MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS UDŽBENICI SVEUČILIŠTA U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS UDŽBENICI SVEUČILIŠTA U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Zdravko Virag, Mario Šavar, Ivo Džijan MEHANIKA FLUIDA II TEKSTOVI ZADATAKA ZA VJEŽBE Zagreb, 17.

1. Vježbe Matematičke osnove 1.1 Nađite prirast tlaka Δp od ishodišta do točke {r i } m =(; 3; -4) fluida u relativnom mirovanju, ako je specifična masena sila {f i } m/s =(3; -; 9,8665). Zadana je gustoća fluida ρ = 998, kg/m 3. 1. Pri rotaciji fluida poput krutog tijela polje brzine zadano je jednadžbom v= ω r, gdje je ω kutna brzina rotacije, a r vektor položaja u odnosu na pol rotacije. a) Odredite brzinu v u točki {r i } m = (1, 3, 5) ako je {ω i } 1/s = (, 1, 3) b) Odredite rot v i usporedite ga s kutnom brzinom rotacije ω. 1.3 1 Temperaturno polje zadano je funkcijom T 1 r. Odredite gradt u kartezijskim i sfernim koordinatama. gd 1.4 Osnovna jednadžba statike fluida glasi r f = grad p. Raspišite ovu jednadžbu u cilindarskim i kartezijskim koordinatama. 1.5 Svako polje brzine može se prikazati pomoću svog skalarnog potencijala ϕ i vektorskog potencijala ψ i u obliku v i j ψ k = + ε ijk x x i j Nađite cilindarske komponente vektora brzine v u točki Zadano je ϕ = ln r + ϑ i ψ = 3re r + ze + ϑe z. 1.6 Prevedite jednadžbu kontinuiteta ( ρv j ) ρ + = t x j ϑ r = 1 m, ϑ =, z = 1 m. u cilindarske koordinate. Kolika je brzina relativne promjene gustoće fluida 1 Dρ ako je polje brzine v= r. ρ Dt Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 1

1.7 Zadan je skalarni potencijal brzine za ravninsko strujanje u cilindarskim koordinatama 1 ϕ = r + cos ϑ r Provjerite zadovoljava li zadani potencijal Laplaceovu jednadžbu ϕ = ϕ =. d Odredite polje brzine iz jednadžbe v = grad ϕ i odredite točke zastoja ( v = ). Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe

. Vježbe Elementarna potencijalna strujanja: linijski singulariteti.1 Pronađite funkciju toka ψ ako je potencijal brzine ravninskog strujanja ϕ = V cosα x1+ Vsinα x, gdje je V konstanta. Skicirajte strujnice za ovo polje brzine.. Odredite funkciju toka ψ ako je potencijal brzine ravninskog strujanja zadan u polarnim koordinatama izrazom ϕ = mln r. Skicirajte strujnice i dajte fizikalno tumačenje konstante m..3 Odredite funkciju toka ψ ako je potencijal brzine ravninskog strujanja zadan polarnim koordinatama ϕ = Cϑ. Povežite konstantu C s cirkulacijom brzine Γ po zatvorenoj krivulji koja obuhvaća ishodište koordinatnog sustava..4 Odredite potencijal brzine ϕ ako se u ravninskom strujanju u točki A( ab, ) nalazi izvor kapaciteta Q. Odredite funkciju toka ψ i skicirajte strujnice..5 Odredite potencijal brzine ϕ u ravninskom strujanju, ako se u točki A( a,) nalazi ponor kapaciteta Q, a u točki B( a,) izvor istog kapaciteta. Odredite funkciju toka ψ i skicirajte strujnice..6 Odredite sliku strujanja za slučaj ravninskog izvora i ponora jednakih kapaciteta Q smještenih na pravcu koji prolazi ishodištem koordinatnog sustava i čini kut α s pozitivnim smjerom osi 1 ( r, ϑ) ( a, a π) x. Izvor je u točki ( r, ϑ) ( a, a) =, a ponor u točki = +. Odredite potencijal ovog strujanja ako udaljenost a među singularitetima teži k nuli, a kapacitet Q k beskonačnosti, ali tako da umnožak aq = m ostaje konstantan. Odredite funkciju toka ψ i skicirajte strujnice za slučaj α =. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 3

3. Vježbe Primjene potencijalnog strujanja 3.1 Usisna košara duljine H, kroz koju se usisava voda protokom Q K, potopljena je pod vodom, a načinjena je iz žičane mreže i postavljena u blizini vertikalne stijenke, prema slici. Odredite sliku strujnica u horizontalnoj ravnini uz pretpostavku ravninskog potencijalnog strujanja, pri čemu je usisna košara modelirana ravninskim ponorom kapaciteta Q= Q / H. K 3. Otpadne vode ispuštaju se u rijeku kroz vertikalno postavljeni filter duljine H protokom Q F. Pretpostavlja se da je brzina V rijeke jednolika po presjeku. Pretpostavite ravninsko potencijalno strujanje fluida, a ispust otpadne vode kroz filter zamijenite ravninskim izvorom kapaciteta Q = Q / H F. Odredite širinu područja otpadne vode u horizontalnoj ravnini strujanja. 3.3 Odredite potencijal ϕ, strujnu funkciju ψ i točke zastoja pri optjecanju Rankinova ovala brzinom V. Ovo ravninsko potencijalno strujanje je sastavljeno od paralelnog strujanja brzinom V u pozitivnom smjeru osi x 1, izvora kapaciteta Q u točki A( a,) i ponora istog kapaciteta u točki B( a,). Odredite duljinu L ovala u funkciji V,Q i a. Odredite protok Q kod kojega će poluširina ovala biti b = a. 3.4 Potencijalno optjecanje dugog kružnog cilindra može se modelirati kombinacijom paralelnog strujanja i ravninskog dipola. Pretpostavite da je cilindar postavljen vertikalno, a da je paralelno strujanje okomito na simetralu cilindra. Odredite sliku strujanja, brzinu i tlak po obodu cilindra. Kolika je rezultirajuća sila tlaka na cilindar? 4 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe

4. Vježbe Potencijalno osnosimetrično strujanje 4.1 Odredite vertikalnu silu na cilindar pri cirkulacijskom potencijalnom ravninskom optjecanju cilindra polumjera r. U središtu cilindra se nalazi vrtlog negativne cirkulacije Γ <, a brzina paralelnog strujanja v je u pozitivnom smjeru osi x 1. 4. Strujanje zraka izvan centra (oka) tornada pri površini zemlje, modelira se kombinacijom ponora i vrtloga. Pronađite raspored tlaka u polju strujanja tornada i skicirajte strujnice, ako oko tornada ima polumjer r = m, a brzina strujanja na rubu oka iznosi v max = 5 m/s. Pretpostavite dotok zraka u oko tornada protokom Q = 5 m 3 /s/m. Zadana je gustoća zraka ρ = 1, kg/m 3. 4.3 Odredite potencijal brzine za strujanje iz točkastog izvora. 4.4 Odredite potencijal brzine za točkasti (trodimenzijski) dipol i kartezijske komponente brzine, inducirane dipolom momenta µ orijentiranim u pozitivnom smjeru osi x 1. 4.5 Odredite raspodjelu brzine i tlaka po površini kugle polumjera R pri njenom potencijalnom optjecanju jednolikim profilom brzine v. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 5

5. Vježbe Potencijalno strujanje: pridružena masa i kontinuirana raspodjela singulariteta 5.1 Odredite silu fluida na kuglu polumjera R, koja se giba pravocrtno kroz neviskozni fluid (izazivajući potencijalno strujanje fluida) vremenski promjenjivom brzinom U= Ut (). Odredite početno ubrzanje kugle (nakon njena 3 puštanja iz stanja mirovanja), ako je njena gustoća r = 1 kg/m, a potopljena je 3 u vodu gustoće r =1 kg/m. 5. Odredite vezu između potencijala brzine i strujne funkcije u osnosimetričnom potencijalnom strujanju i odredite funkciju toka za stacionarno potencijalno optjecanje kugle. 5.3 Odredite strujnu funkciju u osnosimetričnom potencijalnom strujanju za slučaj kontinuirano raspodijeljenih izvora gustoće q na segmentu osi z od z = a do z = b. 5.4 Odredite potencijal i polje brzine u ravninskom strujanju za slučaj kontinuirano raspodijeljenih izvora konstantne gustoće q na segmentu osi x 1 od x1 = a do = b. x1 6 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe

6. Vježbe Potencijalno strujanje: Metoda panela 6.1 Za rješavanje problema optjecanja složenih geometrija upotrebljavaju se numeričke metode. Za slučaj potencijalnog optjecanja najčešće se koristi metoda panela. Primjenom metode panela odredite raspodjelu tlaka i silu pri ravninskom potencijalnom optjecanju beskonačnog cilindra polumjera R =. Za modeliranje strujanja uzmite četiri panela s konstantnom raspodjelom izvora. Rezultate usporedite s analitičkim rješenjem. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 7

7. Vježbe Egzaktna rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi 7.1 U prostoru između dvije horizontalne ravne ploče, udaljene za h, nalazi se fluid konstantne gustoće ρ i konstantne dinamičke viskoznosti µ. Donja ploča miruje, a gornja se giba konstantnom brzinom u (Couetteovo strujanje). Uz pretpostavku ravninskog, stacionarnog, laminarnog strujanja s izobraženim profilom brzine i uz zanemarenje masenih sila odredite: a) profil brzine u strujanju u zavisnosti od uzdužnog gradijenta tlaka d p/dx 1, b) smično naprezanje na ploči (silu potrebnu za vuču ploče jedinične duljine i širine), c) protok kroz presjek jedinične širine okomito na ravninu slike i srednju brzinu, d) vezu između pada tlaka na duljini L i srednje brzine pri u = (Poiseuilleovo strujanje). r =konst. µ =konst. h 8 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe

7. Odredite profil temperature u Couetteovom strujanju iz prethodnog zadatka, pri d p/dx 1 =, ako je T temperatura ploče koja miruje, a T W temperatura ploče koja se giba. Pretpostavite da su toplinska provodnost λ i specifični toplinski kapacitet c fluida, konstantni. 7.3 U laminarnom, nestlačivom, stacionarnom, osno-simetričnom strujanju fluida, konstantne viskoznosti, s izobraženim profilom brzine u horizontalnoj cijevi kružnog presjeka (Hagen-Poieseuilleovo strujanje), odredite: a) profil brzine, b) protok, maksimalnu i srednju brzinu, c) faktor trenja ( λ u Darcy-Weisbachovom izrazu) d) tangencijalno naprezanje na stjenci cijevi. Utjecaj gravitacije zanemarite. r R=D µ=konst. z ρ=konst. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 9

8. Vježbe Egzaktna rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi 8.1 Odredite izobraženi profil brzine u stacionarnom, laminarnom, nestlačivom strujanju fluida kroz horizontalnu cijev eliptičkog presjeka (zadanog duljinom poluosi a i b ). Koja je veza između maksimalnog protoka i pada tlaka po jedinici duljine cijevi p/ L? 8. U prostoru između dva koaksijalna cilindra od kojih vanjski polumjera r miruje, a unutrašnji polumjera r 1 rotira konstantnom kutnom brzinomω, laminarno struji fluid gustoće ρ =konst. i dinamičke viskoznosti µ =konst. Uz pretpostavku nestlačivog, stacionarnog strujanja i izobraženog profila brzine, i zanemarenje masenih sila, odredite: a) profil brzine strujanja fluida kao funkciju cilindarske koordinate r, b) raspored tlaka i tangencijalnih naprezanja, c) moment M 1 potreban za održavanje rotacije unutrašnjeg cilindra i moment M na vanjskom cilindru (podrazumijeva se da su momenti izraženi po jedinici duljine cilindara). d) Odredite profil brzine za slučaj r i usporedite ga profilom brzine potencijalnog vrtloga. 1 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe

8.3 Niz kosinu nagnutu pod kutom α prema horizontali stacionarno se slijeva fluid konstantne gustoće ρ i konstantne viskoznosti µ, u sloju konstantne debljine h, otvorenom s gornje strane prema atmosferskom tlaku p a. Ako je strujanje laminarno i ravninsko s izobraženim profilom brzine odredite: a) profil brzine b) maksimalnu brzinu, protok fluida i srednju brzinu c) smično naprezanje između fluida i kosine, d) raspodjelu tlaka u fluidnom sloju. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 11

9. Vježbe Približna rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi 9.1 Široki remen, prema slici, postavljen je vertikalno između dva spremnika ispunjena istim fluidom i giba se prema gore konstantnom brzinom v, povlačeći fluid iz donjeg spremnika sa sobom u gornji spremnik, pri čemu se uz remen formira film fluida debljine h. Debljina h filma određena je širinom otvora na dnu gornjeg spremnika kroz koji remen ulazi u taj spremnik. Odredite protok Q fluida u filmu fluida, konstantne gustoće ρ, konstantne kinematičke viskoznosti υ, u zavisnosti od v, h i υ. Pretpostavite ravninsko stacionarno laminarno strujanje fluida izobraženim profilom brzine. Odredite brzinu remena v i smično naprezanje τ između fluida i remena za slučaj Q =. 9. Na slici je prikazan segment ležaja koji se giba konstantnom brzinom U relativno prema nepomičnoj podlozi, stvarajući tanki uljni klinasti film. Širina ležaja okomito na sliku je B. Odredite vertikalnu silu N (nosivu silu ležaja) i horizontalnu komponentu F sile otpora na pomični segment. U fluidnom filmu pretpostavite nestlačivo, ravninsko laminarno strujanje uz konstantnu viskoznost ulja. x N =? U F =? H L h( x 1) H 1 x 1 1 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe

1. Vježbe Teorija sličnosti 1.1 Otpori strujanju u cjevovodnom sustavu s odgovarajućom armaturom (ventili, 3-3 zasuni i sl.), kroz koji će strujati voda ( ρ = 998, kg/m, µ = 1, 1 Pa s ) srednjom brzinom v = m/s određuju se na način, da se kroz njega pušta zrak 3-5 ( ρ = 1,16 kg/m, µ = 1,56 1 Pa s ). Odredite srednju brzinu v strujanja zraka u cjevovodnom sustavu, da bi se zadovoljili kriteriji sličnosti ova dva strujanja. Ako je pri ispitivanju sa zrakom u sustavu izmjeren ukupni pad tlaka p F = 875 Pa, koliki će biti ukupni pad tlaka u sustavu kada kroz njega struji voda? 1. U cilju provedbe modelskih ispitivanja djelovanja lukobrana i zaštite luke od valova izrađen je model C L = 36 puta manjih dimenzija od prototipa. Prototipni valovi imaju visinu H = 4 m i brzinu propagacije c = 8 m/s, a period pojave plime je τ = 1 h. Odredite visinu H i brzinu c valova te period τ pojave plime pri modelskim ispitivanjima. 1.3 U zračnom tunelu se ispituje model automobila visine H M =,95 m pri konstantnoj brzini strujanja v M = 4 m/s, pri čemu je izmjerena sila otpora F M = 115 N. Preslikajte te rezultate na prototipni automobila visine H = 1, 5 m (odredite brzinu v i silu otpora F prototipnog automobila). Gustoća i viskoznost zraka su konstantne i jednake za model i prototip. 1.4 Neki prototip broda duljine L i njemu geometrijski sličan model duljine L ispituju se u vodi identičnih svojstava. Izrazite odnose sila F/ F = CF i snaga P/ P = CP koeficijentom sličnosti CL = L/ L kada se pri ispitivanju modela osigurava sličnost: a) sila viskoznog porijekla b) sila uzrokovanih gravitacijom. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 13

1.5 Nestlačivi fluid gustoće ρ, konstantne viskoznosti µ nalazi se između dvije velike paralelne ploče udaljene za h, prema slici. Fluid oscilira pod djelovanjem pulsirajućeg tlaka, a jednadžba koja opisuje prosječnu brzinu u po presjeku je u u ρ = Pcosω t+ µ t x gdje je ω frekvencija, a P konstantna amplituda pulsirajućeg gradijenta tlaka, a µ konstantna viskoznost. Pretpostavlja se da se ustalio stalni ritam promjene brzine s tlakom (izgubio se utjecaj početnih uvjeta). Izrazite gornju jednadžbu u bezdimenzijskom obliku i odredite kriterije sličnosti za ovakvo strujanje. Odredite koeficijent sličnosti za frekvenciju u dvije slične pojave, ako je u obje pojave isti fluid, a u drugoj pojavi se razmak povećao dva puta ( h = h). 14 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe

11. Vježbe Teorija sličnosti 11.1 Punjenje balona (s elastičnom stijenkom) nestlačivim fluidom opisano je slijedećim jednadžbama dv dt = Q dq dt p p RQ M P = p p = EV V ( ) gdje su: tlak p P, M, R, p i V konstante, t je vrijeme, Q protok kroz otvor balona, V volumen fluida u balonu, a p prosječni tlak u balonu. Punjenje započinje od tlaka p, volumena V i protoka Q =. Odredite kriterije sličnosti za ovu pojavu. Odredite koeficijent sličnosti za vrijeme u dvjema pojavama kod kojih je koeficijent sličnosti za volumen C V = 1/5, koeficijent sličnosti za tlak C p = 1 i koeficijent sličnosti za veličinu M C M = 5. 11. Jednodimenzijsko nestacionarno strujanje kapljevine u kosoj cijevi konstantnog promjera D je opisano jednadžbama h h c v + v + = t x g x 1 v h v v λ v v + + + = g t x g x g D gdje su: /( ρ ) h= p g + z piezometrička visina, c brzina širenja tlačnog poremećaja, g gravitacija, v srednja brzina strujanja kapljevine, t vrijeme, a x koordinata duž osi cijevi, koja se nalazi na z = xtgα. Faktor trenja ( λ ) je definiran kao i za slučaj stacionarnog strujanja, preko Reynoldsova broja Re = ρ vd / µ i relativne visine hrapavosti stijenke cijevi k/ D. U početnom trenutku je strujanje stacionarno, brzinom U na izlazu iz cijevi ( x= L), pri piezometričkoj visini h na ulazu u cijev ( x = ). Nakon početnog trenutka se brzina na izlazu iz cijevi linearno smanjuje od vrijednosti U do nula u vremenu Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 15

τ, dok piezometrička visina na ulazu u cijev ostaje konstantna. Odredite kriterije 3 sličnosti za dva strujanja. Ako je pri strujanju vode ρ = 999,8 kg/m, viskoznosti 3 µ = 1,6 1 Pa s u trenutku t = 6 s, na ulazu cijevi izmjerena brzina v = 3 m/s, odredite odgovarajući vremenski trenutak t i brzinu v u sličnoj pojavi, za slučaj 3 strujanja ulja gustoće ρ = 8 kg/m viskoznosti µ =, 65 Pa s, u cjevovodu četiri puta manjih dimenzija, ako je strujanje u režimu potpuno izražene turbulencije. Koliki je tada koeficijent sličnosti za tlak? 11.3 Slika prikazuje problem provođenja topline kroz zid debljine L, konstantne gustoće ρ, konstantnog specifičnog toplinskog kapaciteta c i konstantne toplinske provodnosti λ. Na lijevom rubu zida se održava konstantna temperatura T, a s desne strane zida je zrak temperature T s kojeg toplina prelazi na zid uz konstantni koeficijent prijelaza topline α. Problem se promatra od početnog trenutka u kojem je temperatura zida bila konstantna i jednaka temperaturi T. Jednadžba provođenja topline je u ovom slučaju T T ρc = λ t x x ili T λ T = t ρc x U početnom trenutku je t = : T( xt, = ) = T. Uvjet na lijevom rubu je x = : T T( x=, t) = T. Uvjet na desnom rubu je x= L: λ = α( T T x= L) x Odredite kriterije sličnosti za ovaj problem. x= L 16 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe

11.4 Jednadžbe koje opisuju gibanje taneta mase m koje je ispucano s visine H pod kutom α u odnosu na horizontalu, uz utrošak energije E glase: x= t E m E 1 cosα z = H + t sinα gt m gdje su: t vrijeme, x horizontalna koordinata, z vertikalna koordinata, a g gravitacija. Koje kriterije treba ispuniti da bi dva bacanja označavala slične pojave. Ako je za dvije slične pojave u istom polju gravitacije koeficijent sličnosti za energiju ispucavanja C E = 3, a za masu C m =.5, odredite koeficijent sličnosti za duljinu (odnos dometa) i vrijeme (odnos trajanja leta). Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 17

1. Vježbe Laminarni granični sloj 1.1 Na tanku ravnu ploču beskonačno široku okomito na ravninu slike nailazi strujanje iz beskonačnosti brzinom v paralelno s ravninom ploče. Neposredno uz ploču formira se granični sloj. Primjenom Prandtlovih jednadžbi odredite profil brzine strujanja unutar graničnog sloja, tangencijalo naprezanje na ploči te koeficijent otpora ploče (Blasiusovo rješenje). 1. U ravninskom strujanju na tanku ravnu ploču nailazi strujanje iz beskonačnosti brzinom v paralelno s ravninom ploče. Neposredno uz ploču formira se granični sloj debljine δ. Primjenom von Kármánove jednadžbe odredite debljinu istisnuća, impulsnu debljinu, raspored smičnih naprezanja na površini ploče i koeficijent otpora ploče. Problem riješite uz pretpostavku linearnog profila brzine unutar graničnog sloja. Usporedite dobivene rezultate s Blasiusovim rješenjem. 18 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe

13. Vježbe Primjena von Kármánove jednadžbe 13.1 Uslijed paralelnog strujanja fluida gustoće 3 ρ = 81 kg/m, kinematičke 4 viskoznosti υ = 1,65 1 m s, brzinom v =,5 m s, uz ravnu ploču se formira laminarni granični sloj. Ishodište koordinatnog sustava xy je u vrhu ploče, a os x je paralelna s pločom. Vektor brzine v gleda u pozitivnom smjeru osi x. Primjenom von Kármánove impulsne jednadžbe uz pretpostavku profila u = v η η 3 + η 4, gdje je η = y / δ, a δ debljina brzine danog izrazom ( ) graničnog sloja, odredite silu F otpora po jedinici širine na dio ploče od x = 1 m do x 1 = m. 13. Na dugi kružni cilindar polumjera R nailazi ravninsko paralelno strujanje viskoznog fluida konstantnom brzinom v. Pretpostavimo da se uz površinu kružnog cilindra formira granični sloj debljine ( x) 5 υx δ = gdje je x koordinata duž konture cilindra, a v δ brzina na vanjskom rubu graničnog sloja. Odredite kut ϑ S pri kojem dolazi do odvajanja strujanja (u točki odvajanja je smično naprezanje jednako nuli), uz pretpostavku profila brzine u graničnom sloju oblika u 3 = a1η+ aη + a3η gdje je u komponenta brzine u smjeru x, a1, a i a 3 v δ nepoznate funkcije od x, a η = y δ, gdje je y koordinata koja je u svakoj točki okomita na x. v δ Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 19

3 5 13.3 Zrak gustoće ρ = 1, 3 kg/m, viskoznosti µ = 1,79 1 Pa s ulazi u prostor između dvije paralelne ploče koje su na ulazu (x=) udaljene za H =35 cm. Profil brzine na ulazu je jednolik, a brzina je u=,5 m/s. Zbog formiranja graničnog sloja uz stijenke, potrebno je povećavati razmak između ploča, kako bi brzina u potencijalnoj jezgri ostala u=,5 m/s. Odredite zakon promjene razmaka između ploča H(x), uz konstantnost brzine potencijalne jezgre i izračunajte H(x=1 m). Pretpostavite laminarno strujanje i iskoristite Blasiusovo rješenje. 13.4 Ravna ploča visine H=,8 m, duljine L=6,5 m vuče se horizontalno u smjeru duljine, kroz mirujući fluid gustoće ρ=1 kg/m 3, viskoznosti μ=1,1 1-3 Pas konstantnom silom F=3,5 N. Uz pretpostavku laminarnog strujanja odredite snagu P koja se troši na vuču ploče. 13.5 Voda (r=997,1 kg/m 3, µ=,89 1-3 Pas) turbulentno struji kroz horizontalnu hidraulički glatku cijev promjera D=5 mm, srednjom brzinom u sr =,5 m/s. Odredite vrijednost smičnog naprezanja τ w na stijenci i vremenski osrednjene brzine strujanja ( u ) na vanjskom rubu viskoznog podsloja ( y 5 ). Pretpostavite 1,35 izobraženi profil brzine u cijevi, a za faktor trenja koristite izraz l =. é æ 5,74 ö ù ln ç Re,9 ë ê è øû ú Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe

14. Vježbe Turbulentni granični sloj 14.1 Za Reynoldsov broj manji od 1 7 turbulentni profil vremenski osrednjene brzine v unutar graničnog sloja uz ravnu hidraulički glatku ploču može se prikazati u obliku v v y = δ 1/7 gdje v brzina optjecanja ploče, y udaljenost od ravne ploče, a δ vremenski osrednjena debljina graničnog sloja. Primjenom von Kármánove jednadžbe uz primjenu formule za smično naprezanje na stijenci hidraulički glatke cijevi 14 µ τw =, 5ρv, odredite zakon promjene debljine graničnog sloja, ρv δ smičnog naprezanja na ploči i koeficijenta otpora hidraulički glatke ploče (Prandtlov zakon jedne sedmine). 14. Krilo aviona ima oblik trapeza sa stranicama B 1 =, 86 m (širina u korijenu krila), B =, 9 m (širina krila pri vrhu) i visinom L/ = 13, 5 m ( L je raspon krila). 3 5 Avion leti kroz zrak ( r = 1,58 kg m, υ = 1, 45 1 m s ) brzinom v = 75 m s. Odredite silu otpora D oba krila aviona uz pretpostavku a) laminarnog strujanja u čitavom području krila, b) turbulentnog strujanja u čitavom području krila (uz primjenu zakona 1/7), c) turbulentnog strujanja s laminarnim područjem strujanja na prednjem dijelu krila, a kritični Reynoldsov broj je Re =. 6 kr 1 Krilo promatrajte kao ravnu ploču postavljenu paralelno strujanju zraka, a silu otpora odredite primjenom metode kriški. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 1

14.3 Tanka ploča duljine L = 3 m i širine B = m, mase m = 9 kg leži na horizontalnom krovu na udaljenosti h = 4 m od nastrujnog brida krova, prema slici. Odredite brzinu v jednolikog strujanja vjetra kod koje će se ploča pomaknuti, ako je faktor trenja između ploče i podloge m tr =,1. Gustoća i kinematička viskoznost zraka su 3 r = 1, kg/m i s -5 = 1,5 1 m /s. a) Pretpostavite turbulentno strujanje oko hidraulički glatke ploče i koristite zakon 1/7, b) Pretpostavite turbulentno strujanje oko hrapave ploče u režimu potpuno izražene hrapavosti, pri visini hrapavosti k =.1 mm. s 14.4 Neki avion težak je G = 67 kn, a ima površinu krila A = 3 m. Ako avion plovi 3 na visini 1 km, gdje je gustoća zraka r =,415 kg/m odredite brzinu kojom avion leti i snagu potrebnu za taj let. Poznati su koeficijent uzgona C L =,1 i koeficijent otpora C D =,15 (oba definirana na temelju površine krila). L D F pogonska G Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe