SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini prečnik R kružnie pisne k trugl. Sinusn terem se primenjuje: Kd su dt dv ugl i jedn strni Kd se dte dve strnie i ug nsprm jedne d tih strni Ksinusn terem glsi: Nek su,, dužine strni i α, β, γ veličine dgvrjućih unutršnjih uglv trugl ABC. Td je: sα sβ sγ Ksinusn terem se primenjuje: Kd su dte dve strnie i ug izmedju njih Kd su dte sve tri strnie trugl
Jš neke vžne ''stvri'' kje se izvde iz sinusne i ksinusne tereme su: Pvršin trugl je: P P sinβ P sinγ Pvršin trugl je P, R je pluprečnik pisne kružnie i P r s gde je R s pluim r je pluprečnik upisne kružnie Težišne linije se izrčunvju: t t t Prizvd dijgnl tetivng četvrugl k kg mže d se piše kružni jednk je ziru prizvd nsprmnih strn. m n d Ptlmejev terem Ak su d i d dijgnlne knveksng četvrugl i α ug kji ne grde. Pvršin tg četvrugl je:
P d d Zdi: U truglu ABC dt je α, β i pluprečnik pisng krug R. Odrediti stle snvne elemente ez uptree tli. α β R Njpre ćem nći ug γ α β je 8 γ 8 γ R sinβ sinγ Iskristićem sinusnu teremu. R R sin
R sinβ R sinβ sin 8 R sinγ Rsinje R sin sin sin s s sin dim sre Odrediti strniu trugl ABC k su njegve strnie m, m i ug β m m β? Ovde ćem uptreiti ksinusnu teremu!!! sβ Ajm prv d ndjem s s s s s sin sin
mlitrik 9 prverim U truglu ABC dt je ABm, AC9m i ug α. Odrediti ez uptre tli, strniu BC i pluprečnik pisne kružnie. C 9m A m B 9m m α?, R? sα 9 9s 8 9 m
R R sin R R R rinlišem R R R m U truglu ABC rzlik strni i jednk je m ug γ i pluprečnik pisne kružnie R m. Odrediti strnie trugl ABC. m γ R,,? R sinγ R sinγ m sin
9 9 9 s s γ kvdrtn jednčin p, ± 8 v nije rešenje jer ne mže dužin strnie d ude negtivn rj. Dkle 8 U krugu su dte tetive AB8m i ACm. One grde medjusni ug α. Izrčunti pluprečnik pisne kružnie. m 9 89 s 8 8 s α R? 8 R m m α sin R R R R R
8 Ak su strnie trugl,, i jedn ug iznsi, drediti strnie. - Pzi: je ug nsprm njveće strnie s s γ nemguće Ozrčinti visinu fričkg dimnjk kji se nlzi n hrizntlnm nepristupčnm tlu, k se vrh dimnjk iz tčke A vidi pd uglm α, iz tčke B pd uglm β. Tčke A i B pripdju tkdje hrizntlnj rvni njihv rstjnje AB. Os dimnjk i tčke A i B leže u istj rvni. Ovde je njvžnije skiirti prlem!!!
V αβ x. β.. A B Oeležim trženu visinu s OVX Prv ndjem nepznte uglve OVA i AVB OVA 9 OVB 9 α β AVB OVB OVA 9 9 β 9 β 9 AVB α β α α Primenim sinusnu teremu n trug ABV AV AV sin αβ sinβ sinβ sin αβ sd primenjujem definiiju sinus n prvugli trug VOA. X sin α AV X AV sinβ X sin αβ sinβ X sin αβ 9
8 U truglu ABC dt je, h, R. Bez uptre tli izrčunti α. h R α? Njpre ćem uptreiti rse z pvršinu trugl: h P, P R Dkle: h R Rh Rh h Sd nprvim sistem: ±, Nemguće Dkle
Dlje iskristim sinusnu teremu: Znm d je R Dkle α α jer je R 8 sin 9 Odrediti strnie trugl pvršine P, k je ug α i zir strni kje zhvtju dti ug P α,,? Ovdećem iskristiti rz z pvršinu trugl: P sin Dlje ćem frmiti sistem jednčin: Izrzim - i zmenim u
±, Znči imm dve mgućnsti:, ili ; Uptreim sd ksinusnu teremu: sα s 9 U tetivnm četvruglu ABCD dijgnl BD je nrmln n strniu BC, ug ABC, ug BAD, DA. Izrčunti dijgnlu BD i strniu CD Odvde je vrl vžn nrtti skiu i pstviti prlem, rešenje ztim dlzi sm p sei: D β A B. C
Pšt je ABC i BD BC ABD kk je BAD ADB nrvn trug ABD je jednkkrki AB nd nije tešk nći DB DB s DB DB DB Ksinusn terem pšt se rdi tetivnm četvruglu, zir nsprmnih uglv je isti!!! α β α β i vži jš αβ 9 p je : α β, Primenim definiiju: sin CD CD CD