Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu i implicitnih, koji imaju bolje karakteristike brže konvergiraju, imaju veći red tačnosti i veće oblasti stabilnosti. Naime, kod implicitnih metoda za odred ivanje vrednosti treba rešiti nelinearnu jednačinu 1 = hb k fx, + ϕ, gde je ϕ = h β i f n+i α i n+i. i=0 Kada je fx, nelinearna funkcija koja zadovoljava Lipšicov uslov po promenljivoj sa konstantom L, jednačina 1 se može rešiti iterativnim procesom 2 [s+1] i=0 = hb kfx, [s] + ϕ, s = 0, 1,..., polazeći od proizvoljne vrednosti [0], ako je h b k L < 1. Osnovna ideja prediktor-korektor metoda je da se startna vrednost [0] izračuna primenom neke eksplicitne metode koja se naziva prediktor u oznaci P, a zatim se primeni implicitni metod koji se naziva korektor u oznaci C, odnosno iterativni proces 2. Ako je unapred zadata tačnost ε iterativni proces 2 se prekida kada je [s+1] [s] < ε, i tada se za vrednost uzima poslednja izračunata vrednost [s+1]. Med utim ovakva primena prediktor-korektor metoda zahteva veliki broj izračunavanja, pa se ove metode najčešće primenjuju tako što se unapred fiksira broj m primena iterativnog procesa. prediktor P : αj = h βj f korektor C : α j = h β j f E : izračunavanje vrednosti funkcije 1

Postoje dva tipa prediktor-korektor metoda P EC m : P EC m E : P : [0] = h βj f [m 1] E : f [s] = f x, [s] C : [s+1] P : [0] = h E : = hβ kf [s] + h βj f [m] E : f [s] = f x, [s] C : [s+1] = hβ kf [s] + h f [m] = f x, α j β j f [m 1] α j β j f [m] α j α j s = 0, 1,..., m 1 s = 0, 1,..., m 1 Lokalna greška diskretizacije PC metoda Neka je p red tačnosti prediktora, p red tačnosti korektora i p reda tačnosti PC metode. Tada je 3 4 5 L h[x] = C h p +1 p +1 x + Oh p +2, L h [x] = C h x + Oh p+2, L h [x] = Ĉ h x + Oh p+2. Pod lokalnim pretpostavkama = x, j = 0, 1,..., k 1, za prediktor imamo dok je za korektor odnosno za neko ξ [s] L h[x n ] = x [0], [ φx [s+1] = E h + hβ k f x, [s] fx, x ] x [s+1] izmedju [s] i φx. = L h[x n ] + hβ k fx, ξ [s] [s] x 2

1 p p: Red tačnosti prediktora je veći ili jednak od reda tačnosti korektora. Imamo x [1] fx, ξ [0] = L h [x n ] + hβ k = C h x n + Oh p+2 [0] x fx, ξ [0] + hβ k = C h x n + Oh p+2 = L h [x n ] x [s+1] fx, ξ [s] = L h [x n ] + hβ k C h p +1 p +1 x n + Oh p +2 [s] x = C h x n + Oh p+2 fx, ξ [s] + hβ k = C h x n + Oh p+2 = L h [x n ] Oh Dakle, p = p, odnosno lokalna greška diskretizacije PC metode jednaka je sa lokalnom greškom diskretizacije korektora. 2 p = p 1: Imamo x [1] = C h x n + Oh p+2 fx, ξ [0] + hβ k C h p p x n + Oh = C x n + C p fx, ξ [0] x n β k h + Oh p+2 = Oh x [s+1] = C h x n + Oh p+2 fx, ξ [s] + hβ k = C h x n + Oh p+2 = Oh, s 1 Oh Dakle, za m = 1 lokalna greška diskretizacije PC metoda je istog reda kao lokalna greška diskretizacije korektora, dok je za m 2 lokalna greška diskretizacije PC metoda jednaka lokalnoj greški diskretizacije korektora. 3 p = p 2: Imamo x [1] = C h x n + Oh p+2 fx, ξ [0] + hβ k C h p 1 p 1 x n + Oh p = C p 1 fx, ξ [0] x n β k h p + Oh = Oh p 3

x [2] = C h x n + Oh p+2 fx, ξ [1] + hβ k C p 1 fx, ξ [0] x n β k h p + Oh = C x n + C p 1 x n βk 2 fx, ξ [1] fx, ξ [0] h + Oh p+2 = Oh x [s+1] = C h x n + Oh p+2 fx, ξ [s] + hβ k = C h x n + Oh p+2 = Oh Oh Dakle, za m = 1 je p = p 1, za m = 2 je lokalna greška diskretizacije PC metoda istog reda kao lokalna greška diskretizacije korektora, dok je za m 3 lokalna greška diskretizacije PC metoda jednaka sa lokalnom greškom diskretizacije korektora. Lema 1 1. Ako je p p, lokalna greška diskretizacije P EC m E i, i = 0, 1 metode jednaka je sa lokalnom greškom diskretizacije korektora. 2. Ako je p = p q, lokalna greška diskretizacije P EC m E i, i = 0, 1 metode jednaka je sa lokalnom greškom diskretizacije korektora za m q + 1 ; istog reda kao lokalna greška diskretizacije korektora za m = q; je reda p q + m + 1oblika je Ĉhp q+m+1 + Oh p q+m+2 za m q 1. Prema prethodnoj analizi možemo zaključiti da koristiti prediktor reda p > p nema smisla jer ne utiče na povećanje reda tačnosti PC metode. Najbolje je uzeti p = p m, naročito ako je m = 1. Takod e, odlično je uzeti i p = p sa primenom Milneovog pravila. Najčešća primena PC metoda je kombinacijom Adams-Bashfortovih metoda kao prediktor i Adams-Moultonovih metoda kao korektora iste koračnosti ili istog reda tačnosti uz primenu Milneovog pravila. Milneovo pravilo Razmotrimo sada posebno slučaj kada je p = p. Tada je 6 7 x [0] = C h x n + Oh p+2 x = C h x n + Oh p+2 za prediktor za korektor odakle oduzimanjem dobijamo Tada je za korektor [0] = C C h x n + Oh p+2. E h C h x n = C C C [0] 4

Koristeći dobijenu ocenu LGO, možemo poboljšati vrednost dobijenu korektorom - primenom tkz. Milneovog pravila. Označimo sa M izvršenu modifikaciju korekciju. M : ŷ [m] = [m] + C C C [0] Modifikaciju korektora možemo primeniti na dva načina P ECM m E i ili P EC m ME i, za i = 0, 1. Slično može se izvršiti i modifikacija prediktora. Za prediktor imamo E h C h x n = C C C [0]. Medjutim, prethodna ocena LGO ne može se iskoristiti za modifikaciju prediktora, jer u trenutku primene prediktora nemamo vrednost dobijenu korektorom. Ali kako je C C h x n = C h x n 1 + Oh p+2 C 1 C [0] 1 za modifikovanu vrednost prediktora može se uzeti L : ŷ [0] = [0] + C C 1 C [0] 1 Stabilnost PC metoda Primenimo PC metod na linearan model problem: M S λ : = λ, 0 = 1, 0 x X gde je λ C. Neka je ĥ = hλ, H = ĥβ k, M m H = Hm 1 H 1 H m, W = C C C Neka su ρ z, σ z, odnosno ρz, σz prvi i drugi karakteristični polinom prediktora, odnosno korektora ρ z = αjz j, σ z = βj z j, ρz = α j z j, σz = β j z j, i neka su π z, ĥ, πz, ĥ polinomi stabilnosti prediktora, odnosno korektora π z, ĥ = ρ z ĥσ z, πz, ĥ = ρz ĥσz Primenimo najpre P EC m E na M S λ. m = 1: [0] = ĥβ j αj [1], [1] = ĥβ k [0] + ĥβ j α j [1] 5

m = 2: [1] = ĥβj α j + ĥβj α j [1] + H ĥβkĥβ j αj [1] ĥβ j αj [1] = 0 π P ECE z, ĥ = πz, ĥ + ĥβ kπ z, ĥ = πz, ĥ + H π z, ĥ [0] = [2] = ĥβ j αj [2], [2] = ĥβ k [1] [1] = ĥβ k [0] + ĥβj α j + ĥβ k ĥβj α j + 1 + H ĥβj α j [2] + H2 + ĥβ j α j [2] ĥβ j α j [2] ĥβkĥβ j αj [2] ĥβ j α j [2] = 0 π P EC 2 Ez, ĥ = πz, ĥ + H2 1 + H π z, ĥ Nastavljajući postupak dobija se polinom stabilnosti P EC m E metode odnosno P EC m E: Primetimo da je H m π P EC m Ez, ĥ = πz, ĥ + 1 + H + + H m 1 π z, ĥ π P EC m Ez, ĥ = πz, ĥ + M mhπ z, ĥ lim M mh = 0, ako je H < 1, m što znači da u tom slučaju π P EC m Ez, ĥ πz, ĥ, m, tj. apsolutna stabilnost PC metode je približna aposlutnoj stabilnosti korektora. Sličnom analizom dobija se polinom stabilnosti P EC m metode. P EC m : π P EC mz, ĥ = β kz k πz, ĥ + M mh ρ zσz ρzσ z Može se pokazati da oba polinoma stabilnosti π P EC m, π P EC m imaju koren r 1 = eĥ + Oĥ, tako da su obe metode apsolutno nestabilne za ĥ > 0. Oblasti stabilnosti nekih od ovih metoda prikazani su na Slici 1. i 2. 6

Slika 1: a Oblasti stabilnosti P, P EC, P ECE; b Oblasti stabilnosti P, P EC 2, P EC 2 E Slika 2: a Oblasti stabilnosti P, P EC 3, P EC 3 E; b Oblasti stabilnosti P, P EC 5, P EC 5 E Ako uključimo modifikaciju prediktora Milneovim pravilom dobijamo sledeće polinome stabilnosti: P ECM m E: P ECM m : π P ECM m Ez, ĥ = 1 + W πz, ĥ + M m H + W H W π z, ĥ π P ECM mz, ĥ = β kz k[ 1 + W πz, ĥ W π z, ĥ] + M m H + W H ρ zσz ρzσ z P EC m ME: P EC m M: π P EC m MEz, ĥ = 1 + W πz, ĥ + M m H + H 1W π z, ĥ π P EC m Mz, ĥ = β kz k[ 1 + W πz, ĥ W π z, ĥ] + M m H + W H ρ zσz ρzσ z 7