Relativistička kvantna mehanika zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 8. jul 2016. 1. Pokazati da generatori Lorencove grupe S µν = i 4 [γµ, γ ν ] zadovoljavaju Lorencovu algebru: [S µν, S ρσ ] = i(g νρ S µσ g µρ S νσ + g µσ S νρ g νσ S µρ ). (50% - 1. kolokvijum) 2. Naći jednačinu koja određuje energijske nivoe čestice mase m, spina 0 i naelektrisanja e, koja se nalazi u s-stanju sfernosimetričnog potencijala: { 0 za r < a ea 0 = U za r > a. U oblasti r > a čestica je u vezanom stanju. (50% - 1. kolokvijum) 3. Ispitati kako se veličina ψ(x)s µν µ ψ(x) menja pri Lorencovim transformacijama, vremenskoj inverziji i konjugaciji naboja. Ovde je S µν = i 4 [γµ, γ ν ]. (35 % - 2. kolokvijum) 4. Komptonovo rasejanje je proces e γ e γ. Napisati amplitudu prelaza im za ovaj proces u najnižem redu teorije perturbacije, a zatim pokazati da ova amplituda zadovoljava Vordov identitet k µ M µ = 0 koji kaže da ako u amplitudi prelaza polarizacije fotona ɛ α (k) i ɛ β (k ) zamenimo sa odgovarajućim impulsima fotona k α i k β, dobijamo izraz koji je jednak 0. (65% - 2. kolokvijum) Pismeni ispit, 16. jun 2016. 1. Odrediti sledeće tragove: (50% - 1. kolokvijum) T r(e a ) 1
T r(e a b ) ] 2. Pokazati da se struja J µ = u( p) [σ νρ (p p ) ρ γ ν (p + p ) σ σ σµ ν( p ) može napisati u obliku: ] J µ = u( p) [F 1 (m, p, p )γ µ + F 2 (m, p, p )(p p ) µ ν( p ) i odrediti funkcije F 1 i F 2. (50% - 1. kolokvijum) Pismeni ispit, 11. februar 2016. 1. Čestica mase m, naelektrisanja e i spina 0 nailazi na barijeru: { V za x (0, a) ea 0 = 0 za x / (0, a). Naći koeficijent transmisije. Odrediti energije na kojim je barijera transparentna, odnosno koeficijent transmisije jednak 1. 2. Razmotrite "modifikovanu Dirakovu jednačinu" (γ µ µ + γ 5 m)ψ(x) = 0 i pokažite da je ona ekvivalentna sa standardnom Dirakovom jednačinom (iγ µ µ m)ψ(x) = 0. Pomoć: Neka je ψ(x) = e iαγ 5 Ψ(x), gde je α realan parametar, i pokažite da se α može izabrati tako da ukoliko ψ zadovoljava modifikovanu Dirakovu jednačinu, onda je Ψ rešenje obične Dirakove jednačine. 3. Talasna funkcija relativističkog elektrona u sistemu S je: Ep + m ψ(x) = 2m (1 0 p E p + m 0)T e i(et pz). Naći talasnu funkciju antičestice ψ c, talasnu funkciju na koju deluje CP T transformacija, kao i talasnu funkciju koju vidi posmatrač zarotiran za ugao α oko y-ose. (45% - 2. kolokvijum) 4. Naći diferencijalni presek za rasejanje elektrona e na antimionu µ + : e + µ + e + µ +, 2
u sistemu centra mase. Inicijalne i finalne polarizacije se ne mere. (55% - 2. kolokvijum) Kolokvijum, 23. decembar 2015. 1. Napisati Dirakovu jednačinu u spoljašnjem elektromagnetnom polju. Pokazati da se iz te jednačine može dobiti sledeći oblik jednačine: (( µ iea µ )( µ iea µ ) + m 2 + σ µν T µν ) ψ = 0, gde je T µν tenzorska funkcija koja zavisi od A µ. Ako je A µ = 0 rešiti ovu jednačinu. 2. Napisati Dirakovu jednačinu u sfernim koordinatama, odnosno u obliku: [ ( i γ t t + γ r r + γ θ 1 r θ + γ φ 1 ) ] r sin θ φ m ψ(t, r, φ, θ) = 0. Potom izračunati komutatore {γ µ, γ ν }, gde su µ, ν = t, r, φ, θ. Pismeni ispit, 12. februar 2015. 1. Jednačina kretanja masenog vektorskog polja sa članom koji fiksira kalibraciju je ( + m 2 )A µ + (1 λ) µ ν A ν = 0. Odrediti Grinovu funkciju ovog polja u impulsnom prostoru. 2. Elektron se rasejava u spoljašnjem polju A µ = (0, ae k2 x 2, 0, 0), gde su a i k konstante. Izračunati kvadrat modula amplitude za rasejanje { S fi 2 }, usrednjen po spinskim stanjima inicijalnog elektrona i sumiran po spinskim stanjima finalnog elektrona u procesu. Uzeti da se pre rasejanja elektron kreće duž z-ose impulsom p i, a nakon rasejanja impulsom p f u xz-ravni. Pismeni ispit, 22. januar 2015. 1. Talasna funkcija relativističkog elektrona u sistemu S je: p φ(x) = N p (1, 0, E p + m, 0)T e i(e pt). Naći talasnu funkciju koja se dobije nakon delovanja R(αe y ) CPT transformacija. Ovde su T vremenska inverzija, P prostorna inverzija, C konjugacija 3
naboja i R(αe y ) rotacija za ugao α oko y-ose. 2. Naći totalni presek za rasejanje e + e τ + τ u sistemu centra mase. Taon je čestica slična elektronu s tim da mu je masa m τ = 3477, 5m e. Kolokvijum, 10. decembar 2014. 1. Jednodimenzionalna Klajn-Gordonova jednačina mase m, energije E i naelektrisanja q nailazi na potencijalnu barijeru: { 0 za x < 0 qa 0 = U 0 za x > 0. Ovde je U 0 > 0 i važi da je E > m + U 0. Naći koeficijent transmisije. 2. Napisati Dirakovu jednačinu u sfernim koordinatama, tj. u obliku: [ ( i γ t t + γ r r + γ φ 1 r sin θ φ + γ θ 1 ) ] r θ m ψ(t, r, φ, θ) = 0. Izračunati antikomutatore {γ µ, γ ν }, gde je µ = ν = t, r, φ, θ. Kolokvijum, 12. decembar 2013. 1. Jednodimenzionalna Klajn-Gordonova jednačina mase m, energije E i naelektrisanja q nailazi na potencijalnu barijeru: { 0 za x < 0 qa 0 = U 0 za x > 0. Ovde je U 0 > 0 i važi da je E > m + U 0. Naći koeficijent transmisije. 2. U ovom zadatku razmotrićemo sistem koji se zove Dirakov oscilator. Takav sistem je prvi put eksperimentalno realizovan ove godine. (http://link.aps.org/dou/10.1103/physrevlett.111.170405) a) Krenite od Dirakove jednačine koja opisuje česticu mase m i naelektrisanja e u spoljašnjem elektromagnetnom polju koje ima oblik (0, A), a potom je napišite u formi i ψ = Hψ. Hamiltonijan H napišite preko matrica α i = γ 0 γ i i β = γ 0 t. 4
b) Pokazati da je α i α j x i p j = r p + i Σ L. Ako ne možete ovo da dokažete, pređite na deo pod c). Mala pomoć za one koji dokazuju [α i, α j ] = 2iɛ ijk Σ k. c) Neka je A = i m c ω r, gde je ω konstanta. Pokažite da se Ĥ2 može napisati u formi: H 2 = p 2 + m 2 + Ar 2 + (B S L + C)mωβ, gde su A, B i C konstante koje treba odrediti. L = r p moment impulsa. Ovde je S = 1 2 Σ spin i 5