = lim F (t) = lim t b t b f(x)dx. (1.4) Definiţi 1.2.2 Funcţi f se numeşte integrbilă în sens generlizt dcă există şi este finită limit funcţiei F pentru t b. Definiţi 1.2.3 Dcă funcţi (1.1) este integrbilă în sens generlizt, spunem că integrl improprie (1.3) este convergentă; dcă limit pentru t b funcţiei (1.2) este infinită su nu există, integrl improprie (1.3) se numeşte divergentă. Definiţi 1.2.4 Prin ntur unei integrle improprii se înţelege propriette s de fi convergentă su divergentă. Observţi 1.2.1 Fie 1 IR stfel încât < 1 < b. Eglitte t f(x)dx = 1 f(x)dx + t 1 f(x)dx implică fptul că integrlele improprii f(x)dx şi f(x)dx sunt simultn convergente su divergente. Astfel, când testăm convergenţ integrlei 1 improprii (1.3), o putem înlocui prin integrl improprie b b b 1 f(x)dx (1.5) În plus, dcă integrl improprie (1.3) este convergentă, legătur s cu integrl improprie (1.5) este b f(x)dx = ir din (1.4) şi (1.6) deducem 1 f(x)dx + b 1 f(x)dx, (1.6) b lim 1 b f(x)dx =. 1 (1.7)

12 Ion Crăciun Dcă f este o funcţie continuă şi nenegtivă pe segmentul [, b), tunci integrlei improprii (1.3) i se pote d o interpretre geometrică. Considerăm regiune Ω plnului Oxy limittă inferior de segmentul [, b), superior de grficul funcţiei f şi l stâng de segmentul închis prlel l x Oy vând extremităţile în punctele A(, ) şi A (, f()). Definiţi măsurii su crbilităţii şi noţiune de rie unei figuri plne este inplicbilă mulţimii Ω deorece cest este nemărginită. Un segment prlel cu extremitte stângă domeniului Ω cu extremităţile în punctele M(t, ) şi M (t, f(t)) tie din Ω trpezul curbiliniu AMM A situt în stâng liniei considerte cărui rie este integrl definită (1.2). Este nturl să extindem noţiune de crbilitte l domenii nemărginite dcă ri trpezului AMM A tinde l o limită finită când t b. În cest cz spunem că Ω este crbil, ir limit de mi sus se numeşte ri domeniului Ω. Acestă rie se exprimă prin integrl improprie (1.3). În mod nlog se introduce integrl improprie cu limit inferioră punct singulr. Definiţi 1.2.5 Simbolul b g(x)dx (1.8) reprezintă notţi pentru integrl improprie cu limit inferioră punct singulr dcă funcţi g : (, b] IR, < b < + (1.9) este integrbilă Riemnn pe orice compct [t, b] (, b] şi nemărginită când IR. Definiţi 1.2.6 Funcţi (1.9) se numeşte integrbilă în sens generlizt su, ltfel spus, integrl improprie (1.8) este convergentă dcă există şi este finită limit funcţiei G : (, b] IR, G(t) = b t g(x)dx (1.1) pentru t. În cest cz, simbolul (1.8) reprezintă numărul rel b g(x)dx = lim G(t) = lim t t b t g(x)dx. (1.11) Dcă funcţi (1.1) nu re limită în t =, su limit (1.11) este infinită su nu există, integrl improprie (1.8) se numeşte divergentă.

Cpitolul 1 Integrle improprii 13 Pentru integrl improprie cu limit inferioră punct singulr u loc rezultte nloge celor din (1.6) şi (1.7), dică dcă (1.8) este convergentă, tunci integrl improprie 1 b g(x)dx este convergentă oricre r fi 1 (, b] şi: g(x)dx = 1 g(x)dx + b 1 lim g(x)dx =. 1 1 g(x)dx; Definiţi 1.2.7 Simbolul mtemtic b h(x)dx (1.12) se numeşte integrlă improprie cu mbele limite de integrre puncte singulre dcă funcţi h : (, b) IR, < b + (1.13) este integrbilă Riemnn pe orice compct [u, v] (, b) şi nemărginită când cel puţin un din limitele de integrre este finită. Definiţi 1.2.8 Funcţi h din (1.13) este integrbilă în sens generlizt su, integrl improprie cu mbele limite de integrre puncte singulre (1.12) este convergentă, dcă pentru o legere orecre punctului c (, b) integrlele improprii: sunt convergente şi b c h(x) = h(x)dx; c b c h(x)dx + h(x)dx, (1.14) b c h(x)dx. Dcă cel puţin un din integrlele improprii (1.14) este divergentă, tunci integrl improprie (1.12) este divergentă. Teorem 1.2.1 Integrl improprie (1.12) este convergentă dcă şi numi dcă limitele c t lim h(x)dx, lim h(x)dx (1.15) u u t b c există şi sunt finite. În cest cz, vlore integrlei improprii (1.12) este b h(x)dx = lim u t b t u h(x)dx. (1.16)

14 Ion Crăciun Demonstrţie. Integrlele improprii (1.14) sunt convergente dcă şi numi dcă limitele (1.15) există şi sunt finite. Pe de ltă prte t u h(x)dx = c u h(x)dx + t c h(x)dx. (1.17) Trecând l limită în (1.17) pentru u şi t b, din notţi c lim u u t h(x)dx + lim t b c şi Definiţi 1.2.8 rezultă concluziile teoremei. t h(x)dx = lim u h(x)dx t b u Observţi 1.2.2 Studiul integrlelor improprii cu limit inferioră punct singulr se reduce l studiul celor cu limit superioră punct singulr. Într-devăr, funcţi f : [ b, ) IR, < b < +, f(x) = g( x) este integrbilă Riemnn pe compctul [ b, t] [ b, ) şi vem b t g(x)dx = t b g( u) du = t b f(u) du. (1.18) Trecând l limită pentru t în (1.18), găsim relţi b g(x)dx = b f(x)dx, cre rtă că integrl improprie cu limit inferioră punct singulr din (1.8) este eglă cu o integrlă improprie vând limit superioră punct singulr. Observţi 1.2.3 Este posibil c întro integrlă improprie să existe şi lte puncte singulre nesitute în un su mbele limite de integrre.astfel, simbolul b ϕ(x)dx (1.19) reprezintă o integrlă improprie cu singulrităţile în punctele c, c 1,, c n 1, c n unde = c < c 1 < < c n 1 < c n = b +,

Cpitolul 1 Integrle improprii 15 dcă funcţi relă de vribilă relă ϕ : (, b) \ {c 1, c 2,, c n 1 } IR este integrbilă pe orice compct inclus în oricre din intervlele (c k 1, c k ), k = 1, n. Dcă tote integrlele improprii ck c k 1 ϕ(x)dx, k = 1, n sunt convergente, tunci integrl improprie (1.19) este convergentă şi b ϕ(x)dx = n k=1 ck c k 1 ϕ(x)dx. Definiţi 1.2.9 Următorele integrle improprii din funcţii mărginite definite pe intervle nemărginite: f(x)dx; f(x)dx; f(x)dx (1.2) se numesc integrle improprii de prim speţă su de tipul întâi. Conform Observţiei 1.2.2, oricre din ultimele două integrle improprii (1.2) se reduce l un în cre limit superioră de integrre este +. Definiţi 1.2.1 Integrlele improprii le funcţiilor nemărginite definite pe intervle mărginite se numesc integrle improprii de dou speţă su de tipul l doile. Aceste integrle u singulrităţi finite situte în un su mbele limite de integrre. Singulrităţile, în număr finit, pot fi situte de semeni în intervlul finit de integrre (, b). Definiţi 1.2.11 Integrlele improprii de form (1.12) în cre < < b = + su = < b < + se numesc integrle improprii de speţ trei. Observţi 1.2.4 O integrlă improprie de speţ trei este eglă cu sum dintre o integrlă improprie de prim speţă şi o lt de speţ dou.

16 Ion Crăciun Exemplul 1.2.1 Integrl improprie de prim speţă sin xdx este divergentă. Într-devăr, t sin xdx = lim sin xdx = 1 lim cos t t + t + Deorece funcţi cosinus nu re limită în punctul de l infinit, rezultă că cestă integrlă improprie de primul tip este divergentă. Exemplul 1.2.2 Integrl improprie de primul tip cu mbele limite puncte singulre 1 1 + x dx 2 este convergentă şi vlore s este eglă cu π. Într-devăr, limit din (1.16) există şi este finită deorece t 1 lim dx = lim t + u 1 + x2 u u t + (rctg t rctg u) = π 2 ( π 2 ) = π. Prin urmre, cestă integrlă improprie este convergentă şi vlore s este π. Exemplul 1.2.3 Integrl improprie de speţ dou cu mbele limite puncte singulre 1 1 dx 1 x 2 1 este convergentă, ir vlore s este π. Într-devăr, lim (rcsin t rcsin u) = π 2 ( π 2 ) = π. u 1 t 1 Acest rezultt, împreună cu Teorem 1.2.1, demonstreză că integrl improprie considertă este convergentă şi re vlore π. În exemplele următore sunt prezentte integrle improprii utilizte în criteriile de comprţie pentru testre nturii unor integrle improprii.

Cpitolul 1 Integrle improprii 17 Exemplul 1.2.4 Integrl improprie de prim speţă I(α) = C dx, (1.21) xα unde C IR şi > sunt constnte dte, este convergentă pentru α > 1 şi divergentă pentru α 1. Într-devăr, vem şi prin urmre, C ln t t C x dx =, pentru α = 1 α C t1 α 1 α, pentru α 1 1 α t I(α) = lim t + C x α dx = C 1 α α 1, pentru α > 1 +, pentru α 1. Rezulttele găsite rtă că integrl improprie considertă este convergentă pentru α > 1 şi divergentă pentru α 1, ir când este convergentă, C vlore integrlei este (α 1). 1 α Exemplul 1.2.5 Integrlele improprii de speţ dou: I 1 (α) = b 1 b (b x) dx; I 1 2(α) = dx, (1.22) α (x ) α prim cu limit superioră punct singulr, ir dou cu singulritte în limit inferioră, sunt convergente pentru α < 1 şi divergente dcă α 1. Într-devăr, din t 1 (b x) α dx = 1 ( 1 1 α (b ) 1 ) α 1 (b t) α 1 dcă α 1 ln (b t) + ln (b ) dcă α = 1,

18 Ion Crăciun prin trecere l limită pentru t b, obţinem t 1 lim t b (b x) dx = α 1 1 α 1, dcă α < 1 (b ) α 1 +, dcă α 1, rezultt cre demonstreză firmţiile referitore l prim integrlă. În mod similr se deduce +, dcă α 1 b 1 lim u u (x ) dx = α 1 1 α 1. dcă α < 1 (b ) α 1 Din cele deduse mi sus rezultă că în czul α < 1, mbele integrle (1.22) sunt convergente, ir vlorile lor sunt I 1 (α) = I 2 (α) = 1 1 α 1 (b ). α 1 Pentru α 1, mbele integrle sunt divergente. 1.3 Formul Leibniz Newton Teorem 1.3.1 Dcă funcţi f : [, b) IR, integrbilă Riemnn pe orice compct [, t] [, b), dmite o primitivă continuă Φ : [, b) IR pentru cre există limit în t = b, tunci integrl improprie (1.3) este convergentă şi vlore s este b f(x)dx = lim t b Φ(t) Φ() = Φ(b) Φ(). (1.23) Demonstrţie. Din ipotezele teoremei rezultă că pe orice compct [, t] [, b) re loc formul Leibniz Newton de clcul unei integrle definite t f(x)dx = Φ(x) = Φ(t) Φ(), t [, b). (1.24) t

Cpitolul 1 Integrle improprii 19 Din (1.24) şi (1.4) rezultă că integrl improprie (1.3) este convergentă dcă şi numi dcă există şi este finită limit în t = b funcţiei Φ. Dcă se introduce notţi lim Φ(t) = Φ(b) = t b Φ(b ), dcă b IR, Φ(+ ), dcă b = +, rezultă că pentru clculul unei integrle improprii cu limit superioră punct singulr se pote utiliz formul (1.23) cre se numeşte formul Leibniz Newton pentru clculul integrlelor improprii. Formule nloge se pot scrie şi pentru integrlele improprii cu limit inferioră punct singulr su cu mbele limite de integrre puncte singulre. Exerciţiul 1.3.1 Să se studieze integrl improprie Soluţie. O primitivă funcţiei 2 dx x 2 2x + 2. este funcţi f : [2, ) IR, f(x) = 1 x 2 2x + 2 Φ : [2, ) IR, Φ(x) = rctg (x 1). Acestă funcţie re limită în + şi limit Φ( ) = π. Conform Teoremei 2 1.3.1, rezultă că vlore integrlei improprii este 2 dx x 2 2x + 2 = Φ( ) Φ(2) = π 2 π 4 = π 4. 1.4 Proprietăţi le integrlelor improprii Având în vedere (1.4), deducem că proprietăţile integrlelor improprii decurg din cele le integrlelor definite. Teorem 1.4.1 Mulţime funcţiilor integrbile în sens generlizt pe [, b) este un spţiu linir rel.

2 Ion Crăciun Demonstrţie. Fie f 1 : [, b) IR şi f 2 : [, b) IR funcţii integrbile în sens generlizt şi λ 1, λ 2 numere rele rbitrre. Pe compctul [, t] [, b) re loc eglitte t t t (λ 1 f 1 + λ 2 f 2 )dx = λ 1 f 1 (x)dx + λ 2 f 2 (x)dx. Trecând l limită în cestă eglitte, consttăm că funcţi λ 1 f 1 + λ 2 f 2 : [, b) IR este integrbilă în sens generlizt şi vlore integrlei improprii cestei funcţii pe intervlul [, b) este b b b (λ 1 f 1 + λ 2 f 2 )dx = λ 1 f 1 (x)dx + λ 2 f 2 (x)dx. Acest rezultt demonstreză teorem. Teorem 1.4.2 Dcă integrlele improprii cu limit superioră punct singulr sunt convergente şi tunci re loc ineglitte b f 1 (x)dx, b f 2 (x)dx (1.25) f 1 (x) f 2 (x), x [, b), (1.26) b f 1 (x)dx b f 2 (x)dx. (1.27) Demonstrţie. Ineglitte (1.26) şi o propriette integrlei definite implică t f 1 (x)dx t f 2 (x)dx, de unde, după trecere l limită pentru t b şi folosire fptului că integrlele improprii (1.25) sunt convergente, rezultă (1.27). Teorem 1.4.3 Dcă un din integrlele improprii (1.25) este convergentă şi celltă este divergentă, sum lor este divergentă. Demonstrţie. Presupunând prin bsurd că sum integrlelor improprii (1.25) este integrlă improprie convergentă, conform Teoremei 1.4.1, diferenţ dintre cestă sumă şi integrl improprie convergentă este o integrlă improprie convergentă, fpt ce contrzice ipotez.

Cpitolul 1 Integrle improprii 21 Observţi 1.4.1 Dcă integrlele improprii (1.25) sunt divergente, sum lor pote fi o integrlă improprie divergentă su convergentă. Într-devăr, integrlele improprii de speţ întâi: sunt divergente dr sum lor este convergentă căci 1 + x + 1 dx; 1 x + 2 dx 1 + x 2 + 3x + 2 dx = 1 + x + 1 dx + 1 ( t dx = lim x 2 + 3x + 2 t + ( x + 1) t = lim ln t + x + 2 = lim ln t + 1 t + t + 2 vlore s fiind ln 2. Considerând integrlele improprii sin 2 xdx şi 1 t x + 1 dx + 1 x + 2 dx 1 x + 2 dx) = + ln 2 = ln 2, cos 2 xdx, mbele divergente după cum se consttă simplu folosind Definiţi 1.2.2, sum lor, dx, este o integrlă improprie divergentă. Prin urmre, sum două integrle improprii divergente pote fi su o integrlă improprie convergentă su un divergentă. 1.5 Reducere integrlelor improprii l şiruri şi serii numerice Convergenţ unei integrle improprii cu limit superioră punct singulr se pote reduce l convergenţ unui şir numeric su unei serii de numere rele. Pentru cest este suficient să plicăm definiţi cu şiruri limitei în punctul t = b funcţiei F (t) = t f(x)dx (1.28) de cărei vlore depinde ntur integrlei improprii cu limit superioră punct singulr b f(x)dx. (1.29)

22 Ion Crăciun Observţi 1.5.1 Remintim că funcţi F (t) re limită finită în punctul t = b dcă şi numi dcă oricre r fi şirul de numere rele (t n ) n, cu proprietăţile t =, < t n < b, lim t n = b, (1.3) n + şirul numeric (F (t n )) re limită finită şi cestă limită nu depinde de legere şirului (t n ). Teorem 1.5.1 Integrl improprie (1.29) este convergentă dcă şi numi dcă pentru orice şir de puncte (t n ) n, cu proprietăţile (1.3), şirul numeric ( t n f(x)dx ) n 1 (1.31) este convergent l ceeşi limită finită. Dcă integrl improprie (1.29) este convergentă, limit şirului de numere rele (1.31) este eglă cu vlore integrlei improprii. Demonstrţie. Termenul generl l şirului (1.31) este vlore în t n funcţiei F din (1.28). Concluziile teoremei rezultă din Observţi 1.5.1. Observţi 1.5.2 Termenii şirului (1.3) sunt sumele prţile le seriei numerice + tn n=1 t n 1 f(x)dx. (1.32) Teorem 1.5.2 Condiţi necesră şi suficientă c integrl improprie cu limit superioră punct singulr (1.29) să fie convergentă este c pentru orice legere şirului de puncte (1.3), seri numerică (1.32) să fie convergentă, ir sum s să fie independentă de legere prticulră şirului. Dcă integrl (1.29) este convergentă, tunci vlore s este sum seriei (1.32). Observţi 1.5.3 Dcă funcţi f schimbă de semn de o infinitte de ori pe intervlul [, b), convergenţ seriei numerice (1.32) pentru o numită legere şirului de puncte (1.3) nu implică, în cz generl, convergenţ integrlei improprii (1.29) cu limit superioră punct singulr.

Cpitolul 1 Integrle improprii 23 Într-devăr, integrl improprie de speţ întâi din Exemplul 1.2.1 este divergentă deşi seri + 2π(n+1) n= 2πn sin xdx este convergentă deorece toţi termenii sunt egli cu zero. Teorem 1.5.3 Integrl improprie cu limit superioră punct singulr unei funcţii f : [, b) IR cre păstreză semn constnt pe [, b) este convergentă dcă şi numi dcă seri numerică (1.32) converge pentru cel puţin o legere unui şir monoton crescător de tipul (1.3). Demonstrţie. Prim prte teoremei rezultă din teorem precedentă. Să demonstrăm că re loc şi reciproc teoremei. În cest sens să presupunem că f(x) pentru tote vlorile lui x [, b) şi că seri numerică (1.32) este convergentă pentru un şir de puncte monoton crescător de tipul (1.3). Atunci şirul sumelor prţile l seriei este monoton crescător şi tinde l o limită finită J cre este sum seriei. Vom demonstr că pentru orice ltă legere şirului de puncte (t m) m, t =, < t m < b, lim m + t m = b, seri numerică corespunzătore + t m m=1 t m 1 f(x)dx (1.33) este convergentă şi sum s este eglă cu J. Pentru demonstr cest vom folosi sumele prţile le seriilor (1.32) şi (1.33). Deorece J este totodtă limit superioră şirului sumelor prţile le seriei (1.32), rezultă că pentru orice ε > există t n stfel încât să ibă loc ineglitte J ε < tn f(x)dx < J. Să legem numărul nturl m stfel încât pentru toţi m m să fie stisfăcută ineglitte t m t n. Apoi, pentru orice t m există t nm > t m şi prin urmre, ineglitte J ε < tn f(x)dx t m f(x)dx tnm f(x)dx J

24 Ion Crăciun re loc pentru toţi m m, deorece f este funcţie nenegtivă. În consecinţă t m lim f(x)dx = J, m + cre, în bz Teoremei 1.5.1, rtă că integrl improprie cu limit superioră punct singulr unei funcţii pozitive pe intervlul de integrre este convergentă. Exemplul 1.5.1 Integrl improprie f(x) = 1 f(x)dx, unde 2 n pentru n x n + 1, n IN 22n pentru n + 1 < x < n + 1, n IN 22n este convergentă şi re vlore 1. (1.34) Soluţie. Aplicând Teorem 1.5.3 pentru legere lui t n = n, găsim 1 f(x)dx = + n+1 n=1 n f(x)dx = cee ce rtă că integrl improprie de speţ întâi 1 f(x)dx, + n=1 1 2 n = 1 unde f este funcţi (1.34), este convergentă şi re vlore 1. Observţi 1.5.4 Exemplul de mi sus rtă că chir dcă funcţi f este nenegtivă fptul că integrl improprie de prim speţă f(x)dx este convergentă nu trge că f(x) când x +. Întrdevăr, folosind criteriul de nonexistenţă limitei unei funcţii întrun punct, rezultă că că funcţi definită prin (1.34) nu re limită în punctul de l infinit.

Cpitolul 1 Integrle improprii 25 1.6 Criteriul integrl l lui Cuchy Teorem 1.6.1 Dcă funcţi f : [1, + ) IR, integrbilă Riemnn pe orice compct [1, t] [1, ), este pozitivă şi descrescătore, tunci seri + n=1 f(n) şi integrl improprie de speţ întâi 1 f(x)dx u ceeşi ntură. Demonstrţie. Deorece f este funcţie descrescătore pe intervlul [1, + ) vem f(k + 1) f(x) f(k), x [k, k + 1], k IN şi deci, după integrre pe compctul [k, k + 1], f(k + 1) k+1 Sumând ineglităţile (1.35) după k = 1, n, obţinem k f(x)dx f(k), k IN. (1.35) n n+1 n f(k + 1) f(x)dx f(k), k=1 1 k=1 dică, n+1 s n+1 f(1) f(x)dx s n, (1.36) 1 n unde s n = f(k) este sum prţilă de ordin n seriei numerice k=1 + n=1 f(n). (1.37) Din (1.36) rezultă că şirul sumelor prţile (s n ) seriei (1.37) este mărginit dcă şi numi dcă şirul de puncte ( n f(x)dx ) (1.38) este mărginit. Fiind şi monoton crescător, rezultă că şirul (s n ) este convergent, dică seri numerică 1 + n=1 f(n) este convergentă dcă şi numi dcă şirul (1.38) este convergent, dică dcă şi numi dcă integrl improprie de primul tip 1 f(x)dx este convergentă.

26 Ion Crăciun Exemplul 1.6.1 Seri numerică cu termeni pozitivi + n=2 1 n ln α n, α >, este convergentă pentru α > 1 şi divergentă pentru α (, 1]. Soluţie. Se plică criteriul integrl l lui Cuchy, unde funcţi f este f(x) = 1 x ln α, α >, x [2, + ). x Integrl improprie de cre vem nevoie pentru plic criteriul este 2 dx + x ln α x = d(ln x) + 2 ln α x = du ln 2 u. α Ultim integrlă este de tipul (1.21) în cre = ln 2 şi C = 1. Prin urmre, integrl este convergentă pentru α > 1 şi divergentă când α 1. Conform criteriului integrl l lui Cuchy, seri este convergentă pentru α > 1 şi divergentă pentru α (, 1]. 1.7 Metode de clcul le integrlelor improprii Plecând de l observţi că o integrlă improprie se defineşte c limită unei integrle definite şi că pentru clculul cestei din urmă se pot utiliz metode c schimbre de vribilă şi integrre prin părţi, este nturl să punem problem dcă ceste tehnici de clcul nu sunt plicbile şi integrlelor improprii. 1.7.1 Schimbre de vribilă în integrl improprie Teorem 1.7.1 Dcă f : [, b) IR, < < b +, este o funcţie integrbilă Riemnn pe orice compct [, t] [, b) şi τ x = ϕ(τ) IR, τ [α, β), < α < β +,

Cpitolul 1 Integrle improprii 27 este o funcţie strict crescătore cu derivtă continuă pe [α, β) cre stisfce condiţiile: = ϕ(α); lim ϕ(τ) = b, τ β (1.39) tunci integrlele improprii: b f(x)dx; β α f(ϕ(τ)) ϕ (τ) dτ u ceeşi ntură. Dcă un din ele este convergentă, tunci re loc eglitte b f(x)dx = β α f(ϕ(τ)) ϕ (τ) dτ cre se numeşte formul schimbării de vribilă în integrl improprie. Demonstrţie. Fie t [, b) şi u = ϕ 1 (t). Ţinând cont că intervlul compct [α, u] [α, β) este corespondentul prin plicţi ϕ 1 compctului [, t] [, b), prin plicre formulei schimbării de vribilă în integrl definită, obţinem t f(x)dx = u Din proprietăţile funcţiei ϕ rezultă că α f(ϕ(τ)) ϕ (τ) dτ. (1.4) lim ϕ 1 (t) = β. (1.41) t b Definiţi integrlei improprii şi eglităţile (1.4), (1.41) demonstreză teorem. Observţi 1.7.1 Teorem se extinde uşor l celellte tipuri de integrle improprii prezentte în primul prgrf. Observţi 1.7.2 Funcţi ϕ cre relizeză schimbre de vribilă întro integrlă improprie pote fi strict descrescătore, derivbilă şi cu derivtă continuă pe (α, β]. În cest cz, condiţiile (1.39) devin = ϕ(β); ir formul schimbării de vribilă este b f(x)dx = β α τ α lim ϕ(τ) = b, f(ϕ(τ)) ϕ (τ) dτ.

28 Ion Crăciun Observţi 1.7.3 Este posibil c în urm unei schimbări de vribilă o integrlă improprie să trecă întro integrlă proprie şi reciproc. Exemplul 1.7.1 Să se clculeze integrl I = 1 1 unde y este un număr rel pozitiv. cos (y rcsin x) dx, 1 x 2 Soluţie. Pentru fiecre y >, funcţi f : ( 1, 1) IR, f(x) = cos (y rcsin x), x ( 1, 1), 1 x 2 este continuă, c tre este integrbilă Riemnn pe orice compct [u, t] ( 1, 1) şi putem spune că I este o integrlă improprie cu mbele limite de integrre puncte singulre. Funcţi ϕ : ( π/2, π/2) ( 1, 1), x = ϕ(τ) = sin τ stisfce condiţiile cerute de formul schimbării de vribilă în integrl improprie, ir lim ϕ(τ) = 1, lim τ π/2 ϕ(τ) = 1. τ π/2 Aplicre formulei schimbării de vribilă conduce l I = 1 1 cos (y rcsin x) π/2 dx = cos yτ dτ = 1 1 x 2 π/2 y sin yτ π/2 = 2 πy sin π/2 y 2. Schimbre de vribilă folosită trnsformt integrl improprie cu mbele limite de integrre puncte singulre în integrlă definită (proprie). Exemplul 1.7.2 Să se clculeze integrl definită J = 2π dx sin 4 x + cos 4 x.

Cpitolul 1 Integrle improprii 29 Soluţie. Deorece integrntul este funcţie periodică de periodă π 2, vem π 2 J = 4 π dx sin 4 x + cos 4 x = 2 f(x)dx. (1.42) Efectuăm schimbre de vribilă tg x = τ. Prin urmre, funcţiile ϕ şi ϕ sunt ϕ, ϕ : [, + ) IR, ϕ(τ) = rctg τ, ϕ (τ) = 1 1 + τ 2. Prin cestă schimbre de vribilă, intervlul finit de integrre [, π 2 ] se trnsformă în intervlul infinit [, + ) şi cos 2 x = 1 1 + τ 2 ; sin2 x = τ 2 1 + τ 2 ; f(ϕ(τ)) ϕ (τ) = 4 1 + τ 2 1 + τ 4. Folosind schimbre de vribilă menţiontă, integrl proprie (1.42) devine integrl improprie de speţ întâi dintr o funcţie rţionlă 1 + τ 2 J = 4 dτ. (1.43) 1 + τ 4 Funcţi de integrt din (1.43) se descompune în frcţiile simple 4(1 + τ 2 ) 1 + τ 4 = 2 τ 2 + τ 2 + 1 + 2 τ 2 τ 2 + 1, ir ceste frcţii simple dmit c primitive funcţiile 2 2 rctg (τ 2 + 1), 2 2 rctg (τ 2 1) cre u limite finite în τ = + şi fiecre din ceste limite este eglă cu π 2. Prin urmre, plicând formul Leibniz Newton (1.23), se găseşte că vlore integrlei proprii J este J = π 8. Observţi 1.7.4 Studiul nturii unei integrle improprii pe un intervl mărginit dintr o funcţie nemărginită (integrlă improprie de speţ dou) se reduce l studiul nturii unei integrle improprii pe un intervl nemărginit. Într-devăr, schimbre de vribilă x = ϕ(τ) = bτ + τ + 1 = τ = ϕ 1 (x) = x b x,

3 Ion Crăciun efectută în integrl improprie de speţ dou cu limit superioră punct singulr din funcţi f conduce l integrl improprie de speţ întâi b f(x)dx = (b ) f ( bτ + ) dτ τ + 1 (τ + 1) 2 fpt cre este evident. Conform cestei observţii, mi deprte se pot studi dor integrlele improprii de speţ întâi. 1.7.2 Integrre prin părţi în integrl improprie Teorem 1.7.2 Dcă funcţiile u, v : [, b) IR, < < b +, dmit derivte continue pe [, b), ir limit lim x b u(x)v(x), nottă cu lim u(x)v(x) = u(b)v(b), x b există şi este finită, tunci integrlele improprii b u(x)v (x)dx, b u (x)v(x)dx (1.44) u ceeşi ntură. Dcă un din integrlele (1.44) este convergentă, tunci re loc eglitte b u(x)v (x)dx = u(x)v(x) b b u (x)v(x)dx, (1.45) cre se numeşte formul integrării prin părţi în integrl improprie. Demonstrţie. În ipotezele teoremei, re loc formul integrării prin părţi pe compctul [, t] [, b) t u(x)v (x)dx = u(x)v(x) t t u (x)v(x)dx. (1.46) Trecând l limită pentru t b în (1.46), rezultă că integrlele improprii (1.44) u ceeşi ntură şi, în plus, re loc (1.45).

Cpitolul 1 Integrle improprii 31 Exerciţiul 1.7.1 Să se clculeze următorele integrle improprii de speţ dou π/2 π/2 I = ln sin xdx, J = ln cos xdx. (1.47) Soluţie. Prim integrlă re limit inferioră punct singulr ir ce de dou re singulritte în limit superioră, mbele singulrităţi fiind înţelese în sensul că funcţi de integrt este nemărginită în vecinătăţi le cestor limite de integrre. Integrre prin părţi primei integrle conduce l π/2 π/2 x ln sin xdx = dx. (1.48) tg x De remrct că integrl din membrul doi l relţiei (1.48) este proprie x căci funcţi de integrt este continuă pe intervlul (, π/2) şi re limite tg x finite în extremităţi, deci este prelungibilă prin continuuitte l compctul [, π/2]. Acest rezultt rtă că integrl improprie I este convergentă. L fel se demonstreză că şi J este integrlă improprie convergentă. Integrlele I şi J sunt egle deorece după efecture substituţiei x = π/2 t în prim integrlă se obţine ce de dou integrlă. Apoi, 2I = I + J = π/2 ln sin 2x 2 = π π/2 2 ln 2 + ln sin 2xdx. (1.49) Efectuând schimbre de vribilă 2x = u în ultim integrlă din (1.49), obţinem π/2 ln sin 2xdx = 1 ln sin udu. (1.5) 2 Pe de ltă prte, propriette de ditivitte în rport cu intervlul de integrre integrlei definite conduce l π ln sin udu = π/2 π ln sin udu + π π/2 ln sin udu. (1.51) Dcă în ultim integrlă din (1.51) efectuăm schimbre de vribilă u = π x, găsim π π/2 π/2 ln sin u du = ln sin xdx = ln sin xdx = I. (1.52) π/2

32 Ion Crăciun Din (1.49), (1.5) şi (1.52) deducem 2I = I π 2 ln 2 din cre, ţinând cont şi de fptul că I = J, vem în finl π/2 ln sin xdx = π/2 ln cos xdx = π 2 ln 2. (1.53) Aşdr, vlore comună celor două integrle considerte este π ln 2. 2 Exerciţiul 1.7.2 Pornind de l integrl I din (1.47) şi folosind cele două metode de clcul le integrlelor improprii, să se determine vlore integrlei 1 rcsin x dx. x Soluţie. Schimbre de vribilă sin x = t în integrl I din (1.47) rtă că π/2 1 ln t 1 ln sin xdx = dt = (ln t)(rcsin t) dt, 1 t 2 ir integrre prin părţi în ultim integrlă conduce l 1 ln t 1 t 2 dt = (ln t)(rcsin t) 1 1 rcsin t t dt. (1.54) Folosind (1.53) şi (1.54) se găseşte 1 rcsin t t dt = π ln 2, 2 cu menţiune că integrl cărei vlore m determint o este proprie, singulritte în origine fiind prentă deorece funcţi continuă t rcsin t, t t (, 1] pote fi prelungită prin continuitte l compctul [, 1].

Cpitolul 1 Integrle improprii 33 1.8 Testul lui Cuchy de convergenţă integrlelor improprii Convergenţ unei integrle improprii cu limit superioră punct singulr b t f(x)dx = lim F (t) = lim t b t b f(x)dx (1.55) este echivlentă cu existenţ limitei în punctul t = b funcţiei F. Conform teoremei Bolzno Cuchy, cre sigură existenţ limitei finite într-un punct de cumulre domeniului de definiţie unei funcţii rele de vribilă relă, funcţi F re limită finită în punctul t = b dcă şi numi dcă pentru orice ε > există b(ε) [, b) stfel încât F (t ) F (t ) < ε ( ) t (b(ε), b) şi ( ) t (b(ε), b). (1.56) Teorem 1.8.1 (Testul lui Cuchy de convergenţă l unei integrle improprii cu limit superioră punct singulr) Integrl improprie (1.55) este convergentă dcă şi numi dcă pentru orice ε > există b(ε) [, b) stfel încât ineglitte re loc pentru orice t, t (b(ε), b). t f(x)dx < ε (1.57) t Demonstrţie. Convergenţ integrlei improprii (1.55) este stbilită de comportre vlorilor funcţiei F : [, b) IR, F (t) = t f(x)dx (1.58) în vecinătte punctului t = b. Aplicând teorem lui Bolzno Cuchy în cre funcţi F este (1.58), din (1.55) şi (1.56) rezultă concluzi teoremei. Observţi 1.8.1 Ineglitte (1.57) este echivlentă cu condiţi t lim t b t b t f(x)dx =. (1.59)

34 Ion Crăciun Exerciţiul 1.8.1 Folosind testul de convergenţă l lui Cuchy să se demonstreze că integrl improprie de speţ întâi cu limit superioră punct singulr I = sin x dx (1.6) x este convergentă. Acestă integrlă se numeşte integrl lui Dirichlet. Soluţie. Să remrcăm întâi că singulritte în limit inferioră cestei integrle este prentă căci funcţi f 1 : (, + ) IR, f 1 (x) = sin x, x >, (1.61) x pote fi prelungită prin continuitte luând pe 1 c vlore în x = funcţiei f, prelungire prin continuuitte funcţiei f 1. Vlore în x = funcţiei f este limit în origine funcţiei f 1 din (1.61). Atunci funcţi sin x pentru x >, f : [, + ) IR, f(x) = x 1 pentru x = este continuă pe întreg domeniu de definiţie deci se pote vorbi de integrl improprie (1.6). Evlure integrlei de tipul (1.59) folosind metod integrării prin părţi conduce l t Prin urmre, t t t sin x cos t cos t t dx = x t t t sin x x dx 1 t + 1 t + t t cos x x 2 cos x x dx. 2 1 t + 1 t + t dx 2 t + 2 t t x 2 dx pentru t + şi t +. Deci, în bz părţii dou testului lui Cuchy de convergenţă unei integrle improprii, integrl improprie de speţ întâi (1.6) este convergentă. Mi târziu vom vede că vlore integrlei lui Dirichlet este π 2.

Cpitolul 1 Integrle improprii 35 De remrct că plicre testului lui Cuchy l o integrlă improprie concretă este lboriosă, în schimb, în multe plicţii, cest test este folosit pentru stbilire unor condiţii suficiente (criterii) de convergenţă. Criteriile de convergenţă pe cre le vom demonstr se vor referi l integrle improprii cu limit superioră punct singulr, şi cest pentru că studiul oricărui lt tip de integrlă improprie, printr o schimbre de vribilă decvtă, se reduce l studiul unei cu singulritte în limit superioră. Îninte de trece l prezentre cestor criterii vom introduce noţiune de integrlă improprie bsolut convergentă cre este semănătore noţiunii de serie numerică bsolut convergentă. 1.9 Integrle improprii bsolut convergente Definiţi 1.9.1 Fie f : [, b) IR o funcţie integrbilă în sens generlizt pe intervlul [, b) şi integrl improprie cu limit superioră punct singulr b f(x)dx. (1.62) Integrl improprie (1.62) se numeşte bsolut convergentă dcă integrl improprie b f(x) dx (1.63) este convergentă. Teorem 1.9.1 Dcă integrl improprie (1.62) este bsolut convergentă, tunci e este convergentă. Demonstrţie. Într-devăr, integrl (1.63) fiind convergentă, rezultă că pentru ε > există b(ε) stfel încât să vem Însă, întotdeun vem t f(x) dx < ε, ( ) t, t > b(ε). (1.64) t t t f(x)dx f(x) dx. (1.65) t t

36 Ion Crăciun Ineglităţile (1.64) şi (1.65) implică t t f(x)dx f(x) dx < ε ( ) t, t > b(ε). t t Fiind îndeplinite condiţiile testului lui Cuchy pentru integrl improprie (1.62), cest este convergentă şi teorem este demonstrtă. Observţi 1.9.1 Convergenţ integrlei improprii (1.62) nu implică convergenţ bsolută s, cu lte cuvinte reciproc Teoremei 1.9.1 nu este devărtă. Pentru justific cestă firmţie este suficient să dăm un exemplu. Folosind testul de convergenţă l lui Cuchy s demonstrt că integrl improprie de speţ întâi (1.6) este convergentă. Demonstrăm că integrl modulului sin x dx x este divergentă. Pentru cest este suficient să rătăm că seri numerică + π(n+1) n= πn sin x dx (1.66) x este divergentă fpt ce se pote constt prin plicre criteriului de comprţie pentru seriile numerice cu termeni pozitivi. Întrdevăr, pentru n 1, vem π(n+1) πn sin x dx x 1 π(n + 1) ir seri numerică cu termeni pozitivi π(n+1) πn sin xdx = 2 π(n + 1), (1.67) + n=1 2 πn = 2 + 1 π n=1 n (1.68) este divergentă deorece diferă de seri rmonică prin fctorul constnt 2 π. Divergenţ seriei numerice (1.68) şi ineglitte (1.67), împreună cu criteriul de comprţie pentru seriile numerice cu termeni pozitivi, trge divergenţ seriei numerice (1.66).

Cpitolul 1 Integrle improprii 37 Definiţi 1.9.2 Integrl improprie (1.62) se numeşte semiconvergentă su simplu convergentă dcă e este convergentă dr nu este bsolut convergentă. Observţi 1.9.2 O integrlă improprie se pote pls în unul din czurile: integrlă improprie semiconvergentă; integrlă improprie bsolut convergentă; integrlă improprie divergentă. Observţi 1.9.3 Integrl improprie cu limit superioră punct singulr (1.62) este bsolut convergentă dcă şi numi dcă integrl improprie b 1 f(x)dx, (1.69) unde < 1 < b, este bsolut convergentă. Într-devăr, dcă un din integrlele improprii (1.62) şi (1.69) este bsolut convergentă, în bz Definiţiei 1.9.1 şi testului de convergenţă l lui Cuchy, vem t t f(x) dx pentru t, t b. (1.7) Dr relţi (1.7) este condiţie necesră şi suficientă de convergenţă şi pentru celltă integrlă improprie din cele două menţionte mi sus. Exemplul 1.9.1 (Un exemplu de integrlă semiconvergentă) Pe segmentul [n 1, n] IR c bză, se construieşte triunghiul isoscel T n, de rie 1, cu vârful în sus su în jos, după cum n este număr întreg pozitiv impr n su pr. Mulţime lturilor egle le triunghiurilor T, T 1, T 2,, T n, constituie grficul unei funcţii f continue pentru x >. Să se rte că integrle improprie de prim speţă f(x)dx este convergentă, în timp ce integrl f(x) dx este divergentă.

38 Ion Crăciun Soluţie. Să considerăm un număr pozitiv x cu propriette că prte s întregă este n 1. Dcă n este pr, putem scrie n f(t)dt x f(t)dt Dcă n este impr, vem ineglităţile contrrii n 1 f(t)dt x f(t)dt n 1 n f(t)dt. f(t)dt. Dr, din interpretre geometrică integrlei Riemnn, vem n 1 dcă x +, tunci n +, ir deci integrl improprie n 1 f(t)dt = ( 1) k 1 1 k. + k=1 k=1 ( 1) k 1 1 k Pe de ltă prte, este uşor de văzut că n 1 k=1 = ln 2, f(x)dx este convergentă şi re vlore ln 2. 1 x k f(t)dt deci integrl f(x) dx este divergentă deorece seri numerică divergentă. n k=1 1 k, Prin urmre, integrl improprie de speţ întâi f(x)dx este semiconvergentă. + n=1 1 n este 1.1 Criterii de comprţie le integrlelor improprii Pentru studiul convergenţei bsolute şi divergenţei unor integrle improprii de regulă se folosesc unele criterii în cre sunt implicte două integrle improprii le căror ntură este comprtă, motiv pentru cre ceste criterii sunt numite criterii de comprţie.

Cpitolul 1 Integrle improprii 39 Teorem 1.1.1 (Criteriul generl de comprţie) Dcă funcţiile f, g : [, b) IR, < < b + sunt integrbile Riemnn pe orice segment [, t] [, b), tunci u loc următorele firmţii: 1. dcă există 1 [, b) stfel încât re loc ineglitte f(x) g(x), x [ 1, b), şi integrl improprie cu limit superioră punct singulr b g(x)dx (1.71) este convergentă, tunci integrl improprie (1.62) este bsolut convergentă; 2. dcă există 2 [, b) stfel încât f(x) g(x), x [ 2, b) şi integrl improprie (1.71) este divergentă, tunci integrl improprie (1.62) este divergentă. Demonstrţie. Pentru demonstr prim dintre firmţii să observăm că pe orice segment [t, t ] [ 1, b) vem t t f(x) dx g(x)dx. (1.72) t În bz ineglităţii (1.72) şi testului lui Cuchy de convergenţă unei integrle improprii, rezultă că integrl improprie (1.63) este convergentă, deci în bz Definiţiei 1.9.1 integrl improprie (1.62) este bsolut convergentă. Demonstrţi celei de dou firmţii se fce prin reducere l bsurd. Presupunând prin bsurd că integrl improprie (1.62) este convergentă, în bz primei firmţii cestei teoreme rezultă că integrl improprie (1.71) este convergentă, cee ce contrzice ipotez. Din cestă teoremă rezultă câtev consecinţe cre sunt forte utile şi uşor de mnevrt în stbilire nturii unor integrle improprii. t

4 Ion Crăciun Corolrul 1.1.1 (Criteriul de comprţie cu limită) Dcă în integrlele improprii (1.62) şi (1.71), cu limit superioră punct singulr, funcţiile f şi g sunt nenegtive pe segmentul [, b) şi există tunci u loc următorele firmţii: f(x) lim x b g(x) = k, 1. dcă integrl improprie (1.71) este convergentă şi k < +, tunci integrl improprie (1.62) este convergentă; 2. dcă integrl improprie (1.71) este divergentă şi < k +, tunci integrl improprie (1.62) este divergentă. Demonstrţie. Pentru răt că prim firmţie este devărtă să observăm că din definiţi în limbjul ε δ limitei unei funcţii rele de o vribilă relă, într-un punct de cumulre domeniului ei de definiţie, rezultă că există 1 [, b) stfel încât f(x) g(x) < k + 1, x [ 1, b) = f(x) < (k + 1)g(x), x [ 1, b). Convergenţ integrlei (1.71) implică convergenţ integrlei b (k + 1)g(x)dx şi în bz punctului 1 l Teoremei 1.1.1 rezultă firmţi 1 din cest corolr. Pentru demonstr punctul 2 să considerăm k (, k). Definiţi limitei sigură existenţ lui 2 [, b) stfel încât f(x) g(x) > k, x [ 2, b) = f(x) > k g(x), x [ 2, b). (1.73) Ineglităţile (1.73), divergenţ integrlei improprii (1.71) şi ipotez de l punctul 2 l Teoremei 1.1.1 conduc l divergenţ integrlei (1.62). Observţi 1.1.1 Dcă < k < +, tunci integrlele (1.62) şi (1.71) u ceeşi ntură.

Cpitolul 1 Integrle improprii 41 Corolrul 1.1.2 (Criteriu specil de comprţie) Pentru integrl improprie de speţ întâi cu limit superioră punct singulr f(x)dx, > (1.74) sunt devărte următorele firmţii: 1. dcă există 1 [, + ), α > 1 şi C finit stfel încât f(x) C x α, x [ 1, + ), tunci integrl improprie (1.74) este bsolut convergentă; 2. dcă există 2 [, + ), α 1 şi C > stfel încât f(x) C x α, x [ 2, + ), ir funcţi f re semn constnt pe [ 2, + ), tunci integrl improprie (1.74) este divergentă. Demonstrţie. Punând g(x) = C în criteriul generl de comprţie şi xα ţinând cont de fptul că integrl improprie C x α dx este convergentă pentru α > 1 şi >, deducem că integrl (1.74) este bsolut convergentă. Să observăm că presupunere > nu este restrictivă căci dcă se întâmplă c în (1.74) limit inferioră de integrre să nu fie pozitivă, tunci pote fi înlocuit prin c >, ir integrlele improprii f(x)dx şi c f(x)dx sunt simultn convergente su divergente. Pentru demonstr ce de dou firmţie, presupunem că există 2 >, C > şi α 1 stfel încât f(x) C x α pentru x [ 2, + ). Dcă C ţinem cont că în cest cz integrl improprie dx este divergentă 2 xα şi plicăm prte dou criteriului generl de comprţie, deducem că + f(x)dx este divergentă rezultt cre, împreună cu Observţi 1.2.1, 2 implică divergenţ integrlei improprii (1.74).

42 Ion Crăciun În czul în cre vlorile funcţiei f sunt negtive pe [ 2, + ), dcă f(x) C x α pentru x 2 >, C > şi α 1, putem pune f (x) = f(x). Funcţi f re propriette f (x) C x α pentru orice x 2 >. În consecinţă, integrl f (x)dx este divergentă, cee ce trge fptul că integrl t t f(x)dx = lim f(x)dx = lim f (x)dx t + t + este de semeni divergentă, pentru că ultim limită nu există. Corolrul 1.1.3 (Criteriul de convergenţă în α cu limită) Dcă există limit lim x + f(x) xα = C, tunci u loc următorele firmţii: 1. dcă C < + şi α > 1, integrl improprie (1.74) este bsolut convergentă; 2. dcă < C +, α 1 şi funcţi f păstreză celşi semn pentru x 2, unde 2, integrl improprie (1.74) este divergentă. Demonstrţie. Din definiţi limitei cu vecinătăţi rezultă că dcă C < +, există 1 stfel încât u loc ineglităţile: f(x) x α 2C, pentru C > şi x [ 2, + ) = f(x) 2C x, x [ 2, + ); α f(x) x α 1, pentru C = şi x [ 2, + ) = f(x) 1 x, x [ 2, + ). α Prin urmre, în bz punctului 1 l Corolrului 1.1.2 integrl improprie de speţ întâi (1.74) este bsolut convergentă. Pentru dou firmţie, dcă < C + şi α 1, u loc următorele ineglităţi f(x) x α > C 2, pentru C < + şi x [ 2, + ) =

Cpitolul 1 Integrle improprii 43 f(x) > C 2x α, x [ 2, + ); f(x) x α > 1, pentru C = şi x [ 2, + ) = f(x) > 1 x, x [ 2, + ), α de unde, conform celei de dou firmţii din Corolrul 1.1.2, rezultă că integrl improprie (1.74) este divergentă. Exemplul 1.1.1 Integrl improprie P (x) dx, (1.75) Q(x) m unde P (x) = k x k este un polinom de grdul m cu coeficienţi reli, ir k= n Q(x) = b j x j un polinom rel de grd n, cre nu re rădăcini rele în j= intervlul de integrre [, + ), este convergentă dcă n > m + 1. Soluţie. Într-devăr, funcţi de integrt se pote scrie 1 P (x) Q(x) = 1 + x + + m x m x n m b + b 1 x + + b. (1.76) n x n Efectuând produsul cu x n m în mbii membri i relţiei (1.76) şi trecând l limită pentru x +, obţinem P (x) lim xn m x + Q(x) =, b cre rtă că dcă n m > 1, integrl improprie (1.75) este convergentă. Exerciţiul 1.1.1 Să se studieze ntur integrlelor improprii de prim speţă: I 1 = 1 dx + 3 1 + x 1 + x 2 3 1 + x, I 2 3 2 = 2 x2 1 dx.