Dru{tvo mtemti~r Srije Repuli~ki seminr 0, Novi Sd, Srij Pripremwe u~enik osnovnih {kol z tkmi~ew iz mtemtike \or e Brli}, Mtemti~ki institut SANU, Beogrd, Srij Zdrvko Cvetkovski, Evropski univerzitet, Skopqe, Mkedonij Izrni sdr`ji iz nejednkosti Elementrne nejednkosti Elementrne nejednkosti su osnov z izu~vwe drugih slo`enijih nejednkosti Zto je izu~vwe nejednkosti njoqe zpo~eti s elementrnim nejednkostim i ~injeniom d je kvdrt relnog roj nenegtivn reln roj Dokzti d z svki pozitivn reln roj x v`i nejednkost x + x Re{ewe Po imo od o~igledne nejednkosti (x ) 0 i doijmo x x + 0 x + x Deqewem ove nejednkosti s x > 0 doijmo tr`enu nejednkost Znk jednkosti v`i ko i smo ko je x = Smenom x =, > 0 doijmo ekvivlentnu nejednkost + Dokzti d z svk pozitivn reln roj, i v`i nejednkost + + + + Re{ewe Po imo od o~igledne nejednkosti ( ) +( ) +( ) 0 i doijmo ( + + ) ( + + ) + + + + Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = Dokzti d z svk pozitivn reln roj, i v`e nejednkosti Re{ewe Immo ( + + ) ( + + ) ( + + ) (++) +++(++) + + +(++) = (++) = = + + + ( + + ) + + + ( + + ) = ( + + ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = 4 Nek su,, i d pozitivni relni rojevi tkvi d je + + + d = 4 Dokzti nejednkost + + + + + + d +
Re{ewe Immo + = + = Anlogno doijmo nejednkosti +, Sirwem ovih nejednkosti se doij + i d + d + + + + + + d + 4 + + + d = 4 4 = Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = d = 5 Dokzti d z pozitivne relne rojeve, i v`i nejednkost 4 + 4 + 4 ( + + ) Re{ewe Iz zdtk immo nejednkost z sve pozitivne x, y i z nejednkost x + y + z xy + yz + zx Primenom ove nejednkosti njpre z x =, y = i z =, ztim z x =, y = i z = doijmo: 4 + 4 + 4 + + = () + () + () ()() + ()() + ()() = ( + + ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = Nejednkosti izme u sredin Nejednkosti izme u sredin se nezoilzne n mtemti~kim tkmi~ewim visokog rng u osnovnoj, ko i sredwoj {koli Zto je z uspe{no u~estovwe u~enik n tkmi~ewim potreno upoznvwe s ovim nejednkostim kroz dodtni rd, jer grdivo redovne nstve ne pokriv ovu temu Iko u~eniim osnovne{kole nije mogu}e dokzti ove nejednkosti u njopstijem oliku (ez ul`ew u neku oziqniju temu ko regresivn indukij ili Jensenov nejednkost), potreno im je rzvijti ose}j z primenu i uo~vwe ovih nejednkosti, ko i situije kd se one ne mogu upotreiti Slede} teorem koju djemo ez dokz opisuje nejednkosti izme u pozntih sredin Teorem Nek su,,, n pozitivni relni rojevi Brojevi K = + + + n n G = n n, H =, A = + + + n, n + + + n se redom nzivju kvdrtn, ritmeti~k, geometrijsk i hrmonijsk sredin rojev,,, n Td v`i nejednkost n K A G H Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = n Nek su x, y i z pozitivni relni rojevi, tkvi d je x + y + z nejednkost (x )(y )(z ) 8 = Dokzti
Re{ewe Dt nejednkost je ekvivlentn nejednkosti Primenom nejednkosti A G doijmo ( ) ( ) ( ) x y z 8 x y z xyz, tj ( ) ( ) ( ) 8 x y z xyz x = y + z yz Anlogno doijmo nejednkosti y zx i z zx Mno`ewem ove tri nejednkosti doijmo tr`enu nejednkost Znk jednkosti v`i ko i smo ko je x = y = z = Nek su,, i d pozitivni relni rojevi Dokzti nejednkost 6 + 6 + 6 + d 6 d( + + d + d) Re{ewe Primenom A G nejednkosti doijmo 6 + 6 + 6 + d 6 6 Anlogno doijmo nejednkosti = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + d 6 6 6 6 d 6 = d 6 + 6 + 6 + d 6 6 6 + 6 + 6 + d 6 6 6 + 6 + 6 + d 6 6 d, d, d Sirwem ovih nejednkosti doijmo 6( 6 + 6 + 6 +d 6 ) 6 = 6 + 6 + 6 +d 6 d+ d+ d + d = d(++d+d) Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = d Nek su x, y i z pozitivni relni rojevi Dokzti nejednkost x yz + y zx + z xy x + y + z Re{ewe Primenom A G nejednkosti doijmo Anlogno doijmo nejednkosti Sirwem ovih nejednkosti doijmo x yz + y + z x yz y z = x y z + z + x y i zx xy + x + y z x yz + y zx + z + x + y + z x + y + z, xy
odkle sledi tr`en nejednkosti Znk jednkosti v`i ko i smo ko je x = y = z 4 Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Dokzti nejednkost Re{ewe Immo + + = + + + + = + + = ( + + ) ( + + + = ( + + ) + + + + + + 7 + ( + + ) + ( + + ) = + + + + + + + + + + + + + + + + + = ) + 4( + + ) = ( + + ) ( + + ) + 4 Primenom K A nejednkosti doijmo + + Primenom A H nejednkosti doijmo ( + + ) = + + 9 + + = 9 Kori{}ewem ovih nejednkosti doijmo + + = ( + + ) ( + + ) + 4 9 + 4 = + 4 = 7 Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = 5 Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je ( + )( + )( + ) = 8 Dokzti nejednkost Re{ewe Immo + + 7 + + (++) = + + +(+)(+)(+) = + + +4 = + + + } + + {{ + } 8 put 9 9 ( + + ) 8 Iskoristili smo A G nejednkost Dqim sre ivwem doijmo ( + + ) 7 9 + + + + Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = Prolemi ekstremnih vrednosti 7 + + = 4
Prolemi ekstremnih vrednosti se nlze u progrmim z tkmi~ew u osnovnoj i sredwoj {koli Blisko su povezni s nejednkostim, jer se tr`i d se odredi minimln, odnosno mksimln vrednost nekog izrz ili funkije, ~esto uz dodtni uslov n promenqivim Ovi prolemi vrirju od jednostvnih do jko te{kih Nj{}e je potreno primeniti n prvi n~in neku od pozntih nejednkosti, iskoristiti dti uslov n promenqivim i potom iskoristiti neku pozntu ~iweniu, k kvdrt relnog roj je jednk 0 smo ko je tj roj 0, znk jednkosti u nejednkosti izme u sredin se dosti`e smo ko su rojevi jednki itd Nek je x reln roj Odrediti minimlnu vrednost izrz x + x Prvo re{ewe Nek su x, y [, + ) i x > y Primetimo d je x + x y ( y = (x y) ) xy Zog x, y immo d je xy 9, p su o izrz u zgrdm nenegtivni Odvde sledi dje f(x) = x+ x rstu} funkij n [, + ) p je minimln vrednost funkije z x = jednk f( ) = 0 Drugo re{ewe Primetimo d je n osnovu A G nejednkosti i x x + x = x 9 + x + 8x 9 x 9 x + 8 9 = + 8 = 0 Jsno je d se minimln vrednost dosti`e ko i smo ko je x = Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + Odrediti minimlnu vrednost izrz + + + + + Re{ewe Iskoristi}emo A G i A H nejednkost, potom uslov zdtk n slede}i n~in > 0 + + + + + = + + + 4 + 4 + 4 + 4 ( + + ) 6 6 4 4 4 + 4 9 + + 6 + 4 9 = 5 Dkle, minimln vrednost izrz je 5 i dosti`e se ko i smo ko je = = = Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Odrediti minimlnu vrednost izrz + + + Re{ewe Iskoristi}emo njpe A G nejednkost n slede}i n~in + + + = + + + 9 + 8 9 4 4 Iskoristi}emo sd K G nejednkost + + 9 + 8 9 = 4 + 8 9 5
Dkle, i v`i 9 + + + 4 + 8 9 4 + 8 = 4 Minimln vrednost izrz je 4 i dosti`e se ko i smo ko je = = = Ko{i-[vrov nejednkost Ko{i-[vrov nejednkost je jedn od njv`nijih nejednkosti u mtemtii Wene rojne primene ~ine je veom populrnom n tkmi~ewim, p je doro u~enike {to pre upoznti s wom Ovldti ovom nejednko{}u, s svkog tkmi~r predstvq vi{estruku i dugoro~nu doit Teorem Nek su,,, n i,,, n relni rojevi Td v`i nejednkost ( + + + n)( + + + n) ( + + + n n ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko = = = n n Posledi Nek su,,, n i,,, n > 0 relni rojevi Td v`i nejednkost + + + n n ( + + + n ) ( + + + n ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko = = = n n Nek su, i pozitivni relni rojevi Dokzti nejednkost + + + + + Re{ewe Stvimo d je = +, = +, = + i = +, = + i n wih primenimo nejednkost Ko{i-[vr: = (( + ) + ( + ) + ( + )) ( + + + + + ) ( ( + ) + + ( + ) + + ( + ) +) = ( + + ) = 9 ( ( + + ) + + + + ) 9 + ( + + + + + + + + ) 9 + + + + + + + + + + + 9 + + + + + +, Ovim je nejednkost dokzn Znk jednkosti v`i ko i smo ko je + = + = +, tj = = Nek su,, > 0 relni rojevi Dokzti nejednkost + + + + 6 +
Re{ewe Primeni}emo nejednkost Ko{i-[vr-Buwkovskog n trojke ( + ), ( + ), ( + ) i +, +, +: ( (( + ) + ( + ) + ( + )) ( + ) + + ( + ) koj posle kvdrirw postje (( + + )) + + + + ) + + + ( + ) ( + + + + +, ) ( + + ) + Iskoristimo sd pozntu nejednkost ( + + ) ( + + ) i doijmo direktno tr`enu nejednkost Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Dokzti nejednkost + + + + + + + Re{ewe Primenimo Ko{i-[vrovu nejednkost n slede}i n~in + + + + + = + + + + + (++) + + +++ Iskoristimosdpozntiidentitet + + = (++)( + + ) i izrz u imeniou postje ( + + )( + + + ) = ( + + )( + + + ) = ( + + )( + + + ( + + )) = ( + + ) Zmenom ovog identitet u imenil doijmo tr`enu nejednkost Izrni sdr`ji iz teorije rojev Teorij rojev je svkko jedn od njstrijih i njpopulrnijih mtemti~kih disiplin Nezoilzn je n mtemti~kim tkmi~ewim jo{ od njrnijih uzrst Reltivn privl~nost formulije ovkvih zdtk ~ini ove zdtke izzovnim tkmi~rim N ove zdtke tre ortiti posenu p`wu jer je to jedn od prvih susret s dokzom u mtemtii Deqivost i prosti rojevi U rdu s tlentim tre ortiti p`wu kko elementrn znw kominovn n rzli~ite n~ine dovode do re{ew Mnogi zdi vezni z deqivost i proste rojeve su veom te{ki, li teorijsko znwe koje je potreno z wihovo re{vwe se njlk{e usvj kod ve}ine u~enik Odrediti sve prirodne rojeve i tkve d su + i + eli rojevi Re{ewe Ne gue}i n op{tosti, mo`emo pretpostviti d je Iz uslov + sledi d je + = ( + )( ) tj + Dkle, +, p immo dv slu~j Ako je = td + i, osdnosno + Kko je + = ( )+ sledi d je tj {,,, } Zto {, 0,, } Proverom doijmo d su (, ) i (, ) re{ew zdtk Ako je = + zmenom u drugi izrz doijmo + + Dqe ( + + ) ( ) = 4 +, p je 4 +, kko je neprn roj to + Zto je + i 0 Ako je 4 td je 4 =, p {,, } Proverom nlzimo d z = i = immo re{ew, odnosno (, ) i (, ) su re{ew zdtk 7
Sv re{ew su (kd iskqu~imo pretpostvku ) (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) i (, ) Nek su i prirodni rojevi tkvi d je 00 + = 00 + Dokzti d je roj potpun kvdrt Re{ewe Dtu jednkost }emo zpisti u oliku ( )( + 00( + )) = Dovoqno je dokzti d je NZD(, +00(+)) =, odnosno d nijedn delil (osim ) roj ne deli + 00( + ) Zist, nek je p prost delil roj Kko sledi d p, odvde p jer je p prost roj (Pokzti z ve`u p p ko je p prost roj Iz p i p sledi d p Lko sd sledi d p + tj + = pk z neki prirodn roj k i + 00( + ) = + pk Odvde sledi d p + 00( + ) i NZD(, + 00( + )) = Ovim je dokz zvr{en Odrediti sve proste rojeve p i q tkve d su rojevi p+q i p+7q potpuni kvdrti Re{ewe Nek je p + q = i p + 7q =, td je = ( )( + ) = 6q Brojevi i + su iste prnosti, jer je ( + ) + ( ) = prn roj Kko je n desnoj strni prn roj sledi, d je r jedn od wih prn tj o su prn jer su iste prnosti Odvde 4 ( )( + ) = 6q i mor iti q =, jer je q prost roj i 4 6 Dkle, v`i ( )( + ) = Kko je < + i o su prni, sledi d je = i + = 6 Odvde je = i = 4 Lko nlzimo d mor iti p = i p = q = je jedino re{ewe 4 Odrediti sve proste rojeve p tkve d roj p + im t~no {est delil Re{ewe Ako je p = td je p + = 5, p nm to o~igledno ne ispuwv uslove zdtk Ako je p = td je p + = 0, p nm je ovo jedno re{ewe zdtk Nek je p >, td je p = 6k ± z neki prirodn roj k Primetimo d je Ako je p = 6k + td je p + = p + = (p )(p + ) + p + = (k(k + ) + ) Kko je k(k+)+ 5 to sigurno,,, 4, 6,, 6(k(k+)+), p + predstvqju 7 rzli~itih delil roj p +, p prosti rojevi ovog olik nisu re{ewe zdtk Anlogno z p = 6k pokzujemo d nisu re{ew zdtk Dkle, p = je jedinstveno re{ewe zdtk 5 Odrediti sve prirodne rojeve n koje imju t~no {est delil ~iji je zir 500 Re{ewe Ako n im t~no {est delil, ond je on olik p 5 ili p q z neke proste rojeve p i q Ako je n = p 5 td je + p + p + p + p 4 + p 5 = 500, odvde p( + p + p + p + p 4 ) = 499 8
Kko,, 5, 7 i ne dele 499 to je p, li je td sum n levoj strni ve} od 499 i u ovom slu~ju nem re{ew Ako je n = p q td je + p + p + q + pq + p q = 500, odvde ( + p + p )( + q) = 500 = 5 7 Broj + p + p = + p(p + ) je o~igledno neprn Direktno provervmo rzmtrju}i p = 5k, p = 5k ± i p = 5k ± d je + p + p roj koji nije deqiv s 5, tj + p + p = 7 Dkle, p = {to povl~i q = 499 Ovo je i jedino re{ewe, {to utvr ujemo proverom Kongruenije i Ojlerov teorem Kongruenije i rd s kongruenijm su deo stndrdnih progrm z tkmi~ew Svkko d u rdu s tlentim ovoj temi tre posvetiti punu p`wu Ojlerov teorem tj Ml Fermov teorem su od pre nekoliko godin stlno me u predlozim z juniorske olimpijde, p svkko d u pripremm z ov tkmi~ew tre ortiti ovu teoremu Dokzti d roj S = + + + + 008 008 nije potpun kvdrt Re{ewe Immo: Ako je n = 6k + td je n n (mod ) Ako je n = 6k + td je n n (mod ) Ako je n = 6k + td je n n 0 (mod ) Ako je n = 6k + 4 td je n n (mod ) Ako je n = 6k + 5 td je n n (mod ) Ako je n = 6k + 6 td je n n 0 (mod ) Zto je (6k + ) 6k+ + (6k + ) 6k+ + (6k + ) 6k+ + (6k + 4) 6k+4 + (6k + 5) 6k+5 + (6k + 6) 6k+6 + + 0 + + + 0 (mod ) Odvde sledi S 4 + + + 0 + (mod ) Kko kvdrt prirodnog roj ne mo`e d dje osttk pri deqewu s, tvr ewe je dokzno Odrediti posledwe dve ifre roj 9 99 Re{ewe Potreno je odrediti osttk pri deqewu s 00 roj 9 99 Immo d je ϕ(00) = 00 ( ) ( 5) = 40, kko je NZD(9, 00) =, primenom Ojlerove teoreme doijmo 9 40 = 9 ϕ(00) (mod 00) Dqe je 9 9 = 8 4 9 9 9 (mod 40) i 9 9 = 40k + 9 Odvde je 9 99 = 9 40k+9 = 9 40k 9 9 9 9 89 (mod 00) Nek je p > 5 prost roj Dokzti d je p 8 (mod 40) Re{ewe Immo d je 40 = 4 5 Kko je p > 5 to je p uzjmno prosto s, 5 i 6 p primenom Ojlerove teoreme doijmo p (mod ), p 4 (mod 5)ip 8 (mod 6) Odvde je p 8 (mod ) i p 8 (mod 5) Dkle, 5 6 p 8 Sd tvr ewe zdtk direktno sledi 9
4 Re{iti u skupu elih rojev jedn~inu x + y + z = 00 Re{ewe Lko se proverv d eo roj mo`e dvti osttke 0, ili 8 pri deqewu s 9 Ȯdvde sledi d su mogu}i osti pri deqewu s 9 roj x + y + z ; 0,,,, 6, 7, i 8 Kko je 00 5 (mod 9) dt jedn~in nem re{ew u skupu elih rojev 5 Odrediti sve trojke prirodnih rojev x, y i z tkve d je x + 4 y = 5 z Re{ewe Posmtrju}i dtu jedn~inu (mod 4) doijmo, x 5 z (mod 4), odkle sledi d je x = x z neki prirodn vroj x Posmtrju}i dtu jedn~inu (mod ) doijmo, 5 z 4 y (mod ), odkle sledi d je z = z z neki prirodn roj z Uvrstimo to i zpi{imo jedn~inu u oliku 4 y = (5 z + x )(5 z x ) Primetimo d su 5 z + x i 5 z x prni rojevi, i ko je d = NZD(5 z + x, 5 z x ) to d (5 z + x ) (5 z x ) = x i d =, jer 5 z x i 5 z + x Odvde je 5 z x = i 5 z + x = y Dqe je x = y = ( y )( y + )> Lko dokzujemo d je NZD( y, y + ) = i odvde je y = Sd jednostvno nlzimo d je y =, x = i z = Ovo je jedinstveno re{ewe Izrni sdr`ji iz geometrije Geometrij je po mnogim njlep{i deo mtemtike Rzvij mnoge ve{tine kod u~enik, li ~esto mnogi imju prolem s dokzim u geometriji Rznovr-snost i nestndrdnost idej ~ine zdtke iz geometrije stlno ktuelnim n tkmi~ewim iz mtemtike Uz dekvtn rd s ovim zdim mo`emo rzviti ose}j z geometriju Lepot geometrijskih tvr ew i wihovo otkrivwe su izzovi i inspirij i z njoqe mtemti~re (Teorem o simetrli ugl) Nek je M t~k n strnii BC trougl ABC Dokzti d je AM simetrl unutr{weg ugl A ko i smo ko je BM : CM = AB : CA Re{ewe Nek je M t~k u kojoj simetrl ugl A se~e BC Nek je h visin ABC iz temen A Immo d je BM CM h BM = CM h = P BMA P CMA 0
Nek su D, D podno`j norml iz M n AB i BC Immo d je BM CM = P MD BMA AB = P CMA CA MD = AB CA, jer je AMD = AMD (ugostrni-ugo) i MD = MD Ostje d pok`emo ornuti deo tvr ew Nek su D, D podno`j norml iz M n AB i BC Immo d je n osnovu prethodnog del BM CM = P BMA P CMA = AB MD CA MD = AB CA, odkle je MD = MD, ovo povl~i AMD = AMD i BAM = CAM = α (^evijev teorem) Nek su P, Q i R t~ke prvih odre enih ivim BC, CA, AB trougl ABC Prve AP, BQ i CR seku se u jednoj t~ki ko i smo ko je: BP P C CQ QA AR RB = Re{ewe Nek su h i h du`ine norml iz A i M n BC Immo d je P CAM = P CAP P CMP = CP (h h ) P ABM = P BCP P BMP = BP (h h ) Lko se nlzi d je Anlogno, CQ = P BCM QA P ABM P CAM = P ABM, AR = P CAM BR BP P C CQ QA BP (h h ) BR (h h ) = BP CP = BP P C P BCM Mno`e}i ove tri jednkosti doijmo AR RB = P ABM P BCM P CAM = P CAM P ABM P BCM Ostje d pok`emo deo smo ko Nek su t~ke P, Q i R n strnim BC, CA i AB tkve d je BP CQ AR = Nek se prve BQ i CR seku u jednoj t~ki M i nek prv P C QA RB AM se~e strniu BC u t~ki P
Td su t~ke P, Q i R n strnim BC, CA i AB tkve d se prve AP, BQ i CR seku u jednoj t~ki M, p je prem gore dokznom delu BP P C CQ QA AR RB = Iz ove dve jednkosti doijmo BP BP, odkle je P P (ne postoje dve t~ke koje dele P C du` u istom odnosu) Nek su P, Q i R t~ke n strnim BC, CA i AB trougl ABC, respektivno Prve AP, BQ i CR seku se u M Dokzti d je P C = MP AP + MQ BQ + MR CR = Re{ewe Nek su h, h du`ine norml iz A i M n BC Immo d je AA P MM P (svi uglovi jednki) i otud MP AP Sd immo d je MP AP = h h = = h h BC h BC h = P BMC P ABC Anlogno, MQ BQ = P CMA P ABC i MR CR = P ARB P ABC Sirju}i ove tri jednkosti doijmo MP AP + MQ BQ + MR CR = P BMC + P CMA + P AMB P ABC = P ABC P ABC = 4 Nek su P, Q i R t~ke n strnim BC, CA i AB trougl ABC, respektivno Prve AP, BQ i CR seku se u M Nek je AP njmw od du`i AP, BQ i CR Dokzti d je AP MP + MQ + MR Re{ewe Immo d je po uslovu zdtk AP BQ i AP CR Kominuju}i to s prethodnim zdtkom doijmo Odvde je = MP AP + MQ BQ + MR CR MP AP + MQ AP + MR AP MP + MQ + MR AP
Ovim je tvr ewe zdtk dokzno 5(Meneljev teorem) Nek su P, Q i R t~ke prvih odre enih ivim BC, CA i AB trougl ABC T~ke P, Q i R su kolinerne ko i smo ko je: BP P C CQ QA AR RB = Re{ewe Nek t~ke P, Q i R le`e n prvoj p Nek su A, B, C podno`j norml iz A, B i C n p Immo d je BRB ARA i Anlogno je CC AA = CQ i BB QA CC AR RB = AR BR = AA BB = BP P C Mno`e}i ove tri jednkosti doijmo BP P C CQ QA AR RB = ( BB CC ) CC AA AA BB = Deo smo ko se dokzuje tko {to uo~imo t~ku P u kojoj prv QR se~e BC i postupimo nlogno dokzu z zdtk 6(Pposov teorem) Nek su A, B, C i A, B, C trojke kolinernih t~k u rvni koje nisu sve n istoj prvoj Prve AB i BA seku se u P, BC i CB u Q, CA i AC u R Dokzti d su t~ke P, Q, i R kolinerne Re{ewe Nek je M prese~n t~k prvih AC i BA, N prese~n t~k prvih AC i CB i L prese~n t~k prvih CB i BA Primeni}emo Meneljevu teoremu n trougo LMN Z t~ke C, R i A doijmo MR RN NC CL LA A M = () Z t~ke P, A i B koje tko e le`e n jednoj prvoj doijmo LP P M MA AN NB B L Z prvu koj sdr`i t~ke Q, B i C doijmo NQ QL LB BM MC C N Z prvu koj sdr`i t~ke A, B i C doijmo = () = () NC CL LB BM MA = (4) AN Z prvu koj sdr`i t~ke A, B i C doijmo LA A M MC C N NB B L = (5)
Pomno`imo sd relije (), () i () i doijmo odnosno MR RN NC CL LA A M LP P M MA AN NB B L NQ QL LB BM MC C N =, LP P M MR RN NQ QL NC CL LB BM MA AN LA A M MC C N NB B L = Sd iskoristimo relije (4) i (5) i doijmo LP P M MR RN NQ QL = Odvde n osnovu Meneljeve teoreme primewene n trougo LMN i t~ke P, Q i R sledi d su t~ke P, Q i R kolinerne Izrni sdr`ji iz komintorike Komintorik je jedn od njizzovnijih i stlno ktuelnih olsti mtemtike Rzvijju}i komintorni n~in rzmi{qw kod u~enik rzvijmo ne smo wihovu kretivnost, ve} i sposonost d pstrktno misle i r`e usvjju nove sdr`je Iko poso pripremw z ove zdtke predstvq njdu`i i njte`i deo ovog posl, potreno je stlno izlgti u~enike ovim zdim Odredi roj re{ew u skupu nenegtivnih elih rojev jedn~ine x + x + + x k = n Re{ewe Nek immo n + k kvdrti} u vrsti, wih k ojimo u rveno Prerojimo od leve n desno ele kvdrti}e koje se nlze izme u rvenog i slede}eg rvenog kvdrti} Zir ovih k rojev je n+k (k ) = n i svko ojewe is~itv jedno re{ewe jedn~ine k- n+k+ Ornuto, jedno re{ewe jedn~ine zdje lgoritm z ojewe Prvih x kvdrti} ostvimo ele, p slede}i oojimo, p nrednih x ne ojimo, p slede}i oojimo itd Ovim smo uspostvili ijekiju izme u roj re{ew jedn~ine i roj ojew koji je ( n + k k ) 4
Odredi roj re{ew u skupu prirodnih rojev jedn~ine x + x + + x k = n Re{ewe Primetimo d ko svkom re{ewu jedvine oduzmemo, doijmo re{ewe jedn~ine y + y + + y k = n k Ornuto je o~igledno t~no, p je tr`eni roj re{ew po prethodnoj formuli ( ) (n k) + k = k ( n k Iz kutije koj sdr`i 0 rzli~itih kugli vr{i se izor 4 kuglie Odrediti roj rzli~itih izor: ) ko je redosled izvu~enih kugli itn i izor se vr{i s vr}wem; ) ko je redosled izvu~enih kugli neitn i izor se vr{i s vr}wem; v) ko je redosled izvu~enih kugli itn i izor se vr{i ez vr}w; g) ko je redosled izvu~enih kugli neitn i izor se vr{i ez vr}w Re{ewe ) 0 4 ) x + x + x + + x 9 + x 0 = 4 ( ) 4 + 0 = 0 ( ) 9 v) 0 9 8 7 g) ( ) 0 4 4 Tl dimenzij 9 7 poplo~n je figurm dv tip ko n slii Nek je n roj figuri tip kvdrt koji u~estvuju u polo~vwu Odrediti mogu}e vrednosti roj n Re{ewe Ozn~imo s m roj figuri tip ugo Jsno je d je ukupn roj poq n tli 4n + m = 6 Odvde je jsno d je n deqivo s Oojimo 0 poq tle ko n slii Primetimo d figur tip ugo pokriv njvi{e jedno oojeno poqe, figur tip kvdrt t~no jedno oojeno poqe Zto je n + m 0, odnosno n + m 60 Odvde je zog n + 4m = 6, n ) Dkle, n = ili n = 0 su jedine mogu}nosti {to i dokzuju primeri poplo~vw n slikm 5
Zdi z smostlni rd Nejednkosti Nek su, i relni rojevi tkvi d je + + Dokzti nejednkost + + Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Dokzti nejednkost + + + + + Nek su x i y pozitivni relni rojevi ~iji je zir x+y = Dokzti nejednkost x y (x + y ) 4 Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Odrediti mksimlnu vrednost izrz A = + + + + + 5 Nek su, i pozitivni relni rojevi koji zdovoqvju + + + + + + + + Dokzti d je + + + + 6 Nek su, i pozitivni relni rojevi Odrediti njmwu mogu}u vrednost izrz Teorij rojev + + 4 + + 5 + Odrediti sve prirodne rojeve k z koje postoji prirodn roj n, tkv d su n + i (n + ) + deqivi s k Odrediti sve proste rojeve i tkve d je roj + + + tko e prost roj Dokzti d jedn~in x + y = 4(x y + xy + ) nem re{ew u skupu elih rojev 4 Odrediti sve proste rojeve p tkve d p p + 5 Nek je p = 4k + prost roj Dokzti d ko p + ond p i p 6 Odrediti sve prirodne rojeve n, tkve d je n + n + 7 potpun ku Geometrij Dokzti d se simetrle unutr{wih uglov trougl seku u jednoj t~ki ( Iskoristiti teoremu o simetrli ugl ) Dokzti d se simetrl jednog spoq{weg ugl i simetrle preostl dv unutr{w ugl seku u jednoj tvki ( Iskoristiti teoremu o simetrli ugl ) 6
Nek su A,B i C podno`j visin redom iz temen trouglov A,B, C trougl ABC Dokzti d se prve AA, BB, CC seku u jednoj t~ki, ortoentru trougl ( Dokzti d je ABC AC B ) 4 Nek su k, k, k spoq upisni krugovi trougl koji odgovrju temenim A, B, C redom trougl ABC Krugovi k, k, k dodiruju strnie BC, CA, AB redom u t~km P, Q, R Dokzti d se prve AP, BQ, CR seku u jednoj t~ki, Ngelovoj t~ki trougl ( Iskoristiti jednkost tngentnih du`i iz iste t~ke ) 5 Tngent n opisni krug trougl ABC u temenu A se~e prvu BC u t~ki A T~ke B i C defini{u se nlogno Dokzti d su t~ke A, B, C kolinerne 6 Tngent n opisni krug trougl ABC u temenu A se~e prvu BC u t~ki A, t~k A je sredi{te du`i A A T~ke B i C defini{u se nlogno Dokzti d su t~ke A, B, C kolinerne i d je prv koj ih sdr`i normln n Ojlerovu prvu trougl ( Iskoristiti poteniju n opisni i n Ojlerov krug trougl ) Komintorik Dokzti d postoji roj koji se zpisuje smo pomo}u jedini, koji je deqiv s 0 Dokzti d se u krug polupre~nik r = 9 ne mo`e smestiti 400 t~k tko d svke dve od wih udu n rstojwu ve}em od Iz skup {,,, n} izrno je n + rojev Dokzti d me u wim mogu n}i tkv d: ) jedn deli drugog; ) su uzjmno prosti; v) wihov zir je n ili je izrn roj n 4 Koliko im permutij rojev 0,,,, 9 kod kojih: ) rojevi 0 i susedni; ) rojevi 0 i susedni i 0 je ispred ; v) roj 0 se nlzi ispred (ne ovezno ispred); g) rojevi 0 i nisu susedni? 5 Tl dimenzij 0 0 poplo~n je s dominm U svku vertiklnu dominu upisn je roj vrste u kojoj se nlzi, u svku horizontlnu roj kolone u kojoj se nlzi (Vrste i kolone su numerisne rojevim od do 0) Dokzti d je zir svih npisnih rojev deqiv s 6 D li se tl dimenzij 0 0 poplo~ti plo~in dimenzij 4? 7