TEOREME O SREDNJOJ VRIJEDNOSTI

TEOREME O SREDNJOJ VRIJEDNOSTI Rolova teorema: Ako je y f(x) fnkcija neprekidna na interval [a,b] i diferencijabilna na interval (a,b) i ako je f(a) f(b) 0, onda postoji bar jedna tačka c (a,b) takva da je f'(c) 0. Dokaz: (nije obavezan!) f diferencijabilna f neprekidna postojanje najmanje i najveće vrijednosti m i M fnkcije f(x) na interval [a,b]. Ako je m M fnkcija je konstantna: f(x) k, x (a,b) pa je za svako x (a,b), f'(x) 0, tj. za tačk c možemo zeti proizvoljn tačk iz (a,b). 1

Neka je m M. Tada je M 0 ili m 0. Neka je M 0. Označimo sa c on vrijednost argmenta x za koj je f(x) M. Kako je f(a) f(b) 0 i M 0, to je c a i c b, dakle c (a,b). U tački x c fnkcija ima najveć vrijednost na interval [a,b], pa je, za c + Dx (a,b), f(c+dx) f(c), i, ako je Dx > 0: f ( c + D x ) f ( c ) 0 Dx Prema pretpostavci, postoji granična vrijednost izraza na lijevoj stani kad Dx 0 i ta granična vrijednost je f'(c). Iz osobina granične vrijednosti slijedi da je f'(c) 0 (1). Za Dx < 0 isti količnik nije negativan pa nije negativna ni njegova granična vrijednost, tj. f'(c) 0 (2) Iz (1) i (2) slijedi tvrđenje, tj. postojanje tačke c kojoj je f'(c) 0. 2

Geometrijsko tmačenje Rolove teoreme je sledeće: U bar nekoj tački grafika fnkcije y f(x) koja se anlira tačkama a i b i koja je neprekidna na interval [a,b] i diferencijabilna na interval (a,b) tangenta je paralelna x-osi. NAPOMENA: Rolova teorema važi i ako se pretpostavci slov f(a) f(b) 0 zamijeni slovom f(a) f(b). 3

Lagranžova teorema: Ako je y f(x) fnkcija neprekidna na interval [a,b] i diferencijabilna na interval (a,b), onda postoji tačka c (a,b): f ( c) f( b) f( a) b a Dokaz: (nije obavezan!) Označimo sa g(x) sledeć fnkcij: g(x) [f(x) f(a)](b a) [f(b) f(a)](x a). Fnkcija g(x) je diferencijabilna na interval (a,b) (kao zbir proizvoda diferencijabilnih fnkcija) i još je g(a) g(b) 0, što znači da ispnjava slove Rolove teoreme. Postoji, dakle, tačka c (a,b) takva da je f( b) f( a) g'(c) f'(c)(b a) [f(b) f(a)] 0, tj. f ( c) b a 4

Geometrijski: U bar jednoj tački c (a,b) tangenta grafika fnkcije neprekidne na interval [a,b] i diferencijabilne na interval (a,b) paralelna je sječici određenoj tačkama (a, f(a)) i (b, f(b)) 5

Košijeva teorema: Ako s f(x) i g(x) fnkcije neprekidne na interval [a,b] i diferencijabilne na interval (a,b) i ako je g'(x) 0, onda postoji tačka c (a,b) takva da je f( b) f( a) f ( c) g( b) g( a) g ( c) Primjer. Primjenom Lagranžove teoreme, lako se dokazje da ako je prvi izvod f-je jednak 0, tada je ta fnkcija konstantna! (lijeva strana relacije na slajd 4 je 0 pa je f(x)f(a)- const, za svako x sa intervala (a,b)). 6

Tajlorova formla (bez dokaza): f ( x) f ( a) + f ( a) ( x a) + 1! f ( a) ( x a) 2! +... + f ) ( a) ( x a) n! ( n+ 1) f ( c) ( x a) ( n + 1)! ( n 2 n n+ 1 +, gdje je c neki broj iz intervala (a,x). Izraz G f ( n+ 1 ) ( c ) x a ( n + 1)! ( ) n+ 1 zove se ostatak. Primjer. Primjenjjći Tajlorov forml na fnkcij f(x) e x, za a 0 i n 7, imaćemo 2 7 c x x x x e e 1 + + + + + x 8... 1! 2! 7! 8! Za x 1, odbacjći poslednji sabirak, dobijamo da je 1 1 1 1 1 1 1 e 1 + + + + + + + 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 7 2,718154...

f ( x) f (0) + f (0) 1! x + f (0) 2! x 2 +... + f ) (0) n! ( n x n + G Maclarinov red- prikazje razvoj fnkcije f(x) oko nle (a0) 8

Lopitalovo pravilo (bez dokaza): Neka s f(x) i g(x) diferencijabilne fnkcije čija je granična vrijednost, kad x a, nla i neka količnik njihovih izvoda ima granic A kad x a. Tada je f ( x) f ( x) lim lim A x a g( x) x a g ( x ) Napomena. Pravilo se primjenjje i na oblik /. Ostali neodređeni izrazi se svode na 0/0 ili /.. Primjer. Primjenjjći Lopitalovo pravilo ( oblik 0(- ) sveli smo na - /!) dobijamo da je 1 lim ln lim ln x x x lim x x 0 x 0 1 x 0 1 x x 2 0 9

ODREĐIVANJE INTERVALA MONOTONOSTI Za fnkcij y f(x) kažemo da raste, oznaka y, na interval (a,b) D ako je za svako x 1 < x 2, x 1,x 2 (a,b) ispnjena nejednakost f(x 1 ) < f(x 2 ) Ako je, z iste pretpostavke f(x 1 ) f(x 2 ), kažemo da, na interval (a,b) D, fnkcija f(x) ne opada. Analgono se definiš opadanje (y ) i nerašćenje fnkcije na nekom interval. Intervale rašćenja i intervale opadanja zovemo intervalima monotonsosti fnkcije. Određivanje intervala monotonosti zovemo još i ispitivanje toka fnkcije. 10

Neka je y f(x) fnkcija diferencijabilna na interval [a,b] i neka na tom interval raste. Tada z slove, x 0 (a,b), Dx 0 > 0 i x 0 +Dx 0 (a,b) važi jednakost f(x 0 + Dx 0 ) > f(x 0 ), odnosno Dy 0 f(x 0 + Dx 0 ) f(x 0 ) > 0. No, tada je i količnik Dy Dx vrijednost kad Dx 0 0 nenegativna, tj. Dy. 0 lim f ( x 0 ) 0 Dx0 0 Dx 0 0 0 pozitivan, a njegova granična Iz pretpostavke da diferencijabilna fnkcija raste, slijedi 11 nenegativnost izvoda.

Geometrijski: Tangenta grafika diferencijabilne fnkcije koja raste na interval [a,b] je ili paralelna x-osi ili sa njom gradi oštar gao (slika 1). Slika 1. 12

Pretpostavimo, sada, da je na interval [a,b] fnkcija f(x) diferencijabilna i da je f'(x) > 0, x [a,b]. Ako s x 1 i x 2, x 1 < x 2 proizvoljne tačke intervala [a,b], onda, prema Lagranžovoj teoremi, postoji tačka c (x 1,x 2 ) takva da je f(x 2 ) - f(x 1 ) f'(c)(x 2 - x 1 ). Kako je, po pretpostavci, f'(c) > 0 i x 2 > x 1, to je f(x 2 ) > f(x 1 ) za svako x 1, x 2 iz intervala [a,b], što znači da na interval [a,b] fnkcija raste. Geometrijski: Ako tangenta grafika fnkcije y f(x) proizvoljnoj tački x [a,b] gradi sa x-osom oštar gao, onda na interval [a,b] fnkcija raste (slika 1). 13

Na interval na kome je prvi izvod pozitivan fnkcija raste; na interval na kome je prvi izvod negativan - fnkcija opada. 14

EKSTREMNE VRIJEDNOSTI FUNKCIJE Važn log ispitivanj fnkcije imaj one tačke iz intervala definisanosti kojima fnkcija prelazi iz rašćenja opadanje ili iz opadanja rašćenje. Na slici 2. s to tačke x 1 i x 3 odnosno x 2 i x 4. Slika 2. 15

Kažemo da tački x a D f fnkcija f(x) ima maksimm ako postoji neka okolina tačke a kojoj je f(a) najveća vrijednost. Tako, fnkcija čiji je grafik dat na sl. 2 za x x 3 ima maksimm jer je na interval (x 2,x 4 ) koji sadrži tačk x 3, f(x 3 ) najveća vrijednost. Vrijednost f(a) se zove maksimm fnkcije. Simbolički: fnkcija y f(x) za x a ima maksimm f(a), ako postoji neka okolina tačke a takva da je f(a) > f(x) za svako x a iz te okoline (sl. 3.). Slika 3. 16

Analogno se definiše i minimm fnkcije sl. 4. Minimm i maksimm zovemo ekstremnim vrijednostima. Slika 4. Teorema (potreban slov): Ako tački x a diferencijabilna fnkcija ima ekstremn vrijednost, onda je toj tački prvi izvod jednak nli. Teorema (dovoljan slov): Ako je stacionarnoj tački xa drgi izvod različit od 0, onda toj tački f-ja ima ekstremn vrijednost, i to: ako je drgi izvod stacionarnoj tački pozitivan- minimm, sprotnom (drgi izvod negativan)- maksimm 17

POTREBAN I DOVOLJAN USLOV: Diferencijabilna fnkcija tački x a ima ekstremn vrijednost ako i samo ako je x a nla prvog izvoda i ako, prolazeći kroz t tačk, prvi izvod mijenja znak. Pritom, ako prvi izvod mijenja znak sa + na - fnkcija ima maksimm, ako mijenja sa - na + ima minimm. Nle prvog izvoda zov se stacionarne ili kritične tačke. Primjer. Odrediti ekstremne vrijednosti fnkcije y x 3 3x + 1. Rešenje: Nle prvog izvoda (stacionarne-kritične tačke) s rješenja jednačine 3x 2 3 0, tj. x 1 1 i x 2 1. Prolazeći kroz tačk x 1 prvi izvod mijenja znak (i to sa + na pa toj tački data fnkcija ima maksimm: y max y( 1) ( 1) 3 3( 1) + 1 3. Prolazeći kroz tačk x 1 prvi izvod mijenja znak i to sa na +, pa ovoj tački data fnkcija ima minimm: 18 y min y(1) 1.

KONVEKSNOST I KONKAVNOST. PREVOJNE TAČKE Ako s ordinate proizvoljne tačke grafika fnkcije y f(x) čije apscise pripadaj interval (a,b) manje ili jednake od odgovarajćih ordinata tangente t, onda kažemo da je na interval (a,b) grafik fnkcije y f(x) konkavan (sl. 5.). Ako s, z iste pretpostavke, ordinate tangente manje ili jednake od odgovarajćih ordinata grafika fnkcije, kažemo da je na interval (a,b) grafik fnkcije konveksan (sl. 6.). Slika 5. Slika 6. 19

Ako je grafik fnkcije konkavan y f(x), drgi izvod je nepozitivan; ako je drgi izvod negativan, grafik je konkavan. Na interval konveksnosti drgi izvod fnkcije y f(x) je nenegativan; na interval na kome je drgi izvod pozitivan, grafik fnkcije je konveksan. Tačka P(a,f(a)) je prevojna tačka (tj. tačka koja razdvaja konveksan od konkavnog dijela) grafika f-je y akko je drgi izvod toj tački jednak 0, i prolazeći kroz t tačk drgi izvod mijenja znak. 20

Uslov maksimizacije profita Da bi maksimiziralo profit predzeće mora da izjednači granični trošak i granični prihod. Kako? RR(Q) fnkcija kpnog prihoda CC(Q) fnkcija kpnih troškova ( Q) R( Q) C( Q) Fnkcija profita (fnkcija cilja) je. Da bi dobili nivo proizvodnje koji maksimizira profit, moramo zadovoljiti slov dπ/dq0. d ( Q) R ( Q) C ( Q) 0 ako i samo ako R (Q)C (Q). dq Međtim, da bi imali maksimm moramo provjeriti slov drgog reda: 2 d ( Q) R ( Q) C ( Q) 0 ako i samo ako R (Q)<C (Q). 2 dq Ekonomski, to znači, ako je stopa promjene MR manja od stope promjene MC pri proizvodnji za koj je MCMR, tada će proizvodnja maksimizirati profit. 21

Koeficijenti kbne fnkcije kpnih troškova kbna fnkcija vijek sadrži dva ili jedan prevoj prevoja kbna fnkcija može na svom grafik imati dio nagnt prema dolje, dok bi fnkcija kpnih troškova, da bi imala ekonomskog smisla, morala biti svda nagnta prema gore (rastća!) (veća proizvodnja, veći kpni trošak). CC(Q)aQ 3 +bq 2 +cq+d Kako ograničiti parametre tako da spriječimo da kriva C opada? MCC (Q)3aQ 2 +2bQ+c Da bi MC bila svda pozitivna, nžno je da je parabola U-oblikovana tj a>0, ali to nije dovoljno jer minimalna vrijednost U-oblikovane krive MC, MC min može pasti ispod vodoravne ose. Pa, mora biti: MC 6aQ+2b0, a nivo proizvodnje koji zadovoljava ovaj slov je a bdći da se negativan obim proizvodnje iskljčje, to je b<0. MC min 2 2 b b 3ac b 3a + 2b + c 0 b 3a 3a 3a 2 <3ac, pa c>0. Takođe, d>0. Q 2b 6a * 22 b 3a

Brzina rasta neprekidne fnkcije: F-ja y f(x) koja raste na interval (a,b) kažemo da, na tom intrval, raste sve brže ili da raste progresivno, ako jednakim priraštajima argmenta odgovaraj sve veći priraštaji fnkcije. Iz definicije slijedi da, za fnkcij koja raste sve brže: 0 < Δx 1 Δx 2 Δx 3... Δy 1 < Δy 2 < Δy 3 <... Na interval (a,b) fnkcija y f(x) koja ima drgi izvod raste sve brže ako i samo ako je f'(x) > 0 i f"(x) > 0, za svako x (a,b). 23

Za fnkcij y f(x) koja raste na interval (a,b) kažemo da, na tom interval, raste sve sporije (degresivno) ako jednakim priraštajima argmenta odgovaraj sve manji priraštaji fnkcije, tj.: 0 < Δx 1 Δx 2 Δx 3... Δy 1 > Δy 2 > Δy 3 >... na interval (a,b), fnkcija y f(x) raste sve sporije ako i samo ako je f'(x) > 0 i f"(x) < 0. 24

Nalaženje stope rasta Trentna stopa rasta od f-je vremena yf(t): r y dy/ dt y ' f ( t) f ( t) granicna_ fnkcija kpna_ fnkcija To je izvod od lnf(t)lny logaritmovati f-j i onda naći izvod lnf(t) odnos na vrijeme! Pr. Naći stop rasta od VAe rt lnvlna+rtlnelna+rt d d r V lnv 0 + rt dt dt r 25

Stopa rasta kombinacije f-ja y v v f ( t) g( t) ln y ln + lnv d d d r y ln y ln + lnv dt dt dt Trentna stopa rasta proizvoda je sma trentnih stopa rasta komponenata: r v r + rv Trentna stopa rasta količnika je razlika trentnih stopa rasta komponenata: r ( / v) Pr. Ako potrošnja C raste stopom a i ako stanovništvo H raste stopom b, kolika je stopa rasta potrošnje po glavi (per capita) (C/H)? r (C/H) r C -r H a-b r r v 26

27 Stopa rasta zbira je ponderisana sredina stopa rasta komponenata + ) ( ) ( t g v t f v z ) ln( ln v z + ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ln( ln ' ' t g t f v v dt d v v dt d z dt d r z + + + + + ) ( ) / ( ' t f t f r r r t f t f ) ( ) ( ' v v r v v r v r + + + + ) ( v v r v v r v r ) (

KARAKTERISTIKE FUNKCIJE. GRAFIK Ispitati fnkcij znači odrediti: 1.Oblast definisanosti D f 2.Parnost, neparnost, periodičnost 3.Nle fnkcije 4.Neprekidnost, ponašanje prekidnim tačkama, vertikalne asimptote 5.Horizontalne i kose asimptote 6.Znak fnkcije 7.Tok, ekstremne vrijednosti 8.Konveksnost, konkavnost, prevojne tačke 9.Grafik 28

Ako je lim x + f ( x) A ili lim x f ( x) onda se prava y A zove horizontalna asimptota grafika fnkcije f(x). A 29

Ako je fnkcija f(x) kad x a ili x a+0, ili x a-0, beskonačno velika veličina, onda se prava x a zove vertikalna asimptota grafika te fnkcije. Iz definicija granične vrijednosti i vertikalne asimptote slijedi da grafik fnkcije može da ima vertikaln asimptot x a samo ako je tačka a kraj otvorenog intervala na kome je fnkcija definisana. 30

Za prav y kx + n kažemo da je kosa asimptota grafika fnkcije y f(x) ako je lim[f(x) - (kx + n)] 0, kad x + ili x - Otda se dobija da je k f x lim ( ) x n lim[f(x) - kx], kad x + ili x - kad x + ili x - i 31

Ispitati fnkcij i nacrtati njen grafik y ( 1 x) ( 1 + x) 3 2 Rešenje. 1.Domen: x 1. 2.Zbog nesimetričnosti domena nema smisla ispitivati parnost i neparnost. 3.y 0 za x 1 - trostrka nla. 4. 5. lim x 1 0 lim x y y 8 + 0 +, lim y x pa x 1 je dvostrana vertikalna asimptota. grafik nema horizontaln asimptot. 32

k lim x (1 x) (1 + x) x 3 2 lim x 3 (1 x) x(1 + x) 2 1 n lim x lim x 1 2x (1 + (1 (1 + x) x) + 5x 2 x) 2 3 2 + x 5 lim x 1 3x + 3x 2 x (1 + + x 2 x) 3 3 + 2x 2 + x Isto se dobija i za +, pa je y -x + 5 kosa asimptota 6. Znak: za x < 1 y > 0, a za x > 1 y < 0. 33

2 ( x 1) ( x 7. y 3 ( x + 1) + 5) 0 za x 1 x 5. x (, 5) 5 ( 5, 1) 1 ( 1, 1) 1 (1, + ) y' 0 + 0 y 27/2 0 y min ( 5) 27/2. x 1 nije apscisa ekstrema. 1 x 8. y 24 0 x 1 4 ( x + 1) x (, 1) 1 ( 1, 1) 1 (1, + ) y" + + 0 y 0 P(1,0) je prevojna tačka (nije ekstremm). 34

9. Grafik: Napomena. Primjetimo da je x -1/3 presjek kose asimptote i grafika date fnkcije 35