Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od f: pr 1 f druga projekcija od f: pr 2 f y (x, y) definišu se na sledeći način: pr 1 f def = {x A (x, y) f za neki y B} pr 2 f def = {y B (x, y) f za neki x A} x pr 1 f A Matematička logika 2 Funkcije - I deo

Korespondencije i relacije Primetimo da je korespondencija nije ništa drugo do relacija izmed u elemenata iz različitih skupova. Relacija na skupu A se može tretirati kao korespondencija iz skupa A u sebe samog. B f A B (A B) 2 B B Obratno, i korespondencija se može tretirati kao relacija na skupu (A B), pa se mnogi pojmovi koje smo definisali za relacije mogu preneti i na korespondencije. A A A A B A B Matematička logika 3 Funkcije - I deo

Grafičko predstavljanje korespondencija Korespondencija je zapravo ono što se u terminima teorije grafova naziva bipartitan digraf. Radi se o takvom grafu kod koga je skup čvorova podeljen u dve klase A i B, pri čemu svaka grana počinje u klasi A a završava se u klasi B. To je grafički prikazano na sledećoj slici: Matematička logika 4 Funkcije - I deo

Primeri korespondencije Primer 1.1. a) Neka je A = {a, b, c, d} i B = { 1, 0, 1}. Korespondencija iz A u B je, na primer, f = {(a, 1), (a, 1), (c, 0), (d, 1)}. Ona je grafički prikazana na sledećoj slici: A B a 1 Ovde je b 0 pr 1 f = {a, c, d} c 1 pr 2 f = { 1, 0, 1}. d Matematička logika 5 Funkcije - I deo

Primeri korespondencije b) Neka je g A P(A), gde je A = {a, b, c, d} i g = {(a, {a, b}), (b, {b, c, d}), (c, {c}), (d, {b, c, d})}. Tada je g korespondencija koja svakom elementu pridružuje neki podskup koji ga sadrži. Lako je odrediti projekcije. c) Svaka relacija ρ A 2 je korespondencija iz A u A. Matematička logika 6 Funkcije - I deo

Kompozicija korespondencija Neka su A, B i C neprazni skupovi i neka su date korespondencije f A B i g B C. Kompozicija ili proizvod korespondencija f i g je korespondencija f g A C definisana sa f g = {(x, z) A C ( y B)((x, y) f (y, z) g)}. A f y B g C x z f g Matematička logika 7 Funkcije - I deo

Primer kompozicije Primer 1.2. Neka je A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} i C = {u, v, w}, i neka su korespondencije f A B i g B C date sa f = {(a, 1), (a, 3), (c, 2), (d, 3)}, g = {(3, u), (3, w), (1, v)}. Tada je f g = {(a, u), (a, v), (a, w), (d, u), (d, w)}. 1 B A a b c d f 2 3 g C u v w A a b c d 3 1 3 3 3 f g C u v w Matematička logika 8 Funkcije - I deo

Funkcije (preslikavanja) Neka su A i B neprazni skupovi. Za korespondenciju f A B kažemo da je preslikavanje ili funkcija iz A u B ako uspunjava sledeće uslove: (i) pr 1 f = A; (ii) ako je (x, y 1 ) f i (x, y 2 ) f, onda mora biti y 1 = y 2. Uslov (i) često formulišemo i sa: f je definisana na celom skupu A, ili oblast definisanosti za f je celi skup A. Uslov (ii) nazivamo uslov jednoznačnosti. Oba uslova se mogu zajedno formulisati na sledeći način: ( ) za svaki x A postoji tačno jedan y B takav da je (x, y) f. Matematička logika 9 Funkcije - I deo

Jednoznačnost Dakle, jednoznačnost znači da nije dozvoljena situacija prikazana na sledećoj slici: A B x y 1 y 2 Dakle, da bi korespondencija bila jednoznačna, onda niti iz jedne tačke skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B. Matematička logika 10 Funkcije - I deo

Jednoznačnost Dakle, jednoznačnost znači da nije dozvoljena situacija prikazana na sledećoj slici: A B x y 1 y 2 Dakle, da bi korespondencija bila jednoznačna, onda niti iz jedne tačke skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B. Matematička logika 10 Funkcije - I deo

Korespondencije koje nisu funkcije Korespondencija prikazana na sledećoj slici (iz Primera 1.1.(a) ) ne zadovoljava nijedan od uslova (i) i (ii), pa nije funkcija. A a 1 B b c 0 d 1 Dakle, f nije definisana za b i ne zadovoljava uslov jednoznačnosti jer je element a u korespondenciji sa dva različita elementa. Matematička logika 11 Funkcije - I deo

Korespondencije koje nisu funkcije Korespondencija prikazana na sledećoj slici nije definisana na celom skupu A (nije definisana za b), ali zadovoljava uslov jednoznačnosti: A a 1 B b c 0 d 1 Prema tome, f nije funkcija iz A u B. Med utim, kako zadovoljava uslov jednoznačnosti, f je funkcija iz skupa {a, c, d} u skup B. Matematička logika 12 Funkcije - I deo

Parcijalna funkcija (preslikavanje) Korespondenciju f A B koja zadovoljava uslov jednoznačnosti nazivamo parcijalno preslikavanje ili parcijalna funkcija iz A u B. Primetimo da parcijalna funkcija f iz skupa A u skup B jeste funkcija iz skupa pr 1 f u skup B. Korespondencija iz prethodnog primera, prikazana na slici dole, je primer parcijalne funkcije: A a 1 B b c 0 d 1 Matematička logika 13 Funkcije - I deo

Primer funkcije (preslikavanja) Korespondencija prikazana na sledećoj slici zadovoljava oba uslova (i) i (ii) iz definicije funkcije, pa je funkcija iz A u B. A a b c d B 1 0 1 Prema uslovu ( ), da bi f bila funkcija iz A u B, za svaki x A mora da postoji tačno jedan y B takav da je (x, y) f. Med utim, to ne znači da za svaki y B mora da postoji tačno jedan x A takav da je (x, y) f. Matematička logika 14 Funkcije - I deo

Primer funkcije (preslikavanja) Na primer, za element 1 ne postoji nijedan element iz A sa takvim svojstvom, dok za 1 i 0 postoje po dva elementa iz A sa takvim svojstvom (a moguće je da ih bude i više). A a 1 B b c 0 d 1 Matematička logika 15 Funkcije - I deo

Primer funkcije (preslikavanja) Primer 1.3. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja od sledećih korespondencija u A B je funkcija? (a) f 1 = {(p, r), (r, p), (s, t)} (b) f 2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)} (c) f 3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} (d) f 4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} Rešenje: (a) Kod f 1 se element t ne javlja kao prva koordinata u paru, tj. pr 1 f 1 = {p, r, s} A, pa f 1 nije funkcija. Može se uočiti da je f 1 jednoznačna korespondencija, pa je parcijalna funkcija, tj. funkcija iz skupa {p, r, s} u B. Matematička logika 16 Funkcije - I deo

Primer funkcije (preslikavanja) (b) Kod f 2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A pojavljuje kao prva koordinata u nekom paru, tj. pr 1 f 2 = A. Med utim, p se pojavljuje dvaput kao prva koordinata, pa f 2 nije jednoznačna korespondencija. Prema tome, ni f 2 nije funkcija. (c) Kod f 3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A pojavljuje tačno jednom kao prva koordinata, što znači da je pr 1 f 3 = A i da je f 3 jednoznačna korespondencija. Dakle, f 3 je funkcija. (d) Kod f 4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} se element p nijednom ne pojavljuje kao prva koordinata u nekom paru, dok se element s pojavljuje dvaput. To znači da f 4 ne zadovoljava nijedan od uslova iz definicije funkcije. Dakle, ni f 4 nije funkcija. Matematička logika 17 Funkcije - I deo

Funkcije označavanje Neka je f funkcija iz skupa A u skup B. Ako je (x, y) f, onda se to beleži sa f(x) = y. Kažemo da se x slika u y, i x se naziva original, a y njegova slika. Skup A se zove domen ili oblast definisanosti funkcije f, dok se B naziva kodomen. A f(a) B Skup f(a) def = {y B y = f(x), za neki x A} je podskup kodomena koji nazivamo skup slika ili slika skupa A. Matematička logika 18 Funkcije - I deo

Funkcije označavanje U primeru na slici je f(a) = {1, 0}. A a b c d 1 0 1 B Ako je f funkcija iz A u B, to beležimo sa f : A B, a koristi se i oznaka f : x f(x) (za elemente). Matematička logika 19 Funkcije - I deo

Zadavanje funkcija Neka su A i B konačni skupovi, pri čemu je A = {a 1, a 2,..., a n }, i neka je f funkcija iz A u B. Tada se funkcija f može predstaviti na sledeći način: ( ) a1 a 2... a n f = f(a 1 ) f(a 2 )... f(a n ) Najčešće uzimamo da je A = {1, 2,..., n}, i u tom slučaju umesto ( ) 1 2... n f = f(1) f(2)... f(n) ponekad pišemo samo f = ( f(1) f(2)... f(n) ) Matematička logika 20 Funkcije - I deo

Jednakost funkcija Funkciju odred uju domen, kodomen i skup ured enih parova, pa se ona može smatrati ured enom trojkom (A, B, f) gde je f korespondencija iz A u B za koju važe uslovi (i) i (ii) iz definicije funkcije. To znači da su dve funkcije jednake ako imaju (1) iste domene, (2) iste kodomene, i (3) iste parove koji su u korespondenciji. Drugim rečima, funkcije f A B i g C D su jednake ako je A = C, B = D i f = g. Matematička logika 21 Funkcije - I deo

Još primera funkcija Primer 1.4. a) Ured eni parovi realnih brojeva i njihovih kvadrata obrazuju preslikavanje f : R R + {0} iz skupa svih realnih brojeva u skup svih nenegativnih realnih brojeva, koje se zadaje formulom f(x) = x 2 ili f : x x 2. Tako je y 4 f f( 2) = 2, f(0) = 0, f( 2) = 4, f(2) = 4, itd. 2 2 0 2 2 0 x Matematička logika 22 Funkcije - I deo

Još primera funkcija b) Neka je A = { 1, 1}. Ako se svakom racionalnom broju pridruži 1, a iracionalnom 1, onda se dobija funkcija iz R u A. c) Neka je A proizvoljan skup i B = {0, 1}. Ako je H A, onda se karakteristična funkcija podskupa H, u oznaci χ H, koja slika A u B definiše sa: χ H (x) def = { 1 ako x H 0 ako x H. Svakom podskupu H skupa A odgovara jedna karakteristična funkcija i obratno. Matematička logika 23 Funkcije - I deo

Restrikcija funkcije Ako je f : A B i X je neprazan podskup skupa A, onda definišemo novo preslikavanje f X : X B na sledeći način: za svaki x X je f X (x) def = f(x). Preslikavanje f X nazivamo restrikcija preslikavanja f na X. A f X f X B f(a) Matematička logika 24 Funkcije - I deo

Proširenje funkcije Obratno, neka je f : A B i neka je A X. Za preslikavanje F : X B kažemo da je proširenje ili ekstenzija preslikavanja f na skup X ako za svaki x A važi F(x) = f(x). Drugim rečima, F je proširenje od f na X ako se vrednosti preslikavanja F i f poklapaju na A. Takod e, F je proširenje od f na X ako i samo ako je f restrikcija od F na A. Matematička logika 25 Funkcije - I deo

Kompozicija funkcija Neka su dati skupovi A, B i C, i preslikavanja f : A B i g : B C. Kako je skup B istovremeno domen preslikavanja g i kodomen preslikavanja f, to se preslikavanje g može nadovezati na preslikavanje f. Drugim rečima, može se definisati kompozicija ili proizvod preslikavanja f i g, u oznaci f g, kao preslikavanje iz A u C, definisano sa f g(x) def = g(f(x)). A x f f(x) f g B g g(f(x)) C Primetimo da je kompozicija preslikavanja poseban slučaj kompozicije korespondencija, a time i kompozicije relacija. Matematička logika 26 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Primer 1.5. Neka je f : Z N funkcija definisana sa f(x) = x 2, a g : N Q je funkcija definisana sa g(x) = x 2. Tada je f g : Z Q funkcija zadata sa (f g)(x) = x2 2. Naime, prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je (f g)(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = x2 2. Matematička logika 27 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Primer 1.6. Neka su date funkcije f(x) = 3x + 4, g(x) = 3x 2. Kojim od sledećih izraza je predstavljena funkcija (f g)(x). (a) 9x 3 + 4x 2 (b) 27x 2 + 72x + 48 (c) 9x 2 + 4 (d) 3x 2 + 3x + 4 (e) nijednim od njih Rešenje: Matematička logika 28 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Primer 1.6. Neka su date funkcije f(x) = 3x + 4, g(x) = 3x 2. Kojim od sledećih izraza je predstavljena funkcija (f g)(x). (a) 9x 3 + 4x 2 (b) 27x 2 + 72x + 48 (c) 9x 2 + 4 (d) 3x 2 + 3x + 4 (e) nijednim od njih Rešenje: Dokazaćemo da je tačno (b). Matematička logika 28 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je (f g)(x) = g(f(x)) = g(3x + 4) = 3 (3x + 4) 2 = 3 (9x 2 + 24x + 16) = 27x 2 + 72x + 48 Dakle, (f g)(x) = 27x 2 + 72x + 48, tj. tačno je (b). Matematička logika 29 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Primer 1.7. Odrediti kompoziciju funkcija f i g zadatih sa: f = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 2 3 4 1 4 3 1 2 Matematička logika 30 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 4 3 1 2 Biramo argument 1 u tabeli funkcije f g Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 4 3 1 2 Prelazimo na taj isti argument u tabeli funkcije f Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 4 3 1 2 Nalazimo vrednost f(1) u tabeli funkcije f Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 4 3 1 2 Nalazimo vrednost f(1) med u argumentima u tabeli funkcije g Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 4 3 1 2 Nalazimo vrednost g(f(1)) u tabeli funkcije g Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 4 3 1 2 Vrednost g(f(1)) zapisujemo na odgovarajuće mesto u tabeli funkcije f g Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 4 3 1 2 Ponavljamo isti postupak za argument 2 u tabeli funkcije f g... Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 2 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 2 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 2 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 2 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 2 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 2 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 2 4 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = 1 2 3 4 2 3 4 1 f g = 1 2 3 4 g = 1 2 3 4 3 1 2 4 4 3 1 2 Matematička logika 31 Funkcije - I deo

Komutativni dijagram Ako je f : A B, g : B C i h : A C, onda se to predstavlja dijagramom kao na slici. f A B h C g Ako je pri tome h = f g, kaže se da dijagram komutira. Matematička logika 32 Funkcije - I deo

Asocijativnost kompozicije funkcija Kompozicija funkcija može se tretirati kao poseban slučaj kompozicije korespondencija, a ova se dalje može posmatrati kao poseban slučaj kompozicije relacija. Kako je kompozicija relacija asocijativna operacija, to zaključujemo da su takve i kompozicije korespondencija i funkcija. Med utim, daćemo i direktan dokaz za to. Matematička logika 33 Funkcije - I deo

Asocijativnost kompozicije funkcija Tvrd enje 1: Neka je f : A B, g : B C i h : C D. Tada je f (g h) = (f g) h. Dokaz: Domen obe funkcije, f (g h) i (f g) h, je skup A, a kodomen je D. Dalje, za proizvoljan x A je f (g h)(x) = g h(f(x)) = h(g(f(x))), (f g) h(x) = h(f g(x)) = h(g(f(x))), pa je jednakost dokazana. Matematička logika 34 Funkcije - I deo

Asocijativnost kompozicije funkcija Asocijativnost kompozicije funkcija može se objasniti i sledećim dijagramom: A f B (f g) h = f (g h) g h f g g D h C Matematička logika 35 Funkcije - I deo

Identička funkcija Identičko preslikavanje ili identička funkciju na skupu A je preslikavanje I A : A A definisano sa: I A (x) def = x, za svaki x A. Tvrd enje 2: Neka je f : A B. Tada je I A f = f I B = f. Dokaz: Domen funkcije I A f je očito A, a kodomen B. Dalje je I A f(x) = f(i A (x)) = f(x), tj. I A f = f. Dokaz druge jednakosti je sličan. Matematička logika 36 Funkcije - I deo

Levo i desno označavanje Funkcije se u praksi označavanju na dva načina: postoji levo označavanje i desno označavanje. Kod levog označavanja, znak funkcije se piše levo od argumenta, na primer f(x), kako smo to i do sada činili. Ukoliko funkcije označimo grčkim slovima ϕ, ψ itd, a argumente na koje one deluju latiničnim slovima x, y, z,..., a, b, c,..., tada ne moramo uvek pisati zagrade: umesto ϕ(x) možemo pisati samo ϕx. Kod desnog označavanja, znak preslikavanja se piše desno od argumenta, na primer xϕ. Takvo označavanje se ponegde zove još i Poljska notacija, jer ju je uveo Poljski matematičar - logičar Lukašijevič. Matematička logika 37 Funkcije - I deo

Levo i desno označavanje U slučaju levog označavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja ϕ : A B i ψ : B C je preslikavanje ϕ ψ : A C definisano sa (ϕ ψ)x def = ψ(ϕx). U slučaju desnog označavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja ϕ : A B i ψ : B C je preslikavanje ϕ ψ : A C definisano sa x(ϕ ψ) def = (xϕ)ψ. Dakle, ovde nema izvrtanja simbola ϕ i ψ. Leva notacija kod nas preovladava samo iz navike, uglavnom u matematičkoj analizi. Prednost je, inače, na strani desne notacije, i ona se u algebri, na primer, koristi više nego leva notacija. Matematička logika 38 Funkcije - I deo

Injektivne ("1-1") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je injektivno, 1 1 (to čitamo jedan-jedan ), ili da je injekcija, ako za sve x 1, x 2 A važi što je ekvivalentno sa x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Drugim rečima, nije moguća situacija prikazana na sledećoj slici: A x 1 x 2 f y B Matematička logika 39 Funkcije - I deo

Injektivne ("1-1") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je injektivno, 1 1 (to čitamo jedan-jedan ), ili da je injekcija, ako za sve x 1, x 2 A važi što je ekvivalentno sa x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Drugim rečima, nije moguća situacija prikazana na sledećoj slici: A x 1 x 2 f y B Matematička logika 39 Funkcije - I deo

Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Matematička logika 40 Funkcije - I deo

Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B Matematička logika 40 Funkcije - I deo

Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B za svaki y B Matematička logika 40 Funkcije - I deo

Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B y za svaki y B Matematička logika 40 Funkcije - I deo

Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B postoji x A y za svaki y B Matematička logika 40 Funkcije - I deo

Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B postoji x A x y za svaki y B Matematička logika 40 Funkcije - I deo

Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B postoji x A x y za svaki y B tako da je f(x) = y Matematička logika 40 Funkcije - I deo

Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B postoji x A f x y za svaki y B tako da je f(x) = y Matematička logika 40 Funkcije - I deo

Sirjektivne ("na") funkcije Drugim rečima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguća situacija prikazana na sledećoj slici: A f B f(a) Matematička logika 41 Funkcije - I deo

Sirjektivne ("na") funkcije Drugim rečima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguća situacija prikazana na sledećoj slici: A f B f(a) Matematička logika 41 Funkcije - I deo

Primeri "1-1" i "na" funkcija Matematička logika 42 Funkcije - I deo

Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B Matematička logika 42 Funkcije - I deo

Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B Primer 1-1 funkcije Matematička logika 42 Funkcije - I deo

Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Matematička logika 42 Funkcije - I deo

Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 Matematička logika 42 Funkcije - I deo

Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 Matematička logika 42 Funkcije - I deo

Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B A Primer 1-1 funkcije f B Primer funkcije koja nije 1-1 Matematička logika 42 Funkcije - I deo

Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B A Primer 1-1 funkcije f B Primer funkcije koja nije 1-1 Primer na funkcije Matematička logika 42 Funkcije - I deo

Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 A f B A f B Primer na funkcije Matematička logika 42 Funkcije - I deo

Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 A f B A f B Primer na funkcije Primer funkcije koja nije na Matematička logika 42 Funkcije - I deo

Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 A f B A f B Primer na funkcije Primer funkcije koja nije na Matematička logika 42 Funkcije - I deo

Bijektivne funkcije Za preslikavanje koje je istovremeno i injektivno i bijektivno kažemo da je bijektivno ili da je bijekcija iz A u (na) B. Identička funkcija I A na proizvoljnom skupu A je bijekcija iz A u A. Ako skup A ima bar dva elementa, onda sigurno ima i drugih bijekcija iz A u A. Bijekcija iz skupa A u sebe samog naziva se permutacija tog skupa. A f B Primer permutacije Matematička logika 43 Funkcije - I deo

Primeri injekcije, sirjekcije, bijekcije Primer 4: a) Funkcija f : R R, definisana sa f(x) = 2 x, je injektivna, jer iz x 1 x 2 sledi 2 x1 2 x 2, ali nije sirjektivna, jer negativni brojevi, kao ni nula, ne mogu biti stepeni sa pozitivnom osnovom. Ako se kodomen R zameni sa R +, onda je ova funkcija takod e i sirjektivna, tj. bijekcija je. b) Funkcija f : R R + {0}, definisana sa f(x) = x 2, je sirjektivna, jer svaki nenegativan realan broj a jeste kvadrat realnog broja a. Budući da se u a preslikava i a, ova funkcija nije injektivna. Matematička logika 44 Funkcije - I deo

Primeri injekcije, sirjekcije, bijekcije Primer 1.8. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja od sledećih korespondencija u A B je funkcija koja nije ni injektivna ni sirjektivna? (a) {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)} (b) {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} (c) {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} (d) nijedna od njih Rešenje: Dokazaćemo da je tačno (b). Matematička logika 45 Funkcije - I deo

Primeri injekcije, sirjekcije, bijekcije (a) Korespondencija {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}, ispunjava oba uslova iz definicije funkcije: svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata, nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata. Ta funkcija nije sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javlja element q. Med utim, funkcija je injektivna, jer se u drugoj vrsti nijedan element ne javlja dvaput. Prema tome, ova korespondencija ne ispunjava tražene uslove. Matematička logika 46 Funkcije - I deo

Primeri injekcije, sirjekcije, bijekcije (b) Korespondencija {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} ispunjava oba uslova iz definicije funkcije: svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata, nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata. Ova funkcija nije injektivna, jer se s javlja dvaput kao druga koordinata. Takod e, ova funkcija nije ni sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javljaju elementi q i r. Dakle, ova funkcija ima tražena svojstva. (c) Korespondencija {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} nije funkcija, jer kao prva koordinata se ne javlja p, pa nije definisana na celom A, element s se javlja dvaput kao prva koordinata, pa nije jednoznačna. Matematička logika 47 Funkcije - I deo

Permutacije Neka je funkcija f : A B, gde je A = {1, 2,..., n}, zadata sa ( ) 1 2... n f = f(1) f(2)... f(n) Kod ovakvog predstavljanja se na jednostavan način može uočiti da li je f injektivna ili sirjektivna funkcija. Naime: f je injektivna funkcija ako i samo ako su sve vrednosti u drugoj vrsti ove matrice med usobno različite. f je sirjektivna funkcija ako i samo ako se u drugoj vrsti gornje matrice pojavljuju svi elementi iz kodomena B. Matematička logika 48 Funkcije - I deo

Permutacije Zadatak 1.1. Neka je A konačan skup i f : A A. Dokazati da su sledeći uslovi ekvivalentni: (i) f je bijekcija; (ii) f je injekcija; (iii) f je sirjekcija. Rešenje: Dovoljno je dokazati ekvivalentnost uslova (ii) i (iii). Neka je A = {1, 2,..., n}. Posmatrajmo niz vrednosti f(1), f(2),..., f(n) Ako je f injekcija, tada su svi članovi ovog niza med usobno različiti, pa kako niz ima n članova, to su u njemu zastupljeni svi elementi iz A, što znači da je f sirjekcija. Obratno, ako je f sirjekcija, onda su u gornjem nizu zastupljeni svi elementi iz A, i kako niz ima isto onoliko članova koliko i skup A, to znači da su svi njegovi članovi različiti, odakle sledi da je f injekcija. Matematička logika 49 Funkcije - I deo

Svojstva injekcija i sirjekcija Tvrd enje 3: Neka je f : A B i g : B C. (a) Ako su f i g injekcije, onda je i f g injekcija. (b) Ako su f i g sirjekcije, onda je i f g sirjekcija. Dokaz: (a) Neka su f i g injekcije i x 1, x 2 A. Tada f g(x 1 ) = f g(x 2 ) g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) (definicija kompozicije) f(x 1 ) = f(x 2 ) (injektivnost za g) x 1 = x 2 što znači da je i f g injekcija. (injektivnost za f), Matematička logika 50 Funkcije - I deo

Svojstva injekcija i sirjekcija (b) Neka su f i g sirjekcije i neka je z C. Tada, zbog sirjektivnosti za g, postoji y B tako da je z = g(y), a zbog sirjektivnosti za f, postoji x A tako da je y = f(x). Odatle je z = g(y) = g(f(x)), tj. z = f g(x), pa je i f g sirjekcija. Posledica: Kompozicija bijekcija je takod e bijekcija. Matematička logika 51 Funkcije - I deo

Svojstva injekcija i sirjekcija Tvrd enje 4: Neka je f : A B i g : B C. (a) Ako je f g injekcija, onda je i f injekcija. (b) Ako je f g sirjekcija, onda je i g sirjekcija. Dokaz: (a) Neka je f g injekcija neka su x 1, x 2 A elementi takvi da je f(x 1 ) = f(x 2 ). Tada je g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )), zbog jednoznačnosti za g, tj. f g(x 1 ) = f g(x 2 ), odakle je x 1 = x 2, zbog injektivnosti za f g. Ovim smo dokazali injektivnost za f. Matematička logika 52 Funkcije - I deo

Svojstva injekcija i sirjekcija (b) Neka je f g sirjekcija i z C. Tada postoji x A, tako da je f g(x) = z, odnosno g(f(x)) = z. S obzirom da je f(x) = y B, to sledi da za z C postoji y B, tako da bude z = g(y), pa je g sirjekcija. Matematička logika 53 Funkcije - I deo