Matematička analiza 4

Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214.

2

Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n.................. 9 1.1.3 Unutršnj i spoljn mer................ 11 1.2 Rimnov integrl......................... 13 1.2.1 Rimnov sum...................... 13 1.2.2 Drbuove sume...................... 15 1.2.3 Oznke i terminologij.................. 18 1.3 Klse integrbilnih funkcij................... 19 1.4 Svojstv Rimnovog integrl.................. 21 1.5 eometrijski i fizički smiso integrl.............. 26 1.5.1 Interpretcij dvostrukog integrl........... 28 1.5.2 Interpretcij trostrukog integrl............ 29 1.6 Specifičnosti integrl u R n z n 2.............. 29 1.7 Izrčunvnje integrl...................... 31 1.7.1 Slučj prostor R 2.................... 31 1.7.2 Slučj prostor R n, n 3................ 37 1.8 Smen promenljivih........................ 39 1.8.1 Polrn smen u rvni.................. 44 1.8.2 Uopšten polrn smen................. 46 1.8.3 Cilindričn smen u trostrukom integrlu........ 48 1.8.4 Sfern smen u trostrukom integrlu.......... 53 1.9 Nesvojstveni integrli....................... 54 1.1 Pojmovi u mehnici........................ 56 1.1.1 Moment inercije mterijlne rvne figure........ 57 3

4 SADRŽAJ 1.1.2 Elips inercije....................... 58 1.1.3 Moment inercije mterijlne figure........... 6 1.1.4 Težište mterijlne rvne figure............. 62 1.1.5 Težište mterijlne figure u prostoru.......... 63 2 Krivolinijski integrli 65 2.1 Krive u R n............................. 65 2.2 Krivolinijski integrl prvog red................. 71 2.2.1 Rimnov sum i geometrijsk interpretcij krivolinijskog integrl prvog red............ 74 2.3 Krivolinijski integrl drugog red................ 8 2.4 rinov formul u rvni..................... 84 2.4.1 Slučj višestruko poveznih oblsti........... 88 2.4.2 Primen krivolinijskog integrl drugog red n izrčunvne površine skup u rvni............ 89 2.5 Nezvisnost integrl od putnje integrcije.......... 92 2.6 Mehnički smiso krivolinijskog integrl............ 95 3 Površinski integrli 97 3.1 Površi u R 3............................ 97 3.2 Prv kvdrtn form površi i površin površi......... 11 3.3 Površinski integrli prvog red.................. 15 3.4 Površinski integrli drugog red................. 18 3.5 Teorij polj............................ 112 3.6 Formul us Ostrogrdskog.................. 115 3.7 Formul Stoks.......................... 121 4 Prmetrski integrli 127 4.1 Funkcij gornje grnice...................... 127 4.2 Svojstveni prmetrski integrli................ 128 4.3 Nesvojstveni prmetrski integrli............... 135 4.4 m funkcij (Ojlerov integrl drugog red)......... 145 4.5 Bet funkcij (Ojlerov integrl prvog red)........... 147 Litertur 153

Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk nliz 4. Tekst nije kompletn, i konstntno se rdi n poboljšnju mterijl nmenjenog studentim (obrtiti pžnju n dtum upisn n prvoj strni). Studenti su u obvezi d konsultuju dodtnu literturu, koj je nveden u spisku referenci. Obvezno posetiti bilioteku Fkultet. Celine koje nije neophodno nučiti, počinju simbolom, zvršvju simbolom. 5

6 SADRZ AJ

lv 1 Integrcij 1.1 Žordnov mer u R n U definiciji Rimnovog 1 integrl funkcije jedne relne promenljive n segmentu suštinski je iskorišćen pojm dužine (mere) intervl. U skupu R 2 pojmu mere odgovr pojm površine, u skupu R 3 pojmu mere odgovr pojm zpremine nekog skup. Izučvmo smo Žordnovu2 meru, te stog umesto termin Žordnov mer koristićemo izrz mer. Nek je, b R, < b. Dužin intervl I = (, b) (ili bilo kog intervl [, b), (, b], [, b]) jeste b. Dkle, jednodimenzionln mer intervl I je m 1 (I) = b. Nebitno je d li krjnje tčke tčke i b intervl I pripdju tom intervlu, ili ne. Time se prihvt činjenic d je dužin tčke jednk nuli (tj. mer jednoelemetnog skup jednk je nuli). 1.1.1 Mer prvougonik u R 2 Nek su, b, c, d R, tko d vži < b i c < d. Td je ovim brojevim odre den prvougonik P u R 2 s koordintm temen: A = (, c), B = (b, c), C = (b, d) i D = (, d) (Slik 1). Prvougonik P izržen preko Dekrtovog 3 proizvod jeste P = (, b) (c, d). Mer ovog prvougonik 1 eorg Friedrich Bernhrd Riemnn (1826-1866), nemčki mtemtičr 2 Mrie Ennemond Cmille Jordn (1838-1922), frncuski mtemtičr 3 René Descrtes (ltinski: Rentus Crtesius; 1596-165), frncuski mtemtičr i filozof 7

8 LAVA 1. INTERACIJA (površin, preciznije dvodimenzionln mer) izrčunv se n sledeći nčin m 2 (P ) = (b )(d c). Broj 2 u simbolu m 2 oznčv dimenzuju prostor, odnosno nglšv d se rdi o prostoru R 2. Nije vžno d li rubne strnice tog prvougonik pripdju prvougoniku, ili ne. Ovim se usvj činjenic d je dvodimenzionln mer duži jednk nuli. Specijlno, dvodimenzionln mer tčke jednk je nuli. Slik 1. Nek su sd P 1,..., P n prvougonici u R 2, s svojstvom d je P i P j (i j) ili przn skup, ili neki deo rubov ovih prvougonik. Drugim rečim, P i i P j nemju zjedničkih unutršnjih tčk. Prirodno je sd definisti meru unije ovih prvougonik ko zbir njihovih mer, odnosno ( n ) m 2 P i = i=1 n m 2 (P i ). i=1 Skupovi oblik E = n P i jesu elementrni skupovi (podrzumev se d rzličiti skupovi P i i P j nemju zjedničkih unutršnjih tčk). Ako su P, Q prvougonici koji imju zjedničkih unutršnjih tčk, td je jednostvno proveriti d se skup P Q može prikzti ko unij i=1

1.1. ŽORDANOVA MERA U R N 9 končno mnogo prvougonik koji uzjmno nemju zjedničkih unutršnjih tčk. Potpuno nlogno, ko su A i B dv elementrn skup, td je A B = P 1 P k, pri čemu su P 1,... P k prvougonici koji u provim nemju zjedničkih unutršnjih tčk (Slik 2). Sledi d je A B elementrn skup. Slično, A B i A \ B tko de jesu elementrni skupovi. Slik 2. Ako su A, B uzjmno disjunktni elementrni skupovi, ond je m 2 (A B) = m 2 (A) m 2 (B). Ako su A i B elementrni skupovi i A B, ond n osnovu disjunktne unije B = A (B \ A) sledi d je m 2 (B) = m 2 (A) + m 2 (B \ A). Dkle, m 2 (A) m 2 (B). 1.1.2 Mer n-intervl u R n Anlogn je situcij u prostoru R n. Nek je 1,..., n R i b 1,..., b n R n, tko d je i < b i z svko i = 1,..., n. Skup

1 LAVA 1. INTERACIJA I = n ( i, b i )(b 1 1 ) (b n n ) i=1 je n-intervl u R n. Ako je n = 2, ond je I prvougonik. Ako je n = 3, ond je I kvdr. Primetimo d su strnice n-intervl uvek prlelne koordintnim osm. n-dimenzionln mer n-intervl I odre den je s m n (I) = n (b i i ) = (b 1 1 )... (b n n ). i=1 Nije vžno d li delovi hiper-rvni koje ogrničvju prvougonik, pripdju smom prvougoniku, ili ne: veličin m n (I) se ne menj. Ako je J neki (n 1)-intervl koji ogrničv n-intervl I, (dkle, J pripd hiper-rvni dimenzije n 1), td je m n (J) =. Specijlno, n-dimenzionln mer jednoelementnog skup jedk je. Primetimo d ko je J bilo koji (n 1)-intervl, ond J može biti posmtrn ko degenerisni n-intervl, odnosno j = b j z neko j. Ako su I 1,..., I k n-intervli, koji nemju zjedničkih unutršnjih tčk, ond je k E = elementrn skup u R n. Mer ovog elementrnog skup E odre den je s j=1 I j m n (E) = n m n (I j ). j=1 Ako su E, F elementrni skupovi, td su E F, E F i E \ F tko de elementrni skupovi. Nime, svki od ovih skupov može biti prikzn ko unij n-intervl, koji me dusobno nemju zjedničkih unutršnjih tčk. Ako su E, F elementrni skupovi i E F =, jednostvno je proveriti d vži m n (E F ) = m n (E) m n (F ). Ov osobin se nziv končn ditivnost mere m n n fmiliji elementrnih skupov. Ako su A, B elementrni skupovi i A B, n osnovu disjunktne unije B = A (B \ A) sledi m n (B) = m n (A) + m n (B \ A) m n (A). Ov osobin se nziv monotonost mere n fmiliji elementrnih skupov.

1.1. ŽORDANOVA MERA U R N 11 1.1.3 Unutršnj i spoljn mer Potrebno je meru definisnu u prethodnoj sekciji, proširiti n opštiju fmiliju podskupv od R n. Nek je skup R 2 ogrničen. Td postoje elementrni skupovi koje su sdržni u, i postoje elementrni skupovi koji sdrže. Nek je m i n() = sup{m(a) : A i A je elementrn skup} m e n() = inf{m(b) : B i B je elementrn skup}. Obzirom d je ogrničen skup, sledi d su m i n() i m e n() relni nenegtivni brojevi. Broj m i n() jeste unutršnj mer, broj m e n() jeste spoljn mer skup. Očigledno, uvek vži m i n() m e n(). Definicij 1.1.1. Ogrničen skup R n je merljiv ko i smo ko je m i n() = m e n(). U tom slučju broj m n () (= m i n() = m e n()) jeste (n-dimenzionln Žordnov) mer skup. Koristićemo smo Žordnovu meru, te ubuduće umesto Žordnov mer pišemo mer. Z svki merljiv skup vži m n (). Dokzujemo nekoliko osnovnih tvr denj o merljivim skupovim i meri. Teorem 1.1.1. Nek su A i B merljivi skupovi. Td vži: (1) Ako je A B, ond je m n (A) m n (B) (monotonost mere); (2) Ako je A R n otvoren skup, td je m n (A) > ; (3) m n (A) = ko i smo ko z svko ϵ > postoji elementrn skup F, tko d je A F i m n (F ) < ϵ (krkterizcij skup mere nul); (4) Unij dv skup mere nul jeste skup mere nul; (5) Ogrničen skup H R n je merljiv ko i smo ko je m n ( H) = ; (6) Skupovi A B, A B i A \ B su merljivi; (7) Ako je A B A B, ond je m n (A B) = m n (A) + m n (B) (ditivnost mere); (8) Ako je A B, td je m n (B \ A) = m n (B) m n (A). Dokz. Sve nvedene osobine očigledno vže z n-intervle i elementrne skupove. Dokzujemo ove osobine z proizvoljne merljive skupove. (1) Sledi n osnovu skupovne inkluzije elementrnih figur skupov upisnih u A, smim tim i u B.

12 LAVA 1. INTERACIJA (2) Ako je A otvoren i merljiv, ond z svko x A postoji neki otvoren n-intervl I, tko d je x I A, te je m n (A) >. (3) Sledi iz definicije infimum. (4) Sledi n osnovu svojstv (3). (5)Nek je F proizvoljn otvoren elementrn skup, sdržn u H i nek je proizvoljn ztvoren elementrn skup koji sdrži H. Očigledno vži H \F, odnosno \F je elementrn skup koji sdrži H. S druge strne, ko je K proizvoljn elementrn skup koji sdrži H, ond postoje elementrni skupovi F i, koji zdovoljvju F H i \ F = K. Pretpostvimo d je H merljiv skup i nek je ϵ > proizvoljno. Postoji elementrn skup F H tko d je m(h) m(f ) > m(h) ϵ/2. Tko de postoji elementrn skup H, tko d vži m n (H) m n () < m n (H) + ϵ/2. Prem tome, m e n( H) m n () m n (F ) < ϵ. N osnovu svojstv (3) sledi d je H merljiv i njegov mer je jednk nuli. Sd pretpostvimo d je m n ( H) =. Z ϵ > postoje elementrni skupovi F i d vži F H, H \F i m n () m n (F ) < ϵ. Td je, n osnovu m e n(h) m n () i m i n(h) m(f ), ispunjeno m e n(h) m i n(h) < ϵ. Kko je ϵ > proizvoljno, sledi d je H merljiv skup. (6) Sledi n osnovu svojstv (4), (5) i jednostvnih skupovnih inkluzij (A B) A B, (A B) A B i (A \ B) A B. (7) Sledi n osnovu svojstv (5) i (6). (8) Sledi n osnovu (7). Nvodimo primer ogrničenog skup koji nije merljiv. Primer 1.1.1. Nek je Q 1 skup svih tčk skup [, 1] [, 1], čije su koordinte rcionlni brojevi. Skup Q 1 ne sdrži ni jedn netrivijln 2-intervl, već sdrži smo degenerisne intervle koji se svode n jednoelementne skupove. Stog je m i 2(Q 1 ) =. Skup Q 1 je gust u [, 1] [, 1]. Stog ne postoji mnj elementrn figur od [, 1] [, 1] koj sdrži Q 1. Stog je m e 2(Q 1 ) = 1. Dkle, skup Q 1 nije merljiv.

1.2. RIMANOV INTERAL 13 1.2 Rimnov integrl 1.2.1 Rimnov sum Nek je Euklidov 4 norm u prostoru R n, odnosno ko je x = (x 1,..., x n ) ( n ) 1/2 R n, ond je x = x i 2. Ako je x, y R n i y = (y 1,..., y n ), ond je i=1 ( n ) 1 2 d(x, y) = x y = (x i y i ) 2 Euklidovo rstojnje izme du tčk x i y. Nek je merljiv (prem tome i ogrničen) skup u R n. Nek su 1,..., k merljivi i uzjmno disjunktni skupovi, z koje vži = i=1 k i=1 i. Td se fmilij skupov T = { 1,..., k } nziv rzbijnje skup. Nek je d( i ) dijmetr skup i, odnosno d( i ) = sup{d(u, v) : u, v i }, i = 1,..., k. Njveći od tih dijmetr nziv se dijmetr rzbijnj T skup, odnosno d(t ) = mx{d( 1 ),..., d( k )}. Nije teško uočiti d z svki merljiv skup postoji neko rzbijnje T. Nek je f : R reln funkcij, i nek je ξ i i proizvoljn tčk z svko i = 1, 2,..., k. Koristimo oznku ξ = (ξ 1,..., ξ k ). Sum σ T (f,, ξ) = k f(ξ i ) m n ( i ) (1.1) i=1 je Rimnov integrln sum funkcije f n skupu, koj odgovr podeli T i izboru tčk ξ = (ξ 1,..., ξ k ). Nek su T = { 1,..., k } i T = {E 1,..., E l } dv rzbijnj merljivog skup R n. Rzbijnje T je finije od rzbijnj T, u oznci T T, ko z svko E j T postoji s T, tko d je E j s. Ako su T = { 1,..., k } i T = {E 1,..., E l } dv rzbijnj merljivog skup, td postoji rzbijnje T T, koje je finije i od T i od T. Rzbijnje T T je definisno ko T T = { s E j : s = 1,..., k, j = 1,..., l}. 4 Euklid iz Aleksndrije, Eυκλειδηζ (oko 325. p.n.e. - 265. p.n.e.), grčki mtemtičr

14 LAVA 1. INTERACIJA Ako je T proizvoljno rzbijnje merljivog skup R n, uvek postoji finije rzbijnje T istog skup. Ako je, recimo, T = { 1,..., k }, ond se može posmtrti rzbijnje T j = { j 1,..., j k } svkog skup j, te je T = { i j} i,j rzbijnje skup, s osobinom T T. Ako je T = { 1,..., k } rzbijnje merljivog skup, i ko je T = {E 1,..., E l } rzbijnje merljivog skup E, td je T T = { 1,..., k, E 1,..., E l } rzbijnje merljivog skup E. Činjenic d se svk podel T merljivog skup može učiniti finijom, omogućv uvo denje sledeće definicije. Definicij 1.2.1. (Rimnov integrl funkcije n skupu) Nek je merljiv skup u R n, i nek je f : R funkcij. Broj I je Rimnov integrl funkcije f n skupu, u oznci f, ko z svko ϵ > postoji δ ϵ >, tko d z svko rzbijnje T = { 1,..., k } skup, koje im svojstvo d(t ) < δ, i z svki izbor tčk ξ 1 1,..., ξ k k vži I σ T (f, ξ, ) < ϵ. Ako postoji integrl f, ond je funkcij f integrbiln n skupu (u Ri- mnovom smislu). Rzmtrćemo smo Rimnov integrl funkcij, te pišemo integrl umesto Rimnov integrl. Formulišemo očigledn ekvivlent uslov integrbilnosti funkcije n merljivom skupu. Teorem 1.2.1. Nek je merljiv skup u R n i nek je f : R funkcij. Rimnov integrl I funkcije f n skupu je grničn vrednost I = f = lim σ T (f,, ξ), d(t ) ukoliko ov grničn vrednost postoji nezvisno od rzbijnj T skup i nezvisno od izbor tčk ξ. Skup svih relnih funkcij, koje su integrbilne n merljivom skupu R n, oznčv se s R().

1.2. RIMANOV INTERAL 15 1.2.2 Drbuove sume Nek je merljiv skup u R n, i nek je T = { 1,..., k } rzbijnje skup. Nek je f : R ogrničen funkcij. Posmtrjmo infimum i supremum funkcije f n svkom skupu i : m i = inf x i f(x) i M i = sup x i f(x), z svko i = 1, 2,..., k. Funkcij f je ogrničen, te je m i R i M i R z svko i. Donj i gornj Drbuov 5 sum definisne su, redom: s T (f, ) = k m i m n ( i ) i S T (f, ) = i=1 k M i m n ( i ). i=1 Nek je σ T (f,, ξ) jedn Rimnov sum funkcije f n skupu u odnosu n istu podelu T. Td očigledno vže nejednkosti: s T (f, ) σ T (f,, ξ) S T (f, ). (1.2) Nek je T = { 1,..., l } rzbijnje skup s svojstvom d z svko j {1,..., l} postoji neko i {1,..., k} tko d je j i, odnosno nek je podel T finij od podele T. N osnovu j i sledi d vži m i m j M j M i. Nek je, jednostvnosti rdi, i = 1 s, s l. Td je s T (f, i ) = s m t m n ( j), t=1 s T (f, ) = l m t m n ( j) = t=1 k s T (f, i ). Iz t i z svko t {1,..., s}, sledi d je m t m i z svko t {1,..., s}. Stog je i=1 s T (f, i ) = s m t m n ( j) m i t=1 s m n ( j) = m i m n ( i ). t=1 5 Jen-ston Drboux (1842 1917), frncuski mtemtičr

16 LAVA 1. INTERACIJA Sledi s T (f, ) = n s T (f, i ) i=1 n m i m n ( i ) = s T (f, ). Z gornje Drubove sume može se nlogno pokzti suprotn nejednkost. Dkle, dokzli smo sledeći rezultt. Teorem 1.2.2. Nek je merljiv podskup od R n, nek je f : R ogrničen funkcij, i nek su T i T dv rzbijnj skup, tko d je T T. Td z svki izbor tčk ξ (svk tčk ξ i pripd odgovrjućim elementu rzbijnj T ) td vži i=1 s T (f, ) s T (f, ) σ T (f,, ξ) S T (f, ) S T (f, ). (1.3) Definicij 1.2.2. Broj I f = sup s T (f, ), gde je supremum uzet po svim T rzbijnjim T skup, nziv se donji integrl funkcije f n skupu. Broj I f = inf S T (f, ), gde je infimum uzet po svim rzbijnjim skup T T, nziv se gornji integrl funkcije f n skupu. N osnovu nejednkosti (1.2), sledi d vži I f I f. Dokzćemo osnovnu teoremu, kojom je odre den ekvivlentn uslov integrbilnosti funkcije n nekom merljivom skupu. Teorem 1.2.3. Nek je funkcij f ogrničen n merljivom skupu R n. Td su sledeć tvr denj ekvivlentn: (1) I f = I f ; (2) Z svko ϵ > postoji rzbijnje T skup, tko d vži S T (f, ) s T (f, ) < ϵ; (3) Z svko ϵ > postoji δ >, tko d z svko rzbijnje T skup dijmetr mnjeg od δ, vži S T (f, ) s T (f, ) < ϵ; (4) Postoji integrl f = I. Ako vži bilo koje od prethodnih tvr denj, ond je I = I f = I f. Dokz. (1) = (2): Nek je ϵ >. Donji integrl I f je supremum donjih Drbuovih sum. Stog z ϵ > postoji nek podel T 1, tko d z odgovrjuću donju Drbuovu sumu vži s T1 (f, ) > I f ϵ. ornji integrl 2 If je

1.2. RIMANOV INTERAL 17 infimum gornjih Drbuovih sum. Prem tome, z ϵ > postoji podel T 2 s svojstvom S T2 (f, ) < I f + ϵ. Postoji podel T, koj je finij od podel 2 T 1 i T 2 (n primer, T = T 1 T 2 ). Td je I f ϵ 2 < s T 1 (f, ) s T (f, ) I f I f S T (f, ) S T2 (f, ) < I f + ϵ 2. N osnovu pretpostvke I f = I f, sledi d vži S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. (2) = (1): Tvr denje sledi n osnovu očiglednih nejednkosti s T (f, ) I f I f S T (f, ). (4) = (3): Pretpostvimo d postoji integrl I = f. Nek je ϵ >. Td postoji broj δ >, tko d z svku podelu T skup dijmetr mnjeg od δ, vži I ϵ 2 σ T (f,, ξ) < I + ϵ 2, nezvisno od izbor tčk ξ i i. U prethodnim nejednkostim se može uzeti, jedn z drugim, supremum ili infimum sume σ T (f,, ξ) po svim ξ i i. Odtle neposredno sledi I ϵ 2 s T (f, ) S T (f, ) I + ϵ 2, smim tim i S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. (3) = (2): Ov implikcij je trivijln. (3) = (4): Iz pretpostvke d vži tvr denje (3) sledi d vže tvr denj (1) i (2). Nek je ϵ >. Td postoji δ >, tko d z svko rzbijnje T skup dijmetr mnjeg od δ vži S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. Z proizvoljn izbor tčk ξ i i vži s T (f, ) σ T (f,, ξ) S T (f, ). Tko de vži i s T (f, ) I f = I f S T (f, ). Prem tome, sledi d vži I f σ T (f,, ξ) < ϵ, z svku podelu T s osobinom d je dijmetr podele T mnji od δ i z proizvoljn izbor tčk ξ i i. Sledi d je I f jednk integrlu funkcije f n skupu, odnosno I f = f. (2) = (3): Ov implikcij je njinteresntnij. Nek je funkcij f ogrničen konstntom M n skupu, odnosno z svko x nek je f(x) M. Nek je ϵ >. Iz činjenice d vži tvr denje (2) sledi d postoji rzbijnje T = { 1,..., k } skup s svojstvom S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. Nek je n i = inf f(x) i N i = sup f(x), i = 1,..., k. N osnovu merljivosti x i x i skupov i sledi d je mer njihovog rub jednk nuli, odnsono m n ( i ) = z svko i = 1,..., k. Nek je Γ = k i=1 i. Td je m n (Γ) =. Postoji

18 LAVA 1. INTERACIJA elementrn skup σ, s svojstvim Γ σ i m n (σ) < ϵ. Ne gubeći od 2M opštosti može se pretpostviti d je σ otvoren skup. Postoji otvoren skup σ s svojstvim: Γ σ σ i σ σ =. Td je m n (σ ) < ϵ i 2M δ = inf{d(x, y) : x σ, y σ} >. Nek je T 1 = {F 1,..., F l } proizvoljno rzbijnje skup dijmetr d s svojstvom d < δ. Td je S T1 (f, ) s T1 (f, ) = l (M i m i ) m(f i ), pri čemu je m i = inf f(x) i M i = sup f(x), z svko i = 1,..., l. Nek su I x F i x F i i J podskupovi skup {1,..., l} s svojstvim: i I ko i smo ko F i im neprzn presek s Γ, j J ko i smo ko F j Γ =. Ako je i I, td vži F i σ. Stog je (M i m i ) m(f i ) 2M m(f i ) < ϵ. i I i I Ako je j J, td F j Γ = i po konstrukciji skup Γ sledi d mor biti F j i z neko i. Sve tkve skupove obeležimo s 1,..., t. Tko de nek je F 1,..., F s1 1,...,F st 1,..., F st s. Td vži N krju, s s i (M j m j ) m(f j ) = (M j m j ) m(f j ) j J i=1 j=s i 1 s s i s (N i n i ) m(f j ) (N i m i ) m( i ) < ϵ. i=1 j=s i 1 i=1 S T1 (f, ) s T1 (f, )= i I i=1 (M i m i ) m(f i ) + j J (M j m j ) m(f j )<2ϵ. Time je dokzno tvr denje (3). 1.2.3 Oznke i terminologij Ako je merljiv skup u R 2 i f R(), ond je čest oznk f = f = f(x, y) dx dy.

1.3. KLASE INTERABILNIH FUNKCIJA 19 Integrl f nziv se dvostruki integrl funkcije f n skupu. Ako je merljiv skup u R 3 i f R(), ond je f = f = f(x, y, z) dx dy dz. Integrl f je trostruki integrl funkcije f n skupu. Končno, ko je merljiv skup u R n i f R(), ond je f = f = f(x 1,..., x n ) dx 1 dx n. }{{} n put }{{} n put Integrl f je n-integrl funkcije f n skupu. 1.3 Klse integrbilnih funkcij Nek je R n proizvoljn merljiv skup. Nisu sve funkcije, koje su definisne n skupu, obvezno integrbilne n skupu. S druge strne, ko je R n proizvoljn merljiv skup i ko je g(x) = z svko x, td je g(ξ i ) = z svku tčku ξ i i. Stog vži g(x) dx =. Sledi d je nul-funkcij integrbiln n svkom merljivom skupu i njen integrl n tom skupu je jednk nuli. Skup intergbilnih funkcij, pod odre denim uslovim, sdrži sve neprekidne funkcije. Preciznije, vži sledeć teorem. Teorem 1.3.1. Ako je reln funkcij f definisn i neprekidn n ztvorenom i merljivom skupu u R n, td je funkcij f integrbiln n. Dokz. Skup je merljiv i stog je ogrničen. Sledi d je kompktn skup. Prem Kntorovoj 6 teoremi, funkcij f je rvnomerno neprekidn n skupu. Nek je ϵ >. N osnovu rvnomerne neprekidnosti funkcije f sledi d postoji broj δ >, tko d z svke dve tčke x 1, x 2 s svojstvom d(x 1, x 2 ) < δ vži f(x 1 ) f(x 2 ) < ϵ. Nek je T = { m n () 1,..., k } 6 eorg Ferdinnd Ludwig Philipp Cntor (1845-1918), nemčki mtemtičr

2 LAVA 1. INTERACIJA proizvoljno rzbijnje skup dijmetr mnjeg od δ. Imjuću u vidu stndrdne oznke m i i m i, sledi d vži M i m i = sup x i f(x) inf x i f(x) = sup x i f(x) + sup x i ( f(x)) = sup x 1,x 2 i (f(x 1 ) f(x 2 )) sup f(x 1 ) f(x 2 ) x 1,x 2 i ϵ m n (). Z odgovrjuće Drbuove sume funkcije f n skupu, ispunjeno je S T (f, ) s T (f, ) < ϵ. Prem Teoremi 1.2.3, postoji integrl f. Ako je R n, td je skup relnih i neprekidnih funkcij n oznčen s C(). N osnovu prethodne teoreme, ko je merljiv i ztvoren (tj. je merljiv kompkt), ond je C() R(). Teorem 1.3.2. Nek je reln funkcij f definisn i ogrničen n merljivom i ztvorenom skupu R n, tkv d je mer skup tčk prekid funkcije f jednk nuli. Td je funkcij f integrbiln n skupu. Dokz. Nek je M = sup f(x) <, nek je E skup tčk prekid funkcije x f u skupu, i nek je ϵ >. N osnovu m(e) =, sledi d postoji otvoren elementrn skup F, tko d je E F i m(f ) < ϵ. Skup \F je ztvoren 4M i merljiv. N osnovu Teoreme 1.3.1 funkcij f je integrbiln n skupu \F. Prem tome, postoji rzbijnje T = { 1,..., k } skup \ F, z koje vži S T (f, \ F ) s T (f, \ F ) < ϵ 2. Nek je k+1 = F. Td je T 1 = T { k+1 } rzbijnje skup i vži m( k+1 ) m(f ) < ϵ. Stog, uz prirodne oznke M 4M i i m i, vži S T1 (f, ) s T1 (f, ) (M k+1 m k+1 ) m( k+1 ) + 2M ϵ 4M + ϵ 2 = ϵ. k (M i m i ) m( i ) i=1 N osnovu Teoreme 1.2.3 (2) sledi d je funkcij f integrbiln n skupu.

1.4. SVOJSTVA RIMANOVO INTERALA 21 1.4 Svojstv Rimnovog integrl Dokzujemo osnovn svojstv Rimnovog integrl. Nek je merljiv skup u R n, i nek je f : R funkcij definisn n. (1) Ako je m n () =, ond je f =. Dokz. N osnovu m n () = sledi σ T (f,, ξ) =, te je i f =. (2) 1 = m n (), pri čemu je 1 konstnt funkcij x 1 z svko x. Dokz. Z proizvoljno rzbijnje T merljivog skup vži σ T (f,, ξ) = ( m m ) 1 m n ( i ) = m n i = m n (). i=1 Posledic 1.4.1. Ako je merljiv skup u R 2, ond je Ako je V merljiv skup u R 3, ond je V i=1 dx dy dz = m 3 (V ). dx dy = m 2 (). (3) Ako je f(x) z svko x, i ko je f integrbiln funkcij n, ond je f. Dokz sledi n osnovu nejednkosti σ T (f,, ξ) = n f(ξ i ) m( i ) i=1 i definicije Rimnovog integrl. (4) Ako su f i g integrbilne funkcije n, i ko je α, β R, ond je funkcij αf + βg integrbiln n i vži (αf + βg) = α f + β g. Dokz ovog tvr denj sledi n osnovu jednkosti σ T (αf + βg,, ξ) = α σ T (f,, ξ) + β σ T (f,, ξ). (5) Ako su f i g integrbilne funkcije n, i ko z svko x vži f(x) g(x), td je f g.

22 LAVA 1. INTERACIJA Dokz sledi neposredno n osnovu (3) i (4), imjući u vidu d je g f n. (6) Nek su A i B merljivi skupovi u R n, A B, i nek je f ogrničen i integrbiln funkcij n B. Td je f integrbiln funkcij n A. Dokz. Skup C = B \ A je merljiv. Svko rzbijnje skupov A i C indukuje jedno rzbijnje skup B. Obrnuto, svko rzbijnje skup B može se učiniti finijijm, tko d je to rzbijnje unij rzbijnj skup A i rzbijnj skup C. Stog, nek je T rzbijnje skup B, koje se sstoji od rzbijnj T 1 skup A i rzbijnj T 2 skup C. Vži očigledn nejednkost: S T1 (f, A) s T1 (f, A) S T (f, B) s T (f, B). Nek je ϵ >. Kko je f R(B), sledi d postoji rzbijnje T skup B tko d je S T (f, B) s T (f, B) < ϵ. Prem prethodnom, T = T 1 T 2, pri čemu je T 1 rzbijnje skup A, dok je T 2 rzbijnje skup B \ A. Sledi d je S T1 (f, A) s T1 (f, A) < ϵ, te je f R(A). (7) Nek je i m n ( ) =. Funkcij f je integrbiln n ko i smo ko je f integrbiln n \ ; u tom slučju je f = f. \ Dokz. Svko rzbijnje skupov i \ dovodi do rzbijnj skup. Obrnuto, ko je T rzbijnje skup, ond postoje rzbijnj: T 1 skup \ i T 2 skup 1, tko d T 1 T 2 jeste finije rzbijnje of T. Dkle, bez gubljenj opštosti, posmtrmo rzbijnje T = T 1 T 2, pri čemu je T 1 rzbijnje skup \, T 2 je rzbijnje skup. Kko je σ T (f,, ξ) = z svki izbor tčk ξ, sledi d je σ T (f,, ξ) = σ T (f, \, ξ). Odvde sledi rezultt, prelskom n grničnu vrednost kd d(t ). (8) Nek su A i B merljivi skupovi u R n s svojstvim: m n (A B) =, A B =, i nek je funkcij f ogrničen n skupu. Td je funkcij f integrbiln n skupu, ko i smo ko je f integrbiln n skupovim A i B. U tom slučju vži jednkost f = f + f. (1.4) A B Dokz. Svko rzbijnje skupov A i B proizvodi rzbijnje skup. S druge strne, svko rzbijnje skup može se učiniti finijim tko, d su skupovi novog rzbijnj sdržni i u polznom rzbijnju skup A i u polznom rzbijnju skup skup B. Činjenic m n (A B) = grntuje

1.4. SVOJSTVA RIMANOVO INTERALA 23 d je integrl n skupu bilo koje integrbilne funkcije jednk integrlu te iste funkcije n skupu \ (A B). Prem tome, posmtrmo rzbijnje T skup koje indukuje rzbijnje T 1 skup A i rzbijnje T 2 skup B, pri čemu znemrujemo skup A B. Sledi očigledn jednkost σ T (f, ) = σ T1 (f, A) + σ T2 (f, B). (1.5) Ukoliko postoje integrli f i f, td postoji i integrl f, te sledi A B A B tržen jednkost integrl (1.4). Obrnuto, iz ogrničenosti i integrbilnosti funkcije f n skupu, sledi integrbilnost funkcije f n skupovim A i B. (9) Ako su f i g ogrničene i integrbilne funkcije n merljivom skupu R n, td je i fg integrbiln n skupu. Dokz. Obzirom d su funkcije f i g ogrničene n skupu, postoji neki broj L >, tko d z svko x vži f(x) L i g(x) L. Nek je ϵ > proizvoljn broj. N osnovu ogrničenosti i integrbilnosti funkcij f i g n skupu, sledi d postoji rzbijnje T = { 1,..., l } skup, tko d vži S T (f, ) s T (f, ) = S T (g, ) s T (g, ) = Pri tome koristimo oznke: l i=1 l i=1 (M i m i ) m( i ) < ϵ 2L (N i n i ) m( i ) < ϵ 2L. i M i = sup f(x), m i = inf f(x), x i x i N i = sup g(x), n i = inf g(x), x i x i K i = sup f(x)g(x), k i = inf f(x)g(x). x i x i N osnovu osobin supremum i infimum, vži sledeć procen:

24 LAVA 1. INTERACIJA K i k i = sup fg inf i i fg sup i f sup g inf f inf g i i i = M i N i m i n i = M i N i m i N i + m i N i m i n i = N i (M i m i ) + m i (N i n i ) L[(M i m i ) + (N i n i )]. N osnovu poslednje nejednkosti, sledi d vži: S T (fg, ) s T (fg, ) = l (K i k i ) m( i ) i=1 L [(S T (f, ) s T (f, )) + S T (g, ) s T (g, ))] < ϵ. Prem tome, funkcij fg je integrbiln n skupu. (1) Ako je funkcij f ogrničen i integrbiln n, ond je funkcij f tko de integrbiln n i vži f f. Dokz. Nek je ϵ >. N osnovu ogrničenosti i integrbilnosti funkcije f n skupu, postoji podel T = { 1,..., l } skup, tko d vži nejednkost Koristimo oznke S T (f, ) s T (f, ) = l (M i m i ) m( i ) < ϵ. i=1 M i = sup f(x), m i = inf f(x), x i x i N i = sup f(x), n i = inf f(x). x i x i N osnovu nejednkosti f(x) f(y) f(x) f(y), sledi nejednkost N i n i M i m i, z svko i = 1,..., l. N osnovu ove nejednkosti proizilzi procen S T ( f, ) s T ( f, ) S T (f, ) s T (f, ) < ϵ.

1.4. SVOJSTVA RIMANOVO INTERALA 25 Prem tome, funkcij f je integrbiln n skupu. Nek su sd σt 1 (f,, ξ) = t f(ξ i ) m n ( i ) i σt 2 (f,, ξ) = t i=1 f(ξ i ) m( i ) Rimnove sume z integrle f i f redom. N osnovu očigledne nejednkosti σt 1 (f,, ξ) σ2 T ( f,, ξ), sledi odgovrjuć nejednkost integrl. (11) (Teorem o srednjoj vrednosti interl) Nek je merljiv skup u R n, f, g : R integrbilne funkcije, m f(x) M z svko x, i g(x) z svko x. Td postoji tčk λ [m, M], tko d je fg = λ g. i=1 Ako je uz to povezn i kompktn skup, i ko je f neprekidn funkcij n, td postoje tčke ν, ξ tko d je 1 fg = f(ν) g i f(ξ) = f. m n () Dokz. N osnovu g i m f M, sledi mg f g M g, te je m g fg M g. Ako je g =, ond λ može biti bilo koji reln broj. Ako je g >, td n osnovu prethodne procene vži λ = fg g [m, M]. Ako je povezn i kompktn skup i f neprekidn funkcij n, td f dostiže svoj minimum i mksimum n. Stog se može uzeti m = min x f(x), M = mx x f(x). N osnovu poveznosti skup sledi d postoji ν s svojstvom f(ν) = λ [m, M]. Poslednj jednkost sledi ko se posmtr funkcij g(x) = x z svko x.

26 LAVA 1. INTERACIJA 1.5 eometrijski i fizički smiso integrl Dokzujemo sledeće tvr denje, koje je relevntno z geometrijsko shvtnje integrl. Teorem 1.5.1. Nek je R n merljiv skup, i nek je funkcij f ogrničen i integrbiln n skupu. Td grfik funkcije f, odnosno skup Γ r (f) = {(x, f(x)) : x } R n+1, jeste merljiv u R n+1 i njegov mer jeste nul, odnosno m n+1 (Γ r (f)) =. Dokz. Nek je k N. U prostoru R n (koji sdrži ) posmtrmo hiper-rvni koje su normlne n svku koordintnu osu (dkle, prlelne 1 svim preostlim koordintnim osm) i tu osu seku u tčki l, pri čemu je 2 k l Z. N tj nčin se dobij 1 -mrež prostor R n. 2 k Dkle, ko je k = 1, ond postoji fmilij hiper-rvni, tko d je odre den potfmilij tih rvni normln n jednu koordintnu osu i tu osu pomenut potfmilih hiper-rvni seče u tčkm:, 1, 1, 2, 2,.... Ako je k = 2, ond hiper-rvni seku koordintnu osu (onu osu kojoj su hiper-rvni normlne) u tčkm, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2,.... 2 2 2 2 Dkle, 1-mrež je finij od 1-mreže, 1-mrež je finij od 1 -mreže, i tko 2 4 2 redom. Z svko k N posmtrmo n-intervle odre dene 1 -mrežnom, koji su 2 k sdržni u. Nek su to skupovi {E1 k, E2 k,..., El k k }. Td je te je i Skup je merljiv, te je m n (F k ) = F k = l k i=1 l k i=1 E k i, m n (E k i ) m n (). lim m n(f k ) = m i n() = m n (). k Nek je ϵ >. Postoji k N, tko d je m n () ϵ < m n (F k ) m n ().

1.5. EOMETRIJSKI I FIZIČKI SMISAO INTERALA 27 Posmtrjmo sd skup ko podskup prostor R n+1. Svki skup Ei k je n-intervl, li je to istovremeno degenerisni n + 1-intervl, koji im 2 k temen, i temen su oznčen s T 1,..., T 2 k. Nek je ξ i Ei k. Kroz svko teme posmtrmo prvu prlelnu dodtoj osi, koj je n + 1 po redu (tj. prv je prleln koordintnoj osi koj ne pripd polznom prostoru R n ). Posmtrmo duži n toj prvoj, koje polz od temen T j, zvršvju, redom, u tčkm s vrednostim m j, f(ξ j ), M j. Ako je k dovoljno veliki broj, ond su m j, f(ξ j ), M j istog znk (osim ko je f(ξ j ) =, li ovj specijln slučj ne predstvlj suštinksu prepreku u rzmtrnju). Nek je, n primer m j, f(ξ j ), M j >. Posmtrjmo (n + 1)-intervle Td je K j = E k j (, m j ), L j = E k j [, M j ]. m n+1 (K j ) = m n (E k j ) m j, m n+1 (L j ) = m n (E k j ) M j. rfik funkcije f n skupu E j je sdržn u skupu L j \ K j. Stog je grfik funkcije f n skupu F k sdržn u skupu l k (K j \ L j ). Vži j=1 ( lk ) k l m n+1 (K j \ L j ) = (M j m j )m n (Ej k ). j=1 Poslednj sum je rzlik gornje i donje Drbuove sume funkcije f n skupu F k. Funkcij f je integrbiln n, p je integrbiln i n F k. Stog postoji novi broj k N (veći od prethodnog k), tko d je j=1 Sd je k l j=1 (M j m j )m n (E k j ) < ϵ. S(f, ) s(f, ) = S(f, F k ) s(f, F k ) + S(f, \ F k ) s(f, \ F k ). Funkcij f je ogrničen, te je f N n skupu. Dkle, z unpred zdni broj ϵ > postoji broj k N (odnosno, postoji mrež 1 koj indukuje 2 k rzbijnje skup ), tko d je S(f, ) s(f, ) ϵ + Nϵ.

28 LAVA 1. INTERACIJA Immo u vidu d je grfik funkcije f sdržn u (n + 1)-intervlim čij je (n + 1)-mer mnj od ϵ + 2Mϵ. Sledi d je m n+1 (Γ r (f)) =. 1.5.1 Interpretcij dvostrukog integrl Rzmotrimo dvostruki integrl. Nek je merljiv skup u R 2, i nek je f : R nenegtivn, ogrničen i integrbiln funkcij. Unutršnjost skup oznčimo s, rub skup oznčimo s. Iz merljivosti skup sledi d je m 2 ( ) =. Stog je f = f. rfik Γ r (f) = {(x, y, z) : (x, y), z = f(x, y)} je grfik površi u R 3. Posmtrjmo cilindr V odre den skupom, skupom Γ r (f), čije su izvodnice prlelne z-osi, i sve izvodnice prolze kroz. N ovj nčin je ogrničen skup u prostoru R 3. N osnovu prethodne teoreme, m 3 (Γ r (f)) =. Tko de je m 3 () =, jer je ogrničen i degenerisn skup u R 3. Procenimo meru cilindrske površi, oznčene s K. Kko je m 2 ( ) =, skup je pokriven elementrnim 2-intervlim čij je ukupn mer proizvoljno ml (tj. može se učiniti mnjom od bilo kog unpred zdnog broj ϵ > ). Stog je cilindrsk površ K sdržn u uniji končno mnogo 3-intervl, čij se ukupn trodimenzionln mer može učiniti proizvoljno mlom. Stog je m 3 (K) =. Dkle, m 3 (V ) ne zvisi od trodimenzionlnih mer skupov, Γ r (f), K. Posmtrjmo proizvoljnu 1 -mrežu prostor R 2, koj indukuje rzbijnje 2 k T skup. Donje i gornje Drbuove sume funkcije f n skupu, indukovne rzbijnjem T, sd čine trodimenzionlne mere cilindr upisnih u V, i cilindr opisnih oko V. Funkcij f je integrbiln n, te je f = m 3 (V ). Ukoliko bi funkcij f bil negtivn n, ond bi bilo f = m 3 (V ).

1.6. SPECIFIČNOSTI INTERALA U RN ZA N 2 29 1.5.2 Interpretcij trostrukog integrl Trostruki integrl im jednostvnu fizičku interpretciju. Nek je merljiv skup u R 3, koji je model nekog tel u prostoru. Pretpostvimo d je f nenegtivn, ogrničen i integrbiln funkcij n, koju smtrmo funkcijom rspodele gustine tel. Posmtrmo rzbijnje T = { 1,..., m } skup, koje je dovoljno fino, odnosno dovoljno mlog dijmetr, d se funkcij rspodele gustine f u skupu (telu) i nezntno rzlikuje od konstnte. Td je z svko ξ i i veličin f(ξ i ) m( i ) približno jednk msi tel i. Prem tome, Rimnov sum σ T (f, ) približno je jednk msi tel. Očigledno, grešk u rčunu se smnjuje ukoliko se smnjuje i dijmetr podele T. Dkle, pod pretpostvkom d je funkcij f rspodel gustine tel, sledi d je f ms tel. 1.6 Specifičnosti integrl u R n z n 2 Rimnov integrl funkcije f n skupu je prirodno uopštenje integrl n [, b]. Definicij integrl, kko smo do sd pokzli, zhtev uvo denje pojm mere u R n. Bogtij geometrijsk struktur prostor R n u odnosu n R donosi izvesne specifične osobine integrl, koje se ne zsnivju smo n rzličitoj interpretciji mere. U slučju integrl b f(x) dx funkcije jedne promenljive, u smoj definiciji je sdržn uslov ogrničenosti funkcije f. U suprotnom rdi se o nesvojstvenom integrlu, koji se posebno rzmtr. Me dutim, ko je merljiv skup u R n, n 2, i f R(), ond funkcij f ne mor biti obvezno ogrničen. Primer 1.6.1. Nek je = [, 1] {} segment u R 2. Očigledno, m 2 () =. Bilo koj reln funkcij f s domenom, mor biti integrbiln n. N primer, nek je z svko y R: { 1, x (, 1], x f(x, y) =, x =. Funkcij f očigledno nije ogrničen, li je f = (Slik 3).

3 LAVA 1. INTERACIJA O Slik 3. 1 Definicij 1.6.1. Merljiv skup R n je jednostvn, ko z svko ϵ > postoji rzbijnje T skup, tko d je d(t ) < ϵ i d je svki skup iz T pozitivne n-dimenzionlne mere. Skup u Primeru 1.6.1 nije jednostvn, jer z bilo koju podelu T skup, svki element iz im dvodimenzionlnu meru jednku nuli. S druge strne, mnogi skupovi zist jesu jednostvni. Teorem 1.6.1. Ako je otvoren i merljiv skup u R n, ond je jednostvn skup. Dokz. Nek je otvoren merljiv skup, i nek je ϵ >. Posmtrjmo 1 -mrežu prostor R n. Ako je E k 2 k j jedn n-intervl odre den ovom mrežom, ond je njegov dijmetr d(ej k ) = n. Postoji k N tko d je d(e k 2 2k j ) < ϵ. Z ovko odbrno k, posmtrjmo rzbijnje T = {Ej k : j} skup, pri čemu posmtrmo smo neprzne skupove Ej k. Pretpostvimo d postoji neki Ej k, tko d je m n (Ej k ) =. Td skup Ej k ne sdrži ni jedn otvoreni n-intervl. Stog im przn presek s (Ej k ). Prem tome, seče smo rub skup Ej k u nekoj tčki x. Ako bi x bil unutršnj tčk skup, ond bi skup seko unutršnost skup Ej k, što je nemoguće. Dkle, x. Poslednj činjenic je nemoguć, jer je otvoren, p ne sdrži ni jednu svoju rubnu tčku. Sledi d je m n (Ej k ) > z svki skup Ej k. Ako je merljiv podskup od R n, i ko je skup jednostvn, ond je i skup jednostvn. Stog su i ztvorenj otvorenih merljivih skupov tko de jednostvni skupovi. Teorem 1.6.2. Ako je merljiv i jednostvn skup u R n, i ko je f R(), ond je f ogrničen n.

1.7. IZRAČUNAVANJE INTERALA 31 Dokz. Pretpostvimo d je f neogrničen n. Z proizvoljno δ > postoji rzbijnje T = { 1,..., k } skup, tko d je d(t ) < δ i m( j ) > z svko j = 1,..., k. Funkcij f nije ogrničen n br jednom elementu iz T, recimo f nije ogrničen n 1. Posmtrjmo proizvoljne tčke ξ j j z j = 1,..., k, i odgovrjuću Rimnovu sumu σ T (f,, ξ) = f(ξ 1 )m n ( 1 ) + k f(ξ j )m n ( j ). Fiksirjmo vrednosti ξ 2,..., ξ k. Td z svko M > možemo odbrti tčku ξ 1 1, tko d je σ T (f,, ξ) M. Ovo je u suprotnosti s pretpostvkom f R(). Sledi d je f ogrničen n. j=2 1.7 Izrčunvnje integrl Integrle funkcij n merljivivm skupovim iz R n izrčunvmo njčešće njihovim svodjenjem n ponovljene integrle. 1.7.1 Slučj prostor R 2 Dokzćemo njpre osnovne rezultte u prostoru R 2. Teorem 1.7.1. Pretpostvimo d vži: (1) Funkcij (x, y) f(x, y) je integrbiln u prvougoniku Π = {(x, y) : x b, c y d}; (2) Z svko x [, b] postoji integrl Td integrl x f(x, y) dy definiše integrbilnu funkciju po x n segmentu [, b] i vži d f(x, y) dx dx = c d c f(x, y) dy. b d f(x, y) dy dx b d dx f(x, y) dy. Π c c

32 LAVA 1. INTERACIJA Dokz. Odberimo tčke c = y < y 1 < y 2 < < y n = d i = x < x 1 < x 2 < < x m = b s svojstvom y i y i 1 = h z svko i i x j x j 1 h z svko j. Odberimo proizvoljne tčke α j [x j 1, x j ] i β i [y i 1, y i ]. N ovj nčin postigli smo rzbijnje segment [c, d] i [, b], ko i rzbijnje prvougonik Π mnjim prvougonicim s temenim u tčkm (x j, y i ). Z proizvoljno x [, b] vži d je s h (x) = n f(x, β i )(y i y i 1 ) = i=1 n f(x, β i )h i=1 Rimnov sum integrl σ h = = n i=1 n i=1 d c f(x, y) dy. Tko de, m f(α j, β i )(x i x i 1 )(y j y j 1 ) j=1 m f(α j, β i )(x i x i 1 )h j=1 je Rimnov sum koj odgovr integrlu f(x, y) dx dy. Posmtrjmo Rimnovu sumu integrl S h = b Π s h (x) dx, koj je jednk m s h (α j )(x j x j 1 ) = σ h. j=1 Zbog uslov x j x j 1 h z svko j, sledi d ko dijmetr podele skup Π teži nuli, ond teže nuli i dijmetri podele segment [c, d] i [, b], ov činjenic se jednostvno opisuje ko h. N osnovu jednkosti dvojne i ponovljene grnične vrednosti funkcij dve promenljive, proizilzi i jednkost integrl: b d f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx. Time je teorem dokzn. Primer 1.7.1. Izrčunti Π Π c xy dx dy, gde je Π = [, 1] [2, 3].

1.7. IZRAČUNAVANJE INTERALA 33 Rešenje. Funkcij (x, y) f(x, y) = xy je neprekidn, te stog i integrbiln n skupu Π. N osnovu Teoreme 1.7.1, sledi xy dx dy = 1 3 x dx y dy = 5 4. Π 2 Definicij 1.7.1. Nek su φ i ψ neprekidne funkcije n segmentu [, b] i z svko x [, b] nek vži φ(x) ψ(x). Skup Ω = {(x, y) : φ(x) y ψ(x), x b} jeste elementrn skup u odnosu n y-osu (Slik 4). Slik 4. Teorem 1.7.2. Skup Ω u prethodnoj Definiciji 1.7.1 je merljiv u R 2. Dokz. Nek je I duž u rvni koj spj tčke (, φ()) i (, ψ()). Nek je J duž koj spj tčke (b, φ(b)) i (b, ψ(b)). Td je rub skup Ω Ω = I J Γ r (φ) Γ r (ψ), gde je Γ r (φ) grfik funkcije φ, Γ r (ψ) grfk funkcije ψ. rfik integrbilne funkcije, smim tim i neprekidne funkcije, im dvodimenzionlnu meru jednku nuli. Dkle, m 2 ( Ω) =, odkle proizilzi d je skup Ω merljiv u R 2. Teorem 1.7.3. Nek je Ω elementrn skup u odnosu n y-osu, odre den Definicijom 1.7.1. Nek je (x, y) f(x, y) integrbiln funkcij n skupu Ω,

34 LAVA 1. INTERACIJA pri čemu z svko x [, b] postoji integrl formul Ω f(x, y) dx dy = b dx ψ(x) φ(x) ψ(x) φ(x) f(x, y) dy. Td vži sledeć f(x, y) dy. Dokz. Funkcije φ i ψ su neprekidne n segmentu [, b] i dostižu, redom, svoj minimum i mksimum n ovom segmentu. Nek je c = min φ(x), x [,b] d = mx ψ(x). x [,b] Očigledno je Ω Π = [, b] [c, d]. Skup Ω je merljiv, p je i skup Π \ Ω tko de merljiv. Nek je funkcij F definisn n skupu Π sledeći nčin: { f(x, y), (x, y) Ω, F (x, y) =, (x, y) Π \ Ω. Sledi F (x, y) dx dy = F (x, y) dx dy + F (x, y) dx dy Π Ω = f(x, y) dx dy. Π\Ω Prem Teoremi 1.7.1, proizilzi d vži f(x, y) dx dy = b Ω d dx F (x, y) dy Ω = = b b c dx φ(x) ψ(x) dy + f(x, y) dy + d c φ(x) ψ(x) ψ(x) dx f(x, y) dy. dy Time je teorem dokzn. φ(x)

1.7. IZRAČUNAVANJE INTERALA 35 Primer 1.7.2. Izrčunti integrl x 2 dx dy n skupu = {(x, y) : 1 x 1, x 2 y 1} (Slik 5). Slik 5. Rešenje. N osnovu Teoreme 1.7.3, vži: x 2 dx dy = 1 1 1 1 dx x 2 dy = x 2 (1 x 2 ) dx = 4 15. x 2 1 Primer 1.7.3. Nek je skup ogrničen kružnicm x 2 + y 2 = 4 i x 2 2x + y 2 =. Prikzti dvostruki integrl f(x, y) dx dy ko dv uzstopn integrl (Slik 6). Slik 6. Rešenje. Skup je unij tri elemtrn skup u odnosu n y-osu: Ω 1 = {(x, y) : 2 x, 4 x 2 y 4 x 2 } Ω 2 = {(x, y) : x 2, 4 x 2 y 2x x 2 }, Ω 3 = {(x, y) : x 2, 2x x 2 y 4 x 2 }.

36 LAVA 1. INTERACIJA Prem Teoremi 1.7.3 sledi f(x, y) dx dy = + 2 2 dx dx 4 x 2 4 x 2 f(x, y) dy + 4 x 2 f(x, y) dy. 2 2x x 2 dx f(x, y) dy 4 x 2 2x x 2 Slik 7. Primer 1.7.4. Izrčunti integrl (Slik 7) I = π/2 dy π/2 y sin x x dx. Rešenje. Poznto je d neodre deni integrl sin x x sin x u končnom obliku. Vži lim x sin x x = ogrničen i neprekidn n posmtrnom skupu x dx ne može biti izrčunt = 1, odkle sledi d je funkcij (x, y) { (x, y) : y π 2, y x π } = {(x, y) : x π } 2 2, y x.

1.7. IZRAČUNAVANJE INTERALA 37 Prem Teoremi 1.7.3, vži: I = = π/2 π/2 dy π/2 y sin x x sin x x dx = x dy dx = sin x x π/2 dx dy = π/2 sin x dx = 1. x dx sin x x dy 1.7.2 Slučj prostor R n, n 3 Nije teško dokzti rezultt nlogn Teoremi 1.7.1 u prostoru veće dimenzije. Teorem 1.7.4. Nek su = k (b i i ) i K = m (d i c i ) prvougonici, i=1 redom, u R k i R m. Nek je funkcij f integrbiln n prvougoniku K. Ako z svko x postoji integrl f(x, y) dy, td vži formul K j=1 f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy. K K Definicij 1.7.2. Nek je merljiv skup u R n i nek su φ, ψ : R neprekidne funkcije s svojstvom φ(x) ψ(x) z svko x = (x 1,..., x n ). Skup Ω = {(x 1,..., x n, x n+1 ) : x, φ(x) x n+1 ψ(x)} R n+1 jeste elementrn skup u odnosu n osu x n+1. Teorem 1.7.5. Elementrn skup Ω, odre den Definicijom 1.7.2 je merljiv u prostoru R n+1. Teorem 1.7.6. Nek je Ω merljiv i elementrn skup u odnosu n osu x n+1, opisn u 2.21 Definiciji. Nek je (x, x n+1 ) f(x, x n+1 ) integrbiln funkcij

38 LAVA 1. INTERACIJA n Ω i nek z svko x postoji interl formul ψ(x) φ(x) f(x, x n+1 ) dx n+1. Td vži f(x, x n+1 ) dx dx n+1 = dx ψ(x) f(x, x n+1 ) dx n+1. Ω φ(x) Primer 1.7.5. Izrčunti trostruki integrl I = skup = [, 1] [2, 3] [4, 5]. xyz dx dy dz ko je Rešenje. Prem Teoremi 1.7.5 vži I = 1 3 x dx 5 y dy z dz = 45 8. 2 4 Primer 1.7.6. Izrčunti trostruki integrl I = z dx dy dz n skupu Ω ogrničenom rvnim x + y + z = 1, x =, y =, z = (Slik 1.7.2). Ω Rešenje. Skup Ω prikzn je n sledeći nčin: Ω = {(x, y, z) : x 1, y 1 x, z 1 x y}. Ω je elementrn u odnosu n z-osu. Nek je skup u rvni ogrničen prvm x+y = 1, x = i y =. Skup je elementrn u odnosu n y-osu.

1.8. SMENA PROMENLJIVIH 39 Prem Teoremi 1.7.5 vži z dx dy dz = dx dy 1 x y (1 x y) 2 dx dy Ω 1 1 x dx z dz = 1 2 (1 x y) 2 dy = 1 2 1 dx 1 x t 2 dt = 1 2 = 1 24. 1.8 Smen promenljivih U opštem slučju, potrebno je integrl neke funkcije izrčunti n skupu koji nije elementrn u odnosu n neku koordintnu osu. Stog se uvodi smen promenljivih. Skup ( R n ) je povezn ko z svke dve tčke A, B, postoji neprekidno preslikvnje γ : [, b] s svojstvom d je γ() = A i γ(b) = B. Otvoren i povezn skup jeste oblst. Ako je oblst, ond je ztvorenje oblsti. Posmtrmo preslikvnj definisn n oblstim u R n. Nek je R n oblst i nek su definisne funkcije (ξ 1,..., ξ n ) φ 1 (ξ 1,..., ξ n ),..., φ n (ξ 1,..., ξ n ) z ξ = (ξ 1,..., ξ n ). Td je φ(ξ) = (φ 1 (ξ 1,..., ξ n ),..., φ n (ξ 1,..., ξ n )) D, gde je D neki novi skup u R n. Preciznije, D je slik skup koordintnim preslikvnjim φ 1,..., φ n. Zhtev se d svi prcijlni izvodi prvog red φ i ξ j (i, j = 1,..., n) budu neprekidne funkcije n. Tko de, pretpostvlj se d je jkobijn 7 ovog koordintnog preslikvnj rzličit od nule, odnosno J = D(φ 1,..., φ n ) D(ξ 1,..., ξ n ) = φ 1 ξ 1. φ n ξ 1 φ 1 φ n. φ n ξ n 7 Crl ustv Jcob Jcobi (184-1851), nemčki mtemtičr

4 LAVA 1. INTERACIJA z svko (ξ 1,..., ξ n ). Td je preslikvnje φ = (φ 1,..., φ n ) : R n regulrno (ili dopustiv trnsformcij odnosno smen). Preslikvnje φ je bijektivno iz n D. Osim tog, φ je otvoreno preslikvnje, odnosno φ() = D, pri čemu je D oblst (videti dogovrjuće rezultte iz predmet Mtemtičk nliz 3). Formulišemo bez dokz tvr denje, koje ilustruje ulogu jkobijn preslikvnj. Teorem 1.8.1. Nek je φ : R n regulrno preslikvnje, pri čemu je oblst u R n. Nek je Π n-dimenzionln kock u strnice h, kojoj pripd tčk M i nek je Π = φ(π). Td je Π merljiv skup u R n i m n (Π ) lim h m n (Π) = lim m n (Π ) h h n = J(M) i ov konverencij je rvnomern po M. Ovde je s J(M) oznčen vrednost jkobijn preslikvnj φ u tčki M. Sd dokzujemo vžnu teoremu o smeni promenljivih u višestrukom integrlu. Teorem 1.8.2. Nek je merljiv oblst u prostoru promenljivih ξ 1,..., ξ n, D nek je merljiv oblst u prostoru promenljivih x 1,..., x n. Nek je φ = (φ 1,..., φ n ) : D regulrno preslikvnje, odnosno x 1 = φ 1 (ξ 1,..., ξ n ),..., x n = φ n (ξ 1,..., ξ n ), J = D(φ 1,..., φ n ) D(ξ 1,..., ξ n ), (ξ 1,..., ξ n ). Ako je (x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) neprekidn funkcij n skupu D, ond vži jednkost f(x 1,..., x n ) dx 1 dx n = (1.6) D = f(x 1 (ξ 1,..., ξ n ),..., x n (ξ 1,..., ξ n )) J (1.7) dξ 1 dξ n. (1.8)

1.8. SMENA PROMENLJIVIH 41 Dokz. Poznto je d je kompozicij neprekidnih funkcij tko de neprekidn funkcij. Oblsti D i su merljive, prem tome i ogrničene. Skupovi i D su kompktni. Neprekidne funkcije n kompktnim skupovim jesu integrbilne. Stog ob integrl u (1.6) postoje. Dokzujemo njihovu jednkost. Funkcij f je neprekidn n kompktnom skupu D, te je stog ogrničen n D. Postoji broj L >, tko d z svko x D vži f(x) L. Jkobijn J je neprekidno preslikvnje n kompktu. Stog postoji broj K, tko d z svko ξ vži J(ξ) K. Posmtr se podel prostor R n promenljivih ξ 1,..., ξ n prvm prlelnim koordintnim osm, pri čemu su susedne prlelne prve uvek n rstojnju h. Sve kocke koje imju neprzn presek s oznčimo s 1,..., l. Skup {1,..., l} podelimo n dv disjunktn skup I i J n sledeći nčin: i I ko i smo ko i = ; j J ko i smo ko j. Sd je j. j J Nek je D i = φ( i ), pri čemu je φ = (φ 1,..., φ n ). N osnovu Teoreme 1.8.1 postoje tčke M i i, i I, tko d vži m n (D i ) = J(M i ) m n ( i ) + ϵ(h)m n ( i ), pri čemu je lim ϵ(h) = rvnomerno po M i i. Nek je N i = φ(m i ) D i, h i I. Nek je ϵ > proizvoljn broj. N osnovu činjenice ( m) n ( ) = sledi d se h može odbrti dovoljno mlo, tko d je m n j < ϵ. Td je 4LK j J f(n i ) J(M i ) m n ( i ) < ϵ 4. (1.9) j J Očigledno vži f(n i )m n (D i ) = f(n i ) J(M i ) m n ( i )+ f(n i )ϵ(h)m n ( i ), (1.1) i I i I i I Obzirom d je konvergencij ϵ(h) kd h rvnomern po M i, sledi ϵ d postoji dovoljno mlo h, tko d je ispunjeno ϵ(h) <. Prem 4L m() tome, f(n i )ϵ(h)m n ( i ) L ϵ 4L m n () m n() = ϵ 4. (1.11) i I

42 LAVA 1. INTERACIJA N osnovu integrbilnosti funkcije f n skupu D sledi d postoji dovoljno mli broj h, s svojstvom D f(x) dx l f(n i ) m n (D i ) < ϵ 4. (1.12) i=1 Sum l f(n i ) J(M i ) m n ( i ) je Rimnov sum koj odgovr integrlu i=1 f(φ(ξ)) J(ξ) dξ. (1.13) Preslikvnje φ : D je regulrno, specijlno i neprekidno, te je ogrničeno. Postoji broj S >, tko d z svko ξ vži φ(ξ) S. Skupovi { 1,..., l } čine rzbijnje skup dijmetr h n (u n- dimenzionlnom prostoru). Prem tome, dijmetr rzbijnj { i } teži nuli ko i smo ko h. I fmilij {D 1,..., D l } čini rbijnje skup D dijmetr ne većeg od Sh n. Prem tome, ko h, ond i dijmetr rzbijnj {D i } teži nuli. Inverzno preslikvnje φ 1 : D je tkodje regulrno (i neprekidno). Prem tome, ko dijmetr rzbijnj {D i } teži nuli, ond i h. Regulrno preslikvnje φ : D je otvoreno, odnosno slik tčke skup u tčke skup D. Obzirom d je i inverzno preslikvnje regulrno (smim tim i otvoreno), sledi d φ preslikv rub skup n rub skup D. Prem tome, skup E = D j sdrži rub skup D i m(e) M n h n ( n) n. j J Z dto ϵ > postoji dovoljno mlo h, tko d vži m(e) ϵ. Sd je 4L f(n j ) m(d j ) < ϵ 4. (1.14) j J

1.8. SMENA PROMENLJIVIH 43 Sd dolzimo do procene: l f dx f(n i ) J(M i ) m n ( i ) D i=1 l f dx f(n i )m n (D i ) D i=1 + l l + f(n i )m n (D i ) f(n i ) J(M i ) m n ( i ) i=1 i=1 l f dx f(m i )m(d i ) D i=1 + + f(n i )m(d i ) f(n i ) J(M i ) m n ( i ) i I i I + f(n j )m n (D j ) + f(n j ) J(M j ) m n ( j ) j J ϵ 4 + ϵ 4 + ϵ 4 + ϵ 4 = ϵ j J Pri tome, prv psolutn vrednost je mnj od ϵ n osnovu (1.12), drug 4 psolutn vrednost je mnj od ϵ n osnovu formule (1.1) i nejednkosti 4 (1.11). Treć psolutn vrednost je mnj od ϵ n osnovu nejednkosti 4 (1.14). Četvrt psolutn vrednost je mnj od ϵ n osnovu nejednkosti 4 (1.9). Sd, imjući u vidu Rimnovu sumu integrl u (1.13), sledi tržen jednkost integrl D f dx = f(φ(ξ)) J(ξ) dξ. Prethodn teorem im primene u mnogim konkretnim slučjevim.

44 LAVA 1. INTERACIJA 1.8.1 Polrn smen u rvni Dobro je poznto d svk tčk P = (x, y) (, ) u rvni n jedinstven nčin može biti prikzn korišćenjem polrnog rdijus i polrnog ugl. Polrni rdijus je intenzitet vektor OP, polrni ugo je ugo koji pozitivni deo x-ose zklp s vektorom OP, počev od pozitivnog del x-ose suprotno kretnju kzljke n čsovniku (Slik 8). Slik 8. U ovom slučju z svku tčku (x, y) (, ) postoje jedinstveni brojevi r > i φ < 2π, tko d vži x = r cos φ, y = r sin φ. Nrvno, ko je x = y =, ond je r =, φ može biti bilo koji ugo. Inverzne trnsformcije jesu r = x 2 + y 2, φ = rctg y x. Jkobijn uvedenog preslikvnj jeste J = cos φ sin φ Očigledno je J zbog uslov r >. r sin φ r cos φ = r.

1.8. SMENA PROMENLJIVIH 45 Slik 9. Ako je skup cel rvn s izuzetkom koordintnog početk, nlizirmo št je skup D, odnosno domen promenljivih r i φ. Očigledno, r-os pripd skupu, li ne i ostli deo rub (Slik 9). Ovj nedosttk neće biti presudn prilikom izrčunvnj višestrukih integrl. Rzlog leži u činjenici d je površin tčke ili duži jednk nuli. Primer 1.8.1. Ispitti koju oblst u prostoru promenljivih r i φ polrn smen preslikv n krug : x 2 + y 2 R 2. Koristeći ovu smenu, izrčunti integrl I = (x 2 + y 2 ) dx dy. Rešenje. U nejednkosti x 2 + y 2 R, kojom je odre den unutršnost krug zmenimo promenljive x i y preko r i φ. Proizilzi r 2 R 2. Pri tome z promenljivu φ nem nikkvih ogrničenj, odnosno uslovi koji opisuju skup u ovom primeru jesu < r R i φ < 2π. Drugim rečim, vži D = {(r, φ) : < r R, φ < 2π}. Sd, koristeći Teoremu 1.8.2 o smeni promenljivih, proizilzi d vži I = 2π R (r 2 cos 2 φ + r 2 sin 2 φ)r dr dφ = dφ r 2 r dr = 1 2 R4 π. D

46 LAVA 1. INTERACIJA U ovom primeru ignorisn je centr krug, u koju se ne slik ni jedn tčk skup D, zbog uslov r >. Me dutim, to u ovom slučju nije od presudnog znčj z rčunnje integrl. Nime, integrl posmtrne funkcije (x, y) f(x, y) = x 2 + y 2 n skupu može se izrčunti ko zbir integrl n skupu 1 i n skupu 2. Pri tome 1 nek sdrži smo centr krug, odnosno 1 = {(, )}, 2 = \ 1. Kko je mer skup 1 jednk nuli, to će i integrl funkcije po tom skupu biti jednk nuli, i dovoljno je posmtrti integrl funkcije f n skupu 2. Sd je slik skup D = {(r, φ) : < r R, φ < 2π} polrnom smenom jednk skupu 2. Ko što se vidi, izuzeće skup 1 ne utiče n vrednost integrl. Ov nedorečenost koristi se u svim nrednim primerim bez posebnog obrzloženj. 1.8.2 Uopšten polrn smen Uopštene polrne koordinte se koriste kd je polzni domen integrcije elips, ne krug. Posmtr se preslikvnje x = r cos φ, y = br sin φ, φ < 2π, r >, gde su, b neke konstnte rzličite od nule. Td je jkobijn preslikvnj J = cos φ r sin φ b sin φ br cos φ = br. eometrijsk interpretcij ove trnsformcije sličn je interpretciji polrne smene. Nime, ko su dte vrednosti z x i y, pri čemu je (x, y) (, ), ond su jedinstveni r i φ odre deni n sledeći nčin: r = x 2 2 + y2 b 2 >, y φ = rctg xb [, 2π). Obrnuto, ko su poznte vrednosti r > i φ [, 2π), ond je formulm x = r cos φ, y = br sin φ odre den jedinstven tčk rvni s izuzetkom koordintnog početk. Ko i u slučju polrnih koordint, izuzeće koordintnog početk neće predstvljti poteškoće u izrčunvnju integrl. U izvesnim specijlnim slučjevim koristi se uopšten polrn smen x = r α cos β φ, y = br α sin β φ, φ [, 2π), r > (, b, α, β ).

1.8. SMENA PROMENLJIVIH 47 Primer 1.8.2. Izrčunti integrl I = x 2 + y2 2 b 2 x unutršnjost elipse, odnosno : 2 + y2 1,, b >. 2 b 2 Rešenje. Uvodimo uopštene polrne koordinte dx dy, gde je skup x = r cos φ, y = br sin φ, r >, φ [, 2π). Zmenom promenljvih r i φ u nejednkost koj odre duje unutršnjost elipse, sledi r 2 1. Obzirom d ne postoje ogrničenj z promenljvu φ, domen D promenljivih r i φ dt je n sledeći nčin: Sd je trženi integrl D = {(r, φ) : φ < 2π, < r 1}. I = 2π 1 dφ r brdr = 2 3 bπ. Primer 1.8.3. Izrčunti površinu figure u rvni, koj je ogrničen krivom 4 x y + 4 = 1 i prvm x =, y =, pri čemu je, b > (Slik 1). b Slik 1. Rešenje. Uvodimo uopštenu polrnu smenu x = r 4 cos 8 φ, y = br 4 sin 8 φ, φ [, 2π), r >.

48 LAVA 1. INTERACIJA Jkobijn uvedene smene je J = 32br 7 cos 7 φ sin 7 φ. Iz činjenice, b > sledi d mor biti x > i y >, te se nmeće uslov φ (, π/2). Zmenom uopštenih polrnih koordint u jednčinu krive koj odre duje rub skup, dobij se jednčin r = 1. Prem tome, domen promenljive r je intervl (, 1). U ovom domenu promenljivih r i φ jkobijn preslikvnj je pozitivn. Prem tome, tržen površin jednk je sledećem integrlu: I = 32b π/2 cos 7 φ sin 7 φ dφ 1 r 7 dr = b 7. 1.8.3 Cilindričn smen u trostrukom integrlu Cilindrične koordinte u prostoru R 3 predstvljju neposredno uopštenje polrnih koordint. Preciznije, u rvni promenljivih x, y uvodi se polrn smen, promenljiv z ostje nepromenjen: x = r cos φ, y = r sin φ, z = ξ, pri čemu je φ < 2π, r >, ξ R. Lko utvr dujemo d je z ovko uzet domen promenljive (r, φ, ξ) jkobijn preslikvnj dt n sledeći nčin: cos φ r sin φ J = sin φ r cos φ 1 = r >. eometrijsk interpretcij ovih smen je sledeć. Nek je P tčk u trodimenzionlnom prostoru s koordintm (x, y, z), nek je P ortogonln projekcij tčke P n rvn xoy. Td je ξ jednko z koordinti tčke P, r je rstojnje tčke P od koordintnog početk, φ je ugo meren od pozitivnog del x-ose do vektor OP, suprotno kretnju kzljke n čsovniku (Slik 11).

1.8. SMENA PROMENLJIVIH 49 Slik 11. Moguće je uvesti uopštenu cilindričnu smenu x = r cos φ, y = br sin φ, z = ξ, r >, φ [, 2π), ξ R, z proizvoljne, b. Td je jkobijn preslikvnj J = br. U izvesnim slučjevim uvodi se smen oblik x = r α cos β φ, y = br α sin β φ, z = ξ, r >, φ [, 2π), ξ R (, b, α, β ). Primer 1.8.4. Nći zpreminu tel, čij je grnic dt jednčinom (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = x 2 + y 2 (Slik 12).

5 LAVA 1. INTERACIJA Slik 12. Rešenje. Uvodimo cilindrične koordinte. Koristeći činjenicu r >, proizilzi d vži r 2 + ξ 2 = r, odnosno ξ = ± r(1 r). Veličin r(1 r) mor biti nenegtivn, odkle sledi < r 1. Z φ nem nikkvih ogrničenj, te je φ < 2π. Sd je očigledno d skup čij je grnic dt nvedenom jednčinom, dobijmo z ξ r(1 r). Stog vži m 3 () = 2π 1 dφ dr r(1 r) r dξ 1 = 4π r(1 r) r r 2 + r dr = π2 4. Poslednji integrl se može rešiti, n primer, Ojlerovom smenom r 2 + r = tr, odkle sledi r = 1 1+t 2 i t [, + ). Primer 1.8.5. Odrediti zpreminu tel ogrničenog površim z = x 2 + y 2, x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2 = 2x i z = (Slik 13).

1.8. SMENA PROMENLJIVIH 51 Slik 13. Rešenje. Uvodimo cilindričnu smenu x = r cos φ, y = r sin φ, z = ξ, pri čemu je r >, ξ R i φ ( π/2, π/2). Zmenom cilindričnih koordint u jednčine površi, dolzimo do sledećih jednčin u polrnom obliku: ξ = r 2, r = cos φ, r = 2 cos φ, ξ =. Iz prve i poslednje jednčine proizilze grnice promenljive ξ: ξ (, r 2 ). Iz druge (ko i treće) jednčine, iz uslov r > sledi uslov φ ( π/2, π/2). N krju, iz druge i treće jednčine proizilzi uslov z promenljivu r: r (cos φ, 2 cos φ). Prem tome, tržen zpremin jednk je integrlu I = π/2 π/2 dφ 2 cos φ cos φ r dr r2 dξ = 45π 32. Primer 1.8.6. Izrčunti zpreminu tel koje je ogrničeno površim x2 + 2 y 2 b + z2 2 c = 1 i x2 2 + y2 2 b = z, pri tome se im u vidu deo u unutršnjosti 2 c prboloid (, b, c > ) (Slik 14).