Odredite ekstreme, intervale monotonosti, točke infleksije, intervale konkavnosti i konveksnosti, za funkciju f(x) = sinx + cosx 2 Izračunaj površinu lika omedenog s pravcima y = 0, y = x + 6 i grafom funkcije f(x) = 4x x 2 Odredite jednadžbu tangente na parabolu zadanu jednadžbom y 2 = 4x, koja prolazi kroz točku vertikalno iznad njezinog fokusa Za koje vrijednosti parametra α R jednadžba α (x ) = (x α) 2 nema realnih rješenja? 2 U jednadžbi p (x ) 2 = 2p, p 0, odredi realni parametar p iz svakog od sljedećih uvjeta: ) korijeni jednadžbe su realni; 2) korijeni su recipročni i suprotnog predznaka; ) zbroj kubova korijena jednak je 5; 4) razlika korijena jednaka je ; 5) zbroj rješenja jednadžbe trostruko je veći od umnoška Riješi jednadžbu: ) 6x + 25x 2 + 4x = 0 2) x 2 ( + x) 2 + x 2 = 8 ( + x) 2 4 Odredi cijeli broj a za koji polinom x 2 x+a dijeli polinom x +x+90 5 Odredi ostatak pri dijeljenju polinoma f(x) = x 729 + x 8 + x 9 + polinomom g(x) = x 2
6 Odredi sve n Z za koje je n n 2 + n n 2 n + Z 7 Za polinome f i g odredi njihov kvocijent q i ostatak r, f(x) = x x 2 x i g(x) = x 2 2x + 8 Duljine stranica trokuta jednake su n 2 + n +, 2n + i n 2, gdje je n broj veći od Koliki je kut nasuprot najduljoj stranici? 9 Odredi duljine stranica trokuta ako vrijedi a: b = 2: 7, c = cm i α = 2γ 0 Kolika je površina pravilnog deveterokuta upisanog kružnici polumjera 5 cm? Kolika je dulijina po velični srednje dijagonale pravilnog deveterokuta ako je duljina njegove stranice 2 cm? 2 Uz neku cestu stoji prometni znak kojemu je uz naznaku uspona zapisano 2% Pod kojim se kutom u odnosu prema horizontalnoj površini uspinje ta cesta? Koliko je visoko drvo kojemu je duljina sjene na toj kosini 25 m, ako zrake sunca s kosinom zatvaraju 8? Omjer duljina osnovice i kraka jednakokračnog trokuta je 2 2 Koliki su kutovi u tom trokutu? 4 U kružnicu polumjera 4 upisan je šiljastokutan trokut ABC s duljinama stranica AB = 4 2, AC = 4 Odredi kutove trokuta 5 Dokaži da za svaki trokut vrijedi relacija: ctgα + ctgβ + ctgγ = a2 + b 2 + c 2 4P 2
Izračunaj: a Površinu paralelograma b Kutove paralelgrama c Drugu stranicu paralelograma Duljina jedne njegove stranice 5 cm, a duljine dijagonala 40 cm i 74 cm 2 Benfordov zakon ( ili takoder zvan zakon prve znamenke ) tvrdi da u listi brojeva skupljenih iz prirodnih izvora podataka raspodjela pojavljivanja prve znamenke nije uniformna (što bi bilo za očekivati), tj kao prva znamenka u takvim podacima ne pojavljuju se sve brojke ravnomjerno Prema Benfordovom zakonu kao prva znamenka u sustavu sa bazom 0 najviše se pojavljuje broj (gotovo u trećini slučajeva), te što je veća znamenka to se pojavljuje u sve manje slučajeva kao vodeća, da bi se znamenka 9 pojavljivala kao vodeća otprilike jednom u dvadeset slučajeva Preciznije zakon govori kako se vodeća znamenka d, d {, 2,, (b )} gdje je b baza pripadnog brojevnog sustava pojavljuje sa vjerojatnošću: p(d) = log b ( + d ) Ispuni tablicu s razdiobom učestalosti pojavljivanja znamenki u dekadskom sustavu b = 0 Učestalost je u postocima, tj f(d) = 00p(d) Heapov zakon: V R (n) = Kn β V je broj različitih riječi u tekstu duljine n, K i β su konstante K je konstanta izmedu 0 i 00, a β konstanta izmedu 0, 4 i 0, 6 Koliko je dugačak tekst u kojemu se pojavilo 800 različitih riječi, ako je K = 40 i β = 0, 4? 4 6 Riješi nejednadžbe: a) x 9x 0; b) 2x+ 2x < 5 x 2 x ;
c) x2 +0x+25 x 5 0; d) x + 5 < 2; e) 5 4x ; 7 Riješi jednadžbe: a) x + 4 7 = 5; b) 2 x 2x = 4x c) x + 2x + 5 + x 2x + 5 = 4 2; d) 2 x = 52 x ; e) log 5(x 7) = log 5 25; f) log 2 x + log x 2 = 2, 5 8 Žicom duljine 0 km treba ograditi pravokutno zemljište koje s jedne strane ima ravni zid (žicu je potrebno koristiti za preostale tri stranice), tako da površina tog zemljišta bude najveća moguća Kolika je površina tako ogradenog zemljišta? 9 Iz grafa odredi jednadžbu kvadratne finkcije: y (, ) x (, 2) Slika : 4
test u pripremnom ciklusu Koliki je postotak alkohola u smjesi koja se dobije miješanjem l 60 %-tnog alkohola s 5 l 82 %-tnog? 2 Koliki je zbroj svih prirodnih brojeva od do 000 koji su djeljivi sa 6 ili s 0? Zadan je beskonačan periodičan decimalan broj 4282828: a) Zapiši taj broj u obliku razlomka b) Koja je znamenka na 205 decimalnom mjestu? 4 Izračunaj: ( 2 + + 4 + ) 2 : 4 ( ) + 2 5 2 + 5 U mjestu A je 5 različitih točaka koje su sve spojene putevima s različita točke u mjestu B S koliko su različitih puteva povezana mjesta A i B? 6 Koliko je učenika u razredu ako znamo da ih 9 uči engleski, 2 njemački, francuski, 7 engleski i njemački, 6 francuski i njemački 8 engleski i francuski i engleski francuski i njemački? Koliko ih uči samo engleski? 7 Izračunaj: a) (x + 2) x (x ) 2 (22 5x) (22 + 5x); b) (2x 2 5xy + y 2 ) 2 8 Rastavi na faktore: a) 256a 4 625b 4 ; b) 27 8 a6 b + 64 25 c9 ; c) 6x 2 y 2 60xyz + 25z 2 ; 5
d) 4x y 2 z 2x 2 y 2 z + 2xy 2 z 4y 2 z; e) x 2 x 28 9 Izračunaj: a) 4x 2 + x + + ( 8x ) ( 2x + 4x 2 4x 2 2x + ) ; 2x ( x x + x2 b) ) x + (x ) 2 x x c) d) e) a b + a+b a+b a b a + b b a ; : x2 + x ; ( ) (x + y) 2 + 2y 2 ( x y x y + x + y x 2 + xy + y 2 y ) ; x ( a a + 2 ) ( a + a 2 4 a + 2a + 5 ) ( : a 2 a + ) ; 2a 0 Odredi najveću i najmanju visinu trokuta kojemu su zadane duljine stranica a = 29, b = 25, c = 6 Izračunaj površinu paralelograma ako je duljina jedne njegove stranice 5 cm, a duljine dijagonala 40 cm i 74 cm 6
2 test u pripremnom ciklusu Racionaliziraj nazivnik: 2 2 Izračunaj bez kalkulatora: a) 625 4 625 + 4 25 02; b) 2505 625 025 + 49 05 + 025 2 Riješi jednadžbu: a) x + 4 + x + = x + + x 4; b) x + 2x + 5 + x 2x + 5 = 4 2 4 Izračunaj: A) 6 7 6 + 4 7+, B) 6 2 5 + 2 6, C) 6 7 6 + 4 7+, D) 4 2 4 + 4 64 2 2 4 2, E) 2 02 + 9 05 + 025 024 0 2, ( ) a 4 F) b 4 b 4 2 a 2 a 4 b 4 5 Riješi sustav nejednadžbi: (5 x) 2 (x + 4) (x 4) 2x + 5 ; 2 45 + {6 [7 ( 8 2x)]} < 0 7
6 Riješi nejednadžbe: a) x 9x 0; b) 2x+ 2x < 5 x 2 x ; c) x2 +0x+25 x 5 0 7 Riješi jednadžbe: a) x + 4 7 = 5; b) 2 x 2x = 4x 8 Riješi nejednadžbe: a) x + 5 < 2; b) 5 4x ; c) 5 2x x+ < 0, 2 9 Odredi znamenku x u broju 054x70 ako je on djeljiv s 0 Dvoje ljudi raspolaže sa 6 novčanica od po 50 kn i sa 4 od po 00 kn na kolikon ih načina mogu a) medu sobom podijeliti; b) podijeliti tako da svaki od njih dobije jednak broj novčanica; c) podijeliti tako da svaki od njih dobije isti iznos novca? Od jednakih naranči slažemo piramidu kojoj je jednakostraničan trokut baza, npr najjednostavnija je s naranče u bazi i jednom u vrhu, to bi bila dvoslojna piramida Koliko je naranči potrebno za piramidu od 2 slojeva? 8
test u pripremnom ciklusu Izračunaj: 5 + 7 5 + 202 202 2025 202 2 Racionaliziraj nazivnik: a) 5 5, Izračunaj: a) b) 2 7 2 7 + 4 x y xy 2 xy xy 2, 4 Riješi jednadžbu: b) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + ( x y ) 2 x + 2 + x = 5 Riješi jednadžbe: a 2 x = 52 x ; b ( 2 x ( 9 ) x ) 8 = 27 ; 64 c log 5(x 7) = log 5 25; d log 2 x + log x 2 = 2, 5 6 Riješi sustav: x z = 5 y 8 ; 9
z log 2y = 2 5 log 2x; z = x + y 7 ph vrijednost neke tvari definirana je izrazom: ph = log c(h + ) ili c(h + ) ph = log mol dm c(h + ) je koncentracija vodikovih iona u otopini a Koliki je ph kloridne kiseline kojoj je koncentracija 0,00mol dm? b Izrazi koncentraciju vodikovih iona iz prve dane jednadžbe (one zapisane bez jedinica) 8 Benfordov zakon ( ili takoder zvan zakon prve znamenke ) tvrdi da u listi brojeva skupljenih iz prirodnih izvora podataka raspodjela pojavljivanja prve znamenke nije uniformna (što bi bilo za očekivati), tj kao prva znamenka u takvim podacima ne pojavljuju se sve brojke ravnomjerno Prema Benfordovom zakonu kao prva znamenka u sustavu sa bazom 0 najviše se pojavljuje broj (gotovo u trećini slučajeva), te što je veća znamenka to se pojavljuje u sve manje slučajeva kao vodeća, da bi se znamenka 9 pojavljivala kao vodeća otprilike jednom u dvadeset slučajeva Preciznije zakon govori kako se vodeća znamenka d, d {, 2,, (b )} gdje je b baza pripadnog brojevnog sustava pojavljuje sa vjerojatnošću: p(d) = log b ( + d ) Ispuni tablicu s razdiobom učestalosti pojavljivanja znamenki u dekadskom sustavu b = 0 Učestalost je u postocima, tj f(d) = 00p(d) 0
domaca zadaca Heapov zakon: V R (n) = Kn β V je broj različitih riječi u tekstu duljine n, K i β su konstante K je konstanta izmedu 0 i 00, a β konstanta izmedu 0, 4 i 0, 6 Koliko je dugačak tekst u kojemu se pojavilo 800 različitih riječi, ako je K = 40 i β = 0, 4? 2 Cijena dionice mijenjala se tijekom 5 dana u tjednu ovako:povećana za 5 % posto (+5%), pa snižena za 2 % (-2%), +%, +08% i u petak je pala za % Kolika je njena ukupna promjena u tom tjednu? Koliki je omjer površina popunjenih krugova? 4 Iz grafa odredi jednadžbu kvadratne finkcije: y (, ) x (, 2) Slika 2:
5 Za polinom f(x) = ax 2 +bx+c vrijedi da je razlika njegovih nul točaka 0, a tjeme njegovog grafa je u točki T (2, 5) Koliko je f (2)? Nacrtaj i opiši tok grafa polinoma 6 Riješi kvadratnu nejednadžbu 4 + x 7x 2 0 4 Izračunaj jednadžbe tangenata od parabole y = 2( x + 2) 2 + 8 u njezinim nul točkama 5 Odredite µ R tako da funkcija f (x) = x 2 +(2µ ) x+ ima samo pozitivne vrijednosti za sve x R 7 Žicom duljine 0 km treba ograditi pravokutno zemljište koje s jedne strane ima ravni zid (žicu je potrebno koristiti za preostale tri stranice), tako da površina tog zemljišta bude najveća moguća Kolika je površina tako ogradenog zemljišta? 8 Olovna kuglica je ispucana brzinom od 720kmh pod kutom od 45 u odnosu na horizontalu Na udaljenosti od 00m je vertikalni zid Hoće li kuglica preletjeti zid visok 00 m? 2