Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n.. (0.1) Ako je b 1 = b 2 = = b n = 0, za sistem jednačina (0.1) se kaže da je homogen. Ured ena n-torka brojeva (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) je rešenje sistema jednačina (0.1) ako se svaka jednačina ovog sistema za x k = ξ k (k = 1, 2,..., n) svodi na identitet, tj. svaka jednačina je zadovoljena. Za sistem tada kažemo da je saglasan ili rešiv. Kramerove formule Koordinate vektora rešenja sistema jednačina (0.1) odred ene su formulama gde je i x k = D k D (k = 1, 2,..., n), a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n D =..... 0. a n1 a n2... a nn 1

2 a 11... a 1,k 1 b 1 a 1,k+1... a 1n a 21... a 2,k 1 b 2 a 2,k+1... a 2n D k =...... a n1... a n,k 1 b n a n,k+1... a nn Gausov metod Kod Gausovog metoda eliminacije polazni sistem se svodi na ekvivalentan sistem (sistem koji ima ista rešenja kao i polazni) a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + + a (1) 1n x n = b (1) 1, a (2) 22 x 2 + + a (2) 2n x n = b (2) 2, a (n) nn x n = b (n) n, gde se do rešenja dolazi sukcesivno, polazeći od poslednje jednačine. x n = b(n) n a (n) nn, x i = 1 a (i) ii ( b (i) i n k=i+1 ) a (i) ik x k (i = n 1,..., 1). Gausov metod se može primeniti i na sistem koji ima različit broj jednačina u odnosu na broj nepoznatih. Na primer, ako je broj jednačina m veći od broja nepoznatih n dobija se ekvivalentan sistem a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + + a (1) 1n x n = b (1) 1, a (2) 22 x 2 + + a (2) 2n x n = b (2) 2, a (n) nn x n = b (n) n, a (n) mnx n = b (n) m. Ovaj sistem ima rešenje ako se iz poslednjih m n+1 jednačina dobija ista vrednost za x n, tj. ako je x n = b(n) n a (n) nn = = b(n) m a (n). mn..

3 Kroneker-Kapelijeva teorema Za sistem od m linearnih jednačina sa n promenljivih a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m definišemo matricu sistema a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =...... a m1 a m2... a mn i proširenu matricu sistema a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2 B =........ a m1 a m2... a mn b m Teorema 1. (Kroneker-Kapelijeva) Sistem jednačina je saglasan ako i samo ako je rang A = rang B. Teorema 2. Da bi saglasan sistem linearnih jednačina imao jedinstveno rešenje potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema bude jednak broju nepoznatih. Teorema 3. Da bi homogen sistem linearnih jednačina imao netrivijalno rešenje potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema bude manji od broja nepoznatih.. Zadaci 1. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x + ay + z = 1, x + y + az = 1, x + a 2 y + z = a.

4 Rešenje: I način. Dati sistem linearnih jednačina je kvadratni, pa za diskusiju i rešavanje može da se primeni Kramerov metod. Determinanta sistema je 1 a 1 D = 1 1 a 1 a 2 1 = 1 a 1 0 1 a a 1 0 a 2 a 0 = 1 a a 1 a(a 1) 0 = a(a 1)2. Determinante dobijene zamenom odgovarajućih kolona determinante sistema kolonom sastavljenom od slobodnih članova jednačina su: 1 a 1 D x = 1 1 a a a 2 1 = 1 a 1 0 1 a a 1 0 0 1 a = (a 1)2, 1 1 1 D y = 1 1 a 1 a 1 = 1 1 1 0 0 a 1 0 a 1 0 = 0 a 1 a 1 0 = (a 1)2, 1 a 1 D z = 1 1 1 1 a 2 a = 1 a 1 0 1 a 0 0 a 2 a a 1 = 1 a 0 a(a 1) a 1 = (a 1)2. Kako je D = 0 za a = 0 ili a = 1, razlikujemo tri slučaja u zavisnosti od parametra a. 1 Ako je a 0 i a 1, tada je D 0, pa sistem ima jedinstveno rešenje odred eno sa x = D x D = (a 1)2 a(a 1) 2 = 1 a, y = D y D = (a 1)2 a(a 1) 2 = 1 a, z = D z (a 1)2 = D a(a 1) 2 = 1 a. ( Dakle, rešenje je (x, y, z) = 1 a, 1 a, 1 ). a 2 Ako je a = 0, tada je D = 0, D x 0, D y 0, D z 0, pa sistem nema rešenje. 3 Ako je a = 1, tada je D = D x = D y = D z = 0, pa Kramerov metod ne daje odgovor da li rešenje sistema postoji. Zamenom vrednosti parametra a = 1, sistem dobija oblik x + y + z = 1, x + y + z = 1, x + y + z = 1,

tj. svodi se na jednu jednačinu koja je zadovoljena ako je x = 1 y z, za proizvoljno y, z R. Zato sistem ima beskonačno mnogo rešenja (x, y, z) = (1 y z, y, z), y, z R. II način. Za diskusiju sistema koristićemo Kroneker Kapelijevu teoremu. Matrica sistema i proširena matrica sistema su 1 a 1 1 a 1 1 A = 1 1 a, B = 1 1 a 1. 1 a 2 1 1 a 2 1 a Primenom elementarnih transformacija na vrste matrice B, i to: - oduzimanje prve vrste od druge i treće vrste redom, - množenje druge vrste sa a i dodavanje trećoj vrsti, dobijamo njoj ekvivalentnu matricu čiji su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki 0: 1 a 1 1 1 a 1 1 B = 1 1 a 1 = 0 1 a a 1 0 1 a 2 1 a 0 a 2 a 0 a 1 1 a 1 1 = 0 1 a a 1 0 0 a(a 1) 0 a 1 1 a 1 1 = 0 1 a a 1 0 0 0 a(a 1) a 1 Prve tri kolone dobijene matrice čine trougaonu matricu ekvivalentnu matrici A. Njena determinanta jednaka je proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali, što znači da je različita od 0 ako je a 0 i a 1. Zato razlikujemo tri slučaja za vrednosti parametra a. 1 Za a 0 i a 1 važi rang A = rang B = 3, što znači da sistem ima jedinstveno rešenje. Umesto polaznog, rešavamo njemu ekvivalentan trougaoni sistem koji odgovara transformisanim matricama: x + ay + z = 1, (1 a)y + (a 1)z = 0, a(a 1)z = a 1. Rešavanjem redom treće, druge i prve jednačine dobijamo pa je rešenje sistema (x, y, z) = 2 Ako je a = 0, važi z = 1 a, y = z = 1 a, x = 1 ay z = 1 a, ( 1 a, 1 a, 1 ). a. 5

6 1 0 1 1 B = 0 1 1 0 0 0 0 1 i rang B = 3. Prve tri kolone čine matricu ekvivalentnu matrici A, pa je rang A = 2. Prema Kroneker Kapelijevoj teoremi, sistem nema rešenje. 3 Ako je a = 1, važi 1 1 1 1 B = 0 0 0 0. 0 0 0 0 Sada je rang A = rang B = 1, što znači da sistem ima beskonačno mnogo rešenja, pri čemu se jedna nepoznata izražava kao linearna kombinacija preostale dve. Zaista, sistem se svodi na jednu jednačinu x + y + z = 1, koja je zadovoljena za x = 1 y z, y, z R. Prema tome, rešenja sistema su (x, y, z) = (1 y z, y, z), y, z R. 2. U zavisnosti od realnog parametra k diskutovati i rešiti sistem jednačina x + y 3z = 1, 2x + y + z = 2, x + 2y + kz = 3, x + 4y + 4kz = 1 2k. Rešenje: Dati sistem linearnih jednačina nije kvadratni, pa ne mogu da se primene Kramerove formule. Zato sistem diskutujemo primenom Kroneker Kapelijeve teoreme. Elementarnim transformacijama nad vrstama proširene matrice sistema dobijamo sledeći niz ekvivalentnih matrica: 1 1 3 1 B = 2 1 1 2 1 2 k 3 1 4 4k 1 2k = 1 1 3 1 = 0 3 5 4 0 0 k + 2 0 0 0 4(k + 2) 2(k + 2) 1 1 3 1 0 3 5 4 0 3 k 3 4 0 3 4k + 3 2k 1 1 3 1 = 0 3 5 4 0 0 k + 2 0 0 0 0 2(k + 2).

7 Prve tri kolone čine matricu ekvivalentnu matrici A. 1 Za k 2 važi rang A = 3, rang B = 4, što znači da sistem nema rešenja. 2 Ako je k = 2 imamo 1 1 3 1 B = 0 3 5 4 0 0 0 0, 0 0 0 0 pa je rang A = rang B = 2, tj. sistem ima beskonačno mnogo rešenja kod kojih su dve koordinate izražene preko treće. Ekvivalentni sistem koji se rešava je x + y 3z = 1, 3y 5z = 4. Iz druge jednačine je y = (4 + 5z)/3, a zamenom u prvoj jednačini dobija se x = ( 1 + 4z)/3. Dakle, rešenja su ( 1 + 4z 4 + 5z ) (x, y, z) =,, z, z R. 3 3 3. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina 2x y + 28t = 3, x + z + 16t = 1, 5x 3y + z + a 2 t = a. Rešenje: Primenom elementarnih transformacija nad vrstama, matricu sistema i proširenu matricu sistema dovodimo na gornje trougaoni oblik, pogodan za odred ivanje rangova tih matrica. 2 1 0 28 3 1 0 1 16 1 B = 1 0 1 16 1 = 2 1 0 28 3 5 3 1 a 2 a 5 3 1 a 2 a 1 0 1 16 1 1 0 1 16 1 = 0 1 2 60 5 = 0 1 2 60 5. 0 3 6 a 2 + 80 a + 5 0 0 0 a 2 100 a 10 (0.2) I korak: Zamenimo mesta prvoj i drugoj vrsti. II korak: Prvu vrstu pomnoženu sa 2 i 5 dodamo redom drugoj i trećoj vrsti. III korak: Drugu vrstu pomnoženu sa 3 oduzmemo od treće.

8 Vrednosti dijagonalnih elemenata (na glavnoj dijagonali i dijagonali paralelnoj njoj, s obzirom da sistem nije kvadratan) odred uju rang posmatranih matrica sistema. 1 a ±10 : rang A = rang B = 3 < 4 = broj nepoznatih. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja koja parametarski zavise od jedne od nepoznatih. Iz proširene matrice sistema (0.2) čitamo preured ene jednačine x + z + 16t = 1, y + 2z + 60t = 5, (a 2 100)t = a 10. Eliminacijom nepoznatih dobijamo x + z = 1 16 a+10, y + 2z = 5 60 a+10, t = 1 a+10, x = z + 6 a a+10, y = 2z + 10 5a a+10, t = 1 a+10, z R, pa su rešenja sistema za vrednosti realnog parametra a ±10 oblika ( (x, y, z, t) = z + 6 a 10 5a, 2z + a + 10 a + 10, z, 1 ), z R. a + 10 2 a = 10 : Zamenom vrednosti parametra a = 10 u (0.2) matrice sistema postaju 1 0 1 16 1 0 1 2 60 5. 0 0 0 0 0 Sada je rang A = rang B = 2 < 4 = broj nepoznatih, te na osnovu Kroneker- Kapelijevog stava, br.nepoznatih-rang A = 2 nepoznate biramo za slobodne promenljive, i preostale rang A = 2 nepoznate rešavamo u funkciji od slobodnih parametara. Tako, rešenja preured enog sistema, ekvivalentnog polaznom, { x + z + 16t = 1, mogu biti opisana sledećim jednakostima tj. glase y + 2z + 60t = 5, x = z + 16t 1, y = 2z + 60t 5, z, t R,

9 (x, y, z, t) = (z + 16t 1, 2z + 60t 5, z, t), z, t R. 3 a = 10 : Iz (0.2), zamenom a = 10, sledi 1 0 1 16 1 0 1 2 60 5, 0 0 0 0 20 tj. rang A = 2 rang B = 3. Na osnovu Kroneker-Kapelijeve teoreme, za ovu vrednost parametra rešenje sistema ne postoji. 4. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati sistem linearnih jednačina (a 1)x + y + (1 a)z = 0, x + y + z = 1, (1 + a)x + y + (a + 1)z = 2. Rešenje: Proširena matrica sistema je a 1 1 1 a 0 B = 1 1 1 1, 1 + a 1 a + 1 2 a prve tri kolone čine matricu sistema A. Za odred ivanje njihovog ranga najpre med usobno zamenimo mesta prvoj i drugoj koloni, a zatim nastavimo sa elementarnim transformacijama nad vrstama: 1 a 1 1 a 0 1 a 1 1 a 0 B = 1 1 1 1 = 0 a a 1 1 1 + a a + 1 2 0 2 2a 2 1 a 1 1 a 0 1 a 1 1 a 0 = 0 2 2a 2 = 0 1 a 1. 0 a a 1 0 0 a(a + 1) a + 1 U zavisnosti od vrednosti parametra a razlikujemo tri slučaja. 1 Za a 0 i a 1 je rang A = rang B = 3, pa sistem ima jedinstveno rešenje. Kako su pri transformaciji matrica zamenjena mesta prvoj i drugoj koloni, tj. kolonama koje su sastavljene od koeficijenata uz x i y redom, rešavamo sistem y + (a 1)x + (1 a)z = 0, x + az = 1, a(a + 1)z = a + 1,

10 i dobijamo z = 1 a, x = 1 a 1 a = 0, y = (1 a)1 a = a 1. Dakle, rešenje je a ( a 1 (x, y, z) = 0, a, 1 ). a 2 Za a = 1 imamo B 1 2 2 0 = 0 1 1 1, 0 0 0 0 odakle je rang A = rang B = 2, pa sistem ima beskonačno mnogo rešenja. Umesto polaznog, rešavamo sistem y 2x + 2z = 0, x z = 1 i dobijamo x = z + 1, y = 2(z + 1) 2z = 2. Dakle, rešenja su (x, y, z) = (z + 1, 2, z), z R. 3 Ako je je a = 0, važi 1 1 1 0 B = 0 1 0 1. 0 0 0 1 Sada je rang A = 2 i rang B = 3, što znači da sistem nema rešenja. 5. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x + y + z = 6, ax + 4y + z = 5, 6x + (a + 2)y + 2z = 13. Rešenje: Elementarnim transformacijama nad vrstama matrica sistema i pro širena matrica sistema istovremeno dobijaju gornje trougaoni oblik. Iz ovog oblika se jednostavno uočavaju rangovi matrica kao i njihova zavisnost od vrednosti realnog parametra a. 1 1 1 6 1 1 1 6 B = a 4 1 5 = 0 4 a 1 a 5 6a 6 a + 2 2 13 0 a 4 4 23 1 1 1 6 = 0 a 4 4 23. (0.3) 0 0 3 a 18 6a

11 I korak: prva vrsta matrice pomnožena sa a je dodata drugoj vrsti, a pomnožena sa -6 dodata trećoj vrsti. II korak: treća vrsta dodata drugoj, a zatim su tim dvema vrstama zamenjena mesta. Na osnovu dijagonalnih elemenata matrice sistema, zaključujemo da su za njen rang kritične vrednosti parametra a, 3 i 4. 1 a 3, 4 : Tada je rang A = rang B = 3 = broj nepoznatih. Na osnovu Kroneker-Kapelijeovog stava, sistem ima jedinstveno rešenje za ovakav izbor vrednosti parametra a. Iz (0.3), polazni sistem je ekvivalentan jednačinama x + y + z = 6, (a 4)y 4z = 23, (a + 3)z = 6(a + 3). Odatle, eliminacijom nepoznatih dolazimo do rešenja: z = 6(a + 3) a + 3 = 6, y = 23 4 6 4 a x = 6 y z = y = 1 4 a, = 1 a 4, ( 1 tj. (x, y, z) = 4 a, 1 ) a 4, 6. 2 a = 4 : Zamenom ove vrednosti parametra a u (0.3), matrice sistema postaju B 1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6 = 0 0 4 23 = 0 0 1 23/4 = 0 0 1 23/4. 0 0 7 42 0 0 1 6 0 0 0 1/4 I korak: drugu i treću vrstu podelimo redom sa 4 i 7. II korak: drugu vrstu oduzmemo od treće. rang A = 2 rang B = 3, pa sistem nema rešenja u ovom slučaju. 3 a = 3 : Na osnovu (0.3), matrice sistema za a = 3 glase B 1 1 1 6 = 0 7 4 23, 0 0 0 0 Polazni sistem je ekvivalentan jednačinama rang A = rang B = 2 < 3 = broj nepoznatih. x + y + z = 6, 7y + 4z = 23.

12 Sistem ima beskonačno mnogo rešenja, pri čemu je jedna od nepoznatih slobodan parametar, npr. x = 1 7 (19 3z), y = 1 (23 4z), z R. 7 ( 19 3z 23 4z ) Rešenja su (x, y, z) =,, z, z R. 7 7 6. U zavisnosti od parametara a, b R diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x + y + z = 0, x + ay + a 2 z = 1, ax + y + a 2 z = b. Rešenje: Posmatra se istovremeno rang matrice i rang proširene matrice sistema jednačina, i njihova zavisnost od mogućih vrednosti realnih parametara a i b. Elementarnim transformacijama nad vrstama, pomenute matrice dobijaju gornje trougaoni oblik, iz koga se lako čitaju rangovi matrica. 1 1 1 0 1 1 1 0 B = 1 a a 2 1 = 0 a 1 a 2 1 1 a 1 a 2 b 0 1 a a 2 a b 1 1 1 0 = 0 a 1 a 2 1 1. (0.4) 0 0 2a 2 a 1 b + 1 I korak: prvu vrstu matrice oduzmemo od druge, a pomnoženu sa a oduzmemo od treće vrste. II korak: drugu vrstu dodamo trećoj. Na osnovu dijagonalnih elemenata matrice sistema a 1 i 2a 2 a 1 = 2(a 1)(a + 1/2), sledi da su za rang kritične vrednosti parametra a = 1 i a = 1/2. 1 a 1, 1/2 : Tada je rang A = rang B) = 3 = broj nepoznatih. Na osnovu Kroneker-Kapelijevog stava, sistem ima jedinstveno rešenje za ovakav izbor vrednosti parametra a, bez obzira na vrednosti parametra b. Čitajući (0.4), polazni sistem je ekvivalentan sistemu x + y + z = 0, (a 1)y + ( a 2 1 ) z = 1, ( 2a 2 a 1 ) z = b + 1.

13 Odatle, eliminacijom nepoznatih dolazimo do rešenja b + 1 z = 2a 2 a 1, y = 1 ( a 2 1 ) z = ab + b a a 1 2a 2 a 1, x = y z = ab a 1 2a 2 a 1. 2 a = 1 : Zamenom ove vrednosti parametra a u (0.4), matrice sistema postaju 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 = 0 0 0 1. 0 0 0 b + 1 0 0 0 0 Tada je rang A = 1 rang B = 2, pa sistem nema rešenja u ovom slučaju, nezavisno od vrednosti parametra b. 3 a = 1/2 : Na osnovu (0.4), matrice sistema za a = 1/2 glase 1 1 1 0 0 3/2 3/4 1. 0 0 0 b + 1 Za b = 1, rang A = rang B = 2 < 3 = broj nepoznatih, za b 1, rang A = 2 rang B = 3. Zaključujemo da za vrednost parametra a = 1/2, polazni sistem ima rešenja akko je b = 1, i tada je ekvivalentan jednačinama { x + y + z = 0, 3/2y 3/4z = 1. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja, pri čemu je jedna od nepoznatih slobodan parametar, npr. x = 1 6 (4 3z), y = 1 (4 + 3z), z R. 6 7. U zavisnosti od realnih parametara a i b diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina ax + 4y + z = 0, 2y 3z = 1, 2x bz = 2.

14 Rešenje: Matrica sistema i proširena matrica sistema glase a 4 1 0 0 2 3 1. 2 0 b 2 Elementarnim transformacijama nad vrstama dovodimo ove matrice na gornje trougaoni oblik, zbog jednostavnijeg čitanja rangova tih matrica. a 4 1 0 2 0 b 2 2 0 b 2 0 2 3 1 = 0 2 3 1 = 0 2 3 1. 2 0 b 2 a 0 7 2 0 0 7 + ab 2 a 2 I korak: Drugu vrstu pomnoženu sa 2 oduzmemo od prve vrste. Zamenimo mesta prvoj i trećoj vrsti. II korak: Prvu vrstu pomnoženu sa a/2 oduzmemo od treće vrste. Diskusija rešenja sistema odvija se oko vrednosti 7 + ab 2 = 14+ab 2, poslednjeg elementa glavne dijagonale matrice sistema A. 1 ab 14 : rang A = rang B = 3 = broj nepoznatih. Sistem ima jedinstveno rešenje koje dobijamo eliminacijom nepoznatih iz jednačina 2x bz = 2, x = bz 2 2, x = 2 b+7 14+ab, 2y 3z = 1, y = 1+3z 2, y = ab+6a+2 2(14+ab), 14+ab 2 z = a 2, z = 2(a 2) 14+ab, z = 2(a 2) 14+ab. 2 ab = 14 : Za ovakvu kombinaciju vrednosti parametara a i b transformisane matrice sistema glase 2 0 b 2 0 2 3 1, 0 0 0 a 2 te je rang A = 2. Rang proširene matrice B zavisi od vrednosti a 2, elementa u trećoj vrsti. U slučaju a 2, rang B = 3 rang A, pa sistem nema rešenja. Za vrednost parametra a = 2, s obzirom na pretpostavku ab = 14, važi b = 7. Matrice sistema tada glase 2 0 7 2 0 2 3 1, 0 0 0 0 pa je rang B = 2 = rang A < 3 = broj nepoznatih, i sistem ima beskonačno mnogo rešenja:

15 x = 2 + 7z 2, y = 1 + 3z, z R. 2 8. U zavisnosti od realnog parametra λ diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x y λz = 1, (λ + 1)y + (λ 1)z = 0, (λ + 1)x (λ + 1)z = 1. Rešenje: Od koeficijenata uz nepoznate sistema formiramo matricu sistema A. Dodavanjem kolone slobodnih članova dobijamo proširenu matricu sistema Ã. 1 1 λ 1 0 λ + 1 λ 1 0. λ + 1 0 (λ + 1) 1 Zbog lakšeg odred ivanja i pored enja rangova ovih matrica, elementarnim transformacijama nad vrstama, dovodimo matrice na gornje trougaoni oblik. 1 1 λ 1 1 1 λ 1 0 λ + 1 λ 1 0 = 0 λ + 1 λ 1 0 λ + 1 0 (λ + 1) 1 0 λ + 1 (λ 1)(λ + 1) λ 1 1 λ 1 = 0 λ + 1 λ 1 0. (0.5) 0 0 λ(λ 1) λ I korak: Prvu vrstu pomnoženu sa λ + 1 oduzmemo od treće vrste. II korak: Oduzmemo drugu vrstu od treće. Rangovi matrica sistema zavise od vrednosti dijagonalnih elemenata. 1 λ 0, ±1 : rang A = rang B = 3 = broj nepoznatih. Sistem ima jedinstveno rešenje. Eliminacijom nepoznatih iz jednačina koje čitamo iz (0.5) dobijamo x = 1 + y + λz, x y λz = 1, x = 2 (λ 1)z λ 2 1, (λ + 1)y + (λ 1)z = 0, y = λ + 1, y = 1 λ(λ 1)z = λ, z = 1 λ + 1, λ 1, z = 1 λ 1. 2 λ = 0 : Zamenom ove vrednosti parametra λ u (0.5) dobijamo

16 1 1 0 1 0 1 1 0, 0 0 0 0 pa je rang A = rang B = 2 < 3 = broj nepoznatih. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja, opisanih sa x = y + 1, z = y, y R. 3 λ = ±1 : Zamenom ovih vrednosti parametra λ u (0.5) dobijamo sledeće matrice 1 1 1 1 1 1 1 1 λ = 1 : 0 λ + 1 2 0 = 0 0 1 0, λ + 1 0 2 1 0 0 0 1 1 1 1 1 λ = 1 : 0 2 0 0. 0 0 0 1 U oba slučaja je rang A = 2 rang B = 3, i sistem nema rešenja za ovakav izbor vrednosti parametra λ. 9. Ispitati za koje vrednosti parametra a R homogeni sistem ima i netrivijalna rešenja i odrediti ih. x + y + 3z + at = 0, x + 2y + 4z + 2t = 0, x + 3y + 3z + 2t = 0, 2x + 2y + 3z + 4t = 0 Rešenje: Kako je 1 1 3 a 1 1 3 a 1 1 3 a A = 1 2 4 2 1 3 3 2 = 0 1 1 2 a 0 2 0 2 a = 0 1 1 2 a 0 0 2 a 2 2 2 3 4 0 0 3 4 2a 0 0 3 4 2a 1 1 3 a 1 1 3 a = 0 1 1 2 a 0 0 2 a 2 = 0 1 1 2 a 0 0 2 a 2. 0 0 6 2(4 2a) 0 0 0 7(a 2)

Za a 2 je rang A = 4, pa sistem ima samo trivijalno rešenje (x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0). Za a = 2 je 1 1 3 2 A = 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 i rang A = 3. Zato homogeni sistem ima i netrivijalna rešenja, koja se nalaze rešavanjem ekvivalentnog sistema x + y + 3z + 2t = 0, y + z = 0, 2z = 0. Iz treće i druge jednačine redom sledi z = 0, y = 0, a zamenom u prvoj jednačini dobija se x = 2t. Prema tome, rešenja sistema su (x, y, z, t) = ( 2t, 0, 0, t), t R. 10. U zavisnosti od parametra a R diskutovati i rešiti homogeni sistem linearnih jednačina x + y z = 0, ax + 4y + z = 0, 5x + (a + 1)y 4z = 0. Rešenje: Odred ujemo najpre rang matrice sistema: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = a 4 1 = 0 4 a 1 + a = 0 4 a 1 + a. 5 a + 1 4 0 a 4 1 0 0 a + 2 Razlikujemo tri slučaja. 1 Za a 4 i a 2 važi rang A = 3, pa u tom slučaju sistem ima samo trivijalno rešenje (x, y, z) = (0, 0, 0). 2 Za a = 2 je 1 1 1 A = 0 6 1, 0 0 0 pa je rang A = 2, što znači da homogeni sistem ima i netrivijalna rešenja. Ona se odred uju rešavanjem ekvivalentnog sistema 17

18 x + y z = 0, 6y z = 0 i glase (x, y, z) = (5y, 6y, y), y R. 3 U slučaju a = 4 dobijamo A 1 1 1 1 1 1 = 0 0 5 = 0 0 1, 0 0 6 0 0 0 odakle je rang A = 2, pa sistem ima i netrivijalna rešenja: x + y z = 0, z = 0, x = y, z = 0, (x, y, z) = ( y, y, 0). 11. Odrediti vrednost realnog parametra k tako da vektori a = (1, 2, k, 1), b = (0, 3, 2, 1), c = (2, 3, 2k, 3), d = (3, 1, 0, k 2) budu linearno zavisni, a zatim predstaviti vektor d kao linearnu kombinaciju vektora a, b i c. Rešenje: Formirajmo linearnu kombinaciju datih vektora α 1 a + α 2 b + α 3 c + α 4 d = α 1 (1, 2, k, 1) + α 2 (0, 3, 2, 1) + α 3 (2, 3, 2k, 3) + α 4 (3, 1, 0, k 2) = (α 1, 2α 1, kα 1, α 1 ) + (0, 3α 2, 2α 2, α 2 ) + (2α 3, 3α 3, 2kα 3, 3α 3 ) + (3α 4, α 4, 0, (k 2)α 4 ) i izjednačimo je sa nula vektorom. Tada koeficijenti α 1, α 2, α 3 i α 4 zadovoljavaju homogeni sistem linearnih jednačina Odred ujemo rang matrice sistema: α 1 + 2α 3 + 3α 3 = 0, 2α 1 + 3α 2 + 3α 3 α 4 = 0, kα 1 2α 2 + 2kα 3 = 0, α 1 + α 2 3α 3 + (k 2)α 4 = 0.

A = 1 0 2 3 2 3 3 1 k 2 2k 0 1 1 3 k 2 1 0 2 3 = 0 1 1 k + 1 0 0 2 k + 2 0 0 2 3k 10 = = 1 0 2 3 0 3 1 7 0 2 0 3k = 0 1 1 k + 1 1 0 2 3 0 1 1 k + 1 0 0 2 k + 2 0 0 0 4(k + 2) 1 0 2 3 0 1 1 k + 1 0 2 0 3k 0 3 1 7 U zavisnosti od parametra k razlikujemo dva slučaja. 1 Za k 2 je rang A = 4, pa homogeni sistem ima samo trivijalno rešenje (α 1, α 2, α 3, α 4 ) = (0, 0, 0, 0). To znači da su vektori a, b, c, d linearno nezavisni. 2 Kada je k = 2, onda je 1 0 2 3 A = 0 1 1 1 0 0 2 4. 0 0 0 0 Kako je rang A = 3, sistem ima i netrivijalna rešenja, koja odred ujemo iz α 1 + 2α 3 + 3α 4 = 0, α 2 α 3 α 4 = 0, 2α 3 + 4α 4 = 0. Rešavanjem poslednjeg sistema dobijamo redom α 3 = 2α 4, α 2 = 3α 4 i α 1 = 7α 4, pa je (α 1, α 2, α 3, α 4 ) = ( 7α 4, 3α 4, 2α 4, α 4 ),, α 4 R.. Na primer, za α 4 = 1 imamo: α 1 = 7, α 2 = 3, α 3 = 2, pa važi 7a + 3b + 2c + d = θ, što znači da su dati vektori linearno zavisni. Pri tome je d = 7a 3b 2c. 19 12. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x + 2y az = 2, x + 7y 4z = a + 2, 2x + (4 5a)y az = 5.

20 Rešenje: Matrice sistema, elementarnim transformacijama nad vrstama, preuredimo u slične gornje trougaone matrice. 1 2 a 2 1 2 a 2 1 7 4 a + 2 = 0 5 a 4 a 2 4 5a a 5 0 5a a 9 1 2 a 2 = 0 5 a 4 a 0 0 a 2 3a a 2 9 1 2 a 2 = 0 5 a 4 a (0.6) 0 0 a(a 3) (a 3)(a + 3) I korak: Prvu vrstu oduzmemo od druge, a pomnoženu sa 2 oduzmemo od treće vrste. II korak: Drugu vrstu pomnoženu sa a dodamo trećoj. Dijagonalni elementi transformisane matrice odred uju kritične vrednosti parametra za diskusiju rešenja. 1 a 0, 3 : rang A = rang B = 3 = broj nepoznatih. Iz (0.6) čitamo ekvivalentan trougaoni sistem x = 2 2y + az, x + 2y az = 2, a (a 4)z 5y + (a 4)z = a, y =, 5 a(a 3)z = (a 3)(a + 3), z = a + 3 a. Jedinstveno rešenje sistema glasi x = 5a2 + 23a 24, 5a y = a + 12 5a, z = a + 3 a. 2 a = 0 : Zamenom ove vrednosti parametra u (0.6) dobijamo 1 2 0 2 0 5 4 0, rang A = 2 < rang B = 3. 0 0 0 9 Sistem u ovom slučaju nema rešenja.

21 3 a = 3 : Zamenom ove vrednosti parametra u (0.6) dobijamo 1 2 3 2 0 5 1 3, 0 0 0 0 Sistem ima beskonačno mnogo rešenja opisanih sa rang A = rang B = 2 < 3 = broj nepoznatih. x = 4 + 13z, y = z + 3 5 5, z R.