Otvorena struna i nekomutativna elektrodinamika

Otvorena struna i nekomutativna elektrodinamika B. Sazdović i D. S. Popović Institut za Fiziku, Beograd, Srbija Simetrije prostorno vremenskih jednačina kretanja za zatvorenu strunu za otvorenu strunu da bi se održala ista simetrija uvodi se vektorsko polje, A µ, na krajevima otvorene strune kalibraciona simetrija polja A µ Nekomutativna elektrodinamika U prisustvu antisimetričnog polja B µν Svetska zapremina Dp-brane postaje nekomutativana mnogostrukost Polje A µ se transformiše kao vektorsko polje u nekomutativnoj elektrodinamici

Dejstvo 1 Dejstvo S = κ Σ d 2 ξ g [ 1 2 gαβ G µν + εαβ g B µν ] α x µ β x ν ξ α (α = 0, 1) koordinate svetske površi x µ (ξ) (µ = 0, 1,..., D 1) prostorno vremenske koordinate x i (ξ) (i = 0, 1,..., p) koordinate Dp-brane Struna propagira u prostoru sa pozadinskim poljima metrički tenzor G µν (x) antisimetrični tenzor B µν (x) = B νµ (x) Kanonski Hamiltonjian i tenzor energije impulsa H c = h T + h + T +, T ± = 1 4κ Gµν j ±µ j ±ν Struje preko promenljivih x µ i njihovih kanonski konjugovanih impulsa π µ j ±µ = π µ + 2κΠ ±µν x ν, Π ±µν B µν ± 1 2 G µν Dve nezavisne kopije Virasoro algebre {T ± (σ), T ± ( σ)} = [T ± (σ) + T ± ( σ)]δ (σ σ)

Simetrije prostorno vremenskih jednačina kretanja 2 Metrički tenzor svetske površi g αβ, izražen preko promenljivih svetlosnog konusa (h +, h, F ) g αβ = 1 2h h + h + h + 2 e2f h + h + 2 Difeomorfizam svetske površi ξ µ ξ µ + ε µ (ξ) δg µν = g µρ ρ ε ν + g νρ ρ ε µ ε ρ ρ g µν Prelaz na promenljivih svetlosnog konusa sa novim parametrima ε ± = ε 1 ε 0 h ± δh ± = 0 ε ± + h ± 1 ε ± ε ± 1 h ± δf = 1 (ε + + ε ) + (ε ε + ) 1(h + h + ) h h + ε+ h h +( 0F + h 1 F ) + Zatvaranje algebre ε h h +( 0F + h + 1 F ) [δ(ε 1 ), δ(ε 2 )]h ± = δ(ε 3 )h ± [δ(ε 1 ), δ(ε 2 )]F = δ(ε 3 )F Strukturne funkcije ε ± 3 = ε± 1 1ε ± 2 ε± 2 1ε ± 1

Klasična algebra 3 Generatori ε ± T ± ε T dσ[ε + (σ)t + (σ)+ε (σ)t (σ)] Algebra {ε 1 T, ε 2 T } = ε 3 T Za dati izbor strukturnih funkcija, sledi {T ± (σ), T ± ( σ)} = [T ± (σ) + T ± ( σ)]δ {T ±, T } = 0 To je Virasoro algebra sa ε ± = ε ± (ξ +, ξ ). Algebra 2D difeomorfizama: dve nezavisne kopije Virasoro algebre Zamenjuje princip konformne invarijantnosti sa principom 2D reparametrizacione invarijantnosti 2D metrika (konformni deo F ) se kvantuje

Kvantna algebra 4 Prelaz sa klasične na kvantnu teoriju Polja Operatori x µ ˆx µ, π µ ˆπ µ, T ± (ϕ) : ˆT ± (ϕ) : ϕ = {G µν, B µν, Φ} Poisson-ove zagrade Komutatori {A, B} = C [Â, ˆB] = i hĉ Kao posledica normalnog uredjenja narušava se Virasoro algebra (narušavaju se 2D difeomorfizmi) [ ˆT ± (σ), ˆT ± ( σ)] = i h[ ˆT ± (σ) + ˆT ± ( σ)]δ + gde je [ ˆL(σ) + ˆL( σ)]δ + [β Φ (σ) + β Φ ( σ)]δ [ ˆT ± (σ), ˆT ( σ)] = 0 ˆL (β G µν + βb µν )Ôµν 2D difeomorfizmi na kvantnom nivou Klasične prostorno vremenske jednačine kretanja β G µν (ϕ) = 0, βb µν (ϕ) = 0, βφ (ϕ) = 0 Moguće je naći rešenja i simetrije kompletnih prostorno vremenskih jednačine kretanja, čiji eksplicitni oblik nije poznat

Simetrije kompletnih jednačina kretanja 5 Uopštenje prilaza M. Evans, B. A. Ovrut, I. Giannakis,... baziranog na konformnoj teoriji polja Zamenom principa konformne invarijantnosti sa principom 2D reparametrizacione invarijantnosti 2D metrika (konformni deo F ) se kvantuje Varijacija polja ϕ ϕ + δϕ prouzrokuje ˆT ± (ϕ) ˆT ± (ϕ + δϕ) = ˆT ± (ϕ) + δ ˆT ± (ϕ) Ako je ϕ + δϕ takodje jednačina kretanja, sledi [ ˆT ± (ϕ+δϕ) σ, ˆT ± (ϕ+δϕ) σ ] = i h[ ˆT ± (ϕ+δϕ) σ + ˆT ± (ϕ+δϕ) σ ]δ [ ˆT ± (ϕ + δϕ) σ, ˆT (ϕ + δϕ) σ ] = 0 Uslovi simetrije jednačina kretanja [ ˆT ± (σ), δ ˆT ± ( σ)]+[δ ˆT ± (σ), ˆT ± ( σ)] = i h[δ ˆT ± (σ)+δ ˆT ± ( σ)]δ [ ˆT ± (σ), δ ˆT ( σ)] + [δ ˆT ± (σ), ˆT ( σ)] = 0 Opšte rešenje δ Λ ˆT± (σ) = i[ˆγ Λ, ˆT ± (σ)] ˆΓΛ = dσυ(λ(x), Ô)

Simetrije zatvorene strune 6 Tenzor energije impulsa bilinearan po srujama ˆT ± = 1 4κ Gµν ĵ ±µ ĵ ±ν ĵ ±µ = ˆπ µ +2κ(B µν ± 1 2 G µν)ˆx ν δ ˆT ± = 1 2κ (δb µν ± 1 2 δg µν)ĵ µ ±ĵν Ako izaberemo generator u obliku ˆΓ Λ = 2κ [ˆΓ Λ, ˆT ± (σ)] = i π π dσλ µˆx µ 2κ ( µλ ν ν Λ µ )ĵ µ ±ĵν tada su transformacije simetrije δ Λ B µν = µ Λ ν ν Λ µ δ Λ G µν = 0

Simetrije otvorene strune 7 Drugačiji interval integracije ˆΓΛ = 2κ π 0 dσλ µ (x)ˆx µ tako da granični član narušava simetriju [ ˆΓΛ, ˆT ± ] = i 2κ ( µλ ν ν Λ µ )ĵ µ ±ĵν iĵµ ± Λ µ[δ(σ π) δ(σ)] Da poništimo nehomogeni član, menjamo izraz za struje i tenzor energije impulsa ĵ ±µ = ĵ ±µ + j µ, ˆT± = 1 4κ Gµν ĵ ±µ ĵ ±ν Tražimo j µ (x) tako da izmenjena teorija ima istu simetriju kao zatvorena struna. Sledi δ Λ j µ = 2κΛ µ [δ(σ π) δ(σ)] Uvodimo novo polje A µ (x) definisano samo na krajevima strune j µ = 2κA µ [δ(σ π) δ(σ)] čija ja kalibraciona transformacija δ Λ A µ = Λ µ

Dejstvo izmenjene teorije otvorene strune 8 σ-model Lagranžijan L = π µ ẋ µ H, gde je H = T T + Posle eliminacije impulsa π µ na jednačinama kretanja = κ Σ S Σ d 2 ξ L d 2 ξ 1 2 gαβ G µν (x) + ε αβ B µν (x) α x µ β x ν +2κ dσa µ ẋ µ σ=π σ=0 u saglasnosti sa Lagranževim prilazom

Reducibilnost 9 Zatvorena struna reducibilna teorija za Λ µ = µ ε je ˆΓ Λ= ε = 2κ π π dσε = 0 Isti zaključak sledi iz relacije δb µν / Λ= ε = ( µ Λ ν ν Λ µ )/ Λ= ε = 0 Teorija zatvorene strune nije reducibilna za Λ µ = µ ε sledi ˆΓΛ= ε ˆΓε = 2κ π 0 dσε = 2κ[ε(π) ε(0)] Odgovarajuća kalibraciona simetrija je Abelova δ ε B µν = 0, δ ε A µ = µ ε što se takodje vidi iz relacije [ ˆΓε1, ˆΓε2 ] = 0

Nekomutativna elektrodinamika 10 U prisustvu antisimetričnog polja B µν, svetska zapremina Dp-brane, na kojoj se završavaju krajevi otvorene strune, postaje ne komutativna Za koordinate x i, koje zadovoljavaju Neumann-ove granične uslove, nekomutativnost se pojavljuje samo na krajevima strune [ˆx i, ˆx j ] = ±iθ ij za (σ = 0, π) Θ ij = 1 κ (G 4BG 1 B) 1 BG 1 Sledi [ε 1 (ˆx), ε 2 (ˆx)] = ±iε 3 (ˆx), (σ = 0, π) ε 3 Θ ij i ε 1 j ε 2 U unutrašnjosti strune koordinate komutiraju, dok je na krajevima strune [ ˆΓε1, ˆΓε2 ] = 2iκ ˆΓε3

Klasična reprezentacija 11 Γ ε G ε gde G ε zavisi od novih koordinata i impulsa, tražimo da { G ε1, G ε2 } = 2κ G ε3 bude izomorfno sa gornjom kvantnom relacijom U zavisnosti od novih koordinata A i i odgovarajućih impulsa P j, koje zadovoljavaju Poisson-ove zagrade {A i (x), P j ( x)} = δ ij δ p (x x) rešenje je oblika G ε = 2κ dx[ε i P j + (ε A i A i λ) P j ]δ ij gde je Moyal proizvod. Kalibracione transformacije δ ε A i = {A i, G ε } = 2κD i ε, (D i ε = i +A i ε ε A i ) i jačina polja F ij F ij = i A j j A i κ(a i A j A j A i ) δ ε F ij = κ(f ij ε ε F ij )

Dejstvo 12 Iz relacije δ ε (F ij F ij ) = κ(f ij F ij ε ε F ij F ij ) sledi invarijantni izraz za dejstvo S = dx det G(F ij F ij ) Sve je u saglasnosti sa rezultatima dobijenim Lagranževim metodom