Središte sistema materijalnih tačaka. Neka je proivoljni sistem sačinjen od konačnog broja materijalnih tačaka čija međusobna rastojanja mogu biti i promenljiva. Svaka materijalna tačka sistema ima svoju masu i u svakom trenutku svoj vektor položaja u odnosu na nepokretni pravougli Dekartov koordinatni sistem. Neka je a i-tu tačku sistema masa onačena sa m, a vektor položaja sa. i r i Projekcije vektora položaja r i su odgovarajuće koordinate tačke xi, yi i i, pa r r r r imamo i = xii + yi j + ik. Važna tačka ovako definisanog sistema je njegovo središte (centar) r r koja rje takođe, u svakom trenutku, određena svojim vektorom položaja r = xi + y j + k, čije su projekcije istovremeno i koordinate tačke. Masa sistema M je bir masa svih njegovih tačaka: M = mi = m + m + m3 +... Vektor položaja sistema r određuje formula: r m r r r r i i m + m + m3 3 +... = =. M M Projektovanjem ove vektorske jednakosti na koordinatne ose dobiće se formule koje određuju koordinate središta : mi xi mx + mx + m3x3 +... mi yi mi i x = =, y =, =. M M M M
Za homogeno kruto telo: masa m i, i dobijenih formula, amenjuje se sa masom elementarnog delića tela dm, koordinate i-te tačke xi, yi i i, amenjuju se koordinatama x, y i elementarnog delića, a suma prelai u određeni integral po čitavoj masi krutog tela m, tako da te formule dobijaju oblik: xdm ydm dm x =, y =, =. m m m Na isti način, masu krutog tela m određuje formula Sada se pitamo, na kom rastojanju od ose (onačimo ga sa i ) bi trebala da se nalai tačka mase m (jednake masi tela) da bi ta tačka imala isti moment inercije a osu kao što ga ima telo. Moment inercije tela a osu. Poluprečnik inercije. Da bi se definisao moment inercije tela mase m a neku osu, mora se nati da je moment inercije a istu osu elementarnog delića tela mase dm, jednak proivodu njegove mase dm i kvadrata njegovog najkraćeg rastojanja r od te ose. d = r dm-moment inercije elementarnog delića tela = r dm -moment inercije tela mase m a osu m = dm.
= m i i = - poluprečnik inercije tela a osu m Poluprečnik inercije tela a neku osu, jednak je kvadratnom korenu i količnika momenta inercije tela a tu osu i njegove mase. Moment inercije doboša sa dva nivoa a osu simetrije određivaćemo na osnovu adate mase doboša m i odgovarajućeg poluprečnika inercije i. Moment inercije homogenog štapa. Za elementarnu masu štapa dm iabraćemo onaj delić mase koji je na rastojanju y od x ose i čija je dužina dy.uvođenjem linijske gustine homogenog štapa ρ L, tako da proivod linijske gustine i dužine daje masu, imaćemo jednakosti: m = ρ l, dm = ρ dy. x l L = y dm = y ρ = ρ Ldy L y 0 l 0 dy = ρ L L y 3 3 l 0 x ρl = 3 3 3 ( l 0 ) = ρl l l 3 x = ( ml ) 3.
Moment inercije homogenog kružnog diska. Neka je masa homogenog kružnog diska onačena sa m, a poluprečnik sa R. Ivedimo, prema definiciji, ira a moment inercije homogenog kružnog diska a osu koja prolai kro centar diska O, a upravna je na ravan diska. Za elementarnu masu diska dm iabraćemo kružno - prstenasti deo poluprečnika r, debljine dr, površine d. Površina d je praktično ista kao i površina idužernog pravougaonika dužine rπ (kao što je obim kruga poluprečnika r) a širine dr, dakle d = rπ dr. Ukupna površina kruga, poluprečnika R, koji definiše disk je = R π. Uvedimo površinsku gustinu homogenog diska ρ, tako da proivod površinske gustine i površine daje masu. Za elementarnu masu diska i masu celog diska važe jednakosti: dm = ρ d = ρ rπ dr, m = ρ = ρ R π. Da bi čitava masa diska bila obuhvaćena r koordinata ide u granicama od 0 do R. = r dm = R 0 r ρ rπdr = ρ π R 0 r 3 dr = ρ R 0 4 r π = ρ π R 4 4
= ρ R π R = mr. Vea imeđu momenata inercije a paralelne ose (Štajnerova teorema). Ovde je cilj da se pokaže kako iračunati momemt inercije tela a osu koja je paralelna težišnoj, kada se na masa tela, njegov moment inercije a težišnu osu i rastojanje tih osa. Za telo prikaano na slici: težišna osa je osa (pošto prolai kro težište ), njoj paralelna osa je osa, masa je m a rastojanje imeđu osa, onačeno je sa b. Na slici ovo telo je prikaano u dve projekcije, gde je u pogledu, u pravcu ose, prikaana proivoljna elementarna čestica tela, mase dm. U istoj projekciji vidi se u pravoj veličini rastojanje imeđu osa b, kao i rastojanja r i r, što su rastojanja imeđu te čestice i osa i, respektivno. Svaka čestica ima svoje rastojanje r, kao i svoj ugao α, koji to r gradi sa pravcem ose x (Sl.). Primetimo da x koordinatu proivoljne čestice određuje formula x = r cosα.
Za dobijanje tražene vee kreće se od momenta inercije a osu : = r dm. Na osnovu kosinusne teoreme a trougao sa slike, veličina, iražena preko veličina b, α i r, inosi r r = r + b br cosα r = r + b bx ( r + b bx) = dm = r dm + b Zato što je težište tela na osi, imamo da je dm b x, pa je = 0 Integral od dm, po čitavoj masi m, jednak je masi tela, dakle xdm. xdm = x dm = m = 0. Konačno je = + b m - Štajnerova teorema U tehničkoj terminologiji moment inercije a težišnu osu, kao što je ovde, naiva se sopstvenim momentom inercije. Dalje, proivod mase i kvadrata rastojanja imeđu osa, kao što je ovde b m, naiva se položajnim momentom inercije. Dakle, Štajnerova teorema kaže da je moment inercije a osu paralelnu težišnoj, jednak biru sopstvenog i položajnog momenta inercije. Česta je primena ove teoreme i u obrnutom smeru = b m. m.
Primer 5. Na osnovu ivedene formule = ml 3 i Štajnerove teoreme odrediti sopstveni moment inercije homogenog štapa mase m, dužine l? Za traženi sopstveni moment inercije koristićemo onaku, s obirom da težišna osa prolai kro tačku. I istog raloga umesto, koristićemo onaku O. l Položajni moment inercije ovde je m b = m. 4 Pošto je sopstveni moment inercije ralika imeđu momenta inercije a osu paralelnu težišnoj i položajnog momenta inercije, imamo = O m b = ml ml = ml. 3 4 Dakle, moment inercije homogenog štapa, a osu upravnu na štap koja prolai kro njegov centar, jednak je jednoj dvanaestini proivoda mase štapa i kvadrata njegove dužine. Primer 5. Na osnovu formule = mr i Štajnerove teoreme, odrediti moment inercije homogenog kružnog diska, mase m, poluprečnika R, a osu paralelnu osi simetrije diska koja prolai kro tačku O.
I ovde ćemo, umesto onake, koristiti onaku, a umesto, onaku. O Položajni moment inercije ovde je m b = m R. Pošto je moment inercije a osu paralelnu težišnoj jednak biru sopstvenog i položajnog momenta inercije, imamo 3 O = + m b = mr + mr = mr. Kinetička energija a slučaj njegovog translatornog kretanja, obrtanja oko ose i ravnog kretanja. TRNSLTORNO KRETNE Kod translatornog kretanja tela brina svake njegove tačke je ista. Neka u trenutku traženja kinetičke energije ona inosi V. ko je telo mase m, elementarna čestica tela ima masu dm, a kinetička energija elementarne čestice je de k = dmv. Nakon integracije ovog iraa po čitavoj masi, s obirom da V, kao konstantno a svaku česticu, ide ispred integrala, kinetičku energiju čitavog tela, koje vrši translatorno kretanje, određuje formula E k = mv.
OBRTNE OKO NEPOMIČNE OSE Kod obrtanja krutog tela oko nepomične ose brina elementarne čestice tela jednaka je proivodu ugaone brine tela i rasojanju r imeđu te čestice i ose obrtanja. Kinetička energija elementarne čestice mase dm je ω de k = dmv = dm( r ω) = r dm. ω Integracija prethodnog iraa daje Ek =, r dm gde je ω, kao globalna karakteristika, stavljena ispred integrala. ( m ) Integral koji figuriše u ovom irau predstavlja moment inercije tela a osu obrtanja (onačićemo ga sa O ). Konačno, kinetičku energiju tela koje vrši obrtanje oko nepomične ose određuje formula E =. ω k O RVNO KRETNE Kod ravnog kretanja krutog tela brina elementarne čestice tela jednaka je proivodu ugaone brine tela i rasojanju r imeđu te čestice i trenutnog pola brine P. Pretpostavimo da su ponati masa tela m, ugaona brina ω, brina centra (težišta) V i moment inercije tela a osu, upravnu na ravan kretanja, koja prolai kro centar.
Kinetička energija elementarne čestice mase dm je ω de k = dmv = dm r ω = r dm Integracija prethodnog iraa, daje E k ω = r dm ( ). E = P ω k Pošto je ova formula u mnogim problemima manje pogodna a određivanje kinetičke energije, iraimo P po Štajnerovoj teoremi: P = + m P. ( ) E = + m P ω k ( ) k = m P ω + ω, P ω = V Ek = m V + ω - Kenigova teorema Pošto ravno kretanje predstavlja istovremeno odvijanje translacije i rotacije, prvi sabirak u Kenigovoj teoremi se tumači kao kinetička energija usled translatornog dela kretanja, dok se drugi sabirak tumači kao kinetička energija usled rotacije oko centra. E ( ).
Primer 5.3 Korišćenjem Kenigove teoreme odrediti kinetičku energiju homogenog kružnog diska mase m poluprečnika R koji se kotrlja be klianja po horiontalnoj podloi? Koordinata koja određuje položaj diska je koordinata s. Može se osim adate koordinate s uvesti i pomoćna koordinata (ugao rotacije diska) ϕ (Sl.). Neophodno je nati da ivod koordinate s po vremenu (dakle s& ) predstavlja brinu tačke, kao i da ivod koordinate ϕ po vremenu (dakle ϕ& ) predstavlja ugaonu brinu diska ω. Takođe je neophodno nati, da količnik, brine tačke i rastojanja P = R, predstavlja ugaonu brinu diska, pisanu kao ω, ili ϕ&. Dakle s& V = s&, ω = ϕ& =. R Sada, prema Kenigovoj teoremi i ponatim formulama imamo: s& Ek = m s& + ϕ& E k = m s + mr R & E k = m s& 3 4
Rad i snaga sprega. Kao što ima smisla govoriti o radu sile, kada se njena napadna tačka pomera, tako ima smisla govoriti o radu sprega, kada se telo na koje spreg dejstvuje obrće. Ogradimo se na definisanje rada sprega kod ravanskih problema, gde i spreg i rotacija tela na koje spreg dejstvuje leže u ravni crteža. Elementarni rad sprega M, na elementarnoj rotaciji a ugao dϕ, tela na koje spreg dejstvuje, jednak je proivodu M i dϕ (Sl.), dakle d( M ) = M dϕ. ko bi spreg M, bio ponata funkcija koordinate ϕ, mogao bi se odrediti konačan rad sprega M, integraljenjem prethodnog iraa, u odgovarajućim granicama a ϕ ϕ (na primer, od ϕ do ϕ ): M = M ϕ dϕ ( ) ( ). ϕ U problemima koji će se rešavati u ovom kursu tražiće se uvek radovi konstantnih spregova a koje važi formula ( M ) = ± M ϕ, gde ugao ϕ predstavlja ugao obrtanja tela na koje dejstvuje spreg. Prednak će biti + ako su smer sprega M i smer rotacije tela isti, dok će biti - ako su ovi smerovi suprotni. Na slici su prikaani konstantni spregovi M i M čiji radovi na rotaciji tela a ugao ϕ inose
( M ) = + M, ( M ) = M. ϕ ϕ Slično kao i kod snage sile, snagu sprega M, u ovakvim problemima, određuje formula d ( ) ( M ) Mdϕ P M = = P( M ) = ± Mω. dt dt U dobijenoj formuli, prednak će biti + ako su smer sprega M i smer ugaone brine tela isti, dok će biti - ako su ovi smerovi suprotni. Grubo rečeno, snaga sile se dobija množenjem sile i brine, dok se snaga sprega dobija množenjem sprega i ugaone brine. Teorema o promeni kinetičke energije sistema. Teorema o promeni kinetičke energije sistema u ovom kursu najčešće ćemo koristiti u obliku Ek Ek 0 =, gde je: E k - kinetička energija sistema u proivoljnom položaju; E k 0 - kinetička energija sistema u početnom položaju; - sumu radova svih sila i spregova, koji vrše rad pri premeštanju sistema i njegovog početnog u proivoljni položaj. U tipskim problemima, koji će u najvećoj meri biti rešavani, sistemi će imati jedan stepen slobode kretanja i biće postavkom adatka definisana jedna koordinata. Podraumevaće se da je u početnom položaju vrednost te kordinate jednaka nuli.
Skiciran položaj sistema, u kojem ta koordinata ima proivoljnu vrednost, je njegov proivoljan položaj. Osim te definisane koordinate, obično će se u adatim sistemima, pri rešavanju adataka, uvoditi i pomoćne koordinate (gotovo uvek, pravolinijske i ugaone). Podraumevaće se, da su pomoćne koordinate na takav način iabrane, da svaka od njih, u početnom položaju ima vrednost nula. Prvi ivodi svih tih koordinata (kako adatih, tako i pomoćnih) po vremenu, najčešćeće predstavljati brine nekih tačaka (tela) sistema ili ugaone brine pojedinih njegovih elemenata, dok će drugi ivodi predstavljati ubranja ili ugaona ubranja. Biće neophodno tražiti vee imeđu prvih ivoda koordinata (to jest, vee imeđu brina i ugaonih brina pojedinih elemenata). Dobijene veeće se preslikati na same koordinate i na druge ivode koordinata (to jest, vee imeđu ubranja i ugaonih ubranja). Nakon nalaženja vea, neophodno je i iraa a E k i eliminisati pomoćne koordinate (samim tim njihove ivode po vremenu) na račun adate. Kinetička energija sistema E k će se dobijati sabiranjem kinetičkih energija svih elemenata koji imaju masu a kreću se na neki način. Kinetička energija sistema u početnom položaju E k 0 biće samo brojka (konstanta), a ne funkcija, i u takvim tipskim adacima neće trebati da se određuje. Za raliku od nje, ako bi adata koordinata bila s, funkcije i bi bile E k Ek = Ek ( s& ) = B s&, = ( s) = D s, gde su B i D konstante.