MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike inercije. 0 mm 80 mm h 0 mm 70 mm i 60 mm 50 mm i a 80 mm h ' ' ' ' 0 mm a se i su težišne ili centralne ose date složene površine na slici. ksijalni momenti inercije za ove ose nazivaju se centralnim težišnim momentima inercije. 6 8 8 7 6, cm 6 8 8 5 98, cm entrifugalni moment inercije za ose i su: ' 0 8 5 7 8 5 7 98, cm Sopstveni centrifugalni momenti inercije pravugaonika jednaki su nuli. ko površina ima barem jednu osu simetrije, njen centrifugalni moment inercije jednak je nuli. U gornjoj formuli ostaju položajni, centrifugalni momenti inercije koji su jedanki proizvodu površine i koordinata centra površine u odnosu na ose i. b Položaj glavnih, centralnih osa inercije dobiva se preko formule: tgα α 60,55 α 0,7,75
c Glavni centralni momenti inercije računaju se po formuli:, 9 cm cm ± d Glavni, centralni poluprečnici inercije su: i 6,7 cm i,7 cm ZDTK. Za zadani složeni presjek odrediti:. Glavne centralne momente inercije i položaj glavnih centralnih osa inercije,. Momente inercije za sistem osa uv koji je zarotiran za ugao ϕ50 u odnosu na težišne ose. Glavne poluprečnike inercije i elipsu inercije i i
z tablica: NP0,5 cm 06 cm 9, cm c 8008 5,5 cm 6 cm 80,8 cm 6 cm 5,8 cm c c Podaci koji se odnose na poprečni presjek prikazan slikom : profil i [cm ] ci [cm] ci [cm] i [cm ] i [cm ] i [cm ] i [cm ]. [,5 5 -,55 9, 06 06 9,. L 5,5,87,8 6 80,8 6 5,8 Poredeći podatke u tablicama i podatke koji su prilagođeni usvojenim koordinatnim sistemima na slici, može se zaključiti da za vlastite ose profila mogu biti korištene različite oznake kao i za oznake koordinata težišta profila. Npr. za profil L vrijedi c i c. Za profil [ NP0 osa odgovara osi u tablicama, a osa odgovara osi. Pažnja se mora obratiti i na znak koordinata težišta profila u odnosu na usvojeni koordinatni sistem jer je npr. c -,55 cm.. Težište složenog presjeka i i,5 5 5,5,87,7 cm,5 5,5 i i i,5,55 5,5.8,5cm,5 5,5 i. Težišni centralni momenti inercije,55,5,8,5 9, 8, 65,5 6 6, 75 5,5 6, cm 5,7,7,87 06 5,7,5 80,8,7,87 5,5 57,89 cm entrifugalni moment inercije L profila određujemo na osnovu druge invarijante momenata inercije: u uv 0 Druga invarijanta uv v 0
u v uv ± 6 80,8 6 5,8 79, cm - - Znak centrifugalnog momenta inercije -79, cm određuje se na osnovu položaja presjeka u odnosu na njegove težišne ose. Težišne ose dijele presjek u četiri kvadranta. U i kvadrantu proizvod koordinata je pozitivan, dok je u i V kvadrantu taj proizvod negativan. Na osnovu definicije centrifugalnog momenta inercije d slijedi da će moment u i kvadrantu biti pozitivan, a u i V kvadrantu negativan. Ukupan centrifugalni moment je jednak zbiru centrifugalnih momenata po kvadrantima. Vizuelno posmatrajući profil u odnosu na sopstveni koordinatni sistem možemo ocjeniti procenat površine po pojedinim kvadrantima, a time i znak ukupnog cetrifugalnog momenta inercije. 5,7,55,5,7,87,8, 0 simetričan profil 6,979, 56,57 00,9cm. Glavni momenti inercije i položaj glavnih osa inercije Prilikom rotiranja koordinatnog sistema, momenti inercije mijenjaju vrijednosti. Za određen položaj osa α imaju ekstremne vrijednosti ma i min, a centrifugalni moment inercije je jednak nuli. Vrijednosti glavnih momenata inercije i položaj glavnih osa inercije određujemo prema formulama:, ±, 6, 57, 89 ± 6, 57, 89 00,9 68, 69cm 0,9cm 00,9 tgα, 767878 6, 57, 89 α 75,6 α 7,568
5 Ugao α određuje položaj glavne ose, a odmjerava se od ose veće vrijednosti momenta inercije u smjeru suprotno kazaljci na satu ili u smjeru kazaljke zavisno je li vrijednost ugla α pozitivna ili negativna. Primjer: α - 9 ; 50 cm i 500 cm, α. Momenti inecije za zarotirane ose za ugao ϕ50 u cosϕ sinϕ 6, 57, 89 6, 57, 89 cos00 00,9 sin00 0,85 9, 59 97,87 u 599,7 cm v cosϕ sinϕ 6, 57, 89 6, 57, 89 cos00 00,9 sin00 0,85 9, 59 97,87, 0 cm v,0 cm uv sin ϕ cos ϕ 6, 57,89sin00 00,9cos00 87, 05 cm uv. Glavni poluprečnici inercije i elipsa inercije 68,69 i,68 cm 9 0,9 i,65 cm 9 Poluprečnici inercije služe za konstruisanje elipse inercije. Poluprečnik i nanosi se na osu, a poluprečnik i nanosi se na osu. Elipsa inercije ima položaj koji slijedi konturu složenog presjeka.
6 ZDTK. Za zadani složeni presjek na slici odrediti: a Težište b Momente inercije za težišne ose Rješenje:. Geometrijske karakteristike elementarnih površina Tablice: h 6 0 60cm 6 0 0 500cm cm 0 6 5cm 80cm
7 Tablice: h c 0, b cm, h 6 cm 6 9 cm 5cm 8cm 6 6 8cm,5cm 6 6 6 h,5cm 7 - - Tablice h π 0,57 cm π,57 cm cm cm. Težište Σi Σ i i Σi Σ i i 60 9 5,57,5 cm 60 9,57 60 5 9 8,57,6 cm 60 9,57
8. Momenti inercije za težišne ose, h [ ] [ ] [ ] [ ] 8,5 cm 70,5 cm [ ] [ ] 56,6 cm h h h h
9 SVJNJE ZDTK. U prikazanom poprečnom presjeku grede skicirati raspodjelu normalnog i tangencijalnog napona. 00 mm 0 mm 80 mm M s 0 knm F T 5 kn 0 mm. Geometrijske karakteristike presjeka. Težište 0 cm cm 8 cm 9,5 7,59cm o cm Σi Σ i 8 0 9,5 7,587cm 8 0. ksijalni momenat inercije za težišnu osu : 8 0 8 7,587 0 9,5 7,587,5 cm
0. Raspodjela normalnog napona savijanja vlakno a a, cm M s - oblast pritiska b 7,587 cm z vlakno b oblast zatezanja Vrijednost normalnog napona u vlaknu a: M 000kNcm kn σ a a,cm 9,059,5cm cm Vrijednost normalnog napona u vlaknu b: M 000kNcm kn σ b b 7,587cm 7,96,5cm cm 90,59 MPa 79,6 MPa U programu MdSolids urađena je provjera raspodjele normalnog napona. Raspodjela normalnog napona prikazana je slikom:
. Raspodjela tangencijalnog napona vlakno a 0 vlakno d vlakno e vlakno c,0 0,6 0,9 vlakno b Tangencijalni napon računa se po formuli: FT S τ gdje je: F T transferzalna sila u presjeku, S statički moment površine iznad vlakna do konture poprečnog presjeka, uzimajući konturu suprotno od neutralne ose. Za krajnja vlakana a i b statički moment površine jedank je nuli. - aksijalni momenat površine, - širina vlakna u kome se određuje vrijednost tangencijalnog napona. Tangencijalni napon u krajnjim vlaknima poprečnog presjeka a i b jednak je nuli, jer je i statički moment površine jedank je nuli. 0 cm 0 Tangencijalni napon u vlaknu c jednak je: FT Sc 5kN 57,9cm kn τ c 0,0 c,5cm 0cm cm Statički moment površine za vlakno c je: S 0 9,5 7,587 57,9cm,0MPa cm 9,5-7,587 vlakno d vlakno c neutralna osa Tangencijalni napon u vlaknu d je: FT Sd 5kN 57,9cm kn τ d,06,5cm cm cm d 0,6MPa Tangencijalni napon u vlaknu e je: FT Se 5kN 57,56cm kn τ e,09,5cm cm cm S e e 7,587 7,587 / 57,56cm 0,9MPa 7,587 7,587/ vlakno e neutralna osa cm