Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine koordinate u jednadžbu pravca: ravac siječe os u točki T(0, 8). = 0 8 => = 0 8 => = 8. Vježba 00 U kojoj točki pravac s jednadžbom = + siječe os? Rezultat: T(0, ). Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 5 0 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(, 0). Budući da točka pripada i pravcu = 5 0, uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu pravca: ravac siječe os u točki T(, 0). 0 = 5 0 => 5 = 0 / : 5 => =. Vježba 00 U kojoj točki pravac s jednadžbom = siječe os? Rezultat: T(7, 0). Zadatak 00 (Boris, tehnička škola) retvori u segmentni oblik: + = 0. Rješenje 00 Segmentni oblik pravca ima oblik: + =, m n gdje je m odsječak na osi, a n odsječak na osi. Broj ''prebacimo'' na desnu stranu jednadžbe: + =. Budući da na desnoj strani jednadžbe mora biti broj, cijelu jednadžbu podijelimo s : + = / : => Nakon skraćivanja razlomaka dobijemo rezultat: + =. Vježba 00 retvori u segmentni oblik: 5 + 0 = 0. Rezultat: + =. 5 + =. Zadatak 00 (Gabi, etra, gimnazija) Odredi jednadžbu pravca okomitog na zadani pravac i koji prolazi točkom T, ako je + = 0, T(, ). Rješenje 00 Zadani pravac + = 0 napišimo u eksplicitnom obliku kako bismo odredili koeficijent smjera:
Koeficijent smjera je. + = 0 = /:( ) = +. Uvjet okomitosti: ko su pravci dani eksplicitnim jednadžbama = k + l, = k + l, k, k 0, tada su okomiti ako i samo ako je k =. k Koeficijenti, dakle, moraju imati suprotne predznake i moraju biti međusobno recipročni. Na primjer, k 5 7 8 9 k 5 7 8 9 Znači da je koeficijent okomitog pravca točkom T(, ).. Dakle, traženi pravac ima koeficijent smjera Jednadžba pravca zadanog koeficijentom smjera k i točkom T(, ) glasi = k ( ). Sada vrijedi: k = i = k ( ) = ( ) = + T, 8 = + + = + / = + 8 + 8 = 0.. i prolazi 8 T(, ) - + = 0-0 -5 5 0 - + - 8 = 0 - - -8 Vježba 00 Odredi jednadžbu pravca okomitog na zadani pravac i koji prolazi točkom T, ako je + 8 = 0, T(, ). Rezultat: 8 9 = 0.
Zadatak 005 (Gabi, etra, gimnazija) Odredi jednadžbu pravca usporednog (paralelnog) danom pravcu, koji prolazi točkom T, ako je = 0, T(, 8). Rješenje 005 Zadani pravac = 0 napišimo u eksplicitnom obliku kako bismo odredili koeficijent smjera: Koeficijent smjera je. ( ) = 0 = + / =. Uvjet usporednosti (paralelnosti): ko su pravci dani eksplicitnim jednadžbama = k + l, = k + l, k, k 0, tada su usporedni (paralelni) ako i samo ako je k = k. Koeficijent paralelnog pravca, također, je. Dakle, traženi pravac ima koeficijent smjera k = i prolazi točkom T(, 8). Jednadžba pravca zadanog koeficijentom smjera k i točkom T(, ) glasi Sada vrijedi: k = = k ( ). ( ) ( ) i = k 8 = 8 = T, 8 = + + = 0. 0 8 T(, 8) - - = 0-0 -5 5 0 - + = 0 - - - Vježba 005 Odredi jednadžbu pravca usporednog (paralelnog) danom pravcu, koji prolazi točkom T, ako je = 0, T(, ). Rezultat: + = 0. Zadatak 00 (Katarina, ugostiteljska škola) Kako glasi jednadžba pravca koji prolazi presjekom pravaca + 7 = 0, + = 0 i točkom T(, )? Rješenje 00 Budući da se traži presjek pravaca + 7 = 0 i + = 0, moramo riješiti sustav od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice. Uporabit ćemo metodu suprotnih koeficijenata. + 7 = 0 + = 7 = /: =. + = 0 = Nepoznanicu izračunamo tako da = uvrstimo u jednu od zadanih jednadžbi:
+ 7 = 0 => + 7 = 0 => =. Sjecište zadanih pravaca je točka S(, ). Kroz točke S i T trebamo odrediti pravac. Uporabit ćemo formulu za jednadžbu pravca kroz dvije točke: = ( ). Slijedi: S(, ) ( ) ( ) ( ) = = = T (, ) = + = + + = + 7 + 7 = 0. Vježba 00 Kako glasi jednadžba pravca koji prolazi presjekom pravaca + = 0, + = 0 i točkom T(0, 0)? Rezultat: = 0. Zadatak 007 (Tea, gimnazija) Zadane su točke (, ), B(, ). Na pozitivnom dijelu osi odredite točku T tako da su pravci T i BT međusobno okomiti. Rješenje 007 8 T -0-5 5 0 - - - B -8 Budući da točka T leži na pozitivnom dijelu osi, ima koordinate T(0, > 0). Koeficijent smjera pravca T je: (, ) k = = =. T (0, ) 0 + Koeficijent smjera pravca BT je: B(, ) + + k = = =. T (0, ) 0 Zbog uvjeta okomitosti pravaca T i BT vrijedi: ( ) ( + ) + k k = = = / ( 8) ( ) ( + ) = 8 8 b ± b ac + 8 = 0 + 0 = 0, = a ± + 80 ± 9 ±, = = =.
+ = = + =, = = =. o pretpostavci je > 0 pa točka ima koordinate T (0, ). Vježba 007 Zadane su točke (, 5), B(, 0). Na pozitivnom dijelu osi odredite točku T tako da su pravci T i BT međusobno okomiti. Rezultat: T(0, 8). Zadatak 008 (Viki, gimnazija) + 7,, ] Nacrtaj graf funkcije f ( ) =, [, ] +,, +. Rješenje 008 Funkcija se sastoji od tri dijela. Svaki dio rješavamo za sebe na pripadnom intervalu: f() = + 7, za, ] f() =, za [, ] f() = +, za, +. Graf afine funkcije f() = + 7 je pravac čija jednadžba glasi = + 7. Za crtanje pravca potrebno je zadati dvije točke. Za uzet ćemo uvijek rubnu točku pripadnog intervala = i jednu točku iz tog intervala, na primjer, =. rikažimo to tablicom: = ( ) + 7 = = + 7 = = ( ) + 7 = = + 7 = Graf konstante f() = je pravac paralelan s osi. Za crtanje pravca dovoljne su dvije točke. Za uzet ćemo uvijek rubne točke pripadnog segmenta = i =. Tablični prikaz: = = Graf afine funkcije f() = + je pravac čija je jednadžba = +. onovno ćemo odrediti dvije točke. Za uzet ćemo uvijek rubnu točku pripadnog intervala = i jednu točku točku iz tog intervala, na primjer, =. rikaz tablicom: Crtamo graf funkcije: = + = = + = = + 7 = = +, ],, + [ ] 5
7 5-0 -8 - - - 8 0 - - - - -5 - -7 7 5 = -0-8 - - - 8 0 - = - + = + 7 - - - -5 - Vježba 008 Nacrtaj graf funkcije Rezultat: = + = + 5, ], + -7 +,, ] f ( ) = + 5,, +. = - + 5 = + Zadatak 009 (Ivana, Zoran, namarija, Sandra, Nina, gimnazija) Izvedi formulu za kut dva pravca. Rješenje 009 onovimo prikloni kut pravca. rikloni kut pravca je kut za koji treba u pozitivnom smjeru zarotirati pozitivni dio osi oko presjeka pravca i osi do pravca p. Njegov tangens jednak je koeficijentu smjera pravca, tj. tg = k. p p k = tg k = tg = k + l = k + l Veza između nagiba pravca i veličine priklonog kuta: rikloni kut je šiljasti kut => tangens šiljastog kuta je pozitivan broj => koeficijent smjera je pozitivan broj. < 90 tg > 0 k > 0 rikloni kut je tupi kut => tangens tupog kuta je negativan broj => koeficijent smjera je negativan broj.
> 90 tg < 0 k < 0 Neka su sada u ravnini zadana dva pravca čiji su prikloni kutovi i β. = k + l k = tg = k + l k = tg β β Kroz sjecište pravaca konstruiramo paralelu s apscisom ( osi). = k + l k = tg = k + l k = tg β ϕ β β Iz slike se vidi da je kut dva pravca: Tada je tangens kuta jednak: φ = β. tg β tg k k tg ϕ = tg β = = + tg tg β + k k ( ). Budući da je φ šiljasti kut, znači da je tg φ 0. Zato pišemo: k k tg ϕ =. + k k Vježba 009 Nađi kut među pravcima: = + i = +. Rezultat: 90º. Zadatak 00 (Ivana, gimnazija) Dani su kut i unutar njega točka. Konstruirajte točkom pravac tako da točka raspolavlja odsječak toga pravca unutar danog kuta. 7
Rješenje 00 Opis konstrukcije:. korak b Zadan je kut i unutar njega točka.. korak a b B a' a Kraku a kuta konstruiramo centralno simetričnu sliku a' u odnosu prema točki kao središtu simetrije. ravac a' (a' a) siječe krak b u točki B.. korak b p B a' a Spojimo točke B i i tako dobijemo traženi pravac p koji će krak a sjeći u originalu točke B, točki, te će biti polovište dužine B. Rješenje zadatka je jednoznačno. Vježba 00 Konstruiraj simetralu zadanog kuta. Rezultat: b a Zadatak 0 (Ines, gimnazija) Neka je f() =. U kojoj točki graf funkcije f - siječe os? Rješenje 0.inačica Za funkciju f() = nađemo njezinu inverznu: ko graf funkcije f - siječe os vrijedi: f() = => = f() + => f - () = +. 8
Sjecište je točka T(0, ). = 0 => f - (0) = 0 + =. T(0, ) = - - - - - = + - - -.inačica Odredimo nul-točku funkcije f() = : = 0 => = (to je nul-točka na osi ) => N(, 0). Budući da je inverzna funkcija f - simetrična obzirom na pravac = (simatrala prvog i trećeg kvadranta), slijedi da graf funkcije f - siječe os u točki T(0, ). T(0, ) = - - - - N(, 0) = - - - - Vježba 0 Neka je f() =. U kojoj točki graf funkcije f - siječe os? Rezultat: T(0, ). Zadatak 0 (nastazija, gimnazija) Kako glasi jednadžba zrcalne slike pravca + = 0 s obzirom na os? Rješenje 0 Zrcalna slika točke T(, ) s obzirom na os je točka T'(, ). Dakle, točke koje su simetrične s obzirom na os imaju za apscise suprotne brojeve. Tada jednadžba pravca glasi: [ ] + = 0 ( ) + = 0 + = 0. T'(-, ) T(, ) - - - + - = 0 - + - = 0 - - Vježba 0 Kako glasi jednadžba zrcalne slike pravca + = 0 s obzirom na os? Rezultat: + + = 0. 9
8 - - - -8 Zadatak 0 (nastazija, gimnazija) Točka N(, ) dijeli dio pravca koji se nalazi između koordinatnih osi u omjeru : računajući od osi. Kako glasi jednadžba tog pravca? Rješenje 0 Segmentni oblik jednadžbe pravca glasi: + =, m n gdje je m odsječak na osi, a n odsječak na osi. Zadatak ćemo riješiti pomoću sličnosti pa gledamo samo apsolutne vrijednosti! D N(-, ) C B -5-0 -5 5 O Iz slike se vidi: O = m, BO =, B = O BO = m, OD = n, OC =, CD = OD OC = n. Zbog sličnosti pravokutnih trokuta BN i NCD slijedi razmjer: N : ND = BN : CD => : = : (n ) => => (n ) = => n = => n =. Također, iz sličnosti trokuta BN i NCD proizlazi sljedeći razmjer: N : ND = B : NC => : = (m ) : => = (m ) / : => => m = => m = 9. Budući da pravac siječe negativan dio osi i pozitivan dio osi, njegova jednadžba je: + = / ( 8) + 8 = 0. 9 Vježba 0 Točka N(, ) dijeli dio pravca koji se nalazi između koordinatnih osi u omjeru : računajući od osi. Kako glasi jednadžba tog pravca? Rezultat: + 8 = 0. Zadatak 0 (etra, gimnazija) ravac p prolazi točkom (, ), a na koordinatnim osima odsijeca odsječke jednakih duljina, ali različitih predznaka. Kolika je udaljenost pravca p od ishodišta? Rješenje 0 Jednadžba pravca u segmentnom obliku glasi: + =, m n gdje je m odsječak na osi, a n odsječak na osi. ravac prolazi točkom (, ) koja leži u prvom kvadrantu. Budući da na koordinatnim osima odsijeca odsječke jednakih duljina, ali različitih predznaka, mora biti: + = / n + = n. n n 0
(, ) - n d - - - n O - - - - Točka (, ) pripada pravcu pa ćemo njezine koordinate uvrstiti u jednadžbu pravca: Dakle, jednadžba pravca glasi: (, ) + = n + = n n =. + = / ( ) + = 0. ko su zadani točka T( 0, 0 ) i pravac + B + C = 0, udaljenost točke T od pravca računa se po formuli: d = 0 + B 0 + C + B. Traži se udaljenost pravca + = 0 od ishodišta O(0, 0): ( ) 0 + 0 + d = = = + ( ) Vježba 0 ravac p prolazi točkom (, ), a na koordinatnim osima odsijeca odsječke jednakih duljina i predznaka. Kolika je udaljenost pravca p od ishodišta? Rezultat:. Zadatak 05 (etra, gimnazija) Zadani su vrhovi (, ) i B(, ) jednakokračnog trokuta BC. Kako glasi jednadžba pravca na kojem leži vrh C? Rješenje 05 Budući da je točka C(, ) jednako udaljena od točaka i B, vrijedi: C = BC + = +, ( ) ( ) ( ) ( ) gdje su i koordinate točke C. Kvadriranjem i sređivanjem dobivamo: + = + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = + 9 + + + + + 9 + = 0 5 = 0..
(, ) C(, ) B(,) - - - - - Vježba 05 Zadani su vrhovi (, ) i B(, ) jednakokračnog trokuta BC. Kako glasi jednadžba pravca na kojem leži vrh C? Rezultat: 5 = 0. Zadatak 0 (Marko, gimnazija) Kolika je vrijednost parametra m ako pravac m = 0 prolazi težištem trokuta čiji su vrhovi (0, 0), B(, ), C(, 8)? Rješenje 0 Koordinate težišta trokuta (, ), B(, ), C(, ) jesu: Za dani trokut koordinate iznose: T T + +, + + =. T = 0 0 8 = + + =, + +. T = = ko koordinate težišta T(, ) uvrstimo u jednadžbu pravca dobivamo: m = 0 T (, ) m = 0 m 5 = 0 m = 5 m =.5. 8 C 7 =.5-5 T B - 8 0 Vježba 0 Kolika je vrijednost parametra m ako pravac m = 0 prolazi težištem trokuta čiji su vrhovi (0, 0), B(, ), C(5, 7)? Rezultat: m =.5. Zadatak 07 (Ines, gimnazija) ovršina pravokutnika BCD s vrhovima (, ), B(, ), C(, ), D(, ) prepolovljena je pravcem + m 8 = 0. Kolika je vrijednost parametra m?
Rješenje 07 D C - 0-8 = 0-8 - - B - ravokutnik može na više načina biti prepolovljen pravcem: pravcu pripada jedna od dijagonala pravac je paralelan s jednim parom stranica pravac siječe jedan par stranica i dijeli pravokutnik na dva trapeza Može se pokazati da u svim slučajevima točka u kojoj se sijeku dijagonale pravokutnika pripada traženom pravcu. Koordinate sjecišta dijagonala odrede se kao polovište dužine C (ili BD ): + B +, + B + = = =. = = = Uvrštavanjem točke, u jednadžbu pravca + m 8 = 0 dobijemo: + m 8 = 0 / m = 0 m = 0. Vježba 07 ovršina pravokutnika BCD s vrhovima (, ), B(, ), C(, ), D(, ) prepolovljena je pravcem + m 8 = 0. Kolika je vrijednost parametra m? Rezultat: m =. Zadatak 08 (Ines, gimnazija) Zadan je pravokutnik = {0 5, 0 } i pravac a + =. Odredi a tako da površina dijela pravokutnika ispod pravca bude 0% ukupne površine pravokutnika. Rješenje 08,5,5,5 0,5 0% - 5 7-0,5 a + = - -,5
ovršina pravokutnika je = 5 = 0. ovršina ispod pravca iznosi 0% ukupne površine: 0 p = 0% = 0. 00 = Napišimo segmentni oblik jednadžbe pravca: a a + = /: + = + = m =, n =. a a ovršina trokuta koji pravac zatvara s koordinatnim osima je: m n a = = = = a = 9 a = + 9. a a Drugo rješenje a = 9 nema smisla. Za a = 9 pravokutnik bi trebao biti u II. kvadrantu. Vježba 08 Zadan je pravokutnik = {0 5, 0 } i pravac a + =. Odredi a tako da površina dijela pravokutnika iznad pravca bude 80% ukupne površine pravokutnika. Rezultat: a = 9. Zadatak 09 (Ines, gimnazija) Odredi točku na simetrali. i. kvadranta koja je jednako udaljena od točaka O(0, 0) i (, ). Rješenje 09.inačica = T(, ) (, ) O(0, 0) - 8 - - - Budući da točka T leži na simetrali. i. kvadranta, =, njezine su koordinate jednake: T(, ). Točka T je jednako udaljena od točaka O(0, 0) i (, ) pa vrijedi: 5 5 Koordinate točke su T,.. inačica OT = T 0 + 0 = + / ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = + + ( ) ( ) + 0 5 = 0 /: = =.
T(, ) = (, ) (, ) O(0, 0) - 8 - - - Odredimo koeficijent smjera pravca O: 0 k = = =. 0 Simetrala dužine O je pravac koji je okomit na pravac O pa je njegov koeficijent smjera jednak k =. Nađemo polovište dužine O : Jednadžba simetrale je: + + 0 + 0 +, =, = (, ). ( ) ( ) = k = = + 0. Točku T odredimo tako da nađemo presjek pravaca (riješimo sustav jednadžbi): = 5 5 = + 0 = 0 = =. = + 0 5 5 Točka T ima koordinate T,. Vježba 09 Odredi točku na simetrali. i. kvadranta koja je jednako udaljena od točaka O(0, 0) i (, ). Rezultat: T(, ). Zadatak 00 (Mario, tehnička škola) Zadani su vrhovi (, ), B(, ) jednakostraničnog trokuta BC. Kako glasi jednadžba pravca na kojem leži visina iz vrha C? Rješenje 00 5 - C C B 8 Koeficijent smjera pravca koji prolazi točkama i B glasi: (, ) (, ) ( ) ( ) = k = = =. B B,, = B Budući da je trokut BC jednakostraničan, pravac na kojem leži visina iz vrha C (C ) raspolavlja dužinu B u točki : (, ) = (, ) + +, = B(, ) (, ) = B 5
+ + =, =,. ravac na kojem leži visina iz vrha C je okomit na pravac B pa za njegov koeficijent smjera vrijedi: k C =. k = = B Budući da je zadana točka i koeficijent smjera k C, jednadžba traženog pravca glasi:, 5 = k ( ) = ( ) = = + =. C k = C Vježba 00 Zadani su vrhovi (, ), B(, ) jednakostraničnog trokuta BC. Kako glasi jednadžba pravca na kojem leži težišnica iz vrha C? Rezultat: 5 =.