NAZMENČNE STRUJE Osnovni pojovi Naizenične struje i naponi su električne veličine koje toko vreena enjaju ser. Prea vreenskoj zavisnosti jačine struje, naizenične struje se ogu podeliti na sledeći način: Aperiodična naizenična struja: Prostoperiodična naizenična struja: Složenoperiodična naizenična struja: Periodične naizenične struje i naponi su periodično proenjive veličine, što znači da neke određene vrednosti dobijaju periodično (naizenično) u toku vreena, po čeu su i dobile naziv. Najčešće korišćene su prostoperiodične naizenične struje, odnosno električne struje kod kojih jačina struje haronijski osciluje i čiji je intenzitet opisan sinusno ili kosinusno funkcijo. Sinusoidna elektrootorna sila, na osnovu Faradejevog zakona elektroagnetne indukcije, generiše se u kaleu koji rotira u hoogeno agnetno polju.
Princip rada alternatora slici. Principijalna šea generatora jednofazne naizenične struje (alternatora) prikazana je na sledećoj Gusto naotani pravougaoni kale od N navojaka, čije su stranice dienzija a i b, postavljen je u hoogeno agnetno polje indukcije B tako da je osa kalea - upravna na pravac polja. Krajevi kalea vezani su za klizne prstenove P i P koji su koncentrično postavljeni na osovinu kalea i rotiraju zajedno sa njo, ali su izolovani jedan od drugog i od osovine. Klizni kontakti, koji naležu na prstenove, povezuju obrtni kale sa spoljašnji delo električnog kola. Kada se kale obrće oko svoje ose konstantno ugaono brzino, u njeu se indukuje es, koja se ože izračunati pooću opšteg izraza: dφ e. U trenutku kada norala na ravan kalea n čini ugao sa pravce agnetnog polja, agnetni fluks u jedno pravougaono navojku jednak je: Φ B S cos, gde je S a b površina jednog navojka. Referentni ser obilaženja po konturi određen je pravilo desne zavojnice u odnosu na usvojenu noralu. Brzina proene fluksa jednaka je: gde je dφ d B S sin, d ugaona brzina obrtanja kalea. Ako se pretpostavi da je ugaona brzina konstantna i da je za t i, ože se pisati t, pa je indukovana es u jedno navojku jednaka: e o d B S sin t. Kale ia N navojaka, koji su vezani na red, ukupna indukovana es jednaka je: e N e N B S sin t, o odnosno, indukovana es je prostoperiodična, sinusna funkcija vreena.
U prethodno izrazu, veličina E N B S predstavlja aplitudu es. Prea toe, trenutna vrednost es ože se napisati u obliku: e E sin t. Zavisnost indukovane es od vreena prikazana je dijagrao na sledećoj slici. Veličina T predstavlja periodu prostoperiodične es. Prostoperiodične naizenične veličine Opšti izraz za intenzitet prostoperiodične struje, prea usvojeno referentno seru i početno trenutku, je: ili t sin f t i t) sin ( t sin f t i( t) sin gde su: i - trenutna vrednost prostoperiodične struje - aksialna vrednost (aplituda) prostoperiodične struje (uvek pozitivna veličina), - efektivna vrednost prostoperiodične struje - kružna učestanost prostoperiodične struje, f - frekvencija prostoperiodične struje, t + - faza prostoperiodične struje, - faza prostoperiodične struje u trenutku t = (početna faza struje). Aplituda naizenične struje ( ) - era ekstrenih vrednosti veličine 3
Učestanost ( f ) i kružna učestanost ( ) - era perioda ponavljanja proena Struja je periodična sa periodo T. Važe sledeći odnosi: f T f Početna faza ( o ) - pokazuje položaj sinusoide duž vreenske ose, u odnosu na referentni početni trenutak posatranja. Ako dve naizenične, prostoperiodične veličine neaju istovreeno vrednost i ekstrene vrednosti, kaže se da nisu u fazi, da su fazno poerene, odnosno da eđu njia postoji fazna razlika. Za prier na slici, kaže se da struja i prethodi struji i za ugao, ili da struja i zaostaje za strujo i za ugao. sto važi i za napone. 4
. Odrediti trenutnu vrednost struje i u trenutku kada protekne vree t =,s od početka posatranja i sin t, gde je = A, f = 5 Hz, = 45. ove struje, koja se enja po zakonu i sin πf t 8 i t sinπ 5, 45 [A] π i sin 36 45 [A] t i sin 9 [A] t i,56 [A] t i t 3,3 [A]. Odrediti aplitudu napona, ako se njegova proena u toku vreena ože prestaviti izrazo u U sin t π 6. Poznato je da je u = V u trenutku t =. π U sin [V] 6 V V V U 4V π sin 3,5 sin 6 4V U 3. Aplituda naizenične elektrootorne, sile koja se enja po sinusno zakonu, iznosi 85 A, a njena učestanost Hz. Odrediti trenutnu vrednost naizenične elektrootorne sile nakon vreena, s od prolaska kroz nulu. e E sin t Može se pretpostaviti da je trenutak prolaska kroz nulu t : E sin, e E sin t Za t =, s dobija se: e E sin f t e 85 sin, e e 8 85 sin, 85sin 36 e 5V 5
4. Odrediti vreenski razak izeđu pojava aksialnih vrednosti napona, koji se enjaju po U sin 5 u U sin 3 ako je frekvencija f = 5 Hz. zakonia: u i t t u dostiže aksiu za: u dostiže aksiu za: t 5 sin t 3 sin sin t sin t 6 t t f t 5 5 5 t s t,47s t t t,5s t t f t 6 3 t s 5 3 t,668s 6
Efektivna i srednja vrednost naizenične struje Naizenična struja enja ser i veličinu, te je teško praktično izeriti njenu vrednost u a koje trenutku. Međuti, njeno dejstvo se ože uporediti sa dejstvo jednoserne struje. Najprostije je uporediti njihovo toplotno dejstvo. Naie, naizenična struja proizvodi određenu količinu toplote za određeno vree, za isto vree istu količinu toplote proizvodi određena jednoserna struja, u isto otporniku. Zato se uvodi efektivna vrednost naizenične struje i to kao veličina one jednoserne struje koja u određeno vreensko intervalu razvije istu količinu toplote kao i posatrana naizenična struja u isto otporniku. Ukoliko se usvoji da je to vree jedan period i označi ta jednoserna struja sa, onda je količina toplote razvijene u kolu otpornosti R jednaka: Q R T. () Kličina toplote, koja se u isto periodu vreena T, razvija pri proticanju odgovarajuće naizenične struje jednaka je: odnosno: T Q R i( t). () zjednačavanje () i () za efektivnu vrednost prostoperiodične naizenične struje dobija se: T T T T i( t) T T. sin t cos t sin t t T T T sin T sin 4 4T T Efektivna vrednost sinusne naizenične struje, prea toe, je:,77 E Na sličan način uvode se efektivne vrednosti elektrootorne sile: U E i napona U. 7
Osi efektivne vrednosti, definiše se i srednja vrednost naizenične struje, na osnovu količine elektriciteta koja protekne kroz poprečni presek provodnika pri prolasku naizenične struje q i t. Za određeni vreenski interval čiji je početak označen sa t, a kraj sa t, ukupna količina elektriciteta jednaka je: Q t t i( t) odnosno, srednja vrednost struje definiše se na sledeći način: SR i( t) t t. t t Srednja vrednost sinusne struje za jedan određeni vreenski period ože se definisati kao ona vrednost jednoserne struje, pri kojoj kroz presek provodnika, u definisano vreensko intervalu, protekne ista količina elektriciteta kao i pri odgovarajućoj naizeničnoj struji, čija je to srednja vrednost. Ako je struja, ili naizenična veličina uopšte, sinusna funkcija vreena, za vree jedne poluperiode kroz presek provodnika protekne određena količina elektriciteta u jedno seru, za vree sledeće poluperiode ista tolika količina elektriciteta u suprotno seru, pa je i otuda srednja vrednost prostoperiodične struje u toku cele periode jednaka nuli. Zbog toga se kod sinusnih i periodičnih funkcija srednja vrednost obično definiše za vree poluperiode, odnosno: T SR i( t) T. U slučaju sinusne zavisnosti od vreena biće SR SR T sin T cost T T SR, 637 Dobijena vrednost je nešto anja od efektivne vrednosti, odnosno: SR. 9 Prea navedenoj definiciji, jasno je da je površina pravougaonika osnove T/ i visine SR jednaka površini izeđu sinusoide i dela apscisne ose od do T/. 8
Opisivanje prostoperiodičnih veličina Prostoperiodičnu veličinu određuju sledeći paraetri: aplituda (efektivna vrednost), učestanost (kružna učestanost) i početna faza. U kolia prostoperiodične struje sve veličine iaju istu frekvenciju, odnosno, svaka naizenična prostoperiodična veličina opisana je sa dva paraetra:. aplitudo (efektivno vrednošću) i. početno fazo. Metode opisivanja naizeničnih veličina: o vreensko (trigonoetrijsko), o fazorsko (geoetrijsko) i o kopleksno (aritetičko). Vreensko opisivanje prostoperiodičnih veličina podrazueva analitički prikaz trigonoetrijski funkcijaa. Kao prier nedostatka priene ove etode u opšte slučaju ože poslužiti sabiranje dve prostoperiodične struje (Kirhofovi zakoni): t) sin i ( t i ( t t) sin i( t) i ( t) i ( t) t sin t i( t) sin [sin t cos cost sin] [sin t cos cost sin ] sin t [ cos cos ] cost [ sin sin ] Fazorsko opisivanje prostoperiodičnih veličina podrazueva geoetrijski prikaz vektoria. U sferno koordinatno sisteu, svakoj naizeničnoj veličini ože se jednoznačno pridružiti jedan vektor (fazor) čiji je intenzitet određen efektivno vredošću prostoperiodične veličine, a čiji je položaj u odnosu na referentnu osu određen početno fazo te veličine. U ovo slučaju, rešavanje složenih kola naizenične struje svodi se na svodi se na crtanje i rešavanje fazorskog dijagraa. (Na prier, sabiranje dve prostoperiodične veličine svodi se na sabiranje dva vektora) Kopleksno opisivanje prostoperiodičnih veličina svodi se na prikaz fazora kopleksni brojevia. Svaki fazor u koordinatno sisteu predstavlja se dvea svoji koordinataa, realno i iaginarno. j x y cos j sin 9
Prosto kolo sa terogeno otpornšću R Prosto kolo naizenične struje sastoji se od izvora naizenične električne struje i jednog potrošača. Neka je potrošač terogena oska otpornost R. i u R i sin( t ) u R sin( t ) () u U sin( t ) () Upoređivanje izraza, za efektivnu vrednost napona U i za faznu razliku napona i struje (ugao za koji fazor napona prednjači u odnosu na struju) dobija se, respektivno: U R / U R NAPON STRUJA SU U FAZ Vreenski dijagra: Fazorski dijagra:
Prosto kolo sa kaleo induktivnosti Neka se prosto kolo naizenične struje sastoji od izvora naizenične električne struje i kalea induktivnosti. i u sin( t ) di d( sin( t )) u u cos( t ) u sin( t ) () u U sin( t ) () U / U 9 NAPON PREDNJAČ U ODNOSU NA STRUJU ZA 9 Vreenski dijagra: Fazorski dijagra:
Prosto kolo sa kondenzatoro kapacitivnosti Neka se prosto kolo naizenične struje sastoji od izvora naizenične električne struje i konenzatora kapacitivnosti. i sin( t ) du i u i t u sin( t ) u ( cos( t )) sin( t ) () u U sin( t ) () U U / t 9 NAPON ZAOSTAJE U ODNOSU NA STRUJU ZA 9 Vreenski dijagra: Fazorski dijagra:
Veze izeđu napona i struje potrošača u prosti kolia naizenične struje: Vrsta eleenta Trenutne vrednosti Efektivne vrednosti Fazni stav R u R i U R di u U 9 du i U 9 3
Redno R strujno kolo Neka su terogena oska otpornost R, kale induktivnosti i kondenzator kapacitivnosti vezani na red u strujno kolo kao na slici i neka je es izvora: e E sin t. Neka se pretpostavi da provodnici za vezu iaju zanearljivo alu otpornost, saoindukciju i kapacitet. Kroz kolo će tada teći izvesna naizenična struja i, a ukupni pad napona u raspodeliće se na R, i, odnosno svaki od njih će prouzrokovati odgovarajući pad napona: u R, u, i u, respektivno. U svako trenutku važiće: u u u u. R Es izvora biće uravnotežena napono u: u U sint. Struja u zatvoreno kolu biće: t Važi: u R R i di u u t i i sin. u R i Zaeno prostoperiodičnih funkcija za struju i napon, dobija se: U sint R sint cost cost / U sint R sint cost cost di Rastavljanje sin i cos razlike uglova, dobija se: U sin t R sin t cos cost sin cost cos sin t sin Grupisanje i upoređivanje članova uz sin t i cos t, dobija se: U R cos sin () R sin cos () t i. () + () U R U Z - reaktivna otpornost (reaktansa) Z R Z - prividna otpornost (ipedansa) - induktivna otpornost (reaktansa) - kapacitivna otpornost (reaktansa) z jednačine () tg R R - fazna razlika rezultujućeg napona i struje u kolu 4
5. Kale induktivnosti, H i zanearljive oske otpornosti priključen je na izvor naizenične struje, čiji je efektivni napon V. a) Ako je frekvencija 3 Hz, izračunati struju u tako obrazovano kolu. b) Kolika je struja u slučaju da frekvencija iznosi 5 Hz? a) f 3Hz f 3,4 3, 37, 68 U 37,68,65A b) f 5Hz U f 3,4 5, 68,59A 68 ~, odnosno sa povećanje frekvencije, struja kroz kale se sanjuje f 6. Kondenzator kapaciteta 3 F priključen je na izvor naizenične struje. Efektivna vrednost napona iznosi 4 V, a frekvencija je 5 Hz. Odrediti: a) reaktansu kondenzatora i b) efektivnu vrednost struje u kolu. a) f 3,4 5 3 6 6 U 4 b) 3,77A 6 5
7. Odrediti napon na priključnicaa kalea čiji je aktivni otpor R = 5, a reaktivni = 7, ako je struja kroz kale data kao: i = sin(t+ ), gde je = 9 A, = 38,5. Z R 5 7 8, 6 6,4A U Z 6,4 8,6 55V 7 tg,4 54, 5 R 5 je fazna razlika napona i struje (odnosno ugao za koji napon prednjači u odnosu na struju). Neka su: - početna faza struje i - početna faza napona, biće: odnosno: 38,5 54,5 93 u U sin( t ) u U sin( t ) u 78 sin( t 93 ) [V] 6
8. Odrediti struju u kolu čija je aktivna otpornost 8, induktivna 4, ako je na priključnicaa kola sinusni naizenični napon efektivne vrednosti 8 V i početne faze od 5.5. Z R 8, 94 U 8 4,3A Z 8,94 4 tg,5 6, 5 R 8 Početna faza napona: 5, 5 Fazna razlika napona i struje: Početna faza struje biće: 5,5 6,5 5 i sin( t ) i. sin( t 5) [A] 7
9. Oska otpornost od 5 vezana je redno sa kondenzatoro kapaciteta 4 F na naizenični napon od 3 V, frekvencije 5 Hz. Odrediti struju i njen fazni poeraj prea prienjeno naponu. Nacrtati odgovarajući vektorski dijagra. f 3,4 5 34s 34 4 6 79,5 5 ( 79,5) 93, Z R 9 U 3,45A Z 93,9 79,5 tg,59 58 R 5 Struja redne veze otpornika i kondenzatora fazno prethodi naponu za ugao 58. Ako pretpostavio da je početna faza napona U, biće: u i U sin t sin( t ) i 3,46 sin( t 58) [A] Vektorski dijagra struje i napona u kolu: 8
. Sijalica sa etalni vlakno noinalne snage 75 W i napona V vezuje se na red sa kondenzatoro preko izvora es 3 V, frekvencije 6 Hz, kao na slici. Odrediti: a) kapacitivnost kondenzatora, b) fazni poeraj izeđu struje i napona napajanja. PS 75 a) P S U S 7,5A U R S U S 3, 35 7,5 S R S E R S E E 3 RS 3,35 7,5 7, 5,965F 6 7,5 96,5μF 76 b) tg R S S tg R 7,5 tg,6 3,35 64 9