BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Proračun (dimenzionisanje) preseka prema dopuštenim naponima se zasniva na: - određivanju stanja napona u poprečnom preseku prema ekstremnim kombinacijama statičkih uticaja u eksploataciji - dokazivanju da tako određeni naponi nisu veći od odgovarajućih dopuštenih napona Prema tome, proračun se svodi na zadovoljenje relacija: σ max σ dop

Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Pri određivanju statičkih uticaja (sila u preseku), kao i pri dimenzionisanju preseka smatra se da su oba materijala (beton i čelik) linearno elastična Dozvoljeni naponi se definišu propisima tako što se čvrstoće betona i čelika redukuju koeficijentima sigurnosti, odnosno smanjuju do te mere da je opravdana pretostavka o linearno elastičnom ponašanju

Dozvoljeni naponi za armirani beton [MPa] Za MB 25, 35,45, 55 dozvoljeni naponi se određuju linearnom interpolacijom između dve susedne vrednosti

Dozvoljeni naponi za armaturu (GA i RA) [MPa]

Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Usvojene pretpostavke proračuna Beton je homogen i elastičan materijal u skladu sa Hukovim zakonom (linearna veza napon - deformacija) Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecima: preseci i posle deformacije ostaju ravni i upravni na deformisanu osu nosača Zanemaruje se nosivost betona na zatezanje: prihvatanje ukupnih napona zatezanja se poverava armaturi Usvaja se da je odnos modula elastičnosti čelika i betona za sve radne napone određen brojem ekvivalencije n: n = E a E b = 10

Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Naponska stanja AB preseka 1 Centrični pritisak... deluje samo normalna sila pritiska N bez uticaja izvijanja... λ 50 (λ je vitkost štapa) sa uticajem izvijanja... λ (50, 140] 2 Ekscentrični pritisak... deluje samo normalna sila pritiska N Mali ekscentricitet... N sila deluje unutar preseka, presek je bez prslina Veliki ekscentricitet... N sila deluje izvan preseka, presek sa prslinama

Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Naponska stanja AB preseka 3 Centrično zatezanje... deluje samo normalna sila zatezanja Z 4 Ekscentrično zatezanje... samo normalna sila zatezanja Z Mali ekscentricitet... sila Z deluje unutar preseka Veliki ekscentricitet... sila Z deluje izvan preseka

Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Naponska stanja AB preseka 5 Čisto savijanje... deluje samo momenat savjanja M 6 Složeno savijanje... deluje N sila u fazi velikog ekscentriciteta, kao i momenat savijanja M, ili deluju momenti savijanja u dve ravni 7 Smicanje... deluje samo transverzalna sila T 8 Torzija... deluje samo momenat torzije M t 9 Smicanje i torzija... istovremeno deluju transverzalna sila T i momenat torzije M t

Centrično zatezanje Posmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticaju centričnog zatezanja silom Z To može da bude AB zatega u nekoj konstrukciji (ili zategnuti štap AB rešetke) Celokupno zatezanje na sebe preuzima armatura, pri čemu je dozvoljen napon zatezanja dat Propisima (BAB 87) i jednak je σ a Uslov za dimenzionisanje prema dopuštenim naponima je σ max σ dop

Centrično zatezanje Normalni napon u svim tačkama preseka je jednak σ = Z A a gde je A a ukupna površina podužne armature u preseku (ona prihvata kompletno zatezanje) Iz uslova σ max σ dop se dobija potrebna količina armature u preseku σ = Z A a σ dop A a,pot Z σ dop

Centrično zatezanje Zategnuta podužna armatura se usvoji zaokruživanjem na više minimalne potrebne armature A a,pot Sama armatura se usvoji izborom vrste armature (GA ili RA) i izborom prečnika šipki Pri tome se broj šipki usvaja tako da usvojena armatura bude simetrično rapoređena u poprečnom preseku Dimenzije betonskog poprečnog preseka se usvajaju (ako nema nekih drugih zahteva) iz uslova pravilnog i simetričnog smeštanja armature (vodi se računa o razmacima između šipki, kao i o odgovarajućem zaštitnom sloju betona)

Centrično zatezanje - primer Dimenzionisanje zatege Odrediti potrebnu armaturu i oblikovati poprečni presek pravougaonog oblika centrično zategnutog AB elementa Element se nalazi u uslovima umereno agresivne sredine Poznati podaci o sili zatezanja: - stalno opterećenje... Z g = 305 kn - povremeno opterećenje... Z p = 337 kn Usvojiti glatku armaturu GA 240/360

Centrično zatezanje - primer Dimenzionisanje zatege Ukupna sila zatezanja elementa Z = Z g + Z p = 305 + 337 = 642 [kn] Za glatku armaturu i uz pretpostavku da je Φ 14, dozvoljen napon u armaturi je σ dop = 140 MPa Potrebna površina armature je A pot = Z 642 104 = σ dop 140 10 3 = 6420 140 = 45.857 [cm2 ] Usvojeno: 15Φ20 (47.12 cm 2 ) (uvidom u površine preseka armature)

Karakteristike preseka za armaturu GA i RA

Karakteristike preseka glatke armature GA

Karakteristike preseka rebraste armature GA

Centrično zatezanje - primer Dimenzionisanje zatege Za umereno agresivnu sredinu minimalan zaštitni sloj armature je a 0 = 2.5 cm Poprečni presek elementa je pravougaoni dimenzija b d Imajući u vidu da je usvojeno 15 šipki, one mogu da se rasporede 5 šipki u 3 reda Oko armature se usvajaju konstruktivne uzengije U Φ8/30 Vodi se računa o dovoljnom čistom razmaku armature u horizontalnom i vertikalnom pravcu

Raspoređivanje armature u preseku

Usvojena armatura i betonski presek

Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Posmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticaju ekscentričnog zatezanja silom Z Položaj sile zatezanja je ekscentričan u odnosu na težišnu osu preseka, sa ekscentricitetom e Ako je visina preseka d, a rastojanje težišta gornje i donje armature od ivica preseka isto i jednako a, onda je e d 2 a Drugim rečima, sila zatezanja se nalazi unutar preseka, odn. između gornje i donje podužne armature U pitanju je ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet

Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet

Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Štapovi donjeg pojasa AB rešetki su tipičan primer ekscentrično zategnutih štapova u domenu malog ekscentriciteta Osim značajnih sila zatezanja, postoje i mali momenti savijanja (od sopstvene težine štapova), pa je ekscentricitet dat sa e = M Z c = d 2 a Celokupna sila zatezanja se prihvata armaturom

Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Potrebna kolčina armature, za dozvoljeni napon zatezanja u armaturi σ dop, je data sa σ a = Z A a σ dop A a,pot Z σ dop Ova ukupna količina armature se raspoređuje u gornju i donju zonu preseka tako da se težište armature poklapa za položajem napadne tačke sile Z Na taj način se dobija: A a,pot A a = A a1 + A a2 A a1,2 = A a 2 (znak + se odnosi na armaturu koja je bliža sili Z) ( 1 ± e ) c

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Posmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticaju centričnog pritiska silom N Sila N deluje u težištu poprečnog preseka ili sa ekscentricitetom e l/300, što se računa kao moguća greška u izvođenju Takvi elementi su AB stubovi, zidna platna i pritisnuti štapovi AB rešetki Poprečni preseci ovakvih elemenata su najčešće kvadratni, pravougaoni, okrugli, ali mogu da budu i razuđenih oblika

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Armiranje ovakvih elemenata se vrši podužnom armaturom i uzengijama (poprečnom armaturom) Podužne šipke se obavezno stavljaju u uglove preseka (osim ako presek nije kružni), sa ciljem da se težište ukupnog preseka (betona i armature) ne menja Nijedna podužna šipka ne sme da bude manja od Φ12 mm Za betone MB > 30 koristi se isključivo RA, a za MB 30 može da se koristi i GA Izvijanje se ne uzima u obzir ako je vitkost pritisnutog štapa manja od 50: λ < 50

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Za centrčno pritisnute elemente raspodela napona u preseku je ravnomerna i prianjanje između betona i podužne armature nije narušeno Prema tome, dilatacije u betonu i armaturi su međusobno iste: ε b = ε a Kako su dilatacije iste, a moduli elastičnosti E a i E b različiti, to će oba materijala da prenose uticaje srazmerno njihovim površinama i modulima elastičnosti: ε b = ε a σ b E b = σ a E a σ a σ b = E a E b = n = 10

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Drugim rečima, imajući u vidu koeficijent ekvivalencije modula elastičnosti n, dobija se odnos napona u betonu i čeliku σ a σ b = E a E b = n = 10 odnosno, σ a = n σ b Uslov ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila je dat sa ( N = σ b A b + σ a A a = σ b A b 1 + σ ) a A a σ b A b

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Uvode se oznake: - bezdimenzionalan koeficijent armiranja (odnos površine podužne armature i betona): µ 0 = A a A b - procenat armiranja, odn. koeficijent armiranja izražen u procentima: µ = 100 µ 0 [%] - broj ekvivalencije n modula elastičnosti čelika i betona n = E a /E b = 10

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Sa ovim oznakama uslov ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila u pravcu ose štapa može da se piše u obliku N = σ b A b (1 + n µ 0 ) = σ b A bi Uvedena je oznaka za površinu idealizovanog poprečnog preseka A bi = A b (1 + n µ o ) Iz uslova ravnoteže N = σ b A bi dobija se (dopušten napon σ dop je središni napon σ s ) σ b = N A bi σ dop = σ s A bi N σ s

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Prema tome, ako se usvoji, na primer, minimalan procenat armiranja µ 0 = µ min, onda je potrebna površina betonskog preseka data sa: A b,pot N σ s (1 + n µ min ) dok je minimalna površina podužne armature A a,pot = A b,pot µ min

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Za centrično pritisnute elemente (odn. stubove) procenti armiranja su ograničeni na najmanji i najveći: µ min = 0.6% µ max = 6.0% Uobičajeni procenti armiranja stubova su oko µ 1.0 1.5% Ako se usvoji betonski presek A b tako da bude veći od računski potrebnog A b,pot, naponi u betonu su tada neiskorišćeni (u odnosu na dopušten napon σ s

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Podužna armatura se određuje iz izraza A a = A b µ min za usvojeno µ min = 0.6%, ali može da na taj način bude veća od potrebne, jer je usvojena veća površina betona od potrebne: A b > A b,pot Zbog toga BAB 87 dozvoljava da stvarni procenat armiranja može da bude i manji od minimalno propisanog, ali ne manji od µ = 0.3% U tom slučaju treba da se proveri da li usvojena površina armature zadovoljava uslov A a,stv A a,min = 0.3% A b,stv = 0.3 100 A b.stv

Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Ako je vitkost pritisnutog štapa veća od 50, uticaj mogućeg izvijanja uzima se u obzir Vitkosti pritisnutih stubova su ograničene na interval λ (50, 140] Samo u fazi montaže dozvoljava se vitkost u granicama λ (140, 200]

Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Vitkost pritisnutog štapa je definisana sa λ = l i i min Sa l i je označena dužina izvijanja, dok je i min minimalni poluprečnik inercije poprečnog preseka: i min = Imin gde su I min i A minimalni momenat inercije i površina poprečnog preseka betona (štapa) A

Dužine izvijanja pritisnutih štapova Ojlerovi slučajevi izvijanja

Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Ukoliko je vitkost štapa u granicama λ (50, 140] mora da se uzme u obzir u proračunu Vrši se redukcija dopuštenog središnjeg napona σ s σ i = 1.4 σ s 0.4 (σ s 1) λ 125 σ s u [MPa] (1) Takođe se vrši i redukcija minimalnog procenta armiranja µ i = λ 0.4 0.6% (2) 50

Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Dopuštena sila nosivosti centrično pritisnutog elementa određuje se prema izrazu (BAB 87): N dop = σ i A b (1 + n µ i ) (3) Dimenzionisanje nepoznatog preseka se vrši iterativno U prvom koraku se usvaja da je σ i = σ s, kao i µ i = 0.6% Iz izraza (3) se odredi potrebna površina betonskog preseka

Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Potrebna površina betonskog preseka je: A b,pot = N dop σ i (1 + n µ i ) (4) Za izračunato A b,pot odrede se oblik i dimenzije stuba Izračuna se vitkost λ i ako je λ > 50, odrede se σ i i µ i prema izrazima (1) i (2) Ponovo se iz izraza (3) odrede potrebna površina betonskog preseka i usvoje korigovane dimenzije i oblik preseka

Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Kontroliše se nova vitkost i postupak po potrebi ponavlja do postizanja željene tačnosti (razlika dimenzija preseka u dve susedne iteracije treba da je 1 cm) Potrebna površina armature se određuje prema A a A a,pot = µ i 100 A b,pot gde je A b,pot potrebna površina betonskog preseka iz poslednje iteracije

Centrični pritisak - detalji armranja Osim podužne armature, u stubove se ugrađuje i poprečna armatura, odn. uzengije Uloga uzengija je da utegnu betonski presek stuba i da spreče lokalno bočno izvijanje podužne (pritisnute) armature Zbog toga je prečnik uzengija Φ u u vezi sa prečnikom podužne armature Orjentaciono, ako je prečnik podužne armature Φ, onda je prečnik uzengija Φ u Φ 3

Centrični pritisak - detalji armranja Uzengije su obično pravougaonog oblika, ali to zavisi od oblika stuba (npr. pravougaone, kružne i sl.) Za uobičajene dimenzije stubova, prečnici uzengija se usvajaju u granicama Φ u [6 10] mm Razmak uzengija e u mora da bude u sledećim granicama b e u,max = min 15 Φ [cm] 30 cm gde je b manja dimenzija stuba, a Φ prečnik podužne armature

Centrični pritisak - detalji armranja U delu stuba gde se uvodi sila u stub, na dužini 1.5 b (b d), kao i na mestima preklapanja podužne armature, razmak uzengija je dva puta manji od normalnog : e u,max = min { 7.5 Φ 15 cm [cm]

Centrični pritisak - detalji armranja U seizmički aktivnim područjima, sa svake strane čvora (odn. ukrštanja stubova i greda), na dužini od 1 m (ili malo više), razmak uzengija je najviše jednak e u,max = min { 7.5 Φ 10 cm [cm] dok se na preostalim delovima stuba može da usvoji e u = 15 Φ 20 cm

Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Ako u preseku pored dominantne normalne sile (pritiska ili zatezanja) deluje i momenat savijanja, to je ekvivalentno slučaju ekscentrične normalne sile Pri određenim uslovima, tj. odnosima intenziteta M i N, poprečni presek može da se računa po maloj ekscentričnosti Ako se naponi na pritisnutoj i na zategnutoj ivici betona obeleže, redom, sa σ b = σ 1 i σ bz = σ 2, presek se računa prema malom ekscentricitetu ako su zadovoljeni uslovi: σ 2 σ 1 3 za MB 30 σ 2 σ 1 4 za MB > 30 (5) Ovi uslovi pretstavljaju naponsko stanje Faze I (bez prslina), odn. homogen presek

Dozvoljeni naponi za armirani beton [MPa] Ekscentrični pritisak - mali ekscentricitet - dijagram normalnih napona: Faza I, bez prslina

Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet AB stubovi su tipični predstavnici ovakvih naponskih stanja: relativno velika normalna sila pritiska N i relativno mali momenat savijanja M Naponi u armaturi ovakvih elemenata su skoro uvek neiskorišćeni, ali su procenti armiranja ograničeni sa µ min = 0.8% µ max = 3.0% Preseci se, po pravilu, armiraju simetrično, tako da je µ = µ 1 + µ 2 odn. A a1 = A a2

Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Uslovi (5) pretstavljaju uslove za Fazu I naponskih stanja betona, odn. pri tim uslovima betonski presek je homogen U prijemu napona učestvuju čitav betonski poprečni presek i armatura Naponi na ivicama preseka su dati sa: σ 1,2 = N A i ± M W i gde su N i M sile u preseku, a A i i W i geometrijske karakteristike idealizovanog preseka

Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Ako je pravougaoni presek dimenzija b d armiran simetrično, A a1 = A a2 = A a = µ 0 A b, pri čemu su i rastojanja težišta armature do bliže ivice betona takođe iste, a 1 = a 2 = a, geometrijske karakteristike preseka su date sa: - površina idealizovanog preseka A i A i = A b + n (A a1 + A a2 ) = A b (1 + n µ 0 ) - momenat inercije idealizovanog preseka I i I i = b ( ) 2 d3 d 12 + 2 n A a 2 a

Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Momenat inercije idealizovanog preseka I i može da se napiše u obliku I i = b d3 12 (1 + 12 nµ 0 ε 2 ) gde su uvedene oznake: c = d 2 a ε = c d µ 0 = A a1 + A a2 b d = 2 A a b d = µ 1 + µ 2 Otporni momenat idealizovanog preseka W i je dat sa: W i = I i d/2 = b d2 6 + 2 n A ( d 2 a)2 a d/2 = b d2 6 (1 + 12 nµ 0 ε 2 )

Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Rastojanje jezgra preseka k i od težišta idealizovanog preseka je dato sa k i = W i A b = d 6 (1 + 12 nµ 0 ε 2 ) Sa ovim se dobijaju konačni izrazi za vrednosti ivičnih napona u preseku (moraju da budu manji od dopuštenih rubnih napona) σ 1,2 = N A b ( 1 α i ± e k i ) σ dop = σ r gde je α i = 1 + n µ 0 ϕ = 2a d k i = d 6 [1 + 3 n µ 0 (1 ϕ) 2 ]

Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Obično se za ϕ pretpostavljaju vrednosti između 0.10 i 0.20, odn. težište armature a je udaljeno od ivice preseka za (5-10)% od visine preseka d Kada se ispituje da li neki ekscentrično pritisnut presek ispunjava uslove (5) za proračun po malom ekscentricitetu, određuje se kritični ekscentricitet e 0 i upoređuje se sa stvarnim ekscentricitetom normalne sile e = M/N Kritični ekscentricitet e 0 je veličina ekscentriciteta za koju su uslovi (5) za proračun po malom ekscentricitetu ispunjeni

Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Kritični ekscentricitet se dobija: - za MB 30: σ 1 = 3σ 2 e 0 = 2 ki α i - za MB > 30: σ 1 = 4σ 2 e 0 = 5 ki 3 α i Osim kontrole ivičnih napona mora da se proveri i napon u težištu preseka i da se uporedi sa dopuštenim središnim naponom σ s : σ 0 = N σ s A b α i Armiranje stubova izloženih ekscentričnim silama pritiska u malom ekscentricitetu vrši se podužnom i poprečnom armaturom slično kao i kod centrično pritisnutih stubova

Uticaj momenata savijanja na AB elemente Posmatraju se AB elementi na koje deluju samo momenti savijanja (čisto pravo savijanje) Ako se posmatra postepeno povećanje spoljašnjeg dejstva (momenta savijaja) sve do iznosa pri kome dolazi do loma preseka, mogu da se razlikuju sledeće naponske faze 1 Faza I... stanje bez prslina, aktivan ceo betonski presek 2 Faza II... stanje sa prslinama, aktivan samo pritisnuti deo betonskog preseka 3 Faza III... lom preseka

Uticaj momenata savijanja na AB elemente Faza I i Faza II se dele svaka na po dve pod-faze: Faza I... stanje bez prslina, aktivan ceo betonski presek - Faza Ia... linearna raspodela normalnih napona pritisaka i zatezanja - Faza Ib... nelinearna raspodela normalnih napona zatezanja, a linearna raspodela napona pritisaka Faza II... stanje sa prslinama, aktivan samo pritisnuti deo betonskog preseka - Faza IIa... blaga nelinearnost raspodele normalnih napona pritisaka - Faza IIb... znatna nelinearnost normalnih napona pritisaka

Naponske faze AB elementa izloženog savijanju Povećanjem opterećenja, posle Faze IIb dolazi do Faze III - do loma nosača

Uticaj momenata savijanja na AB elemente U proračunu nosača pod uticajem momenata savijanja smatra se da se presek nalazi u Fazi IIa To znači da je zategnuta zona u betonu (ispod neutralne linije) u potpunosti isključena i celokupno zatezanje prihvata armatura Tipični elementi konstrukcija opterećeni na (čisto pravo) savijanje su gredni nosači i ploče Najčešći oblici poprečih preseka grednih nosača su pravougaoni i T preseci

Računski model jednostruko armiranog preseka Presek Dilatacije Naponi Sile

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Poprečni presek je proizvoljnog, ali simetričnog oblika u odnosu na osu u ravni nosača Presek je jednostruko armiran u zategnutoj zoni preseka Visina preseka je d, sa a je označeno rastojanje težišta (zategnute) armature od donje izive preseka, dok je h = d a statička visina preseka (rastojanje od težišta zategnute armaure do pritisnute ivice betona Sa x je označen rastojanje neutralne linije od pritisnute ivice betona Sa s = x/h se obeležava bezdimenzionalan koeficijent položaja neutralne linije

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Iz sličnosti trouglova u prikazu dilatacija i napona, mogu da se izvedu relacije ε a = ε b 1 s s σ a = n σ b 1 s s kao i s = 1 1 + σa n σ b Kao što može da se vidi, položaj neutralne linije (izražen preko koeficijenta s) zavisi samo od odnosa napona u armaturi i betonu, a ne i od njihovih vrednosti

Računski model jednostruko armiranog preseka Presek Dilatacije Naponi Sile

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Mereno od neutralne ose ka pritisnutom delu betona, položaj proizvoljnog vlakna poprečnog preseka je određen sa h η, gde je η bezdimenzionalna koordinata Širina preseka na rastojanju h η je označena sa b(η), dok je površina elementarnog sloja jednaka da(η) = h b(η) dη Iz dijagrama napona dobija se napon u betonu na proizvoljnom rastojanju od neutralne linije η h u obliku η h σ bη = σ b x = σ η b s

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Uslov ravnoteže normalnih sila N = 0 glasi N = 0 Db Z a = η=s η=0 σ bη da σ a A a = 0 Zamenom se dobija η=s η=0 η h σ b x h b(η) dη n A h x aσ b = 0 x odn. posle sređivanja h 2 η=s η=0 b(η) ηdη n A a (h x) = 0 (6)

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Integral u jedn. (6 ) zavisi od oblika poprečnog preseka: η=s η=0 b(η) ηdη = J IB Za pravougaoni presek je b(η) = b = const, pa integral J IB postaje η=s J IB = b(η) ηdη = b s2 2 η=0

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Sa ovim jedn. (6) postaje h 2 b 2 s2 n A a (h x) = 0 Kako je s = x/h dobija se kvadratna jednačina po x x 2 + 2 n A a b x 2 n A a h b = 0 (7) Koreni kvadratne jednačine x 2 + px + q = 0 su dati sa x 1,2 = p 2 ± p 2 4 q

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Pozitivan koren kvadratne jednačine (7) predstavlja položaj neutralne ose x (mereno od pritisnute ivice betona): [ x = n A ] a 1 + 1 + 2 h b (8) b n A a ili, izraženo preko bezdimenzionalnog koeficijenta položaja neutralne ose s = x/h: [ s = n A ] a 1 + 1 + 2 h b h b n A a (9)

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Potrebna statička visina preseka h se određuje iz uslova ravnoteže momenata savijanja M a = 0 u odnosu na težište zategnute armature: M a = 0 η=s η=0 σ bη (h x + h η) da M = 0 Zamenom se dobija, za pravougaoni presek, η=s η=0 σ b η h x b h (h x + hη)dη M = 0

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Posle sređivanja se dobija σ b s b h2 η=s η=0 η(1 s + η)dη M = 0 (10) Integral u jedn. (10) se označava sa J IIB i dat je sa J IIB = η=s η=0 η(1 s + η)dη = (1 s) J IB + η=s η=0 η 2 dη Sa ovim, jedn. (10) može da se piše u obliku σ b s b h2 J IIB M = 0 (11)

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Integral J IIB za pravougaone preseke se dobija, posle sređivanja, u obliku J IIB = s2 2 ( 1 s ) 3 Iz jednačine (11) može da se odredi statička visina preseka h u obliku: s M M h = σ b J IIb b = r (12) b

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Koeficijent r je dat sa: s r = = σ b J IIb σ b s 2 2 Relacija (12) može da se piše u obliku s ( ) 1 s 3 r = h M b (13)

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Sila pritiska u betonu D b se dobija integracijom napona pritisaka u preseku: D b = η=s η=0 σ bη da = σ b b h s J IB (14) Krak unutrašnjih sila z je dat sa z = M D b (15) Iz relacija (11) i (14) dobija se za krak unutrašnjih sila relacija z = J IIB J IB h = ζ h (16)

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Kod čistog savijanja (bez normalne sile), sila pritiska u betonu D b je jednaka sili zatezanja u armaturi Z a, pa je (iz uslova ravnoteže momenata) Z z M = 0 Z a = M z Potrebna površina zategnute armature A a se određuje iz izraza A a = Z a σ a = M z σ a (17)

Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Unoseći uslov (11) i relaciju (15) u (17), dobija se A a = b h J IB s Sa µ 0 je označen koeficijent armiranja µ 0 = J IB s σ b σ a ili, A a = µ 0 b h (18) σ b σ a = A a A b Često se koristi procenat armiranja, µ = 100 µ 0, pa je A a = µ b h 100 (19)

Jednostruko armiran presek pravougaonog oblika Koeficijenti s i r, za pravougaoni presek iznose - koeficijent s... bezdimenzionalni koeficijent statičke visine (x = sh) s = 1 1 + ρ n gde je ρ = σ a σ b - koeficijent r... za određivanje statičke visine preseka s s r = = ( ) σ b J s IIb σ 2 b 2 1 s 3

Jednostruko armiran presek pravougaonog oblika Koeficijenti ζ i µ, za pravougaoni presek iznose - koeficijent ζ... bezdimenzionalan koeficijent kraka sila (z = ζ h) ζ = J ( IIB = 1 s ) J IB 3 - procenat armiranja µ... odnos površina armature i betona u % µ = J IB s ρ 100 = s 100 [%] 2 ρ

Jednostruko armiran presek pravougaonog oblika Izrazi za s, r, ζ i µ mogu da se tabulišu, jer zavise samo od odnosa napona u armaturi i betonu Ovo važi za poprečne preseke pravougaonog i trougaonog oblika (za druge oblike, npr. T presk, postoje i drugi faktori) Postoje tablice za dimenzionisanje u kojima su prikazani razni odgovarajući koeficijenti (videti, npr. knjigu Živorad Radosavljević: Armirani beton, knjiga 1, Građevinska knjiga, Beograd, 1988) Za ove izraze mogu da se naprave programi: Excel, Matlab, C++,...

Dimenzionisanje poprečnog preseka Dimenzionisanje poprečnog preseka podrazumeva usvajanje oblika i dimenzija poprečnog preseka, uključujući i kvalitet betona, kao i vrstu, kvalitet, količinu i raspored armature u preseku, kako podužne, tako i poprečne (uzengija) Problem dimenzionisanja obuhvata dva osnovna slučaja: Slobodno dimenzionisanje preseka Vezano dimenzionisanje preseka

Slobodno dimenzionisanje poprečnog preseka Slobodno dimenzionisanje preseka podrazumeva određivanje i usvajanje dimenzija poprečnog preseka i potrebne količine armature za dati momenat savijanja i za usvojeni kvalitet materijala (poznate dopuštene napone u betonu i armaturi) Znači, kod slobodnog dimenzionisanja AB preseka poznato je:... M, σ a,dop, σ b,dop a traži se:... b, d, A a

Slobodno dimenzionisanje poprečnog preseka Vezano dimenzionisanje preseka podrazumeva određivanje potrebne količine armature i kontrolu napona u betonu za dati momenat savijanja i za presek poznatih dimenzija Znači, kod vezanog dimenzionisanja AB preseka poznato je:... M, b, d, σ a,dop a traži se:... A a σ b σ b,dop

Slobodno dimenzionisanje poprečnog preseka U slučaju slobodnog dimenzionisanja statička visina preseka h se određuje iz izraza (12), a površina zategnute armature A a iz izraza (19) Pri tome se koriste tabulisani koeficijenti koji odgovaraju dopuštenim naponima za usvojeni kvalitet betona i armature Širina poprečnog preseka b se usvaja unapred, obično u uobičajenim granicama od 20 do 50 cm

Slobodno dimenzionisanje poprečnog preseka Na osnovu sračunate površine armature A a bira se prečnik i broj profila Raspored armature se vrši tako što se poštuje minimalan razmak između šipki, koji omogućava dobro ugrađivanje betona i odgovarajuće zaštitne slojeve, uključujući i usvojene uzengije Izračuna se rastojanje a težišta zategnute armature do zategnute ivice preseka i dobija se ukupna visina preseka d = h + a Konačna dimenzija d se usvaja zaokruživanjem (na gore!) na cele santimetre (odn. na okruglu cifru )

Vezano dimenzionisanje poprečnog preseka U slučaju vezanog dimenzionisanja, kada su poznate dimenzije preseka, za dati momenat savijanja i usvojen kvalitet armature, određuje se potrebna površina armature A a Prethodno se pretpostavlja statička visina preseka h usvajanjem rastojanja a težišta zategnute armature do zategnute ivice preseka (uobičajeno je a 0.1 d) Iz izraza (13) se određuje koeficijent r, a iz tablica za dimenzionisanje koje odgovaraju σ a,dop, očitava se odgovarajući napon u betonu σ b i procenat armiranja µ

Vezano dimenzionisanje poprečnog preseka Na osnovu dobijene vrednosti σ b bira se marka betona MB, dok se iz izraza (19) određuje potrebna količina armature A a Sa dobijenom potrebnom površinom A a odaberu se i usvoje šipke armature, pa se sračuna stvarna statička visina h = d a U slučaju većeg odstupanja od pretpostavljene vrednosti h (koja je je korišćena u izrazu 13), ponovi se proračun

Dimenzionisanje poprečnog preseka Da bi se izbegao lom nosača zbog nedovoljne količine zategnute armature u trenutku otvaranja prslina, neophodno je da usvojena zategnuta armatura uvek bude veća od minimalne: A a A a,min = µ min b d 100 Minimalan procenat armiranja za gredne nosače je: µ min = 0.25%... za glatku armaturu GA 240/360 µ min = 0.20%... za rebrastu armaturu RA 400/500

pravougaonog oblika U pritisnutu zonu betonskog preseka se uvek postavlja montažna (konstruktivna) armatura Smisao pritisnute armature je da poveže uzengije i da poveća žilavost pritisnute zone betona Prema tome, i jednostruko armirani preseci, sa računskom armaturom samo u zategnutoj zone preseka, imaju armaturu i u pritisnutom delu Međutim, pritisnuta konstruktivna armatura je relativno manjih preseka, pa se, i pored ove armature, preseci tretiraju kao jednostruko armirani

pravougaonog oblika Međutim, zbog ograničenja visine preseka, kao i zbog prekoračenja dopuštenih napona pritiska u betonu, često je potrebno da se i u pritisnutu zonu dodaje računska armatura Cilj ovakvog načina armiranja je da se naponi pritiska u betonu dovedu u dozvoljene granice, posebno kada nije opravdano povećanje kvaliteta betona (usvajanje više MB)

pravougaonog oblika Dvostruko armiranje preseka je neophodno kada je eksploatacioni momenat savijanja M (za najnepovoljniju kombinaciju opterećenja) veći od momenta nosivosti M b jednostruko armiranog preseka Moment nosivosti M b jednostruko armiranog preseka je dat sa r = h M b M b = ( ) h 2 r b (20) gde r odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih napona za usvojeni kvalitet čelika i betona

pravougaonog oblika Razlika momenata savijanja (najvećeg eksploatacionog i momenta nosivosti preseka) M = M M b prihvata se dodatnom zategnutom armaturom A a1, kao i dodatnom pritisnutom armaturom A a2 Sila zatezanja Z u dodatnoj zategnutoj armaturi se određuje iz dodatnog uslova ravnoteže: Z = M h a 2

pravougaonog oblika Kako je Z = A a1 σ a, povrǎina dodatne zategnute armature se određuje iz izraza: A a1 = M (h a 2 ) σ b Površina ukupne zategnute armatue je data sa: A a1 = A a1 + A a1 = µ b h 100 + M (h a 2 ) σ b pri čemu µ pretstavlja procenat armiranja koji odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih napona u betonu i armaturi, pri delovanju M b

Računski model dvostruko armiranog preseka

pravougaonog oblika Površina pritisnute armature A a2 se određuje iz uslova da položaj neutralne linije u poprečnom preseku ostane nepromenjen To znači da su statički momenti dodatne zategnute armature i dodatne pritisnute armature u odnosu na neutralnu osu jednaki: A a1 (h x) A a2 (x a 2 ) = 0 Zamenjujući izraz za A a1 dobija se površina dodatne pritisnute armature: A a2 = M h x (h a 2 )σ a x a 2

Ispitivanje napona u betonu i armaturi kod pravougaonih preseka Za preseke poznatih dimenzija, poznatog rasporeda i površine armature, kao i poznatih kvaliteta materijala (betona i čelika), često je potrebno da se provere naponi u betonu i armaturi Ispitivanje nosivosti konstrukcije zbog povećanog opterećena, promenjenih uslova u eksploataciji, proračna ugiba,..., zahtevaju analizu napona u betonu i armaturi Položaj neutralne linje određuje se iz uslova ravnoteže normalnih sila preseku

Ispitivanje napona u betonu i armaturi kod pravougaonih preseka Za dvojno armiran pravougani presek položaj neutralne ose se svodi na rešavanje kvadratne jednačine x 2 + 2n b (A a1 + A a2 ) x 2n b (A a1 h + A a2 a 2 ) = 0 Pozitivan koren ove jednačine je dat sa [ ] x = n(a a1 + A a2 ) 1 + 1 + 2b(A a1h + A a2 a 2 ) b n(a a1 + A a2 ) 2

Ispitivanje napona u betonu i armaturi kod pravougaonih preseka Iz uslova ravnoteže momenata spoljašnjih i unutrašnjih sila u odnosu na težište zategnute armature, uz poznat položaj neutralne linije x, napon u betonu σ b se određuje iz: σ b = bx 2 M ( ) ( ) h x 3 + naa2 1 a 2 x (h a2 ) Koristeći određen napon u betonu σ b i linearnu vezu napona i dilatacija u preseku, naponi u zategnutoj i pritisnutoj armaturi se određuju iz izraza: σ a1 = n σ b h x x σ a2 = n σ b x a 2 x

Ekscentrično opterećeni elementi Kada normalna sila pritiska deluje ekscentrično u odnosu na težište poprečnog preseka (podrazumeva se da je savijanje u jednoj ravni), naponsko stanje preseka je u oblasti velikog ekscentriciteta ukoliko se dobijaju naponi zatezanja u betonu (sračunati po fazi I) u granicama: σ bz σ b 3 za MB 30 σ bz σ b 4 za MB > 30 (napon pritiska u betonu se označava kao pozitivan)

Ekscentrično opterećeni elementi U slučaju ekscentrične sile zatezanja presek je u fazi velikog ekscentriciteta ukoliko se napadna tačka sile nalazi izvan težišta zategnute armature poprečnog preseka, odn. kada je zadovoljen uslov e > d 2 a gde je e ekscentircitet normalne sile u odnosu na težišnu osu Osa linijskog nosača je geometrijsko mesto težišta poprečnih preseka Statički uticaji u nosaču (npr. M i N) se određuju u odnosu na osu nosača, koja se poklapa sa težišnom linijom

Ekscentrično opterećeni elementi Kada su sile u preseku momenat savijanja M i normalna sila pritiska N ili zatezanja Z, to je ekvivalentno kao da deluje samo ekscentrična normalna sila, N ili Z, sa ekscentricitetom e = M N odn. e = M Z gde je e ekscentircitet normalne sile N ili Z u odnosu na težišnu osu

Ekscentrično opterećeni elementi AB elementi napregnuti u fazi velikog ekscentriciteta (pritiska ili zatezanja) se nalaze u fazi II, preseci sa prslinama Važe iste pretpostavke proračuna kao i za slučaj čistog pravog savijanja, od kojih su najvažnije; - naponi zatezanja u betonu ispod neutralne linije se zanemauju - celokupno zatezanje preuzima armatura u preseku (zategnuta, a po potrebi i pritisnuta - dvojno armiranje) Proračun preseka se vrši na isti način kao i za slučaj čistog savijanja

Ekscentrično opterećeni elementi Jedino se, umesto momenta savijanja M, koristi momenat savijanja M a sračunat u odnosu na težište zategnute armature M a = M + N ( d 2 a) pritisak M a = M Z ( d 2 a) zatezanje (21) Dimenzionisanje preseka ne može da se direktno izvrši kao u slučaju čistog pravog savijanja, jer je nepoznata veličina momenta M a u odnosu na zategnutu armaturu, zbog nepoznate visine preseka d, a prema M a se određuju dimenzije preseka

Ekscentrično opterećeni elementi Zbog toga se unapred usvaja (pretpostavlja) visina preseka d, kao i širina preseka b na mestu zategnute armature Sa usvojenom visinom preseka d i veličinom zaštitnog sloja betona, odnosno sa pretpostavljenim rastojanjem a težišta zategnute armature do ivice preseka, za pozneta statičke uticaje u preseku M i N, određuje se momenat savijanja u odnosu na zategnutu armaturu M a = M + N c = N(e + c) gde je c = d/2 a (rastojanje zategnute armature od težišta)

Ekscentrično opterećeni elementi Ekscentrično opterećen pravougaoni presek u oblasti velikog ekscentriciteta (N - pritisak, Z - zatezanje)

Ekscentrično opterećeni elementi Bezdimenzionalni koeficijent r za dimenzionisanje, u slučaju čistog pravog savijanja je dat sa (13), dok je u slučaju velikog ekscentriciteta dat sa r = samo figuriše M a umesto M h M a b (22) Mogu da se koriste iste tablice za dimenzionisanje kao i za slučaj čistog pravog savijanja

Ekscentrično pritisnuti elementi Za ekscentričnu silu pritiska i veliki ekscentricitet, količina potrebne armature se određuje iz uslova ravnoteže spoljašnih i unutrašnjih sila ( N = 0): N + Z a D b = 0 Kako je Z a = A a σ a, to se dobija Z a = D b N Z a σ a = A a = M a z σ a N σ a (23) jer je D b z = M a

Ekscentrično pritisnuti elementi Alternativno, imajući u vidu izraz (19) i uvođenje procenta armiranja, potrebna količina zategnute armature može da se prikaže i u obliku A a = µ b h 100 N σ a (24) Ekscentrično zategnuti elementi Ako je presek opterećen ekscentričnom silom zatezanja, onda je potrebna površina armature data sa A a = M a z σ a + Z σ a (25)

Ekscentrično zategnuti elementi Alternativno, potrebna površina zategnute armature za ekscentričnu silu zatezanja može da se odredi i iz relacije A a = µ b h 100 + Z σ a (26) Za ekscentrično zatezanje silom Z, momenat M a u odnosu na zategnutu armaturu dat je sa (21)/2

Ekscentrično opterećeni elementi Momenat nosivosti pretpostavljenog betonskog preseka M b je dat na isti način kao i za čisto savijanje i jednostruko armirani presek: r = h M b M b = ( ) h 2 r b (27) gde r odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih napona za usvojeni kvalitet čelika i betona Razlika momenata u odnosu na zategnutu armaturu i momenta nosivosti pretpostavljenog betonskog preseka je M = M a M b (28)

Ekscentrično opterećeni elementi Razlika momenata M = M a M b može da bude: M > 0... potrebno je dvojno armiranje preseka M = 0... potrebna je samo zategnuta armatura (jednostruko armiranje, iskorišćeni naponi σ b i σ a ) M < 0... naponi u betonu su neiskorišćeni U slučaju dvojnog armiranja relacije su iste kao i kod čistog savijanja: dodatna zategnuta armatura se određuje na osnovu M dodatna pritisnuta armatura se određuje iz uslova da dodatne armature ne menjaju položaj neutralne linije (koji je određen dozvoljenim naponima σ b i σ a )

pravougaonog oblika Površina ukupne zategnute armatue, za ekscentričnu silu pritiska, data je sa: A a1 = µ b h 100 + M (h a 2 ) σ b N σ a pri čemu µ pretstavlja procenat armiranja koji odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih napona u betonu i armaturi, pri delovanju M b Površina dodatne pritisnute armature je data sa: A a2 = M (h a 2 )σ a h x x a 2

pravougaonog oblika Ako se dobije da je dodatna pritisnuta armatura A a2 veća od zategnute armature A a1, ali da je pri tome A a2 1.5 A a1, onda se presek simetrično armira sa armaturom u obe zone A a = 0.5 (A a1 + A a2 ) Ako je A a2 > 1.5A a1, presek ne može da se armira simetrično: armature se usvoji prema dobijenim vrednostima i provere se naponi u betoni i armaturi

pravougaonog oblika Ako se dobije da je zategnuta armatura A a1 vrlo mala, ili negativna (u slučaju kada je položaj N sile blizu granice malog ekscentriciteta), presek se armira sa minimalnom zategnutom armaturom Minimalni procenat armiranja zategnutom armaturom je µ min = 0.4% u odnosu na površinu betonskog preseka