Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ). Osobine operacije : 1. zatvorenost: ( a, b A) a b A ; 2. asocijativnost: ( a, b, c A) (a b) c = a (b c) ; 3. komutativnost: ( a, b A) a b = b a ; 4. postojanje neutralnog elementa: ( e A)( a A) a e = e a = a; 5. postojanje inverznog elementa: ( a A)( a A) a a = a a = e. Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa (semigrupa). Ako operacija ima osobine: zatvorenost, asocijativnost, postoji neutralni i inverzni element, onda je (A, ) grupa. Grupa (A, ) u kojoj važi komutativnost zove se Abelova grupa ili komutativna grupa. Algebarske strukture sa dve operacije (A,, ): (A,, ) je prsten ako je (A, ) Abelova grupa, (A, ) polugrupa i važi distributivnost operacije prema operaciji : ( a, b, c A) a (b c) = (a b) (a c), (b c) a = (b a) (c a). 1

2 (A,, ) je telo ako je (A, ) Abelova grupa, (A \ {e}, ) grupa (e je neutralni element za operaciju ) i važi distributivnost operacije prema operaciji. Telo (A,, ) je polje ako je (A \ {e}, ) Abelova grupa. Skup B, B A sa operacijom je podgrupa grupe (A, ) ako važi: ( a, b B) a b B, ( a B) inverzni element a B. Zadaci: 1. Na skupu R definisana je operacija sa x y = x + y + k, x, y R, gde je + operacija sabiranja, a k R data konstanta. Ispitati algebarsku strukturu (R, ). Rešenje: Zatvorenost : Za svako x, y R važi x y = x + y + k R, pa je operacija zatvorena. Asocijativnost : ( x, y, z R) (x y) z = (x + y + k) z = (x + y + k) + z + k = x + y + k + z + k, x (y z) = x (y + z + k) = x + (y + z + k) + k = x + y + z + k + k. Zagrade smo mogli da sklonimo jer je sabiranje asocijativna operacija u R, a kako je i komutativna to imamo Komutativnost : ( x, y R) (x y) z = x + y + z + 2k = x (y z). x y = x + y + k = y + x + k = y x, gde smo iskoristili komutativnost operacije +. Neutralni element: Pokazali smo da je komutativna operacija pa je dovoljno naći element e R za koji važi x e = x (ili e x = x). Po definiciji operacije i neutralnog elementa imamo x e = x + e + k = x. Iz poslednje jednakosti dobijamo da je neutralni element e = k.

Inverzni element: Za svako x R inverzni element, ako postoji, mora da zadovoljava uslov x x = e i x x = e (dovoljno je proveriti da važi jedna jednakost, a onda će važiti i druga zbog komutativnosti). Imamo x x = e x + x + k = e e = k x = x 2k R. Ovim smo pokazali da svaki element iz R ima inverzni element x = x 2k R. Na osnovu utvrd enih osobina operacije imamo da je (R, ) Abelova grupa. Napomenimo da za različite vrednosti konstante k R dobijamo različite definicije operacije, na primer: x y = x + y + 5, x y = x + y + 7, x y = x + y 3. Takod e, postupak utvrd ivanja osobina operacije bio bi analogan i u slučaju da je definisana na skupu kompleksnih brojeva, na primer z w = z + w + i ili z w = z + w + 1 + i. 3 2. Na skupu R \ {0} definisana je operacija sa x y = xyk, x, y R \ {0}, gde je k R \ {0} data konstanta. Ispitati algebarsku strukturu (R \ {0}, ). Rešenje: Zatvorenost : Za svako x, y R \ {0} važi x y = xyk R \ {0}, jer je proizvod brojeva različitih od nule takod e različit od nule. Asocijativnost : ( x, y, z R \ {0}) (x y) z = (xyk) z = (xyk)zk = xykzk, x (y z) = x (yzk) = x(yzk)k = xyzkk. Zagrade smo mogli da sklonimo jer je množenje asocijativna operacija u R \ {0}, a kako je i komutativna to imamo Komutativnost : ( x, y R \ {0}) (x y) z = xyzk 2 = x (y z). x y = xyk = yxk = y x,

4 gde smo iskoristili komutativnost operacije. Neutralni element: Pokazali smo da je komutativna operacija, pa ćemo naći element e R \ {0} za koji važi x e = x. Po definiciji operacije i neutralnog elementa imamo x e = xek = x x(ek 1) = 0 x R \ {0} ek 1 = 0 e = 1 k. Inverzni element: Za svako x R \ {0} inverzni element, ako postoji, mora da ispunjava uslov x x = e. Važi x x = e xx k = e e = 1 k x = 1 xk 2. Ovim smo pokazali da svaki element x R \ {0} ima inverzni element x = 1/(xk 2 ) R \ {0}. Imamo da je (R \ {0}, ) Abelova grupa. Kao i u prethodnom zadatku i ovde možemo za konstantu k uzeti proizvoljnu vrednost iz R \ {0} i dobiti različite definicije operacije. Takod e skup R \ {0} možemo zameniti skupom C \ {0}: ili x y = 2xy, z w = izw, z w = e iπ/4 zw, z w = x y = xy 2, x y = 2xy, x, y R \ {0}, ( cos π 3 +i sin π ) zw, 3 z, w C\{0}. 3. Na skupu R \ {1} definisana je operacija sa x y = xy x y + 2, x, y R \ {1}. Ispitati algebarsku strukturu (R \ {1}, ). Rešenje: Zatvorenost : Treba pokazati da za svako x, y R \ {1} važi x y = xy x y + 2 R \ {1}, što znači da ni za jednu vrednost x, y R \ {1} vrednost x y ne može biti 1. Pretpostavićemo da za neko x, y 1 imamo x y = 1, to jest, što je nemoguće. xy x y + 2 = 1 (x 1)(y 1) = 0,

5 Asocijativnost : ( x, y, z R \ {1}) (x y) z = (xy x y + 2) z = (xy x y + 2)z (xy x y + 2) z + 2 = xyz xz yz xy + x + y + z, x (y z) = x (yz y z + 2) = x(yz y z + 2) x (yz y z + 2) + 2 = xyz xz yz xy + x + y + z. U ovom izračunavanju smo koristili osobinu distributivnosti množenja prema sabiranju, asocijativnost i komutativnost sabiranja i množenja u R, pa i na podskupu R \ {1}. Komutativnost : ( x, y R \ {1}) x y = xy x y + 2 = yx y x + 2 = y x, gde smo iskoristili komutativnost operacija i +. Neutralni element: Operacija je komutativna i tražimo element e R \ {1} za koji važi x e = x. Po definiciji operacije i neutralnog elementa imamo x e = xe x e + 2 = x (x 1)(e 2) = 0 x R \ {1} e = 2. Inverzni element: Za svako x R \ {1} inverzni element, ako postoji, mora da ispunjava uslov x x = e. Važi x x = e xx x x + 2 = e e = 2 x = x x 1 R \ {1}. Zbog x 1, imenilac je definisan i svaki element ima inverzni element x 1. Struktura (R \ {1}, ) je Abelova grupa. 4. Na skupu R \ { 2} definisana je operacija sa x y = xy + 2x + 2y + 2, x, y R \ { 2}. Ispitati algebarsku strukturu (R \ { 2}, ). Rezultat: Neutralni element je e = 1, inverzni element elementa x R\{ 2} je x = ( 3 2x)/(x + 2), (R \ { 2}, ) je Abelova grupa.

6 5. Na skupu R \ {a}, gde je a zadati realni broj, definisana je operacija sa x y = xy ax ay + a 2 + a, x, y R \ {a}. Ispitati algebarsku strukturu (R \ {a}, ). (Primetimo da su operacije definisane u zadacima 3. i 4. specijalni slučajevi za a = 1 i za a = 2.) Rezultat: Neutralni element je e = a+1, inverzni element elementa x R\{a} je x = (1 a 2 + ax)/(x a), (R \ {a}, ) je Abelova grupa. 6. Ispitati algebarsku strukturu (Z, ), gde je m n = { m + n, m = 2k, m n, m = 2k + 1, m, n, k Z. Rešenje: Operacija je zatvorena jer je rezultat očigledno ceo broj. Asocijativnost: { (m + n) + p, m = 2k, n = 2s, (m + n) p, m = 2k, (m n) p = (m n) p, m = 2k + 1, = (m + n) p, m = 2k, n = 2s + 1, (m n) p, m = 2k + 1, n = 2s, (m n) + p, m = 2k + 1, n = 2s + 1, m (n p) = { m (n + p), n = 2s, m (n p), n = 2s + 1, = m + (n + p), m = 2k, n = 2s, m (n + p), m = 2k + 1, n = 2s, m + (n p), m = 2k, n = 2s + 1, m (n p), m = 2k + 1, n = 2s + 1. Na osnovu dobijenih rezultata za svaki od slučajeva vidimo da važi jednakost i da je operacija asocijativna. Operacija nije komutativna jer se rezultat dobija u zavisnosti od parnosti prvog argumenta. Na primer, imamo 2 3 = 2 + 3 = 5 i 3 2 = 3 2 = 1. Neutralni element odred ujemo iz uslova m e = m, koji mora da važi i kada je m parno i kada je neparno. Dakle, imamo m + e = m (m parno) m e = m (m neparno),

odakle zaključujemo da je e = 0. Komutativnost ne važi, pa moramo proveriti da li za e = 0 važi e m = m: e m = 0 m = 0 + m = m. Inverzni element m za paran broj m je m = m, a za neparan broj m je m = m. Algebarska struktura (Z, ) je grupa. 7 7. Neka je dat skup S = {f f(x) = x+a, x R, a R} i operacija kompozicija funkcija. Ispitati algebarsku strukturu (S, ). Rešenje: Zatvorenost: Neka su f, g S, f(x) = x + a, g(x) = x + b, a, b R. Tada je (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + b) = x + b + a = x + c, c = b + a R, pa je f g S. Asocijativnost: Operacija je asocijativna operacija u skupu svih funkcija, pa i u skupu ovako definisanih linearnih funkcija. Komutativnost: Operacija je komutativna na skupu S jer za svako x R važi (f g)(x) = f(g(x)) = f(x+b) = x+b+a = x+a+b = g(x+a) = g(f(x)) = (g f)(x). Neutralni element: U skupu S neutralni element bi bila funkcija ε(x) = x + e za koju važi f ε = f, to jest, (f ε)(x) = f(x) x + e + a = x + a, x R. Imamo da je e = 0 i funkcija ε(x) = x (identičko preslikavanje) je neutralni element. Do istog zaključka se može doći iz činjenice da je identičko preslikavanje neutralni element u odnosu na kompoziciju funkcija u skupu svih funkcija, a kako ono pripada i skupu S, iz jedinstvenosti neutralnog elementa imamo da je ε(x) = x traženi neutral u S. Inverzni element: Za funkciju f S, f(x) = x + a, inverzni element bi bila funkcija f 1 (x) = x + a za koju važi (f f 1 )(x) = ε(x) x + a + a = x, x R. Imamo da je a = a i f 1 (x) = x a. Algebarska struktura (S, ) je Abelova grupa.

8 8. Neka je dat skup S = {f f(x) = ax, x R, a R \ {0}} i operacija kompozicija funkcija. Ispitati algebarsku strukturu (S, ). Rešenje: Zatvorenost: Neka su f, g S, f(x) = ax, g(x) = bx, a, b R \ {0}. Tada je Funkcija f g S. (f g)(x) = f(g(x)) = f(bx) = abx = cx, c = ab R \ {0}. Asocijativnost: Operacija je asocijativna operacija u skupu svih funkcija, pa i u skupu S ovako definisanih linearnih funkcija. Komutativnost: Operacija je komutativna na skupu S jer važi (f g)(x) = f(g(x)) = f(bx) = abx = bax = g(ax) = g(f(x)) = (g f)(x). Neutralni element: U skupu S neutralni element bi bila funkcija ε(x) = ex, e 0, za koju važi (f ε)(x) = f(x) aex = ax. Sada je e = 1 i funkcija ε(x) = x (identičko preslikavanje) je neutralni element. Drugi način nalaženja neutralnog elementa bi bio da primetimo da identičko preslikavanje (neutralni element u odnosu na operaciju na skupu svih funkcija) pripada skupu S. Inverzni element: Za funkciju f S, f(x) = ax inverzni element bi bila funkcija f 1 (x) = a x za koju važi (f f 1 )(x) = ε(x) aa x = x, x R. Imamo da je a = 1/a i f 1 (x) = x/a. Algebarska struktura (S, ) je Abelova grupa. 9. Dokazati da skup S = {f f(x) = ax + b, a R \ {0}, b R} obrazuje grupu u odnosu na operaciju kompozicije funkcija. Rezultat: Komutativnost ne važi jer za f(x) = ax + b i g(x) = cx + d imamo (f g)(x) = f(g(x)) = f(cx + d) = acx + ad + b, (g f)(x) = g(f(x)) = g(ax + b) = cax + cb + d, što u slučaju kada je ad + b cb + d nije isto.

9 10. Date su funkcije f(x) = x, g(x) = x, h(x) = 1 x, u(x) = 1 x. Ispitati algebarsku strukturu (S, ), gde je S = {f, g, h, u}, a slaganje funkcija. Rezultat: Tabela za operaciju glasi f g h u f f g h u g g f u h. h h u f g u u h g f 11. Na skupu G = {(a, b) a, b Q, b 0} definisana je operacija sa (a, b) (c, d) = (ad d + c, bd), (a, b), (c, d) G. Ispitati algebarsku strukturu (G, ). Rezultat: Skup G čine ured eni parovi koji za koordinate imaju racionalne brojeve i druga koordinata nije nula. Operacija je zatvorena, asocijativna ((a, b) (c, d)) (g, h) = (adh dh + ch h + g, bdh) = (a, b) ((c, d)) (g, h)), nije komutativna (a, b) (c, d) (c, d) (a, b). Neutralni element je (1, 1), a inverzni element za (a, b) je (a, b ), gde su a = (1 a + b)/b i b = 1/b. Algebarska struktura (G, ) je grupa. 12. Ispitati algebarsku strukturu (X, +), gde je + operacija sabiranja, a X: a) skup prirodnih brojeva N; b) skup celih brojeva Z. Rezultat: U skupu prirodnih brojeva sabiranje je zatvorena, asocijativna i komutativna operacija. Neutralni element i inverzni element u odnosu na sabiranje ne postoje u N. Skup celih brojeva sa operacijom + čini Abelovu grupu.

10 13. Ispitati da li je neka od struktura (N, +, ) i (Z, +, ), gde su + i sabiranje i množenje brojeva, prsten, telo ili polje. Rezultat: (N, +) nije Abelova grupa (polugrupa je), pa (N, +, ) nije prsten, telo ili polje. (Z, +) jeste Abelova grupa, (Z, ) je komutativna polugrupa sa jedinicom (jedinični element, odnosno neutral, je 1). (Z \ {0}, ) nije grupa, jer 1/a / Z \ {0}, što znači da inverzni element za a ne postoji u skupu Z \ {0}. Važi distributivnost prema +: a (b + c) = a b + a c. Algebarska struktura (Z, +, ) je komutativni prsten sa jedinicom. 14. Neka je S = {a + b 2 a, b Q}. Ispitati algebarsku strukturu (S, +, ), gde su operacije + i sabiranje i množenje brojeva. Rezultat: (S, +) je Abelova grupa, (S \ {0}, ) je Abelova grupa i važi distributivnost množenja prema sabiranju. Znači, (S, +, ) je polje. 15*. Na skupu X = {1, 1, i, i} definisana je operacija sa a b = a b i, a, b X, gde je operacija množenje kompleksnih brojeva. Ispitati algebarsku strukturu (X, ). Rešenje: Operacija je zatvorena što se najlakše može videti iz tabele. Sve vrednosti a b, a, b X su iz skupa X: Asocijativnost važi jer je 1 1 i i 1 i i 1 1 1 i i 1 1 i 1 1 i i i 1 1 i i

11 (a b) c = (abi) c = abici = abc, a (b c) = a (bci) = abcii = abc. Komutativnost takod e važi jer je a b = abi = bai = b a. Osobina komutativnosti se može utvrditi i iz tabele ako se uoči da se vrednosti a b i b a nalaze simetrično u odnosu na glavnu dijagonalu tabele. Ukoliko utvrdimo da je tabela simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu, tada komutativnost važi. Napomenimo da smo kod ispitivanja asocijativnosti i komutativnosti operacije koristili te iste osobine za koje znamo da važe za operaciju množenja na skupu C, pa i na X C. Neutralni element odred ujemo iz uslova a e = a aei = a e = i. I u ovom slučaju smo mogli da koristimo tabelu: prepoznamo vrstu u tabeli koja je identična sa prvom vrstom (ili kolonu koja je identična sa prvom kolonom) i neutralni element je argument kome odgovara nad ena vrsta (kolona). Inverzni element se odred uje iz a a = e aa i = i a = 1 a, što za svaki od elemenata skupa X znači: 1 i 1 su med usobno inverzni, inverzni za i je i, inverzni za i je i. Takod e, inverzne elemente možemo odrediti ako u svakoj vrsti uočimo neutralni element i onda pogledamo koja dva elementa kao rezultat operacije daju uočeni neutral. Struktura (X, ) je Abelova grupa. 16*. Neka je X = {r(1 + i) r R}. Ispitati algebarsku strukturu (X, +), gde je + sabiranje kompleksnih brojeva. Rezultat: Ovako definisan skup X je skup svih kompleksnih brojeva kod kojih je realni i imaginarni deo jednak. Neutralni element je 0, a inverzni element za r(1 + i) je r(1 + i).

12 17*. Na skupu C \ {i} definisana je operacija sa z 1 z 2 = z 1 z 2 i + z 1 + z 2, z 1, z 2 C \ {i}. Ispitati algebarsku strukturu (C \ {i}, ). Rešenje: Zatvorenost : Treba pokazati da za svako z 1, z 2 C\{i} važi z 1 z 2 = z 1 z 2 i + z 1 + z 2 i. Pretpostavimo da za z 1, z 2 i važi što je nemoguće. z 1 z 2 i + z 1 + z 2 = i (z 1 i + 1)(z 2 i) = 0 z 1 = 1 i Asocijativnost : ( z 1, z 2, z 3 C \ {i}) = i, (z 1 z 2 ) z 3 = (z 1 z 2 i + z 1 + z 2 ) z 3 = (z 1 z 2 i + z 1 + z 2 )z 3 i + (z 1 z 2 i + z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 z 2 z 3 + i(z 1 z 3 + z 2 z 3 + z 1 z 2 ) + z 1 + z 2 + z 3, z 1 (z 2 z 3 ) = z 1 (z 2 z 3 i + z 2 + z 3 ) = z 1 (z 2 z 3 i + z 2 + z 3 )i + z 1 + (z 2 z 3 i + z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 z 3 + i(z 1 z 3 + z 2 z 3 + z 1 z 2 ) + z 1 + z 2 + z 3. Komutativnost : ( z 1, z 2 C \ {i}) z 1 z 2 = z 1 z 2 i + z 1 + z 2 = z 2 z 1 i + z 2 + z 1 = z 2 z 1. Neutralni element: Operacija je komutativna pa neutralni element odred ujemo iz uslova z e = z, z C \ {i}. Po definiciji operacije i neutralnog elementa imamo z e = zei + z + e = z ei(z i) = 0 z i e = 0. Inverzni element: Za svako z C \ {i} inverzni element, ako postoji, mora da ispunjava uslov z z = e. Važi z z = e zz i + z + z = 0 z = z i(z i) C \ {i}. Imenilac je definisan jer je z i i svaki element ima inverzni z i. Struktura (C \ {i}, ) je Abelova grupa.

13 18*. Neka je M = {M(a, α) a > 0, α R}, gde je a 0 0 M(a, α) = 0 1 α. 0 0 1 Ispitati algebarsku strukturu (M, ), gde označava množenje matrica. Rešenje: Zatvorenost: Treba pokazati da M(a, α) M(b, β) M: a 0 0 b 0 0 ab 0 0 M(a, α) M(b, β) = 0 1 α 0 1 β = 0 1 α + β M, 0 0 1 0 0 1 0 0 1 jer važi ab > 0, α + β R. Asocijativnost važi jer je operacija množenja matrica asocijativna na skupu kvadratnih matrica, pa je ona asocijativna i na njegovom podskupu. Komutativnost: Naći ćemo čemu je jednako M(b, β) M(a, α) i uporedićemo sa već odred enim M(a, α) M(b, β): b 0 0 a 0 0 ba 0 0 M(b, β) M(a, α) = 0 1 β 0 1 α = 0 1 β + α. 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Jednakost M(a, α) M(b, β) = M(b, β) M(a, α) važi jer je ab = ba i α +β = β +α. Neutralni element: U skupu M neutralni element, ako postoji, bila bi matrica oblika e 0 0 M(e, ϕ) = 0 1 ϕ 0 0 1 za koju važi M(a, α) M(e, ϕ) = M(a, α). Kako je za a, e > 0 imamo a 0 0 e 0 0 ae 0 0 M(a, α) M(e, ϕ) = 0 1 α 0 1 ϕ = 0 1 α + ϕ, 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ae = a α + ϕ = α e = 1 ϕ = 0.

14 Neutralni element, matrica M(1, 0) je jedinična matrica. Do istog zaključka smo mogli doći i ako se setimo da je jedinična matrica neutralni element u odnosu na operaciju množenja matrica u skupu kvadratnih matrica. Treba samo proveriti da li jedinična matrica po obliku pripada skupu matrica M i, ako pripada, onda je ona neutralni element i u skupu M. Inverzni element: Za matricu M(a, α) odredićemo matricu M(a, α ) tako da važi M(a, α) M(a, α ) = I. Iz uslova a 0 0 a 0 0 aa 0 0 1 0 0 M(a, α) M(a, α ) = 0 1 α 0 1 α = 0 1 α + α = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 imamo aa = 1 α + α = 0 a = 1 a > 0 α = α. Algebarska struktura (M, ) je na osnovu utvrd enih osobina Abelova grupa. 19*. Ispitati algebarsku strukturu (X, ), gde je {[ ] } a b X = a R \ {0}, b R, b a i operacija množenje matrica. Rezultat: Operacija nije zatvorena. Na primer, za matrice A i B [ ] [ ] 1 2 2 1 A =, B =, 2 1 1 2 imamo AB = [ ] 0 5 / X. 5 0 20*. Ispitati algebarsku strukturu (X, ), gde je { a 0 b } X = 0 a 0 a R \ {0}, b R, 0 0 a i operacija množenje matrica.

Rezultat: Neutralni element je jedinična matrica I, a inverzni element matrice a 0 b A = 0 a 0 0 0 a 15 je matrica a 0 b A = 0 a 0, 0 0 a gde su a = 1/a i b = b/a 2. Struktura (X, ) je Abelova grupa. 21*. Ispitati algebarsku strukturu (X, ), gde je i operacija množenje matrica. { a a a } X = a a a a R \ {0}, a a a Rezultat: Operacija je zatvorena. Za A, B X imamo a a a b b b 3ab 3ab 3ab AB = a a a b b b = 3ab 3ab 3ab X, ab 0. a a a b b b 3ab 3ab 3ab Asocijativna je jer je operacija množenja matrica asocijativna na skupu svih kvadratnih matrica, pa i na uzetom podskupu X. Komutativnost sledi iz jednakosti ab = ba, pa imamo AB = BA. Neutralni element, označimo ga sa F, je matrica oblika f f f F = f f f. f f f Iz uslova AF = A imamo 3af 3af 3af a a a 3af 3af 3af = a a a, 3af 3af 3af a a a

16 odakle je f = 1/3. Dobijamo da je neutralni element matrica 1/3 1/3 1/3 F = 1/3 1/3 1/3. 1/3 1/3 1/3 Napomena: neutralni element u ovom slučaju ne može biti jedinična matrica jer jedinična matrica ne pripada skupu X! Inverzni element matrice A je matrica A čiji su svi elementi a odred eni iz uslova 3aa = 1/3. Imamo da je a = 1/(9a) (pri čemu je za postojanje inverznog elementa a 0 vrlo važan uslov). Data algebarska struktura (X, ) je Abelova grupa. 22*. Ispitati algebarsku strukturu (X, ), gde je {[ ] } 1 a X = a R, 0 1 i operacija množenje matrica. Rezultat: Neutralni element je jedinična matrica I, inverzni element matrice A je matrica [ ] A 1 a =. 0 1 (X, ) je Abelova grupa. 23*.Neka je X = {[ ] } a b a, b R. 0 a Ako su + i operacije sabiranja i množenja matrica, ispitati algebarsku strukturu (X, +, ). Rezultat: (X, +) je Abelova grupa, (X, ) je komutativna polugrupa sa jedinicom, ali (X \ {O}, ), gde je O nula matrica, nije grupa jer nema svaki element inverzni. Na primer, matrica [ ] 0 5 X \ {O} 0 0

17 nema inverznu matricu. Distributivnost važi. (X, +, ) je komutativni prsten sa jedinicom.