Ma-Go-5-T List Graf funkcií sínus a kosínus RNDr. Marián Macko U: Pozoroval si nieked, ako sa správa vodná hladina na jazere, ak tam hodíš kameň? Ž: Vlní sa. U: Svojím tvarom v jednej vbranej línií pripomína graf funkcie sínus, respektíve kosínus. Ž: To isté b som dosiahol, keb som na jednom konci rozkmital gumenú hadicu. U: Takých príkladov, ktoré súvisia s krivkou podobného tvaru je v praktickom živote veľa vlnenie, zvuk, závislosť striedavého prúdu a napätia na čase a podobne. Tieto závislosti na čase sa dajú zapísať vzťahmi, v ktorých sa vsktuje najmä funkcia sínus. Napríklad u = u sin význam. ( ωt + ), kde ω = T a všetk premenné majú svoj fzikáln Ž: V matematike je to o trochu ľahšie, lebo používame zvčajne iba dve premenné: a. U: Ani vo fzike to nie je náročné. Treba si len uvedomiť, že v uvedenom vzťahu smbol t vstupuje vo význame a smbol u vo význame. Ostatné smbol majú význam konštánt. U: Ab sme dobre pochopili problematiku aj týchto prírodovedných predmetov a vedeli sa v nej orientovať, potrebujeme poznať graf funkcií sínus a kosínus. Ž: Už ste naznačili, že sa podobajú vlneniu. U: Istá podobnosť tu je, ale medzi grafmi funkcií sínus a kosínus je rozdiel. Upresníme. Keďže funkcie sínus a kosínus sú periodické s najmenšou periódou, stačí násť graf daných funkcií na intervale ;. Ž: Potom ho zopakujeme na ďalších vhodných intervaloch dĺžk. U: Začneme najskôr grafom funkcie sínus. Funkčné hodnot nebudeme počítať, ale získame ich grafick z jednotkovej kružnice pre dostatočný počet hodnôt argumentu. Jednotkovú kružnicu rozdelíme na 4 rovnakých častí, ktorým bude odpovedať 4 hodnôt argumentu z intervalu ;. Dokážeš určiť všeobecné vjadrenie týchto čísel? Ž: Celá kružnica predstavuje oblúk dĺžk. Rozdelením na 4 rovnakých častí získame oblúk, z ktorých každý má dĺžku k. Z toho mi vchádza, že čísla b mali mať tvar 4, pričom celé číslo k nadobúda hodnot od do 4 vrátane. U: Výborne. Geometrick to znamená rozdeliť stredový uhol po 5. Ktorú súradnicu získaných bodov si budeme pre funkciu sínus všímať? Ž: -ovú súradnicu.
Ma-Go-5-T List U: Hodnot -ových súradníc prenesieme do grafu k odpovedajúcim argumentom. U: Tento základný graf stačí zopakovať na ďalších intervaloch: ; 4 ; 4; 6 ; 6; 8 ;... Ale aj: ; ; 4;,... 5 = sin U: Graf funkcie sínus nazývame sínusoida. Ž: Očakávam, že graf funkcie kosínus sa nazýva kosínusoida. U: Máš pravdu. Získame ho podobným spôsobom, prenášať však budeme -ové súradnice bodov, tak ako je to ukázané na obrázku.
Ma-Go-5-T List Ž: Nezdá sa vám, že kosínusoidu b sme mohli dostať posunutím sínusoid pozdĺž osi? U: Vieš, v ktorom smere a o koľko? Ž: Ab sa kopček sínusoid v dostal na kopček kosínusoid v bode nula, tak doľava práve o číslo. = cos = sin U: Máš pravdu. Kosínusoida vznikla posunutím sínusoid v smere zápornej polosi o. Potom, ale graf funkcie = cos môžeme chápať ako graf funkcie sínus. Argumentom však bude výraz premennej. Ten zohľadní, že pri posunutí = sin nadobudne nová funkcia svoje hodnot o skôr. ( Ž: Už to mám. = sin + ), lebo to musí bť rovnaké ako pri posúvaní parabol. U: Tvoje schopnosti možno len oceniť. To, na čo si došiel sám, je dobré si zapamätať: ( cos = sin + ). U: Doterajšie naše úvah naznačujú, že okrem grafov jednoduchých funkcií = sin a = cos potrebuješ vedieť zostrojiť aj graf zložených goniometrických funkcií: alebo f : = a sin [b ( + c)] + d, g : = a cos [b ( + c)] + d, kde a, b, c, d sú reálne čísla, pričom a a b. Ž: Fíha! Toľko koeficientov. Ale prečo a a b nemôžu bť nul? U: Akú funkciu dostaneš, ak za a dosadíš? Ž: = sin [b ( + c)] + d = + d = d, a to je konštanta. U: So sínusoidou nesúvisí. Podobne b si dopadol, ak b si dosadil za b = : = a sin [ ( + c)] + d = a sin + d = a + d = d. Ž: Ako načrtnem graf takto zadanej zloženej funkcie?
Ma-Go-5-T List 4 U: Potrebuješ iba vedieť, aký vplv na základný graf majú jednotlivé koeficient. Túto geometrickú interpretáciu koeficientov uplatníš v istej postupnosti grafov, od základného po výsledný. U: Vplv koeficientov c, d na graf b si mohol poznať. Ž: Význam koeficientu d je najľahší. Posúva graf hore alebo dole, c posúva pozdĺž osi. U: Ak je d >, graf sa posunie o d pozdĺž osi nahor, ak je d <, graf sa posunie o d pozdĺž osi nadol. = sin + (d > ) = sin = sin (d < ) U: Ak je c >, graf sa posunie o c pozdĺž osi doľava, ak je c <, graf sa posunie o c pozdĺž osi doprava. = sin = sin( ) (c < ) 5 = sin( + ) (c > ) Ž: Občas to s posúvaním po osi dopletiem. U: Pozri sa na riešené úloh, kde na konkrétnch grafoch je to podrobnejšie analzované a je ukázaný aj iný spôsob ako dospieť k výslednému grafu. Ž: Dobre. Naznačte ešte, čo urobia s grafom koeficient a a b. U: Koeficient a naťahuje sínusoidu v smere osi a -krát a zároveň ju osovo súmerne zobrazí podľa osi, ak a <.
Ma-Go-5-T List 5 = sin = sin = sin U: Koeficient b robí to isté, ako a, ale v smere osi. Stláča, alebo rozťahuje graf danej funkcie v smere osi. Ž: Podobne ako to môžeme robiť s pružinou vo vodorovnej polohe. To sa zmení perióda? U: Je to presnejšie pomenovanie významu koeficienta b. Perióda sa zmení na p = b. Ak napríklad b =, tak perióda p = zostrojiť na intervale ;. Ž: Sínusoida sa zhustí. =. To znamená, že základnú časť sínusoid treba 4 = sin = sin U: Pre zmenu periód platí: ak b >, tak perióda sa b -krát zmenší, ak b <, tak perióda sa -krát zväčší. b
Ma-Go-5- List 6 Príklad : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu, priesečník so súradnicovými osami a obor funkčných hodnôt, ak: f : = sin +. U: Východiskom je graf funkcie = sin pre ; 4, ktorý predpokladám poznáš. 4 = sin U: V zadanej funkcii = sin + máš dva koeficient a = a d =. Ktorý z nich má prioritu vzhľadom na operácie v predpise zadanej funkcie? Ž:, lebo násobenie má prednosť pred sčítaním. U: Ako iste vieš, znamienko mínus má viacero významov: smbolizuje znak odčítania, napr. 5, označuje záporné číslo ( ), ale aj opačné číslo. Tak ako a je opačné číslo k číslu a, tak je sin opačné číslo ku hodnote sin pre každé reálne číslo. Ž: Všetk hodnot na pôvodnom grafe sa zmenia na opačné, graf preklopíme podľa osi. U: Presnejšie povedané, vužijeme osovú súmernosť podľa osi. = sin 4 = sin Ž: Pripočítať číslo už nie je problém. To, čo som dostal, posuniem o jednotk hore pozdĺž osi. Podobne to bolo aj u iných funkcií. U: Všetk funkčné hodnot funkcie f získame z hodnôt = sin pripočítaním čísla. = sin + = sin 4
Ma-Go-5- List 7 U: Máme určiť ešte periódu, obor funkčných hodnôt a priesečník so súradnicovými osami. Ž: Vužijem graf: H(f) = ;, perióda je, nemá priesečník s osou, lebo ju graf nepretína. U: Priesečník s osou je na základnej sínusoide bod [; ], a ten sa tiež posunul o jednotk nahor v smere osi. f o = {[; ]}. Úloha : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu, priesečník so súradnicovými osami a obor funkčných hodnôt, ak g : = + cos. Výsledok: p = ; H(g) = ; ; g o = {k; k Z} 4 = + cos
Ma-Go-5- List 8 Príklad : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu, priesečník so súradnicovými osami a obor funkčných hodnôt, ak ( f : = cos ). Ž: Začnem grafom funkcie = cos. 4 = cos U: V tomto prípade je jedno, v akom poradí aplikuješ koeficient. Ž: Najskôr posuniem o pozdĺž osi. Nepamätám sa či doľava, alebo doprava. U: Pomôž si začiatočným bodom A [; ] pôvodného grafu na základnom intervale. Hodnotu si dostal, ( ak si za argument dosadil. Túto úvahu urob aj pre funkciu f : = = cos ) (. Tu je argument výraz ). Čo musíš dosadiť za, ab aj tento ( argument ) bol nula? Aj táto funkcia bude mať potom hodnotu. Ž: To je jednoduché. Treba dosadiť =. U: A to je podstata. Ak za dosadíš, bude argument funkcie f rovný nule a teda aj hodnota funkcie f bude. Bod A [; ] sa teda posunul do bodu A [ ; ], čiže o doprava. Takto sa potom posunú všetk bod grafu funkcie f. = cos( ) 4 = cos Ž: Číslo pred funkciou kosínus znamená, že sa všetk hodnot zdvojnásobia. U: Tam, kde boli maimálne (rovné ), budú maimálne (rovné ), minimálne hodnot teraz budú. Tam kde funkcia f nadobúdala nulové hodnot, ostanú nezmenené, lebo =.
Ma-Go-5- List 9 = cos( ) 4 = cos( ) U: Dokonči riešenie úloh. Ž: Perióda sa nezmenila, p =, H(f) = ;. Graf tejto funkcie je vlastne sínusoida. U: Priesečník budú teda tie isté ako u funkcie sínus: = k; kde k je celé číslo. Úloha : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu a obor funkčných hodnôt, ak Výsledok: p = ; H(g) = ; g : = ( sin + ). 4 = = 4 4 4 4 = sin( + 4 )
Ma-Go-5- List Príklad : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu, priesečník so súradnicovými osami a obor funkčných hodnôt, ak f : = cos. U: V argumente funkcie kosínus číslo násobí reálne číslo, teda ho ovplvňuje. so zväčšujúcimi sa hodnotami narastá dvakrát pomalšie ako samotné. Ž: Teda aj hodnot cos budú narastať dvakrát pomalšie ako pri cos. U: Na niektorých intervaloch narastať, na niektorých klesať. V porovnaní s funkciou = cos budú však tieto interval pre funkciu = cos dvakrát dĺhšie. Ž: Zmení sa perióda? U: Bude dvakrát väčšia, bude teda 4, čo zodpovedá aj poznatku z teórie: p = = 4. = cos 4 = cos Ž: Číslo pred funkciou kosínus súčine znamená, že sa všetk hodnot zdvojnásobia. U: Tam, kde boli maimálne (rovné ) budú maimálne (rovné ), minimálne hodnot teraz budú. Bod, v ktorých funkcia f : = cos nadobúdala nulové hodnot, ostanú nezmenené, lebo =. = cos 4 = cos U: Vrieš zvšné časti úloh. Ž: Periódu sme už určili, je to 4. Obor funkčných hodnôt je uzavretý interval ; a priesečník s osou určím, ak za dosadím.
Ma-Go-5- List U: Budeš riešiť rovnicu: cos =. Použi substitúciu u = a získaš rovnicu: cos u =. Ž: Kosínus má nulové hodnot pre argument rovný nepárnm celočíselným násobkom čísla. U: To znamená: u = (k + ), a teda z čoho = (k + ), = (k + ). Ž: Aj nulové bod nadobúda táto funkcia dvakrát zriedkavejšie. U: Tieto výpočt ti nieked pomôžu odkontrolovať predchádzajúce úvah. Úloha : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu, priesečník so súradnicovými osami a obor funkčných hodnôt, ak g : = sin. Výsledok: p = ; H(g) = ; { } k ; g o = ; k Z = = sin 4 =
Ma-Go-5-4 List Príklad 4: Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu a obor funkčných hodnôt, ak f : = sin ( ),5. U: Číslo v argumente funkcie sin( ) súvisí s dvoma zmenami na grafe. Zmení sa perióda a graf funkcie sa preklopí. Ž: Prečo sa preklopí, veď sínus nie je násobený žiadnm záporným číslom. U: To záporné číslo je schované v argumente. Pretože funkcia sínus je nepárna, po úprave argumentu a vužití nepárnosti dostaneme: = sin [ ( )], čo znamená, že = sin ( ). Ž: Ak som dobre porozumel, pre úvah o grafe zloženej funkcie sínus je dobré, ab koeficient pri bolo kladné reálne číslo. U: Áno, zápornosť tohto čísla v tomto prípade ovplvňuje to, čo súvisí aj s koeficientom násobenia hodnot sínus. Ab sme odhalili všetk zmen týkajúce sa grafu, je nutné v argumente osamostatniť. Ž: Vberiem pred zátvorku : [ ( = sin )]. U: Predpis zadanej funkcie má teraz tvar: f : = sin [ ( )],5. U: Budeme postupne aplikovať geometrický význam jednotlivých koeficientov. Začneme v takom poradí, v akom sa uplatňujú koeficient z hľadiska priorit operácií pri počítaní funkčnej hodnot. Východiskovým grafom je = sin. Ž: Potom ho posunieme v smere osi doprava o. U: Získame graf funkcie = sin( ) 4 = sin( ) = sin U: Čo zmení koeficient v argumente funkcie? Ž: Perióda bude polovičná.
Ma-Go-5-4 List [ ] U: Sínusoidu načrtneme dvakrát hustejšie od bodu ; napravo aj naľavo. 4 = sin( ) = sin[( )] Ž: Zvšné koeficient už mi nerobia problém. Najskôr preklopím posledný graf podľa osi, lebo je tam násobok sínusu, a nakoniec posuniem dole o,5. = sin[( )] 4 = sin[( )] U: O perióde sme už hovorili, bude polovičná v porovnaní s jednoduchou funkciou sínus, teda p =. Zostáva určiť obor funkčných hodnôt. Ž: Z obrázka sa dá včítať, že oborom funkčných hodnôt je uzavretý interval,5;,5. U: Eistujú aj iné metód, ktoré nás dovedú k výslednému grafu. Ž: Môžete jednu, takú jednoduchšiu, prezradiť? U: Prečo nie? Pozri sa na výsledný graf, a pokús sa zistiť, čo je na ňom dôležité, ak nechceš prejsť tortúrou posúvania, zmen periód a podobne. Ž: Kopček, dolin? Netuším. U: V podstate áno. Stačí však jedno maimum a jedno minimum. Stačí nájsť základný motív, ktorý budeme opakovať. On je jednoznačne určený odĺžnikom, ktorého jednou stranou je interval dĺžk periód tejto funkcie a druhou stranou obor funkčných hodnôt. Ž: Ako to určíme?
Ma-Go-5-4 List 4 U: Pre funkciu = sin u je základným intervalom pre argument u interval ; ). To isté musí platiť pre akýkoľvek argument. V našom prípade: pripočítame : ( ) < ; <, vdelíme : <. Základný motív načrtneme na intervale ;. Ž: Zaujímavé. Je to interval dĺžk, čo je perióda. U: Dokonca začína v bode do ktorého sme v predchádzajúcej metóde posunuli graf. Určíme ešte funkčné hodnot. Opäť si pomôžem základným grafom. Sleduj úprav v tabuľke. V prvom riadku je vjadrená vlastnosť, že hodnot funkcie = sin sú v rozmedzí od do vrátane týchto čísel. To isté platí pre akýkoľvek argument funkcie sínus, teda aj pre hodnot sin( ). Vnásobením číslom získame také isté ohraničenie pre funkciu = sin( ). Ak odpočítame číslo, 5 dostaneme rozmedzie pre hodnot funkcie = sin ( ), 5. sin sin ( ) sin ( ),5 sin ( ),5.5, 5 sin ( ),5,5 Ž: Hodnot budú v rozmedzí od,5 do,5 vrátane. To sme dostali aj predtým. U: Samozrejme. Tu však načrtneme len jeden graf, a to výsledný do predtým vmedzeného obdĺžnika.
Ma-Go-5-4 List 5,5,5,5 U: Vmedzíme stredné (predtým nulové hodnot) a zohľadníme preklopenie vďaka koeficientu. Rozpočítame hodnot pre na danom intervale tak, ab sme začali strednou hodnotou, minimom, strednou hodnotou, maimom a ukončili strednou hodnotou. Úloha : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu a obor funkčných hodnôt, ak: g : = cos ( + ) +, 5. Výsledok: p = ; H(f) =, 5;, 5 4 = cos( + ) +,5
Ma-Go-5-5 List 6 ( Príklad 5: Načrtnite graf funkcie f : = sin ). U: Predpis funkcie upravíme na tvar = sin [ ( )], 4 pretože posun pozdĺž osi sa viaže na argument, nie. Zohľadníme význam všetkých koeficientov od vnútra zápisu tak, ako sa zadaná zložená funkcia vtvára. Ž: Určite začneme grafom funkcie f = sin U: Áno, potom postupne grafom funkcií f : = sin( 4 ), čo je posun grafu f pozdĺž osi o 4 doprava, f : = sin ( 4 ), má dvakrát menšiu periódu ako u funkcie f Funkcia f 4 : = sin ( 4 ) má dvojnásobné hodnot v porovnaní s funkciou f Ž: Nakoniec posunieme o nahor pozdĺž osi a dostaneme graf zadanej funkcie f. To všetko do jedného obrázka? Bude to pri mojej šikovnosti dosť neprehľadné. U: Urob radšej cklus obrázkov. Ako film. = sin( 4 ) = sin Ž: S grafom funkcie f potrebujem poradiť. U: Keďže perióda bude polovičná v porovnaní s funkciou f, tak tam, kde máš polovicu základného motívu sínusoid pre f, musíš načrtnúť pre f celý základný motív. = sin[( 4 )] = sin( 4 ) = sin[( 4 )] = sin[( 4 )]
Ma-Go-5-5 List 7 Ž: Dosť náročné na čas, aj presnosť. U: To áno, ale na druhej strane je to veľmi potrebné napríklad pre fziku. Ab si pochopil fázový posun, amplitúdu a iné veci so striedavým prúdom a napätím, potrebuješ poznať aj tieto komplikovanejšie veci.
Ma-Go-5-6 List 8 Príklad 6: Daný je graf funkcie podľa obrázka. Určte predpis funkcie. 4 = f() 4 U: Máš predstavu, ktorá z funkcíí sínus, respektíve kosínus b to mohla bť? Ž: Zdá sa mi, že aj sínus, aj kosínus. U: V tom je zadanie po prvýkrát nejednoznačné z hľadiska výsledku. Ukážeme si, že tento graf možno chápať aj ako graf funkcie sínus, aj ako graf funkcie kosínus. Čo určite nezávisí od toho, ktorá z týchto funkcií to je, je posunutie grafu pozdĺž osi. Pomôže ti, ak si uvedomiš, že maimá, aj minimá pre neposunutý graf majú rovnakú absolútnu hodnotu. Ž: V zadanom grafe sú maimá 4 a minimá. Keďže stred tohto intervalu je v bode, tak posunutie bude o nahor. U: Máme jeden koeficient v predpise zloženej funkcie, ktorú hľadáme: d =. Pre určenie ostatných musíme urobiť dve rozhodnutia:. predpis funkcie, ktorú budeme určovať,. na ktorom intervale zoberieme základný motív grafu. 4 = f() 4 Ž: Skúsme s funkciou sínus na intervale ; 7.
Ma-Go-5-6 List 9 U: Vbral si jeden z možných intervalov. V tom je zadanie po druhýkrát nejednoznačné z hľadiska výsledku. Dĺžka základného intervalu určuje najmenšiu periódu, ktorá súvisí s ďalším koeficientom v predpise: f : = a sin [b ( + c)] + d. Ž: Dĺžka intervalu je 7 = 6 = a to je najmenšia perióda. Viem, že súvisí s koeficientom b, ale potrebujem vsvetliť ako. U: Zjednodušene povedané, ak je koeficient b =, hodnot argumentu narastajú dvakrát rýchlejšie, perióda je polovičná. To nie je náš prípad, preto b ( ; ). Nová perióda je, 5- krát väčšia ako základná perióda. Koeficient b je preto b =, 5 = Ani tento koeficient nezávisí od toho, či hľadáme predpis funkcie sínus alebo kosínus. Ž: Ako určíme zvšné koeficient? U: Cestu k ich určeniu si v podstate naznačil, aj keď si to neuvedomuješ. Povedal si, že maimá majú hodnotu 4 a minimá hodnotu. To je rozpätie 6. Naťahovanie spôsobuje koeficient a. Akú hodnotu b teda mal mať? Ž: Tri. U: Áno, ale to len preto, že na nami zvolenom intervale graf zadanej funkcie kopíruje graf funkcie = sin. Ž: Ak b na tomto intervale boli dolina a kopec opačne, bolo b a =? U: Pochopil si to správne. Mohol b zostať kladný, ale na zápornú hodnotu b si musel zmeniť koeficient b. Vted b si vužil pre úpravu nepárnosť funkcie. Určením intervalu si zároveň popísal, o koľko došlo k posunutiu základného grafu v smere osi. Ž: O doprava, teda c =. U: Predpis funkcie môže mať teda tvar: f : = sin [ ( ) ] + Teraz si ukážeme, že aj pre funkciu sínus to nie je jednoznačné z hľadiska výsledku. Za základný interval b sme si mohli zobrať ;. 4 = f() 4
Ma-Go-5-6 List Ž: Ale perióda a posunutie hore b sa nezmenili. U: Zmení sa iba posunutie v smere osi a koeficient a, lebo tvar sínusoid na tomto intervale je preklopený. Ž: a = a c =. U: Riešením úloh je aj predpis: [ ] f : = sin ( + ) +. Ž: Začínam chápať. Všetko je len otázka dobre čítať graf. U: Chválim ťa. Nájdime nakoniec aspoň jeden tvar predpisu pre funkciu kosínus. Zoberme interval 4 ;. 4 4 = f() 4 Ž: Veľa vecí sa nezmení. Posunutie hore, perióda, natiahnutie pozdĺž osi. Akurát sa preklopilo a posunulo naľavo o. Koeficient budú: a = ; b = ; c = 4 ; d =. Úlohe vhovuje aj predpis: [ ( f : = cos + ) ] +. 4
Ma-Go-5-7 List Príklad 7: Načrtnite graf funkcie f : = sin. Ž: V úlohe rozoberiem dva prípad, ab som odstránil absolútnu hodnotu. U: Je to jeden z možných prístupov k riešeniu, ale nie je efektívn. Absolútna hodnota je vo vjadrení funkcie z celého výrazu na pravej strane. Začni najskôr grafom funkcie f : = sin. Potom si vsvetlíme, čo spôsobí absolútna hodnota. Ž: To nebude problém. Načrtnem graf funkcie = sin, a ten posuniem po osi nadol o. = sin = sin U: Funkcia f : = sin má hodnot, ktoré sú nezáporné, ale aj hodnot záporné. Keďže absolútna hodnota sa podľa definície počíta dvojako, zohľadníme túto skutočnosť aj pri určení výsledného grafu. Ak je reálne číslo a nezáporné (a ), tak jeho absolútna hodnota je to isté číslo: a = a. Pre graf to znamená, že tým častiam, ktoré sú nad osou prislúchajú kladné hodnot, čiže absolútna hodnota ich nemení. To čo je nad osou na grafe funkcie f : = sin patrí aj výslednému grafu. Ž: Už si spomínam. To isté sme robili aj u iných funkcií. U: Ak je reálne číslo záporné (a < ), tak jeho absolútna hodnota je k nemu opačné číslo: a = a. Pre graf to znamená, že tým jeho častiam, ktoré sú pod osou prislúchajú záporné hodnot. Ž: Treba ich zmeniť na kladné, pretože si to vžaduje absolútna hodnota. Tak to jednoducho preklopíme podľa osi. U: Časti grafu funkcie pod osou zobrazíme osovo súmerne podľa osi. = sin = sin
Ma-Go-5-7 List Úloha : Načrtnite graf funkcie g : = sin. Výsledok: = sin
Ma-Go-5-8 List Príklad 8: Načrtnite graf funkcie f : = sin + sin. U: V predpise funkcie je v absolútnej hodnote iba časť výrazu na pravej strane, preto rozoberieme dva prípad, ab sme absolútnu hodnotu odstránili. Ak je sin, tak sin = sin. Ako bude v tomto prípade vzerať predpis funkcie f? Ž: Namiesto absolútnej hodnot zo sínusu dosadím sínus: f : = sin + sin f : = sin. Vriešime aj podmienku sin, pre ktorú sme získali upravený predpis funkcie? U: Môžeme, ale nie je to vžd nutné. Zohľadníme ju vo výslednom grafe, v ktorom načrtneme aj graf funkcie = sin. Graf funkcie = sin načrtneme iba na tých intervaloch, kde je graf funkcie = sin nad osou. 4 = sin U: Hodnot funkcie = sin sú dvojnásobkami hodnôt funkcie = sin. Druhý prípad, keď sin < sa pokús vriešiť analogick. Ž: Ak je sin <, tak sin = sin, lebo absolútna hodnota zo záporného čísla je k nemu opačné číslo. Dosadím: f : = sin + ( sin ) f : =. To už nie je goniometrická funkcia. U: Je to konštantná funkcia, lebo bez ohľadu na to aké je reálne číslo, jemu prislúchajúca hodnota je vžd. Čo je grafom tejto konštantnej funkcie? Ž: Priamka. U: Presnejšie os. Našej úlohe však vhovujú iba časti tejto priamk. Vznačíme ich vo výslednom grafe tam, kde je sínusoida pôvodného grafu pod osou. Ž: Pretože sínus bol záporný. U: Áno. Spojením oboch prípadov dostaneme výsledný graf. = sin + sin 4
Ma-Go-5-8 List 4 Úloha : Načrtnite graf funkcie g : = cos cos. Výsledok: 4 = cos cos