HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #4 Η ιδιότητα της συνέλιξης Απόκριση Συχνότητας ΓΧΑ Συστημάτν Απόκριση συχνότητας ΓΧΑ Συστημάτν που περιγράφονται από Διαφορικές Εξισώσεις Η ιδιότητα πολλαπλασιασμού
Η ιδιότητα της συνέλιξης Ζεύγος Μετασχηματισμού Fourier: x () = X ( j ) e j d Σύνθεση j X ( j ) = xe ( ) d Ανάλυση Για περιοδικά σήματα είδαμε ότι: j 0 ae = x() = ΓΧΑ 0 y () = ah( 0) j j e h() όπου Η(j) η απόκριση συχνοτήτν του συστήματος: j H( j) = h( ) e d Μετασχηματισμός Fourier Μετασχηματισμός Fourier της κρουστικής απόκρισης =
Η ιδιότητα της συνέλιξης Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτν: Συνελικτικό ολοκλήρμα. x () X ( j ) ΓΧΑ h() Με άλλα λόγια: x() X( j) h ()* x () H( j) X( j) h () H( j) y () = h ()* x () H( j) X( j) Συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου Πολλαπλασιασμός στο πεδίο συχνότητας Ερμηνεία: j j 0 x() X( j ) e = d = lim X( j0) e 0 0 0 =
Η ιδιότητα της συνέλιξης ΓΧΑ συστήματα - Τα μιγαδικά μγ εκθετικά σήματα είναι ιδιοσυναρτήσεις: = j 0 ΓΧΑ X( j0) e 0 h() j 0 X( j ) H( j ) e π = j Άρα: 0 y () = lim X( j0) H( j0) e 0 = 0 0 π = 0 0 0 j = H( j) X( j) e d π j Όμς ισχύει: y () = Y( j) e d άρα: Y( j) = H( j) X( j) Η απόκριση συχνοτήτν ενός ΓΧΑ συστήματος είναι ο Μετασχηματισμός Fourier της κρουστικής του απόκρισης h(): j H ( j ) = he ( ) d Η κρουστική απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος είναι ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier της απόκρισης συχνοτήτν
Η ιδιότητα της συνέλιξης Απόδειξη y( () = x ( τ ) h ( τ ) dτ ΓΧΑ h() x () y () = h ()* x () ( ) ( ) j j Y j y e = d x( τ) h( τ) dτ = e d = j = x( τ) h( τ) e d dτ = ( ) j τ jτ = x τ e H( j) dτ = H( j) x( τ) e dτ = = H( j) X( j)
Η ιδιότητα της συνέλιξης Παράδειγμα: Σειριακή σύνδεση ΓΧΑ συστημάτν x() y() H (j (j) H (j (j) x() H (j) H (j) y() () x() H (j) H (j) y()
Ο διαφοριστής (differeniaor) dx() y () = d Y( j) = jx( j) H ( j ) = j Παραδείγματα H( j) = Ενίσχυση υψηλών συχνοτήτν π H( j) = sgn( ) Μετατόπιση φάσης π/ π/ -π/
Παραδείγματα Ιδεατό βαθυπερατό φίλτρο (ideal lowpass filer), c H( j) =, c 0, > c Συχνότητα αποκοπής (cuoff frequency) Ζώνη φραγής (sopband) Κρουστική απόκριση: h()=f - {H(j)} C j j h() H( j) e d e d = = = sin( C) C = = sin c( C) π π C Ζώνη διελεύσες (passband) Ζώνη φραγής (sopband) Tο ιδεατό βαθυπερατό φίλτρο δεν είναι αιτιατό (γιατί;)
Παραδείγματα Ποια είναι η βηματική απόκριση σταθερής κατάστασης (δηλ. το s() για άπειρο); s () = hd () lim s ( ) = hd ( ) = H ( j 0) =
Παραδείγματα x e u () = () ΓΧΑ h() h () = e u () y () = h ()* x () =? Y( j) = H( j) X( j) = + j + j Ανάλυση σε μερικά κλάσματα (parial fracion expansion) A B = + = A ( + j ) + B ( + j ) + j + j + j + j Έναλλακτικά: A = lim = A+ B= j + j A=, B= A+ B= 0 B = lim = j + j Y j y e e u + j + j F ( ) = ( ) = [ ] ( )
n ΓΧΑ Συστήματα που περιγράφονται από Διαφορικές Εξισώσεις a m d y () d x () = b d d = 0 = 0 Πς μπορούμε να βρούμε την απόκριση συχνοτήτν ενός τέτοιου συστήματος; - Με βάση την ιδιότητα παραγώγισης στο πεδίο του χρόνου: dx() d x() j X( j) ( j) X( j) d d n m Άρα: ( ) ( ) = 0 = 0 m b ( j ) = 0 Y( j) = X( j) n a ( j ) = 0 a j Y( j) = b j X( j) Η(j) Ρητή συνάρτηση (raional funcion) του
Παράδειγμα Βρείτε την απόκριση συχνοτήτν και την κρουστική απόκριση του συστήματος που περιγράφεται από την ΔΕ: dy() d + 5 y ( ) = x ( ) Ποια είναι η βηματική απόκριση σταθερής κατάστασης; Βρείτε την τιμή του 0 για την οποία 0 = dy() + 5 y ( ) = x ( ) d j Y ( j ) + 5 Y ( j ) = X ( j ) Y( j) H( j) = = X( j) j+ 5 s s e ( ) lim ()[ ] 5 h () = e u () 5 5 5 s() h d e τ τ = ( τ ) τ = u( τ) dτ = e = ( e ), 0 5 0 5 5 0 lim s ( ) =, s ( 0) = ( ) = ( e ) 5 0 = 0 = 5 5 e 5 5
d y dy dx Παράδειγμα () () () + 4 + 3 y ( ) = + x ( ) d d d x() = e u() Ποια είναι η απόκριση του συστήματος στο σήμα? ( j) Y( j) 4 jy( j) 3 Y( j) jx( j) X( j) + + = + Y( j) j+ j+ H ( j ) = = = X( j) ( j) + 4j+ 3 ( j+ )( j+ 3) Για X ( j ) = : j + j + Y( j) = H( j) X( j) = = ( j + )( j+ 3) ( j+ ) j + A B C = = + + = ( j+ ) ( j+ 3) ( j+ ) ( j+ ) ( j+ 3) = + = + j + j + j + 3 y() [ e e e ] u() 4( ) ( ) 4( 3) 4 4
d y dy dx Παράδειγμα () () () + 4 + 3 y ( ) = + x ( ) d d d Εναλλακτικά: : j + A B C = + + ( j + ) ( j + 3) ( j + ) ( j + ) ( j + 3) d j + ( j+ 3) ( j+ )3 A = lim lim j d( j) j 3 = = j + j + 4 j + B = lim j = j 3 + j + C = lim = j 3 ( j + ) 4 3 y() = [ e + e e ] u() 4 4 ( 3)
Η ιδιότητα του πολλαπλασιασμού Πολλαπλασιασμός δύο σημάτν στο πεδίο του χρόνου: διαμόρφση πλάτους (ampliude modulaion) x() X( j) h () x () H( j)* X( j) h () H( j) Πολλαπλασιασμός στο πεδίο του χρόνου Συνέλιξη στο πεδίο συχνότητας h () x () ( ) ( ) H θ X θ d θ π Συνέπεια του δυϊσμού
Παράδειγμα Έστ το σήμα με φάσμα S(j) και p () = cos( ) Τότε το σήμα: 0 P( j) = πδ ( ) + πδ ( + ) 0 0 r () = p () s () R ( j ) = [ P ( j )* S ( j )] = = [( πδ ( ))* 0) + πδ ( + 0 S( j)] = = [ ( ( 0)) ( ( 0))] S j + S j + Πολλαπλασιασμός με συνημιτονοειδές σήμα στο πεδίο του χρόνου Μετατόπιση φάσματος