Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela

6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj oblik - ramaci čestica krutog tijela ostaju uvijek isti - idealiacija Gibanje krutog tijela: translacija (CM) i rotacija (os kro CM)

6. Rotacija krutog tijela Translacija krutog tijela Pri ROTACIJI krutog tijela sve njegove čestice gibaju se istom kutnom brinom po kružnicama čija središta leže na istom pravcu koji se ove OS ROTACIJE (rotacija krutog tijela oko nepomične osi). Tijelo se giba TRANSLATORNO ako linija koja poveuje bilo koje dvije njegove čestice adržava svoj smjer u prostoru, tj. ako pri gibanju ostaje paralelna svom početnom položaju. Sve točke tijela imaju iste brine i akceleracije. Dovoljno je ponavati gibanje CM. Rotacija krutog tijela

6. Rotacija krutog tijela Općenito gibanje krutog tijela: translacija (CM) i rotacija (os kro CM)

6.3. Rotacija krutog tijela oko nepomične osi Sve točke tijela ivode gibanje po kružnicama čija središta leže na osi rotacije. Na rotaciju oko nepomične osi utječe samo moment okomite sile. ω Ivod j. gibanja: ' M = r F i i i r i r i m i F ti M = r F = r m a = α m r i i ti i i ti i i M = M = α m r = I α i i i i i O I = i m r i i - moment inercije M = I α - j. gibanja (II Newtonov akon a F = m a rotaciju krutog tijela oko nepomične osi)

6.3. Rotacija krutog tijela oko nepomične osi Ako je M = 0, tada je α = 0, te će tijelo ili mirovati ili se jednoliko vrtjeti. Ako je M = const. tijelo će se vrtjeti oko nepomične osi konstantnom kutnom akceleracijom (α = const.).

6.4. Moment inercije (tromosti) - veličina karakteristična a svako tijelo koje rotira - utječe na rotaciju slično kao što masa utječe na translaciju tijela tijela s većim I teže je arotirati nego ona s manjim = mjera tromosti tijela pri rotaciji n I = lim miri = r dm n i = 1 I m = = V = ρ r dv ρ lim V 0 dm dv I = ρ r dv - a homogeno tijelo

6.4. Moment inercije (tromosti) Primjer: Iračunaj moment inercije homogenog štapa oko osi a) kro središte štapa b) oko jednog kraja štapa x dx ml a) I = L 1 b) I = ml 3 x L dx

6.4. Moment inercije (tromosti) Primjer: Iračunaj moment inercije homogenog prstena oko osi kro središte prstena, okomitu na ravninu prstena. R I = mr

6.4. Moment inercije (tromosti) Steinerov poučak Moment tromosti ovisi o osi oko koje tijelo rotira. os rotacije os kro CM x = x ' + x y = y ' + y CM CM I CM 0 = = 0 M D

6.4. Moment inercije (tromosti) Steinerov poučak I = I + M D CM Moment inercije tijela oko neke osi jednak je momentu inercije oko osi koja prolai kro centar mase i paralelna je toj osi, uvećanoj a umnožak mase tijela i kvadrata udaljenosti tih dviju osi. os rotacije os kro CM D M

6.4. Moment inercije (tromosti) Steinerov poučak Primjer: Odredite moment inercije štapa obirom na os koja prolai jednim njegovim krajem. x dx ml a) I CM = L 1 b) I = ml 3 x L dx c) Steinerov poučak: L ml ml ml I = ICM + m = + = 1 4 3

6.5. Moment količine gibanja (kutna količina gibanja, moment impulsa, akretni impuls, angularni moment, orbitalni moment) Zakretni impuls materijalne točke m, impulsa p: L = r p ( M = r F ) [kg m /s] - smjer: pravilo desne ruke Zakretni impuls krutog tijela: L = ri m vi, vi = ω ri i L = m r ω = I ω i i i i - a bilo koju nepomičnu os oko koje rotira kruto tijelo

6.5. Moment količine gibanja - ako homogeno tijelo rotira oko svoje osi simetrije L i w imaju L = Iω isti smjer i leže na osi rotacije - općenito (a nesimetrično tijelo) L i w ne moraju imati isti smjer Jednadžba gibanja a rotaciju krutog tijela L = r p i i i - akretni impuls materijelne točke krutog tijela d L dr d p dt dt dt d ri pi vi mi vi 0 dt = = i i i = pi + ri = ri F i = M i d dt M Li = i i i - a kruto tijelo

6.5. Moment količine gibanja Jednadžba gibanja a rotaciju krutog tijela M = F = d L dt d p dt Ukupni moment vanjskih sila (obirom na točku O) jednak je vremenskoj promjeni ukupnog akretnog impulsa (obirom na istu točku O). L M M F = I ω dl dt = I α = = = m a ( ) d dt I ( ) ω

6.6. Zakon očuvanja akretnog impulsa

6.6. Zakon očuvanja akretnog impulsa

6.6. Zakon očuvanja akretnog impulsa d L - j. gibanja a rotaciju krutog tijela: M = dt d M = L = dt - atvoreni sustav (ΣF i =0, ΣM i =0) : 0 L = const U atvorenom sustavu ukupni akretni impuls je očuvan (po inosu i smjeru) ako je reultantni moment sila, koji djeluje na taj sustav, jednak nuli. Poseban slučaj: vrtnja sustava oko nepomične osi : L = I ω = const I ω = I ω = const 1 1

6.7. Gibanje vrka Zvrk je rotaciono simetrično tijelo koje se vrlo bro vrti oko svoje osi simetrije, pri čemu je stalno učvršćeno u jednoj točki koja leži na toj osi. a) gibanje slobodnog vrka (M=0); vrk je poduprt u svom težištu d L M = = 0 L = const dt Smjer i inos akretnog impulsa su konstantni jer nema vanjskog momenta sile. O G

6.7. Gibanje vrka b) precesija vrka (M 0); vrk nije poduprt u težištu - težina stvara moment oko O M = r G - os vrka se akreće, a težište se giba po kružnici - M je okomit na L; L mijenja smjer a inos mu je konstantan - vrh vektora L opisuje kružnicu (precesija) M = Ω L L = Ω = I M I ω ω M = d L dt Kutna brina precesije proporcionalna je momentu sile, a obrnuto proporcionalna momentu inercije i kutnoj brini vrka.

6.8. Rad, snaga i kinetička energija pri rotaciji Kinetička energija materijalne točke m i : K = 1 m v i i i Kinetička energija krutog tijela: 1 1 K = K = m v = m r ω i i i i i i i i I = miri -moment inercije i K = 1 Iω -kinetička energija

6.8. Rad, snaga i kinetička energija pri rotaciji Rad vanjske sile na tijelo koje rotira: dw = F d s = F rdθ dw = Mdθ ( sinφ ) Snaga pri rotaciji: dw dθ P = = M = M ω dt dt ( P = F v) d d d d M = ω ω θ ω Iα = I I I dt = ω dθ dt = dθ Md θ = dw = I ω d ω ω f 1 1 W = Mdθ = Iωdω = Iω f Iωi = EK ω i Ukupni rad koji obave vanjske sile pri rotaciji krutog tijela oko čvrste osi jednak je promjeni kinetičke energije rotacije.

Primjer: Za sustav tijela na slici odredi moment inercije i kinetičku energiju rotacije.

Primjer: a sustav na slici iračunaj kutnu akceleraciju kotača, akceleraciju utega i napetost niti.

6.9. Kotrljanje krutog tijela K = suma rotacijske kinetičke energije oko CM i kinetičke energije CM

Primjer: Odredi brinu CM sfere kada se spusti ni kosinu.

Primjer: Sfera mase m 1 i blok mase m poveani su užetom preko koloture radijusa R i mase M (prsten koloture). Blok kliže be trenja. Nañi linearnu akceleraciju ovih tijela koristeći akretni impuls i moment. Zakretni impuls obirom na os rotacije koloture: Zakretni moment a istu os: