Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,.
Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri i osobine.......................... 3.. Kriterijumi z konvergeniju......................... 7.3. Nesvojstveni integrl s više singulritet...................4. Glvn vrednost integrl............................ Nesvojstveni višestruki integrl 4.. Nesvojstveni integrl nenegtivnih funkij................. 4.. Nesvojstveni integrl funkij promenljivog znk.............. 7 3. Nesvojstveni prmetrski integrl 3.. Rvnomern konvergenij.......................... 3.. Funkionln svojstv............................. 4 3... Grničn vrednost i neprekidnost................... 4 3... iferenirnje nesvojstvenog integrl................ 6 3..3. Integrij nesvojstvenog integrl.................. 8 3.3. Ojlerovi integrli................................ 33 3.3.. Gm funkij............................. 33 3.3.. Bet funkij.............................. 34 Litertur 37
. Nesvojstveni jednostruki integrl U definiiji odred enog integrl f() uzimli smo d je oblst integrisnj končn, podintegrln funkij f() definisn i ogrničen n končnom intervlu [, b]. Ukoliko jedn od ovih uslov nije ispunjen, definiij odred enog integrl gubi smiso, jer integrlne sume neogrničenih funkij nemju končn es, beskončne intervle ne možemo podeliti n n končnih intervl. bismo obuhvtili ovkve slučjeve (kod kojih grnie integrije nisu končne ili podintegrln funkij nije končn), uvodimo pojm nesvojstvenog integrl... efiniij, primeri i osobine efiniij. Nek je funkij f definisn u intervlu [, b) i integrbiln n svkom segmentu [, β] [, b). Ako postoji es β f() β b on se nziv nesvojstvenim integrlom funkije f n intervlu [, b) i oznčv s Često se simbol ukoliko β b f(). f() nziv nesvojstvenim integrlom s singulritetom u tčki b i β f() postoji i končn je, kže se d nesvojstveni integrl f() konvergir, u suprotnom slučju se kže d f() divergir. Inče, nije teško pokzti d u slučju d je funkij f definisn n segmentu [, b] i d je integrbiln u Rimnovom β smislu n njemu, vži f() = f(), p zto ne može doći do zbune zbog β b ovog dvostrukog korišćenj simbol Slično se definiše nesvojstveni integrl f(). f() s singulritetom u tčki. 3
Primer. Ispitti konvergeniju integrl, koji z α > im singulritet u tčki. α Njpre, z α odredimo Prelskom n es immo lje je ε = α α = α ε α ( ε α ) ε + kle, nesvojstveni integrl { α ( e ε ) =, α <, α, α >. ε + = ( ln ε) =. ε + konvergir z α < i divergir z α. α efiniij. Nek je funkij f definisn u intervlu [, ) i nek je integrbiln n svkom segmentu [, β] [, ). Ako postoji es β f(), β on se nziv nesvojstvenim integrlom funkije f n intervlu [, ) i oznčv s Često se simbol β f(). f() nziv nesvojstvenim integrlom s singulritetom. Ako β f() postoji i končn je, kže se d tj nesvojstveni integrl konvergir, u suprotnom slučju divergir. Slično se definiše i nesvojstveni integrl Primer. Ispitti konvergeniju integrl Nek je α. Td je Kko je β α = divergir z α. β β β = α β f()., α R. α { α (β α ) =, α >, α, α <. = ln β =, to možemo reći d β α konvergir z α >, 4
Ubuduće ćemo z ob nesvojstven integrl, iz efiniije i efiniije, koristiti simbol f() i govoriti d tj integrl im singulritet u tčki b, ko je funkij neogrničen n intervlu [, b), ili b =. rugim rečim, ko je funkij f definisn n končnom ili beskončnom intervlu [, b) i integrbiln n svkom segmentu [, β] [, b) ond nesvojstveni integrl β b β f() konvergir ko postoji končn f(), u suprotnom slučju nesvojstveni integrl divergir. Umesto β b β (ko je b končn broj), odnosno β b β f(). β Sve ovo vži i z integrle čiji je singulritet donj grni. Sledeći stv opisuje osobine nesvojstvenog integrl: Stv. Nek su f() i Td: Ako ti integrli konvergirju, vži jednkost (λf() + µg()) = λ β f() f() (ko je b = ), pisćemo krtko g() nesvojstveni integrli s singulritetom u tčki b. f() + µ g(), z λ, µ R. Ako je < < b, td f() = f() + f() konvergir ko i smo ko konvergir f(). 3 Ako su f i g gltke funkije i postoji končn es b (f g)(), ond konvergir ko i smo ko konvergir gde (fg)() b (f g )() = (fg)() b znči b f()g() f()g(). okz. Tvrd enje se dobij iz jednkosti β β (λf() + µg()) = λ f() i vži (f g)(). U tom slučju vži jednkost (f g)(), β f() + µ g() (f g )() 5
prelskom n es kd β b. Uzmimo β tko d je < < β < b. Td je β f() = f() + p tvrd enje ponovo sledi prelskom n. β b 3 Iz jednkosti β (f g )() = (fg)() β sledi β b β β β f() (f g)() (f g )() = β b (fg)(β) (fg)() β b β (f g)(). β Kko (fg)(β) postoji, to postoji i (f g )() ko i smo ko postoji β b β b β (f g)(). β b Primer 3. Integrl e konvergir, jer možemo npisti e = e + e ob nesvojstven integrl s desne strne konvergirju. Integrl, α R, divergir. Nime, npišimo α α = α + Z α divergir prvi, z α divergir drugi integrl n desnoj strni jednkosti. 3 Z nesvojstveni integrl = immo + α. = π + π = π. Npomenimo jos i sledeće: Ako je funkij f integrbiln n svkom segmentu oblik [, α] [, ) i n svkom segmentu oblik [β, b] (, b], < < b, definisćemo f() = f() + f(), ukoliko integrli s desne strne konvergirju. 6
.. Kriterijumi z konvergeniju U ilju utvd ivnj d li dti nesvojstveni integrl konvergir ili ne, koriste se rzni kriterijumi. Teorem. (Košijev kriterijum konvergenije integrl) bi nesvojstveni integrl f() konvergiro, neophodno je i dovoljno d z svko ε > postoji β, < β < b, tko d z svki pr β, β, β < β < β < b, vži β f() < ε. okz. Posmtrjmo funkiju ϕ() = β f(t)dt, < b. Integrl f() konvergir ko i smo ko postoji končn b ϕ(). To je ispunjeno ko i smo ko je ispunjen Košijev uslov ( ε > )( β )( β, β )(β < β < β < b ϕ(β ) ϕ(β ) < ε). No, ϕ(β ) ϕ(β ) = β f(). Jedn dovoljn uslov z konvergeniju dje: β Stv. Nek je f() g(), [, b). Ako konvergir. g() konvergir, ond i f() okz. Nek je ε proizvoljn pozitivn broj. Kko integrl g() konvergir, to β postoji β, tko d z β < β < β < b vži g() < ε. Iz pretpostvke stv sledi β β β f() efiniij 3. Nesvojstveni integrl f(). β β f() g() < ε. β β A. L. Cuhy (789 857), frnuski mtemtičr f() psolutno konvergir ko konvergir integrl 7
Iz Stv neposredno sledi: Posledi. Ako f() psolutno konvergir, ond on i konvergir. Primer 4. Nek je f() k, k = onst, α >, z [, ), >. Td α k integrl f() konvergir. Nime, integrl = k konvergir. α α Integrl konvergir. os konvergir. Ovo sledi iz nejednkosti os i činjenie d Pitnje psolutne konvergenije svodi se n pitnje konvergenije nesvojstvenih integrl nenegtivnih funkij. Sledi nekoliko kriterijum z konvergeniju integrl tkvih funkij. Stv 3. Z konvergeniju nesvojstvenog integrl potrebno je i dovoljno d postoji broj k, tko d je f(), f() z [, b), β f() k, β < b. okz. Zbog f() z [, b), funkij ϕ(β) = es β b ϕ(β) postoji ko i smo ko je on ogrničen. Stv 4. Nek je f() g() z < b i nek su β f() je rstuć. Končn () f() () g() nesvojstveni integrli s singulritetom b. Td iz konvergenije integrl () sledi konvergenij integrl (), iz divergenije integrl () sledi divergenij integrl (). okz. Oznčimo ϕ(β) = β f(), ψ(β) = β g(), β < b. Ako integrl () konvergir, ond postoji broj k tko d je ϕ(β) ψ(β) k, p integrl () konvergir. rugo tvrd enje stv je kontrpoziij prvog. 8
Primetimo d se, n osnovu Stv., u Stvu 4 uslov < b f() g() može zmeniti uslovom z neki broj, < < b. < b f() g() Stv 5. ti su nesvojstveni integrli () i (), pri čemu je g() >, z [, b). Ako f() postoji =,, ond iz konvergenije integrl (), pri <, sledi b g() konvergenij integrl (), iz divergenije integrl (), pri >, sledi divergenij integrl (). Speijlno, ko je < <, ond integrli () i () konvergirju, odnosno divergirju, istovremeno. okz. Nek integrl () konvergir i pri tome je <. Kko je b f() g() =, to z ε > postoji β < b, tko d je Odvde je p iz konvergenije integrl konvergenij integrl ε < f() g() < + ε, z β < < b f() < ( + ε)g(), β < < b, f(). g() ( smim tim i integrl ( + ε)g()) sledi i Nek integrl () divergir i pri tom je <. Td divergir i integrl (). Nime, pretpostvimo d integrl () konvergir. Iz pretpostvke sledi g() b f() =, <. Prem gore dokznom, zbog konvergenije integrl (), konvergiro bi i integrl (), što je kontrdikij. Primer 5. Nesvojstveni integrl <, integrl e konvergir. Ispitti konvergeniju nesvojstvenog integrl Kko je + =, integrl e konvergir, jer je e e, z. + konvergir, to i dti integrl konvergir. Videli smo d iz psolutne konvergenije sledi konvergenij nesvojstvenog integrl. obrnuto ne vži pokzuje sledeći primer: 9
Primer 6. Pokzti d integrl Integrl π π sin = [ π sin konvergir. U tom ilju npišimo os ] π π os = π os os konvergir (primer 4. ), odkle sledi d dti integrl konvergir. No, dti integrl ne konvergir psolutno. Nime, vži β π β sin π sin = β π β π os. Integrl π β π nije ogrničen, dok je integrl β os dokzuje se slično ko i konvergenij integrl divergir. π os ogrničen (konvergenij integrl π ). kle, Z nesvojstveni integrl koji konvergir, li ne konvergir psolutno, često se kže d konvergir uslovno. Jedn kriterijum z ispitivnje (ne psolutne) konvergenije je: Teorem. (Abel - irihle ) Nek su funkije f i g definisne n [, b) i integrbilne n svkom segmentu [, β] [, b). Z konvergeniju nesvojstvenog integrl dovoljno je d budu ispunjeni uslovi f()g() () f je neprekidn n [, b) i im ogrničenu primitivnu funkiju; () g je gltk n [, b) i monotono teži nuli z b; ili (A) f je neprekidn n [, b) i nesvojstveni integrl (A) g je gltk, monoton i ogrničen n [, b). sin f() konvergir; okz. Pretpostvimo d su ispunjeni uslovi ()i (). Nek je ε > proizvoljno. β Kko f im ogrničenu primitivnu funkiju, to postoji broj M, tko d je f() β < M z β < β < b. Funkij g() monotono teži nuli z b, p postoji β [, b) N. H. Abel (8 89), norveški mtemtičr P. L. irihlet (85 859), nemčki mtemtičr π sin
tko d je g() < ε z > β M. Prem drugoj teoremi 3 o srednjoj vrednosti integrl z β < β < β < b postoji ξ (β, β ) tko d vži jednkost Odvde je β β f()g() = g(β ) β β ξ β f() + g(β ) β ξ f(). f()g() < g(β ) M + g(β ) M < ε. Prem Teoremi, tvrd enje je dokzno. Slično se dokzuje tvrd enje teoreme u slučju kd su ispunjeni uslovi (A) i (A). Teorem se može dokzti i uz slbije uslove. Nime, pretpostvke o neprekidnosti funkije f, odnosno gltkosti funkije g, mogu se izostviti. Primer 7. Nesvojstveni integrl sin, R, n >, konvergir, jer funkij sin + n (z ) im ogrničenu primitivnu funkiju, monotono teži nuli z. + n.3. Nesvojstveni integrl s više singulritet U prethodnom odeljku je bilo reči o nesvojstvenim integr s jednim singulritetom, tj. s integrlom oblik f(), gde b R i funkij f je neogrničen u okolini tčke b ili b =. U ob slučj se kže d je singulritet u b. Nesvojstveni integrl oblik nčin: f() s singulritetim u i b (dkle s dv singulritet) se definiše n sledeći f() = f() + f() gde < < b i on po definiiji konvergir ko konvergirju ob integrl s desne strne. Prem Stvu. njegov konvergenij ne zvisi od tčke (, b). U slučju d je podintegrln funkij neogrničen u okolini jedne od unutršnjih tčk segment [, b], stvljmo f() = f() + f() 3 Teorem: Nek je f neprekidn, g monoton i gltk funkij n segmentu [, b]. Td postoji ξ [, b], tko d vži ξ f()g() = g() f() + g(b) ξ f().
zhtevjući d svki od integrl s desne strne konvergir. Primer 8. Integrl e = e + divergir, jer prvi integrl n desnoj strni divergir. e.4. Glvn vrednost integrl o sd smo rzmtrli nesvojstvene integrle ko uopštenje Rimnovog integrl, vezujući njihovu egzisteniju s egzistenijom odgovrjućih grničnih vrednosti. U slučjevim kd ove grnične vrednosti ne postoje ko končne, tj. kd nesvojstveni integrli ne egzistirju, moguće je ponekd postojnje tzv. glvne vrednosti nesvojstvenih integrl. Posmtrjmo njpre slučj nesvojstvenog integrl s jednim singulritetom u tčki (, b). Ako grnične vrednosti ε + ε f() i ε + +ε f() ne postoje z ε ε, li postoje z ε = ε = ε, tj. ko postoji ε f() + f() ε + td kžemo d nesvojstveni integrl i to oznčvmo s v.p. +ε f() postoji u smislu Košijeve glvne vrednosti f(). Slično ko funkij nije ogrničen smo u tčkm i b, ond se, ukoliko postoji grničn vrednost b ε f(), definiše Ako integrl v.p. ε + +ε f() = b ε ε + +ε f(). f() postoji ko nesvojstven, td postoji i odgovrjući v.p. dok obrnuto, u opštem slučju ne vži. f(),
Primer 9. Integrl ne postoji ko Rimnov integrl jer, kd. Tkod e, ovj integrl ne postoji ni ko nesvojstven jer ε + ε = (log ) ε + (log ) = log ε ε nem grničnu vrednost kd ε i ε nezvisno teže nuli. Med utim, ko je ε = ε = ε immo Odredimo v.p. I = v.p. =. 3 +. Kko kvdrtni trinom 3 + im relne nule = i =, korišćenjem ditivnog svojstv integrl u odnosu n oblst integrije, dti integrl se može npisti ko zbir tri integrl I = I + I + I 3, gde su ε I = v.p. 3 3 +, 3 I = v.p. 3 3 +, Sd immo ( I = log ε + Slično, ( I = log ε + ε ε 3 I 3 = v.p. 3 + log + log 3 3 +. +ε 3 +ε ) ) ( = log + ε ) ε + ε log = log. ( = log + ε ) ε + ε log = log. Njzd, p je I = log. I 3 = log 3 = log log = log, 3
. Nesvojstveni višestruki integrl Ko i u slučju funkij jedne promenljive, i ovde je ilj d proširimo pojm Rimnovog integrl kko u slučju kd je oblst integrije neogrničen, tko i u slučju neogrničenih funkij. Ob slučj posmtrćemo istovremeno. Njpre ćemo dti pojm monotonog pokrivč neke oblsti u prostoru R n. efiniij 4. Nek je R n dt oblst. Fmilij = { k k =,,...} otvorenih skupov monotono pokriv oblst ko su ispunjeni uslovi k = ; k= k k+ z k =,,... Fmiliju ćemo nzivti monotonim pokrivčem. efiniij 5. Nek je reln funkij f() definisn n oblsti R n i integrbiln n svkom merljivom podskupu skup. Posmtrjmo sve monotone pokrivče = { k k =,,...} koji imju svojstvo d je svki k merljiv skup. Ako z svku fmiliju postoji f() k k i ovj es ne zvisi od izbor fmilije, ond se on nziv nesvojstvenim višestrukim (ili n-) integrlom funkije f n skupu i oznčv s f() ili f(,..., n ) n. Često se simbol f() (ko je f ili neogrničeno) nziv nesvojstvenim integrlom, p se kže d tj nesvojstveni integrl konvergir, odnosno divergir, ko gore pomenuti es postoji (ko končn), odnosno ne postoji ili je beskončn... Nesvojstveni integrl nenegtivnih funkij Teorem 3. Nek je f : R, R n i f(),. bi nesvojstveni integrl f() konvergiro, potrebno je i dovoljno d br z jednu fmiliju = { k k =,,...} koj monotono pokriv oblst i gde su k merljivi skupovi, niz ( k ) k=, k = f(), bude ogrničen. k 4
okz. Ako f() konvergir, niz ( k ) k je konvergentn, dkle i ogrničen. Pretpostvimo d je niz ( k ) k ogrničen. Kko iz k k+ i f(), sledi f() f(), to je tj niz rstući, p postoji končn k = I. k k k+ Uočimo neku drugu fmiliju {E k k =,,...} koj monotono pokriv oblst i oznčimo b k = f(). E k Nek je k N proizvoljno. Nd imo k tko d je E k k. Td je i b k k I. kle (b k ) k je ogrničen niz. Ko rstući, ovj niz im es; nek je b k = I. k Iz prethodnog sledi d je I I. Zmenjujući uloge nizovim ( k ) i (b k ) dobijmo nejednkost I I, odkle sledi I = I. Primer. Z izrčunvnje integrl e y dy R uočimo fmiliju { k k =,,...}, k = {(, y) R + y < k }. Td je k = e y dy. Posle prelsk n polrne koordinte immo k = π k dθ k re r dr = π( e k ). Očigledno k = π. k Primetimo d se dti nesvojstveni integrl može izrčunti i ko k E k ( e +y ) dy gde je E k = {(, y) R k < < k, k < y < k }, k =,,... Iz k e y dy = k e e y dy = k e E k k k k sledi π = k k e = k e 5
i ztim e = π Ovj integrl se obično nziv Ojler-Posonovim 4 integrlom. Nvedimo sd neke kriterijume pored enj z ispitivnje konvergenije nesvojstvenih integrl. Teorem 4. Nek su f i g dve nenegtivne funkije definisne u oblsti R n, integrli f() i g() su nesvojstveni i vži nejednkost f() g(),. Ako g() konvergir, ond konvergir i f(). konve- okz. Z monotoni pokrivč { k k =,,...} skup, niz rgir. Kko je f() g(), ( k g() ) k to je niz ( k f() ) k k k ogrničen, p kko je i monoton, on je i konvergentn. Posledi. Ako funkije f i g zdovoljvju uslove Teoreme 4 i f() divergir, ond i g() divergir. Stv 6. Ako je f(), R n, f() konvergir i E im monoton pokrivč, ond i E f() konvergir i vži nejednkost E f() f(). okz. Konstruišimo funkiju ϕ : R formulom { f(), E, ϕ() =, \E. Očigledno je ϕ() f() z, odkle sledi ϕ() f(). 4 L. Euler (77 783), švjrski fizičr i mtemtičr S.. Poisson (78 84), frnuski fizičr i mtemtičr 6
S druge strne, z proizvoljn monoton pokrivč { k k =,,...} skup vži ϕ() ϕ(). k E Prelskom n es z k immo f() k f(). E.. Nesvojstveni integrl funkij promenljivog znk efiniij f(). 6. Nesvojstveni integrl f() psolutno konvergir ko konvergir Teorem 5. Nesvojstveni integrl konvergir psolutno ko i smo ko konvergir u običnom smislu. okz. Pretpostvimo d je reln funkij f definisn u oblsti R n. S f + i f oznčimo funkije definisne formulm f + () = f() + f(), f () = ili, zpisno u drugčijem obliku { { f(), z f() f + () =, z f() <, f () = Sledeće nejednkosti f() f(),,, z f() f(), z f() <,. (3) f + () f(), f () f(),, ko i jednkosti (4) f() = f + () f (), f() = f + () + f (),, očigledne su. Ako f() psolutno konvergir, tj. ko f() konvergir, ond prem (3) i Teoremi 4 konvergirju f + () i f (). N osnovu jednkosti (4) lko se vidi d konvergir i f(). Obrtno, nek konvergir f(). Pretpostvimo suprotno, d f() divergir. 7
Kko je f(), to f() divergir k beskončnosti i možemo nći monotoni pokrivč { k k =,,...} skup, tko d je (5) f() > 3 f() + k, k =,,... k+ k Oznčimo k+ \ k = E k. Iz (5) sledi (6) f() > E k Koristeći (4) immo k f() + k. E k E k f() = f + () + E k f (). Od dv integrl n desnoj strni poslednje jednkosti, jedn je veći ili jednk drugom. Odred enosti rdi, pretpostvimo d je f + () f (). E k E k Iz ove nejednkosti i (6) sledi f + () > E k k f() + k. Izberimo tkvu podelu T = {V i } i skup E k d bude mi µv i > f() + k, m i = inf f +(). V i k Oznčimo s P k = j {V j T m j > }, k P k = Q k. Td je (7) f() = f + () > f() + k. P k P k k Iz (7) i očigledne nejednkosti f() > f() sbirnjem sledi k k Q k f() > k. 8
{ (Q k Po konstrukiji je ) } k N monoton pokrivč skup, te n osnovu poslednje nejednkosti sledi d je f() divergentn, što je kontrdikij. Primetimo d dokzn teorem o psolutnoj konvergeniji nesvojstvenog višestrukog integrl nije u kontrdikiji s pozntom činjeniom d postoje obični (jednostruki) nesvojstveni integrli koji konvergirju uslovno (primer 6). Nime, definiij (jednostrukog) nesvojstvenog integrl (dt u prvom delu), ne dobij se ko speijln slučj efiniije 5 nesvojstvenog n-integrl z n =. 9
3. Nesvojstveni prmetrski integrl Posmtrjmo prmetrske integrle oblik (8) I(y) = f(, y) koji su (br z neke y) nesvojstveni s singulritetom b, tj. tkve d ili je b =, ili je b končno, li je funkij f(, y) neogrničen u okolini tčke = b. Sv rzmtrnj mogu se nlogno preneti n slučj nesvojstvenih integrl čiji je singulritet donj grni, ko i one kod kojih su singulriteti obe grnie, ili je, pk, singulritet u unutršnjosti intervl integrije. Nesvojstveni integrl (8) konvergir z neko y ko z tu vrednost prmetr postoji končn grničn vrednost β b F (β, y) gde je F (β, y) = β f(, y). 3.. Rvnomern konvergenij efinisćemo sd pojm rvnomerne konvergenije nesvojstvenog prmetrskog integrl. efiniij 7. Z integrl (8) kžemo d rvnomerno konvergir po y Y (gde Y R) ko F (β, y) I(y) (β b) po y Y, tj. ko z svko ε > postoji β [, b) tko d z svko y Y i svko β, β < β < b, vži I(y) F (β, y) = f(, y) < ε. Primer. Integrl y rvnomerno konvergir po y Y, jer z y : β β konvergir z y >. Ako Y = [, ), ond tj integrl y = (y )β y β (β )
Med utim, ko je Y = (, ), dti integrl ne konvergir rvnomerno n Y. Zist, z dto β (, ) vži β = (y + ) y (y )βy p se z dto ε > ne može izbrti β (, ), tko d nejednkost z β > β, istovremeno z sve y Y. β y < ε vži Opšti Košijev prinip konvergenije dje sledeći neophodn i dovoljn uslov rvnomerne konvergenije nesvojstvenog prmetrskog integrl. Teorem 6. Integrl (8) rvnomerno konvergir po y Y R ko i smo ko z svko ε > postoji β [, b) tkvo d z sve β, β z koje je β < β < β < b i z svko β y Y vži f(, y) β < ε. Posledi 3. Ako je podintegrln funkij f integrl (8) neprekidn n [, b) [, d] i tj integrl konvergir z y (, d), li divergir z y = (odnosno y = d), ond on nervnomerno konvergir n (, d). okz. Pretpostvimo d integrl (8) divergir, n primer, z y =. Td postoji ε >, tko d se z svko β [, b) mogu se nći β, β (β, b) z koje je β β f(, ) β > ε. Integrl f(, y) je (svojstveni) prmetrski integrl koji je β neprekidn funkij od y (, d) (n osnovu stv 5 koji dje dovoljn uslov neprekidnosti funkije (8)). Znči, z vrednosti y dovoljno bliske, vžiće i nejednkost β f(, ) > ε. kle, nisu ispunjeni uslovi prethodne teoreme z rvnomernu konvergeniju integrl (8) n (, d). β Primetimo d n osnovu ove posledie neposredno dobijmo zključk o nervnomernoj konvergeniji integrl n (, ). y Nvedimo sd neke dovoljne uslove rvnomerne konvergenije nesvojstvenog integrl. Stv 7. (Vjerštrsov 6 kriterijum) Nek je ϕ : [, b) R integrbiln funkij (tj. nek konvergir ϕ()), tkv d je f(, y) ϕ() z sve [, b), y Y R. Td integrl (8) rvnomerno konvergir po y Y. 5 Stv: Nek je P prvougonik [, b] [, d] i nek je f(, y) neprekidn funkij n P. Td je I(y) neprekidn funkij n [, d]. 6 K. Weierstrss (85 897), nemčki mtemtičr
okz. Iz konvergenije integrl β ϕ() sledi d z svko ε > postoji β [, b), tkvo d z sve β, β (β, b) vži ϕ() < ε. Td je, z sve y Y, β β β β f(, y) f(, y) ϕ() < ε, β β β što n osnovu Teoreme 6 znči d integrl (8) rvnomerno konvergir n Y. Primer. Integrl ispunjeno os y +, + Integrl os y + rvnomerno konvergir po y R jer je z svko y R konvergir. + α ( ) β im singulritete u = (z α < ) i u = (z β < ). On konvergir rvnomerno po α z α α > (z fiksirno β > ), ko i po β z β β > (z fiksirno α > ). Zist, z < <, β > i α α je integrl α ( ) β α ( ) β, α ( ) β konvergir. Slično se dokzuje drugo tvrd enje. Vjerštrsovim kriterijumom ne može se dokzti rvnomern konvergenij nepsolutno konvergentnog integrl. U tkvim slučjevim koristimo sledeći stv: Stv 8. (Abel - irihleov kriterijum) Nek su funkije f(, y) i g(, y) definisne z [, b) i y Y R i nek su z svko y Y integrbilne po n svkom segmentu [, β] [, b). Z rvnomernu konvergeniju nesvojstvenog integrl (9) f(, y)g(, y) po y Y dovoljno je d budu ispunjeni uslovi: () z svko y Y funkij f(, y) je neprekidn po [, b) i im rvnomerno β ogrničenu primitivnu funkiju, tj. postoji konstnt M, tkv d je f(, y) M z sve y Y i sve β [, b); () z svko y Y funkij g(, y) je neprekidno diferenijbiln i monoton po [, b) i g(, y) ( b) po y Y ; ili (A) z svko y Y funkij f(, y) je neprekidn po [, b) i nesvojstveni integrl f(, y) rvnomerno konvergir po y Y ; (A) z svko y Y funkij g(, y) je neprekidno diferenijbiln i monoton po [, b); tkod e, g je rvnomerno ogrničen po [, b) i y Y.
okz. okzćemo d su uslovi () i () dovoljni z rvnomernu konvergeniju integrl (9). Slično se dokzuje i z uslove (A) i (A). Nek su β, β [, b), β < β i nek je ε > proizvoljno. N osnovu druge teoreme o srednjoj vrednosti integrl vži β β f(, y)g(, y) = g(β, y) ξ β f(, y) + g(β, y) β ξ f(, y) z neko ξ [β, β ]. N osnovu pretpostvke () integrli n desnoj strni ove jednkosti mogu se po psolutnoj vrednosti ogrničiti nekom konstntom k (uniformno po y Y ). Iz pretpostvke () sledi d se može nći β [, b) tko d ko je β, β > β vži g(β, y) < ε i g(β k, y) < ε, istovremeno z sve y Y. Iz prethodne jednkosti k β sledi d je z tkve β, β ispunjeno f(, y)g(, y) < ε, što n osnovu Teoreme 6 β znči d je integrl (9) rvnomerno konvergentn po y Y. Ovj stv vži i pod nešto slbijim pretpostvkm - uslovi d je f neprekidn, g gltk funkij mogu se izostviti. Primer 3. Integrl integrl primer, integrl e y f() rvnomerno konvergir po y ko konvergir f(). To sledi jer su ispunjeni uslovi (A), (A) prethodnog stv. N sin e y rvnomerno konvergir po y. sin Integrl rvnomerno konvergir po y y y >, jer su ispunjeni uslovi (), (). Primetimo d n osnovu Posledie 3, on ne konvergir rvnomerno po y >, jer ne konvergir z y =. 3 sin y Integrl konvergir z svko y R. N skupu Y = {y R y }, z neko >, tj integrl konvergir rvnomerno. Zist, kko nije singulritet tog integrl, možemo posmtrti smo njegovo ponšnje kd. No, td tvrd enje lko sledi iz irihleovog kriterijum. Med utim, ovj integrl nije rvnomerno konvergentn n R. Zist, z β > vži sup y R β sin y = sup α> α sin sin >. 3
3.. Funkionln svojstv Ispitivnje osobin funkij definisnih nesvojstvenim prmetrskim integr po prvilu je komplikovnije od odgovrjućeg problem u slučju svojstvenih integrl. Nime, kod nesvojstvenih integrl pojvljuje se još jedn (treći) grnični prelz o kojem treb voditi rčun prilikom potrebne promene poretk. 3... Grničn vrednost i neprekidnost Teorem 7. Nek je funkij f(, y), z svko y iz neke okoline V tčke y R, integrbiln po [, β] z svko β z koje je < β < b. Ako: z svko tkvo β vži f(, y) ϕ() (y y ) n [, β] nesvojstveni integrl td ϕ() konvergir i vži f(, y) rvnomerno konvergir n V, () f(, y) = ϕ(). y y okz. Oznčimo F (β, y) = sledi d je y y F (β, y) = F (β, y) β f(, y). Iz pretpostvke i odgovrjućeg stv 7 β ϕ(). S druge strne, uslov znči d f(, y) (β b) po y V. N osnovu opšte teoreme 8 o promeni poretk grničnih prelz zključujemo d postoji β b je f(, y). y y β ϕ() = ϕ() i jednk 7 Stv: Ako je funkij f(, y) integrbiln po n segmentu [, b] z svko y iz neke okoline V tčke y R i ko f(, y) ϕ() (y y ) po [, b], ond je I(y) = y y ( ) f(, y) = y y ϕ(). 8 Teorem: Nek je f t : A R (t T R, A R) fmilij relnih funkij, t R tčk ngomilvnj skup T i R tčk ngomilvnj skup A. Ako f t f (t t ) n A, z svko t T postoji f t () = b t, td postoje f() i b t i vži f() = b t, tj. t t t t f t () = f t () t t t t 4
Prover uslov nvedene teoreme nekd se može izvesti korišćenjem inijevog 9 kriterijum. Posledi 4. Nek je, z svko y < y (y > y ) iz neke okoline V tčke y, f(, y) nenegtivn i neprekidn funkij od [, b) koj, kd y rstući (opdjući) teži y, rstući (po y) teži funkiji ϕ(), neprekidnoj n [, b). Ako integrl td vži jednkost (). ϕ() konvergir, okz. Monotonost konvergenije f(, y) ϕ() (y y ) obezbed uje, prem inijevom stvu, d je t konvergenij rvnomern n svkom segmentu [, β] [, b). S druge strne, nejednkost f(, y) ϕ(), koj vži z sve [, b) i sve y V, i konvergenij integrl ϕ() povlče d f(, y) rvnomerno konvergir po y V. N tj nčin ispunjeni su uslovi Teoreme 7, p vži jednkost (). Izveden tvrd enj omogućvju i nek jednostvn prvil o nesvojstvenoj integriji redov čln-po-čln. Posledi 5. Nek su člnovi red n () nenegtivne i neprekidne funkije n [, b) i n= nek je njegov zbir f() n [, b) neprekidn i integbiln funkij. Td se tj red može integristi čln-po-čln n [, b), tj. vži ( ) n () = n= n= n (). Neposredn posledi Teoreme 7 je i sledeć teorem o neprekidnosti funkije definisne nesvojstvenim prmetrskim integrlom. Teorem 8. Nek je funkij f neprekidn n [, b) [, d] i nek je (nesvojstveni) integrl I(y) = funkij n [, d]. f(, y) rvnomerno konvergentn po y [, d]. Primer 4. Izrčunti integrl ln( ), Td je I(y) neprekidn rzvijjući podintegrlnu funkiju u red. odefinišimo tu funkiju njenim esom u tčki =. Z < je td ln( ) = n n n= 9 Stv: nek je K R kompktn (dkle, ztvoren i ogrničen) skup i nek je ( n ()) n N monoton (po n) niz funkij neprekidnih n K. Ako n () () (n ) n K i ko je : K R neprekidn funkij, td n (n ) n K. 5
Tj red ne konvergir rvnomerno n [, ) (jer ne konvergir z = ). ispunjeni su uslovi Posledie 5, p vži Med utim, Pokzli smo d je integrl ln( ) = n = n n = π 6 n= n= I(y) = sin e y rvnomerno konvergentn po y [, ). Kko je njegov podintegrln funkij (dodefinisn jediniom z = ) neprekidn n [, ) [, d] z sve d >, to n osnovu Teoreme 8 zključujemo d je i funkij I(y) neprekidn n [, d] dkle i n [, ). Speijlno, vži I(y) = y y sin e y = sin. 3... iferenirnje nesvojstvenog integrl U sledećoj teoremi nvodimo dovoljne uslove z mogućnost primene Ljbniovog prvil n nesvojstvene prmetrske integrle. Teorem 9. Nek su ispunjeni sledeći uslovi: funkij f : [, b) [, d] R je neprekidn po [, b) z svko y [, d], funkij je definisn i neprekidn n [, b) [, d]; f y integrl I(y) = 3 integrl f(, y) konvergir z neko y = y [, d]; f (, y) rvnomerno konvergir n [, d]. y Td je funkij I(y) diferenijbiln n [, d] i vži () I (y) = f (, y). y Stv: Nek je P = [, b] [, d] i funkij f : P R zdovoljv sledeće uslove: f je neprekidn po [, b] z svko y [, d]; f im prijlni izvod f y koji je neprekidn funkij n P. Td je funkij definisn relijom f(, y) neprekidno diferenijbiln n [, d] i vži I (y) = f (, y). y 6
okz. Oznčimo F (β, y) = β f(, y) z < β < b. Uslov, n osnovu Ljbniovog kriterijum, obezbed uje d funkij F im prijlni izvod po y n [, d] i d vži N osnovu 3 vži F β (β, y) = y f (, y). y F b (β, y) y f (, y) y (β b) n [, d]. Njzd, iz sledi d funkij F (β, y) im z y = y grničnu vrednost kd β b. N tj nčin ispunjeni su svi uslovi teoreme o diferenijbilnosti grnične funkije fmilije diferenijbilnih funkij, p n osnovu nje zključujemo d F (β, y) I(y) (β b) n [, d] i vži formul (). Primer 5. Ko primer primene prethodne teoreme izrčunjmo irihleov integrl (y) = sin y, y R. Neposredn primen Ljbniovog prvil je nemoguć, jer bi se formlnim diferenirnjem dobio divergentn integrl os y. Posmtrjmo zto, z fiksirno α >, prmetrski integrl I(y) = sin y e α, y. Tj integrl zdovoljv sve uslove Teoreme 9: podintegrln funkij je neprekidn zjedno s svojim prijlnim izvodom po y (kd se pogodno dodefiniše z = ), integrl dobijen diferenirnjem e α os y = α y + α Teorem: Nek su f t : [, b] R diferenijbilne funkije z t T R i nek je t R tčk ngomilvnj skup T. Ako fmilij {f t t T } konvergir z neko [, b] kd t t ; fmilij izvodnih funkij {f t t T } konvergir rvnomerno n [, b] kd t t, ond fmilij {f t t T } tkod e rvnomerno konvergir n [, b] nekoj funkiji f koj je diferenijbiln i vži f () = f t t t(). 7
rvnomerno konvergir po y, jer se mjorir konvergentnim integrlom e α koji ne zvisi od y. Iz I (y) = α dobijmo I(y) = rtg y +. Zmenom y = dobijmo = I() =, p y +α α je () I(y) = rtg y α, α >. Ko u primeru 4., vži I(y) = α α sin y e α = sin y = (y), p iz () dobijmo (y) = π z y >. Kko je, očigledno, () = i (y) je neprn funkij od y, to je končno (y) = π sgny, y R. 3..3. Integrij nesvojstvenog integrl Kod integrije funkij definisnih nesvojstvenim prmetrskim integr rzlikujemo dv slučj: kd je tj novi integrl svojstven, odnosno nesvojstven. U prvom slučju ko žeo d promenimo redosled integrije mormo d vodimo rčun o tri grničn prelz, u drugom o četiri. Teorem. Ako vže pretpostvke Teoreme 8, tj. [, b) [, d] i (nesvojstveni) integrl I(y) = ond je funkij I(y) integrbiln n [, d] i vži ko je funkij f neprekidn n f(, y) rvnomerno konvergir n [, d], (3) d I(y)dy = d dy f(, y) = d f(, y)dy. okz. Iz neprekidnosti funkije f, n osnovu odgovrjućeg stv, sledi d z svko β [, b) vži (4) d β dy f(, y) = β d f(, y)dy. Stv: Nek je funkij f : P R neprekidn n prvougoniku P = [, b] [, d]. Td je funkij I : [, d] R definisn integrlom I(y) = d I(y)dy = d dy f(, y) integrbiln i vži f(, y) = d f(, y)dy. 8
β Kko fmilij funkij F (β, y) = f(, y), kd β b, konvergir integrlu f(, y), rvnomerno po y [, d], to iz odgovrjuće teoreme 3 sledi d lev strn jednkosti (4) teži d dy f(, y), kd β b. No, ond i desn strn im grničnu vrednost d kd β b i t grničn vrednost je f(, y)dy. U slučju nenegtivnosti podintegrlne funkije inijev kriterijum omogućv d se uslovi prethodne teoreme oslbe. Posledi 6. Ako je f neprekidn i nenegtivn reln funkij n [, b) [, d] i ko je I(y) = f(, y) neprekidn funkij n [, d], td vži formul (3). Kd je potrebno promeniti poredk dv nesvojstven integrl, uslovi koji to obezbed uju se dlje komplikuju. okzćemo smo jedno tvrd enje koje se odnosi n slučj nenegtivne podintegrlne funkije. Teorem. Nek je funkij f : [, b) [, d) R neprekidn i nenegtivn i nek ob (nesvojstven) integrl (5) I(y) = f(, y), J() = d f(, y)dy definišu neprekidne funkije (od y [, d), odnosno od [, b) ). Td vži jednkost (6) d dy f(, y) = d f(, y)dy pod pretpostvkom d br jedn od tih uzstopnih integrl konvergir. okz. Pretpostvimo, n primer, d konvergir integrl n levoj strni relije (6). Nek je β [, b). Td iz Posledie 6 dobijmo d je β d f(, y)dy = d β dy f(, y). S druge strne, zbog f(, y) je d β dy f(, y) d dy f(, y). 3 Teorem: Nek su f t : [, b] R integrbilne funkije z svko t T R i nek je t tčk ngomilvnj skup T. Ako f t f (t t ) n [, b], td je i f integrbiln funkij n [, b] i vži f() = f t (). t t 9
Iz poslednje dve relije sledi d i integrl n desnoj strni relije (6) konvergir i d vži d d f(, y)dy dy f(, y). N sličn nčin se dokzuje i obrnut nejednkost. Ov teorem ne vži bez pretpostvke o nenegtivnosti funkije f. Sledeć teorem dje dovoljne uslove promene poretk integrije z funkije promenljivog znk. Teorem. Ako vže sledeći uslovi: funkij f je neprekidn n [, b) [, d); ob nesvojstven integrl (5) rvnomerno konvergirju, prvi po y [, δ], z svko δ [, d), drugi po [, β], z svko β [, b); 3 konvergir br jedn od integrl d dy f(, y), d f(, y) dy td vži formul (6). Primer 6. Nek je f : [, ) R neprekidno diferenijbiln funkij, pri čemu je f monoton funkij i postoji f() = f(). okzćemo d td z sve, b > vži sledeć formul: (7) f(b) f() = [f() f()] ln b. Zist, nek je, n primer, < b. Nije ogrničenje opštosti ko pretpostvimo d je f rstuć i pozitivn funkij. Integrl f (y) rvnomerno konvergir po y [, b], jer se f (y) mjorir s f (b), integrl f() f() b ). Zto se n integrl dobij [f() f()] ln b = = dy Ko speijln slučj formule (7) dobij se, n primer, e b e f (b) konvergir (vrednost mu je f (y) može primeniti Teorem, p se f() f() b dy = dy f (y) = y f f(b) f() (y)dy =. = ln b, rtgb rtg = π ln b. 3
Polzeći od irihleovog integrl sin y = π, y > (primer 5)koji rvnomerno konvergir n svkom segmentu [, b] z b > dobijmo os os b = sin y b dy = dy 3 irektnim rčunom se dobij d je z funkiju f(, y) = y ( +y ) : dy f(, y) = π 4 π 4 = sin y = π (b ) f(, y)dy Pri tom integrli f(, y), f(, y)dy konvergirju rvnomerno (prvi po y [, ), drugi po [, ) ). Iz ovog primer zključujemo sledeće: () uslovi ko u Teoremi nisu dovoljni d bi vžil formul (3) u slučju d su ob integrl u njoj nesvojstveni; (b) uslovi Teoreme nisu dovoljni d bi vžil formul (6) ko podintegrln funkij f nije stlnog znk; () u dtom slučju nije ispunjen uslov 3 teoreme. 4 Primenom Teoreme izrčunćemo Frenelove 4 integrle sin, os Prvi od tih integrl se smenom = t trnsformiše u sin t t dt i konvergir prem irihleovom kriterijumu. Koristeći poznti rezultt dobijmo d z t > vži = e tu du, t π e u du = π, 4 A. J. Fresnel (788 87), frnuski fizičr i mtemtičr 3
p je sin = sin tdt π e tu du. irektn primen Teoreme n promenu redosled dobijenih integrl nije moguć. Zto ćemo, slično ko kod irihleovog integrl (primer 5) posmtrti, z neko fiksirno α >, integrl I(α) = sin t t e αt dt = e αt sin tdt π e tu du. Sd su uslovi Teoreme ispunjeni, jer je e αt e tu sin t e αt z sve t >, u >, integrl e αt dt konvergir. Tko dobijmo: I(α) = du π e (α+u )t sin tdt = du π + (α + u ). Kko integrl I(α) rvnomerno konvergir po α > (n primer, n osnovu irihleovog kriterijum), dobijeni integrl rvnomerno konvergir po α > (n osnovu Vjerštrsovog kriterijum), to prelskom n es kd α + dobijmo sin = I(α) = α + π du + u = 4 π N sličn nčin se izvodi d i integrl os im istu vrednost. 3
3.3. Ojlerovi integrli Med u njvžnije (neelementrne) funkije koje se definišu prmetrskim nesvojstvenim integr spdju bet i gm funkij koje se uvode Ojlerovim integr. 3.3.. Gm funkij Prmetrski integrl (8) Γ(α) = α e nzivmo gm funkijom ili Ojlerovim integrlom prvog red (ko što je to predložio Ležndr 5 ). Ovj integrl im singulritete = i (ko je α < ) =. Kd je =, jsno je d integrl konvergir z svko α R. Med utim, kd +, vži α e α, p zključujemo d integrl (8) konvergir ko i smo ko je α >. kle, domen funkije Γ je (, ). Nvedimo neke njene njvžnije osobine. Z svko α > vži (9) Γ(α + ) = αγ(α). Speijlno, z α = n N dobijmo () Γ(n + ) = nγ(n) = n(n )Γ(n ) = = n!, s obzirom d je Γ() = e =. N tj nčin, gm funkij se može shvtiti ko produženje fktorijel s skup prirodnih n skup pozitivnih relnih brojev. Još jedn posledi formule (9) je d pomoću nje možemo definisti Γ(α) i z neke negtivne vrednosti rgument. Nime, z < α < možemo po definiiji stviti Γ(α) = Γ(α+). Nstvljjui ovj postupk, funkij Γ se definiše z sve relne vrednosti α α, rzličite od i od negtivnih elih brojev. Funkij Γ je n svom (osnovnom) domenu (, ) beskončno diferenijbiln. 3 Osim što je funkij Γ : (, ) R konveksn, on je i logritmski konveksn, tj. funkij ln Γ je konveksn. 4 Vži sledeć Ojler-Gusov formul z gm funkiju Γ(α) = 5 A. Legendre (75-83), frnuski mtemtičr (n )! n nα α(α + ) (α + n ). 33
5 Jedn od vžnih gm funkij dt je sledećom formulom dopunjvnj () Γ(α)Γ( α) = π sin πα, < α <. 6 Stirlingov 6 formul opisuje simptotsko ponšnje funkije Γ ( smim tim i fktorijel) z velike vrednosti rgument: gde je < θ(α) <. Γ(α) = π α α e α+ θ(α) α, α >, 3.3.. Bet funkij Funkiju () B(α, β) = α ( ) β nzivmo bet funkijom ili Ojlerovim integrlom drugog red. Ovj integrl konvergir ko je α > i β >, p je funkij B(α, β) definisn z te vrednosti promenljivih. On je i neprekidn po obe promenljive n svom domenu. Nvedimo neke njene njvžnije osobine. Funkij B je simetričn, tj. z sve α, β > vži B(α, β) = B(β, α). Z α > i β > vži B(α, β) = α B(α, β). α + β B, 3 Smenom = t u integrlu () dobijmo drugu integrlnu reprezentiju funkije +t B(α, β) = t α dt. ( + t) α+β 4 Izmed u B i Γ funkije postoji vez (3) B(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β) z α >, β >. 6 J. Stirling (696-77), škotski mtemtičr 34
okžimo ovu vezu. Pretpostvimo njpre d α > i β > i npišimo proizvod Γ(α)Γ(β) u obliku (4) Γ(α)Γ(β) = = α e α e z β e z dz = β y β e y dy (u drugom integrlu uveli smo smenu z = y). bismo mogli d promenimo redosled integrl, proverimo d li su ispunjeni uslovi Teoreme. Funkij f(, y) = α+β y β e (+y) je neprekidn i nenegtivn n [, ) [, ). Integrli f(, y) = y β Γ(α + β), ( + y) α+β f(, y)dy = α e Γ(β) definišu neprekidne funkije od y [, ), odnosno [, ), iz (4) sledi d postoji uzstopni integrl f(, y)dy. kle, vži Γ(α)Γ(β) = dy = Γ(α + β)b(α, β), f(, y) = Γ(α + β) y β dy = ( + y) α+β z α >, β >. bismo dokzli d formul vži z sve α, β >, dovoljno je d primenimo formulu (9), ko i formule B(α, β) = α β B(α, β) i B(α, β) = B(α, β ). α + β α + β Ko poslediu formule (3), mogu se nvesti još nek svojstv funkije B iz odgovrjućih svojstv funkije Γ. N primer, iz osobine () dobij se B(m, n) = (m )!(n )!, m, n N, (m + n )! iz osobine (), Speijlno, B (, ) = π. B(α, α) = π sin πα, < α <. 35
Primer 7. Z α, β >, smenom sin α = t, dobijmo π sin α os β = t α ( t) β dt = = ( α + B, β + ) = Γ ( ) ( α+ Γ β+ ) Γ ( α+β + ). 36
Litertur [] Blgot Lučić, Mtemtik, Ekonomski fkultet, Srjevo, 5. [] rko Milinković, Mtemtičk nliz I - skript, Beogrd,. [3] obrivoje Mihilović, obrilo -. Tošić, Elementi mtemtičke nlize II, Nučn knjig, Beogrd, 979. [4] ušn Adnd ević, Zorn Kdelburg, Mtemtičk nliz I, Nuk, Beogrd, 995. [5] ušn Adnd ević, Zorn Kdelburg, Mtemtičk nliz II, Zvod z udžbenike i nstvn sredstv, Beogrd, 99. [6] Grdimir V. Milovnović, Rdosv Ž. -ord ević, Mtemtičk nliz I, Elektronski fkultet, Niš, 5. [7] Milosv Mrjnović, Mtemtičk nliz I, Nučn knjig, Beogrd, 979. [8] Rdoslv imitrijević, Anliz relnih funkij više promenljivih, Niš,. [9] Stojn N. Rdenović, Mtemtičk nliz I, Beogrd i Krgujev,. 37