Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne iskaze, za proizvoljne realne funkcije f i g: 1) f g ))) = f ) g ) ) f g ))) = f g )) g ) 3) f g ))) = f g )) g ) 4) f g ))) = f ) g ) 5) sin ) = sin + cos 6) sin ) = sin + sin 7) sin ) = 1 + cos 8) tg ) = cos + sin cos 9) tg ) = ctg Prvi izvodi funkcija f : R R, f ) = 3 i g : R R, g ) = e 3 5 su 1) f ) = 3 3 ) g ) = 3e 3 5 Domen funkcije f ) = 1 je, 1] [1, ) Domen funkcije f ) = e 1 je [1, ) Parcijalni izvodi funkcije f : R R, f, y) = y 3 su 1) f, y) = y 3 ) f y, y) = 3 y 4 TEST ) 1) lim ln n + 3) = ) lim n n = n n ) ) n + 1 1 n 3) lim n 5n + 3 n = 4) lim = n 3 1) 1 n ) = ) n=1 1 ) n = 1 5 5 1 1 + 1 = 1 6 5 n=1 Napisati formulu za razvoj funkcije f : R R u beskonačni Tejlorov red u okolini tačke 1: f ) = k= f k) 1) 1) k k! Napisati prve izvode sledećih funkcija: f : R R, f ) = sin + : f ) = cos + sin + f : R R, f ) = e : f ) = e e f : R R, f ) = sin cos : f ) = cos sin f : R R, f ) = 5 : f ) = 5 5 3 f : R R, f ) = ln cos ): f ) = sin cos = tg
Stacionarne tačke funkcije f : R R, f ) = e su: Ako je f ) > za sve 1, ), tada je funkcija f na intervalu 1, ): 1) monotono rastuća ) monotono opadajuća 3) konstantna 4) konveksna 5) konkavna 6) neprekidna Prava y = je desna kosa asimptota funkcije f ) ako je izraziti limesom): f ) lim = k R \ {} lim f ) k) = n R Parcijalni izvodi funkcije f : R R, f, y) = y 3 su 1) f, y) = y 3 y 3 ) f y, y) = 3 y y 3 Stacionarne tačke funkcije f : R R, f ) = + y + y su:, 4) ZADACI 1. Odrediti ekstreme funkcije z = f, y) = + y y 4 y 4 na oblasti R \ {, )}. Rešenje: Prvi i drugi parcijalni izvodi funkcije f su redom f, y) = y 4 3, f y, y) = y 4y 3, f, y) = 1, f yy, y) = 1y, f y, y) =. Nalazimo stacionarne tačke. f, y) = y 4 3 = f y, y) = y 4y 3 = y = 43 y = 4y 3 y = 43 4 3 = 4y 3 y = 43 y = 3 = 1 ) = 1) + 1) = y = 4 = 43 y = = y = ) = 1 y = 1) = 1 y = 1)). Dakle, stacionarne tačke su T 1, ), T 1, 1) i T 3 1, 1). {, 1, 1} y = T 1 ) Za stacionarnu tačku T 1, ) je r = f, ) =, t = f yy, ) =, s = f y, ) =, te je rt s = ) =, ali tačka T 1 ne pripada posmatranoj oblasti. T ) Za stacionarnu tačku T 1, 1) je r = f 1, 1) = 1, t = f yy 1, 1) = 1, s = f y 1, 1) =, te je rt s = 1) 1) ) = 96 >, pri čemu je r = 1 <, što znači da funkcija f u tački T ima lokalni maksimum, i pri tome je z ma = f 1, 1) = 1 + 1 + 1 1 =. T 3 ) Za stacionarnu tačku T 3 1, 1) na isti način dobijamo da je tačka maksimuma, i da je u njoj takode z ma = f 1, 1) =.. Koliko članova u razvoju funkcije f ) = cos ) u Maklorenov red treba uzeti da bi vrednost cos izračunali sa greškom manjom od 1? Rešenje: Za funkciju f ) = cos ) induktivno dobijamo f 4k) ) = 4k cos ), k N {}, f 4k) ) = 4k cos = 4k, k N {}, f 4k+1) ) = 4k+1 sin ), k N {}, f 4k+1) ) = 4k+1 sin =, k N {},
f 4k+) ) = 4k+ cos ), k N {}, f 4k+) ) = 4k+ cos = 4k+, k N {}, f 4k+3) ) = 4k+3 sin ), k N {}, f 4k+3) ) = 4k+3 sin =, k N {}, te je cos ) = gde je n k= 1) k k k k)! + r n ) = n k= r n ) = f n+1) ξ) n + 1)! n+1 za neko ξ, ), te za = treba da bude f n+1) ξ) r n ) = n + 1)! n+1 < 1. 1) k 4 k k k)! + r n ), Tako, za ξ, ), i koristeći da je sin t < 1 i cos t < 1 za sve t R dobijamo f n+1) ξ) r n ) = n + 1)! n+1 = ± n+1 sin ξ) n+1 1 < n + 1)! n + 1)! 4n+ < 1, što redom za n = 1 nije tačno jer je 1 3! 6 = 64 6 > 1, n = nije tačno jer je 1 5! 1 = 14 1 8.5333 > 1, n = 3 nije tačno jer je 1 7! 14 = 16384 54 3.58 > 1, n = 4 jeste tačno jer je 1 9! 18 = 6144 3688.74 < 1. Dakle, za traženu aproksimaciju je dovoljno uzeti n = 4, odnosno polinom 8-og stepena. 3. Ispitati funkciju f ) = Rešenje: 1) + 1 a) Domen funkcije je ceo skup R. b) Nule funkcije: f ) = = = 1. i nacrtati njen grafik. c) Znak funkcije: kako je R, + 1 >, to je f ) > 1) ln, ) 1, ), jer se radi o konveksnoj kvadratnoj funkciji. Dakle, funkcija f je pozitivna na skupu, ) 1, ), a negativna na intervalu, 1). d) Monotonost i lokalni ekstremi funkcije: f ) ) = = 1) + 1 ) ) + 1 + 1) = + 1 + 1) ; f ) = + 1 = 1, = ± 4 + 4 1 = 1.414 = 1 + ).414. Kako je R, + 1 ) >, a + 1 je konveksna kvadratna funkcija, sledi da je funkcija f ) pozitivna, odnosno f je rastuća f ) za, 1 ) 1 +, ), a f ) je negativno, odnosno f je opadajuća f ) za 1, 1 + ). Kako je funkcija f neprekidna kompozicija neprekidnih funkcija) i raste od do 1 i opada od 1, sledi da funkcija f u tački 1 ima lokalni maksimum. Iz analognih razloga funkcija f u tački 1 + ima lokalni minimum.
e) Konveksnost i konkavnost funkcije: f ) + 1 ) = + 1) = = + ) + 1 ) + 1 ) + 1 ) + 1) 4 = = + 1) + 1 ) + 1 ) + 1) 3 = 3 + 3 3 1 + 1) 3 = 3 1 ) + 3 3 ) 1) + + 1 ) + 3 1) = + 1) 3 = + 1) 3 = = 1) + 4 + 1 ) )) )) 1) 3 + 3 + 1) 3 = + 1) 3, gde je 3 3.73 i + 3.7. Kako je + 1 ) 3 > za svako R, znak drugog izvoda f je jednak znaku izraza u brojiocu 1) 3 )) + 3 )). 3 + 3 1 )) 3 + + + )) + 3 + + 1) + f ) + + f ) Dakle, funkcija f je konveksna na skupu 3, + 3 ) 1, ), a konkavna na skupu, 3 ) + 3, 1 ). f) Vertikalne asimptote funkcije ne postoje jer je funkcija f definisana i neprekidna na celom skupu R. g) Horizontalna / kosa asimptota funkcije: kako je lim f ) = lim : ± ± + 1 asimptota funkcije f i sa leve i sa desne strane. h) Grafik funkcije: 1. 1.8.6.4. : = lim ±. 1 1 1 + 1 = 1, sledi da je prava y = 1 horizontalna 1 5 5 1 15.
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE Zaokružiti osobine integrala za proizvoljne f : R R, g : R R, k R) 1) f )d = f )d) ) f ) g ))d = f )d + g )d ) 3) f g ))d = f g )d 4) e k f )d = e k f )d 5) kf )d = k f )d 6) d = 7) d = c Ako je f ) > g ), [a, b], napisati formulu za zatvorenu površinu koju zaklapaju krive f ) i g ), i prave = a i = b: P = b Ako je F ) = b a f )d = a f ) g ))d f )d, tada je po Njutn-Lajbnicovoj formuli): F b) F a) Izračunati: d 1) = 1 3 ) 3 + c ) 1 + 1)d = Diferencijalna jednačina oblika f y)dy = g )d je 1) diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive ) homogena diferencijalna jednačina 3) linearna diferencijalna jednačina 4) Bernulijeva diferencijalna jednačina y Diferencijalnu jednačinu oblika y y = f rešavamo uvodenjem smene: t = ) 3 TEST Zaokružiti osobine integrala za proizvoljne f : R R, g : R R, F : R R, k R) 1) + g ))d = 1 + g )d ) f f ))d = f ) 3) f )d = f ) + c 4) f )d = f ) 5) kf )d = k f )d 6) u )dv ) = u )v ) v )du ) 7) u )dv ) = u ) v ) 8) k d = k + c 9) k d = k + c Izračunati: 1) d = + c ) sin 3)d = 3) ) 1 d = 3 3 3 3 + c 4) 1 cos 3) + c 3 e +8 1 d = e+8 + c
Smenom t = e se integral I = e e 1d svodi na integral I = t 1dt Izračunati: 1) 1 1 e sin d = ) π sin d = 1 Ako je y ) = ++c opšte rešenje diferencijalne jednačine F y, y, ) =, tada je rešenje početnog problema F y, y, ) =, y ) = 1 funkcija y ) = + + 6 Opšte rešenje diferencijalne jednačine y = e + je y ) = e + 3 3 + c y Diferencijalnu jednačinu oblika y = f rešavamo uvodenjem smene t = ) Zaokruži rešenja diferencijalne jednačine y ) + y = 1: 1) y ) = ) y ) = cos 3) y ) = tg 4) y ) = 5) y ) = 1 y ZADACI 1. a) Izračunati I = b) Izračunati I = 3e +5 d. ln d. Rešenje: a) Smenom + 5 = t, d = 1 dt dobijamo I = 3e t 1 dt = 3 e t dt = 3 et + c = 3 +5 e + c. b) Uzimajući u ) = ln du ) = 1 d, dv ) = d v ) = d =, primenom formule za parcijalnu integraciju dobijamo I = ln d = ln 1 d = ln d = ln + c = ln 1) + c.. Izračunati dužinu luka parametarski zadane krive t) = 1 6 t6, y t) = 1 4 t4 izmedu presečnih tačaka sa koordinatnim osama. Rešenje: Za vrednosti parametra t za koje kriva seče koordinatne ose dobijamo = t = i y = t = 4 8, pri čemu je t t) = t 5 i y t) = t 3, te je l = 4 8 t 5 ) + t 3 ) dt = 4 8 t 1 + t 6 dt = 4 8 t 3 t 4 + 1dt =... smenom t 4 + 1 = z, t 3 dt = 1 4 dz, uz promenu granica t = z = 4 + 1 = 1 i t = 4 8 z = 4 8 ) 4 + 1 = 9: l = 1 4 9 1 9 zdz = z 1 1 dz = 4 4 3 z 3 9 = 1 ) 9 3 = 6 6 6 = 13 3.
3. Rešiti početni problem y = y, y ) =. y + y Rešenje: Nalazimo prvo opšte rešenje diferencijalne jednačine y = y y = dy + y) = 1 y + y d y1 + ) y + 1 1 + 1 1 dy = 1 + y 1 + d 1 1 ) dy = 1 1 1 + y 1 + 1 1 ) dt = 1 1 ) dz t z t ln t = z + ln z + c y 1 + y dy = 1 + d ) d [1] 1 + y ln 1 + y) = 1 + ln 1 + ) + c + + y c = ln 1 + ) + ln 1 + y) + + y c = ln 1 + )1 + y)). [1] - Smenom 1 + y = t, dy = dt odnosno 1 + = z, d = dz. Uvrštavajući početni uslov y ) = dobijamo c = ln 1 = c =, te je traženo rešenje početnog problema implicitno definisana funkcija + y = ln 1 + )1 + y)). y y + y.