11 deđivanje položaja i tajektoije mateijalne tačke 1 1 KINEATIKA 11 deđivanje položaja i tajektoije mateijalne tačke snovni zadatak fizike (ϕνσιξ pioda) je izučavanje osnovnih svojstava piode, a jedno od tih svojstava je mateijalnost ateija se definiše kao supstancija od koje su sačinjeni fizički objekti, odn mateijom se smata sve ono što se čulima može osetiti i poseduje fizičke osobine ože se definisati kao istovemena manifestacija mase i enegije u vemenu i postou ateija uvek postoji u postou i nalazi se u pocesu nepekidnog ketanja i pomena Jedan os najstaijih zakona fizike, fomulisan u staoj Gčkoj, je Zakon odžanja mateije koji glasi: ateeeija se ne može unuštiti, niti iz ničega stvoiti, ona može samo da se menja i da pelazi iz jednog oblika u dugi Kako je mateija neaskidivo vezana s ketanjem to će naš pvi zadatak biti da se pozabavimo ovom pojavom Ketanje se može podeliti na: a) niže oblike ketanjamehanička ketanja i ketanja u fizičkim poljima, koja spadaju u više oblike nižeg ketanja i b) više oblike ketanjaketanja žive mateije Deo fizike koji se bavi izučavanjem najnižih oblika ketanja naziva se mehanika Cilj izučavanja mehanike je: a) utvđivanje uslova i uzoka koji dovode do pomene stanja mehaničkog ketanja ili miovanja i b) da na osnovu poznatih uzoka, osobina mateijalnih objekata i početnih uslova utvdi opštu teoijsku metodologiju kojom će se uspešno opisati ketanje Pod teminom opisivanja ketanja podazumevamo odeđivanje: tajektoije mateijalnog objekta; položaja mateijalnog objekta u svakom tenutku ketanja; pavca i smea ketanja mateijalnog objekta u svakom tenutku ketanja; bzine i ubzanja mateijalnog objekta u svakom tenutku ketanja Pod tajektoijom podazumevamo geometijsko mesto tačaka u postou koz koje mateijalni objekat sukcesivno polazi u pocesu ketanja Za odeđivanje položaja mateijalnog objekta potebno je odediti ti nezavisna paameta Pilikom izboa paametaa vodimo ačuna da se posmatano ketanje što jednostavnije opiše pisivanje ketanja pema načinu izboa paametaa ketanja može biti: a) piodno, b) vektosko i c) koodinantno Celokupno izučavanje acionalne mehanike se svodi na dva idealizovana modela: 1 model mateijalne tačke, kada su dimenzije tela daleko manje od dimenzija tajektoije i model kutog tela, tela koja ne menjaju oblik pod dejstvom spoljašnjih sila U daljem izlaganju koistićemo se modelom mateijalne tačke 111 Piodni način opisivanja ketanja Ti paameta koja teba odediti su: tajektoija, oijentacija tajektoije i efeentna tačka na tajektoiji (tačka na slici 11) i položaj mateijalne tačke u odnosu na efeentnu tačkulučnu ) koodinatu s = Kako se položaj mateijalne tačke menja u vemenu to je i njena lučna koodinata funkcija vemena s = s(t), što pedstavlja osnovnu kinematsku jednačinu Slika 11 deđivanje položaja mateijalne tačke pi piodnom opisivanju ketanja ketanja pi piodnom opisivanju ketanja Lučnu koodinatu ne teba poistovećivati sa peđenim putem mateijalne tačke u toku ketanja S Veza između peđenog puta i lučne koodinate data je u difeencijalnom obliku: ds = ds (11)
1 KINEATIKA Jednakost s = S važi samo ukoliko su ispunjeni sledeći uslovi: 1 s ( t = 0) = 0, ds > 0 tokom celog ketanja 11 Vektoski način opisivanja ketanja U postou izabeemo efeentnu tačku i nazovemo je pol (tačka na slici 1) Položaj mateijalne tačke odeđen je vektoom s početkom u polu i kajem u tački na tajektoiji gde se nalazi Slika 1 deđivanje položaja mateijalne tačke pi vektoskom opisivanju ketanja mateijalna tačkatačka Vekto se naziva vekto položaja mateijalne tačke Tajektoija mateijalne tačke pedstavlja hodogaf vektoa položaja Hodogaf nekog vektoa je geometijsko mesto tačaka koz koje polazi vh toga vektoa s fiksnim početkom Ti paameta koja teba odediti pi vektoskom opisivanju ketanja su: 1 intezitet vektoa položaja, pavac vektoa položaja i 3 sme vektoa položaja Kako se vekto položaja menja tokom vemena osnovna kinematska jednačina pi vektoskom opisivanju ketanja je = (t) 113 Koodinantni način opisivanja ketanja Postoje azni koodinantni sistemi za opisivanje ketanja: Dekatov, jleov, sfeni, cilindični, itd Dekatov koodinantni sistem se sastoji od ti uzajamno otogonalne ose,, z Vekto položaja mateijalne tačke možemo izaziti peko jediničnih vektoa,, z osa: i, j, k, espektivno (vidi sliku 13): i j k (,,z) z z Slika 13 deđivanje položaja mateijalne tačke pi opisivanju ketanja u Dekatovom koodinantnom sistemu = i j z k, (1) gde su i, j, z k komponente vektoa, a koeficijenti, i z su njegove skalane komponente i pedstavljaju lokaciju mateijalne tačke duž osa u odnosu na koodinantni početak
11 deđivanje položaja i tajektoije mateijalne tačke 3 Da bi odedili položaj mateijalne tačke u svakom tenutku moamo poznavati skalane komponente = ( t), = ( t), z = z( t), odnosno osnovne paametaske kinematske jednačine ketanja Veme meeno od početka ketanja t je nezavisan paameta Tajektoija mateijalne tačke odeđuje se iz paametaskih jednačina ketanja tako što veme t izazimo peko koodinate, t = ϕ(), gde je funkcija ϕ invezna funkcija funkciji = (t), i tako izaženo veme zamenimo u ostale dve paametaske jednačine Kao ezultat dobijamo jednačine dve povši = ( ϕ( )) i z = z( ϕ( )) u čijem se peseku dobija dobija kiva linijatajektoija (ako je to uopšte moguće) Intezitet vektoa položaja odeđujemo iz elacije = z 0, (13) a pavac peko uglova koje adijus vekto gadi sa pozitivnim smeovima, i ) = =, j) = = z, k ) = = Uzimajući u obzi (14a)(14c) lako je pokazati da je cos (, i ) cos (, j) cos (, k ) =, i z ose, (14a) z, (14b) z z z (14c) 1 (15) U slučaju dvodimenzionalnog ketanja (D), ketanja u fiksnoj avni, potebno je znati dve paametaske jednačine = (t) i = (t) i j Izaze za vekto položaja i njegov intezite dobijamo iz (1) i (13) stavljajući da je z = 0 = i j, (1a) = 0 (13a) dgovaajući uglovi koje vekto položaja gadi sa pozitivnim smeovima i ose su:, i ) = =, j) = = (,) Sika 131 deđivanje položaja mateijalne tačke pi opisivanju ketanja u Dekatovom 0 koodinantnom sistemu, (14a) (14b)
4 1 KINEATIKA Jednačina tajektoije je = ( ψ ( )), gde je t = ψ (), odnosno ψ je invezna funkcija funkciji = (t) 114 Piodni otogonalni tieda Spada u gupu poketnih koodinantnih sistema i koisti se pi piodnom opisivanju ketanja Čine ga ti međusobno otogonalne avni: oskulatona, tangentna i nomalna avan Najpe ćemo objasniti postupak konstuisanja piodnog otogonalnog tieda, koji je pikazan na sl14 U tački, mestu na tajektoiji gde se nalazi mateijalna tačka, povučemo tangentu na tajektoiju Jedinični vekto tangente τ usmeen je u smeu poasta lučne koodinate skulatona avan polazi koz tangentu i u tački najbolje naleže na tajektoiju Tangentna avan polazi koz tangentu i nomalna je na oskulatonu avan Nomalna avan u tački je nomalna na tangentnu i na oskulatonu avan binomala tangenta τ b n tangentna avan nomalna avan glavna nomala oskulatona avan Slika 14 Piodni otogonalni tieda U peseku nomalne i oskulatone avni je pava koje se naziva glavna nomala kive Jedinični vekto glavne nomale n usmeen je na konkavnu stanu tajektoije U peseku tangentne i nomalne avni nalazi se pava binomala, čiji jedinični vekto b skoji sa vektoima τ i n čini desnu oijentaciju: b = τ n 115 Podela ketanja Pema obliku tajektoije ketanja se dela na: a) pavolinijska i b) kivolinijska U svakoj tački tajektoije možemo definisati polupečnik tajektoije ρ i centa kivine C koji leži na glavnoj nomali Kužnica polupečnika ρ koju opisujemo iz C leži u oskulatonoj avni (vidi sl15) Iz tačke u tačku tajektoije ρ i C se u opštem slučaju menjaju 1 Definisaćemo novu fizičku vektosku veličinuvekto kivine tajektoije: k = n Za ρ pavolinijska ketanja u svakoj tački putanje moa biti ispunjeno da uslovu k = k = 0 n ρ ρ, što je ekvivalentno C τ Slika 15 Uz definiciju vektoa kivine tajektoije
1 Bzina 5 Kuta tela se mogu ketati: a) tanslatonoketanje kod koga svaka pava koja pipada telu se tanslatono pomea, tj svaka tačka date pave pelazi isti put i b) otaciono ketanjeketanje kod kojeg se mateijalne tačke kutog tela keću po koncetičnim kužnicama, a njihovi adijus vektoi pebisavaju istu povšinu u jedinici vemena 1 Bzina Bzina je vektoska veličina kojom se definiše tempo, pavac i sme ketanja Kao pojam pvi ju je uveo Galilej 11 Bzina pi vektoskom opisivanju ketanja Petpostavimo da se mateijalna tačka keće s leva na desno U tenutku t 1 = t nalazi se položaju, označenim sa tačkom na tajektoiji, koji je definisan vektoom položaja 1 = ( t) U tenutku t = t nalazi se u tački 1, a vekto položaja ima vednost = ( t ) Pomena vektoa položajavekto pomeaja za vemenski inteval t = t t1 je: v v s 1 Slika16 Bzina i sednja bzina pi vektoskom opisivanju ketanja = 1 = ( t ) ( t) (16) Definišimo vekto sednje bzine kao odnos vektoa pomeaja i vemenskog intevala u kome je pomena nastala: vs = (17) Kao što se sa slike 16 vidi vekto sednje bzine ne daje tačnu infomaciju o pavcu i smeu ketanja Vekto tenutne bzine, koji nam daje pavu infomaciju, dobija se kada uzmemo beskonačno mali vemenski inteval 0 Smanjujući vemenski inteval t vektoi i v s popimaju sve više pavac tangente na tajektoiju i u ganičnom slučaju v s pelazi u vekto tenutne bzine (ili samo vekto bzine): d v = lim vs = lim = (18) 0 0 dt Kao što vidimo vekto bzine pedstavlja pvi izvod vektoa položaja po vemenu Vemenski izvod pomenljivog vektoa je uvek novi vekto, koji je po pavcu tangente na hodogaf tog pomenljivog vektoa Dakle, vekto bzine u svakoj tački tajektoije je po pavcu tangente na tajektoiju u datoj tački, iz azloga što je tajektoija hodogaf vektoa položaja Pi definisanju vektoa bzine veoma je važno uočiti azliku između vektoa d i d (vidi sl17) 1
6 1 KINEATIKA d d Slika 17 Razlika između vektoa d i d Dimenzija vektoa bzine je v(= ) l t, a jedinica u SI je m s 1 Bzina pi piodnom opisivanju ketanja Petpostavimo da je lučna koodinata mateijalne tačke u položaju označenom sa tačkom na slici 17: s 1 = s( t ), a u položaju 1: s = s( t ) Kako je vednost lučne koodinate funkcija vemena s = s(t) to veme možemo pikazati kao funkciju lučne koodinate t = ϕ(s), gde je ϕ invezna funkcija funkciji s = s(t) Takođe i vekto položaja možemo pikazati kao funkciju lučne koodinate = ( t) = ( ϕ( s)) v 1 s Polazeći od definicije vektoa bzine, (111), i činjenice da je vekto položaja funkcija lučne koodinate, vekto bzine možemo definisati na sledeći način: d ds v = (11) ds dt Skalanu veličinu koju ćemo definisati kao: s1 1 Slika 18 Vekto bzine pi piodnom opisivanju v = ds dt, (113) nazvaćemo algebaska vednost inteziteta vektoa bzine Nazvali smo je algebaskom vednišću je može imati vednosti i manje i veće od nule (naavno može imati i vednost nule) Ukoliko je vednost piaštaja lučne koodinate veći od nule ds > 0 tada je i v > 0, a ukoliko je ds < 0 tada je v < 0 Da bi definisali vekto bzine potebno je odediti novi vekto odnosno difeencijalni količnik d v ds Pavac novog vektoa Po definiciji d = lim (114) ds s 0 s Kako se s smanjuje se po pavcu sve više poklapa sa pavcem τ U ganičnom slučaju kada s 0 pavci će im se poklopiti što znači da novi vekto možemo izaziti peko τ Intezitet novog vektoa
1 Bzina 7 U ganičnom slučaju intenzitet piaštaja adijus vektoa je = s Na osnovu toga d s zaključujemo da je = lim = lim = = 1 ds s0 s s0 s s Sme novog vektoa Ako se kećemo u () smeu tada je s > 0 i algebaska vednost intenziteta vektoa veća je od nule Ako se kećemo u ( ) smeu tada je s < 0 i algebaska vednost inteziteta vektoa manja je od nule I u jednom i u dugom slučaju količnik algebaskih vednosti i s je veći od nule što nas navodi na zaključak da je sme novog vektoa u smeu τ Na osnovu svega navedenog novi vekto se može pedstaviti na sledeći način d = τ (115) ds Konačno, bzinu pi piodnom opisivanju ketanja definišemo kao v = v τ (116) 11 deđivanje lučne koodinate i peđenog puta ako je poznata algebaska vednost intenziteta vektoa bzine Iz definicije algebaske vednosti intenziteta vektoa bzine možemo izaziti elementani piaštaj lučne koodinate: ds = vdt (117) Integacijom (117) dobijamo izaz za tenutnu vednost lučne koodinate: gde je s 0 = s( t = 0) vednost lučne koodinate u tenutku t = 0 Peđeni put dobijamo iz veze u difeencijalnom obliku t s( t) = s0 vdt, (118) t= 0 ds = ds = v dt = v dt (119) Integacijom (119), uzimajući u obzi da je vemenskom intevalu t [ t1, t] : v = v(t) dobijamo izaz za peđeni put u t t t = ) 1 t1 S, v( t dt (10) Sada možemo definisati i sednju vednost inteziteta vektoa bzine kao konstantnu vednost intaziteta vektoa bzine pi kojoj mateijalna tačka peđe isti put za isto veme kao i da se ketala sa pomenljivom vednošću inteziteta vektoa bzine odnosno t t t ) 1 t1 S, = vs ( t t1) = v( t dt, (11) v s 1 t = v( t) dt (11a) t t1 t1 13 Bzina u Dekatovom koodinantnom sistemu Polazeći od definicije vektoa bzine (111) i izažavajući vekto položaja peko koodinata u Dekatovom koodinantnom sistemu (1) dobijamo izaz
8 1 KINEATIKA d v = ( i j z k ) (1) dt Kako su otovi i, j i k konstantni vektoi vekto bzine možemo napisati u sledećem obliku d d dz v = i j k, (1a) dt dt dt ili peko njenih skalanih komponenti (pikazanih na sl19) v = v i v j vz k, (13) gde su v = d dt, v = d dt, vz = dz dt (14) Ukoliko su nam poznate paametaske jednačine ketanja = ( t), = ( t), z = z( t) vekto bzine odeđujemo na sledeći način: 1) Intenzitet v = ( d / dt) ( d / dt) ( dz / dt) ; (15) v v v v z i j k z Slika 19 Vekto bzine u Dekatovom koodinantnom sistemu ) Pavac Uglove koje vekto bzine zaklapa sa pozitivnim smeovima,, z osa su d dt d dt dz dt v, i ) =, v, j) =, v, k ) = ; (16) v v v 3) Sme Infomacija o smeu je sadžana u (16) iz azloga što su u bojiocima datih količnika vednosti pojekcije vektoa bzine, koju mogu biti i pozitivne i negativne Ako se ketanje odvija u fiksnoj avni (ketanje u D) (15) i (16) se pojednostavljavaju stavljajući da je v z = 0 : v = ( d / dt) ( d / dt) ; (15a) v, i ) = v v, v, j) = v v (16a)
14 Skalana ugaona bzina 1 Bzina 9 Posmatamo otaciono (kužno) ketanje mateijalne tačke po kužnici polupečnika R (vidi sl110) Na kužnici poizvoljno izabeemo efeentnu tačku Položaj mateijalne tačke odeđivaćemo u odnosu na pavac koji je odeđen polupavom koja polazi od centa kužnice i polazi koz efeentnu tačku čigledno da je položaj mateijalne tačke u poizvoljnom tenutku ketanja t, položaj obeležen sa 1 na slici, odeđen ugaonom koodinatom θ C p o θ R θ 1 R Sl110 deđivanje položaja mateijalne tačke pi otaciji Tažimo fizičku veličinu koja kaakteiše pomenu ugaone koodinate u vemenu U tenutku t mateijalna tačka se našla u položaju i za veme t je pebisala ugao θ Sednja ugaona bzina definiše se kao ω s = θ, (17) dok tenutnu ugaonu bzinu tažimo kao ganičnu vednost sednje ugaone bzine 15 Vektoska ugaona bzina θ dθ ω = lim ω s = lim = (18) 0 0 dt Vektosku ugaonu bzinu dobijamo tako što pebisani ugao definišemo kao vektosku veličinu U opštem slučajevima ketanjaketanja koja se ne odigavaju u fiksnim avnima to možemo uaditi samo pi beskonačno malim (infinitezimalnim) pomenama pebisanog ugla Na koji način pebisani ugao za veme definišemo kao vektosku veličinu θ? Vekto θ ima intezitet θ = s R, pavac je nomalan na pebisanu povšinu, a sme mu je u smeu penetacije desne zavojnice kada je zaotiamo u smeu ketanja mateijalne tačke na kužnoj tajektoiji Vekto sednje ugaone bzine definišemo peko vektoa pebisanog ugla: ω θ ω s =, (19) a vekto tenutne ugaone bzine (ili samo ugaone bzine) nalazimo kao ganičnu vednost vektoa sednje ugaone bzine: ω = lim ωs 0 θ dθ = lim = (130) 0 dt Jedinica u SI za ugaonu bzinu je ad s po C s θ θ R θ 1 R s Slika 111 Vektoi pebisanog ugla i ugaone bzine pi otacionom ketanju